ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.673: 004.9

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В КЛАССЕ ФОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ*

А.Я. Фридман

Институт информатики и математического моделирования КНЦ РАН

Аннотация

Рассматриваются вопросы моделирования сложных динамических объектов (СДО) в слабо формализованных предметных областях. Для предложенной ранее ситуационной концептуальной модели подобных объектов разработана интерпретация в классе семиотических формальных систем, что позволяет интегрировать различные средства исследования СДО, обеспечив совместную логико-аналитическую обработку данных и ситуационный анализ состояния изучаемого объекта с применением экспертных знаний и учетом пространственно-временных зависимостей в характеристиках СДО, выполняемые с использованием картографической информации.

Ключевые слова:

концептуальная модель, пространственный динамический объект, семиотическая формальная система.

Введение

В настоящей работе рассмотрены вопросы моделирования СДО в слабо формализованных предметных областях. Помимо структурной сложности, особенность СДО состоит в том, что результаты их функционирования существенно зависят от пространственных характеристик составных частей и от времени.

При моделировании СДО необходимо учитывать разнообразные информационные, финансовые, материальные, энергетические потоки, предусматривать анализ последствий изменения структуры объекта, возможных критических ситуаций и т.п. Принципиальная неполнота знаний о подобных объектах ограничивает применимость классических аналитических моделей и определяет ориентацию на использование опыта экспертов, что, в свою очередь, связано с созданием соответствующих средств формализации экспертных знаний и их встраиванием в систему моделирования. Поэтому в современном моделировании значительно возросла роль такого понятия, как концептуальная модель предметной области (КМПО) . Основа КМПО -не алгоритмическая модель передачи и преобразования данных, как в аналитических моделях, а декларативное описание структуры объекта и взаимодействия его составных частей. Таким образом, КМПО изначально ориентирована на формализацию знаний экспертов. В КМПО определяются элементы исследуемой предметной области и описываются отношения между ними, которые задают структуру и причинно-следственные связи, существенные в рамках определенного исследования .

Представленная в данной работе ситуационная система моделирования (ССМ) на основе древовидной ситуационной концептуальной модели (СКМ) есть один из вариантов

* Работа частично поддержана грантами РФФИ (проекты № 13-07-00318-а, № 14-07-00256-а,

№ 14-07-00257-а, № 14-07-00205-а, № 15-07-04760-а, № 15-07-02757-а).

реализации технологий типа CASE (Computer Aided Software Engineering) и RAD (Rapid Application Development).

Семиотические формальные системы

Основное достоинство логических исчислений в качестве модели представления и обработки знаний заключается в наличии единообразной формальной процедуры доказательства теорем. Однако оно влечет за собой и основной недостаток данного подхода -сложность использования при доказательстве эвристик, отражающих специфику конкретной проблемной среды . Это особенно важно при построении экспертных систем, вычислительная мощность которых в основном определяется знаниями, характеризующими специфику предметной области. К другим недостаткам формальных систем следует отнести их монотонность (невозможность отказаться от заключений, если становится истинным дополнительный факт, и в этом смысле они отличаются от рассуждений на основе здравого смысла), отсутствие средств для структурирования используемых элементов и недопустимость противоречий.

Стремление устранить недостатки формальных систем при их использовании в искусственном интеллекте привело к появлению семиотических систем, формализуемых восьмеркой :

S::= (В, F, A, R, Q(B), Q(F), Q(A), Q(R)). (1)

В (1) первые четыре компонента те же, что и в определении формальной системы , а остальные компоненты - правила изменения первых четырех компонентов под влиянием накапливаемого в базе знаний опыта о строении и функционировании сущностей в данной проблемной среде. Теория подобных систем находится на начальной стадии развития, но существует много примеров решения конкретных задач в рамках этой парадигмы. Ниже описывается один из таких примеров.

Основы ситуационного моделирования

При постановке задачи и подготовке процесса моделирования КМПО предназначена для представления знаний о структуре исследуемой предметной области. Для элементов КМПО существует соответствие между собственно объектом реального мира и его модельным представлением. В обеспечение возможности автоматизации последующих этапов моделирования осуществляется отображение модели предметной области на адекватную ей формальную систему. Этот переход реализуется в ходе построения КМПО путем задания каждому ее элементу некоторого формального описания. В результате, завершение построения КМПО будет соответствовать переходу от неформальных знаний об исследуемой предметной области к их формальному представлению, допускающему только однозначную процедурную трактовку. Полученная формальная модель носит декларативный характер, так как в ней описывается в первую очередь состав, структура и отношения между объектами и процессами, независимо от конкретного способа их реализации в компьютере.

Декларативный язык описания СКМ состоит из двух частей: части, соответствующей объектам описываемого мира, и части, соответствующей отношениям и атрибутам представленных в модели объектов. В качестве математической основы декларативного языка использована аксиоматическая теория множеств.

В СКМ описываются три вида элементов (сущностей) реального мира - объекты, процессы и данные (или ресурсы). Объекты отображают организационную и пространственную структуру объекта исследования, с каждым из них может быть связан набор процессов. Под процессом понимается некоторое действие (процедура), преобразующее подмножество данных, называемых входными по отношению к рассматриваемому процессу, в другое их подмножество,

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

именуемое выходным. Данные характеризуют состояние системы. Они используются при реализации процессов, служат результатами их выполнения. Выполнение любого процесса изменяет данные и соответствует переходу системы из одного состояния в другое. Взаимосвязи и взаимодействие объектов реального мира описывается в модели с помощью отношений, задаваемых на множествах объектов, процессов и данных. Каждое отношение связывает элемент модели с некоторым множеством других элементов.

Имена элементов СКМ даются в терминах предметной области. Каждому элементу модели назначается исполнитель, обеспечивающий его реализацию в ходе моделирования. Тип исполнителя определяет характеристики реализации, например, язык программирования, на котором пишется исполнитель соответствующего процесса, и тип исполнителя в алгоритмическом языке.

Атрибуты, описывающие тип отношения иерархии , конкретизируют представление объектов модели на следующем, нижнем уровне иерархии. Тип отношения «композиция» (&) определяет, что объект строится агрегацией его подобъектов. Тип «классификация» (v) указывает, что объект верхнего уровня есть обобщение группы объектов нижнего уровня. Отношение типа «классификация» в СКМ используется для представления различных вариантов элемента верхнего уровня. Тип «итерация» (*) позволяет определять в СКМ итеративные процессы и описывать регулярные структуры данных.

В зависимости от типа отношения иерархии объекту назначается управляющее данное. Управляющие данные используются для доопределения структуры процессов, имеющих тип отношений иерархии «классификация» или «итерация», и данных, имеющих иерархическое отношение типа «итерация».

Формальное представление СКМ дает возможность существенно автоматизировать анализ корректности структуры и разрешимости СКМ .

Важный аспект эффективности СКМ состоит в удобстве представления результатов моделирования. В настоящее время наиболее перспективной средой для компьютеризованного исследования объектов класса СДО считается географическая информационная система (ГИС) . Кроме продвинутых способов визуализации и графической обработки данных, инструментальные средства ГИС в принципе позволяют ставить задачи для пространственно координированных расчетов в дружественной к пользователю графической среде, хотя это требует дополнительных разработок программного обеспечения. Кроме того, ГИС-пакеты не рассчитаны на анализ динамики объекта и серьезную математическую обработку данных.

Еще одно достоинство ГИС в рамках рассматриваемой задачи заключается в том, что с каждым графическим элементом можно связать дополнительные поля БД, доступные для модификации внешними вычислительными модулями, в отличие от графических атрибутов. В частности, в этих полях можно хранить атрибуты концептуальной модели, относящихся к заданному элементу, и другие параметры, необходимые для организации и проведения моделирования.

Таким образом, каждый цикл расчетов в ходе моделирования включает три стадии: задание условий расчета, собственно расчет и вывод результатов. Неформальная цель разработки СКМ заключается в автоматизации всех этих стадий с обеспечением максимального сервиса непрограммирующему пользователю, то есть с использованием терминологии предметной области и дружественного интерфейса пользователя с компьютером. По тем же соображениям ССМ должна быть функционально полной, то есть предоставлять пользователю все нужные ему средства без явного выхода в другие программные среды. Создание специализированных графических библиотек и средств генерации отчетов потребовало бы неоправданных затрат на программирование и значительно удлинило сроки разработки. Поэтому представляется целесообразным компромиссное решение: возложить задачи вывода данных на стандартные пакеты или специализированные программные модули, но в максимальной степени автоматизировать их работу, исключив диалог с пользователем в их среде.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

Формальное описание СКМ

СКМ базируется на представлении объекта моделирования в виде древовидного И-ИЛИ графа, отображающего иерархическую декомпозицию структурных элементов СДО в соответствии с их организационными связями.

Чтобы избежать вычислительных проблем, связанных с малыми изменениями данных, и обеспечить поддержку совместной расчетно-логической обработки данных, в СКМ выходными данными процедур обработки (исключение составляют данные, вычисляемые ГИС) могут быть только данные с дискретным конечным множеством значений (типа списков). Если значения некоторого данного есть строковые константы, то такое данное называется параметром (категория PAR), а имеющее числовые значения именуется переменной (категория VAR), и над ним можно выполнять определенные математические операции. Если результат вычислений представляет собой значение переменной, он округляется до ближайшего значения из списка допустимых значений. В дальнейшем, если сказанное относится к данным любого разрешенного в СКМ типа, употребляется термин «данное». Таким образом, множество имен данных делится на множества имен переменных и параметров:

D::=< Var, Par >, Var::= {var }, i = 1, N ;

7 7 к l 7 v 7 (2)

Par::={parj}, j = 1, Np, где Nv и Np - мощности этих множеств.

Данные моделируют ресурсы (количественные характеристики) объектов или процессов (категория RES), переменные могут также использоваться как настроечные параметры функций (критериев) качества функционирования элементов СКМ (категория ADJ). Соответственно, множество имен переменных делится на подмножество имен ресурсов элементов СКМ и подмножество имен настроечных параметров критериев качества этих элементов:

Var::=< Res, Adj > (3)

Отдельную категорию (категорию GIS) составляют графические характеристики объектов СКМ, непосредственно вычисляемые в ГИС. Все они относятся к переменным, но не рассматриваются как списки, так как используются только как входные ресурсы элементов модели и не меняются в ходе имитации.

Объекты СКМ имеют три основные характеристики: имя, функциональный тип, который определяет структуру и функции объекта и используется в процессе анализа корректности СКМ, и имя суперобъекта, доминирующего данный объект в СКМ (отсутствует для объекта верхнего уровня). По положению в дереве объектов и на карте выделяются три категории объектов СКМ: примитивы (категория LEAF), структурно неделимые с точки зрения глобальной цели моделирования, элементарные объекты (категория GISC), географически связанные с одним ГИС-элементом (полигоном, дугой или точкой какого-либо покрытия), и составные объекты (категория COMP), состоящие из элементарных и/или составных объектов. Структура объектов категории GISC в СКМ может быть достаточно сложной, но все их подобъекты имеют одну и ту же географическую привязку. Множество объектов образует иерархию:

О = {а 0Уа}::=2°а, (4)

где а = 1, Nl - номер уровня дерева объектов, к которому относится данный объект (L - общее количество уровней декомпозиции);

вб = 1, Nб - порядковый номер объекта на его уровне декомпозиции;

г = 1, N6_ - порядковый номер суперобъекта, доминирующего заданный элемент на вышележащем уровне;

Об - множество объектов, принадлежащих уровню с номером а.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

Для обеспечения связности СКМ принимается, что существует единственный суперобъект, доминирующий все объекты первого уровня декомпозиции, то есть справедливо соотношение:

O. -i0.”} 0, = (5)

Процессы в СКМ отображают преобразования данных и реализуются различными способами в зависимости от присвоенной процессу одной из трех следующих категорий: внутренние процессы (категория INNER), все их входные и выходные данные относятся к одному объекту; внутриуровневые процессы (категория INTRA), связывающие объекты СКМ, не подчиняющиеся друг другу; межуровневые процессы (категория INTER), описывающие передачу данных между объектом и подобъектами или между объектом и суперобъектом. Введенное категорирование процессов несколько усложняет процесс создания СКМ (в некоторых случаях может потребоваться создавать фиктивные процессы, обеспечивающие такую типизацию), но позволяет сделать процедуры формального контроля СКМ значительно более полными и детальными.

Основные характеристики процессов: уникальное имя, характеристика исполнителя процесса и функциональный тип процесса, который определяет тип преобразований, им осуществляемых, и используется в процессе анализа корректности СКМ; дополнительно используются список входных и выходных данных и их допустимых граничных значений. Исполнитель процесса специфицирует его динамические свойства и способ реализации в компьютере. Исполнитель можно задать либо непосредственно (в виде разностного уравнения), либо косвенно - ссылкой на имя реализующего этот процесс программного модуля.

Схема концептуальной модели образуется кортежем:

^ССМ::=<о,P,DCM,H,OP,PO,U >, (6)

где O - множество объектов КМПО (9);

P::= {pn I n = 1, Np - множество процессов КМПО;

DCM с D - множество данных концептуальной модели, где D определено в (4), (5);

H - отношение иерархии объектов, которое с учетом (4) и (5) примет вид:

где Hб с O6х B,(O6) - отношения иерархии для каждого из уровней дерева объектов, причем b"(o6) есть разбиение множества Оа;

OP с O х B (P) - отношение «объект - порождающие его выходные данные процессы», причем B (P) есть разбиение множества P;

PO с P х B(О) - отношение «процесс - создающие его входные данные объекты»;

U::= Up иU0 - отношение, формализующее управление процессом вычислений на основе СКМ, имеет составляющие следующего вида:

U с P х B(Res) - отношение «процесс - управляющее данное»;

Uo с О х B(Res) - отношение «объект - управляющее данное».

Отношение «объект (процесс) - управляющее данное» ставит в соответствие некоторому объекту (процессу) модели данное, которое доопределяет этот объект при переходе к алгоритмической интерпретации. Передача данных между объектами осуществляется только через списки входных и выходных данных этих объектов, что согласуется с принципами инкапсуляции данных, принятыми в современном объектно-ориентированном программировании. Все процессы, приписанные к одному объекту, описываются отношением OA с О х B(P) «объект - приписанные к нему процессы». Это отношение не входит в схему

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

СКМ, поскольку, в отличие от отношений Н, ОР и РО, не задается пользователем при конструировании модели, а формируется автоматически.

Отношения, определенные в модели, удобно представлять в форме функций (7), частично определенных на множествах О и Р, с областями значений В(Р), B(O) или В"(Об). Названия

функций обозначены строчными символами, соответствующими прописным символам в названиях отношений:

h:°б_1 ^B"(Oa),(Vo;. е06,Vo! е°б_Hoj = hб(o))оojHbог); op . O ^ B(p^ (Vo е O, Vp е р)({р; = opio)) «■ o,Opp]);

Po.p ^ b(0), (vo е O, VP] е p)((o = po(P])) « P]OPot);

oa: O ^ B(P),(VOi е O, Vp} е P)((p} = oa(ot))otOAp});

: p ^ B(Res\(vPi е p, Vres] е Res)((res] = up (pi)) ptUpres]);

: O ^ B(Res), (Vo1 е O, VreSj е Res){(resj = uo (o1)) o1Uo resj).

Множества значений функций (7), формирующие сечения областей значений введенных отношений по некоторому элементу областей их определения, обозначаются жирным шрифтом:

h6 (oi)::= \Р] : o] = ha(oi)}; oP(oi) ::= \Р] : Р] = oP(oi)};

ро(Р]) ::= {o: oi = po(p])}; oci(pi) ::= ^ . p} = oa(oi)}; (8)

up (Pi) ::= \res]: res] = up (Pi)}; uo (o) ::= \res]: res] = uo (o)}.

Аналогично (8) записываются сечения введенных отношений по подмножествам их областей определения, строящихся как объединения всех сечений по элементам этих подмножеств. Например, h (Oi), где Oi с O6_х, есть множество объектов уровня а, доминируемых данным подмножеством объектов oj е O t, которые находятся на уровне а - 1.

Ниже также используется множество подчиненности объекта oi h ’(oi)::= U h(oi).

Разработанные алгоритмы присвоения категорий элементам СКМ используют вышеописанные отношения и выявляют все возможные ошибки категоризирования элементов модели . Процедуры контроля правильности назначений исполнителей элементов СКМ используют следующие ограничения (доказательства даны в ).

Теорема 1. В конечной СКМ не может иметь места рекурсивная декомпозиция типов исполнителей объектов, то есть ни один объект, входящий во множество подчиненности некоторого объекта, не может иметь исполнителя того же типа, что и исходный объект.

Теорема 2. В конечной СКМ не может иметь места инверсия подчиненности исполнителей объектов, то есть ни один объект, входящий во множество подчиненности некоторого объекта с исполнителем типа е1, не может иметь исполнителя того же типа, что и любой другой объект, во множестве подчиненности которого содержится какой-либо объект с исполнителем типа е1.

Принципы контроля разрешимости СКМ

Выполненное согласно принятым в ССМ правилам построение корректной модели еще не гарантирует, что эта модель разрешима, то есть можно решить все задачи, в ней декларированные. Под разрешимостью в общем случае понимается достижимость некоторого подмножества объектов модели, которые определяются как целевые, из другого подмножества объектов, которые определяются как исходные. Разрешимость может рассматриваться в двух основных аспектах: при анализе всей модели в целом (до начала расчетов) она подразумевает согласованность и однозначность описания всех допустимых вариантов достижения глобальной цели на различных уровнях иерархии, а в процессе

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

реализации моделирования разрешимость состоит в обеспечении выбора корректного фрагмента модели, описывающего изучаемую ситуацию. Функциональное различие между перечисленными аспектами состоит в том, что при анализе всей модели оценивается только потенциальная возможность моделирования всех описанных в модели объектов, а при анализе конкретной ситуации дополнительно ставятся задачи выбора минимального фрагмента, описывающего эту ситуацию, и количественного сопоставления возможных альтернатив, в ней содержащихся. Второй аспект разрешимости исследуется в , здесь же представлены особенности анализа разрешимости СКМ в целом, который автоматически проводится после завершения контроля ее корректности, а по требованию пользователя может быть выполнен в любое время. В общем случае, задачу анализа разрешимости можно сформулировать в следующем виде: указывается два множества элементов модели - исходное и целевое, при этом модель разрешима, если существует последовательность шагов, позволяющая получить целевое множество из исходного. Для этого пригодны простые волновые алгоритмы .

При анализе обоих аспектов разрешимости концептуальная модель рассматривается как формальная система. В ее алфавит входят:

символы, обозначающие элементы модели (pi, on, resj, ...);

функциональные символы, описывающие отношения и связи между элементами модели (ha, ор,...);

специальные и синтаксические символы (=, (,), ^,...).

Множество формул в рассматриваемой формальной системе образуют: собственно символы, обозначающие элементы КМПО:

{Pi е P} u {Oj eO] u {resk e DCM}; (9)

выражения (7), (8) и другие формулы для вычисления функций и множеств, определяемых с помощью отношений, которые введены над множествами (5);

выражения вычислимости для каждого процесса концептуальной модели:

list_in(pi) \ list out(pi), Up(pi) [, sp)] ^ p„ list_out(p,), (10)

где в силу принятого в ССМ предположения об автономности структуры каждого объекта во множество s(p) процессов, предшествующих pi, могут входить только процессы, приписанные к тому же объекту:

s(pi) с оа(оа"1(р1)); (11)

выражения вычислимости для каждого объекта концептуальной модели: list_in(oi), up(Oj), оа(о,), h(o,) ^ oi, list_out(oi); (12)

выражения вычислимости входных данных каждого объекта концептуальной модели, получающего материальные ресурсы от других объектов (ог: oo(o) Ф 0):

00(0,) ^ list_in(oi). (13)

В выражения (9)-(13) входят только материальные ресурсы, то есть в них не анализируются выходные данные процессов настройки и обратной связи, относящиеся к информационным ресурсам СКМ. Кроме того, вычислимость определенных в предпосылках этих выражений множеств констатируется при условии вычислимости всех элементов указанных множеств.

Дополнительного обоснования требует первая предпосылка предложения (10). Как известно, при наличии циклов по ресурсам в предметной области могут появляться данные, которые при построении концептуальной модели должны декларироваться как входные и выходные для некоторого процесса КМПО одновременно. По принятому в ССМ предположению такие циклы вносятся внутрь объектов КМПО, то есть должны учитываться при анализе разрешимости на уровне процессов.

Если при анализе разрешимости СКМ использовать выражение вычислимости, предложенное в и принимающее для СКМ вид:

list_in(p,) & up(p,) [& s(p,)] ^ p, & list_out(p,), (14)

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

то в модель нельзя будет включать ресурсы, служащие одновременно входными и выходными данными одного и того же процесса, то есть описывать часто встречающиеся на практике рекуррентные процессы вычислений. Выход из положения дает приведенная ниже теорема, доказанная в работе .

Теорема 3. Ресурс, одновременно входной и выходной для одного и того же процесса СКМ и не являющийся выходным ни для одного из предшествующих ему процессов, связанных с указанным процессом отношением порождения процессов (13), можно исключить из левой части предложения вычислимости без нарушения корректности анализа разрешимости модели.

Во множество аксиом рассматриваемой формальной системы входят:

аксиомы вычислимости всех ресурсов, относящихся к внешним данным (имеющим исполнителей типа DB, GISE или GEN)

|- resj: (ter(resj) = DB) v (ter(resj) = GISE) v (tS[(resJ) = GEN); (15)

аксиомы вычислимости всех ГИС-элементов СКМ (типы которых начинаются символами dot, pol или arc)

|- 0J: <х> dot) v (to(o/) Ю pol) V (to(oj) Ю arcX (16)

где символом условно обозначено вхождение стандартных ГИС-типов в функциональный тип объекта.

В рассматриваемой формальной системе заданы два правила вывода:

правило непосредственного следования -

Fi, Fi ^ F2 |- F2; (17)

правило следования с равенством -

Fi, Fi = F2, F2 ^ F3 |- F3, (18)

где F, - некоторые формулы из (9)-(13).

Структура описанной формальной системы аналогична структуре системы, предложенной в . Существенное отличие - вид выражений вычислимости (10), (12), (13) и состав аксиом, на основе которых проводится анализ разрешимости концептуальной модели.

Совокупность представленных в СКМ знаний о предметной области может быть признана корректной, если на различных уровнях иерархии в концептуальной модели действительно представлены взаимосогласованные спецификации объектов и процессов, обеспечивающих корректное порождение ресурсов для функционирования объектов вышележащих уровней. Соответствие спецификаций на всех уровнях ведет к тому, что концептуальная модель полностью характеризует корневой объект, соответствующий глобальной задаче, которую решает система в целом. Концептуальная модель разрешима , если в соответствующей ей формальной системе существует вывод каждой теоремы вычислимости из множества аксиом и других теорем.

Определение 1. СКМ разрешима тогда и только тогда, когда для каждого элемента модели, не входящего во множество аксиом, применение выражений вычислимости вида (10), (12), (13) к аксиомам и уже доказанным формулам (множеству теорем T) позволяет построить вывод с применением правил (17), (18) из множества аксиом (A) формальной системы (9)-(13).

При анализе разрешимости, который, согласно определению 1, представляет собой разновидность методов автоматического доказательства теорем, используется понятие «механизм вывода», в данном случае оно понимается как способ, алгоритм применения правил вывода (17), (18), обеспечивающий эффективное доказательство всей требуемой совокупности формул из множества T теорем (то есть синтаксически правильно построенных формул) рассматриваемой формальной системы. Наиболее простой способ организации вывода -«потоковый» механизм, при котором множество считающихся доказанными формул A", вначале равное множеству аксиом (A1 = A), расширяется в результате применения правил вывода . Если по истечении некоторого времени T с A", то модель разрешима, если это неверно и не удается применить ни одно из правил, то СКМ неразрешима.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

В качестве стратегии доказательства, используемой при анализе концептуальной модели общего вида, предложена стратегия снизу-вверх , состоящая в циклическом выполнении следующих этапов.

Этап I. Применяется правило (17) для получения всех возможных следствий из формул и аксиом.

Этап II. Применяются правила (17), (18) для получения всех возможных следствий из аксиом и полученных на предыдущем этапе доказательства формул.

Этап III. Применяется правило (13) для расширения списка считающихся вычислимыми объектов.

Доказано, что для построенных по описанным выше правилам корректных концептуальных моделей анализ разрешимости модели в целом сводится к анализу разрешимости отдельных входящих в ее состав шаблонов процессов категории INTRA и процессов агрегирования .

Обработка ситуаций

В теории ситуационного управления отмечается принципиальная важность разработки процедур обобщения описаний ситуации на основе их классификации с использованием множества прагматически важных признаков, которое само подлежит синтезу. К фундаментальным особенностям формирования понятий и классификации в ситуационном управлении отнесены:

Наличие процедур обобщения, основанных на структуре отношений между элементами ситуаций;

Возможность работы с именами отдельных понятий и ситуаций;

Необходимость согласования классификации ситуаций по некоторому основанию с классификацией на множестве воздействий (управлений).

Для реализации перечисленных принципов классификации и обобщения ситуаций в ССМ предусмотрен ряд программных средств:

Аппарат синтеза и анализа типов ситуаций, в частности, оптимальных достаточных ситуаций, ориентированный на решение вопросов координации и согласования управляющих воздействий на различных уровнях СКМ;

Инструментальные средства порождения и проверки гипотез о сравнительных характеристиках достаточных ситуаций в рамках вероятностной интерпретации этих гипотез с учетом влияния инструментальных погрешностей исходных данных на результаты моделирования;

Процедуры обобщения описаний ситуаций с учетом пространственно-временных отношений между элементами ситуаций, использующие библиотеку пространственновременных функций (ПВФ).

Синтез и анализ типов ситуаций. В результате классификации ситуаций по разработанным для ССМ алгоритмам генерируется большое количество классов ситуаций, полученных для различных объектов принятия решений (ОПР) и различных листьевых объектов фрагментов. С целью аккумуляции знаний о результатах классификации в ССМ предлагается использовать средства обобщения описаний ситуаций по синтезированным типам этих ситуаций. Этот способ конкретизирует общие рекомендации по построению иерархического описания ситуаций в системах ситуационного управления . Аналогично описанию полной ситуации обобщенное описание каждой достаточной ситуации строится на основе перечисления входящих в нее листьевых объектов и ОПР, что однозначно ее определяет ввиду древовидности декомпозиции объектов СКМ. Для синтеза обобщенного описания ситуации на первом уровне иерархии описаний применяется та же процедура, которая обеспечивает генерирование типов исполнителей объектов по типам приписанных к ним процессов . Исходные данные в ней -типы листьевых объектов и ОПР исследованных достаточных ситуаций, а результат работы -

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

уникальный тип достаточной ситуации, дополненный порядковым номером ее класса и ее номером в этом классе. В отличие от лексикографического порядка, который используется при генерации типов исполнителей объектов, здесь типы объектов, входящих в ситуацию, упорядочиваются по их положению в дереве объектов (4). Порядковый номер класса определяется номером ресурса, доминирующего в этом классе, согласно списку выходных ресурсов ОПР, а порядковый номер ситуации в пределах класса задается ее предпочтительностью . Оптимальная достаточная ситуация данного класса получает номер 1. Абсолютной шкалой классификации ситуаций естественно считать их классификацию по глобальному критерию качества, то есть по принадлежности к тому или иному классу ситуаций, обеспечивающих доминирование одного из выходных параметров глобального объекта СКМ по обобщенным затратам , которые рассчитаны по критерию качества ОПР этой достаточной ситуации. Первым ключом при построении типа ситуации выбран ее порядковый номер в пределах класса, затем идет номер ОПР, затем - индексы типов списка листьевых объектов, а в конце - номер класса. Описанный порядок индексации использован для удобства формирования запросов типа: «Найти среди оптимальных достаточных ситуаций некоторого заданного уровня ситуацию, составляющую подграф такой-то глобальной оптимальной ситуации», которые типичны при решении задач координации управлений на различных уровнях принятия решений.

Задача обобщения описаний ситуаций в ССМ на основе типов ситуаций включает два основных этапа: поиск общих признаков ситуаций, попавших в один класс для каждого исследованного фрагмента КМПО, и поиск вхождений ситуаций в ситуации более высоких уровней (высота уровня здесь задается уровнем нахождения ОПР). Общая схема рассуждений при обобщении вполне вписывается в идеологию ДСМ-метода . Однако программная реализация ДСМ-метода в ССМ потребовала бы весьма значительных объемов программирования, поэтому был применен вероятностный механизм вывода, реализованный в оболочке ОЭС ССМ , то есть вместо оценок обоснованности тех или иных гипотез, вычисляемых согласно ДСМ-методу, использованы специальные функции пересчета условных вероятностей причинно-следственных связей между конфигурациями достаточных ситуаций и результатами их классификации.

Как следует из изложенного способа типизации ситуаций в ССМ, описания достаточных ситуаций, классифицированных по одному фрагменту КМПО, качественно различаются списками своих листьевых объектов, которые все вместе образуют разбиение множества листьевых объектов использованной при построении фрагмента полной ситуации. Поэтому при обобщении их описаний в основном применяются метод сходства и метод различия, причем в качестве предпосылок используются подстроки конкатенации типов листьевых объектов. Результаты обобщения формируются в виде двух наборов правил, в первый включаются положительные примеры, во второй - отрицательные. По формулам, аналогичным пересчету априорных вероятностей в апостериорные , наличие положительных примеров приводит к повышению условной вероятности соответствующего правила, причем степень увеличения пропорциональна порядковым номерам ситуаций, использованных в данном примере, а наличие отрицательных примеров в той же степени уменьшает условную вероятность правила. После окончания первого этапа обобщения отбраковываются правила с вероятностью меньше 0.5.

На втором этапе обобщения отыскивается сходство между ситуациями различных уровней. Применяется тот же механизм обобщения, но синтезируемые правила отражают условные вероятности появления достаточных ситуаций нижних уровней декомпозиции в составе достаточных ситуаций более высоких уровней и, в частности, глобальных достаточных ситуаций путем оценки частости вхождения типов нижележащих ситуаций в типы вышележащих. Таким образом делается попытка сопоставить между собой классы ситуаций, составленные для ОПР различных уровней, что при достаточном количестве обучающих примеров позволяет составить

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

иерархическую классификацию достаточных ситуаций с указанием ситуаций, оптимальных для перевода объекта в некоторое состояние из заданного класса.

Еще одна группа правил ориентирована на оценку эффективности заложенных в КМПО альтернатив. Идея поиска заключается в следующем: степень эффективности той или иной альтернативы (как для процессов, так и для объектов) тем выше, чем шире набор классов ситуаций, в которые попадают достаточные ситуации с различными вариантами данной альтернативы. И обратно: если ни один из имеющихся вариантов выбора не меняет класс достаточной ситуации, то данная альтернатива не предлагается пользователю при расширении минимальных полных ситуаций, по крайней мере, для того же самого ОПР, что позволяет ускорить процесс классификации ситуаций. С другой стороны, желательно уметь заранее определять тот набор свойств, которыми обладают самые «радикально действующие» альтернативы, а точнее, несколько наборов - для каждого потенциально желательного варианта изменения областей доминирования.

Все полученные в ходе обобщения правила (по терминологии ситуационного управления они относятся к логико-трансформационным правилам) хранятся в ЭС ССМ и используются как управляющие формулы в процессе классификации ситуаций. Следует отметить еще одну особенность разработанного вероятностного механизма вывода - возможность снизить влияние погрешностей исходных данных на результаты обобщения ситуаций путем учета вероятности ошибочного отнесения ситуации к тому или иному классу. Рассмотрим основную идею его применения для повышения достоверности обобщения ситуаций.

При классификации достаточных ситуаций некоторого фрагмента СКМ могут возникать ошибки из-за структурной неустойчивости процесса вычисления затрат при их передаче между элементами модели. Например, если в КМПО допускаются циклы по ресурсам, то при изменении текущего значения какого-либо участвующего в цикле ресурса класс достаточной ситуации, где рассчитываются затраты по этому ресурсу, может значительно измениться, что, по мнению автора, нарушает устойчивость процедур классификации и обобщения. Такие ситуации предлагается отбраковывать из процедур обобщения, для чего в ССМ рекомендуется применять процедуры проверки зависимости результатов от возможных погрешностей моделирования. Если при анализе влияния погрешностей моделирования для некоторого ресурса СКМ выявлено превышение доли изменения затрат на выходе ОПР по сравнению с долей тестового изменения текущего значения ресурса, такой ресурс рассматривается как недостоверный, вероятность сбоя при его использовании для классификации принимается пропорциональной степени упомянутого превышения. Если вероятность сбоя превышает заданное пороговое значение (по умолчанию используется пороговая вероятность 0.3), то данный ресурс исключается из процедур классификации. В противном случае классификация ситуаций все же проводится, но с учетом вероятности сбоев, что в принципе приводит к снижению контрастности процедур классификации и, как следствие, к снижению вероятности включения ситуаций с участием недостоверного ресурса в категорию оптимальных или весьма предпочтительных.

Анализ пространственно-временных зависимостей. Работа с пространственно-временными зависимостями осуществляется с помощью библиотеки пространственно-временных функций (ПВФ) - программных модулей, обеспечивающих выборку из соответствующих баз исходных данных (БИД) релевантной информации для текущего запроса, занесение этой информации в основную БД и ее обработку для принятия решения об истинности или ложности условия, формирующего запрос. Поэтому в общем случае программа каждой ПВФ включает три части: драйвер БИД, организующий интерфейс основной БД и БИД, программу записи результатов запроса в основную БД и программу интерпретации результатов запроса. При этом изменение предметной области приводит к необходимости модифицировать только драйверы БИД.

Все ПВФ имеют выход логического типа, то есть возвращают ответ «да» или «нет» в результате анализа входящего в них логического условия. Разработаны два вида временных и три вида пространственных функций.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

Временная функция ИНТЕРВАЛ поддерживает выборку ретроспективных данных за некоторый промежуток времени, ее синтаксис таков:

в_течение (<условие>,<начало>,<конец>,<доля>), (19)

где <условие> может иметь вид:

<имя> <знак> <подсписок_значений (n)>, (20)

оно определяет контролируемую характеристику элемента массива;

<начало> и <конец> задают соответственно начальный и конечный моменты интервала проверки (их отстояние в прошлое от текущего момента времени);

<доля> определяет минимальный допустимый процент (количество) элементов среди всех анализируемых, которые должны удовлетворять <условию>, чтобы функция (19) дала утвердительный ответ на запрос.

Если введено нулевое значение параметра <начало>, проводится анализ всей имеющейся информации до момента времени <конец>. Аналогично, при нулевом значении параметра <конец>, анализируются данные от момента <начало> до текущего момента времени. При совпадении величин <начало> и <конец> рассматривается только один момент времени в прошлом.

Следующая функция позволяет провести временную привязку хранимых данных

к заданному в запросе моменту времени:

момент (<условие>,<время>,<доля>), (21)

где <условие> и <доля> формируются аналогично функции (19), а <время> - фиксированный момент времени, для которого производится операция.

Пространственные функции записываются в форме:

соседние (<условие>,<доля>) (22)

сходные (<условие>,<доля>,<параметры_сходства>). (23)

Параметры <условие> и <доля> задаются как в функциях (19), (21); различие между видами пространственных функций заключается в критерии отбора элементов для совместного анализа: в функции (22) анализируются элементы, примыкающие к текущему геометрически, в функции (23) отбираются элементы, имеющие одинаковые с текущим элементом значения <параметров_сходства>, выбираемых из списка имен существующих параметров и переменных. Например, в приложении ССМ к задаче прогнозирования горных ударов <параметр_сходства> имел имя «разлом» и использовался для совместного анализа характеристик элементов объекта, принадлежащих к тектоническому разлому.

Функция БЛИЖАИШИИ предназначена для определения объекта, имеющего наиболее близкие пространственные координаты к заданным. Функция возвращает утвердительный ответ, если координаты объекта попадают в заданную окрестность. Функция имеет следующий вид:

ближайший (<условие>,<координаты>,<допуск>), (24)

где параметр <условие> имеет уже описанный смысл, параметр <координаты> описывает пространственные характеристики точки привязки, параметр <допуск> задает допустимое удаление по пространственным координатам от указанной точки.

ПВФ можно использовать только в частях ЕСЛИ правил и управляющих формул ЭС. Так как все ПВФ имеют выход логического типа, допускается однократная вложенность различных ПВФ друг в друга, то есть запросы вида

соседние (сходные (<условие>,<доля1>,<параметры_сходства>),<доля2>). (25)

При этом драйвер БИД генерирует запрос, по которому вначале отбираются элементы, удовлетворяющие самой внутренней ПВФ, затем из них отбираются удовлетворяющие более внешней, и т.д. Характеристики отобранных элементов переписываются в БД (эта информация используется в режиме объяснения), интерпретатор вычисляет выходное значение ПВФ, которое заносится в базу правил. Вложенные запросы представляют наибольший интерес, так как

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

позволяют путем комбинирования ПВФ оценивать совместно пространственные и временные характеристики исследуемого объекта.

Описанные выше ПВФ обеспечивают анализ достаточно широкого класса

пространственно-временны"х соотношений между характеристиками элементов объекта экспертизы, однако в зависимости от специфики предметной области возможна разработка и других ПВФ.

В отличие от правил, генерируемых при обобщении ситуаций по их типам, правила обобщения рассматриваемой здесь группы относятся не к ситуации в целом, а к отдельным объектам, процессам или даже ресурсам СКМ. В слоты ПВФ <условие>

и <параметры_сходства> можно включать логические условия и различные характеристики элементов СКМ, в том числе типы и категории этих элементов. В ССМ не предусмотрено автоматических процедур генерации подобных правил, они конструируются пользователем, и вероятности в них пересчитываются в ходе классификации аналогично изложенному выше.

Заключение

На основе введенных формальных определений различных видов ситуаций, возникающих при моделировании СДО, разработана его иерархическая модель, включающая: формальную систему - СКМ и интегрированную с ней ЭС - со множеством базовых элементов (7)-(10), набором синтаксических правил порождения одних элементов СКМ другими в виде отношений типа (7), (8), системой аксиом (15), (16) и правилами вывода (17), (18), а также правила изменения компонентов этой формальной системы в зависимости от целей моделирования и сложившейся на объекте исследования ситуации, задаваемые посредством выбора соответствующих фрагментов СКМ и управления выводом в ЭС ССМ. СКМ относится к семиотическим (знаковым) моделям, поскольку в ней разработаны три группы логикотрансформационных правил - пополнения, классификации и обобщения ситуаций.

Отличия предложенной модели состоят в интеграции средств, ориентированных на исследование СДО, что обеспечивает совместную логико-аналитическую обработку данных и ситуационный анализ состояния изучаемого объекта с применением экспертных знаний и учетом пространственно-временных зависимостей в характеристиках СДО, выполняемых с использованием картографической информации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин И.А., Путилов В.А., Фильчаков В.В. Распределенная обработка информации в научных исследованиях. Л.: Наука, 1991. 304 с. 2. Цикритзис Д., Лоховски Ф. Модели данных. М.: Финансы и статистика, 1985. 420 с. 3. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 288 с. 4. Бржезовский А.В., Фильчаков В.В. Концептуальный анализ вычислительных систем. СПб.: ЛИАП, 1991. 78 с. 5. Фридман А.Я. Ситуационное управление структурой промышленно-природных систем. Методы и модели. Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. 530 с. 6. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. М.: Наука, 1986. 288 с. 7. Митчел Э. Руководство ESRI по ГИС-анализу. 1999. Т. 1. 190 с.

8. Концептуальное моделирование информационных систем / под ред. В.В. Фильчакова. СПб.: СПВУРЭ ПВО, 1998. 356 c. 9. Автоматическое порождение гипотез в интеллектуальных системах / сост. Е.С. Панкратова, В.К. Финн. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. 528 с. 10. Darwiche A. Modeling and Reasoning with Bayesian Networks. Cambridge University Press, 2009. 526 p.

Фридман Александр Яковлевич - д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник Института информатики и математического моделирования КНЦ РАН; e-mail: fridman@iimm. kolasc.net.ru

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Пространственное объединение отдельных элементов технического объекта широко распространенная задача проектирования в любой отрасли техники: радиоэлектроники, машиностроения, энергети­ки и т. д. Значительную частью пространственного моделирования доставляет визуализация отдельных элементов и технического объекта в целом Большой интерес представляют вопросы построения базы данных графических трехмер­ных моделей элементов, алгоритмы и программная реализация графи­ческих приложений для решения данной задачи.

Построение моделей элементов носит универсальный характер и может рассматриваться как инвариантная часть многих систем пространственного моделирования и автоматизированного проектирования технических объектов.

Независимо от возможностей используемой графической среды по характеру формирования графических моделей можно выделить три группы элементов:

1.Уникальные элементы, конфигурация и размеры которых не повторяются в других аналогичных деталях.

2.Унифицированные элементы, включающие некоторый набор Фрагментов конфигураций, характерных для деталей данного класса. Как правило, существует ограниченный ряд типоразмеров унифицированного элемента.

3.Составные элементы, включающие как уникальные, так и унифицированные элементы в произвольном наборе. Используемые графические средства могут допускать некоторую вложенность составных элементов.

Пространственное моделирование уникальных элементов не представляет большой сложности. Прямое формирование конфигурации модели выполняется в интерактивном режиме, после чего программ­ная реализация оформляется на основе протокола формирования мо­дели или текстового описания полученного элемента.

2.Поочередный выбор фрагментов пространственной конфигурации и определение их размеров;

3.Привязка графической модели элемента к прочим элемента, технического объекта или системы;

4.Ввод дополнительной информации о моделируемом элементе

Данный подход формирования моделей унифицированных элементов обеспечивает надежную программную реализацию.

Модель составных элементов состоит из совокупности модели как уникальных, так и унифицированных элементов. Процедурно модель составного элемента строится аналогично модели унифицированного элемента, в которой в качестве графических фрагменте: выступают готовые модели элементов. Основными особенностями являются способ взаимной привязки включаемых моделей и механик объединения отдельных фрагментов в составной элемент. Последнее определяется, главным образом, возможностями инструментальных графических средств.

Интеграция графической среды и системы управления базами данных (СУБД) технической информации обеспечивает открытость системы моделирования для решения других задач проектирования: предварительные конструкторские расчеты, подбор элементной базы, оформление конструкторской документации (текстовой и графической) и др. Структура баз данных (БД) определяется как требованиями графических моделей так и информационными потребностями сопутствующих задач. В качестве инструментальных средств возможно использовать любую СУБД, сопрягаемую с графической средой. Наиболее общий характер носит построение моделей унифицированных элементов. На первом этапе в результате систематизации номенклатуры элементов, однотипных по назначению и составу гра­фических фрагментов, формируется гипотетический или выбирается существующий образец моделируемого элемента, обладающий полным набором моделируемых частей объекта.

Методы интерполяции по дискретно расположенным точкам.

Общая задача интерполяции по точкам формулируется так: дан ряд точек (узлов интерполяции), положение и значения характеристик в которых известны, необходимо определить значения характеристик для других точек, для которых известно только положение. При этом различают методы глобальной и локальной интерполяции, и среди них точные и аппроксимирующие.

При глобальной интерполяции для всей территории одновременно используется единая функция вычисления z = F(x,y) . В этом случае изменение одного значения (х, у) на входе сказывается на всей результирующей ЦМР. При локальной интерполяции многократно применяют алгоритм вычисления для некоторых выборок из общего набора точек, как правило, близко расположенных. Тогда изменение выбора точек сказывается лишь на результатах обработки небольшого участка территории. Алгоритмы глобальной интерполяции создают сглаженные поверхности с небольшим числом резких перепадов; они применяются в случаях, если предположительно известна форма поверхности, например тренд. При включении в процесс локальной интерполяции большой доли общего набора данных она, по сути, становится глобальной.

Точные методы интерполяции.

Точные методы интерполяции воспроизводят данные в точках (узлах), на которых базируется интерполяция, и поверхность проходит через все точки с известными значениями. анализ соседства, в котором все значения моделируемых характеристик принимаются равными значениям в ближайшей известной точке. В результате образуются полигоны Тиссена с резкой сменой значений на границах. Такой метод применяется в экологических исследованиях, при оценке зон воздействия, и больше подходит для номинальных данных.

В методе В-сплайнов строят кусочно-линейный полином, позволяющий создать серию отрезков, которые в конечном итоге образуют поверхность с непрерывными первой и второй производными. Метод обеспечивает непрерывность высот, уклонов, кривизны. Результирующая ЦМР имеет растровую форму. Этот метод локальной интерполяции применяется, главным образом, для плавных поверхностей и не годится для поверхностей с отчетливо выраженными изменениями - это приводит к резким колебаниям сплайна. Он широко используется в программах интерполяции поверхностей общего назначения и сглаживания изолиний при их рисовке.

В TIN-моделях поверхность в пределах каждого треугольника обычно представляется плоскостью. Поскольку для каждого треугольника она задается высотами трех его вершин, то в общей мозаичной поверхности треугольники для смежных участков точно прилегают по сторонам: образуемая поверхность непрерывна. Однако, если на поверхности проведены горизонтали, то в этом случае они будут прямолинейны и параллельны в пределах треугольников, а на границах будет происходить резкое изменение их направления. Поэтому для некоторых приложений TIN в пределах каждого треугольника строится математическая поверхность, характеризующаяся плавным изменением углов наклона на границах треугольников. Анализ трендов. Поверхность аппроксимируется многочленом и структура выходных данных имеет вид алгебраической функции, которую можно использовать для расчета значений в точках растра или в любой точке поверхности. Линейное уравнение, например, z = а + b х + су описывает наклонную плоскую поверхность, а квадратичное z = а + b х + су + dx 2 + еху + fy 2 -простой холм или долину. Вообще говоря, любое сечение поверхности т-го порядка имеет не более (т – 1) чередующихся максимумов и минимумов. Например, кубическая поверхность может иметь в любом сечении один максимум и один минимум. Возможны значительные краевые эффекты, поскольку полиномиальная модель дает выпуклую поверхность.

Методы скользящего среднего и среднего взвешенного по расстоянию используются наиболее широко, особенно для моделирования плавно меняющихся поверхностей. Интерполированные значения представляют собой среднюю величину значений для п известных точек, либо среднее, полученное по интерполируемым точкам, и в общем случае обычно представляются формулой

Аппроксимационные методы интерполяции.

Аппроксимационные методы интерполяции применяются в тех случаях, когда имеется некоторая неопределенность в отношении имеющихся данных о поверхности; в их основе лежит соображение о том, что во многих наборах данных отображается медленно изменяющийся тренд поверхности, на который накладываются местные, быстро меняющиеся отклонения, приводящие к неточностям или ошибкам в данных. В таких случаях сглаживание за счет аппроксимации поверхности позволяет уменьшить влияние ошибочных данных на характер результирующей поверхности.

Методы интерполяции по ареалам.

Интерполяция по ареалам заключается в переносе данных с одного исходного набора ареалов (ключевого) на другой набор (целевой) и часто применяется при районировании территории. Если целевые ареалы представляют собой группировку ключевых ареалов, сделать это просто. Трудности возникают, если границы целевых ареалов не связаны с исходными ключевыми.

Рассмотрим два варианта интерполяции по ареалам: в первом из них в результате интерполяции суммарное значение интерполируемого показателя (например, численности населения) целевых ареалов в полном объеме не сохраняется, во втором - сохраняется.

Представим, что имеются данные о численности населения для некоторых районов с заданными границами, и их нужно распространить на более мелкую сетку районирования, границы которой в общем не совпадают с первой.

Методика заключается в следующем. Для каждого исходного района (ключевого ареала) рассчитывают плотность населения путем деления общего количества проживающих на площадь участка и присваивают полученное значение центральной точке (центроиду). На основе этого набора точек с помощью одного из методов, описанных выше, интерполируется регулярная сетка, для каждой ячейки сети определяется численность населения путем умножения рассчитанной плотности на площадь ячейки. Интерполированная сетка накладывается на итоговую карту, значения по каждой ячейке относятся к границам соответствующего целевого ареала. Затем рассчитывается общая численность населения каждого из итоговых районов.

К недостаткам метода можно отнести не совсем четкую определенность выбора центральной точки; методы интерполяции по точкам неадекватны, и что важнее всего - не сохраняется суммарная величина интерполируемого показателя ключевых ареалов (в данном случае общей численности населения зон переписи). Например, если исходная зона разделена на две целевые, то общее количество населения в них после интерполяции не обязательно будет равно численности населения исходной зоны.

Во втором варианте интерполяции применяют способы ГИС-технологии оверлея или построения гладкой поверхности, основанного на так называемой адаптивной интерполяции.

В первом способе осуществляют наложение ключевых и целевых ареалов, определяют долю каждого из исходных ареалов в составе целевых, величины показателя каждого исходного ареала делят пропорционально площадям его участков в разных целевых ареалах. Считается, что плотность показателя в пределах каждого ареала одинакова, например, если показатель - это общее население ареала, то плотность населения считается для него постоянной величиной.

Целью второго способа является создание гладкой поверхности без уступов (значения атрибутов не должны резко изменяться на границах ареалов) и сохранение суммарной величины показателя в пределах каждого ареала. Методика его такова. На картограмму, представляющую ключевые ареалы, накладывают густой растр, общее значение показателя для каждого ареала поровну делится между ячейками растра, перекрывающими ее, значения сглаживают путем замены величины для каждой ячейки растра средним по окрестности (по окну 2×2, 3×3, 5×5) и суммируют значения для всех ячеек каждого ареала. Далее значения для всех ячеек корректируют пропорционально так, чтобы общее значение показателя для ареала совпадало с исходным (например, если сумма меньше исходного значения на 10%, значения для каждой ячейки увеличиваются на 10%). Процесс повторяют до тех пор, пока не. прекратятся изменения.

Для описанного метода однородность в пределах ареалов необязательна, но слишком сильные вариации показателя в их пределах могут отразиться на качестве интерполяции.

Результаты могут быть представлены на карте горизонталями или непрерывными полутонами.

Применение метода требует задания некоторых граничных условий, так как по периферии исходных ареалов элементы растра могут выходить за пределы области изучения или соседствовать с ареалами, не имеющими значения интерполируемого показателя. Можно, например, присвоить плотности населения значение 0 (озеро и т. п.) или принять ее равной значениям самых дальних от центра ячеек области изучения.

При интерполяции по ареалам могут возникнуть весьма сложные случаи, например, когда нужно создать карту, показывающую «ареалы расселения», на основе данных о населении отдельных городов, особенно если эти ареалы в масштабе карты показываются точкой. Проблема возникает и для небольших исходных ареалов, когда отсутствуют файлы границ, а в данных указывается только положение центральной точки. Здесь возможны разные подходы: замена точек, к которым приписаны данные, на круги, радиус которых оценивается по расстояниям до соседних центроидов; определение пороговой плотности населения для отнесения территории к городской; распределение населения каждого города по его территории так, что в центре плотность населения выше, а к окраинам уменьшается; по точкам с пороговым значением показателя проводят линии, ограничивающие заселенные территории.

Часто попытка создать непрерывную поверхность с помощью интерполяции по ареалам по данным, приуроченным только к точкам, приводит к неправильным результатам.

Пользователь обычно оценивает успешность применения метода субъективно и, главным образом, визуально. До сих пор многие исследователи используют ручную интерполяцию или интерполяцию «на глазок» (этот метод обычно невысоко оценивается географами и картографами, однако широко используется геологами). В настоящее время предпринимаются попытки «извлечь» познания экспертов с помощью методов создания баз знаний и ввести их в экспертную систему, осуществляющую интерполяцию.

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от времени, относятся:

а) модель зависимости результативной переменной от трендовой компоненты или модель тренда;

б) модель зависимости результат. переменной от сезонной компоненты или модель сезонности;

в) модель зависимости результативной переменной от трендовой и сезонной компонент или модель тренда и сезонности.

Если экономические утверждения отражают динамическую (зависящую от фактора времени) взаимосвязь включённых в модель переменных, то значения таких перемен­ных датируют и называют динамическими или временными рядами. Если экономические утверждения отражают статическую (относящуюся к одному периоду времени) взаимосвязь всех включённых в модель переменных, то значения таких переменных принято называть пространственными данными. И надобности в их датировании нет. Лаговыми называются экзогенные или эндогенные переменные экономической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Модели, включающие лаговые переменные, относятся к классу динамических моделей. Предопределёнными называются лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные

23. Трендовые и пространственно-временные ЭМ в планировании экономики

Статистические наблюдения в социально-экономических исследованиях обычно проводятся регулярно через равные отрезки времени и представляются в виде временных рядов xt, где t = 1, 2, ..., п. В качестве инструмента статистического прогнозирования временных рядов служат трендовые регрессионные модели, параметры которых оцениваются по имеющейся статистической базе, а затем основные тенденции (тренды) экстраполируются на заданный интервал времени.

Методология статистического прогнозирования предполагает построение и испытание многих моделей для каждого временного ряда, их сравнение на основе статистических критериев и отбор наилучших из них для прогнозирования.

При моделировании сезонных явлений в статистических исследованиях различают два типа колебаний: мультипликативные и аддитивные. В мультипликативном случае размах сезонных колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда и отражается в статистической модели множителем. При аддитивной сезонности предполагается, что амплитуда сезонных отклонений постоянна и не зависит от уровня тренда, а сами колебания представлены в модели слагаемым.

Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы, или - в более широком смысле слова - это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

Наиболее известны и широко применяются трендовые и адаптивные методы прогнозирования. Среди последних можно выделить такие, как методы авторегрессии, скользящего среднего (Бокса - Дженкинса и адаптивной фильтрации), методы экспоненциального сглаживания (Хольта, Брауна и экспоненциальной средней) и др.

Для оценки качества исследуемой модели прогноза используют несколько статистических критериев.

При представлении совокупности результатов наблюдений в виде временных рядов фактически используется предположение о том, что наблюдаемые величины принадлежат некоторому распределению, параметры которого и их изменение можно оценить. По этим параметрам (как правило, по среднему значению и дисперсии, хотя иногда используется и более полное описание) можно построить одну из моделей вероятностного представления процесса. Другим вероятностным представлением является модель в виде частотного распределения с параметрами pj для относительной частоты наблюдений, попадающих в j-й интервал. При этом если в течение принятого времени упреждения не ожидается изменения распределения, то решение принимается на основании имеющегося эмпирического частотного распределения.

При проведении прогнозирования необходимо иметь в виду, что все факторы, влияющие на поведение системы в базовом (исследуемом) и прогнозируемом периодах, должны быть неизменны или изменяться по известному закону. Первый случай реализуется в однофакторном прогнозировании, второй - при многофакторном.

Многофакторные динамические модели должны учитывать пространственные и временные изменения факторов (аргументов), а также (при необходимости) запаздывание влияния этих факторов на зависимую переменную (функцию). Многофакторное прогнозирование позволяет учитывать развитие взаимосвязанных процессов и явлений. Основой его является системный подход к изучению исследуемого явления, а так же процесс осмысливания явления, как в прошлом, так и в будущем.

В многофакторном прогнозировании одной из основных проблем является проблема выбора факторов, обуславливающих поведение системы, которая не может быть решена чисто статистическим путем, а только при помощи глубокого изучения существа явления. Здесь следует подчеркнуть примат анализа (осмысливания) перед чисто статистическими (математическими) методами изучения явления. В традиционных методах (например, в методе наименьших квадратов) считается, что наблюдения независимы друг от друга (по одному и тому же аргументу). В действительности существует автокорреляция и ее неучет приводит к неоптимальности статистических оценок, затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости. Автокорреляция определяется по отклонениям от трендов. Она может иметь место, если не учтено влияние существенного фактора или нескольких менее существенных факторов, но направленных «в одну сторону», либо неверно выбрана модель, устанавливающая связь между факторами и функцией. Для выявления наличия автокорреляции применяется критерий Дурбина-Уотсона. Для исключения или уменьшения автокорреляции применяется переход к случайной компоненте (исключение тренда) или введение времени в уравнение множественной регрессии в качестве аргумента.

В многофакторных моделях возникает проблема и мультиколлинеарности - наличие сильной корреляции между факторами, которая может существовать вне всякой зависимости между функцией и факторами. Выявив, какие факторы являются мультиколлинеарными, можно определить характер взаимозависимости между мультиколлинеарными элементами множества независимых переменных.

В многофакторном анализе необходимо наряду с оценкой параметров сглаживающей (исследуемой) функции построить прогноз каждого фактора (по неким другим функциям или моделям). Естественно, что значения факторов, полученные в эксперименте в базисном периоде, не совпадают с аналогичными значениями, найденными по прогнозирующим моделям для факторов. Это различие должно быть объяснено либо случайными отклонениями, величина которых выявлена указанными различиями и должна быть учтена сразу же при оценке параметров сглаживающей функции, либо это различие не случайно и никакого прогноза делать нельзя. То есть в задаче многофакторного прогнозирования исходные значения факторов, как и значения сглаживающей функции, должны быть взяты с соответствующими ошибками, закон распределения которых должен быть определен при соответствующем анализе, предшествующем процедуре прогнозирования.

24. Сущность и содержание ЭМ: структурной и развернутой

Эконометрические модели - это системы взаимосвязанных уравнений, многие параметры которых определяются методами статистической обработки данных. К настоящему времени за рубежом в аналитических и прогнозных целях разработаны и используются многие сотни эконометрических систем. Ма кроэконометрические модели, как правило, сначала представляются в естественной, содержательной форме, а затем в приведенном, структурном виде. Естественная форма эконометрических уравнений позволяет квалифицировать их содержательную сторону, дать оценку их экономического смысла.

Для построения прогнозов эндогенных переменных необходимо выразить текущие эндогенные переменные модели в виде явных функций предопределённых переменных. Последняя спецификация, полученная путем включения случайных возмущений получена в результате математической формализации экономических закономерностей. Такая форма спецификации называется структурной . В общем случае в структурной спецификации эндогенные переменные не выражены в явном виде через предопределенные.

В модели равновесного рынка только переменная предложениявыражена в явном виде через предопределенную переменную, поэтому для представления эндогенных переменных через предопределенные необходимо выполнить некоторые преобразования структурной формы. Решим систему уравнений для последний спецификации относительно эндогенных переменных.

Таким образом, эндогенные переменные модели выражены в явном виде через предопределенные переменные. Такая форма спецификации получила название приведенной. В частном случае структурная и приведённая фор­мы модели могут совпадать. При правильной спецификации модели пере­ход от структурной к приведённой форме всегда возможен, обратный переход возможен не всегда.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как x. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

где y – эндогенные переменные; x – экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Так, потребление текущего года (y t) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y t-1)

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b i и a j , (b i – коэффициент при эндогенной переменной, a j – коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонения от уровня, т. е. под x подразумевается x- (а под y - соответственно у- (. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные структурных коэффициентов модели структурная коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить δ , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Развернутая ЭМ (ее блоки)

Классификация моделей

Учебные элементы параграфа:

1. Назначение моделей. Способ воплощения моделей.

2. Абстрактная модель. Вещественная модель.

3. Язык описания модели. Способ построения модели.

4. Подобие. Прямое подобие. Косвенное подобие. Условное подобие.

5. Текстовая модель. Графическая модель. Математическая модель.

6. Аналитическая модель. Экспериментальная модель. Пространственная модель.

7. Соответствие моделей оригиналу. Конечность моделей упрощенность, приближенность моделей.

Целевая предназначенность моделей позволяет всё разнообразное множество моделей разделить на три основных типа по назначению: познавательные , прагматические , чувственные ), для различных объектов (рис. 1.3).

Рис.1.3 Классификация моделей

Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединений новых знаний с уже имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встаёт задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели. Познавательная деятельность основана на приближении модели и реальности (рис. 1.4а).

Прагматические модели являются средством организации практических действий, средством управления, способом представления образцовых действий или их результата.

б а

Рис. 1.4. Различия между познавательной (а) и прагматической моделью (б)

Использование прагматических моделей состоит в том, чтобы при обнаружении расхождений между моделью и реальностью направить усилия на изменения реальности так, чтобы приблизить реальность к модели

Примерами прагматических моделей могут служить планы, программы, экзаменационные требования, инструкции, руководства и т.д. (рис. 1.4б).

Чувственные модели служат для удовлетворения эстетических потребностей человека (произведение искусства).

Другим принципом классификации целей моделирования служит деление моделей на статические и динамические.

Статические модели отражают конкретное состояние объекта (моментальная фотография). Если нужно изучить различия между состояниями системы строят динамические модели.

Модели сознательно создаваемые субъектом (человеком) воплощаются из двух типов материалов годных для их построения - средства окружающего мира и средства самого сознания человека.

По этому признаку модели делятся на абстрактные (идеальные, мысленные, символические) и вещественные (материальные, реальные).

Абстрактные модели являются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления. Их различают по языку описания и способу построения (рис.1.3).

По способу построения абстрактные модели делятся на аналитические (теоретические), формальные (экспериментальные) и комбинированные . Аналитические модели строятся по данным о внутренней структуре объекта и на основе физических законов, описывающих протекающие в нём процессы.

Формальные модели строятся по данным экспериментальных исследований, в процессе которых устанавливаются взаимосвязи между входными воздействиями и (выходными) параметрами состояния объекта.

Комбинированные модели используют принцип уточнения в эксперименте параметры структуры и закономерностей аналитической модели.

По типу языка описания символические модели разделяются на текстовые (словесные), графические (чертежи, схемы), математические и комбинированные .

Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть отображением, т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между моделью и оригиналом должно быть установлено отношение подобия .

Будем различать три вида подобия: прямое, косвенное и условное (рис. 1.3).

Прямое подобие может быть пространственным (макеты судов, самолётов, манекены и т.д.) и физическим . Физическим подобием называют явления в геометрически подобных системах, у которых в процессе их функционирования отношения характеризующих их одноимённых физических величин в сходственных точках являются постоянной величиной (критерии подобия). Пример физической модели - испытание макета самолёта в аэродинамической трубе.

Второй тип подобия в отличие от прямого подобия называют косвенным . Косвенное подобие между оригиналом и моделью устанавливается не в результате их физического взаимодействия, а объективно существует в природе, обнаруживается в виде совпадения или достаточной близости их абстрактных моделей и после этого используются в практике реального моделирования. Примером косвенного подобия служит аналогии между физическими (фазовыми) переменными (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Вид системы Фазовые переменные Типа потока Типа потенциала Механическая поступательная Сила, F Скорость, u Механическая вращательная Момент, M Угловая скорость, w Механическая упругая Сила, F Деформация, s Гидроаэромеханическая Расход (поток), Давление, P Тепловая Тепловой поток, Q Температура, T Электрическая Ток, I Напряжение, U

Закономерности механических, тепловых, электрических процессов описываются одинаковыми уравнениями: различие состоит лишь в разной физической интерпретации переменных входящих в уравнения.

В результате оказывается возможным не только заменить громоздкое экспериментирование с механической или тепловой системой, на простые опыты с электрической схемой (R , L , C - цепи) или электронной моделью (АВМ).

Роль моделей обладающих косвенным подобием оригинала, очень велика. Часы - аналог времени. Аналоговые и цифровые вычислительные моменты (материальный объект) позволяет найти решение любого дифференциального уравнения.

Третий особый класс реальных моделей образуют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называют условным .

Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), знаки дорожного движения (модель сообщения) и т.д.

С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто. Они являются способом материального воплощения абстрактных моделей, вещественной формой, в которой абстрактные модели могут передаваться от одного человека к другому, хранится до момента их использования, т.е. отчуждаться от сознания и всё-таки сохранять возможность возвращения в абстрактную форму. Это достигается с помощью соглашения о том, какое состояние реального объекта ставится в соответствие данному элементу абстрактной модели. Такое соглашение принимает вид совокупности правил построения моделей условного подобия и правил пользования ими.

Модель объекта можно охарактеризовать несколькими признаками (таблицы 1.2 и 1.3).

Таблица 1.2

Объект Модель Назначение Способ воплощения Язык описания Корабль Макет корабля Познавательная материальный Электрическая цепь I=U/R Познавательная абстрактный математический Бак с водой Ty ’ +y =kx решаемая на ПК Познавательная абстрактный математический Телевизор Инструкция пользователя Прагматическая материальный текстовый Клапан Чертеж для изготовления Прагматическая абстрактный графический Стоимость товара Сумма оплаты купюрами Прагматическая материальный Человек Портрет Чувственная материальный Объект Модель Вид подобия Способ построения Вид задачи Корабль Макет корабля Прямое физическое экспериментальный динамическая Электрическая цепь I=U/R косвенное аналитический статическая Бак с водой Ty ’ +y =kx решаемая на ПК косвенное аналитический динамическая Телевизор Инструкция пользователя Клапан Чертеж косвенное Стоимость товара Сумма оплаты купюрами условное Человек Портрет прямое пространственное

Таблица 1.3

Таким образом, мы рассмотрели вопросы о том, что отображает модель, из чего и как она может быть построена, каковы внешние условия осуществления функций модели. Но важен и вопрос о ценности самого моделирования, т.е. отношение моделей с отображаемой ими реальностью: чем отличаются модели и моделируемые объекты или явления, в каком смысле, и до какой степени можно отождествлять модель с оригиналом.

Различают следующие главные отличия модели от оригинала: конечность, упрощенность и приближенность (адекватность).

Модель конечна , так как она отображает оригинал лишь в конечном числе отношений при ограниченном количестве ресурсов.

Модель всегда упрощенно отображает оригинал за счет конечности модели; отображение только главных существенных свойств и отношений; ограниченностью средств оперирования с моделью. Упрощённость характеризует качественные различия модели и оригинала.

Модель отображает оригинал приближённо. Этот аспект допускает количественную оценку различия (“больше - меньше”, “лучше - хуже”). С приближенностью модели связано понятие адекватность .

Модель с помощью, которой успешно достигается поставленная цель, называют адекватной этой цели.

Адекватность модели не гарантирует требования полноты, точности и истинности модели, но означает, что они выполняются в той мере, которая достаточна для достижения цели. Упрощение и приближённость модели необходимы, неизбежны, но замечательное свойство мира и нас самих состоит в том, что этого достаточно для человеческой практики.

Между моделью и оригиналом кроме различий есть сходства .

Сходство выражается, прежде всего, в истинности модели. Степень истинности модели выясняется только в её практическом соотношении с отображенной ею натурой. При этом изменение условий, в которых ведётся сравнение, весьма существенно влияет на результат: именно из-за этого возможно существование двух противоречивых, но “одинаково” истинных моделей одного объекта. Яркий пример этого – волновая и корпускулярная модели электрона.

Сходство модели и оригинала зависит от сочетания истинного и ложного типов модели. Кроме, безусловно, истинного содержания в модели имеется: 1) условно истинное (т.е. верное лишь при определенных условиях); 2) предположительно истинное (т.е. условно – истинное при неизвестных условиях), а следовательно, логичное. При этом в каждых конкретных условиях неизвестно точно, каково же фактическое соотношение истинного и ложного в данной модели. Ответ на этот вопрос только практика.

Однако в любом случае модель принципиально беднее оригинала, это ее фундаментальное свойство.

Завершая рассмотрение понятия “моделирование” следует подчеркнуть, что, собираясь создавать модель системы нужно иметь в виду следующую схему (рис. 1.5):

Рис.1.5. Оценка ситуации моделирования

Широкое распространение при исследовании технических систем получил метод математического моделирования, который рассмотрим более подробно.

Вопросы

1. Какие признаки образуют семейство моделей по назначению?

2. Какие признаки образуют семейство моделей по способу воплощения?

3. Какие признаки образуют типы моделей по подобию?

4. Чем отличается прагматическая модель от познавательной модели?

5. На каких языках можно представлять модели?

6. Каковы виды прямого подобия материальных моделей?

7. Чем отличаются между собой вещественные модели косвенного и условного подобия?

8. Каковы признаки отличия модели и оригинала?

9. С помощью, каких вопросов можно оценить ситуацию моделирования?

§ 1.1. 4. Объекты моделирования и их классификация

Учебные элементы параграфа:

1. Признаки классификации объектов моделирования .

2. Тип, свойства и методы исследования объекта.

3. Непрерывные - дискретные объекты.

4. Стационарные - не стационарные объекты.

5. Сосредоточенные - распределённые объекты.

6. Одномерные, многомерные объекты.

7. Детерминированные - стохастические объекты.

8. Динамические - статические объекты.

9. Линейные, не линейные объекты.

10. Аналитические, идентифицируемые, комбинированные методы исследования.

11. Математическая модель .

12. Математическое моделирование .

13. Параметры и фазовые переменные модели.

14. Характеристики моделей (универсальность, точность, адекватность и экономичность).

15. Признаки классификации ММ:

16. Структурные - функциональные модели;

17. Полные - макромодели;

18. Аналитические - алгоритмические модели;

Свойства стационарности – не стационарности характеризуют степень изменчивости объекта во времени.

Свойства сосредоточенности – распределённости характеризует объектыс точки зрения роли, которую играет в их модельном описании пространственная протяжённость и конечная скорость распространения в пространстве физических процессов.

Если пространственной протяжённостью можно пренебречь и считать, что независимой переменной, характерной для объекта, является только время, то говоря

т об объекте с сосредоточенными параметрами .

В пространственно протяжённых объектах (газы, деформирующие тела) необходимо учитывать зависимость характеристик от координат.

Для всех реально существующих объектов присуще свойство стохастичности . Определение детерминированности означает лишь тот факт, что по условиям решаемой задачи и применительно к свойствам конкретного объекта случайные факторы можно не учитывать.

Понятие динамический объект отражает изменение параметров объекта во времени. Это происходит из-за конечной скорости накопления запасов вещества и энергии, аккумулируемых объектом.

В статическом объекте связь входных и выходных параметров не учитывает динамических эффектов.

Весьма существенно деление объектов на линейные и нелинейные . Различие между ними заключается в том, что для первых справедлив принцип суперпозиции (положения), когда каждый из выходов объекта характеризуется линейной зависимостью от соответствующих входных переменных.

Объекты с одним выходом называют одномерными , а с несколькими многомерными .

Деление методов исследования объектов моделирования на аналитические, которые основаны на ранее изученных и описанных в математической форме закономерностях объекта и идентифицируемые, которые строятся на основе специального экспериментального исследования, связано со степенью сложности объекта.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

По каким признакам классифицируют объекты моделирования?

Чем отличаются детерминированные объекты от стохастических?

По каким признакам можно отличить динамический объект от статического?

Что характерно для непрерывного объекта моделирования?

Модель называется статической, когда входные и выходные воздействия постоянны во времени. Статическая модель описывает установившийся режим.

Модель называется динамической, если входные и выходные переменные изменяются во времени. Динамическая модель описывает неустановившийся режим работы изучаемого объекта.

Исследование динамических свойств объектов позволяет в соответствии с фундаментальным принципом определенности Гюйгенса-Адамара ответить на вопрос: как изменяется состояние объекта при известных воздействиях на него и заданном начальном состоянии.

Примером статической модели является зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов. Статическая модель описывается алгебраическим уравнением

Примером динамической модели является зависимость объемов выпуска товарной продукции предприятия от размеров и сроков капитальных вложений, а также затраченных ресурсов.

Динамическая модель часто описывается дифференциальным уравнением

Уравнение связывает неизвестную переменную Y и ее производные с независимой переменной t и заданной функцией времени Х(t) и ее производными.

Динамическая система может функционировать в непрерывном или дискретном, квантованном на равные интервалы, времени. В первом случае система описывается дифференциальным уравнением, а во втором случае – конечно-разностным уравнением.

Если множества входных, выходных переменных и моментов времени конечны, то система описывается конечным автоматом.

Конечный автомат характеризуется конечным множеством состояний входа ; конечным множеством состояний ; конечным множеством внутренних состояний ; функцией переходов T(x, q) , определяющих порядок смены внутренних состояний; функцией выходов P(x, q) задающей состояние выхода в зависимости от состояния входа и внутреннего состояния.

Обобщением детерминированных автоматов являются стохастические автоматы , которые характеризуются вероятностями переходов из одного состояния в другое. Если функционирование динамической системы имеет характер обслуживания возникающих заявок, то модель системы строится с использованием методов теории массового обслуживания.

Динамическую модель называют стационарной , если свойства преобразования входных переменных не изменяются со временем. В противном случае ее называют нестационарной .

Различают детерминированные и стохастические (вероятностные ) модели. Детерминированный оператор позволяет однозначно определить выходные переменные по известным входным переменным.

Детерминированность модели означает лишь неслучайность преобразования входных переменных , которые сами по себе могут быть как детерминированными, так и случайными.

Стохастический оператор позволяет определить по заданному распределению вероятностей входных переменных и параметров системы распределение вероятностей входных переменных.

С точки зрения входных и выходных переменных модели классифицируют следующим образом:

1. Входные переменные подразделяют на управляемые и неуправляемые . Первые могут изменяться по усмотрению исследователя и используются объектом. Вторые непригодны для управления.

2. В зависимости от размерности векторов входных и выходных переменных различают одномерные и многомерные модели. Под одномерной моделью будем понимать такую модель, у которой входная и выходная переменные являются одновременно скалярными величинами. Многомерной называют модель, у которой векторы x (t ) и y (t ) имеют размерность n ³ 2.

3. Модели, у которых входныеи выходные переменные являются непрерывными по времени и по величине, называют непрерывными . Модели, у которых входные и выходные переменные дискретны или по времени, или по величине, называют дискретными .

Отметим, что динамика сложных систем во многом зависит от решений, принимаемых человеком. Процессы, протекающие в сложных системах, характеризуются большим числом параметров – большим в том смысле, что соответствующие уравнения и соотношения аналитически не могут быть разрешены. Часто изучаемые сложные системы уникальны по сравнению даже с аналогичными по назначению системами. Продолжительность экспериментов с такими системами обычно велика и часто оказывается сравнимой со сроком их жизни. Иногда проведение активных экспериментов с системой вообще недопустимо.

Для сложного объекта часто оказывается невозможным определить содержание каждого шага управления. Это обстоятельство определяет настолько большое число ситуаций, характеризующих состояние объекта, что практически невозможно проанализировать влияние каждой из них на принимаемые решения. В этой ситуации вместо жесткого алгоритма управления, предписывающего на каждом шаге его реализации некоторое однозначное решение, приходится использовать совокупность указаний, соответствующую тому, что в математике принято называть исчислением. В отличие от алгоритма в исчислении продолжение процесса на каждом шаге не является фиксированным и есть возможность произвольного продолжения процесса поиска решения. Исчисления и подобные им системы изучаются в математической логике.

1.5. Концепция построения системной модели сложных объектов

Сложные объекты представляют собой совокупность отдельных конструктивно обособленных элементов: технологических агрегатов, транспортных магистралей, электрических приводов и т. д., связанных между собой материальными, энергетическими и информационными потоками, и взаимодействующих с окружающей средой как целое. Процессы энергомассообмена, происходящие в сложных объектах, являются направленными и связаны с движением полей и вещества (теплообмен, фильтрация, диффузия, деформация и т. д.). Как правило, эти процессы содержат неустойчивые стадии развития, и управление такими процессами является больше искусством, чем наукой. Вследствие этих обстоятельств, наблюдается нестабильное качество управления такими объектами. Резко возрастают требования к квалификации технологического персонала и существенно увеличивается время на его подготовку.

Элементом системы называется некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), обладающий рядом важных для нас свойств, внутреннее строение (содержание) которого не представляет интереса с точки зрения цели анализа .

Будем обозначать элементы через М , а всю их рассматриваемую (возможную) совокупность – через {М} . Принадлежность элемента к совокупности принято записывать .

Связью назовем важный для целей рассмотрения обмен между элементами: веществом, энергией, информацией.

Единичным актом связи выступает воздействие . Обозначая все воздействия элемента M 1 на элемент M 2 через x 12 , а элемента М 2 на М 1 – через x 21 , можно изобразить связь графически (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Связь двух элементов

Системой назовем совокупность элементов, обладающую следующими признаками:

а) связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;

б) свойством (назначением, функцией), отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

Назовем признак а) связностью системы, б) – ее функцией. Применяя так называемое “кортежное” (т. е. последовательность в виде перечисления) определение системы, можно записать

где Σ– система; {М } – совокупность элементов в ней; {x } – совокупность связей; F – функция (новое свойство) системы.

Будем рассматривать запись как наиболее простое описание системы.

Практически любой объект с определенной точки зрения может рассматриваться как система. Важно отдавать себе отчет, полезен ли такой взгляд или разумней считать данный объект элементом. Так, системой можно считать радиотехническую плату, преобразующую входной сигнал в выходной. Для специалиста по элементной базе системой будет слюдяной конденсатор в этой плате, а для геолога – и сама слюда, имеющая достаточно сложное строение.

Большой системой назовем систему, включающую значительное число однотипных элементов и однотипных связей.

Сложной системой назовем систему, состоящую из элементов разных типов и обладающую разнородными связями между ними.

Часто сложной системой считают только ту, которая является большой. Разнородность элементов можно подчеркнуть записью

Большой, но не сложной с точки зрения механики, системой является собранная из стержней стрела крана или, например, труба газопровода. Элементами последней будут ее участки междусварными швами или опорами. Для расчетов на прогиб элементами газопровода скорее всего будут считаться относительно небольшие (порядка метра) участки трубы. Так поступают в известном методе конечных элементов. Связь в данном случае носит силовой (энергетический) характер – каждый элемент действует на соседний.

Различие между системой, большой системой и сложной системой условно. Так, корпуса ракет или судов, которые на первый взгляд однородны, обычно относят к сложной системе из-за наличия переборок разного вида.

Важным классом сложных систем являются автоматизированные системы. Слово “автоматизированный” указывает на участие человека, использование его активности внутри системы при сохранении значительной роли технических средств. Так, цех, участок, сборка могут быть как автоматизированными, так и автоматическими (“цех-автомат”). Для сложной системы автоматизированный режим считается более предпочтительным. Например, посадка самолета выполняется при участии человека, а автопилот обычно используется лишь на относительно простых движениях. Также типична ситуации, когда решение, выработанное техническими средствами, утверждается к исполнению человеком.

Итак, автоматизированной системой называется сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: а) в виде технических средств; б) в виде действий человека. Ее символьная запись (сравни с и)

где M T – технические средства, в первую очередь ЭВМ; M H – решения и другая активность человека; М" – остальные элементы в системе.

В совокупности {х }вэтом случае могут быть выделены связи между человеком и техникой {x T - H }.

Структурой системы называется ее расчленение на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом.

Указанное расчленение может иметь материальную (вещественную), функциональную, алгоритмическую и другую основу. Группы элементов в структуре обычно выделяются по принципу простых или относительно более слабых связей между элементами разных групп. Структуру системы удобно изображать в виде графической схемы, состоящей из ячеек (групп) и соединявших их линий (связей). Такие схемы называются структурными.

Для символьной записи структуры введем вместо совокупности элементов {М },совокупность групп элементов {М* }и совокупность связей между этими группами {x* }.Тогда структура системы может быть записана как

Структуру можно получить из объединением элементов в группы. Отметим, что функция (назначение) F системы в опущена.

Приведем примеры структур. Вещественная структура сборного моста состоит из его отдельных, собираемых на месте секций. Грубая структурная схема такой системы укажет только эти секции и порядок их соединения. Последнее и есть связи, которые здесь носят силовой характер. Пример функциональной структуры – это деление двигателя внутреннего сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи силового момента и т. д. Пример системы, где вещественные и функциональные структуры слиты, – это отделы проектного института, занимающиеся разными сторонами одной и той же проблемы.

Типичной алгоритмической структурой будет алгоритм (схема) программного средства, указывающая последовательность действий. Также алгоритмической структурой будет инструкция, определяющая действия при отыскании неисправности технического объекта.

1.6. Основные этапы инженерного эксперимента, направленного на изучение сложных объектов

Дадим характеристику основных этапов инженерного эксперимента, направленного на изучение сложных объектов.

1. Построение физической основы модели.

Построение физической основы модели, позволяющей выделить наиболее существенные процессы, определяющие качество управления и определить соотношения детерминированных и статистических составляющих в наблюдаемых процессах. Физическая основа модели строится с использованием “проектирования” сложного объекта в различные предметные области, используемые для описания исследуемого объекта. Каждая предметная область задает собственные системы ограничений на возможные “движения” объекта. Учет совокупности этих ограничений позволяет обосновать комплекс используемых моделей и построить непротиворечивую модель.

Построение “каркаса” модели, т. е. ее физической основы, сводится к описанию системы отношений, характеризующих исследуемый объект, в частности, законов сохранения и кинетики процессов. Анализ системы отношений, характеризующих объект, позволяет определить пространственные и временные масштабы механизмов, инициирующих наблюдаемое поведение процессов, качественно охарактеризовать вклад статистического элемента в описание процесса, а также выявить принципиальную неоднородность (если она существует!) наблюдаемых временных рядов.

Построение “каркаса” сводится к установлению по априорным данным причинно-следственных связей между внешними и внутренними дестабилизирующими факторами и эффективностью работы системы, а количественные оценки этих связей конкретизируются путем проведения экспериментов на объекте. Тем самым гарантируется общность полученных результатов для всего класса объектов, их непротиворечивость по отношению к ранее полученным знаниям и обеспечивается уменьшение объема экспериментальных исследований. “Каркас” модели должен строиться с использованием структурно-феноменологического подхода, объединяющего исследование объекта по его реакциям на “внешние” воздействия и раскрытие внутреннего строения объекта исследования.

2. Проверка статистической устойчивости результатов наблюдений и определение характера изменения контролируемых переменных.

Эмпирическое обоснование статистической устойчивости сводится к исследованию устойчивости эмпирического среднего по мере возрастания объема выборки (схема удлиняющейся серии). Непредсказуемость экспериментально полученных значений, как известно, не является ни необходимым, ни достаточным условием применения теоретико-вероятностных понятий. Необходимым условием применения теории вероятностей является устойчивость усредненных характеристик исходных величин. Таким образом, требуется проверка с использованием эмпирической индукции статистической устойчивости n -мерной эмпирической функции распределения исходной случайной величины и распределения вероятностей для выборочных оценок.

3. Формирование и проверка гипотез о структуре и параметрах “движения” исследуемого объекта.

Отметим, что, как правило, мотивом для выбора статистического подхода является отсутствие регулярности наблюдаемого процесса, хаотический характер и резкие изломы. В этом случае исследователь не может визуально обнаружить закономерности в ряду наблюдений и воспринимает его как реализацию случайного процесса. Подчеркнем, что речь идет об обнаружении простейших закономерностей, поскольку для обнаружения сложных закономерностей нужна направленная математическая обработка результатов наблюдений.

4. Прогнозирование выходных переменных выполняется с учетом вклада детерминированных и статистических составляющих в конечный результат.

Отметим, что использование для прогнозирования только статистического подхода наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, для принятия решений, касающихся минимизации текущих потерь, важно знать, не как в среднем развивается процесс, а как он будет себя вести на конкретном отрезке времени. Во-вторых, в общем случае мы имеем задачу прогнозирования нестационарного, случайного процесса с изменяющимися математическим ожиданием, дисперсией и самим видом закона распределения.

5. Планирование и реализация вычислительного эксперимента, направленного на оценку регулировочных характеристик объекта и ожидаемой эффективности системы управления.

Задачи синтеза структуры сложных систем только в простейших случаях могут быть решены аналитически. Поэтому возникает потребность в имитационном моделировании (ИМ) элементов проектируемой системы.

ИМ – это особый способ исследования объектов сложной структуры, заключающийся в воспроизведении численным образом всех входных и выходных переменных каждого элемента объекта. ИМ позволяет на этапе анализа и синтеза структуры учесть не только статистические взаимосвязи между элементами системы, но и динамические аспекты ее функционирования.

Для составления ИМ необходимо:

– выделить в объекте моделирования простейшие элементы, для которых известен способ расчета выходных переменных;

– составить уравнения связи, описывающие порядок соединения элементов в объекте;

– составить структурную схему объекта;

– выбрать средства автоматизации моделирования;

– разработать программу ИМ;

– провести вычислительные эксперименты с целью оценки адекватности ИМ, устойчивости результатов имитации и чувствительности ИМ к изменениям управляющих и возмущающих воздействий;

– решить с использованием модели задачу синтеза системы управления.