Наибольшее количество информации около 90 человек получает. Глаза в большом городе: как сохранить зрение? Как можно избежать развития заболеваний и ухудшение зрения

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только надо пользоваться особыми таблицами сложения и умножения для каждой системы.

1. Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя правила счета.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления .

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75 .

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду :

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9,4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Вычитание

Заем единицы из старшего разряда

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Кроме десятичной существует неизмеримое количество других систем, при этом некоторые из них используются для представления и обработки информации в компьютере. Существуют два вида систем счисления: позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами называются такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места нахождения в числе. Примером может служить римская система счисления, в которой используются такие цифры как I, V, X, L, C, D, M и т.д.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её места положения. Позиционная система характеризуется основой исчисления, под которой будет пониматься такое число £, которое показывает, сколько единиц какого-либо разряда необходимо для получения единица старшего порядка.

Например, можно записать

Что соответствует числам в десятичной системе счисления

Индекс снизу указывает на основу счисления.

Для перевода положительных чисел, из одной системы счисления в другую известны два правила:

Перевод чисел из системы , в систему;

Перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы;

Рассмотрим первое правило . Допустим, число в десятичной системе необходимо представить в двоичной системе . Для этого данное число делится на основание системы представленное в системе , т.е. на 2 10 . Остаток от деления будет младшим разрядом двоичного числа. Целая часть результата от деления вновь делится на 2. Операцию деления повторять столько раз, пока частное не будет меньше двух.

Пример: 89 10 перевести в двоичное число, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления

89 10 → 1011001 2

Обратный перевод, согласно того же правила, следующий:

1011001 2 перевести в десятичное число, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления

Двоичные числа 1000 и 1001 согласно таблице 2.1 соответственно равны 8 и 9. Поэтому 1011001 2 → 89 10

Иногда обратный перевод удобнее осуществлять, пользуясь общим правилом представления числа в какой-либо системе исчисления.

Рассмотрим второе правило. Перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы. Для осуществления перевода необходимо каждую цифру числа в системеумножить на основание системы счисленияпредставленной в системе счисленияи в степени позиции этого числа. После чего полученные произведения суммируются.

Арифметические и логические операции

Арифметические операции

Рассмотрим арифметику двоичной системы счисления, так как именно она используется в современных компьютерах по следующим причинам:

Существуют простейшие физические элементы, которые имеют только два состояния и которые можно интерпретировать как 0 и 1;

Арифметическая обработка очень проста.

Числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления обычно используется как средство замены длинного и поэтому неудобного представления двоичных чисел.

Операции сложения, вычитания и умножения в двоичной системе имеют вид:

Как уже было продемонстрировано ранее, чтобы обойтись только сумматором, то есть выполнять лишь операции сложения, операция вычитания заменена на сложение. Для этого код отрицательного числа формируется как дополнение до чисел 2, 10, 100 и т.д.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком иделение углом . Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Толькотаблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы .

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево. Сложение и умножение двоичных чисел выполняется по правилам:

Примеры с двоичными числами:

101001 101 10111 1100,01

1011 + 011 + 10110 - 0,10

110100 1000 101101 1011,11

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

00000 + 100111

00000 + 100111

11011 + 100111

11110011 101011010001

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

101001101 1001 − 333 9 11110 110

1001 100101 27 37 - 110 101

1001 1001000 1000

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться необходимыми таблицами.

Процессор не умеет непосредственно осуществлять операцию вычитания, поэтому вычитание приходится сводить к сложению путем представления вычитаемого в так называемом дополнительном коде. Рассмотрим прежде всего обратный код числа. Например, 1001 (исходное число), а 0110 - обратный код + 1 = 0111 дополнительный код.

Т.е. вычитание в двоичной арифметике – это сложение уменьшаемого с дополнительным кодом вычитаемого. Например, из 101 2 вычесть 10 2

1) 10 2 = 010, его обратный код 101

2) затем увеличив обратный код на 1 получим дополнительный код 110

110 (или 5-2=3)

4) Отметим, что перенос из старшего результата означает, что полученный результат положителен

Вопросы для самоконтроля

Что называется системой счисления?

В чем отличие позиционных систем счисления от непозиционных?

Как определяется процесс кодирования информации и почему в нем существует необходимость?

Какие единицы измерения количества информации вы знаете?

Почему двоичное представление информации входит в число основных принципов работы современных ЭВМ?

Переведите из двоичной системы счисления в десятичную: 10100011 2 и 1101011 2 .

Что такое базис естественной позиционной системе счисления?

Какие методы перевода чисел от одной системы счисления в другую вы знаете?

Дополнительный материал

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25 311,2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 -1 = 201,25 C9,4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25