Функции нескольких переменных для чайников. Производная от функции, заданной неявно
Предел функции двух переменных.
Понятие и примеры решений
Добро пожаловать на третий урок по теме ФНП , где наконец-то начали сбываться все ваши опасения =) Как многие подозревали, понятие предела распространяется и на функцию произвольного количества аргументов, в чём нам сегодня и предстоит разобраться. Однако есть оптимистичная новость. Она состоит в том, что при предел в известной степени абстрактен и соответствующие задания крайне редко встречаются на практике. В этой связи наше внимание будет сосредоточено на пределах функции двух переменных или, как мы чаще её записываем: .
Многие идеи, принципы и методы схожи с теорией и практикой «обычных» пределов, а значит, на данный момент вы должны уметь находить пределы и самое главное ПОНИМАТЬ, что такое предел функции одной переменной . И, коль скоро судьба привела вас на эту страничку, то, скорее всего, уже немало понимаете-умеете. А если и нет – ничего страшного, все пробелы реально заполнить в считанные часы и даже минуты.
События этого занятия разворачиваются в нашем трёхмерном мире, и поэтому будет просто огромным упущением не принять в них живое участие. Сначала соорудим хорошо известную декартову систему координат в пространстве . Давайте встанем и немного походим по комнате… …пол, по которому вы ходите – это плоскость . Поставим где-нибудь ось … ну, например, в любом углу, чтобы не мешалась на пути. Отлично. Теперь, пожалуйста, посмотрите вверх и представьте, что там зависло расправленное одеяло. Это поверхность , заданная функцией . Наше перемещение по полу, как нетрудно понять, имитирует изменение независимых переменных , и мы можем передвигаться исключительно под одеялом, т.е. в области определения функции двух переменных . Но самое интересное только начинается. Прямо над кончиком вашего носа по одеялу ползает маленький тараканчик, куда вы – туда и он. Назовём его Фредди. Его перемещение имитирует изменение соответствующих значений функции (за исключением тех случаев, когда поверхность либо её фрагменты параллельны плоскости и высота не меняется) . Уважаемый читатель с именем Фредди, не обижайся, так надо для науки.
Возьмём в руки шило и проткнём одеяло в произвольной точке, высоту которой обозначим через , после чего строго под отверстием воткнём инструмент в пол – это будет точка . Теперь начинаем бесконечно близко приближаться к данной точке , причём приближаться мы имеем право ПО ЛЮБОЙ траектории (каждая точка которой, разумеется, входит в область определения) . Если ВО ВСЕХ случаях Фредди будет бесконечно близко подползать к проколу на высоту и ИМЕННО НА ЭТУ ВЫСОТУ, то функция имеет предел в точке при :
Если при указанных условиях проколотая точка расположена на краю одеяла, то предел всё равно будет существовать – важно, чтобы в сколь угодно малой окрестности острия шила были хоть какие-то точки из области определения функции. Кроме того, как и в случае с пределом функции одной переменной , не имеет значения , определена ли функция в точке или нет. То есть наш прокол можно залепить жвачкой (считать, что функция двух переменных непрерывна ) и это не повлияет на ситуацию – вспоминаем, что сама суть предела подразумевает бесконечно близкое приближение , а не «точный заход» в точку.
Однако безоблачная жизнь омрачается тем фактом, что в отличие от своего младшего брата, предел гораздо более часто не существует. Это связано с тем, что к той или иной точке на плоскости обычно существует очень много путей, и каждый из них должен приводить Фредди строго к проколу (опционально «залепленному жвачкой») и строго на высоту . А причудливых поверхностей с не менее причудливыми разрывами хоть отбавляй, что приводит к нарушению этого жёсткого условия в некоторых точках.
Организуем простейший пример – возьмём в руки нож и разрежем одеяло таким образом, чтобы проколотая точка лежала на линии разреза. Заметьте, что предел всё ещё существует, единственное, мы потеряли право ступать в точки под линией разреза, так как этот участок «выпал» из области определения функции . Теперь аккуратно приподнимем левую часть одеяла вдоль оси , а правую его часть, наоборот – сдвинем вниз или даже оставим её на месте. Что изменилось? А принципиально изменилось следующее: если сейчас мы будем подходить к точке слева, то Фредди окажется на бОльшей высоте, чем, если бы мы приближались к данной точке справа. Таким образом, предела не существует.
И, конечно же, замечательные пределы , куда без них. Рассмотрим поучительный во всех смыслах пример:
Пример 11
Используем до боли знакомую тригонометрическую формулу , где и стандартным искусственным приёмом организуем первые замечательные пределы :
Перейдём к полярным координатам:
Если , то
Казалось бы, решение идёт к закономерной развязке и ничто не предвещает неприятностей, однако в самом конце существует большой риск допустить серьёзный недочёт, о характере которого я уже чуть-чуть намекнул в Примере 3 и подробно расписал после Примера 6. Сначала концовка, затем комментарий:
Давайте разберёмся, почему будет плохо записать просто «бесконечность» или «плюс бесконечность». Посмотрим на знаменатель: так как , то полярный радиус стремится к бесконечно малому
положительному значению: . Кроме того, . Таким образом, знак знаменателя и всего предела зависит только от косинуса:
, если полярный угол (2-я и 3-я координатные четверти: );
, если полярный угол (1-я и 4-я координатные четверти: )
.
Геометрически это означает, что если приближаться к началу координат слева, то поверхность, заданная функцией , простирается до бесконечности вниз:
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.
Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).
Другими словами:
Если каждой паре (х; у) двух независимых переменных из области D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух независимых переменных х и у с областью определения D и пишут
http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">
П р и м е р 1.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">
Область определения – есть часть плоскости, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.
П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">
2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1.График функции двух переменных
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плоскости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геометрическое место полученных точек
http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">
Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением
x2 + y2 = R2, см. рисунок.
Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и найти .
Решение. Воспользуемся методом сечений.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в плоскости – парабола.
– в плоскости –парабола.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src=">– окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения.
Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число
http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.
Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.
3адание
Найти и изобразить графически область определения функции:
Построить линии уровня функций:
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.
О п р е д е л е н и е:
Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для любого
ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только
|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.
Этот факт обозначается так:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
П р и м е р 1. Найти .
Решение. Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогда
http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависит от .
П р и м е р 2. Найти .
Решение. По любой прямой предел один и тот же:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Тогда
http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (остальное – по аналогии).
О п р е д е л е н и е. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,
где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у .
О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:
1) ;
2) , т. е. .
Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24">непрерывна в точке, если выполняется равенство
http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х
http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> является функцией одной переменной . Аналогично,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если
http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).
Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.
Обратное утверждение неверно.
П р и м е р. Докажем, что функция
непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24"> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .
Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .
Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим
.
Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">
Другие обозначения
http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">
Другие обозначения
http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.
Решение . Имеем:
,
П р и м е р 2.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">
П р и м е р 3. Найти частные производные функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">
Пример 4. Найти частные производные функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">
5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных
Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f"у{x;y) существуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного приращения функции двух переменных
http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">
где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">
Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:
Выражение
http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">
С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.
П р и м е р. Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.
Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .
Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.
Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .
Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.
Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif" width="101 height=29" height="29">
Пример 2. Вычислить 3,021,97
3адание
Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.
Случай 1.
z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)
Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.
Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))
Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.
Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и
v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):
http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">
Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)
П р и м е р.
Z=ln(u2+v), u=ex+y ² , v=x2 + y;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.
Тогда по формуле (*) получим:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.
Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.
Случай 2.
Функции х и у непрерывные функции.
Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не независимые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">
Разделим обе части этого равенства на Δt:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)
Случай 3.
Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от независимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.
Принимая во внимание, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)
Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.
Находим частные производные
http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">
Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной, неявной функции.
Производная от функции, заданной неявно.
Положим, что уравнение
определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную
у’ = φ’(x)_
Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).
Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим
F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">
Следовательно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> справедливо как для одной, так и для другой функции.
5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала
Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">
Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид
http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">
Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.
Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.
П р и м е р.
Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции
z=u2v3, u=x2·sin y , v=x3·ey.
Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем
dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =
2uv3·(2x·siny ·dx+x2·cosy ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).
Это выражение можно переписать так
dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=
Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Эта
функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">
суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Действительно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">
Полагая t=1, находим
http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">
Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), вообще го-
воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.
Вторые частные производные обозначают так:
есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.
Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.
П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">
П р и м е р 2. Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">
П р и м е р 3. Вычислить , если
http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">
x, f"y, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">
Следовательно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">
Решение.
Смешанные производные равны.
5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных .
Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифференциал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.
Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух переменных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению
http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">
Вычисляя точно так же d3u, мы получим
http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-
причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При переходе от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит полное приращение
http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> стремящемся к нулю (см. рис.).
http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">
где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, а потому получаем:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 называется произ-
водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается
http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)
Таким образом, зная частные производные функции
z = f(x; у) можно найти производную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем производной по направлению.
П р и м е р. Найти производную функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">
Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.
5. 12 . Градиент
Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">
т. е..jpg" width="89" height="33 src=">
в точке М(3;4).
Р е ш е н и е.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">
Функции многих переменных
§1. Понятие функции многих переменных.
Пусть имеется n
переменных величин
.
Каждый набор
обозначает точкуn
-
мерного
множества
(п
-мерный
вектор).
Пусть даны множества
и
.
Опр
.
Если каждой точке
ставится в соответствие единственное
число
,
то говорят, что задана числовая функция
n
переменных:
.
называют областью определения,
- множеством значений данной функции.
В случае n
=2
вместо
обычно пишутx
,
y
,
z
.
Тогда функция двух переменных имеет
вид:
z = f (x , y ).
Например,
- функция двух переменных;
- функция трех переменных;
Линейная функция n переменных.
Опр
.
Графиком функции n
переменных называется n
-
мерная
гиперповерхность в пространстве
,
каждая точка которой задается координатами
Например, графиком
функции двух переменных z
=
f
(x
,
y
)
является
поверхность в трехмерном пространстве,
каждая точка которой задается координатами
(x
,
y
,
z
)
,
где
,
и
.
Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.
Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.
Опр . Линией уровня функции двух переменных z = f (x , y ) называется множество точек плоскости ХОУ , являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f (x , y )=с , где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.
Опр
.
Поверхностью уровня функции n
переменных y
=
f
(
)
называется гиперповерхность в пространстве
,
в каждой точке которой значение функции
постоянно и равно некоторому значениюс
.
Уравнение поверхности уровня: f
(
)=с.
Пример . Построить график функции двух переменных
.
.
При с=1:
;
.
При с=4:
;
.
При с=9:
;
.
Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z .
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции.
Опр
.
Число А называется пределом функции
двух переменных z
=
f
(x
,
y
)
при
,
и обозначается
,
если для любого положительного числанайдется положительное число,
такое, что если точка
удалена от точки
на расстояние меньше,
то величиныf
(x
,
y
)
и А отличаются
меньше чем на
.
Опр
.
Если функция z
=
f
(x
,
y
)
определена в точке
и имеет в этой точке предел, равный
значению функции
,
то она называется непрерывной в данной
точке.
.
§3. Частные производные функции многих переменных.
Рассмотрим функцию
двух переменных
.
Зафиксируем
значение одного из ее аргументов,
например
,
положив
.
Тогда функция
есть функция одной переменной.
Пусть она имеет производную в точке:
.
Данная производная
называется частной производной (или
частной производной первого порядка)
функции
пов точке
и обозначается:
;
;
;
.
Разность
называется частным приращением пои обозначается
:
Учитывая приведенные обозначения, можно записать
.
Аналогично определяется
.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.
Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Например, функция
имеет четыре частных производных второго
порядка, которые обозначаются следующим
образом:
;
;
;
.
и
- смешанные частные производные.
Пример. Найти частные производные второго порядка для функции
.
Решение.
,
.
,
.
,
.
Задание .
1. Найти частные производные второго порядка для функций
,
;
2. Для функции
доказать, что
.
Полный дифференциал функции многих переменных.
При одновременном
изменении величин х
и у
функция
изменится на величину,
называемую полным приращением функцииz
в точке
.
Так же, как и в случае функции одной
переменной, возникает задача о
приближенной замене приращения
на линейную функцию от
и
.
Роль линейного приближения выполняетполный
дифференциал
функции:
Полный дифференциал второго порядка:
=
.
=
.
В общем виде полный дифференциал п -го порядка имеет вид:
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция
z
=
f
(x
,
y
)
определена в некоторой окрестности
точки M(x
,
y
)
и
- некоторое направление, задаваемое
единичным вектором
.
Координаты единичного вектора выражаются
через косинусы углов, образуемых вектором
и осями координат и называемых
направляющими косинусами:
,
.
При перемещении
точки M(x
,
y
)
в данном направлении l
в точку
функцияz
получит приращение
называемое приращением функции в данном направлении l .
Если ММ 1 =∆l , то
Т огда
О пр . Производной функции z = f (x , y ) по направлению называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю:
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные ипредставляют собой производные по направлениям, параллельным осямOx и Oy . Нетрудно показать, что
Пример
.
Вычислить производную функции
в точке (1;1) по направлению
.
Опр . Градиентом функции z = f (x , y ) называется вектор с координатами, равными частным производным:
.
Рассмотрим скалярное
произведение векторов
и
:
Легко видеть, что
,
т.е. производная по направлению равна
скалярному произведению градиента и
единичного вектора направления.
Поскольку
,
то скалярное произведение максимально,
когда векторы одинаково направлены.
Таким образом, градиент функции в точке
задает направление наискорейшего
возрастания функции в этой точке, а
модуль градиента равен максимальной
скорости роста функции.
Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.
Теорема
.
Пусть задана дифференцируемая функция
z
=
f
(x
,
y
)
и в точке
градиент функции не равен нулю:
.
Тогда градиент перпендикулярен линии
уровня, проходящей через данную точку.
Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.
Локальный экстремум функции двух переменных
Пусть функция
определена и непрерывна в некоторой
окрестности точки
.
Опр
.
Точка
называется точкой локального максимума
функции
,
если существует такая окрестность точки,
в которой для любой точки
выполняется неравенство:
.
Аналогично вводится понятие локального минимума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума) .
Для того, чтобы
дифференцируемая функция
имела локальный экстремум в точке
,
необходимо, чтобы все ее частные
производные первого порядка в этой
точке были равны нулю:
Итак, точками
возможного наличия экстремума являются
те точки, в которых функция дифференцируема,
а ее градиент равен 0:
.
Как и в случае функции одной переменной,
такие точки называются стационарными.
Частные производные функции трёх переменных
Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!
Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных . Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных обычно представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.
Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называются независимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных
А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает четырехмерное пространство
(и действительно, переменных же три + сама функция). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность
. Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:
– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?
– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
– Возможно ли путешествие в прошлое?
– Возможно ли путешествие в будущее?
– Существуют ли инопланетяне?
На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю
Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)
Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!
Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!
Пример 1
Решение : Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:
Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».
В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».
Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменные и считаются константами (постоянными числами) . А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:
Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.
(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».
(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.
Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменные и считаются константами :
(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.
(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.
И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменные и считаются константами :
Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.
При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь пропущу)
Пример 2
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.
Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?
Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.
Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)
Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:
Пример 3
Решение : вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.
Разберём пример последовательно, чётко и понятно.
Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:
Это степенная
функция со сложным основанием (синусом). По :
Теперь вспоминаем, что , таким образом:
На чистовике, конечно, решение следует оформить так:
Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:
Это показательная
функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции
:
Теперь вспоминаем нашу замену:
Таким образом:
На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:
И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):
При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.
Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:
И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.
Забавный пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка
Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.
Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно скомпилированная Эйнштейном по материалам трудов Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у него Нобелевская премия? В научном мире был нешуточный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу троечника Эйнштейна примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Дальнейшее, что называется, раскрутка и пиар.
К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.
Разберём еще пару типовых задач:
Пример 5
Решение
: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .
Решаем:
(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .
(2) Используем свойства линейности.
(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.
По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:
Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:
Как видите, шаблон решения практически такой же.
Вычислим значение найденной частной производной в точке :
И, наконец, производная по «зет»:
Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.
Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.
Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?
Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину.
Пример 6
Найти частные производные первого порядка в точке
Пример 7
Найти частные производные первого порядка в точке
Это два несложных примера для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Но вы не расстраивайтесь из-за второго закона термодинамики, сейчас я всех приободрю более сложными примерами:
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Решение
: Найдем частные производные первого порядка:
(1) Начиная находить производную, следует придерживаться того же подхода, что и для функции одной переменной. Используем свойства линейности, в данном случае выносим за знак производной константы .
(2) Под знаком производной у нас находится произведение двух функций, каждая из которых зависит от нашей «живой» переменной «икс». Поэтому необходимо использовать правило дифференцирования произведения .
(3) С производной сложностей никаких, а вот производная является производной сложной функции: сначала необходимо найти, по сути, табличный логарифм и домножить его на производную от вложения.
(4) Думаю, все уже освоились с простейшими примерами вроде – тут у нас «живой» только , производная которого равна
Практически зеркален случай с производной по «игрек», его я запишу короче и без комментариев:
Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:
(1) Выносим константы за знак производной.
(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.
(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.
Пример 9
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.
Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:
Возможно ли путешествие в будущее?
Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.
Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.
Частные производные второго порядка функции трёх переменных
Общий принцип нахождения частных производных второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Поэтому, если вы хорошо проработали урок Частные производные функции двух переменных , то будет всё очень просто.
Для того чтобы найти частные производные второго порядка, сначала необходимо найти частные производные первого порядка или в другой записи: .
Частных производных второго порядка девять штук.
Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:
или – вторая производная по «икс»;
или – вторая производная по «игрек»;
или – вторая производная по «зет».
Вторая группа – это смешанные
частные производные 2-го порядка, их шесть:
или – смешанная
производная «икс по игрек»;
или – смешанная
производная «игрек по икс»;
или – смешанная
производная «икс по зет»;
или – смешанная
производная «зет по икс»;
или – смешанная
производная «игрек по зет»;
или – смешанная
производная «зет по игрек».