Методы анализа процессов в линейных цепях (системах)

При анализе процессов необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Из основ теории цепей известно, что для анализа прохождения гармонических сигналов через линейные цепи используют законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и другие несложные методы. Эти методы применимы и для анализа при произвольном воздействии. Однако в теории связи имеют дело с импульсными сигналами, которые более разнообразны по форме и спектральному составу и описываются большим числом параметров. Эти цепи сложны и по структуре. При анализе воздействия сигналов на такие цепи применяют спектральный и операторный методы и метод интеграла наложения.

Спектральный метод. Свойства линейных цепей (четырехполюсников) можно определить с помощью такого параметра, как частотный коэффициент передачи. Для этого необходимо рассмотреть отклик линейного четырехполюсника на входное воздействие и оценить их связь между собой.

Введем понятия комплексных амплитуд входного и выходного гармонических напряжений с угловой (круговой) частотой со:

Отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических напряжений одной частоты и определяет частотный коэффициент передачи (чаще просто - коэффициент передачи) линейной цепи (линейного четырехполюсника):

Модуль коэффициента передачи К(со) = |К(со)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент ср(со) - фазочастотной характеристикой (ФЧХ) линейного четырехполюсника. Как правило, АЧХ имеет один максимум, а ФЧХ изменяется монотонно в зависимости от частоты (рис. 4.2).

В области некоторой полосы частот отклик цепи на входное воздействие начинает уменьшаться. Поэтому используют понятие полосы пропускания (рабочей полосы) - области частот, где модуль коэффициента передачи К(со) не менее 1/V2 = 0,707 своего максимального значения. Наиболее же удобен на практике нормированный модуль коэффициента передачи К/К шкс, максимальное значение которого равно 1. Значение 1/V2, по которому определяют полосу пропускания линейной цепи, введено не случайно. Дело в том,

Рис. 4.2.

а - АЧХ; б - ФЧХ что на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи но мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза. На рис. 4.2 полоса пропускания заключена в области от нижней со н до верхней со в частоты, и поэтому ее ширина Дсо 0 = со в - со,. На практике часто используют циклическую частоту /= /(2). Тогда полоса пропускания цепи

где/ и - нижняя, а/ в - верхняя граничные циклические частоты.

К вопросу о частотном коэффициенте передачи можно подойти и с другой точки зрения. Если на вход линейной цени подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида u BX (t) = e J(0t , то сигнал на ее выходе запишется как u Bbai (t) = К(Подставляя эти выражения в формулу (4.1), после несложных преобразований запишем частотный коэффициент передачи в форме дифференциального уравнения

Согласно формуле (4.3) частотный коэффициент передачи линейной цепи, у которой связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной у со. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения.

С помощью частотного коэффициента передачи К(со) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К(со) действует непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения м вх (?). Применив прямое преобразование Фурье (2.29), определим спектральную плотность входного сигнала 5 вх (со). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейной цепи

Проведя обратное преобразование Фурье (2.30) от спектральной плотности (4.4), запишем выходной сигнал как

Операторный метод. Наряду со спектральным применяют операторный метод, базирующийся на представлении преобразованиями Лапласа входных и выходных сигналов. Термин «операторный метод» введен О. Хевисайдом. Он предложил символический способ решения линейных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных цепях. Метод Хевисайда основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р , который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t ), определенный при t > 0 и равный нулю в момент времени t = 0.

Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р , выраженная интегралом

Аналитическую запись сигнала u(t) называют оригиналом , а функцию U(p) - его изображением по Лапласу (проще - изображением). Интеграл

• (4.6) внешне напоминает прямое преобразование Фурье (2.29). Однако между ними имеется принципиальное различие. В интеграл прямого преобразования Фурье (2.29) входит мнимая частотаусо, а в интеграл Лапласа
• (4.6) - комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту р = а + усо (а - вещественная составляющая), при этом рассматривают только положительные значения времени t. За счет множителя е~ ш под интегралом в формуле (4.6) для U(p) преобразование Лапласа возможно и для неинтегрируемых функций u(t).

Использование понятия комплексной частоты в интегральном преобразовании делает его более эффективным по сравнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле (2.29) невозможно непосредственно определить спектр функции включения а(?) = 1(0- Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (4.6) легко отыскать его операторное изображение:

или, поскольку е~ а ‘°° = 0, получим

Из приведенного примера очевидно, что повышение эффективности преобразования (4.6) обусловлено наличием множителя е -а/ , который обеспечивает сходимость данного интеграла даже для сигналов, не удовлетворяющих условию сходимости интеграла . Наличие этого множителя позволяет интерпретировать преобразование Лапласа (4.6) как представление сигнала в виде «спектра» из затухающих колебаний е ш е,ш = = е (а+уe j (в символической форме).

Преобразование Лапласа (4.6) обладает линейными свойствами, аналогичными свойству линейности преобразования Фурье:

Из других свойств отметим более простое преобразование изображений при дифференцировании и интегрировании сигнала по сравнению с аналогичными преобразованиями Фурье. Упрощение связано не только с комплексностью оператора р , но и с тем, что оригиналы анализируют на бесконечном интервале .

По аналогии с обратным преобразованием Фурье вводят обратное интегральное преобразование Лапласа , которое осуществляют с помощью вычетов:

где а, - вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа позволяет решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть необходимо найти решение дифференциального уравнения (4.1). Установим ряд допущений:

• входной сигнал u BX (t) = 0 при t
• входной сигнал содержит в себе только те функции, для которых существуют преобразования Лапласа;
• начальные условия нулевые, т.е. г/ вых (0) = 0.

Введем соответствия между оригиналами входного и выходного сигналов и их изображениями по Лапласу:

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей формулы (4.1), получим

В теории автоматических систем сомножитель перед U Bblx (p ) в формуле (4.8) обозначают через Q(p), называя собственным оператором системы, а сомножитель перед U nx (p) - через R(p) и называют оператором воздействия.

Операторный метод базируется на важнейшей характеристике, являющейся отношением изображений выходного и входного сигналов:

и называемой передаточной функцией {операторным коэффициентом передачи) линейной цепи.

Воспользовавшись уравнением (4.8), находим

Сравнение формул (4.3) и (4.9) показывает, что функция К(р ) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи /((со) с мнимой оси jeo на всю область комплексных частотр = а + jco.

Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию цепи на заданное входное воздействие u nx (t) можно определить по следующей схеме:

• записать изображение входного сигнала u BX (t) -? U BX (p)
• найти изображение выходного сигнала 0 иых (р) = K(p)U ux (p)
• вычислить выходной сигнал u ttblx (t) - 5 ? 0 вых (р).

Корни знаменателя p v p 2 > ->Р п в формуле (4.9), т.е. корни функции

называют полюсами передаточной функции К{р).

Соответственно корни числителя z v z 2 , z m функции К(р), т.е. корни функции

характеризуют как пули передаточной функции.

В реальных электрических цепях п> т.

При делении числителя на знаменатель в формуле (4.9) появляется постоянный множитель К 0 , и это уравнение принимает так называемое нуль- полюсное представление передаточной функции

Действительные значения коэффициентов а п и Ъ т дифференциального уравнения (4.16) обусловливает следующее свойство полюсов и нулей передаточной функции линейного четырехполюсника: либо все эти числа вещественные, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Рис. 4.3.

Очень часто используют наглядный прием отображения нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости а,усо. При этом полюса принято обозначать крестиками, а нули - кружками. Например, на рис. 4.3 кружком в начале координат показан нуль, а крестиками 1 и 2 - полюсы передаточной функции некоторой колебательной цени. Полюсы 1 и 2 отрицательны, вещественны и определяют разность двух затухающих экспонент. Комплексно-сопряженные полюсы 3 и 4 определяют колебательный характер передаточной функции К(р) с тем большим затуханием, чем левее они расположены, и с тем большей частотой затухающих колебаний, чем дальше они отходят вверх и вниз от вещественной оси а. Расположение полюсов в левой полуплоскости соответствует затухающему характеру передаточной функции. Нули передаточной функции могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости.

Динамическое представление линейных цепей. Метод интеграла наложения. Свойства линейных цепей часто проще оценить видом их отклика на воздействие элементарных сигналов. Применение нашло два вида динамического представления линейных цепей. Согласно первому из них для анализа отклика цепи в качестве элементарных сигналов служат прямоугольные импульсы длительностью Д, в пределе стремящиеся к дельта-функции. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее. При втором способе элементарными сигналами служат ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения через равные промежутки времени А. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени Д.

Одним из элементарных электрических сигналов, применяемых при анализе прохождения различных колебаний через линейные цепи (четырехполюсники), является дельта-функция 5(?). Другим элементарным электрическим сигналом в технике связи служит функция включения а(?).

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования функции включения является дельта-функция

Соответственно

Пример 4.1

Найдем производную от произведения экспоненциального импульса и функции включения u(t) = e~ at v(t).

Решение

Для функции е~ ш в момент времени t = 0 е~ а "° = 1. Производная В результате вычислений получим следующее выражение:

Импульсная и переходная характеристики линейной цепи. Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию линейной системы теоретически на любой входной сигнал, зная всего одну функцию - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию 8(t). Эту реакцию называют импульсной характеристикой или ядром свертки линейной цепи (системы) и обозначают h(t). Различные виды реальных импульсных характеристик линейных цепей h v h 2 , h 3 показаны на рис. 4.4, а.

Рис. 4.4.

а - различные виды импульсных; б - переходная

Откликом линейной цепи на единичную функцию является переходная характеристика g(t) (рис. 4.4, б). Положим, что требуется определить выходной сигнал и вых (?) линейной цепи (линейного четырехполюсника), если известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал u BX (t). Заменим приближенно кривую входного сигнала u nx (t) ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность Ат (рис. 4.5, а).

Рис. 4.5.

а - входной сигнал; б - отклики на импульсы и выходной сигнал

Формирование выходного сигнала можно пояснить следующим образом. Достаточно малый «кусочек» входного сигнала длительностью Ат подается на вход анализируемой цепи. Если выбрать длительность импульсов Ат бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта-функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (и пх (0)Ат) первого импульса, т.е. u nx (0)Axh(t) (рис. 4.5, б). Откликом линейной цепи на второй импульс с достаточной точностью является произведение г/ вх (Ax)Axh(t - Ат), где и вх (Ат)Ат - площадь этого импульса, а величина h(t - Ат) - импульсная характеристика линейной цепи, соответствующая моменту времени t = Ат. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = пАх (п - число условно сформированных импульсов, приходящихся на интервал времени ) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой (штриховая линия на рис. 4.5, б)

Если длительность импульсов Ат последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени Ат превращается в dx, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной т = kAx:

Для реальных линейных цепей всегда h(t) = 0 при t

Это фундаментальное соотношение в теории линейных цепей представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля Напомним, что

интеграл (4.13) называют сверткой двух функций (см. гл. 2). Итак, линейная система осуществляет свертку входного сигнала со своей импульсной характеристикой, в результате чего получается выходной сигнал. Формула (4.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная цепь, выполняя обработку входного сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом».

Техника свертки. Для вычисления свертки по выражению (4.13) функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т.е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений L В каждый текущий момент времени значения обеих функций перемножаются, а произведение интегрируется в пределах окна импульсного отклика. Полученный результат относится к той координатной точке, против которой находится значение импульсного отклика /?(()). В теории электрических цепей применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля:

Итак, линейная система преобразует относительно переменной t функции, входящие в формулу (4.14). При этом входной сигнал преобразуется в выходной сигнал м вых (?)> а дельта-функция 8(t - т) - в импульсную характеристику h(t - т). Функция м вх (т) не зависит от переменной t и поэтому остается без изменений. В результате получается формула, показывающая, что выходной сигнал линейной системы равен свертке входного сигнала с ее импульсной характеристикой:

Определим связь импульсной характеристики с частотным коэффициентом передачи линейной цепи. Воспользуемся комплексной формой гармонического сигнала единичной амплитуды и вх (?) = ехр(/со?). Подставив это выражение в формулу (4.14) и вынеся его за знак интеграла, находим отклик цепи:

Интеграл в скобках является комплексной функцией частоты

и представляет собой коэффициент передачи (здесь сделана формальная замена т на t).

Выражение (4.15) устанавливает чрезвычайно важный факт - частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной цепи связаны прямым преобразованием Фурье. Очевидно и наличие обратного преобразования Фурье для коэффициента передачи и импульсной характеристики

с помощью которого можно легко определить импульсную характеристику цепи по ее частотному коэффициенту передачи.

Поскольку существует простая связь между 6(7т) и a(t) по формулам (4.10) и (4.11), все выводы для линейной цепи, сделанные при помощи дельта-функции, легко переносятся па функцию включения. Проведя аналогичные рассуждения и расчеты, можно показать возможность простого представления входных и выходных сигналов с помощью функции включения a(t) и переходной характеристики линейной цепи g(t). Разбив входной сигнал (рис. 4.6) на элементарные функции включения Д мст(7) (здесь А и - амплитуда элементарного скачка входного напряжения) и поступая так же, как и при выводе соотношения (4.12), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля, позволяющую определить сигнал на выходе линейной цепи:

Рис. 4.6.

В теории линейных цепей установлена определенная связь между импульсной и переходной характеристиками. Поскольку переходная характеристика neiiHg(?) есть отклик на единичную функцию ст(/,), которая, в свою очередь, представляет собой интеграл от дельта-функции 8(7) (см. формулу (4.11)), то и между функциями h(t.) и g(t) существует интегральное соотношение

Экспериментально импульсную характеристику линейной цепи можно построить, подавая на ее вход короткий импульс единичной площади и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

• Жан-Мари Дюамель (J. Duhamel, 1797-1872) - французский математик.

При анализе прохождения стационарного СП через линейные электрические цепи (рис. 1) будем полагать, что режим цепи установившийся, т.е. после подачи на вход цепи сигнала все переходные процессы, связанные с включением, закончились. Тогда и выходной СП будет стационарным. Рассматриваемая задача будет состоять в том, чтобы по заданной корреляционной функции входного сигнала или его спектральной плотности мощности определить B (t) или G (w) выходного сигнала.

Сначала рассмотрим решение этой задачи в частотной области. Входной СП задан своей спектральной плотностью мощности G х (

). Выходная спектральная плотность мощности G y (w) определяется по формуле ) = G х ( )K 2 ( ), (1)

где K 2 (

) - квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Возведение в квадрат модуля основано на том, что искомая характеристика является действительной функцией частоты и энергетической характеристикой выходного процесса.

Для определения связи между корреляционными функциями необходимо применить к обеим частям равенства (1) обратное преобразование Фурье:

B x (

) = F -1 [G x ( )]; F -1 [K 2 ( )] = B h ( )

Корреляционная функция импульсной характеристики исследуемой цепи:

B h (

)= h (t )h (t - )dt .

Таким образом, корреляционная функция выходного СП есть

) = B x ( ) B h ( ) = Bx(t ) B h (t -t)dt .

ПРИМЕР 1 прохождения стационарного случайного широкополосного сигнала через RC -цепь (фильтр нижних частот), представленную схемой на рис. 2.

Широкополосность понимается так, что энергетическая ширина спектра входного СП намного больше полосы пропускания цепи (рис. 3). При таком соотношении между формой K 2 (

) и G x ( ) можно не рассматривать ход характеристики G x ( ) в области верхних частот.

Учитывая, что в полосе частот, где K 2 (w) существенно отличается от нуля, спектральная плотность мощности входного сигнала равномерна, можно без существенной погрешности входной сигнал аппроксимировать белым шумом, т.е. положить G x (

) = G 0 = const. Такое предположение существенно упрощает анализ. Тогда G y ( ) = G 0 K 2 ( )

Для заданной цепи

) = 1/, тогда G y ( ) = G 0 /.

Определим энергетическую ширину спектра выходного сигнала. Мощность выходного СП

P y = s y 2 = (2p) - 1 G y (

)d = G 0 /(2RC ), тогда э = (G0)-1 Gy ( )d = p/(2RC).

На рис. 4 показаны корреляционная функция выходного СП и его спектральная плотность мощности.

Спектральная плотность мощности по форме повторяет квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Максимальное значение G y (

) равно G 0 . Максимальное значение корреляционной функции выходного СП (его дисперсия) равна G 0 /(2RC ). Нетрудно определить площадь, ограниченную корреляционной функцией. Она равна значению спектральной плотности мощности при нулевой частоте, т.е. G 0:
.

В нелинейных электрических цепях связь между входным сигналом U Вх. (T ) и выходным сигналом U Вых. (T ) описывается нелинейной функциональной зависимостью

Такую функциональную зависимость можно рассматривать как математическую модель нелинейной цепи.

Обычно нелинейная электрическая цепь представляет совокупность линейных и нелинейных двухполюсников. Для описания свойств нелинейных двухполюсников часто пользуются их вольтамперными характеристиками (ВАХ). Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально. В результате эксперимента ВАХ нелинейного элемента получают в виде таблицы. Этот способ описания пригоден для анализа нелинейных цепей с помощью ЭВМ.

Для изучения процессов в цепях, содержащих нелинейные элементы, необходимо отобразить ВАХ в математической форме, удобной для расчетов. Для использования аналитических методов анализа требуется подобрать аппроксимирующую функцию, достаточно точно отражающую особенности экспериментально снятой характеристики. Чаще всего используются следующие способы аппроксимации ВАХ нелинейных двухполюсников.

Показательная аппроксимация. Из теории работы p-n перехода следует, что вольт-амперная характеристика полупроводникового диода при u>0 описывается выражением

. (7.3)

Показательную зависимость часто используют при изучении нелинейных цепей, содержащих полупроводниковые приборы. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих несколько миллиампер. При больших токах экспоненциальная характеристика плавно переходит в прямую линию из-за влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.

Степенная аппроксимация. Этот способ основан на разложении нелинейной вольтамперной характеристики в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U 0 :

Здесь коэффициенты …. – некоторые числа, которые можно найти из полученной экспериментально вольтамперной характеристики. Количество членов разложения зависит от требуемой точности расчетов.

Пользоваться степенной аппроксимацией при больших амплитудах сигналов нецелесообразно из-за существенного ухудшения точности.

Кусочно-линейная аппроксимация Применяется в случаях, когда в схеме действуют большие сигналы. Способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. Например, передаточная характеристика реального транзистора может быть аппроксимирована тремя отрезками прямых, как показано на рис.7.1.

Рис.7.1 .Передаточная характеристика биполярного транзистора

Аппроксимация определяется тремя параметрами: напряжением начала характеристики , крутизной , имеющей размерность проводимости и напряжением насыщения , при котором возрастание тока прекращается. Математическая запись аппроксимированной характеристики такова:

(7.5)

Во всех случаях ставится задача нахождения спектрального состава тока, обусловленного воздействием на нелинейную цепь гармонических напряжений. При кусочно-линейной аппроксимации схемы анализируют методом угла отсечки.

Рассмотрим для примера работу нелинейной цепи при больших сигналах. В качестве нелинейного элемента используем биполярный транзистор, работающий с отсечкой коллекторного тока. Для этого при помощи начального напряжения смещения Е См рабочая точка устанавливается таким образом, чтобы транзистор работал с отсечкой коллекторного тока, и одновременно подадим на базу входной гармонический сигнал.

Рис.7.2. Иллюстрация отсечки тока при больших сигналах

Угол отсечки θ – половина той части периода, в течение которой коллекторный ток не равен нулю, или, другими словами, часть периода от момента достижения коллекторным током максимума до момента, когда ток становится равным нулю – «отсекается».

В соответствии с обозначениями на рис.7.2 коллекторный ток для I > 0 описывается выражением

Разложение этого выражения в ряд Фурье позволяет найти постоянную составляющую I 0 и амплитуды всех гармоник коллекторного тока. Частоты гармоник кратны частоте входного сигнала, а относительные амплитуды гармоник зависят от угла отсечки. Анализ показывает, что для каждого номера гармоники существует оптимальный угол отсечки θ, При котором ее амплитуда максимальна:

. (7.7)

Рис.7.8 . Схема умножения частоты

Подобные схемы (рис.7.8) часто применяются для умножения частоты гармонического сигнала в целое число раз. Настройкой колебательного контура, включенного в коллекторную цепь транзистора, можно выделить нужную гармонику исходного сигнала. Угол отсечки устанавливается, исходя из максимального значения амплитуды заданной гармоники. Относительная амплитуда гармоники уменьшается с ростом ее номера. Поэтому описанный метод применим при коэффициентах умножения N ≤ 4. Применяя многократное умножение частоты, можно на основе одного высокостабильного генератора гармонических колебаний получить набор частот с такой же относительной нестабильностью частоты, как у основного генератора. Все эти частоты кратны частоте входного сигнала.

Свойство нелинейной цепи обогащать спектр, создавая на выходе спектральные составляющие, первоначально отсутствовавшие на входе, ярче всего проявляются, если входной сигнал представляет собой сумму нескольких гармонических сигналов с различными частотами. Рассмотрим случай воздействия на нелинейную цепь суммы двух гармонических колебаний. Вольтамперную характеристику цепи представим многочленом 2-й степени:

. (7.8)

Входное напряжение помимо постоянной составляющей содержит два гармонических колебания с частотами и , амплитуды которых равны и соответственно:

. (7.9)

Такой сигнал называется бигармоническим. Подставив этот сигнал в формулу (7.8), выполнив преобразования и сгруппировав члены, получим спектральное представление тока в нелинейном двухполюснике:

Видно, что в спектре тока присутствуют слагаемые, входящие в спектр входного сигнала, вторые гармоники обоих источников входного сигнала а также гармонические составляющие с частотами ω1 — ω2 и ω1 + ω2 . Если степенное разложение вольтамперной характеристики представлено многочленом 3-й степени, спектр тока будет содержать также частоты . В общем случае при воздействии на нелинейную цепь нескольких гармонических сигналов с разными частотами в спектре тока появляются комбинационные частоты

Где – любые целые числа, положительные и отрицательные, включая нуль.

Возникновение комбинационных составляющих в спектре выходного сигнала при нелинейном преобразовании обусловливает ряд важных эффектов, с которыми приходится сталкиваться при построении радиоэлектронных устройств и систем. Так, если один из двух входных сигналов промодулирован по амплитуде, то происходит перенос модуляции с одной несущей частоты на другую. Иногда за счет нелинейного взаимодействия наблюдается усиление или подавление одного сигнала другим.

На основе нелинейных цепей осуществляется детектирование (демодуляция) амплитудно-модулированных (АМ) сигналов в радиоприемниках. Схема амплитудного детектора и принцип его работы поясняются на рис.7.9.

Рис.7.9. Схема амплитудного детектора и форма выходного тока

Нелинейный элемент, вольтамперная характеристика которого аппроксимирована ломаной линией, пропускает только одну (в данном случае положительную) полуволну входного тока. Эта полуволна создает на резисторе импульсы напряжения высокой (несущей) частоты с огибающей, воспроизводящей форму огибающей амплитудно-модулированного сигнала. Спектр напряжения на резисторе содержит частоту несущей , ее гармоники и низкочастотную составляющую, которая примерно вдвое меньше амплитуды импульсов напряжения. Эта составляющая имеет частоту , равную частоте огибающей, т. е. представляет собой продетектированный сигнал. Конденсатор совместно с резистором образует фильтр низких частот. При выполнении условия

(7.12)

В спектре выходного напряжения остается только частота огибающей. При этом также происходит увеличение выходного напряжения за счет того, что при положительной полуволне входного напряжения конденсатор быстро заряжается через малое сопротивление открытого нелинейного элемента почти до амплитудного значения входного напряжения, а при отрицательной полуволне – не успевает разрядиться через большое сопротивление резистора . Приведенное описание работы амплитудного детектора соответствует режиму большого входного сигнала, при котором ВАХ полупроводникового диода аппроксимируется ломаной прямой.

В режиме малого входного сигнала начальный участок ВАХ диода может быть аппроксимирован квадратичной зависимостью. При подаче на такой нелинейный элемент амплитудно-модулированного сигнала, спектр которого содержит несущую и боковые частоты, возникают частоты с суммарной и разностной частотами. Разностная частота представляет собой продетектированный сигнал, а несущая и суммарная частоты не проходят через фильтр низких частот, образованный элементами и .

Обычный прием детектирования частотно-модулированных (ЧМ) колебаний состоит в том, что ЧМ колебание сначала преобразуется в АМ колебание, которое затем детектируется вышеописанным способом. В качестве простейшего преобразователя ЧМ в АМ может служить расстроенный относительно несущей частоты колебательный контур. Принцип преобразования ЧМ сигналов в АМ поясняется на рис.7.10.

Рис.7.10. Преобразование ЧМ в АМ

При отсутствии модуляции рабочая точка находится на скате резонансной кривой контура. При изменении частоты изменяется амплитуда тока в контуре, т. е. происходит преобразование ЧМ в АМ.

Схема преобразователя ЧМ в АМ показана на рис.7.11.

Рис.7.11. Преобразователь ЧМ в АМ

Недостатком такого детектора являются искажения продетектированного сигнала, возникающие из-за нелинейности резонансной кривой колебательного контура. Поэтому на практике применяются симметричные схемы, обладающие лучшими характеристиками. Пример такой схемы приведен на рис.7.12.

Рис.7.12. Детектор ЧМ сигналов

Два контура настраиваются на крайние значения частоты, т. е. на частоты И . Каждый из контуров преобразует ЧМ в АМ, как описано выше. АМ колебания детектируются соответствующими амплитудными детекторами. Низкочастотные напряжения и противоположны по знаку, и с выхода схемы снимается их разность. Характеристика детектора, т. е. зависимость выходного напряжения от частоты, получается путем вычитания двух резонансных кривых и более линейна. Такие детекторы называются дискриминаторами (различителями).

Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией и импульсной характеристикой действует случайный процесс с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса на выходе четырехполюсника.

В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.

Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.

Рис. 7.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами

Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции .

Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)

то плотность вероятности на выходе линейной цепи

Дисперсия легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.

Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в § 7.6-7.7.

Линейно-параметрические цепи-радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону, называют параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами). Предполагается, что изменение какого-либо параметра осуществляют электронным методом с помощью управляющего сигнала. В линейно- параметрической цепи параметры элементов не зависят от уровня сигнала, но могут независимо изменяться во времени. Реально параметрический элемент получают из нелинейного элемента, на вход которого подают сумму двух независимых сигналов. Один из них несет информацию и имеет малую амплитуду, так что в области его изменений параметры цепи практически постоянны. Вторым является управляющий сигнал большой амплитуды, который изменяет положение рабочей точки нелинейного элемента, а следовательно, его параметр.

В радиотехнике широко применяют параметрические сопротивления R(t), параметрические индуктивности L(t) и параметрические емкости C(t).

Для параметрического сопротивления R(t) управляемым параметром является дифференциальная крутизна

Примером параметрического сопротивления может служить канал МДП- транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u Г (t). В этом случае крутизна его сток-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением зависимостью S(t) = S. Если к МДП-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t) , то его ток определится выражением

Наиболее широко параметрические сопротивления применяют для преобразования частоты сигналов. Гетеродинирование - процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов разных частот для получения колебаний третьей частоты, в результате которого происходит смещение спектра исходного сигнала.

Рис. 24. Структурная схема преобразователя частоты

Преобразователь частоты (рис.24) состоит из смесителя (СМ) - параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа и т. д.), гетеродина (Г) - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой ωг, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (ФПЧ) - полосового фильтра

Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Допустим, что под воздействием гетеродинного напряжения

крутизна характеристики МДП-транзистора изменяется приближенно по закону

где S 0 и S 1 - соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики. При поступлении на преобразующий МДП-транзистор смесителя приемника АМ-сигнала

переменная составляющая выходного тока будет определяться выражением:

Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана частота