Большинство математических моделей в экономике описываются с помощью матриц и матричного исчисления.

Матрица - это прямоугольная таблица, содержащая числа, функции, уравнения или другие математические объекты, расположенные в строках и столбцах.

Объекты, составляющие матрицу, называют ее элементами . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами

а их элементы – строчными.

Символ
означает, что матрицаимеет
строк истолбцов,элемент, находящийся на пересечении–й строки и–го столбца
.

.

Говорят, что матрица А равна матрице В : А=В , если они имеют одинаковую структуру (то есть одинаковое число строк и столбцов) и их соответсвующие элементы тождественно равны
, для всех
.

Частные виды матриц

На практике довольно часто встречаются матрицы специального вида. Некоторые методы предполагают также преобразования матриц от одного вида к другому. Наиболее часто встречающиеся виды матриц приведены ниже.

	квадратная матрица, число строк n равно числу столбцов n
	матрица-столбец
	матрица-строка
	нижняя треугольная матрица
	верхняя треугольная матрица
	нулевая матрица
	диагональная матрица
Е =	единичная матрица Е (квадратная)
	унитарная матрица
	ступенчатая матрица
	Пустая матрица

Элементы матрицы, с равными номерами строк и столбцов, то есть a ii образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами.

.

Свойства операций над матрицами

Специфические свойства оперций

Если произведение матриц
– существует, то произведение
может и не существовать. Вообще говоря,
. То есть умножение матриц не коммутативно. Если же
, тоиназывают коммутативными. Например, диагональные матрицы одного порядка коммутативны.

Если
, то необязательно
или
. Т.е., произведение ненулевых матриц может дать нулевую матрицу. Например

Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Если
, то

.

По определению полагают
, и нетрудно показать, что
,
. Отметим, что из
не следует, что
.

Поэлементное возведение в степень А. m =
.

Операция транспонирования матрицы заключается в замене строк матрицы ее столбцами:

,

Например

,
.

Свойства транспонирования:

Определители и их свойства.

Для квадратных матриц часто используется понятие определителя – числа, которое вычисляется по элементам матрицы с использованием строго определенных правил. Это число является важной характеристикой матрицы и обозначается символами

.

Определителем матрицы
является ее элемент.

Определитель матрицы
вычисляется по правилу:

т.е., из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов дополнительной диагонали.

Для вычисления определителей более высокого порядка (
) необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента.

Минором
элемента называют определитель, который получают из матрицы, вычеркивая-ю строку и-й столбец.

Рассмотрим матрицу размером
:

,

тогда, например,

Алгебраическим дополнением элементаназывают его минор, умноженный на
.

,

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разлагая
по элементам первой строки, получим:

Последняя теорема дает универсальный способ вычисления определителей любого порядка, начиная со второго. В качестве строки (столбца) всегда выбирают тот, в котором имеется наибольшее число нулей. Например, требуется вычислить определитель четвертого порядка

В данном случае можно разложить определитель по первому столбцу:

или последней строке:

Этот пример показывает также, что определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Нетрудно доказать, что этот вывод справедлив для любых треугольных и диагональных матриц.

Теорема Лапласа дает возможность свести вычисление определителя -го порядка к вычислениюопределителей
-го порядка и, в конечном итоге, к вычислению определителей второго порядка.

Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_{n\times n}=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум , и я коснусь данного вопроса детальнее.

Обозначается определитель матрицы $A$ как $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

1. Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. $\Delta A=\Delta A^T$.

   показать\скрыть

   Заменим в нём строки столбцами по принципу: "была первая строка - стал первый столбец", "была вторая строка - стал второй столбец":

   Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось.

2. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

   $$\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

3. Определитель, у которого все элементы строки (столбца) равны нулю, равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|=0$.

4. Определитель, у которого все элементы некоей строки (столбца) равны соответствующим элементам иной строки (столбца) равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|=0$.

5. Если в определителе все элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам иной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $r_3=-3\cdot{r_2}$, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|=0$.

6. Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

   $$\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|$$

   Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

   $$ \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|= 3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right| $$

7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5\cdot{r_3}$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

   $$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right| \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|. $$

8. Если в определителе некая строка (столбец) есть линейная комбинация иных строк (столбцов), то определитель равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Выражение

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   где $k_i\in R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Для примера рассмотрим такой определитель:

   $$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end{array} \right| $$

   В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:

   $$ r_4=2\cdot{r_1}+3\cdot{r_2}-r_3 $$

   Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.

9. Если каждый элемент некоей k-й строки (k-го столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме определителей, у первого из которых в k-й строке (k-м столбце) стоят первые слагаемые, а у второго определителя в k-й строке (k-м столбце) расположены вторые слагаемые. Иные элементы этих определителей одинаковы.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Запишем элементы второго столбца так: $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:

   $$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right|+ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end{array} \right| $$

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Из этого правила можно получить такую формулу: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Если матрица $A$ - невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю), то $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$.

Формулы для вычисления определителей

Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:

\begin{equation} \Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} & \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\ & -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11} \end{aligned} \end{equation}

Примеры применения формул (1) и (2) есть в теме "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей" .

Определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}

Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

Правила, выраженные формулами (3) и (4), подробно проиллюстрированы примерами и пояснены в теме Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу) .

Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины"). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:

\begin{aligned} &\left| \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{array} \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin{array} {cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end{array} \right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end{aligned}

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

.

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

В целях запоминания сочетания слагаемых, входящих в выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

Пример:

Основные свойства определителей матрицы

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.

3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом

,

где соответствующий минор порядка.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

Пример: .

При вычислении данного определителя, воспользовались приемом разложения его по элементам первого столбца. Как видно из приведенной формулы нет необходимости вычислять последний из определителей второго порядка, т.к. он умножается на ноль.

Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .

2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .

Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например, .

Как видно, действия сложения, вычитания матриц, умножения матрицы на число аналогичны действиям над числами. Умножение матриц - операция специфическая.

Произведение двух матриц.

Не всякие матрицы можно перемножать. Произведение двух матриц А и В в указанном порядке АВ возможно только тогда, когда число столбцов первого множителя А равно числу строк второго множителя В .

Например, .

Размер матрицы А 33, размер матрицы В 23. Произведение АВ невозможно, произведение ВА возможно.

Произведение двух матриц А и В есть третья матрица С, элемент С ij которой равен сумме попарных произведений элементов i-той строки первого множителя и j-того столбца второго множителя.

Было показано, что в данном случае возможно произведение матриц ВА

Из правила существования произведения двух матриц следует, что произведение двух матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону, т.е. АВ? ВА . Если в частном случае окажется, что АВ = ВА, то такие матрицы называются перестановочными или коммутативными.

В матричной алгебре произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда ни одна из матриц сомножителей не является нулевой в противоположность обычной алгебре.

Например, найдем произведение матриц АВ , если

Можно перемножать несколько матриц. Если можно перемножить матрицы А , В и произведение этих матриц можно умножить на матрицу С , то возможно составить произведение (АВ ) С и А (ВС ). В таком случае имеет место сочетательный закон относительно умножения (АВ ) С = А (ВС ).

Пусть дана таблица (называемая матрицей), состоящая из четырех чисел:

Матрица имеет две строки и два столбца Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, в которых стоит данное число. Например, означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа будем называть элементами матрицы.

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом:

Определитель обозначают символом

Таким образом,

Числа называются элементами определителя.

Приведем свойства определителя второго порядка.

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т. е.

Свойство 2.

При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величинуу т. е.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя:

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число у то определитель не изменит своей величины, т. е.