Сложная функция нескольких переменных определение. Функция двух переменных.Область определения и линии уровня
Лекция 1 Теория функций двух и нескольких переменных (ТФНП). 1. Понятие ФНП. 2. Предел ФНП. 3. Непрерывность ФНП. 4. Частные производные первого порядка. 5. Производная сложной функции. 6. Производная неявной функции. 7. Производные высших порядков.
1. Понятие ФНП. Пусть множество D – область на плоскости. Определение. Если поставлено в соответствие число, то говорят, что на множестве D задана числовая функция D – область определения функции.
Если точка то отображение задается двумя координатами, функция 2 -х переменных Графиком такой функции будет множество точек с координатами x, y, z - поверхность в пространстве.
Геометрическая интерпретация f(x, y). D– некоторая часть плоскости 0 ХY z D – проекция графика функции f(x, y) на плоскость 0 ХY z f О x D x y y График функции – поверхность в пространстве.
2. Предел функции двух переменных. Пусть точка Множество точек называется таких, что - окрестностью точки
Определение. Пусть точка Если то точка P называется внутренней точкой множества D. Определение. Если все точки D внутренние для этого множества, то оно называется открытым. Определение. Всякое открытое множество, содержащее точку называется её окрестностью.
Определение. Множество любые две точки которого можно связать непрерывной кривой, лежащей в этом множестве, называется связным. Определение. Открытое связное множество называется областью.
Пусть функция окрестности точки определена в некоторой (не обязательно в самой точке Число А называется пределом функции при стремлении если
Обозначение. Замечание. Стремление может происходить по любому закону и направлению, при этом все предельные значения существуют и равны А.
Пример. Рассмотрим функцию Рассмотрим стремление проходящим через т. (0, 0): по прямым, значение А зависит от того как.
3. Непрерывность ФНП. Функция непрерывной в точке называется, если Если хотя бы одно из условий 1 -3 нарушено, то - точка разрыва.
Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва. Пример. а) Точка разрыва – (изолированная) б) - линия разрыва
Определение. Разность называется полным приращением функции. Определение. Пределы называются частными производными функции (при условии, что они существуют).
Правила вычисления частных производных ФНП совпадают с соответствующими правилами для функции одной переменной. Замечание. При вычислении производной ФНП по одной из переменных все остальные рассматриваются как постоянные. Пример.
Определение. Главная (линейная) часть полного приращения функции в точке называется полным дифференциалом функции в этой точке.
5. Производная сложной функции. Рассмотрим функцию где т. е. z – сложная функция x, y. Частные производные сложной функции по переменным x и y вычисляются так: (как и в случае сложной функции одной переменной).
Полная производная а) где т. е. z – сложная функция одного аргумента t. Тогда - полная производная функции по аргументу t.
Скачать с Depositfiles
Лекции 1-4
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Контрольные вопросы.
Частное и полное приращение функции нескольких переменных (ФНП).
Предел функции нескольких переменных. Свойства пределов ФНП.
Непрерывность ФНП. Свойства непрерывных функций.
Частные производные первого порядка.
Определение : если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных соответствует определенное значение переменной w, то будем называть w функцией независимых переменных :
(1)
Определение
: областью определения
D
(
f
)
функции (1) называется совокупность таких наборов чисел 
, при которых определена функция (1).
Область D ( f ) может быть открытой или замкнутой. Например для функции:
D (f ) будут все точки пространства, для которых выполняется неравенство (замкнутый шар), а для функции (открытый шар).
В дальнейшем мы будем рассматривать в основном функции двух переменных, т.к. во-первых, принципиального различия между двумя и большим числом переменных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок. Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
Геометрическим изображением функции двух переменных 
является некоторая поверхность, которая может быть задана явно или неявно. Например:
a
) 
— явное задание (параболоид вращения), б) 
— неявное задание (сфера).
При построении графика функции часто пользуются методом сечений .
Пример
. Построить график функции . 
Воспользуемся методом сечений.
– в плоскости 
– парабола.
– в плоскости 
–парабола.
– в плоскости 
– окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения.
Расстоянием
между двумя произвольными точками 
и 
(евклидова) пространства 
называется число
Множество точек называется
открытым кругом
радиуса 
с центром в точке 
, –
окружностью
радиуса с центром в точке .
Открытый круг радиуса 
с центром в точке называется
-окрестностью
точки .
О
пределение
. Точка называется
внутренней точкой
множества 
, если существует -окрестность 
точки , целиком принадлежащая множеству (т.е.
).
Определение . Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.
Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.
Определение . Множество называется открытым , если все его точки – внутренние.
Определение
. Множество называется
замкнутым
, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его
границей
(и часто обозначается символом 
). Заметим, что множество 
является замкнутым и называется
замыканием множества .
Пример . Если , то . При этом .
Частное и полное приращение функции.
Если одна независимая переменная (например, х ) получает приращение х , а другая переменная не меняется, то функция получает приращение:
которое называется частным приращением функции по аргументу х .
Если же все переменные получают приращения, то функция получает полное приращение:
Например, для функции 
будем иметь:
Предел функции нескольких переменных.
Определение
. Будем говорить, что последовательность точек 
сходится
при 
к точке 
, если при .
В этом случае точку 
называют
пределом
указанной последовательности и пишут: 
при 
.
Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно 
, 
(т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна
покоординатной сходимости
).
Определение
. Число называют
пределом
функции 
при 
, если для 
такое, что 
, как только.
В этом случае пишут 
или 
при 
.
При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки 
. Для функции двух переменных стремление к предельной точке 
на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
Пример
. Найти 
.
Пусть стремление к предельной точке 
происходит по прямой 
. Тогда 
.
Предел, очевидно, не существует, так как число 
зависит от 
.
Свойства пределов ФНП :
Если существуют и 
, то:
, Аналогично определяется частная производная по 
и вводятся ее обозначения.
Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
Пример
. Найти частные производные функции 
.
Имеем: 
, 
.
До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением переменной, значения которой зависят от значений одной независимой переменной.
На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – сторон прямоугольника и : .
Пример 2. Работа электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени : .
Пример 3. Температура , измеряемая в различных точках некоторого тела, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени : .
Определение 1. Назовем n -мерной точкой упорядоченный набор из чисел . Числа называются координатами -мерной точки . Множество всевозможных -мерных точек назовем n-мерным пространством и будем обозначать его . Точку назовем началом координат в -мерном пространстве, а число – размерностью пространства.
Частные случаи :
1. – числовая прямая;
2. – плоскость;
3. – трехмерное пространство.
Определение 2. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных
Переменные называются независимыми переменными или аргументами , – зависимой переменной , символ – закон соответствия .
Также как и функцию одной переменной функцию нескольких переменных можно задать явно – и неявно – .
Любую явную функцию нескольких переменных можно представить как функцию точки в -мерном пространстве: , где точка определяется набором ее координат.
Если каждой точке из области определения соответствует одно значение , то функция называется однозначной , в противном случае – многозначной .
Множество называется областью определения функции , оно является подмножеством -мерного пространства. Подобно промежутку область может быть замкнутой или открытой в зависимости от того, содержит она свою границу или нет.
Естественной областью определения функции (1) называется множество точек , координаты которых однозначно обеспечивают вещественные и конечные значения функции . В дальнейшем, если дополнительные ограничения на изменение независимых переменных постановкой задачи не накладываются, под областью определения функции будем подразумевать ее естественную область определения.
Рассмотрим более подробно два частных случая, которые являются наиболее простыми и допускают геометрическую интерпретацию.
1. Функция двух переменных (n = 2)
Функцию двух переменных будем обозначать . Частное значение функции при , или в точке записывают в виде , , или .
Область определения функции есть подмножество точек координатной плоскости . В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или часть плоскости, ограниченная линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки плоскости, не лежащие на границе, будем называть внутренними .
Пример 4. Функция определена на всей плоскости .
Пример 5. Функции определена на всей плоскости, за исключением прямой .
Пример 6. Областью определения функции является множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют соотношению , т.е. круг радиуса 1 и с центром в начале координат. Область определения этой функции является замкнутой.
Следующий пример рассмотрим более подробно.
Пример 7. Найти область определения функции .
Решение.
Логарифм определен только при положительном значении аргумента, поэтому на аргументы имеется одно условие: .
Чтобы изобразить геометрически область , найдем сначала ее границу: . Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке , а ось направлена в положительную сторону оси .
|
Следовательно, искомая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область не входит, значит, область отрытая.
Определение 3.Окрестностью точки называется любой открытый круг, содержащий точку .
В частности, -окрестностью называется открытый круг с центром в точке и радиусом .
Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный математический аппарат для функции одной переменной. А именно: любой функции можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении функцию и при фиксированном значении функцию .
Следует иметь в виду, что хотя функции и имеют одно и то же "происхождение", вид их может существенно различаться.
Пример 9. Рассмотрим функцию . При функция является степенной, а при функция является показательной.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Как известно, функция одной переменной может быть изображена некоторой кривой на плоскости, если рассматривать значения ее аргумента как абсциссы, а значения функции как ординаты точек кривой.
Подобным же образом функция двух переменных может быть изображена графически.
Рассмотрим функцию , определенную в области на плоскости и систему прямоугольных декартовых координат . Каждой точке множества поставим в соответствие точку пространства , аппликата которой равна значению функции в точке : . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которую естественно принять за графическое изображение функции .
Определение 4.Графикомфункции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением .
|
2. Функция трех переменных (n = 3)
Функцию трех переменных будем обозначать , при этом будем считать, что , и – независимые переменные (или аргументы), а – зависимая переменная (или функция).
Областью определения такой функции называется множество всех рассматриваемых троек чисел. Если функция задана аналитически, под ее естественной областью определения подразумевают совокупность всех троек чисел , для которых функция принимает действительные значения.
Определение 6.Окрестностью точки называется любая открытая сфера, содержащая точку .
В частности, -окрестностью называется открытая сфера с центром в точке и радиусом .
Изображая тройки чисел точками пространства , можно рассматривать функцию трех переменных как функцию точки пространства, а область определения функции трех переменных – как некоторое множество точек пространства.
(лекция 1)
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Опр. Окрестностью точки р 0 называется круг с центром в точке р 0 и радиусом. = (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2
сколь угодно малого числа можно указать такое число ()>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше выполняется неравенство: f(x,y) А, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р 0 , с радиусом, значение функции отличается от А меньше чем на по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р 0 по любому
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр.
3)Предел равен значению функции в этой точке: = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );
pp 0
Частное производной.
Дадим аргументу х приращение х; х+х, получим точку р 1 (х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:
х z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
z = Lim x z
z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)
X x0 X
Определение функции нескольких переменных
При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.
Например , изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.
Другой пример : изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть:
x - затраты по материалам,
y - расходы на выплату заработной платы работникам,
z - амортизационные отчисления.
Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.
Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных
из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция
"n" переменных.
Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.
Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел
обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.
Так, например, областью определения функции
является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению
т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.
Для функции
областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию
т. е. внешние по отношению к заданному кругу.
Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение
связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f (x, y) является множество точек P (x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f (x, y).
Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f (x, y).
Так, например, (рис. 1.1) графиком функции
является верхняя половина сферы, а графиком функции
Нижняя половина сферы.
Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.
Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.
В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.
Определение функции нескольких переменных.
(лекция 1)
Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.
G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Предел функции 2-х переменных.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр. Окрестностью точки р 0 называется круг с центром в точке р 0 и радиусом r. r = Ö (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 Ø
Число А называется пределом функции |в точке р 0 , если для любого
сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½0, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р 0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р 0 , если выполняются 3 условия:
1)функция определена в этой точке. f(р 0) = f(x,y);
2)ф-я имеет предел в этой точке.
3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 ) ;
p à p 0
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.
Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.
Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.
Частное производной.
Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.
Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р 1 (х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:
D х z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.
¶ z = Lim D x z
චz = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)
¶ x D x ® 0 D x
Аналогично определяем частное производной по переменной у.
Нахождение частных производных.
При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).
Понятие функции нескольких переменных
Если каждой точке X = (х 1 , х 2 , …х n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х 1 , х 2 , …х n) = f (X).
При этом переменные х 1 , х 2 , …х n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной , а символ f обозначает закон соответствия . Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х 1 и х 2 , а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х 1 = 0 и х 2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х 1 = 2, х 2 = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).
Функция вида z = а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + а n х n + b, где а 1 , а 2 ,…, а n , b - по стоянные числа, называют линейной . Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х 1 , х 2 , …х n . Все остальные функции называют нелинейными .
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) – нелинейная, а функция z =
= х 1 + 7х 2 - 5 – линейная.
Любой функции z = f (X) = f(х 1 , х 2 , …х n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.
Например, функции трех переменных z = 1/(х 1 х 2 х 3) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х 2 = а и х 3 = b то функция примет вид z = 1/(аbх 1); если зафиксировать х 1 = а и х 3 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 2); если зафиксировать х 1 = а и х 2 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 3). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х 2 = а, то она примет вид z = 5х 1 а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х 1 = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.
Графиком
функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).
Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).
Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью ), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).
Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве
Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем .
Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).
Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня .
Например, рассмотрим z = 1/(х 1 х 2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х 1 х 2) = 10. Тогда х 2 = 1/(10х 1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х 2 = 1/(5х 1) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).
Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2)
Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х 1 + х 2 . Возьмем С = 2, т.е. 2х 1 + х 2 = 2. Тогда х 2 = 2 - 2х 1 , т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х 2 = 4 - 2х 1 (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х 1 + х 2 = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.
Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.
Рисунок 5.5 - Линии уровня функции z = 2х 1 + х 2