Применение фрактальных методов сжатия к изображению. Фрактальное кодирование
Во многом недостатки в качестве восстановленного изображения по сжатому формату согласно JPEG связано с тем, что при сжатии никак не учитываются специфика изображения, т.е. не выявляется его структура, характерные участки и т.д. Именно учет специфики изображения лежит в основе фрактального метода, который предложил в 1988 году Мандельброт. Согласно Мандельброту, фрактал - это структура, выделенная при анализе изображения, и обладающая схожей формой независимо от ее размеров. Например, в изображении кроны дерева, фрактал - изображение листа. Поэтому изображение можно как бы собирать из фракталов, т.е. изображение в терминах фрактального подхода есть суперпозиция фракталов. В свою очередь, отдельный фрактал может быть описан некоторым стандартным образом.
Основу фрактального подхода составляет постулат о том, что изображения реального мира имеют аффинную избыточность . Иначе говоря, существует набор аффинных коэффициентов, описывающих вращение, сжатие, расширение, искажение формы, сдвиг объектов изображения.
В начале 80-х годов Майкл Барнсли выдвинул идею получения заранее заданного изображения как аттрактора хаотического процесса. Барнсли пытался ответить на вопрос: возможно ли для данного изображения построить хаотическую систему, которая будет являться для него странным аттрактором. Он использовал систему итерируемых функций (Iterated Function System - IFS).
Наиболее распространённым примером фрактального изображения, сгенерированного с помощью IFS является изображение папоротника (рис.1.10), использованное для создания данного изображения, состоит из 4-х аффинных преобразований. Каждое преобразование кодируется считанными байтами, хотя исходное изображение может быть любого размера. Таким образом, можно заключить, что фрактальная компрессия – это поиск самоподобных областей и определение для них параметров аффинных преобразований.
Простая IFS, породившая изображения папоротника не пригодна для сжатия произвольных изображений, поскольку они обычно представляются в градациях серого, а не из значений 0 или 1 и т.к. простые IFS используются только для самоподобных изображений, т.е. когда изображения строятся из элементов, являющихся копией целого изображения.
Рис. 1.10. Изображение папоротника, сгенерированного с помощью IFS
В основе фрактального сжатия лежат несколько основных определений и теорем. Рассмотрим их вкратце.
Преобразование . Преобразование сопоставляет точке в одном пространстве точку в другом пространстве, возможно в том же самом пространстве. Преобразование называется отображением f и записывается как:
f: X 1 X 2 , если оно переводит пространство Х 1 в пространство Х 2 .
Преобразование f: X 1 X 2 в метрическом пространстве (X,d) называется сжимающим, если существует константа s , 0s<1 такая что:
d(f(x 1),f(x 2)) sd(x 1 ,x 2),
где d(x 1 ,x 2) – расстояние от точки х 1 до точки х 2 в пространстве X.
Константа s называется коэффициентом сжатия отображения f.
Рис. 1.11. Сжимающее отображение для точек в пространстве R 2
На рисунке 1.11 показан пример сжимающего отображения (R 2 ,d 2), примененного к множеству точек в R 2 . Здесь данное преобразование применялось более одного раза: сначала f(x) вычислялось для точки х, а затем преобразование f применялось к результату преобразования: f(f(x)). Такое последовательное, многократное применение преобразования называют итерациями и обозначают как: f on , т.е. f(f(…f(x)…)), где f применяется n раз.
Теорема о сжимающих отображениях : пусть f: X 1 X 2 сжимающее отображение на полном метрическом пространстве. Тогда f имеет всего одну и только одну неподвижную точку x f X и для любого х из Х последовательность { f on (x):n=1,2,…} сходиться к x f . Эта теорема лежит в основе всех подходов к фрактальному сжатию изображении.
Пусть {w 1 ,w 2 ,…,w n } конечный набор сжимающих отображений в пространстве (X,d) с коэффициентами сжатия s 1 ,s 2 ,…,s n , 0s<1. Определим отображение W, воздействующее на компактные множества точек B из Х:
W(B)=w 1 (B) w 2 (B)… w n (B)=U N n=1 (B) (1.21)
Таким образом, W осуществляет отображение в данном пространстве с коэффициентов сжатия s, где s=max{s 1 ,s 2 ,…,s n }.
Система итерирующих функций (IFS) состоит из полного метрического пространтсва (X,d) и конечного множества сжимающих отображений w n: XX c коэффициентами сжатия s n . Таким образом, IFS можно обозначить следующим образом: {X,w n:n=1,2,..,N}, или если рассматривать пространство точек в R 2 , то просто {w n }.
В теории фрактального сжатия доказывается теорема коллажа, которую можно сформулировать следующим образом.
Пусть есть двоичное изображение LR 2 и пусть есть сжимающие отображения, такие что: U N n =1 w n (L)
Покрывают L почти точно. Можно считать такое w n (L) уменьшенной копией L. Тогда теорема коллажа утверждает, что аттрактор А (аттрактором IFS называется изображение, которое является единственной неподвижной точкой IFS) системы {w n } близок к L. «Коллажом» является набор областей wn(L).
Так как аттрактор А – это результат бесконечного числа итераций IFS, то он является по своей сути фракталом.
Рис. 1.12. Иллюстрация теоремы коллажа.
(а) исходное изображение и четыре фрагмента изображения;
(б) изображение-аттрактор
Чтобы на практике применить теорему коллажа, необходимо выбрать преобразования, которые будут являться сжимающими отображениями. Одним из таких преобразований являются аффинные преобразования: T: R 2 R 2:
(1.23)
где a, b, c, d, e, f R. Аффинные преобразования могут осуществлять поворот, перемещение и масштабирование.
Н
а
рисунке 1.13 показано действие аффинного
преобразования на множество точек вR 2 .
Рис. 1.13. Воздействие аффинного преобразования на точки в пространстве R 2
Чтобы создать IFS изображение – нужно найти хотя бы некоторое приблизительное самоподобие в изображении. Затем нужно выделить точки и преобразование IFS для каждой из фигур подобия на изображении. Когда точки и преобразования для IFS определены, то вычисляются коэффициенты аффинного преобразования, используя систему уравнений, основанную на выражении1 (1.23).
Существует два алгоритма построения изображения-аттрактора с помощью IFS. Один из них это прямое применение теоремы о сжимающих отображениях, а другой – применение так называемой «игры хаоса».
Детерминированный алгоритм для построения изображения являющегося аттрактором IFS, к любому начальному изображению B применяет теорему о сжимающих отображениях. Алгоритм строит последовательность изображений A n , многократно применяя IFS отображение W={w 1 ,w 2 ,…,w n }:
A n =W on (B) (1.24)
Детерминированный алгоритм полезен с точки зрения обучения, поскольку позволяет видеть результат преобразования на каждом шаге итерации (рис 1.14).
Вероятностный алгоритм связывает с каждым аффинным преобразованием w i в IFS вероятность p i . Эти вероятности определяют, насколько плотно каждая часть изображения-аттрактора покрыта точками. Вероятностный алгоритм создаёт изображение - аттракторы высокого качества быстрее, чем детерминированный алгоритм. Это происходит не только из-за того, что вероятностный алгоритм на каждом шаге итерации выполняет меньшую работу, но и сама выполненная работа даёт лучший результат.
Рис. 1.14. Детерминированный алгоритм, применённый к IFS папоротника.
Вид изображения A n после: a)2-х, b)3-х, c)10-и, d)30-и итераций.
Реальные изображения не обладают свойством глобального самоподобия, которое присуще изображениям IFS. К тому же реальные изображения представлены в градациях серого, а не в двоичных значениях, как изображения IFS. Поэтому при фрактальном кодировании реальных изображений пытаются найти множество сжимающих преобразований, которые отображают доменные блоки (которые могут перекрываться) в множество ранговых блоков, которые покрывают изображения. Ранговые блоки могут быть одинакового размера, но чаще используется адаптивное разбиение с переменным размером блока (одним из распространённых методов адаптивного разбиение является метод квадродерева).
Рис. 1.15. Отображение доменных блоков в ранговые
при фрактальном сжатии изображения
Базовый алгоритм фрактального кодирования изображения выполняется следующим образом (Рис 1.15):
1. Изображение f разбивается на не перекрывающиеся ранговые блоки {R i }. В самом простом случае блоки могут представлять собой прямоугольники, но могут быть и другие формы.
2. Изображение покрывается последовательностью доменных блоков, которые могут пересекаться. Домены могут быть разного размера, и их количество может исчисляться сотнями и тысячами.
3. Для каждого рангового блока находят домен и соответствующее преобразование, которое наилучшим образом покрывает ранговый блок. Обычно это аффинное преобразование.
4. Если достаточно точного соответствия не получилось, то разбиваем ранговые блоки на меньшие ранговые блоки. Данный процесс продолжается до тех пор пока, не получают приемлемого соответствия или размер рангового блока достигает определённых значений.
Блок-схема такого алгоритма представлена на рис.1.16.
В настоящее время известны следующие разновидности такого алгоритма .
Алгоритм Фишера. Идея алгоритма заключается в том, чтобы некоторым образом классифицировать D-блоки и R-блоки, а поиск близкого D-блока производить в том же классе, к которому относится ранговая область. Делается это следующим образом .
Исходные
блоки разбиваются на четыре части. Для
каждой из частей подсчитывается среднее
значение
и дисперсия
пикселей. Далее блоки классифицируются
по следующему принципу. Определим три
базовых типа блоков
тип 1:
,
тип 2:
,
тип 3:
.
Понятно, что любой блок при помощи соответствующего аффинного преобразования квадрата в квадрат можно привести к виду, соответствующему одному из указанных типов. После того, как мы зафиксировали три основных класса, блоки классифицируются по дисперсии. Таким образом, в каждом из трех классов появляются 24 подкласса, итого 72 класса. Поиск близкого к R-блоку D-блока производится перебором в соответствующем классе.
Генетический алгоритм . Генетический алгоритм (ГА) представляет собой алгоритмический подход к решению экстремальных задач однокритериального выбора, основанный на моделировании основных факторов эволюционного развития популяции .
При использовании ГА для поиска
оптимальных решений каждый элемент x
X
пространства оптимизации должен быть
представлен как векторb
B
из N символов двоичного алфавита A =
{0,1}, где B = A N . Необходимо также,
чтобы пространство оптимизации X состояло
из конечного числа элементов.
Популяцией П = (χ 1 , χ 2 ,…, χM) численности M считается вектор пространства B M , координаты которого называются генотипами особей данной популяции.
Шагом ГА является переход от текущего
поколения к следующему, т.е. получение
новой популяции
из
.
В построении очередной особи новой
популяции участвуют операторы
кроссинговера (скрещивания), мутации и
случайный оператор отбора,Select
:
B M
{1,…,M}
действие которого состоит в выборе
номера особи родителя при порождении
очередного потомка.
Для определения ГА необходимо задать
оператор кроссинговера Cross
: B
B
B
B
и оператор мутацииMut
: B
B.
Действие кроссинговера
заключается в выборе случайным образом
некоторой позицииj
, равномерно
распределенной от1
до
N-1
,
после чего результат формируется в виде
Влияние
кроссинговера регулируют с помощью
вероятности
срабатывания этого оператора (в противном
случае все остается без изменений).
Рис. 1.16. Блок схема основных шагов фрактального кодирования изображения
Оператор
мутации в каждой позиции аргумента с
заданной вероятностью
заменяет ее содержимое
на случайный
элемент двоичного алфавита A, выбранный
в соответствии с равномерным распределением
(в противном случае все остается без
изменений).
Целевая функция исходной задачи,
заменяется в ГА на неотрицательную
функцию пригодности генотипа
,
где
B.
Процесс работы алгоритма представляет
собой последовательную смену поколений,
на каждом шаге которой популяция
наполняется парами потомков от особей
популяции
по формуле
где
- особи с наименьшей пригодностью
популяции
.
То есть индивиды извлекаются попарно
из
и
после кроссинговера и мутации помещаются
в
.
Изменение вероятностей мутации и
кроссинговера позволяет регулировать
работу ГА и настраивать его на конкретные
задачи.
Модифицированный генетический
алгоритм.
Опишем схему ГА в применении
к задаче фрактального сжатия . В
качестве генотипа ГА удобно взять
вектор, компонентами которого будут
пиксельные координаты области
исходного изображения, определенного
на тороидальной поверхности, и число
кодирующее аффинное преобразование
.
Имеется восемь способов аффинного
преобразования квадрата в квадрат:
поворот на четыре стороны или зеркальное
отражение и поворот на четыре стороны.
Следовательно, на кодировку этого
преобразования достаточно трех бит.
Функцию пригодности положим равной
где в нижней части под знаком суммы –
евклидово расстояние между исходным и
преобразованным блоком. Данная функция
удовлетворяет требования ГА (неотрицательна)
и адекватна для оператора рулеточной
селекции, при которой каждый индивид
популяции
t
оказывается родителем при формировании
очередной особи
популяции
t+1
с вероятностью
.
При таком представлении хромосом, определяющих данный генотип, любой вектор пространства решений всегда допустим и имеет ненулевую пригодность.
Оператор мутации для данного алгоритма – стандартный, а оператор кроссинговера был модифицирован следующим образом:
Увеличение быстродействия алгоритма.
Недостатком данного метода сжатия
является очень большой объем вычислений
для кодирования изображений. Для программ
реализующих данный метод, применяются
как обычные методы увеличения скорости
программ: целочисленная арифметика,
ассемблерная реализация и другие, так
и некоторые специфические приемы:
использование аффинных преобразований
только одного типа, различные варианты
разбиения изображения на области
.
Приведем схемы двух алгоритмов, которые
для некоторых классов изображений могут
значительно уменьшить объем вычислений.
Параметрами первого алгоритма служат
уровень потерь при кодировании и
минимальный размер областей
.
Этот алгоритм обеспечивает равномерное
качество кодирования всего изображения.
Параметром второго алгоритма является
количество областей
,
используемых для кодирования изображения,
что прямо влияет на объем вычислений,
но он не обеспечивает достаточной
точности кодирования отдельных фрагментов
изображения .
Алгоритм 1.
Алгоритм 2.
Алгоритм восстановления изображения:
Создается два изображения одинакового размера А и Б. Размер изображений может быть не равен размеру исходного изображения. Начальный рисунок областей А и Б не имеет значения. Это могут быть случайные данные.
Данные из области А преобразуются в область Б. Для этого сначала изображение Б делится на домены также как и на первой стадии процесса сжатия (расположение доменов описано в заголовке файла). Теперь для каждого домена области Б проводится соответствующее аффинное преобразование ранговых областей изображения А, описанное коэффициентами из сжатого файла. Результат помещается в область Б. На этой стадии создается совершенно новое изображение.
Данные из области Б преобразуются в область А. Этот шаг идентичен предыдущему, только изображения А и Б поменялись местами, т.е. теперь область А делится на блоки и ранговые области изображения Б отображаются на эти блоки.
Процедуры 2 и 3 повторяются до тех пор, пока изображения А и Б не станут неразличимыми.
Прямой и обратный ход (сжатие и восстановление) не эквивалентны по затратам. Прямое преобразование (сжатие) - значительно дольше, обратное преобразование (восстановление) - гораздо быстрее. Алгоритм фрактального сжатия - несимметричный алгоритм. Коэффициент симметричности (отношение времени архивации ко времени разархивации) колеблется в пределах 1000-10000.
К достоинствам фрактального метода можно отнести:
Высокие коэффициенты сжатия.
Высокую скорость обратного преобразования.
Возможность дальнейшего структурного анализа изображения .
При этом фрактальный метод обладает следующими недостатками:
Зависимостью результатов работы метода от принципов отбора базовых элементов и доменов.
Коэффициент сжатия зависит от повторяемости базовых элементов.
Алгоритм ориентирован на полноцветные изображения и изображения в градациях серого цвета. Фрактальное сжатие реализовано в формате FIF.
В настоящее время существует достаточно много алгоритмов сжатия изображений. Основой любых методов сжатия данных является использование естественной избыточности исходной информации. Сжатие изображений осуществляется либо в пространственной либо в частотной областях изображения. Наиболее яркими примерами пространственного сжатия изображений являются алгоритмы PCX, GIF, а частотного сжатия - JPEG.
В пространственной области нельзя добиться достаточно большого коэффициента сжатия, поэтому в настоящее время большинство алгоритмов сжатия работают в частотной области изображения, поскольку наиболее явно выраженная избыточность исходных данных проявляется при их спектральном анализе, как результата разложения в некотором ортогональном базисе.
В подобных алгоритмах можно выделить три основных шага:
Применение обратимых дискретных ортогональных преобразований к изображению.
Выбор наиболее значимых частотных коэффициентов.
Вторичное сжатие выбранных коэффициентов, например арифметическим или статистическим алгоритмом сжатия.
Идея фрактального сжатия основывается именно на свойстве самоподобия. Но существуют две проблемы: во – первых, ничто не гарантирует наличие свойства самоподобия у произвольного изображения; во – вторых, если даже объект и является фрактальным, как выделить ту область (или области), на основе которых сроится изображение. Следовательно, необходим некий теоретический базис, позволяющий решать эти проблемы. Такой базис существует и приведен ниже.
2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БАЗИС.
2.1ЧЕРНО – БЕЛЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ.
2.1.1.Метрические пространства.
Метрикой d в пространстве X называется функция двух аргументов d(x,y) такая, что:
Тогда (X,d) – метрическое пространство. Последовательность точек называется сходящейся к точке x, если
Метрическое пространство, где каждая последовательность Коши сходится к точке этого пространства, называется полным метрическим пространством.
Точка x называется предельной точкой множества X, если существует последовательность точек из Х, сходящаяся к точке x.
Множество в метрическом пространстве называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Множество B из (X, d) называется ограниченным , если существует точка x 0 из X и конечное значение R > 0, такие что для любого x из B выполняется условие d(x,x 0)
2.1.2 Компактные множества и пространство Хаусдорфа.
Множество C в метрическом пространстве (X, d) называется компактным , если каждая бесконечная последовательность из C имеет сходящуюся в С подпоследовательность.
Определим пространство Хаусдорфа.
Пусть (Х, d) – полное метрическое пространство. Определим H(X) как пространство, состоящее из компактных подмножеств множества Х. Т.е., каждая точка в H(X) – это компактное подмножество из Х.
Рассмотрим произвольную точку x из Х и произвольное B из H(X). Положим по определению
d(x, B) = min{d(x, y): y Î B}.
В силу компактности множества B минимум существует и ограничен. Рассмотрим теперь произвольные A,B Î H(X) и определим расстояние между ними как d(A, B) = max{d(x, B): x Î A} Компактность А обеспечивает существование и конечность максимума, но d(A, B) не задает метрику, т.к., в общем случае d(A, B) № d(B,A).
Определим новую меру расстояния h(A, B):
h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)}.
Теперь мы получили метрику в пространстве H(X). Метрика h называется метрикой Хаусдорфа , а метрическое пространство (H(X), h) – метрическим пространством Хаусдорфа .
2.1.3 Сжимающие отображения.
Преобразование f: X® X в метрическом пространстве (X, d) называется сжимающим отображением, если существует константа s, 0 £ s £ s*d(x 1 , x 2) для всех x 1 , x 2 Î X. Константа s называется коэффициентом сжатия отображения f. Точка х 0 называется неподвижной точкой (аттрактором) сжимающего отображения f, если f(x 0) = x 0 .
Теорема о сжимающих отображениях.
Пусть f: X® X сжимающее отображение на полном метрическом пространстве (X, d). Тогда f имеет одну и только одну неподвижную точку х 0 Î Х, и для любого х 0 Î Х f n (x)® x 0 .
2.1.4. Системы итерируемых функцмй.
Пусть {w 1 , … , w N } – конечный набор сжимающих отображений в (X, d) с коэффициентами сжатия s 1 , … , s N . Определим отображение W, на компактные множества точек из Х следующим образом:
W(B) = w 1 (B) И … И w N (B) для каждого B Î Н(Х).
Таким образом получили сжимающее отображение W: H(X) ® H(X) с коэффициентом сжатия
s = max{s 1 , …, s N }
Система итерируемых функций (IFS) состоит из полного метрического пространства (Х, d) и конечного множества сжимающих отображений w n:X ® X с коэффициентами сжатия s n . Коэффициент сжатия IFS определяется как s = max{s 1 , …, s N }.
IFS будем обозначать как {X, w n: n = 1,2,…, N}.
Теорема коллажа. Пусть L – точка пространства Н(Х). Задано некоторое e > 0. Выберем IFS {X, w n: n = 1,2,…,N} с коэффициентом сжатия s, 0 Ј e, Тогда h(L,A) Ј h(L, W(L))/(1-s) Ј e / (1-s) , Где A – аттрактор данной IFS.
2.1.5. Аффинные преобразования.
Аффинные преобразования – преобразования вида
Аффинные преобразования осуществляют сжатие/растяжение, перенос и поворот объекта.
2.1.5. Кодирование изображений.
Для получения коэффициентов нужного аффинного преобразования (в простейших случаях) достаточно решить 2 системы их 3-х уравнений с 3-мя неизвестными. В качестве примера рассмотрим построение Треугольника Серпинского. Это изображение описывается 3-мя преобразованиями:
1-е переводит точки {1,2,3} в точки {1,4,6};
2-e: {1,2,3} – в {4,2,5};
3-e: {1,2,3} – в {6,5,3},
(см. рисунок слева внизу).
Внизу справа показано изображение треугольника Серпинского, полученное с помощью вероятностного алгоритма и преобразований найденных указанным выше способом.
2.1.7 Декодирование изображений.
2.1.7.1 Детерминистический алгоритм.
Детерминистический алгоритм для построения изображения, являющегося аттрактором IFS, напрямую применяет теорему о сжимающем отображении к любому начальному изображению B из H(X). Алгоритм строит последовательность изображений А n , многократно применяя IFS отображение W = {w 1, … , w N}. Если мы положим A 0 =B, то процесс может быть записан в виде A n = W(A n-1). По теореме о сжимающем отображении, A n сходится к аттрактору данной IFS.Ниже приведен пример работы детерминистического алгоритма – первые несколько итераций и конечное изображение, близкое к аттрактору.
2.1.7.2 Вероятностный алгоритм.
В то время как детерминистический алгоритм является прямым применением теоремы о сжимающих отображениях, позволяющим наблюдать, как он действует на практике, этот алгоритм оказывается слишком медленным и обычно не используется на практике для построения изображений – аттракторов.
Более предпочтительным является использование вероятностного алгоритма: Вероятностный алгоритм связывает с каждым преобразованием w i из IFS вероятность p i . Эти вероятности определяют, насколько плотно каждая часть изображения – аттрактора покрыта точками.Вероятности преобразований можно вычислять как отношение модуля определителя основной матрицы преобразования к сумме модулей определителей основных матриц всех преобразований из IFS.
Алгоритм построения изображения:
1) For n = 1 to number_of_points_in_image do
2) (x,y) = random(B)
3) for I=1 to number_of_iterations do
4) p = random(0,1)
5) (x,y) = W k (x,y) //где вероятность р соответствует преобр-ю W k
Ниже приведен пример работы вероятностного алгоритма.
Можно заметить, что для вероятностного алгоритма существуют особые точки – черные изображения. Если работа вероятностного алгоритма начинается с них, то аттрактор не будет получен никогда. Отсюда вытекает следующее утверждение: если в начальном изображении присутствует хотя бы одна черная точка, то существует отличная от нуля вероятность того, что в результате работы вероятностного алгоритма получится чисто черное изображение, причем эта вероятность тем больше, чем больше количество черных точек в изображении.
Действительно, пусть изображение имеет размеры n x m. Тогда общее число точек в нем N = n x m. Пусть число черных точек равно b, пусть число точек, используемых для построения изображения равно M. Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется черной, равна b/N.
Вероятность того, что все выбранные точки окажутся черными, равна
Таким образом, для того, чтобы алгоритм сработал корректно с вероятностью большей, чем 1-e , где e О (0, 1), требуется выполнение неравенства log b/N e £ M
Рассмотрим пример. Пусть e = 0,01. Тогда для корректной работы вероятностного алгоритма при начальном изображении размера 300х300 с единственной белой точкой требуется
M > log 89999/90000 0.01 > 414463
Интересно, что, хотя вероятностный алгоритм широко используется в различных научных работах, никто из авторов ни разу не обратил внимания на данный факт.
2.1 ИЗОБРАЖЕНИЯ В ГРАДАЦИЯХ СЕРОГО.
2.2.1 Метрическое пространство.
Изображения в градациях серого можно рассматривать как вещественные функции f(x,y) , определенные на единичном квадрате I2=I x I..
На этих функциях можно ввести метрику следующим образом:
Пусть F – пространство вещественных функции, интегрируемых с квадратом на I2 с введенной метрикой. Тогда (F,d) – полное метрическое пространство и в нем выполняется теорема о сжимающих отображениях.
Поскольку работать мы будем с цифровыми изображениями, которые по сути являются матрицами фиксированных значений функции f(x,y), взятых в фиксированных точках (xi, yj), в этом случае можно пользоваться среднеквадратичной метрикой (rms):
2.2.2 PIFS и аффинные преобразования изображений в градациях серого.
В этом разделе используются IFS специального вида – системы итерируемых кусочно-определенных функций (PIFS) . PIFS состоит из полного метрического пространства X, набора подобластей D i из Х и набора сжимающих отображений w i: D i ® X, i=1, 2, … , n.
2.2.2.1 Аффинные преобразования.
Пусть w 0 i – аффинное преобразование, переводящее в себя единичный квадрат I2. W 0 i (x,y) = A i (x,y)T +b i , где А i – некоторая матрица размера 2х2, b i – вектор размера 2х1. Пусть D i – некоторая подобласть I2, и пусть R i – область значений преобразования w 0 i: w 0 i (D i) = R i . Определим отображение w i:F ® F, действующее на изображение f(x,y) :
(если w 0i - обратимо и (х,у) из R i).
Константа s i управляет контрастностью, o i управляет яркостью. w i – это базовое аффинное преобразование изображений в градациях серого.
2.2.2.2 Сжимающие отображения.
Для того, чтобы отображение wi было сжимающим потребуем выполнение условия
d 2 (w i (f), w i (g)) Ј s*d 2 (f, g).
Теорема о сжимающем отображении.
Пусть {R i } образуют покрытие множества I2, и при этом попарно не пересекаются. Пусть v i – PIFS вида v i:D i ® R i для некоторого множества доменных областей D i .Для каждого v i определим соответствующее сжатие w i на пространстве изображений F указанным выше способом. Пусть W(f(x,y)) = w i (f(x,y)) для (x ,y) из R i . Тогда W является сжатием на F, имеет единственную неподвижную точку f W и W n (f) ® f W при n ® Ґ для любых изображений f.
Теорема коллажа.
Пусть задано изображение в градациях серого f . Пусть W – сжимающее отображение такое, что d 2 (f,W(f)) Ј e . Тогда d 2 (f, f W) Ј e /(1-s), где s - коэффициент сжатия отображения W, f w - аттрактор PIFS.
2.2.3 Фрактальное кодирование.
При фрактальном кодировании изображений мы пытаемся найти множество сжимающих отображений, которые отображают доменные блоки в множество ранговых блоков.
Базовый алгоритм кодирования выглядит следующим образом:
1)Разбиваем исходное изображение на непересекающиеся ранговые блоки.
2)Покрываем изображение последовательностью доменных блоков, возможно пересекающихся (домены могут быть разных размеров и обычно их количество исчисляется тысячами).
3)Для каждого рангового блока находим домен и соответствующее преобразование, которое наилучшим образом покрывает ранговый блок
4)Если достаточно точного соответствия не получаем, то разбиваем ранговые блоки на меньшие. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не добьемся приемлемого соответствия, или размер ранговых блоков не достигнет некоторого заранее определенного предела.
2.2.4 Декодирование изображений.
Изображение декодируется путем итеративного применения преобразования W к произвольному начальному изображению g, где W(g(x,y)) = w i (g(x,y)), для (x,y) из R i . Если преобразования были выбраны корректны, то итерация W n (g) будет близка к исходному значению f при некотором приемлемом значении n. Важно, что в соответствии с теоремой о сжимающем отображении процесс будет сходиться независимо от выбора начального изображения. В качестве примера можно рассмотреть построение изображения «вид на УрГУ» на основе изображения «вид на УПИ». Слева направо – начальное изображение, 1-ая итерация, 2-ая итерация, аттрактор.
3.РЕАЛИЗАЦИЯ.
Все приведенные выше построения являются довольно абстрактными, и механизм их работы не всегда очевиден. Для иллюстрации в процессе работы были написаны программы (работающие с ЧБ изображениями, т. к. этот случай является более простым), позволяющие наглядно продемонстрировать некоторые вышеописанные процессы. Ниже приведены описания программ.
3.1 Программа Fract0.
BC/NW 2008, №2 (13): 11 .1
ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБОВ УСКОРЕНИЯ МЕТОДА ФРАКТАЛЬНОГО СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Калязин Н.А., Гольцов А.Г.
(Москва, Московский энергетический институт(технический университет), Россия)
Метод фрактального сжатия изображений представляет собой метод сжатия с потерями. Это означает, что в общем случае восстановленное изображение не совпадает с исходным. Метод фрактального сжатия основан на устранении избыточности информации, возникающей в изображениях вследствие их самоподобия. Проще говоря, изображение содержит информацию о себе самом.
Рассматриваемый метод имеет ряд преимуществ, среди которых:
- потенциально высокая степень сжатия,
- малое время распаковки,
- возможность восстанавливать лишь часть изображения,
- возможность восстанавливать изображение произвольного размера,
- широкие возможности в выборе параметров сжатия.
Метод ярко выраженно асимметричный. Это означает, что время сжатия существенно больше времени распаковки. Коэффициент симметричности метода (отношение времени сжатия ко времени распаковки) может достигать 1000-10000 . Таким образом, задача ускорения работы метода фрактального сжатия весьма актуальна.
Рассмотрим принципы, лежащие в основе метода.
Ключевым понятием метода является система итерируемых функций (IFS , Iterated Function System ), возможность применения которых к проблеме сжатия изображений впервые была исследована Майклом Барнсли .
IFS представляет собой набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (координата по оси X , координата по оси Y , яркость).
Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал Барнсли в . Им введено понятие фотокопировальной машины (рис. 1), состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран и обладающих следующими свойствами:
- линзы могут проецировать часть изображения произвольной формы в любое другое место нового изображения,
- области, в которые проецируются изображения, не пересекаются,
- линза может менять яркость и уменьшать контрастность,
- линза может зеркально отражать и поворачивать свой фрагмент изображения,
- линза должна масштабировать (причем только уменьшая) свой фрагмент изображения.
Рис.1. Машина Барнсли
Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. Одна итерация такой машины заключается в том, что по исходному изображению с помощью проектирования строится новое, после чего новое берется в качестве исходного. Утверждается, что в процессе итераций получится изображение, которое перестанет меняться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз, и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется «неподвижной точкой» или аттрактором данной IFS . Теория гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS .
Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в изображении. Благодаря самоподобию при любом увеличении наблюдается сложная структура изображения. Таким образом, система итерируемых функций задает фрактал (самоподобный математический объект дробной размерности).
Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS : «треугольник Серпинского» (рис.2) и «папоротник Барнсли» (рис. 3).
Рис. 2. «Треугольник Серпинского»
Рис.3. «Папоротник Барнсли»
«Папоротник Серпинского» задается тремя, а «папоротник Барнсли» - четырьмя аффинными преобразованиями (или «линзами»). Каждое преобразование кодируется несколькими байтами, в то время как изображение, построенное с его помощью, может занимать и несколько мегабайт.
Фактически, фрактальная компрессия – это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований.
Рис. 4. Самоподобные области в изображениях
,(1)
где a , b , c , d , e , f – действительные числа и , называется двумерным аффинным преобразованием.
Преобразование , представимое в виде
,(2)
где
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
q
,
r
,
s
,
t
,
u
– действительные числа и 
, называется трехмерным аффинным преобразованием.
Пусть - преобразование в пространстве X . Точка , такая что , называется неподвижной точкой (аттрактором преобразования).
Преобразование в метрическом пространстве ( X , d ) называется сжимающим, если существует число s : , такое, что
.(3)
Теорема о сжимающем преобразовании.
Пусть - сжимающее
преобразование в полном метрическом пространстве (
X
,
d
).
Тогда
существует в точности одна неподвижная точка этого преобразования и для любой точки последовательность 
сходится к .
Изображением называется функция S , определенная на единичном квадрате и принимающая значения от 0 до 1 или .
Пусть трехмерное аффинное преобразование записано в виде
(4)
и определено на компактном множестве декартова квадрата . Тогда оно переведет часть поверхности S в область , расположенную со сдвигом ( e , f ) и поворотом, заданным матрицей
.(5)
При этом если интерпретировать значения
функции 
как яркость
соответствующих точек, она уменьшится в
p
раз (преобразование должно быть сжимающим) и
измениться на сдвиг
q
.
Конечная совокупность
W
сжимающих
трехмерных аффинных преобразований , определенных на областях , таких, что и 
, называется системой итерируемых функций (IFS
) .
Системе итерируемых функций однозначно ставится в соответствие неподвижная точка – изображение. Таким образом, процесс компрессии заключается в поиске коэффициентов системы, а процесс декомпрессии – впроведений итераций системы до стабилизации полученного изображения (неподвижной точки IFS ).
В дальнейшем области будут именоваться блоками, а области - доменными (рис. 5).
Рис. 5. Перевод доменного блока в ранговый
Проиллюстрируем итерационный процесс восстановления ранее сжатого изображения (рис. 6).
Рис. 6. Исходное изображение
На каждой итерации производится применение IFS к текущему изображению. На рис. 7. показаны изображения, соответствующие каждой из 10-ти первых итераций (включая 0-ю).
Рис. 7. Процесс восстановления изображения
Для оценки качества восстановленного изображения применяется количественная оценка искажений, называемая пиковым соотношением сигнал/шум (PSNR – peak signal - to - noise ratio ) . Она рассчитывается по следующим формулам:
(6)
(7)
где и - количества столбов и строк, M – максимальное значение яркости пикселя, - пиксельное значение исходного изображения в i -ой строке и j -м столбце, а - пиксельное значение декодированного изображения, rms – погрешность, вычисленная по методу наименьших квадратов.
Для выявления наиболее узких мест (с точки зрения быстродействия) мною был реализован простейший алгоритм фрактального сжатия.
Опишем более подробно последовательность действий, выполняемых при сжатии изображения.
Исходное изображение разбивается на некоторое количество ранговых блоков. В общем случае ранговые блоки могут быть любой формы и размера, однако должны покрывать все изображение и не должны пересекаться.
Кроме того, исходное изображение разбивается на доменные блоки. В общем случае доменные блоки также могут быть любой формы, могут пересекаться, но обязательно должны быть больше ранговых блоков.
Далее, для каждого из ранговых блоков находится наиболее подобный ему доменный блок. При этом доменный блок может подвергаться аффинным преобразованиям, то есть может поворачиваться на любой угол, зеркально отражаться, у него могут изменяться яркость и контрастность.
В выходной файл для каждого рангового блока записываются координаты соответствующего ему доменного блока, а также коэффициенты аффинных преобразований, которые необходимо произвести над доменным блоком, чтобы он стал максимально подобен этому ранговому блоку.
В таком виде задача не имеет решения, так как для каждого из ранговых блоков необходимо перебрать бесконечное количество разнообразных по размерам и форме доменных блоков. Поэтому на практике накладываются довольно жесткие ограничения, позволяющие сократить количество перебираемых доменных блоков . Разумеется, при этом страдает качество восстановленного изображения. Приведем ограничения, наложенные при реализации алгоритма:
1. Все блоки являются квадратами со сторонами, параллельными сторонам изображения. Таким образом, изображение равномерной сеткой разбивается на набор ранговых блоков (рис. 8а).
2. При переводе доменного блока в ранговый уменьшение размеров производится ровно в 2 раза. Это существенно упрощает как компрессор, так и декомпрессор, так как задача масштабирования небольших блоков является нетривиальной.
3. Доменные блоки берутся «через точку» и по вертикали, и по горизонтали (рис. 8б).
4. При переводе доменного блока в ранговый поворот квадрата возможен только на 0, 90, 180 и 270 градусов. Также допускается зеркальное отражение. Общее число возможных преобразований (считая пустое) – 8.
Рис. 8. Принцип разбиения изображения на ранговые (а) и доменные блоки (б)
Степень подобия рангового и доменного блоков я вычислял при помощи следующей формулы:
,(8)
где r и d – соответственно значения яркостей пикселей рангового и доменного блоков, M – математическое ожидание значений яркостей соответствующего блока.
Эта формула основана на расчете коэффициента корреляции.
При восстановлении исходного изображения была использована формула
,(9)
где r – значение блока восстанавливаемого изображения, d – значение блока преобразовываемого изображения, p – изменение контраста блока, q – сдвиг по яркости блока.
Чтобы найти коэффициент p , я использовал квадратный корень из отношения дисперсий рангового и доменного блоков:
,(10)
где D – дисперсия значений яркости пикселей соответствующего блока; для тех доменных блоков, у которых msr > 0, и формулу
(11)
для тех доменных блоков, у которых msr < 0.
Чтобы найти коэффициент q , я использовал формулу:
.(12)
Очевидно, что для того, чтобы найти для каждого из ранговых блоков наиболее подобный ему доменный блок, необходимо выполнить гигантский объем вычислений.
Предположим, что n x m - размер исходного изображения в пикселях, rsz – сторона рангового блока.
Тогда количество ранговых блоков в изображении будет
,(13)
а доменных (помня, что сторона доменного блока всегда вдвое больше стороны рангового)
.(14)
Таким образом, необходимо произвести rnum x dnum поблочных сопоставлений, что уже для изображения размером 512 x 512 и стороной рангового блока 8 пикселей составляет 251 920 384. Не стоит забывать, что в рассматриваемом нами алгоритме в каждом таком сопоставлении необходимо организовать цикл по всем пикселям блока для расчета математического ожидания и дисперсии. Более того, время, затрачиваемое на сжатие изображения в градациях серого, в простейшем случае утраивается, если речь идет о цветном изображений (так как для представления информации о яркости и цвете пикселя требуется как минимум три составляющих).
Теперь очевидно, почему множество исследований направлено на ускорение метода фрактального сжатия.
Существует два основных направления таких исследований :
Сокращение числапоблочных сопоставлений,
Ускорение сопоставлений путем повышений производительности вычислений.
К первому направлению относятся методы:
Выделение особенностей доменных блоков,
Классификация доменов.
Второе направление подразумевает использование высокопроизводительных систем и параллельных вычислений.
Метод фрактального сжатия, на мой взгляд, легко подвергается распараллеливанию. Это следует из того, что каждый ранговый блок изображения обрабатывается независимо от других. Следовательно, в идеальном случае, можно достичь коэффициента ускорения, близкого к числу ранговых блоков (разумеется, при возможности запустить вычислительных процессов по числу ранговых блоков).
Основываясь на данной предпосылке, я попытался написать параллельную программу на языке Си с использованием библиотеки MPI (Message Passing Interface ). Для эксперимента использовался вычислительный кластер МЭИ, имеющий в своем составе 16 узлов, каждый из которых состоит из двух двухъядерных процессоров AMD Opteron x86_64 , 2.2 ГГц . Пиковая производительность кластера составляет 281.6 GFlop/s.
Оказалось, что для реализации параллельного алгоритма необходим лишь один вызов функции широковещательной рассылки данных. Это означает, что рассматриваемая задача крайне слабосвязная, а значит, на пересылки данных между процессами тратится минимальное количество времени.
Замер времени производился лишь в той части программы, которая непосредственно реализовывала алгоритм сжатия. То есть операции чтения из файла исходного изображения и записи в файл результатов оказались вне учета времени.
На рис. 9 представлены зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (рис. 9а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (рис. 9б) для изображения с разрешением 256 x 256 пикселей. Из диаграммы на рис. 9а следует, что характер зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов не меняется при изменении значения стороны рангового блока. Из диаграммы на рис. 9б следует, коэффициент ускорения не зависит от значения стороны рангового блока и численно весьма близок числу параллельных процессов. Последнее наблюдение подтверждает тезис о том, что метод фрактального сжатия хорошо поддается распараллеливанию.
Рис. 9. Зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (б) для изображения с разрешением 256 x 256 пикселей. Линии на каждой из диаграмм соответствуют различным значениям стороны рангового блока
На рис. 10 представлены зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (рис. 10а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (рис. 10б) при стороне рангового блока равной 4 пикселя. Из диаграммы на рис. 10а следует, что характер зависимости времени сжатия от числа процессов не меняется при изменении разрешения сжимаемого изображения. Из диаграммы на рис. 10б следует, что коэффициент ускорения не меняется и от разрешения сжимаемого изображения. Это говорит о том, что фрактальный метод сжатия одинаково хорошо распараллеливается для изображений всех размеров.
Рис. 10. Зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (б) при стороне рангового блока равной 4 пикселя. Линии на каждой из диаграмм соответствуют разрешениям исходного изображения
В дальнейшем планируется исследование методов ускорения, основанных на сокращении числапоблочных сопоставлений, а также возможность их распараллеливания. Известно , что выделение особенностей доменных блоков и классификация доменов существенно сокращают время сжатия сами по себе – параллельный алгоритм, включающий в себя эти методы ускорения, выглядит еще более перспективным. Однако написание такого параллельного алгоритма может стать довольно сложной задачей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ватолин Д. С. Тенденции развития алгоритмов сжатия статических растровых изображений // Открытые системы сегодня. - 1995. - № 8 (29). – с. 25–30.
2. Barnsley Michael F. Fractal Image Compression, AK Peters, Ltd., 1993.
3. Barnsley Michael F. Fractals Everywhere, second edition, Academic Press, San Diego , 1993.
4. Jacquin A. Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated Contractive Image Transformations // IEEE Transactions on Image Processing. 1992. Vol . 1, N 1. P . 18–30.
5. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. – 384 с.
6. Уэльстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии: Учебное пособие. – М.: Издательство Триумф, 2003, - 320 с.
7. Информационно-аналитический центр parallel . ru , “Кластерные установки России и СНГ”,http://parallel.ru/russia/russian_clusters.html.
В декабре 1992 года, перед самым Рождеством, компания Microsoft выпустила свой новый компакт-диск Microsoft Encarta. С тех пор эта мультимедиа-энциклопедия, содержащая информацию о животных, цветах, деревьях и живописных местах, не покидает списки наиболее популярных энциклопедий на компакт-дисках. В недавнем опросе Microsoft Encarta опять заняла первое место, опередив ближайшего конкурента - Комптоновскую мультимедиа-энциклопедию. Причина подобной популярности кроется в удобстве использования, высоком качестве статей и, главное, в большом количестве материалов. На диск записано 7 часов звука, 100 анимационных роликов, примерно 800 масштабируемых карт, а также 7000 качественных фотографий. И все это - на одном диске! Напомним, что обычный компакт-диск в 650 Мбайт без использования компрессии может содержать либо 56 минут качественного звука, либо 1 час видео разрешения с разрешением 320х200 в формате MPEG-1, либо 700 полноцветных изображений размером 640х480.
Чтобы разместить больше информации, необходимы достаточно эффективные алгоритмы архивации. Мы не будем останавливаться на методах архивации для видео и звука. Речь пойдет о новом перспективном алгоритме - фрактальном сжатии графической информации.
Когда в 1991 году впервые была опубликована информация о возможностях фрактального сжатия, она наделала много шуму. Майкл Барнсли, один из разработчиков алгоритма, утверждал, что разработан способ нахождения коэффициентов фрактала, сколь угодно близкого к исходной картинке.
Фракталы, эти красивые образы динамических систем, ранее использовались в машинной графике в основном для построения изображений неба, листьев, гор, травы. Красивое и, что важнее, достоверно имитирующее природный объект изображение могло быть задано всего несколькими коэффициентами. Неудивительно, что идея использовать фракталы при сжатии возникала и раньше, но считалось практически невозможным построить соответствующий алгоритм, который подбирал бы коэффициенты за приемлемое время.
Итак, в 1991 году такой алгоритм был найден. Кроме того, в дальнейших его статьях декларировался ряд уникальных возможностей новой технологии. Так, фрактальный архиватор позволяет, например, при распаковке произвольно менять разрешение (размеры) изображения без появления эффекта зернистости. Более того, он распаковывает гораздо быстрее, чем ближайший конкурент JPEG , и не только статическую графику, но и видео. В качестве примера приводилась программа, показывающая на машине с процессором i386/33 МГц цветной видеофильм с частотой 20 кадров в секунду без всякой аппаратной поддержки. В отличие от JPEG, в алгоритм изначально заложена возможность управлять степенью потерь на участках с максимальными потерями качества. Коэффициент сжатия изображений в целом примерно как у JPEG, но на некоторых реальных картинках достигалось сжатие в 10000 (!) раз.
Звучит это более чем внушительно, поэтому необходимо спокойно разобраться с преимуществами, которые обещает фрактальная компрессия, а также с возможными неприятными сторонами этого алгоритма.
История фрактального сжатия
Рождение фрактальной геометрии обычно связывают с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Одна из основных идей книги заключалась в том, что средствами традиционной геометрии (то есть используя линии и поверхности), чрезвычайно сложно представить природные объекты. Фрактальная геометрия задает их очень просто.
Четыре года спустя появилась статья Майкла Барнсли и Стефана Демко, в которой приводилась уже достаточно стройная теория IFS. В 1987 году Барнсли основал Iterated Systems, компанию, основной деятельностью которой является создание новых алгоритмов и ПО с использованием фракталов.
Всего через год, в 1988 году, он выпустил фундаментальный труд "Фракталы повсюду". Помимо описания IFS, в ней был получен результат, известный сейчас как Collage Theorem, который лежит в основе математического обоснования идеи фрактальной компрессии.
Если построение изображений с помощью фрактальной математики можно назвать прямой задачей, то построение по изображению IFS - это обратная задача. Довольно долго она считалась неразрешимой, однако Барнсли, используя Collage Theorem, построил соответствующий алгоритм. (В 1990 и 1991 годах эта идея была защищена патентами.) Если коэффициенты занимают меньше места, чем исходное изображение, то алгоритм является алгоритмом архивации.
Первая статья об успехах Барнсли в области компрессии появилась в журнале BYTE в январе 1988 года. В ней не описывалось решение обратной задачи, но приводилось несколько изображений, сжатых с коэффициентом 1:10000, что было совершенно ошеломительно. Но практически сразу было отмечено, что несмотря на броские названия ("Темный лес", "Побережье Монтере", "Поле подсолнухов") изображения в действительности имели искусственную природу. Это, вызвало массу скептических замечаний, подогреваемых еще и заявлением Барнсли о том, что "среднее изображение требует для сжатия порядка 100 часов работы на мощной двухпроцессорной рабочей станции, причем с участием человека".
Отношение к новому методу изменилось в 1992 году, когда Арнауд Джеквин, один из сотрудников Барнсли, при защите диссертации описал практический алгоритм и опубликовал его. Этот алгоритм был крайне медленным и не претендовал на компрессию в 10000 раз (полноцветное 24-разрядное изображение с его помощью могло быть сжато без существенных потерь с коэффициентом 1:8 - 1:50); но его несомненным достоинством было то, что вмешательство человека удалось полностью исключить. Сегодня все известные программы фрактальной компрессии базируются на алгоритме Джеквина. В 1993 году вышел первый коммерческий продукт компании Iterated Systems. Ему было посвящено достаточно много публикаций, но о коммерческом успехе речь не шла, продукт был достаточно "сырой", компания не предпринимала никаких рекламных шагов, и приобрести программу было тяжело.
В 1994 году Ювал Фишер были предоставил во всеобщее пользование исходные тексты исследовательской программы, в которой использовалось разложение изображения в квадродерево и были реализованы алгоритмы оптимизации поиска. Позднее появилось еще несколько исследовательских проектов, которые в качестве начального варианта программы использовали программу Фишера.
В июле 1995 года в Тронхейме (Швеция) состоялась первая школа-конференция, посвященная фрактальной компрессии. Таким образом, многие важные события в области фрактальной компрессии произошли за последние три года: алгоритм только-только начинает развиваться.
Идея
Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций изображение представляется в более компактной форме. Прежде чем рассматривать процесс архивации, разберем, как IFS строит изображение.
Строго говоря, IFS - это набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (x координата, у координата, яркость).
Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей.
Одна шаг Машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной IFS. Collage Theorem гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении.
Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS треугольник Серпинского и папоротник Барнсли Первое задается тремя, а второе - питью аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.
Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований.
В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.
Оценка потерь и способы их регулирования
До сих пор мы не затронули несколько важных вопросов. Например, что делать, если алгоритм не может подобрать для какого-либо фрагмента изображения подобный ему? Достаточно очевидное решение - разбить этот фрагмент на более мелкие и попытаться поискать для них. Однако понятно, что процедуру эту нельзя повторять до бесконечности, иначе количество необходимых преобразований станет так велико, что алгоритм перестанет быть алгоритмом компрессии. Следовательно, допускаются потери в какой-то части изображения.
Для фрактального алгоритма компрессии, как и для других алгоритмов сжатия с потерями, очень важны механизмы, с помощью которых можно будет регулировать степень сжатия и степень потерь. К настоящему времени разработан достаточно большой набор таких методов. Во-первых, можно ограничить количество преобразований, заведомо обеспечив степень сжатия не ниже фиксированной величины. Во-вторых, можно потребовать, чтобы в ситуации, когда разница между обрабатываемым фрагментом и наилучшим его приближением будет выше определенного порогового значения, этот фрагмент дробился обязательно (для него обязательно заводится несколько линз). В-третьих, можно запретить дробить фрагменты размером меньше, допустим, четырех точек. Изменяя пороговые значения и приоритет этих условий, можно очень гибко управлять коэффициентом компрессии изображения: от побитного соответствия, до любой степени сжатия.
Возможности масштабирования
Итак, мы выяснили, что IFS задает фрактальную структуру, сколь угодно близкую к нашему изображению. При внимательном рассмотрении процесса построения изображения с ее помощью становится понятно, что восстанавливаемое изображение может иметь любое (!) разрешение. В самом деле, возвращаясь к аналогии с Фотокопировальной Машиной, можно сказать, что нам не важно до какой сетки растра будет огрубляться установившееся неподвижное изображение. Ведь Машина работает вообще с непрерывными экранами.
На этапе архивации проводится распознавание изображения, и в виде коэффициентов хранится уже не растровая информация, а информация о структуре самого изображения. Именно это и позволяет при развертывании увеличивать его в несколько раз. Особенно впечатляют примеры, в которых при увеличении изображений природных объектов проявляются новые детали, действительно этим объектам присущие (например, когда при увеличении фотографии скалы она приобретает новые, более мелкие неровности).
Но не все так гладко, как может показаться. Если изображение однородно (на фотографии только скала), то при увеличении получаются отличные результаты, однако, если сжимать изображение натюрморта, то предсказать, какие новые фрактальные структуры возникнут, очень сложно. Впрочем, вдвое-втрое можно увеличить практически любое изображение, при архивации которого задавалась небольшая степень потерь.
Масштабирование - уникальная особенность, присущая фрактальной компрессии. Со временем ее, видимо, будут активно использовать как в специальных алгоритмах масштабирования, так и во многих приложениях. Действительно, этого требует концепция "приложение в окне". Было бы неплохо, если бы изображение, показываемое в окне 100х100, хорошо смотрелось при увеличении на полный экран - 1024х768.
Сравнение с JPEG
Сегодня наиболее распространенным алгоритмом архивации графики является JPEG . Сравним его с фрактальной компрессией.
Во-первых, заметим, что и тот, и другой алгоритм оперируют 8-битными (в градациях серого) и 24-битными полноцветными изображениями. Оба являются алгоритмами сжатия с потерями и обеспечивают близкие коэффициенты архивации. И у фрактального алгоритма, и у JPEG существует возможность увеличить степень сжатия за счет увеличения потерь. Кроме того, оба алгоритма очень хорошо распараллеливаются.
Различия начинаются, если мы рассмотрим время, необходимое алгоритмам для архивации/разархивации. Так, фрактальный алгоритм сжимает в сотни и даже в тысячи раз дольше, чем JPEG . Распаковка изображения, наоборот, произойдет в 5-10 раз быстрее. Поэтому, если изображение будет сжато только один раз, а передано по сети и распаковано множество раз, то выгодней использовать фрактальный алгоритм.
|
|
1. Фракталы и история возникновения метода фрактального сжатия
В декабре 1992 года, перед самым Рождеством, компания Microsoft выпустила свой новый компакт-диск Microsoft Encarta. С тех пор эта мультимедиа-энциклопедия, содержащая информацию о животных, цветах, деревьях и живописных местах, не покидает списки наиболее популярных энциклопедий на компакт-дисках. В недавнем опросе Microsoft Encarta опять заняла первое место, опередив ближайшего конкурента - Комптоновскую мультимедиа-энциклопедию. Причина подобной популярности кроется в удобстве использования, высоком качестве статей и, главное, в большом количестве материалов. На диск записано 7 часов звука, 100 анимационных роликов, примерно 800 масштабируемых карт, а также 7000.качественных фотографий. И все это - на одном диске! Напомним, что обычный компакт-диск в 650 Мбайт без использования компрессии может содержать либо 56 минут качественного звука, либо 1 час видео разрешения с разрешением 320х200 в формате MPEG-1, либо 700 полноцветных изображений размером 640х480. Чтобы разместить больше информации, необходимы достаточно эффективные алгоритмы архивации. Мы не будем останавливаться на методах архивации для видео и звука. Речь пойдет о новом перспективном алгоритме - фрактальном сжатии графической информации.
Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» (fractus - состоящий из фрагментов, лат.) были предложены математиком Б. Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии обычно связывают с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Одна из основных идей книги заключалась в том, что средствами традиционной геометрии (то есть используя линии и поверхности), чрезвычайно сложно представить природные объекты. Фрактальная геометрия задает их очень просто.
Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всём фрактале. Фракталы, эти красивые образы динамических систем, ранее использовались в машинной графике в основном для построения изображений неба, листьев, гор, травы. Красивое и, что важнее, достоверно имитирующее природный объект изображение могло быть задано всего несколькими коэффициентами.
Существует большое разнообразие фракталов. Потенциально наиболее полезным видом фракталов являются фракталы на основе системы итеративных функций (Iterated Function System - IFS) . Метод IFS применительно к построению фрактальных изображений, изобретённый большим их знатоком Майклом Барнсли (Michael Barnsley) и его коллегами из Технологического института шт. Джорджия (Georgia Institute of Technology) , базируется на самоподобии элементов изображения и заключается в моделировании рисунка несколькими меньшими фрагментами его самого. Специальные уравнения позволяют переносить, поворачивать и изменять масштаб участков изображения; таким образом, эти участки служат компоновочными блоками остальной части картины.
Одним из наиболее поразительных (и знаменитых) IFS -изображений является чёрный папоротник, в котором каждый лист в действительности представляет собой миниатюрный вариант самого папоротника (см. рис.). Несмотря на то, что картинка создана компьютером методом аффинных преобразований, папоротник выглядит совершенно как настоящий. Выдвинуто предположение, что природа при кодировании генетической структуры растений и деревьев пользуется чем-то близким к методу IFS -фракталов.
IFS -фракталы имеют одно вполне реальное и полезное применение: с их помощью можно сжимать большие растровые изображения до долей их нормальных размеров. Этот утверждение следует из теоремы Банаха о сжимающих преобразованиях (также известной как Collage Theorem ) и является результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли в области IFS . Вооружившись этим выводом, он ушёл из института, запатентовал свое открытие и основал компанию Iterated Systems Incorporated . О своём достижении он рассказал миру в журнале Byte за январь 1988 г. Однако там отсутствовали какие-либо сведения о решении обратной задачи: как по заданному изображению найти аффинные преобразования. К тому моменту у этой задачи не было даже намёка на решение. В статье Барнсли было показано несколько реалистичных фрактальных изображений, но все они были созданы вручную.
В идеале хотелось бы уметь находить для любого изображения систему аффинных преобразований (IFSM) , воспроизводящую изображение с заданной точностью. Однако решение находилось немного в стороне. Первым нашёл его именно студент Барнсли, Арно Жакан (Arnaud Jacquin) . Предложенный метод получил название «Система итерируемых кусочно-определённых функций» (Partitioned Iterated Function System - PIFS) . Согласно этой схеме, отдельные части изображения подобны не всему изображению, а только его частям.
2. Математические основы фрактального сжатия
Фрактальные методы сжатия позволяют сжать информацию в 10 000 раз. Все известные программы фрактальной компрессии базируются на алгоритме Джеквина - сотрудника Барнсли, который в 1992 году при защите диссертации описал практический алгоритм фрактального сжатия. Несомненным достоинством работы было то, что вмешательство человека в процесс сжатия удалось полностью исключить.
Рассмотрим механизм фрактального сжатия данных. Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций изображение представляется в более компактной форме. Прежде чем рассматривать процесс архивации, разберем, как IFS строит изображение. Строго говоря, IFS - это набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (x координата, у координата, яркость). Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей. Одна шаг Машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной IFS. Collage Theorem гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении. Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS треугольник Серпинского и папоротник Барнсли Первое задается тремя, а второе - питью аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт. Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований. В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.
Итак, рассмотрим математическое обоснование возможности фрактального сжатия.
Есть отображение, где - множество всех возможных изображений. W является объединением отображений w i :
Такие отображения называются сжимающими , и для них справедливо следующее утверждение:
Если к какому-то изображению F 0 мы начнём многократно применять отображение W таким образом, что
Это конечное изображение F называют аттрактором , или неподвижной точкой отображения W . Также известно, что если преобразования w i являются сжимающими, то их объединение W тоже является сжимающим.
3. Типовая схема фрактального сжатия
С учётом вышесказанного, схема компрессии выглядит так: изображение R разбивают на кусочки r i , называемые ранговыми областями . Далее для каждой области r i находят область d i и преобразование w i такие, что выполняются следующие условия:
1. d i по размерам больше r i .
2. w i (r i ) имеет ту же форму, размеры и положение, что и r i .
3. Коэффициент u преобразования w i должен быть меньше единицы.
4. Значение должно быть как можно меньше.
Первые три условия означают, что отображение w i будет сжимающим. А в силу четвёртого условия кодируемое изображение R и его образ W (R) будут похожи друг на друга. В идеале R = W (R) . А это означает, что наше изображение R и будет являться неподвижной точкой W . Именно здесь используется подобие различных частей изображения (отсюда и название - «фрактальная компрессия» ). Как оказалось, практически все реальные изображения содержат такие похожие друг на друга, с точностью до аффинного преобразования, части.
Таким образом, для компрессии изображения W нужно:
1. Разбить изображение на ранговые области r i (непересекающиеся области, покрывающие все изображение).
2. Для каждой ранговой области r i найти область d i (называемую доменной ), и отображение w i , с указанными выше свойствами.
3. Запомнить коэффициенты аффинных преобразований W , положения доменных областей d i , а также разбиение изображения на домены.
Соответственно, для декомпрессии изображения нужно будет:
1. Создать какое-то (любое) начальное изображение R 0 .
2. Многократно применить к нему отображение W (объединение w i ).
3. Так как отображение W сжимающее, то в результате, после достаточного количества итераций, изображение придёт к аттрактору и перестанет меняться. Аттрактор и является нашим исходным изображением. Декомпрессия завершена.
Именно это и позволяет при развертывании увеличивать его в несколько раз. Особенно впечатляют примеры, в которых при увеличении изображений природных объектов проявляются новые детали, действительно этим объектам присущие (например, когда при увеличении фотографии скалы она приобретает новые, более мелкие неровности).
4. Оценка коэффициента сжатия и вычислительных затрат
Размер данных для полного определения ранговой области рассчитывается по формуле:
где Nb и Mb - количество бит, необходимых для хранения каждой из координат, рассчитываются по следующим формулам:
где V и H - вертикальный и горизонтальный размеры изображения, Size - размер доменного блока, Step - шаг поиска доменной области.
Для хранения преобразования T необходимо 3 бита.
Для хранения U и V необходимо 9 и 7 бит соответственно.
Для примера возьмём изображение размером 256x256 пикселей, и будем исследовать доменную область с шагом 4 пикселя.
Nd = Md = (256 - 8 + 1) / 4 = 62
Nb = Mb = CEIL (log 2 62) = 6
Z = 12 + 3 + 6 + 6 = 27
Коэффициент сжатия S составляет
S = (8 * 8 * 8) / 27 = 19
Коэффициент сжатия не так велик, как хотелось бы, но и параметры сжатия далеко не оптимальны, и коэффициент может увеличиваться в разы.
А теперь оценим вычислительную сложность данного алгоритма. На этапе компрессии мы должны перебрать все доменные области - 1"024 штуки, для каждой - все ранговые - 58"081 штука (при шаге 1), а для каждой из них, в свою очередь, - все 8 преобразований. Итого получается 1"024 х 58"081 х 8 = 475"799"552 действия. При этом эти действия не тривиальны и включают несколько матричных операций, которые, в свою очередь, включают операции умножения и деления чисел с плавающей точкой.
К сожалению, даже на современном ПК (а именно для таких машин хотелось реализовать алгоритм) понадобится недопустимо много времени для того, чтобы сжать изображение размером всего 256 х 256 пикселов. Очевидно, что рассмотренный алгоритм нуждается в оптимизации.