Те элементы электрической цепи, для которых зависимость тока от напряжения I(U) или напряжения от тока U(I), а также сопротивление R, постоянны, называются линейными элементами электрической цепи. Соответственно и цепь, состоящая из таких элементов, именуется линейной электрической цепью.

Для линейных элементов характерна линейная симметричная вольт-амперная характеристика (ВАХ), выглядящая как прямая линия, проходящая через начало координат под определенным углом к координатным осям. Это свидетельствует о том, что для линейных элементов и для линейных электрических цепей строго выполняется.

Кроме того речь может идти не только об элементах, обладающих чисто активными сопротивлениями R, но и о линейных индуктивностях L и емкостях C, где постоянными будут зависимость магнитного потока от тока - Ф(I) и зависимость заряда конденсатора от напряжения между его обкладками - q(U).

Яркий пример линейного элемента - . Ток через такой резистор в определенном диапазоне рабочих напряжений линейно зависит от величины сопротивления и от приложенного к резистору напряжения.

Нелинейные элементы

Если же для элемента электрической цепи зависимость тока от напряжения или напряжения от тока, а также сопротивление R, непостоянны, то есть изменяются в зависимости от тока или от приложенного напряжения, то такие элементы называются нелинейными, и соответственно электрическая цепь, содержащая минимум один нелинейный элемент, окажется .

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента уже не является прямой линией на графике, она непрямолинейна и часто несимметрична, как например у полупроводникового диода. Для нелинейных элементов электрической цепи закон Ома не выполняется.

В данном контексте речь может идти не только о лампе накаливания или о полупроводниковом приборе, но и о нелинейных индуктивностях и емкостях, у которых магнитный поток Ф и заряд q нелинейно связаны с током катушки или с напряжением между обкладками конденсатора. Поэтому для них вебер-амперные характеристики и кулон-вольтные характеристики будут нелинейными, они задаются таблицами, графиками или аналитическими функциями.

Пример нелинейного элемента - лампа накаливания. С ростом тока через нить накаливания лампы, ее температура увеличивается и сопротивление возрастает, а значит оно непостоянно, и следовательно данный элемент электрической цепи нелинеен.

Для нелинейных элементов свойственно определенное статическое сопротивление в каждой точке их ВАХ, то есть каждому отношению напряжения к току, в каждой точке на графике, - ставится в соответствие определенное значение сопротивления. Оно может быть посчитано как тангенс угла альфа наклона графика к горизонтальной оси I, как если бы эта точка лежала на линейном графике.

Еще у нелинейных элементов есть так называемое дифференциальное сопротивление, которое выражается как отношение бесконечно малого приращения напряжения - к соответствующему изменению тока. Данное сопротивление можно посчитать как тангенс угла между касательной к ВАХ в данной точке и горизонтальной осью.

Такой подход делает возможным простейший анализ и расчет простых нелинейных цепей.

На рисунке выше показана ВАХ типичного . Она располагается в первом и в третьем квадрантах координатной плоскости, это говорит нам о том, что при положительном или отрицательном приложенном к p-n-переходу диода напряжении (в том или ином направлении) будет иметь место прямое либо обратное смещение p-n-перехода диода. С ростом напряжения на диоде в любом из направлений ток сначала слабо увеличивается, а после резко возрастает. По этой причине диод относится к неуправляемым нелинейным двухполюсникам.

На этом рисунке показано семейство типичных ВАХ в разных условиях освещенности. Основной режимом работы фотодиода - режим обратного смещения, когда при постоянном световом потоке Ф ток практически неизменен в довольно широком диапазоне рабочих напряжений. В данных условиях модуляция освещающего фотодиод светового потока, приведет к одновременной модуляции тока через фотодиод. Таким образом, фотодиод - это управляемый нелинейный двухполюсник.

Это ВАХ , здесь видна ее явная зависимость от величины тока управляющего электрода. В первом квадранте - рабочий участок тиристора. В третьем квадранте начало ВАХ - малый ток и большое приложенное напряжение (в запертом состоянии сопротивление тиристора очень велико). В первом квадранте ток велик, падение напряжения мало - тиристор в данный момент открыт.

Момент перехода из закрытого - в открытое состояние наступает тогда, когда на управляющий электрод подан определенный ток. Переключение из открытого состояния - в закрытое происходит при снижении тока через тиристор. Таким образом, тиристор - это управляемый нелинейный трехполюсник (как и транзистор, у которого ток коллектора зависит от тока базы).

Свойства нелинейных двухполюсников обычно описывают их статическими характеристиками . Общепринятой характеристикой нелинейного резистивного двухполюсника является его вольт-амперная характеристика (ВАХ).

Статическая ВАХ – это зависимость тока, протекающего через нелинейный резистивный элемент, от приложенного к нему напряжения в установившемся режиме (или наоборот – зависимость падения напряжения на элементе от протекающего через него тока).

Статическая ВАХ определяет свойства элемента при переменном напряжении (токе) низкой частоты, значение которой не превышает предельно допустимого значения.

В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные двухполюсные элементы (резисторы с нелинейным сопротивлением, электровакуумные и полупроводниковые диоды) и нелинейные многополюсные элементы (транзисторы и тиристоры различных типов, электровакуумные триоды и пентоды).

ВАХ нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной (рис.15.2,а) или несимметричной (рис.15.2,б,в) относительно начала координат.

Рис.15.2 – Статические вольт-амперные характеристики различных

резистивных элеметов

Для симметричной ВАХ справедливо условие I (U ) = -I (-U ), а для несимметричной I (U )  -I (-U ).

Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного резистивного элемента с симметричной характеристикой поменять местами.

Различают нелинейные резистивные элементы с монотонной (рис.15.2,а) и немонотонной (рис.15.2,б,в) ВАХ.

У элементов с монотонной ВАХ увеличение приложенного к элементу напряжения приводит к росту (или хотя бы не уменьшению) тока и, наоборот, увеличение тока приводит к возрастанию напряжения на элементе.

Напряжение и ток на зажимах такого элемента связаны между собой однозначной зависимостью , причем производные ВАХ во всех ее токах принимают только неотрицательные значения , т.е.

,
.

ВАХ нелинейного элемента является немонотонной , если хотя бы в ограниченном диапазоне изменения токов и напряжений рост напряжения на зажимах элемента приводит к уменьшению тока или, наоборот, увеличение тока приводит к снижению напряжения.

Ток и напряжение нелинейного резистивного элемента с немонотонной ВАХ не связаны между собой взаимно однозначной зависимостью (рис.15.2,б,в).

Многообразие всех ВАХ нелинейных двухполюсников можно свести к шести основным типам (рис.15.3,а-е).

ВАХ могут иметь зон нечувствительности, т.е. «ступеньку» по напряжению или по току (рис.15.4,а,б)

Вид ВАХ нелинейного резистивного двухполюсника может зависеть от некоторой величины, не связанной непосредственно с токами или напряжениями цепи, в которую включен данный элемент, в частности от температуры, освещенности, давления и др. Такие элементы относятся к неэлектрически управляемым двухполюсникам.

Так как каждому значению управляющей величины соответствует своя кривая, характеризующая зависимость между током и напряжением на зажимах неэлектрически управляемого резистивного двухполюсника, также двухполюсники характеризуются не одной ВАХ, а семейством ВАХ (рис.15.5).

Рис.15.5 – Семейство ВАХ термистора.

Важнейший класс нелинейных резистивных элементов составляют электрически управлямые элементы (транзисторы различных типов, вакуумные и газоразрядные трехэлектродные и многоэлектродные приборы. Элементы этого типа содержат два основных электрода:

Катод и анод у электронных ламп;

Эмиттер и коллектор у биполярных транзисторов;

Сток и исток у полевых транзисторов.

Сопротивление между основными электродами изменяется под действием тока или напряжения одного или нескольких управляющих электродов:

Сетки у электронных ламп;

Базы у биполярных транзисторов;

Затвора или подложки у полевых транзисторов.

В частности, ток i нелинейного резистивного трехполюсника (рис.15.6), имеющего два основных и один управляющий электрод, является функцией напряжения между основными электродами u и тока управления i упр или напряжения u упр управляющего электрода:

i = i (u , i упр) i = i (u , u упр).

Рис.15.5 – Электрически управляемый нелинейный трехполюсник

Как видно из рис.15.5, электрически управляемый нелинейный резистивный трехполюсник имеет две стороны: входную (управляющую) и выходную (управляемую), причем один из выводов трехполюсника является общим для обеих сторон.

Электрически управляемые нелинейные резистивные элементы могут быть охарактеризованы различными семействами ВАХ.

Выходные ВАХ отображают зависимость между выходным током i и выходным напряжением u при различных значениях входного тока i упр или напряжения u упр .

Типовые выходные ВАХЪ биполярного транзистора в схеме с общим эмиттером (рис.15.6,а) представлены на рис.15.6,б.

Полная классификация нелинейных элементов представлена в таблице 15.1, а примеры нелинейных резистивных элементов с их условными графическими обозначениями и вольт-амперными характеристиками приведены в таблице 15.2.

Резистивные	1. По виду параметра	Признаки классификации	Табл.29.1 – Классификация нелинейных элементов
Индуктивные
Емкостные
Двухполюсные	2. По количес-тву внешних выводов
Многополюсные
Симметричные	3. По наличию симмет-рии ВАХ
Несимметричные
Монотонные	4. По наличию монотон-ности ВАХ
Немонотонные
С насыщением по току	5. По типу ВАХ
С насыщением по напряжению
S-типа (неоднозначность по току)
N-типа (неоднозначность по напряжению)
С зоной нечувствительности по току	6. По наличию зоны нечувствитель-ности
С зоной нечувствительности по напряжению
Без зоны нечувствительности
Неэлектрически управляемые	7. По способу управления
Электрически управляемые

Таблица 15.1 – Резистивные НЭ

Элемент, графическое обозначение		Характеристика
Двухполюсные резистивные элементы
Варистор		Симметричная I (U ) = -I (-U ), монотонная
Электровакуумный диод		Несимметричная, монотонная ВАХ (dI /dU ) > 0
Неоновая лампа		ВАХ с падающим участком (dI /dU ) < 0, несимметричная, немонотонная,
Полупровод-никовый диод
Стабилитрон		ВАХ несимметричная, монотонная
Тоннельный диод		ВАХ с падающим участком, несимметричная, немонотонная, N-типа
Неэлектрически управляемые двухполюсные резистивные элементы
Терморезистор		ВАХ с падающим участком, сопротивление зависит от температуры
Фотодиод		Сопротивление зависит от светового потока
Электрически управляемые трехполюсные резистивные элементы
Биполярный транзистор типа n - p - n	Выходные ВАХ	ВАХ несимметрична, монотонна, с насыщением по току. Выходной ток зависит от напряжения и от входного тока: I к = I (I Б, U кэ)
Тиристор		ВАХ несимметрична, немонотонна, S-типа, зависит от напряжения на управляющем электроде

2.2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и дифференциальное (динамическое ).

Статическое сопротивление характеризует рабочую точку нелинейного элемента по постоянному току, а дифференциальное – работу нелинейного элемента в окрестности этой рабочей точки.

Пусть резистивный нелинейный элемент имеет вольт-амперную характеристику, указанную на рисунке 15.8.

Статическое сопротивление – это соотношение напряжения к току в данной точке ВАХ.

(15.1)

где
- масштабный коэффициент;

m u , m i – масштабы по напряжению и току;

 - угол наклона секущей, проведенной через начало координат и рабочую точку, к оси токов.

Статическое сопротивление – это сопротивление нелинейного элемента постоянному току.

Очевидно статическая проводимость есть величина, обратная статическому сопротивлению

(15.2)

– это предел отношения приращения напряжения к соответствующему приращению тока при небольшом смещении рабочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения малой амплитуды:

Дифференциальное сопротивление – это сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды.

Нелинейными электрическими элементами (НЭ) цепи называются элементы, параметры которых зависят от напряжений, токов, магнитных потоков и других величин. Параметры объектов, представленных электрической цепью практически всегда нелинейны, но если степень выраженности этой нелинейности невелика, то их считают линейными. Если же пренебречь нелинейностью нельзя, то анализ процессов в цепи проводят с учетом реальных характеристик элементов.

В настоящее время нелинейные элементы получили очень широкое распространение, т.к. с их помощью решаются задачи принципиально неразрешимые на базе линейных объектов. К ним относятся такие задачи, как выпрямление переменного тока, стабилизация тока и напряжения, преобразование формы сигналов, усиление и др.

При изучении линейных электрических цепей было отмечено, что для анализа электромагнитных процессов используются три основных параметра , и . У линейных элементов эти отношения постоянны, у нелинейных – зависят от тока или напряжения.

Нелинейные резисторы характеризуются вольт-амперными характеристиками ; индуктивности – вебер-амперными , а емкости – кулон-вольтными . Эти характеристики могут задаваться в виде таблиц, графиков или аналитических функций.

Самое широкое распространение в технике получили нелинейные резисторы, поэтому в дальнейшем мы остановимся на вольт-амперных характеристиках (ВАХ), но все рассмотренные принципы и методы анализа могут быть использованы также для цепей с нелинейными индуктивностями и емкостями.

На рисунке а показана ВАХ полупроводникового диода. Она имеет ветви в первом и третьем квадрантах, соответствующие положительному и отрицательному направлениям приложенного напряжения, называемые характеристиками прямого и обратного смещения. С увеличением напряжения на диоде в обоих направлениях вначале ток увеличивается очень мало, а затем происходит его резкое увеличение. Этот элемент относится к неуправляемым нелинейным двухполюсникам .

На рисунке б приведены характеристики фотодиода при различных освещенностях. Основным режимом работы фотодиода является режим обратного смещения, в котором при постоянном световом потоке (Ф) ток остается практически неизменным в широком диапазоне изменения напряжения. Модуляция светового потока, освещающего фотодиод, будет приводить к модуляции протекающего тока. Таким образом, фотодиод является управляемым нелинейным двухполюсником

Третьим НЭ, ВАХ которого показана на рис. в, является тиристор. Это управляемый НЭ, т.к. его ВАХ зависит от величины тока управления . Рабочим участком характеристик является первый квадрант. Начальный участок характеристик соответствует малым токам при больших напряжениях, т.е. большому сопротивлению или закрытому состоянию, а конечный – большим токам при малых напряжениях (малому сопротивлению или открытому состоянию). Переход из закрытого состояния в открытое происходит при подаче на управляющий вход соответствующего тока. Обратный переход происходит при снижении протекающего тока.

Другим управляемым НЭ является полупроводниковый транзистор (рис. г). Он работает при прямом смещении и протекающий через него ток зависит от величины тока базы .

Тиристор и транзистор относятся к группе управляемых нелинейных трехполюсников , т.к. включаются в электрическую цепь тремя точками. Поэтому при анализе цепей с управляемыми трехполюсниками требуются минимум две группы ВАХ относительно какой-либо общей точки прибора.

Л11 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Темы СРСП

Подготовка к измерениям, уход за приборами. [Л1], стр.135-140.

Основная литература

1. М.С.Стернзат и А.А.Сапожников, Метеорологические приборы, наблюдения и их обработка, Л, ГМИ, 1959 г.

2.О.А.Городецкий, И.И.Гуральник, В.В.Ларин, Метеорология, методы и технические средства наблюдений, ГМИ, Л, 1984

Дополнительная литература

1. Наставления гидрометеорологическим станциям и постам, ч.1, Алматы, 2002 г.

2. А.В.Капустин, Н.П.Сторожук, Технические средства гидрометеорологической службы, СП, 2005

3. Н.П.Фатеев, Поверка метеорологических приборов, ГМИ, Л, 1975

4. Руководство по поверке метеорологических приборов, ГМИ, Л, 1967

Свойства элементов электрической цепи (сопротивления, индуктивности, емкости) описываются их статическими характеристиками. Статической характеристикой активного сопротивления является его вольтамперная характеристика. Для индуктивности статической характеристикой является вебер-амперная характеристика: зависимость между током i и магнитным потоком Ф. Статическая характеристика емкости представляет собой зависимость между зарядом q и напряжением u c . Она называется кулон-вольтной характеристикой.

Статическая характеристика элемента цепи выражается некоторой функциональной зависимостью y=f(x).

Функцию у можно рассматривать как отклик на воздействие х.

Статическим параметром элемента цепи называют отношение

Дифференциальный параметр равен

Дифференциальный параметр часто называют крутизной (S)

Так как у=рх, то

Параметры линейных элементов не зависят от режима работы т.е. от величины воздействия х.

Поэтому статическая характеристика линейного (пассивного) эле­мента представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 9.1.), а дифференциальный параметр – прямую, параллельную оси х (рис. 9.2.).

Рис. 9.1. Статическая характеристика линейного элемента

Рис. 9.2. Дифференциальный параметр линейного элемента

Значения статического и дифференциального параметров линейного элемента совпадают, т.е.

где m y и m x - масштабы по х и у, при m y =m x P=P d =tga.

Для нелинейного элемента характерно то, что его параметры зависят от режима работы, т.е. от величины воздействия х.

Нарисуем статическую характеристику какого-то Н.Э. (рис. 9.З).

Рис. 9.3. Статическая характеристика Н.Э.

В какой-либо произвольной точке характеристики m, статический параметр определяется углом a - наклона секущей, проведенной из начала координат в точку m (рис. 9.3).

Если m х =m y , то P=tga.

Дифференциальный параметр (крутизна) в той же точке пропорцио­нальна тангенсу угла b между касательной к кривой в данной точке и осью х (рис. 9.3).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Г.И. НОСОВА»

КАФЕДРА ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

О.И. Петухова, Л.В. Яббарова, Ю.И. Мамлеева

МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

1.1. Нелинейные элементы и их характеристики 3

1.2.3. Расчет цепей при смешанном соединении элементов 7

1.2.4. Преобразование активных нелинейных двухполюсников 8

1.2.5. Анализ разветвленных цепей 10

1.3. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов 12

1.3.1. Выбор аппроксимирующей функции 12

1.3.3. Аппроксимация ВАХ в окрестностях рабочей точки 18

2. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ 19

2.1. Основные понятия 19

2.2. Законы Ома и Кирхгофа для магнитных цепей 21

2.3. Расчет магнитных цепей постоянного тока 23

3.1. Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными нелинейными элементами 27

3.2. Особенности периодических процессов в цепях с безинерционными нелинейными сопротивлениями 30

3.3. Электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным сердечником 31

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

1.1. Нелинейные элементы и их характеристики

Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность элементов невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других – нелинейностью пренебречь нельзя. Более того, функционирование большинства радиоэлектронных устройств, невозможно без нелинейных элементов (выпрямление, умножение, ограничение, генерирование и т.д.).

Реальные нелинейные элементы подразделяются на безинерционныеи инерционные. Если зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения элементов при периодическом воздействии определяется статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ), то элемент относится к безинерционнымнелинейным элементам. Если статическая ВАХ и динамическая, снятая при частоте, равной или меньшей рабочей, не совпадают, то такой элемент следует рассматривать какинерционный.

Таким образом, инерционный нелинейный элемент является линейным относительно мгновенных значений тока и напряжения, а ВАХ, связывающая действующие значения оказывается нелинейной. Безинерционные элементы являются нелинейными как в отношении мгновенных значений
,
, так и в отношении действующихи.

В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные элементы двухполюсные (диоды, термисторы) имногополюсные (транзисторы, триоды, пентоды). Вольт - амперная характеристика нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной или несимметричной. ВАХ двухполюсника с симметричной характеристикой представлена на рис.1. Для нее выполняется условие:

,
. (1)

Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного элемента с симметричной характеристикой поменять местами. Если условие (1) не выполняется, ВАХ – несимметрична.

Отношение напряжения, измеряемого отрезком АВ к току, измеряемому отрезком ОВ (см.рис.1.), определяет в некотором масштабе
статическое сопротивлениеR в точке А.

(2)

Предел отношения приращения напряжения на участке цепи к приращению тока в нем или производная от напряжения по току в том же масштабе
, определяет дифференциальное сопротивление:

. (3)

Различают нелинейные элементы с монотоннойи немонотоннойВАХ. Для монотонныхВАХ иливсегда больше нуля.

Немонотонные характеристики разделяются на N-и S-типы. У элементов с N-образной характеристикой (рис. 2.а) одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных напряжений. У S-образнойВАХ одному значению напряжения может соответствовать несколько токов (рис. 2.б).

Рис.2. ВАХ различных нелинейных элементов

а) немонотонная N -типа; б) немонотонная S – типа;

в) ВАХ неэлектрически управляемого двухполюсника - термистора.

Вид ВАХ нелинейного элемента может зависеть от некоторой величины, не связанной с токами и напряжениями цепи, в которую включен элемент, в частности от температуры (рис. 2.в), освещенности, давления и т.д. Такие элементы относятся кнеэлектрически управляемым двухполюсникам.

Рис.3. Электрически управляемый элемент

а) транзистор; б) семейство входных ВАХ;

в) семейство выходных ВАХ.

Важнейший класс нелинейных элементов составляют электрическиуправляемые элементы(транзисторы, тиристоры, и т.д.). Они имеют два основных электрода и один управляющий (рис.3.а). Ток элемента определяется уравнениями:

или
. (4)

Выводы нелинейного управляемого трёхполюсника образуют с остальной частью цепи два контура – основной (выходной) и управляющий (входной).

Управляемые элементы характеризуются семействами ВАХ: выходными и входными. (рис.3.б,с)

Вид ВАХ нелинейного управляемого элемента существенно зависит от схемы включения элемента, т.е. от того какой из электродов является общим для основного и управляющего контуров. На принципиальных электрических схемах реальные нелинейные элементы изображаются с помощью установленных ЕСКД условных графических обозначений (рис.4).

Рис.4 Обозначения нелинейных элементов