الرقم العشري 5 في النظام الثنائي. التحويل من أي نظام أرقام إلى نظام عشري
لقد تم استلام النتيجة بالفعل!
أنظمة الأرقام
هناك الموضعية وغير الموضعية أنظمة تحديد المواقعالحساب نظام الأرقام العربي الذي نستخدمه الحياة اليومية، هو موضعي، ولكن الروماني ليس كذلك. في أنظمة الأرقام الموضعية، يحدد موضع الرقم حجم الرقم بشكل فريد. دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال الرقم 6372 في نظام الأرقام العشري. لنرقم هذا الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:
ومن ثم يمكن تمثيل الرقم 6372 على النحو التالي:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
يحدد الرقم 10 نظام الأرقام (في في هذه الحالةهذا هو 10). يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.
النظر في الحقيقي عدد عشري 1287.923. لنرقمه بدءًا من موضع الرقم الصفر من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:
ومن ثم يمكن تمثيل الرقم 1287.923 على النحو التالي:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
بشكل عام، يمكن تمثيل الصيغة على النحو التالي:
ج ن سن +ج ن-1 · سن-1+...+ج1 · س 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
حيث C n هو عدد صحيح في الموضع ن، D -k - رقم كسري في الموضع (-k)، س- نظام رقم.
بضع كلمات عن أنظمة الأرقام يتكون الرقم في نظام الأرقام العشري من العديد من الأرقام (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، في نظام الأرقام الثماني يتكون من العديد من الأرقام. (0,1, 2,3,4,5,6,7), بوصة النظام الثنائيالتدوين - من مجموعة أرقام (0,1)، في نظام الأرقام السداسية العشرية - من مجموعة أرقام (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9،A،B،C ، D، E، F)، حيث A، B، C، D، E، F تتوافق مع الأرقام 10،11،12،13،14،15. يوضح الجدول 1 الأرقام الموجودة أنظمة مختلفةالحساب
| الجدول 1 | |||
|---|---|---|---|
| الرموز | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | أ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | ج |
| 13 | 1101 | 15 | د |
| 14 | 1110 | 16 | ه | 15 | 1111 | 17 | F |
تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر
لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر، أسهل طريقة هي تحويل الرقم أولاً إلى النظام العشرينظام الأرقام، ثم قم بالتحويل من نظام الأرقام العشري إلى نظام الأرقام المطلوب.
تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري
باستخدام الصيغة (1)، يمكنك تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري.
مثال 1. تحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثنائية (SS) إلى النظام العشري SS. حل:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4+ 1 ·2 3+ 1 ·2 2+ 0 ·2 1+ 1 ·2 0+ 0 ·2 -1+ 0 ·2 -2+ 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
مثال2. تحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثماني (SS) إلى النظام العشري SS. حل:
مثال 3 . تحويل الرقم AB572.CDF من نظام الأرقام الست عشري إلى النظام العشري SS. حل:
هنا أ- تم استبداله بـ 10، ب- في 11، ج- في 12، F- بحلول 15.
تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر
لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، تحتاج إلى تحويل الجزء الصحيح من الرقم والجزء الكسري من الرقم بشكل منفصل.
يتم تحويل الجزء الصحيح من الرقم من نظام SS العشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق قسمة الجزء الصحيح من الرقم بالتتابع على أساس نظام الأرقام (لـ SS الثنائي - على 2، لـ SS 8-ary - على 8، لـ 16 -ary SS - بمقدار 16، وما إلى ذلك) حتى يتم الحصول على بقايا كاملة، أقل من CC الأساسي.
مثال 4 . لنقم بتحويل الرقم 159 من SS العشري إلى SS الثنائي:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
كما يظهر في الشكل. 1، الرقم 159 عند قسمته على 2 يعطي الناتج 79 والباقي 1. علاوة على ذلك، الرقم 79 عند قسمته على 2 يعطي الناتج 39 والباقي 1، إلخ. نتيجة لذلك، عند إنشاء رقم من بقايا القسمة (من اليمين إلى اليسار)، نحصل على رقم في SS الثنائي: 10011111 . ولذلك يمكننا أن نكتب:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 . لنقم بتحويل الرقم 615 من SS العشري إلى SS الثماني.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
عند تحويل رقم من رقم عشري إلى رقم ثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم بالتتابع على 8 حتى تحصل على عدد صحيح متبقي أقل من 8. ونتيجة لذلك، فإننا نحصل على رقم من بواقي القسمة (من اليمين إلى اليسار) رقم في الثماني SS: 1147 (انظر الشكل 2). ولذلك يمكننا أن نكتب:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 . لنقم بتحويل الرقم 19673 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
كما يتبين من الشكل 3، من خلال قسمة الرقم 19673 على 16 على التوالي، يكون الباقي هو 4، 12، 13، 9. في نظام الأرقام السداسي العشري، الرقم 12 يتوافق مع C، والرقم 13 - D. لذلك، لدينا رقم سداسي عشري- هذا 4CD9.
لتحويل الكسور العشرية العادية (رقم حقيقي بجزء صحيح صفري) إلى نظام أرقام ذو أساس s، تحتاج إلى رقم معيننضرب على التوالي بـ s حتى يصبح الجزء الكسري صفرًا خالصًا، أو نحصل على العدد المطلوب من الأرقام. إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ هذا الجزء الصحيح في الاعتبار (يتم تضمينه في النتيجة بالتسلسل).
دعونا نلقي نظرة على ما سبق مع الأمثلة.
مثال 7 . دعونا نحول الرقم 0.214 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي.
| 0.214 | ||
| س | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| س | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| س | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| س | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| س | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| س | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| س | 2 | |
| 1 | 0.392 |
كما يتبين من الشكل 4، يتم ضرب الرقم 0.214 بالتتابع في 2. إذا كانت نتيجة الضرب رقمًا يحتوي على جزء صحيح غير الصفر، إذن الجزء الكامليتم كتابته بشكل منفصل (على يسار الرقم)، ويتم كتابة الرقم بجزء عدد صحيح صفر. إذا نتج عن الضرب رقم جزءه صحيح صفر، فيكتب صفر على يساره. وتستمر عملية الضرب حتى يصل الجزء الكسري إلى الصفر الخالص أو نحصل على العدد المطلوب من الأرقام. وبكتابة الأرقام بالخط العريض (الشكل 4) من الأعلى إلى الأسفل نحصل على الرقم المطلوب في نظام الأرقام الثنائية: 0. 0011011 .
ولذلك يمكننا أن نكتب:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 . لنقم بتحويل الرقم 0.125 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي.
| 0.125 | ||
| س | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| س | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| س | 2 | |
| 1 | 0.0 |
ولتحويل الرقم 0.125 من الرقم العشري SS إلى الثنائي يتم ضرب هذا الرقم بالتسلسل في 2. وفي المرحلة الثالثة تكون النتيجة 0، وبالتالي يتم الحصول على النتيجة التالية:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 . لنقم بتحويل الرقم 0.214 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري.
| 0.214 | ||
| س | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| س | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| س | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| س | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| س | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| س | 16 | |
| 4 | 0.224 |
باتباع المثالين 4 و5، نحصل على الأرقام 3، 6، 12، 8، 11، 4. لكن في نظام SS السداسي العشري، يتوافق الرقمان 12 و11 مع الرقمين C وB. لذلك، لدينا:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
مثال 10 . لنقم بتحويل الرقم 0.512 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثماني.
| 0.512 | ||
| س | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| س | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| س | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| س | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| س | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| س | 8 | |
| 1 | 0.728 |
يملك:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 . دعونا نحول الرقم 159.125 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي. للقيام بذلك، نترجم بشكل منفصل الجزء الصحيح من الرقم (المثال 4) والجزء الكسري من الرقم (المثال 8). مزيد من الجمع بين هذه النتائج نحصل على:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 . لنقم بتحويل الرقم 19673.214 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري. للقيام بذلك، نترجم بشكل منفصل الجزء الصحيح من الرقم (المثال 6) والجزء الكسري من الرقم (المثال 9). وعلاوة على ذلك، والجمع بين هذه النتائج التي نحصل عليها.
نواجه نظام الأرقام الثنائية عند دراسة تخصصات الكمبيوتر. بعد كل شيء، على أساس هذا النظام يتم بناء المعالج وبعض أنواع التشفير. توجد خوارزميات خاصة لكتابة الرقم العشري في النظام الثنائي والعكس. إذا كنت تعرف مبدأ بناء النظام، فلن يكون من الصعب العمل فيه.
مبدأ بناء نظام من الأصفار والواحدات
تم بناء نظام الأرقام الثنائية باستخدام رقمين: صفر وواحد. لماذا هذه الأرقام بالذات؟ ويرجع ذلك إلى مبدأ بناء الإشارات المستخدمة في المعالج. عند أدنى مستوى لها، تأخذ الإشارة قيمتين فقط: خطأ وصحيح. ولذلك جرت العادة على الإشارة إلى غياب الإشارة «كاذبة» بالصفر، ووجودها «صحيح» بالواحد. هذا المزيج سهل التنفيذ من الناحية الفنية. يتم تشكيل الأرقام في النظام الثنائي بنفس الطريقة كما في النظام العشري. عندما يصل الرقم إلى الحد الأعلى، تتم إعادة تعيينه إلى الصفر وإضافة رقم جديد. يستخدم هذا المبدأ للتحرك خلال العشرة في النظام العشري. وهكذا فإن الأرقام تتكون من مجموعات من الأصفار والواحدات، ويسمى هذا المزيج "نظام الأرقام الثنائية".
تسجيل رقم في النظام |
|||
بالنظام العشري | في ثنائي | بالنظام العشري | في ثنائي |
كيفية كتابة رقم ثنائي كرقم عشري؟
هناك خدمات عبر الإنترنت تقوم بتحويل الأرقام إلى ثنائية والعكس، ولكن من الأفضل أن تكون قادرًا على القيام بذلك بنفسك. عند الترجمة، يُشار إلى النظام الثنائي بالرمز 2، على سبيل المثال، 101 2. يمكن تمثيل كل رقم في أي نظام كمجموع أرقام، على سبيل المثال: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - في النظام العشري. يتم تمثيل الرقم أيضًا بالثنائي. لنأخذ عدد التعسفي 101 واعتبرها. يتكون من 3 أرقام، لذلك نقوم بترتيب الرقم بهذه الطريقة: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10، حيث يشير الرقم 10 إلى النظام العشري.
كيفية كتابة عدد أولي بالنظام الثنائي؟
من السهل جدًا التحويل إلى نظام الأرقام الثنائية عن طريق قسمة الرقم على اثنين. من الضروري التقسيم حتى يكون من الممكن إكماله بالكامل. على سبيل المثال، خذ الرقم 871. نبدأ في القسمة، مع التأكد من كتابة الباقي:
871:2=435 (الباقي 1)
435:2=217 (الباقي 1)
217:2=108 (الباقي 1)
ويكتب الجواب حسب الباقي الناتج في الاتجاه من النهاية إلى البداية: 871 10 = 101100111 2. يمكنك التحقق من صحة الحسابات باستخدام نقل عكسي، الموصوفة سابقًا.
لماذا تحتاج إلى معرفة قواعد الترجمة؟
يستخدم نظام الأرقام الثنائية في معظم التخصصات المتعلقة بإلكترونيات المعالجات الدقيقة، والتشفير، ونقل البيانات والتشفير، وفي مجالات البرمجة المختلفة. معرفة أساسيات الترجمة من أي نظام إلى ثنائي ستساعد المبرمج على تطوير الدوائر الدقيقة المختلفة والتحكم في تشغيل المعالج وغيرها أنظمة مماثلة برمجيا. يعد نظام الأرقام الثنائية ضروريًا أيضًا لتنفيذ طرق نقل حزم البيانات عبر القنوات المشفرة والإنشاء بناءً عليها مشاريع البرمجياتنوع "خادم العميل". في دورة علوم الكمبيوتر المدرسية، تعتبر أساسيات التحويل إلى النظام الثنائي والعكس هي المادة الأساسية لدراسة البرمجة في المستقبل وإنشاء برامج بسيطة.
يتم تنفيذ العمليات الحسابية في أنظمة الأرقام الموضعية باستخدام خوارزمية واحدة. وبالتالي، فإن إضافة الأرقام الثنائية تتم وفقًا لخوارزمية "العمود" الكلاسيكية مع نقل الرقم الذي يكون مضاعفًا لاثنين في واحد إلى الرقم التالي.
لنفكر في هذه الخوارزمية باستخدام مثال الرقمين الثنائيين 1010101 2 و110111 2:
تبدو نتيجة الإضافة 10001100 2. دعونا نتحقق من نتيجة الإضافة عن طريق تحويل جميع الأرقام إلى نظام الأرقام العشري:
1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .
النظام الثنائي، الذي هو أساس حساب الكمبيوتر، مرهق للغاية وغير مناسب للاستخدام البشري. لذلك، يستخدم المبرمجون مضاعفين لنظام الأرقام الثنائية: الثماني والسداسي العشري. في حالة النظام السداسي العشري، تكون الأرقام العربية مفقودة ويتم استخدام الأحرف الستة الأولى من الأبجدية اللاتينية كأرقام. تم وضع أمثلة لكتابة الأعداد الطبيعية من 1 إلى 16 في أنظمة الأرقام الأربعة الجدول 2.
الجدول 2. أمثلة على كتابة الأعداد الطبيعية من 1 إلى 16
في أنظمة الأرقام الأربعة
من الجداول 2ويمكن ملاحظة أنه في النظام الثنائي يختلف تسجيل أرقام الثمانية الثانية (من 8 إلى 15) عن تسجيل الثمانية الأولى (من 0 إلى 7) بوجود وحدة في الرابع (يمين). ) رقم. تعتمد خوارزمية تحويل الأرقام الثنائية إلى أرقام ثمانية "بالثلاثيات" على هذا. لتطبيق هذه الخوارزمية، تحتاج إلى تقسيم الرقم الثنائي إلى ثلاثة أرقام (العد من اليمين) وكتابة رقم ثماني بدلاً من كل رقم ثلاثي:
10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .
قد تكون الثلاثية الموجودة في أقصى اليسار غير مكتملة (كما في المثال)؛ للحصول على ثلاثية كاملة، يمكنك إضافة أصفار مفقودة إلى اليسار.
دعونا نتأكد من صحة الخوارزمية:
10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;
255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .
لتحويل الأرقام من النظام الثماني إلى النظام الثنائي، يتم استخدام خوارزمية عكسية: يتم استبدال الأرقام الثمانية بثلاثة أرقام ثنائية (إذا لزم الأمر، تتم إضافة الأصفار المفقودة إلى اليسار):
325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .
لتحويل الأرقام من ثنائي إلى سداسي عشري، يتم استخدام خوارزمية "by tetrad". يتم تقسيم سلسلة الأرقام الثنائية إلى رباعيات ويتم كتابة أرقام سداسية عشرية بدلاً من ذلك:
10101101 2 → 1010 1101 → م 16.
تعمل الخوارزمية العكسية بشكل مشابه: بدلاً من الأرقام السداسية العشرية، يتم استبدال الأرقام الثنائية الرباعية.
من الأسهل التحويل من النظام الثماني إلى النظام الست عشري والعكس باستخدام النظام الثنائي:
D5 16 → د 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .
عند تنفيذ المهام المتعلقة بجمع أرقام من أنظمة أرقام مختلفة، يجب تحويلها إلى نظام أرقام واحد. من الأفضل استخدام النظام الذي يجب أن يتم عرض النتيجة فيه.
المهمة 14. (المهمة A6 الإصدار التجريبي 2004)
احسب قيمة المجموع بالتدوين العشري:
10 2 +10 8 +10 16 = ? 10
حل.
دعونا نحول جميع الأرقام إلى تدوين عشري:
10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .
إجابة: 26.
المهمة 15.
أوجد المجموع x+y إذا x=1110101 2 , y=1011011 2 . عبر عن إجابتك بالرمز الثماني.
حل.
لنجد المجموع: 1110101 2 + 1011011 2:
1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2
لنقم بتحويل الرقم الناتج من نظام الأرقام الثنائية إلى الرقم الثماني:
11 010 000 → 320 8 .
إجابة: 320.
المهمة 16.(المهمة B1 من العرض التوضيحي لعام 2004)
في نظام الأعداد الذي يحتوي على بعض الأساسات، يُكتب الرقم 12 على الشكل 110. أوجد هذا الأساس.
حل.
دعونا نشير إلى القاعدة المطلوبة بواسطة n. بناءً على قواعد كتابة الأرقام بالتدوين الموضعي 110 n =n 2 +n 1 +0. لنقم بعمل معادلة: n 2 + n=12، أوجد الجذور: n 1 =-4، n 2 =3. الجذر n 1 = -4 غير مناسب، لأن أساس نظام الأرقام، حسب التعريف، هو عدد طبيعي أكبر من واحد. دعونا نتحقق مما إذا كان الجذر n=3 مناسبًا:
110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10
إجابة: 3.
يمارس17 .
في الفصل 1111 هناك فتاتان و1100 فتيان. كم عدد الطلاب في الفصل؟
حل.
1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .
1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10
15 10 +12 10 =27 10
إجابة: هناك 27 طالبا في الفصل.
يمارس18 .
يوجد في الحديقة 100 شجرة فاكهة، منها 33 شجرة تفاح و22 كمثرى و16 خوخ و5 كرز. في أي نظام أرقام يتم حساب الأشجار؟
حل.
100 س = 33 س + 22 س + 16 س + 5 س
1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0
س 2 = 3س+3+2س+2+ 1س+6+5
د=ب 2 -4أ=36+4*16=36+64=100
× 1.2 = 
= (6±10)/2
× 1 = - 2 – لا يحقق معنى المشكلة،
× 2 = 8 – قاعدة نظام الأرقام المطلوب.
إجابة: يتم عد الأشجار في نظام الأرقام الثماني.
يمارس19 .
مفصولة بفواصل، بترتيب تصاعدي، تشير إلى جميع أسس أنظمة الأرقام التي ينتهي فيها الرقم 17 بالرقم 2.
حل.
الرقم الأخير في الرقم هو الباقي عند قسمة الرقم على أساس نظام الأرقام. بما أن 17-2=15، فإن الأسس المطلوبة لأنظمة الأعداد ستكون قواسم 15، وهي: 3، 5، 15.
دعونا نتحقق من إجابتنا من خلال تمثيل الرقم 17 في أنظمة الأرقام المقابلة:
تتيح لك الآلة الحاسبة تحويل الأعداد الصحيحة والكسرية من نظام أرقام إلى آخر. لا يمكن أن يكون أساس نظام الأرقام أقل من 2 وأكبر من 36 (10 أرقام و26 حروف لاتينيةبعد كل ذلك). يجب ألا يتجاوز طول الأرقام 30 حرفًا. للدخول أرقام كسريةاستخدم الرمز. أو، . لتحويل رقم من نظام إلى آخر، أدخل الرقم الأصلي في الحقل الأول، الجذر النظام الأصليالرقم في الحقل الثاني وقاعدة نظام الأرقام الذي تريد تحويل الرقم إليه في الحقل الثالث، ثم انقر فوق الزر "الحصول على السجل".
الرقم الأصلي مكتوب في 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.
أريد الحصول على رقم مكتوب 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.
الحصول على الدخول
الترجمات المكتملة: 1363703
أنظمة الأرقام
تنقسم أنظمة الأرقام إلى نوعين: الموضعيةو ليس موضعيا. نحن نستخدم النظام العربي، وهو موضعي، ولكن هناك أيضًا النظام الروماني - وهو ليس موضعيًا. في الأنظمة الموضعية، يحدد موضع الرقم في الرقم قيمة هذا الرقم بشكل فريد. من السهل فهم ذلك من خلال النظر إلى بعض الأرقام كمثال.
مثال 1. لنأخذ الرقم 5921 في نظام الأرقام العشري. لنرقم الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:
يمكن كتابة الرقم 5921 بالشكل التالي: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . الرقم 10 هو الخاصية التي تحدد نظام الأرقام. يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.
مثال 2. خذ بعين الاعتبار الرقم العشري الحقيقي 1234.567. لنرقمها ابتداءً من موقف الصفرالأرقام من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:
يمكن كتابة الرقم 1234.567 بالشكل التالي: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر
معظم بطريقة بسيطةتحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر هو تحويل الرقم أولاً إلى نظام أرقام عشري، ثم النتيجة الناتجة إلى نظام الأرقام المطلوب.
تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري
لتحويل رقم من أي نظام أرقام إلى نظام عشري، يكفي ترقيم أرقامه، بدءًا من الصفر (الرقم الموجود على يسار العلامة العشرية) كما في المثالين 1 أو 2. فلنوجد مجموع حاصل ضرب الأرقام من الرقم بقاعدة نظام الأرقام إلى قوة موضع هذا الرقم:
1.
تحويل الرقم 1001101.1101 2 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
إجابة: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
تحويل الرقم E8F.2D 16 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
إجابة: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر
لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، يجب تحويل الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم بشكل منفصل.
تحويل جزء صحيح من رقم من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر
يتم تحويل الجزء الصحيح من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق قسمة الجزء الصحيح من الرقم بالتسلسل على أساس نظام الأرقام حتى يتم الحصول على باقي كامل أقل من أساس نظام الأرقام. وستكون نتيجة الترجمة عبارة عن سجل للباقي، بدءًا من الترجمة الأخيرة.
3.
تحويل الرقم 273 10 إلى نظام الأرقام الثماني.
حل: 273 / 8 = 34 والباقي 1. 34 / 8 = 4 والباقي 2. 4 أقل من 8، وبذلك تكون العملية الحسابية قد اكتملت. سيبدو السجل من الأرصدة كما يلي: 421
فحص: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، النتيجة واحدة. وهذا يعني أن الترجمة تمت بشكل صحيح.
إجابة: 273 10 = 421 8
دعونا نفكر في ترجمة الكسور العشرية العادية إلى أنظمة أرقام مختلفة.
تحويل الجزء الكسري من رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر
تذكر أن الكسر العشري الصحيح يسمى عدد حقيقي مع جزء صحيح صفر. لتحويل هذا الرقم إلى نظام أرقام ذو الأساس N، تحتاج إلى ضرب الرقم بالتسلسل في N حتى جزءلن يتم إعادة التعيين أو لن يتم استلام العدد المطلوب من الأرقام. إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ الجزء الصحيح في الاعتبار بشكل أكبر، حيث يتم إدخاله بالتسلسل في النتيجة.
4.
تحويل الرقم 0.125 10 إلى نظام الأرقام الثنائية.
حل: 0.125·2 = 0.25 (0 هو الجزء الصحيح الذي سيصبح الرقم الأول من النتيجة)، 0.25·2 = 0.5 (0 هو الرقم الثاني من النتيجة)، 0.5·2 = 1.0 (1 هو الرقم الثالث من النتيجة، وبما أن الجزء الكسري هو صفر، فقد اكتملت الترجمة).
إجابة: 0.125 10 = 0.001 2
1. العد الترتيبي في أنظمة الأعداد المختلفة.
في حياة عصريةنحن نستخدم أنظمة الأرقام الموضعية، أي الأنظمة التي يعتمد فيها الرقم المشار إليه برقم على موضع الرقم في تدوين الرقم. لذلك، في المستقبل سوف نتحدث عنها فقط، وحذف مصطلح "الموضعية".
ولكي نتعلم كيفية تحويل الأرقام من نظام إلى آخر، سوف نفهم كيفية حدوث التسجيل المتسلسل للأرقام باستخدام مثال النظام العشري.
نظرًا لأن لدينا نظام أرقام عشري، فلدينا 10 رموز (أرقام) لبناء الأرقام. نبدأ العد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. انتهت الأرقام. نقوم بزيادة عمق البت للرقم وإعادة تعيين الرقم ذو الترتيب المنخفض: 10. ثم نقوم بزيادة الرقم ذو الترتيب المنخفض مرة أخرى حتى تختفي جميع الأرقام: 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19. نقوم بزيادة الرقم ذو الترتيب العالي بمقدار 1 وإعادة ضبط الرقم ذو الترتيب المنخفض: 20. عندما نستخدم جميع الأرقام لكلا الرقمين (نحصل على الرقم 99)، فإننا نقوم مرة أخرى بزيادة سعة الرقم وإعادة تعيين الرقم الأرقام الموجودة: 100. وهكذا.
دعونا نحاول أن نفعل الشيء نفسه في الأنظمة الثاني والثالث والخامس (نقدم تدوين النظام الثاني والثالث وما إلى ذلك):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
إذا كان نظام الأرقام يحتوي على قاعدة أكبر من 10، فسيتعين علينا الدخول شخصيات إضافيةمن المعتاد إدخال حروف الأبجدية اللاتينية. على سبيل المثال، بالنسبة لنظام الـ 12 رقم، بالإضافة إلى العشرة أرقام، نحتاج إلى حرفين ( و ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. التحويل من نظام الأرقام العشرية إلى أي نظام آخر.
لتحويل رقم عشري صحيح موجب إلى نظام أرقام له أساس مختلف، تحتاج إلى تقسيم هذا الرقم على القاعدة. اقسم الناتج الناتج على القاعدة مرة أخرى، ثم اقسم الناتج حتى يصبح الناتج أقل من القاعدة. ونتيجة لذلك، اكتب في سطر واحد الحاصل الأخير وكل الباقي، بدءًا من الأخير.
مثال 1.دعونا نحول الرقم العشري 46 إلى نظام الأرقام الثنائية.
مثال 2.دعونا نحول الرقم العشري 672 إلى النظام الثمانيالحساب
مثال 3.دعونا نحول الرقم العشري 934 إلى نظام سداسي عشريالحساب
3. التحويل من أي نظام أرقام إلى النظام العشري.
لكي تتعلم كيفية تحويل الأرقام من أي نظام آخر إلى نظام عشري، دعنا نحلل التدوين المعتاد للرقم العشري.
على سبيل المثال، العدد العشري 325 هو 5 وحدات وعشرتان و3 مئات، أي.
الوضع هو نفسه تمامًا في أنظمة الأرقام الأخرى، فقط سنضرب ليس في 10، 100، وما إلى ذلك، ولكن في قوى قاعدة نظام الأرقام. على سبيل المثال، لنأخذ الرقم 1201 في نظام الأرقام الثلاثي. دعونا نرقم الأرقام من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر ونتخيل رقمنا كمجموع منتجات رقم وثلاثة أس رقم الرقم:
هذا ما هو عليه العشريرقمنا، أي.
مثال 4.دعونا نحول إلى نظام الأرقام العشرية الرقم الثماني 511.
مثال 5.دعونا نحول الرقم السداسي العشري 1151 إلى نظام الأرقام العشري.
4. التحويل من النظام الثنائي إلى النظام ذو الأساس “قوة الاثنين” (4، 8، 16، إلخ).
لتحويل عدد ثنائيفي رقم أساسه "قوة اثنين"، من الضروري تقسيم التسلسل الثنائي إلى مجموعات وفقًا لعدد الأرقام المساوية للأس من اليمين إلى اليسار واستبدال كل مجموعة بالرقم المقابل نظام جديدالحساب
على سبيل المثال، دعونا نحول الرقم الثنائي 1100001111010110 إلى النظام الثماني. للقيام بذلك، سوف نقوم بتقسيمها إلى مجموعات مكونة من 3 أحرف تبدأ من اليمين (منذ)، ثم نستخدم جدول المراسلات ونستبدل كل مجموعة برقم جديد:
لقد تعلمنا كيفية بناء جدول المراسلات في الخطوة 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
أولئك.
مثال 6.دعونا نحول الرقم الثنائي 1100001111010110 إلى رقم سداسي عشري.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | أ |
| 1011 | ب |
| 1100 | ج |
| 1101 | د |
| 1110 | ه |
| 1111 | F |
5. التحويل من نظام ذو قاعدة "قوة اثنين" (4، 8، 16، إلخ) إلى نظام ثنائي.
هذه الترجمة مشابهة للترجمة السابقة، التي تم إجراؤها في الجانب المعاكس: نستبدل كل رقم بمجموعة أرقام ثنائية من جدول البحث.
مثال 7.دعونا نحول الرقم السداسي العشري C3A6 إلى نظام الأرقام الثنائية.
للقيام بذلك، استبدل كل رقم من الرقم بمجموعة مكونة من 4 أرقام (منذ ) من جدول المراسلات، مع استكمال المجموعة بالأصفار في البداية إذا لزم الأمر: