Модель логарифмического распределения известного английского математика Фишера была первой попыткой описать отношение между числом видов и числом особей этих видов. Особенным успехом эта модель пользовалась в энтомологических исследованиях и была впервые применена Фишером как теоретическая модель для описания распределения видов в коллекциях. Этой модели и статистике разнообразия было посвящено подробное исследование Л. Р. Тейлора с соавторами .

Распределение частот видов для логарифмического распределения описывается следующей последовательностью:

где х – число видов, представленных одной особью, х 2 /2 – число видов, представленных двумя особями и т. д.

Логарифмическая модель имеет два параметра  и x . Это означает, что для выборки объемом N и числом видов S существует только одно возможное распределение частот видов по их относительному обилию, так как и , и х являются функциями N и S . Чем больше выборка, извлеченная из данного сообщества, тем больше значение х и тем меньше доля особей, относящихся к видам, представленных одной особью в выборке. Два параметра S и N (общее число особей) связаны между собой зависимостью
, где – индекс разнообразия, который можно получить из уравнения:

,

где сумма всех особей N , принадлежащих S видам:

Моделью логарифмического распределения, характеризующейся малым числом обильных видов и большой долей «редких», с наибольшей вероятностью можно описать такие сообщества, структура которых определяется одним или немногими экологическими факторами.

Как показали исследования, проведенные Мэгарран в Ирландии , такому ряду соответствует распределение обилий видов растений наземного яруса в хвойных культурах в условиях низкой освещенности.

5.3.3. Логарифмическинормальное распределение

Для большинства сообществ характерно лог-нормальное распределение обилий видов, но обычно эта модель указывает на большое, зрелое и разнообразное сообщество. Такое распределение характерно для систем, когда величина некоей переменной определяется большим числом факторов.

Эта модель впервые была применена к распределению обилий видов Престоном. На разнообразном эмпирическом материале он показал, что частоты видов в больших выборках распределены в соответствии с логарифмическинормальным законом. По разработанной им методике в частотные классы группируются виды с числом особей, заключенным в промежутках, которые ограничены числами геометрической прогрессии. Престон нанес на ось обилия видов в масштабе логарифма по основанию 2 (log 2) и назвал получившиеся классы октавами. Но для описания модели можно использовать любое основание логарифма. На графике распределения частот видов по полученным таким способом классам численности соответствуют известной кривой нормального распределения, усеченной слева, в области частот редких видов.

Распределение обычно записывается в форме:

, где

S R – теоретическое число видов в октаве, расположенной в R октавах от модальной октавы; S mo – число видов в модальной октаве;  – стандартное отклонение теоретической лог-нормальной кривой, выраженное в числе октав.

Рис. 5.3.2. Лог-нормальное распределение

Лог-нормальное распределение описывается симметричной «нормальной», т. е. колоколообразной кривой (рис. 5.3.2.). Однако если данные, которым она соответствует, получены из ограниченной выборки, то левая часть кривой (т. е. редкие, неучтенные виды) будет выражена нечетко. Престон назвал такую точку усечения кривой слева «линией занавеса». «Линия занавеса» может сдвигаться влево при увеличении объема выборки. На рисунке она указана стрелкой. Для большинства выборок выражена только часть кривой справа от моды. Только при огромном количестве данных, собранных на обширных биогеографических территориях, прослеживается полная кривая. S -образная кривая указывает на сложный характер дифференциации и перекрывания ниш. Большинство видов в природных открытых экосистемах существует в условиях соревнования за ресурсы, а не на условиях прямой конкуренции; множество адаптаций дает возможность делить ниши без конкурентного исключения из местообитания. Эта модель наиболее вероятна для ненарушенных сообществ.

Случайная величина называется логарифмически-нормально распределенной, если ее логарифм подчинен нормальному закону распределения.

Это означает, в частности, что значения логарифмически-нормальной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа взаимно независимых факторов, причем воздействие каждого отдельного фактора «равномерно незначительно» и равновероятно по знаку. При этом в отличие от схемы формирования механизма нормального закона последовательный характер воздействия случайных факторов таков, что случайный прирост, вызываемый действием каждого следующего фактора, пропорционален уже достигнутому к этому моменту значению исследуемой величины (в этом случае говорят о мультипликативном характере воздействия фактора). Математически сказанное может быть формализовано следующим образом. Если - неслучайная компонента исследуемого признака (т. е. как бы «истинное» значение в идеализированной схеме, когда устранено влияние всех случайных факторов), - численное выражение эффектов воздействия упомянутых выше случайных факторов, то последовательно трансформированные действием этих факторов значения исследуемого признака будут:

Отсюда легко получить

где . Но правая часть (6.11) есть результат аддитивного действия множества случайных факторов, что при сделанных выше предположениях должно приводить, как мы знаем (см. п. 6.1.5, а также § 7.3, посвященный центральной предельной теореме), к нормальному распределению этой суммы.

В то же время, учитывая достаточную многочисленность числа случайных слагаемых (т. е. полагая ) и относительную незначительность воздействия каждого из них (т. е. полагая ), можно от суммы в левой части (6.11) перейти к интегралу

Это. и означает в конечном счете, что логарифм интересующей нас величины (уменьшенный на постоянную величину подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением, т. е.

откуда дифференцированием по x левой и правой частей этого соотношения получаем

(правомерность использованного при вычислении тождества вытекает из строгой монотонности преобразования

Описанная схема формирования значений логарифмически-нормальной случайной величины оказывается характерной для многих конкретных физических и социально-экономических ситуаций (размеры и вес частиц, образующихся при дроблении; заработная плата работника; доход семьи; размеры космических образований; долговечность изделия, работающего в режиме износа и старения и др.; см., например, , , ).

Пример 6.1. В качестве случайной величины рассматривается душевой месячный доход (в долларах) семьи некоторой совокупности семей. Обследовано n=750 семей.

Таблица 6.1

Таблица 6.2

В табл. 6.1 и 6.2 приведены результаты группировки выборочных данных и их логарифмов соответственно (ширина интервала группирования равна 25 долларам). На рис. 6.1, а, б изображены гистограммы и плотности соответственно логарифмически-нормального и нормального законов распределения.

Рис. 6 1. Гистограмма и теоретическая (модельная) плотность, характеризующие распределение семей по среднедушевому месячному доходу (а) и по логарифму среднедушевого месячного дохода (б)

Ниже приводятся результаты вычисления основных числовых характеристик логарифмически-нормального распределения (в терминах параметров закона а и ):

Из этих выражений видно, что асимметрия и эксцесс логарифмически-нормального распределения всегда положительны (и тем ближе к нулю, чем ближе к нулю ), а мода, медиана и среднее выстраиваются как раз в том порядке, который мы видим на рис. 5.8, причем они будут стремиться к слиянию (а кривая плотности - к симметрии) по мере стремления к нулю величины При этом, хотя значения логарифмически-нормальной случайной величины образуются как «случайные искажения» некоторого «истинного значения» а, последнее в конечном счете выступает не в роли среднего значения, а в роли медианы.

Логарифмически нормальная функция распределения нашла широкое применение при анализе надежности объектов техники, биологии, экономики и др. Например, функцию успешно применяют для описания наработки до отказа подшипников, электронных приборов и других изделий.

Неотрицательные случайные значения некоторого параметра распределены логарифмически нормально, если его логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Плотность распределения описывается зависимостью

где М х и σ – параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа:

(4.4)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности

(4.5)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. П6.1 приложения 6) в зависимости от значения квантиля

Математическое ожидание наработки до отказа

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно будут равны

Если v x ≤ 0,3, то полагают, что ν x = σ, при этом ошибка составляет не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона распределения в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

Оценки параметров lg x 0 и σ определяют по результатам испытаний:

Математическое ожидание М х, среднее квадратическое отклонение σ x и коэффициент вариации ν x наработки до отказа соответственно равны

Пример 4.6

Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t = 103 ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Решение

Найдем значение квантиля и определим вероятность безотказной работы:

Ответ: R (t ) = 0,0228.

Распределение Вейбулла

Функция распределения Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Описываемый ею закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона распределения В. Вейбулл использовал его при описании и анализе экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов электронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в том числе автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью

где α – параметр формы кривой распределения; λ – параметр масштаба кривой распределения.

График функции плотности распределения приведен на рис. 4.4.

Рис. 4.4.

Функция распределения Вейбулла

Функция надежности для этого закона распределения

Математическое ожидание случайной величины х равно

где Г(x ) – гамма-функция.

Для непрерывных значений х

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле

также верны формулы

Дисперсия случайной величины равна

Широкое применение при анализе и расчетах надежности изделий закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α.

Подбирая нужным образом параметры а и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не используются (а значит, медленнее стареют), опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром α < 1.

Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром α > 1. При α = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.

В случае, если все же среди есть отрицательные или нулевые члены, то тогда можно к каждому члену ряда прибавить некоторую константу, например, . По одному из свойств математического ожидания, эта операция не изменит основные статистические характеристики ряда. Эта операция позволяет перейти к логнормальному распределению в указанном случае.

В результате применения операции логарифмирования (36) к исследуемому ряду су-щественно уменьшается разброс между данными. Это можно видеть из рис. 9.16 : очевидно, что .

Функция распределения нового ряда будет равна

(37)

Но тогда

(38)

(39)

И, наконец,

(40)

Формулы (37) – (40) дают связь между логнормальным и исходным распределениями.

Рис. 9.16.

Закон распределения Пуассона (закон распределения редких явлений)

Все распределения при достаточно большом числе испытаний стремятся к нормальному закону распределения. Однако, если среди данных есть редкие, исключительные результаты, то распределения этих редких явлений, в то время когда основная масса стремится к нормальному закону, стремится к другому закону – закону распределения Пуассона . Для этого закона характерно, что при вероятности либо стремятся к нулю. В этом случае биноминальное распределение Пуассона переходит в

(41)

Где имеет тот же смысл, что и в нормальном распределении.

Закон распределения Пуассона , задаваемый формулой (41), описывает вероятность появления событий, происходящих через приблизительно равные промежутки времени, при условии, что все события происходят независимо друг от друга и с некоторой интенсивностью, пусть даже очень маленькой, но обязательно постоянной. Число испытаний при этом велико, а вероятность появления ожидаемого события очень мала и равна . Параметр тогда будет характеризовать интенсивность появления ожидаемого события в последовательности испытаний.

В таком случае попытаемся вычислить матожидание.

Характерной особенностью этого вида распределения будут следующие математические соотношения:

Пример 5 . На полигоне было отобрано 150 образцов. В некоторых из них нашли присутствие редкого элемента:

Определить закон распределения искомого элемента.

Решение . Для ответа на вопрос в задаче следует проверить выполнение равенства (45), являющегося характерным признаком распределения Пуассона . Для простоты вычислений будем брать не сотые доли, а числа, увеличенные в 100 раз, т.е.

В связи с тем что , заключаем, что распределение искомого элемента подчиняется закону распределения Пуассона . Теперь, пользуясь соотношениями (42) вычислим через теоретическое , сравним его с исходной частотой , и

Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Log}(p)
Параметры	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc < p < 1
Носитель	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k \in \{1,2,3,\dots\}
Функция вероятности	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}
Функция распределения	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}
Математическое ожидание	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}
Медиана
Мода	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1
Дисперсия	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}
Характеристическая функция	Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}

Логарифмическое распределение в теории вероятностей - класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc задаётся функцией вероятности:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 0

Тогда говорят, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y имеет логарифмическое распределение с параметром Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p . Пишут: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc .

Функция распределения случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0 , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1 .

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y \sim \mathrm{Log}(p) задаётся формулой

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_Y(t) = \frac{\ln\left}{\ln} , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p} , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} .

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \{X_i\}_{i=1}^n последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots . Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): N \sim \mathrm{P}(\lambda) - Пуассоновская случайная величина. Тогда

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB} .

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]] .

90px	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное	Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси - Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma	Многомерное нормальное | Копула

.[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]]

Напишите отзыв о статье "Логарифмическое распределение"

Отрывок, характеризующий Логарифмическое распределение

Девочка глубоко о чём-то задумалась, потом звонко рассмеялась и весело сказала:
– Это было так смешно, когда я только начала «творить»!!! Ой, ты бы знала, как это было смешно и забавно!.. Вначале, когда от меня «ушли» все, было очень грустно, и я много плакала... Я тогда ещё не знала где они, и мама, и братик... Я не знала ещё ничего. Вот тогда, видимо, бабушке стало меня жалко и она начала понемножку меня учить. И... ой, что было!.. Вначале я куда-то постоянно проваливалась, создавала всё «шиворот навыворот» и бабушке приходилось за мной почти всё время наблюдать. А потом я научилась... Даже жалко, потому что она теперь уже реже приходит... и я боюсь, что может когда-нибудь она не придёт совсем...
Впервые я увидела, насколько грустно иногда бывает этой маленькой одинокой девочке, несмотря на все эти, создаваемые ею, удивительные миры!.. И какой бы она ни была счастливой и доброй «от рождения», она всё ещё оставалась всего лишь очень маленьким, всеми родными неожиданно брошенным ребёнком, который панически боялся, чтобы единственный родной человек – её бабушка – тоже бы в один прекрасный день от неё не ушла...
– Ой, пожалуйста, так не думай! – воскликнула я. – Она тебя так любит! И она тебя никогда не оставит.
– Да нет... она сказала, что у всех нас есть своя жизнь, и мы должны прожить её так, как каждому из нас суждено... Это грустно, правда?
Но Стелла, видимо, просто не могла долго находиться в печальном состоянии, так как её личико опять радостно засветилось, и она уже совсем другим голоском спросила:
– Ну что, будем смотреть дальше или ты уже всё забыла?
– Ну, конечно же, будем! – как бы только что очнувшись от сна, теперь уже с большей готовностью ответила я.
Я не могла ещё с уверенностью сказать, что хотя бы что-то по-настоящему понимаю. Но было невероятно интересно, и кое-какие Стеллины действия уже становились более понятными, чем это было в самом начале. Малышка на секунду сосредоточилась, и мы снова оказались во Франции, как бы начиная точно с того же самого момента, на котором недавно остановились... Опять был тот же богатый экипаж и та же самая красивая пара, которая никак не могла о чём-то договориться... Наконец-то, совершенно отчаявшись что-то своей юной и капризной даме доказать, молодой человек откинулся на спинку мерно покачивавшегося сидения и грустно произнёс: