Линейное программирование. Методологические основы разработки управленческих решений Решение называют оптимальным

В настоящие дни в образовательную программу специальностей, связанных с экономикой, финансами и менеджментом, входит дисциплина с названием «Методы оптимальных решений». В рамках данной дисциплины студенты изучают математическую сторону оптимизации, исследования операций, принятия решений и моделирования. Главная особенность данной дисциплины определяется совместным изучением математических методов с их приложением к решению экономических задач.

Задачи на оптимизацию: общие сведения

Если рассматривать общий случай, то смысл задачи на оптимизацию заключается в нахождении так называемого оптимального решения, которое максимизирует (минимизирует) целевую функцию при некоторых условиях-ограничениях.

В зависимости от свойств функций задачи на оптимизацию можно разделить на два вида:

задача линейного программирования (все функции линейны);
задача нелинейного программирования (хотя бы одна из функций не является линейной).

Частными случаями задач на оптимизацию являются задачи дробно-линейного, динамического и стохастического программирования.

Наиболее изученными задачами на оптимизацию являются задачи линейного программирования (ЗЛП), решения которых принимают только целочисленные значения.

ЗЛП: формулировка, классификация

Задача линейного программирования в общем случае состоит в нахождении минимума (максимума) линейной функции при некоторых линейных ограничениях.

Общей ЗЛП называют задачу вида

при ограничениях

где — переменные, — заданные действительные числа, — целевая функция, — план задачи, (*)-(***) — ограничения.

Важной особенностью ЗЛП является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.

Практическое экономическое приложение методы оптимальных решений находят при решении задач следующих видов:

задачи о смесях (т.е. планирование состава продукции);
задачи оптимального распределения ресурсов в производственном планировании;

ЗЛП: примеры

Задача о смесях

Решение задачи о смесях состоит в отыскании наиболее дешевого набора, состоящего из определенных исходных материалов, которые обеспечивают получение смеси с заданными свойствами.

Задача о распределении ресурсов

Предприятие осуществляет выпуск n различных изделий, для производства которых требуется m различных видов ресурсов. Запасы используемых ресурсов ограничены и составляют соответственно b 1 , b 2 ,…, b m у.е. Кроме того, известны технологические коэффициенты a ij , которые показывают какое количество единиц i -го ресурса необходимо для производства одной единицы изделия j -го вида (). Прибыль, которую получает предприятие при реализации изделия j -го вида, составляет c j ден.ед. Необходимо составить план выпуска продукции, прибыль предприятия при реализации которого будет наибольшей.

Условия задач о смесях и распределении ресурсов часто записываются в виде таблиц.

Ресурсы	Потребности			Запасы
Ресурсы	B 1	…	B n	Запасы
A 1				b 1
…				…
A m				b m
Прибыль	c 1	…	c n

Задачи о смесях и распределении ресурсов можно решить несколькими способами:

графический метод (в случае малого числа переменных в математической модели);
симплекс-метод (в случае числа переменных в математической модели больше двух).

К транспортной задаче относится класс задач, которые имеют определенную специфическую структуру. Простейшей транспортной задачей является задача о перевозках продукта в пункты назначения из пунктов отправления при минимальных затратах на перевозку всех продуктов.

Для наглядности и удобства восприятия условие транспортной задачи принято записывать в таблицу следующего вида:

В общем случае решение транспортной задачи выполняется в несколько этапов:

I этап: построение первоначального опорного плана;
II этап: проверка опорного плана на оптимальность;
III этап: уточнение опорного плана, если он не является оптимальным.

Существует несколько методов получения первоначального опорного плана, например, метод северо-западного угла, метод Фогеля, метод минимальных стоимостей.

Проверка плана на оптимальность выполняется с применением метода потенциалов:

— для занятых клеток,
— для незанятых клеток.

Если план не является оптимальным, то выполняется построение цикла и перераспределение перевозок.

Заключение

В рамках одной статьи нет возможности охватить всю теорию и практику методов оптимальных решений, поэтому рассмотрены только некоторые моменты, позволяющие дать общее представление о данной дисциплине, задачах и методах их решения.

Кроме того, неплохо отметить, что для проверки полученных решений задач оптимизации можно очень эффективно применять надстройку «Поиск решения» пакета MS Excel. Но это уже другая история, собственно, как и подробное рассмотрение методов решения задач на оптимизацию.

Приведем несколько учебников для изучения методов оптимального решения:

Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 176 с.
Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 407 с.

Решение методов оптимизации на заказ

Мы можем помочь вам с решением любых задач по методам оптимальных решений. Заказать решение задач можно у нас на сайте. Достаточно лишь указать срок и прикрепить файл с заданием. вашего заказа можно бесплатно.

Задача линейного программирования (ЗЛП) − это задача нахождения наибольшего (или наименьшего) значения линейной функции на выпуклом многогранном множестве.

Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования. Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи.

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования в канонической форме:

(1)

(2)

(3)

Метод искусственного базиса

Как было паказано выше, для задачи, записанной в канонической форме, если среди векторов столбцов матрицы A есть m единичных и линейно независимых , можно непосредственно указать опорный план. Однако для многих задач линейного программирования, записанных в канонической форме и имеющих опорные планы, среди векторов столбцов матрицы A не всегда есть m единичных и линейно независимых. Рассмотрим такую задачу:

Пусть требуется найти максимум функции

при условиях

где первы n элементы нули. Переменные называются искусственными . Векторы столбцы

(28)

образуют так называемый искусственный базис m -мерного векторного пространства.

Так как расширенная задача имеет опорный план, то ее решение можно найти симплекс методом.

Теорема 4. Если в оптимальном плане расширенной задачи (24)−(26) значения искусственных переменных , то является оптимальным планом задачи (21)−(23).

Таким образом, если в найденном оптимальном плане расширенной задачи, значения искусственных переменных равны нулю, то получен оптимальный план исходной задачи. Остановимся более подробно на нахождении решения расширенной задачи.

Значение целевой функции при опорном плане (27):

Замечаем, что F(X) и состоят из двух независимых частей, одна из которых зависим от M , а другая − нет.

После вычисления F(X) и их значения, а также исходные данные расширенной задачи заносят в симплекс таблицу, как было показано выше. Разность заключается лишь в том, что данная таблица содержит на одну строку больше, чем обычная симплекс таблица. При этом в (m +1)-ю строку помещают коэффициенты, не содержащие M , а в (m +2)-ю строку − коэффициенты при M .

При переходе от одного опорного плана к другому, в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательному числу (m +2) строки. Искусственный вектор, исключенный из базиса не имеет смысла вновь ввести в базис. При переходе к другому опорному плану, может случится так, что ни один из искусственных векторов из базиса не будет исключен. Пересчет симплекс таблицы при переходе от одного опорного плана к другому производят по обычным правилам симплекс метода (смотри выше).

Итерационный процесс ведут по m +2 строке до тех пор, пока элементы m +2 строки, соответствующие переменным не станут неотрицательными. При этом, если искусственные переменные исключены из базиса, то найденный план расширенной задачи отвечает некоторому опорному плану исходной задачи.

m +2 строки, столбца x 0 отрицателен, то исходная задача не имеет решения.

Если же не все искусственные переменные исключены из базиса и элемент m +2 строки, столбца x 0 равен нулю, то опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит минимум один из векторов искусственного базиса.

Если исходная задача содержит несколько единичных векторов, то их следует включить в искусственный базис.

Если в ходе итераций m +2 строка больше не содержит отрицательных элементов, то итерационный процесс продолжают с m +1 строкой, до тех пор, пока не найден оптимальный план расширенной задачи или не выявлен неразрешимость задачи.

Таким образом, процесс нахождения решения задачи линейного программирования (21)−(23) методом искусственного базиса включает следующие основные этапы:

Составляют расширенную задачу (24)−(26).
Находят опорный план расширенной задачи.
Используя симплекс метод исключают искусственные векторы из базиса. В результате находят опорный план исходной задачи или фиксируют ее неразрешимость.
Используя найденный опорный план ЗЛП (21)−(23), или находят оптимальный план исходной задачи, или устанавливают ее неразрешимость.

Для решения задач линейного программирования онлайн, пользуйтесь калькулятором

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) формулируется следующим образом – найти переменные задачи x 1 , x 2 , ..., x n , которые обеспечивают экстремум целевой функции

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования (ЗЛП) называется любой n -мерный вектор X =(x 1 , x 2 , ..., x n), удовлетворяющий системе ограничений равенств и неравенств. Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений D .

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение, при котором целевая функция Z (X ) достигает экстремума.

Каноническая задача линейного программирования (КЗЛП) имеет вид

(1.2)

Она отличается от ОЗЛП тем, что её система ограничений является системой только уравнений и все переменные неотрицательные.

Приведение ОЗЛП к каноническому виду ЗЛП:

Чтобы заменить исходную задачу минимизации на задачу максимизации (или наоборот задачу максимизации на задачу минимизации) достаточно целевую функцию умножить на «-1» и искать максимум (минимум) полученной функции;

Если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных x n +1 ≥ 0 они преобразуются в равенства:

неравенство a i 1 x 1 +…+a in x n ≥ b i заменяется на равенство a i 1 x 1 +…+a in x n + x n +1 = b i ,

неравенство a i 1 x 1 +…+a in x n ≤ b i заменяется на равенство a i 1 x 1 +…+a in x n + x n +1 = b i ;

Если некоторая переменная x k не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательны-ми переменными: x k = x " k – x ” k , где x " k ≥ 0. x ” k ≥ 0.

Графический метод решения ЗЛП с двумя неизвестными

ЗЛП с двумя неизвестными имеет вид:

Метод основан на возможности графического изображения области допустимых решений и нахождении среди них оптимального решения.

Область допустимых решений (ОДР) задачи является выпуклым многоугольником и строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из неравенств ограничений задачи.

Областью решения неравенства a i 1 x 1 +a i 2 x 2 ≤ b i является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая a i 1 x 1 +a i 2 x 2 = b i , соответствующая этому неравенству, делит координатную плоскость. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на разделяющей прямой подставить в неравенство:

Если неравенство справедливо, то областью решений является полуплоскость, содержащая эту точку;

Если неравенство не справедливо, то областью решений является полуплоскость, не содержащая эту точку.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального используются линии уровня.

Линией уровня называется прямая с 1 x 1 +с 2 x 2 = l , где l = const, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Все линии уровня параллельны между собой.

Градиент целевой функции grad Z (X ) задает вектор нормали C = (c 1 , c 2) линий уровня. Целевая функция на линиях уровня возрастает, если линии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывает – в противоположном направлении.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР и по отношению к которой ОДР находится в одной из полуплоскостей. ОДР задачи имеет не более двух опорных прямых.

Оптимальное решение ЗЛП лежит на опорной прямой в угловой точке многоугольника ОДР. ЗЛП имеет единственное решение, если опорная прямая проходит через одну угловую точку ОДР, бесконечное множество решений, если опорная прямая проходит через ребро многоугольника ОДР. ЗЛП не имеет решения, если ОДР является пустым множеством (когда система ограничений несовместна) и если ОДР неограниченна в направлении экстремума (целевая функция неограниченна).

Алгоритм графического метода решения ЗЛП с двумя неизвестными:

Построить ОДР.

Построить вектор нормали C = (c 1 , c 2) и линию уровня с 1 x 1 +с 2 x 2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору С .

Передвигать линию уровня до опорной прямой в направлении вектора С в задаче на max, или в противоположном направлении – в задаче на min.

Если при перемещении линии уровня в направлении экстремума ОДР уходит в бесконечность, то ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих ОДР и имеющих общие точки с опорной прямой. Если экстремум достигается в двух угловых точках, то ЗЛП имеет бесконечное множество решений, принадлежащих ребру ОДР, ограниченному этими угловыми точками. В данном случае вычисляются координаты обеих угловых точек.

Вычислить значение целевой функции в точке экстремума.

Симплекс-метод решения ЗЛП

Симплекс-метод основывается на следующих положениях:

ОДР задачи линейного программирования является выпуклым множеством с конечным числом угловых точек;

Оптимальным решением ЗЛП является одна из угловых точек ОДР. Угловые точки ОДР алгебраически представляют некоторые базисные (опорные) решения системы ограничений ЗЛП.

Базисным (опорным) решением ЗЛП называется такое допустимое решение X 0 =( x 10 , x 20 , ..., x m 0 , 0,…0), для которого векторы условий (столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений) линейно независимы.

Ненулевые координаты x 10 , x 20 , ..., x m 0 решения X 0 называются базисными переменными, оставшиеся координаты решения X 0 - свободными переменными. Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы ограничений ЗЛП (числа линейно независимых уравнений в системе ограничений ЗЛП). Далее считаем, что система ограничений ЗЛП состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r = m .

Смысл симплекс-метода заключается в целенаправленном переходе от одного опорного решения ЗЛП к другому (т.е. от одной угловой точки ОДР к другой) в направлении экстремума и состоит в последовательности этапов:

Найти начальное опорное решение;

Осуществить переход от одного опорного решения к другому;

Определить критерий достижения оптимального решения или сделать заключение об отсутствии решения.

Алгоритм выполнения Симплекс-метода ЗЛП

Алгоритм симплекс-метода осуществляет переход от одного опорного решения ЗЛП к другому в направлении экстремума целевой функции.

Пусть ЗЛП задана в каноническом виде (1.2) и выполнено условие

b i ≥ 0, i =1,2,…,m , (1.3)

соотношение (1.3) всегда можно выполнить, домножив соответствующее уравнение на «-1» в случае отрицательности b i . Также считаем, что система уравнений в ограничениях задачи (1.2) линейно независима и имеет ранг r = m . При этом вектор опорного решения имеет m ненулевых координат.

Пусть исходная задача (1.2), (1.3) приведена к виду, где базисные переменные x 1 , x 2 , ..., x m выражены через свободные переменные x m + 1 , x m + 2 , ..., x n

(1.4)

На основе этих соотношений построим таблицу 1

Таблица 1.

Таблица 1 называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобразования связаны с изменениями содержания этой таблицы.

Алгоритм с имплекс-метода :

1. В последней строке Z симплекс-таблицы в задаче на min находят наименьший положительный элемент (в задаче на max - наименьший отрицательный элемент), не считая свободного члена. Столбец, ответствующий этому элементу, называется разрешающим.

2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наименьшее из этих симплекс - отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент.

4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс - отношений, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симлекс - таблицы.

5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной и наоборот. Симплекс - таблица преобразуется следующим образом (таблица 2):

Таблица 2

6. Элемент таблицы 2, соответствующий разрешающему элементу таблицы 1, равен обратной величине разрешающего элемента.

7. Элементы строки таблицы 2, соответствующие элементам разрешающей строки таблицы 1, получаются путем деления соответствующих элементов таблицы 1 на разрешающий элемент.

8. Элементы столбца таблицы 2, соответствующие элементам разрешающего столбца таблицы 1, получаются путем деления соответствующих элементов таблицы 1 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.

9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника : мысленно вычерчиваем прямоугольник в таблице 1, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом (Рэ), а другая – с элементом, который мы ищем; обозначим элемент в новой таблице 2 через (Нэ), а элемент, стоящий на этом же месте в старой таблице 1 – через (Сэ). Остальные две вершины А и В дополняют фигуру до прямоугольника. Тогда искомый элемент Нэ из таблицы 2 равен Нэ = Сэ – А*В/Рэ.

10. Критерий оптимальности. Как только получится таблица, у которой в последней строке в задаче на min все элементы отрицательны (в задаче на max все элементы положительны), считается, что экстремум найден. Оптимальное значение целевой функции равно свободному члену в строке Z, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные полагаются равными нулю.

11.Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).

Метод искусственного базиса решения ЗЛП

Алгоритм симплекс-метода применим, если выделено какое-либо опорное решение ЗЛП, т. е, исходная ЗЛП (1.2) приведена к виду (1.4). Метод искусственного базиса предлагает процедуру построения такого опорного решения.

Метод искусственного базисаоснован на введении искусственных базисных переменных y 1 , y 2 ,…, y m , с помощью которых система ограничений ЗЛП (2.2)

(1.5)

может быть преобразована к виду

(1.6)

Системы (1.5) и (1.6) будут эквивалентны в том случае, если все y i будут равны нулю. Как и раньше мы считаем, что все b i ≥ 0. Для того чтобы у i были равны 0, мы должны преобразовать задачу таким образом, чтобы все искусственные базисные переменные y i перешли в свободные переменные. Такой переход можно сделать алгоритмом симплекс метода относительно дополнительной целевой функции

F (y ) = y 1 + y 2 + ... + y m = d 0 – (d 1 x 1 + d 2 x 2 +…+d n x n). (2.7)

Исходная симплекс таблица для данного метода имеет вид

Сначала симплекс таблица преобразуется относительно целевой функции F (y ) до получения опорного решения. Опорное решение найдено, когда выполнен следующий критерий: F (y ) = 0 и все искусственные переменные у i переведены в свободные переменные. Затем из симплекс таблицы вычеркивается строка для F (y ) и столбцы для у i и решают задачу для исходной целевой функции Z (x ) до получения оптимального решения.

Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума или максимума линейной функции конечного числа переменных, при условии, что переменные удовлетворяют конечному числу ограничений, имеющих вид линейных уравнений или линейных неравенств.

Таким образом, общая задача линейного программирования (ЗЛП) может быть сформулирована следующим образом.

Найти такие значения действительных переменных , для которых целевая функция

принимает минимальное значение на множестве точек, координаты которых удовлетворяют системе ограничений

Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных , , … представляется точкой n-мерного пространства . В дальнейшем эту точку будем обозначать Х =( , , … ).

В матричном виде задачу линейного программирования можно сформулировать так:

, A – матрица размера ,

Точка Х =( , , … ), удовлетворяющая всем условиям, называется допустимой точкой . Множество всех допустимых точек называется допустимой областью .

Оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение Х =( , , … ), принадлежащее допустимой области и при котором линейная функция Q принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Теорема . Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Множество точек называется выпуклым , если оно вместе с любыми своими двумя точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Точка Х называется выпуклой линейной комбинацией точек если выполняются условия

Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования представляет собой выпуклую многогранную область, которую в дальнейшем будем называть многогранником решений .

Теорема . Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение в одной из вершин многогранника решений. Если целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение более чем в одной точке, то она принимает это значение в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Среди множества решений системы m линейных уравнений, описывающих многогранник решений, выделяют так называемые базисные решения.

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все n-m неосновных переменных равны нулю. В задачах линейного программирования такие решения называют допустимыми базисными решениями (опорными планами).

Теорема . Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует вершина многогранника решений, и наоборот, каждой вершине многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Из приведенных теорем вытекает важное следствие:

Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допустимых базисных решений.

Следовательно, оптимум линейной функции цели задачи линейного программирования необходимо искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.