Критерии оценки качества регрессионной модели, или какая модель хорошая, а какая лучше. Оценка статистической значимости модели

Для оценки значимости параметров уравнения множественной регрессии используют критерий Стьюдента. Напомним, что значимость параметров означает их отличие от нуля с высокой долей вероятности. Нулевой гипотезой в данном случае является утверждение

Фактическое значение t-критерия определяется по формуле

(2.27)

В формуле (2.27) под оценкой параметра понимается как коэффициент регрессии, так и свободный член (при ). Величина среднего квадратического отклонения оцениваемого параметра определяется как корень из дисперсии , рассчитанной по формуле (2.25). Величину называют стандартной ошибкой параметра .

Формулу для оценки коэффициента регрессии (т.е. для ) можно привести к виду

(2.28)

где – среднее квадратическое отклонение результативной переменной ; – среднее квадратическое отклонение объясняющей переменной , являющейся сомножителем коэффициента ; – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной от переменных , включая ; – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной от других переменных , входящих в рассматриваемую модель множественной регрессии.

Теоретическое значение t-критерия находят по таблице значений критерия Стьюдента для уровня значимости а и числа степеней свободы . Уровень значимости а представляет собой вероятность ошибки первого рода, т.е. вероятность отвергнуть гипотезу , когда она верна. Как правило, а выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01.

Нулевая гипотеза о незначимости параметра : отвергается, если выполняется неравенство

(2.29)

где – теоретическое значение критерия Стьюдента.

На основе выражения (2.29) можно построить также доверительный интервал для оцениваемого параметра :

Выражение (2.30) позволяет как оценить значимость параметра, так и дать его экономическую интерпретацию (если оценивается коэффициент регрессии). Очевидно, что параметр будет значим, если в доверительный интервал (2.30) не входит нуль, т.е. с большой долей вероятности оцениваемый параметр не равен нулю.

Так как коэффициент регрессии является абсолютным показателем силы связи, границы доверительного интервала и для него также можно интерпретировать аналогичным образом: с вероятностью при единичном изменении независимой переменной зависимая переменная у изменится не меньше, чем на , и не больше, чем на .

Рассмотрим результаты оценки значимости параметров для примера 2.1. Стандартные ошибки параметров равны

Напомним, что под знаком корня в квадратных скобках стоит элемент матрицы , который находится на пересече-

нии j-й строки и j-го столбца, номер; равен номеру оцениваемого параметра.

Фактическое значение критерия Стьюдента равно

Табличное значение t-критерия для и уровне значимостисоставляет 2,0153, следовательно, все параметры, кроме свободного члена, значимы .

Найдем границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Отметим, что, руководствуясь значениями границ доверительных интервалов, можно сделать те же выводы о значимости коэффициентов регрессии (так как нуль не попадает в доверительный интервал). Выводы в данном случае и не могли быть иными, чем при сравнении фактического и табличного значений критерия Стьюдента, так как формула (2.30) является следствием формулы (2.29). Дадим экономическую интерпретацию границ доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Коэффициент является характеристикой силы связи между объемом поступления налогов и количеством занятых. С учетом значений границ доверительного интервала дляможно сказать, что изменение количества занятых на 1 тыс. человек приведет к изменению (с вероятностью 0,95 ()) поступления налогов не менее чем на 3,56 млн руб. и не более чем на 21,34 млн руб. при неизменном объеме отгрузки в обрабатывающих производствах и производстве энергии. Для двух других коэффициентов регрессии выводы будут следующими.

Изменение объема отгрузки в обрабатывающих производствах на 1 млн руб. приведет к изменению (с вероятностью 0,95 ()) поступления налогов не менее чем на 0,028 млн руб. и не более чем на 0,092 млн руб. при неизменных значениях количества занятых и производства энергии.

При изменении производства энергии на 1 млн руб. поступление налогов изменится (с вероятностью 0,95 ()) не менее чем на 0,13 млн руб. и не более чем на 0,18 млн руб. при неизменных значениях количества занятых и объема отгрузки в обрабатывающих производствах.

Как было отмечено в параграфе 2.2, при построении модели регрессии с использованием центрированных переменных коэффициенты регрессии не отличаются от коэффициентов регрессии в натуральной форме. Это утверждение относится также к величине стандартных ошибок коэффициентов регрессии и, следовательно, к фактическим значениям критерия Стьюдента.

При использовании стандартизованных переменных меняется масштаб их измерения, что приводит к другим, чем в исходной регрессии, значениям параметров (стандартизованных коэффициентов регрессии) и их стандартных ошибок. Однако фактические значения критерия Стьюдента для параметров уравнения в стандартизованном масштабе совпадают с теми значениями, которые были получены по уравнению в натуральном масштабе.

Для оценки значимости всего уравнения регрессии в целом используется критерий Фишера (F-критерий) , который в данном случае называют также общим F-критерием . Под незначимостью уравнения регрессии понимается одновременное равенство нулю (с высокой долей вероятности) всех коэффициентов регрессии в генеральной совокупности:

Фактическое значение F-критерия определяется как соотношение факторной и остаточной сумм квадратов, рассчитанных по уравнению регрессии и скорректированных на число степеней свободы:

(2.31)

где – факторная сумма квадратов; – остаточная сумма квадратов.

Теоретическое значение F-критерия находят по таблице значений критерия Фишера для уровня значимости α, числа степеней свободы и . Нулевая гипотеза отвергается, если

где – теоретическое значение критерия Фишера.

Отметим, что если модель незначима, то незначимы и показатели корреляции, рассчитанные по ней. Действительно, если

и линия регрессии параллельна оси абсцисс. Кроме того, из системы нормальных уравнений, полученной по методу наименьших квадратов (2.8), следует, что .

При нулевых значения всех коэффициентов регрессии имеем выражение

т.е. при равенстве всех коэффициентов регрессии нулю (их статистической незначимости) коэффициент детерминации также будет равен нулю (статистически незначим).

Формулу (2.31) расчета F-критерия можно преобразовать, разделив факторную и остаточную суммы квадратов на общую сумму квадратов:

После простых преобразований получаем выражение

Расчет общего F-критерия можно оформить в виде таблицы дисперсионного анализа (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Анализ статистической значимости модели множественной регрессии

Источники вариации	Число степеней свободы df	Сумма квадратов SS	Дисперсия на одну степень свободы MS = SS/df	F-критерий Фишера
				фактическое значение	табличное значение для а = 0,05

Аналогичную таблицу дисперсионного анализа можно увидеть в результатах компьютерной обработки данных. Ее отличие

от приведенной выше таблицы заключается в содержании последнего столбца. В нашем случае это теоретическое значение критерия Фишера. В компьютерных вариантах в последнем столбце приводится значение вероятности допустить ошибку первого рода (отвергнуть верную нулевую гипотезу), которая соответствует фактическому значению F-критерия. В Excel эта величина называется "значимость F". Обозначим величину, выдаваемую компьютером в таблице дисперсионного анализа, как . Ее значение можно проинтерпретировать следующим образом: если теоретическое значение F-критерия равно его фактическому значению, то вероятность ошибки первого рода (уровень значимости) равна .

Выбирая для определения табличного значения критерия некий уровень значимости, мы соглашаемся на величину ошибки, равную. Следовательно, если , то фактическая ошибка будет меньше запланированной и можно говорить о значимости уравнения регрессии при заданном уровне значимости .

Проверим на статистическую значимость уравнение регрессии, полученное в примере 2.1. Фактическое значение F-критерия равно

Табличное значение критерия Фишера для а = 0,05, числа степеней свободы и равно 2,82. Так как фактическое значение F-критерия больше табличного, уравнение регрессии значимо с вероятностью Следовательно, значим также коэффициент детерминации, т.е. он с большой долей вероятности отличен от нуля.

При использовании опции "Регрессия" в ППП Excel для данного примера получена следующая таблица дисперсионного анализа (табл. 2.3).

Таблица 2.3. Таблица дисперсионного анализа, полученная при применении опции "Регрессия" в ППП Excel

Фактическое значение F-критерия содержится в предпоследнем столбце данной таблицы. Отметим, что его значение отличается от приведенного выше из-за ошибок округления. В последнем столбце табл. 2.3 приведена вероятность допустить ошибку первого рода. Она равна 1,10224Е -12, т.е. 0,00000000000110224. Нами задана максимальная величина этой вероятности, равная 0,05. Так как фактическое значение вероятности допустить ошибку первого рода меньше (значительно меньше) установленного нами максимального, нулевая гипотеза о незначимости уравнения регрессии должна быть отвергнута.

Проверка значимости модели при помощи теста отношения правдоподобия(тест Вальда), начинается с выдвижения основной гипотезы:

Для проверки данной гипотезы вычисляется выборочная статистика

Здесь lnL величина максимального значения логарифма функции правдоподобия, а lnL0- величина логарифма функции правдоподобия в случае справедливости основной гипотезы.

Если основная гипотеза верна, то выборочная статистика (4.7.1) распределена по закону 2 с (m-1) степенью свободы. Границу правосторонней критической области К2 ищут по таблицам критических точек хи-квадрат по уровню значимости (1-б) и (m-1) степени свободы. Если выполняется неравенство:

то основную гипотезу отвергают, принимают альтернативную гипотезу и говорят, что модель статистически значима. В противном случае принимают гипотезу о не значимости модели и переходят к ее пересмотру.

Для моделей бинарного выбора, значимость факторов проверяется при помощи тестирования для каждого фактора хi, i=1,…, (m-1) гипотез вида:

Выборочные статистики, которые используются для тестирования этих гипотез, имеют асимптотически нормальное распределение и называются z-статистиками. Границу двусторонней критической области ищут по таблицам Лапласа по заданному уровню значимости (1-б).

Если выполняется неравенство:

К 1

то принимают основную гипотезу о незначимом отличии от нуля коэффициента i и делают вывод, что соответствующий ему фактор незначим для модели.

Для моделей бинарного выбора не определяется понятие коэффициента детерминации. Однако для них определяют так называемый псевдо коэффициент детерминации, который уже не характеризует объясняющую силу модели

Определение 4.7.1. Псевдо - коэффициентом детерминации называют следующую величину:

Определение 4.7.2. Индексом отношения правдоподобия Макфаддена (McFadden) называют характеристику:

Следует подчеркнуть, что если параметры модели бинарного выбора незначимо отличаются от нуля, то оба введенных коэффициента равны нулю.

На лекции мы рассмотрели нелинейные регрессионные модели, в частности, модели для бинарной зависимой переменной. Эти модели мы рассмотрели для двух функций регрессий: логит (использовали логистическую функцию) и пробит (использовали функцию распределения стандартного нормального закона распределения). Оценки параметров таких функций регрессии получают при помощи метода максимального правдоподобия. Модель тестируют при помощи теста Вальда, в основе которого статистика, имеющая хи-квадрат распределение. При изучении многофакторных регрессионных моделей мы интерпретировали оценки параметров вj, как предельный эффект влияния независимых переменных на у. Вернемся к моделям бинарного выбора. Если мы попытаемся найти производную от P{Y=1|X}, то придем к следующему выражению:

где Z= 0+1х1+...m-1xm-1.

По теореме о производной сложной функции, и из свойства плотности (производная от функции распределения это плотность распределения f(Z)), получаем:

или, используя второе обозначение для оценок параметров:

P{Y=1|X}=вjf(Z)

Как и раньше, через вj обозначены оценки неизвестных параметров.

Тогда, мы можем рассуждать следующим образом: плотность распределения всегда неотрицательна, поэтому знак производной

будет зависеть только от знака оценки параметров, но будет являться функцией всех независимых переменных. Причем, если оценка параметра будет положительной, то увеличение переменной xj будет приводить к увеличению вероятности

а если оценка параметра будет отрицательной, то, соответственно, к уменьшению указанной вероятности.

Замечание. Если фактор х является бинарной переменной, то для него нельзя ввести понятие предельного эффекта.

Для каждой переменной х (количественной!!!) вводят так называемый средний предельный эффект. Для этого вычисляют выборочные средние для количественных переменных и процент «1» для бинарных, и подставляют их в выражение для плотности распределения вместо переменных.

Еще один вопрос для обсуждения: как после оценивания параметров логит (пробит) модели прогнозировать значение у? Поступают, например, следующим образом. Подставляют найденные значения оценок параметров и значения хj в Z и вычисляют значение переменной. Если Z>0, то считают, что У=1, если Z<0, то считают, что У=0. Замечание. Мы рассмотрели ситуацию, когда переменная у была измерена в номинальной шкале, но принимала всего два значения: 0 и 1. В общем случае, когда у может принимать несколько значений, например 0, 1, 2, 3, используют множественный (по у!!) логит или пробит. Кроме того, у может быть измерен в порядковой шкале, тогда в Стате используют порядковый логит (пробит) ologit (oprobit).

Замечание. Очень часто в исследованиях приходится проводить исследования на усеченной выборке. Например, если изучают доходы домохозяйств, то бывают ситуацию, когда респондентов с очень большим доходом (например, больше 1 млн.рубл.) следует исключить из исследования, то есть

То в таких случаях используют Тобит-модели.

	F(0+1х1+...m-1xm-1)	F(0+1х1+...m-1xm-1)
	F(0+1х1+...m-1xm-1)
	F(0+1х1+...m-1xm-1) - (F(0+1х1+...m-1xm-1))2

Коэффициент детерминации является статистикой, т.к.егозначения вычисляются по наблюденным данным. На основе коэффициента детерминации строится статистическая процедура, осуществляющая проверку, насколько значима линейная связь между факторами.

Статистика, проверяющая значимость всего уравнения регрессии имеет вид:

Получаем:

Возрастающим значениям статистики соответствуют и возрастающие значения статистики, поэтому гипотеза, не принимаемая при=, не принимается, если выполняется неравенство, где

Вероятность ошибочно отклонить гипотезу равна.

Вычислим критические значения при для разного количества наблюдений.

Рассмотрим простую линейную регрессию, так что

Критические значения, полученные в зависимости от числа наблюдений:

Т.е., при значительном количестве наблюдений даже малые отклонения фактического значения от 0 оказываются существенными для признания статистической значимости коэффициента регрессии, при содержательной объясняющей переменной.

Призначениесовпадает с квадратом коэффициента корреляции между переменными, такой же вывод верен и для коэффициента корреляции:

Рассмотрим теперь коэффициенты детерминации R 2 для полной и редуцированной модели. В полной модели значение R 2 всегда больше, чем в редуцированной, т.к. в полной модели с m объясняющими переменными минимизируем сумму

по всем значениям коэффициентов. При рассмотрении редуцированной модели, например, безm-ой объясняющей переменной, ищется минимум суммы

по всем значениям коэффициентов, Получаемое при этом значение минимума не может быть больше значения, получаемого при минимизации суммы отклонений по всем значениям, включая и значения. Отсюда и вытекает свойство коэффициента.

Для удобства процедуры выбора модели с использованием предлагается вместоиспользовать его скорректированную (adjusted) форму

в которой вводится штраф, связанный с увеличением числа объясняющих переменных. Получаем:

Таким образом, лучшей признается та из конкурирующих моделей, для которой принимает максимально возможное значение.

Если при сравнении конкурирующих моделей оценивание производится с использованием одинакового количества наблюдений, то сравнение моделей по величине эквивалентно сравнению этих моделей по значению или. При этом выбирается альтернативная модель с минимальным значением (или).

Кроме скорректированных коэффициентов детерминации, при выборе одной из нескольких альтернативных моделей используются информационные критерии, такие как критерий Шварца, критерий Акаике, «штрафующие» за увеличение объясняющих переменных, но несколько другими методами.

КритерийАкаике (Akaike"sinformationcriterion-AIC). Используя этот критерий линейная модель с объясняющими факторами, построенная по наблюдениям, сопоставляется сзначением

Остаточная сумма квадратов. Т.к. первое слагаемое с увеличениемчисла объясняющих переменных уменьшается, а второе слагаемое увеличивается, тоиз альтернативных моделей выбираем модель с наименьшим значением.Таким образом, достигается компромисс между остаточной суммой квадратов и числом объясняющих факторов.

КритерийШварца (Schwarz"sinformationcriterion-SC, SIC). Используя этот критерий линейная модель с объясняющими факторами, построенная по наблюдениям, сопоставляется сзначением

И здесь также как при использовании критерия Акаикеувеличение количества объясняющих факторов ведет к уменьшению первого слагаемогов правой части и к увеличению второго. Из полной и редуцированных альтернативных моделей выбирается модель с наименьшим значением.

Расчет параметров и построение регрессионных моделей

Корреляционный анализ

Его цель - определить характер связи (прямая, обратная) и силу связи (связь отсутствует, связь слабая, умеренная, заметная, сильная, весьма сильная, полная связь). Корреляционный анализ создает информацию о характере и степени выраженности связи (коэффициент корреляции), которая используется для отбора существенных факторов, а также для планирования эффективной последовательности расчета параметров регрессионных уравнений. При одном факторе вычисляют коэффициент корреляции, а при наличии нескольких факторов строят корреляционную матрицу, из которой выясняют два вида связей: (1) связи зависимой переменной с независимыми, (2) связи между самими независимыми.

Рассмотрение матрицы позволяет, во первых, выявить факторы, действительно влияющие на исследуемую зависимую переменную, и выстроить (ранжировать) их по убыванию связи; во-вторых, минимизировать число факторов в модели, исключив часть факторов, которые сильно или функционально связаны с другими факторами (речь идет о связях независимых переменных между собой).

Известно, что наиболее надежными на практике бывают одно- и двухфакторные модели.

Если будет обнаружено, что два фактора имеют сильную или полную связь между собой, то в регрессионное уравнение достаточно будет включить один из них.

Здесь стремятся отыскать наиболее точную меру выявленной связи, для того чтобы можно было прогнозировать, предсказывать значения зависимой величины Y, если будут известны значения независимых величин Х 1 , Х 2 ,.... Х n

Эту меру обобщенно выражают математической моделью линейной множественной регрессионной зависимости:

Y = a 0 + b 1 Х 1 + b 2 Х 2 + ... +b n X n

ЭВМ вычисляет параметры модели: свободный член а 0 (константа, или пересечение) и коэффициенты b п (коэффициенты регрессии). Величину у называют откликом, а Х 1 , Х 2 , .. ., Х п - факторами или предикторами.

После получения каждого варианта уравнения обязательной процедурой является оценка его статистической значимости, поскольку главная цель - получить уравнение наивысшей значимости. Однако в связи с тем, что расчеты выполняет ЭВМ, а решение на основе оценки значимости уравнения принимает исследователь (принять или отбросить уравнение), условно можно выделить третий этап этой человеко-машинной технологии как интеллектуальный немашинный этап, для которого почти все данные по оценке значимости уравнения подготавливает ЭВМ.

Статистическую значимость, т. е. пригодность постулируемой модели для использования ее в целях предсказания значений отклика. Для оценки качества полученной модели программа вычислила также целый ряд коэффициентов, которые обязан рассмотреть исследователь, сравнивая их с известными статистическими критериями и оценивая модель с точки зрения здравого смысла.

На этом этапе исключительно важную роль играют коэффициент детерминации и F-критерий значимости регрессии.

R Squared (R 2) - коэффициент детерминации - это квадрат множественного коэффициента корреляции между наблюдаемым значением Y и его теоретическим значением, вычисленным на основе модели с определенным набором факторов. Коэффициент детерминации измеряет действительность модели. Он может принимать значения от 0 до 1. Эта величина особенно полезна для сравнения ряда различных моделей и выбора наилучшей модели.

R 2 есть доля вариации прогнозной (теоретической) величины Y относительно наблюденных значений Y, объясненная за счет включенных в модель факторов. Очень хорошо, если R 2 >= 80%. Остальная доля теоретических значений У зависит от других, не участвовавших в модели факторов. Задача исследователя - находить факторы, увеличивающие R 2 , к давать объяснение вариаций прогноза, чтобы получить идеальное уравнение. Однако, коэффициент R 2 самое большее может достигнуть величины 1 (или 100%), когда все значения факторов различны. А если в данных есть повторяющиеся опыты, то величина R 2 не может достигнуть 1, как бы хороша ни была модель. Поэтому дубликаты данных следует удалять из исходной таблицы до начала расчета регрессии. Некоторые программные пакеты автоматически удаляют дубликат, оставляя лишь уникальные данные. Повторение одинаковых данных снижает надежность оценок модели. R 2 = 1 лишь при полном согласии экспериментальных (наблюденных) и теоретических (расчетных) данных, т. е. когда теоретические значения точно совпадают с наблюдаемыми. Однако это считается весьма маловероятным случаем.

Средствами регрессионного анализа, в т.ч. Excel, вычисляется F-критерий значимости регрессиидля уравнения в целом. Это рассчитанное по наблюденным данным значение Fp (F расчетный, наблюденный) следует сравнивать с соответствующим критическим значением Fк, (F критический, табличный) (см. приложение А). Fк исследователь выбирает из публикуемых статистических таблиц на заданном уровне вероятности (на том, на каком вычислялись параметры модели, например, 95%).

Если наблюденное значение Fp окажется меньше критического значения Fк, то уравнение нельзя считать значимым. В иной терминологии об этом же может быть сказано: не отвергнута нуль-гипотеза относительно значимости всех коэффициентов регрессии в постулируемой модели, т. е. коэффициенты практически равны нулю.

Электронная технология корреляционно-регрессионного анализа становится абсолютно бесполезной, если расчетные данные будут толковаться не вполне правильно.

Если полученная модель статистически значима, ее применяют для прогнозирования (предсказания), управления или объяснения.

Если же обнаружена незначимость, то модель отвергают, предполагая, что истинной окажется какая-то другая форма связи, которую надо поискать.

Cтраница 1

Значимость модели для решения конкретных исследовательских задач заключается в том, что она позволяет дать количественную оценку скрытых параметров, отражающих динамику двухпродуктовых систем. При решении таких задач понятия внутреннего (продукта I рода) и внешнего (продукта II рода) могут меняться. Так, в построенной В. М. Глушковым с сотрудниками (1979) модели биосинтеза белка роль продуктов I и II рода играют регуляторные и структурные белки, в модели иммунного ответа - соответственно стволовые клетки и лимфоциты, в модели регуляции сердечных сокращений - вещества, которые доставляются миокардиоцитам соответственно через коронарные сосуды и через аорту.  

Оценка значимости модели дается через / - критерий и / J2 для каждого уравнения в отдельности.  

Предположение о значимости модели основывается на двух положениях.  

Все это не умаляет значимости модели. Естественно, без йот немыслимо сущостжшание музыки.  

Наконец, максимальному ограничению значимости договорной модели как таковой способствовало то, что почти все действовавшие в этой области нормы носили абсолютно обязательный (императивный) характер.  

Применение дисперсионного анализа в дополнение к регрессионному позволяет оценить не только значимость модели в целом, но и значимость частных зависимостей.  

Из приведенных данных также следует, что при разбуривании более твердых пород значимости модели выше. Доказательство значимости полученной модели подтверждает гипотезу о нелинейной зависимости рассматриваемых параметров.  

Несмотря на успехи в развитии теории принятия решений она еще долго, по-видимому, будет находиться на промежуточном месте между искусством - умением принимать решения, присущим данному носителю решений, - и наукой как системой принципов, общих положений, процедур и методов. Однако это не снижает актуальности книги: число систем человек - ЭВМ будет увеличиваться, значение принятий решений в сложных ситуациях будет расти, и человек будет все более затрудняться решать соответствующие задачи старыми (точными и вероятностными) методами. Поэтому значимость моделей, использующих формализованные неопределенности на основе идей, отличных от математики случая, может только увеличиваться.  

При индуктивном подходе, характерном для процесса моделирования в рамках анализа хозяйственной деятельности, модель получается путем обобщения наблюдений по единичным частным фактам, учет которых считается важным для принятия решений. Индуктивным путем разрабатываются модели для решения конкретных проблем управления экономикой. Модели включают в себя учет специфических исторически сформированных свойств моделируемого процесса. Основной проблемой составления индуктивных моделей является выбор из совокупности единичных наблюдений тех, которые определяют сущность принимаемого решения, и представление их структуры и связей в формализованном виде. Значимость индуктивных моделей состоит в том, что путем упрощенного описания взаимосвязей информация, содержащаяся в большой совокупности наблюдений, будет представлена в наглядном и сжатом виде. Качество индуктивных моделей не определяется точностью копирования комплексной реальности путем символических систем, а зависит от того, насколько удается, с одной стороны, так упростить модель, чтобы добиться решения проблемы с приемлемыми затратами, но, с другой стороны, отразить основные свойства реальности.  

Если такого рода трудовые соглашения фиксируют уровень заработной платы, то когда ее рыночный уровень отклоняется от уровня, ожидаемого работниками и работодателями при подписании контракта, тогда и для работников, и для работодателей было бы оптимальным изменить установленную номинальную заработную плату. Следовательно, при том, что условия на рынке труда постоянно изменяются, было бы логичным предположить, что с течением времени подобные трудовые соглашения перестанут существовать. Работники и работодатели придут к тому, что номинальную заработную плату нужно менять каждый день, что приведет к эластичной изменчивости номинальной заработной платы в соответствии с динамикой спроса и предложения на рынке труда. На самом деле подтверждением верности подобной критики служит резкое сокращение деятельности профсоюзов в отраслях США в конце 1970 - х - 1980 - е годы. Конечно же, работники, не состоящие в профсоюзах, часто имеют официальные или неофициальные трудовые соглашения с работодателями, но некоторые экономисты считают, что подобное снижение доли состоящих в профсоюзах является подтверждением снижения значимости модели коллективных договоров для экономики США.