القيد في الشكل القانوني له الشكل. الأشكال المختلفة لكتابة مشكلة البرمجة الخطية

الشكل الكنسي، إذا كنت ترغب في تعظيم الدالة الهدف، فإن جميع قيود النظام عبارة عن معادلات ويتم فرض شرط عدم السالب على جميع المتغيرات.

مهمة البرمجة الخطيةاجلس هنا شكل متماثل، إذا كان مطلوبًا تعظيم الدالة الهدف، فإن جميع قيود النظام هي متباينات "" (أو تصغير الدالة الهدف، جميع قيود النظام هي متباينات "") ويتم فرض شرط عدم السالب على جميع المتغيرات.

يتم استدعاء مجموعة من الأرقام الحل المقبول (الخطة)، إذا كان يفي بنظام قيود ZLP.

الكثير من الجميع الحلول المقبولةمُسَمًّى مجال الحلول الممكنة(ODR).

يتم استدعاء الحل المقبول الذي يتم من خلاله تحقيق الحد الأقصى (الحد الأدنى) لقيمة الوظيفة خطة PAP الأمثل.

مصطلحات "الخطة" و"الخطة المثلى" تنشأ من التطبيقات الاقتصادية.

جميع الأشكال الثلاثة لتسجيل ZLP متكافئة بمعنى أن هناك خوارزميات للانتقال من نموذج إلى آخر. وبالتالي، إذا كانت هناك طريقة لحل مشكلة ما بأحد الأشكال، فمن الممكن دائمًا تحديد الخطة المثالية للمشكلة المقدمة بأي شكل آخر. تم حل المشكلة في شكل متماثل طريقة رسومية، وفي الشكل المتعارف عليه – بالطريقة البسيطة.

دعونا نفكر في خوارزميات الانتقال من نموذج إلى آخر.

• 
  متماثل  قانوني.ويتم الانتقال عن طريق إضافة متغير إضافي غير سلبي إلى الجانب الأيسر من كل متباينة. إذا كانت المتراجحة "≥"، يضاف متغير التوازن إلى الجانب الأيسر من المتراجحة بعلامة "+". إذا كانت المتراجحة ""، فسيتم إضافة متغير التوازن إلى الجانب الأيسر من المتراجحة بعلامة "-". تسمى المتغيرات الجديدة المقدمة ورقة التوازن. يتم استبدال مشكلة تصغير الدالة Z بمشكلة تعظيم الدالة (–Z) ويتم استخدام أن min Z = –max (–Z).
• 
  الكنسي  متماثل.لتنفيذ مثل هذا التحول، تم العثور على حل عام لنظام المعادلات – القيود، ويتم التعبير عن الدالة المستهدفة من حيث المتغيرات الحرة. وبعد ذلك، وبالاستفادة من عدم سلبية المتغيرات الأساسية، يمكننا استبعادها من المشكلة. سيحتوي الشكل المتماثل للمشكلة على عدم مساواة تتعلق بالمتغيرات الحرة فقط ودالة موضوعية تعتمد فقط على المتغيرات الحرة. تم العثور على قيم المتغيرات الأساسية من الحل العام لنظام المعادلات الأصلي.
• 
  عام  قانوني.يتم تمثيل كل متغير لم يُفرض عليه شرط عدم السلبية على أنه الفرق بين متغيرين جديدين غير سلبيين. يتم تحويل المتباينات إلى معادلات عن طريق إدخال متغير التوازن على الجانب الأيسر من كل متباينة بنفس الطريقة التي تم وصفها في الانتقال من الشكل المتماثل إلى الشكل القانوني. يتم استبدال مشكلة تصغير الدالة Z بمشكلة تعظيم الدالة (–Z) بنفس الطريقة التي تم وصفها أثناء الانتقال من الشكل المتماثل إلى الشكل القانوني.

1. طريقة رسومية لحل مشكلة البرمجة الخطية

يتم استخدام الطريقة الرسومية لحل LLP المعطى في شكل متماثل. تُستخدم هذه الطريقة بشكل أكثر فعالية لحل المشكلات ذات المتغيرين، لأن يتطلب الانشاءات الرسومية. في حالة المتغيرات الثلاثة، الإنشاءات في ر 3 ، في حالة أربعة متغيرات، الإنشاءات في ر 4 إلخ.

مجموعة النقاط تسمى محدب، إذا كانت أي نقطتين من المجموعة تحتوي على مقطع يربط بينهما.

مثال 1

مجموعات النقاط التالية على المستوى محدبة:

مجموعات النقاط التالية على المستوى ليست محدبة:

النظرية 1 تقاطع أي عدد من المجموعات المحدبة هو مجموعة محدبة.

النظرية 2 يجب أن يكون هناك نقطتان تعسفيتان في الفضاء ر ن. ثم لأي نقطة من القطعة [ PQ] يجب أن يتم تنفيذه: .where .

طائرة مفرطةفي الفضاء ر نهي مجموعة من النقاط التي تحقق المعادلة. لاحظ أنه في الحالة ثنائية الأبعاد، يكون المستوى الزائد خطًا مستقيمًا.

نصف المساحةهي مجموعة من النقاط التي تحقق إحدى المتباينات أو . يقسم المستوى الزائد النقاط في الفضاء إلى نصفين. في الحالة ثنائية الأبعاد، يكون المستوى الزائد عبارة عن نصف مستوى.

النظرية 3 نصف المساحة عبارة عن مجموعة محدبة.

عاقبة تقاطع أي عدد من أنصاف المساحات هو مجموعة محدبة.

متعدد السطوحيسمى تقاطع واحد أو أكثر من نصف المساحة. يسمى متعدد السطوح في الحالة ثنائية الأبعاد بالمضلع.

مثال 2

المجموعات التالية هي المضلعات.

مجموعة محدودة

مجموعة غير محدودة

نقطة واحدة

مجموعة فارغة

تسمى نقطة المجموعة المحدبة الزاوي، إذا لم يقع داخل أي مقطع يربط بين نقطتين أخريين من المجموعة.

مثال 3

نقاط زاوية المثلث هي رؤوسه (توجد ثلاث منها). نقاط زاوية الدائرة هي نقاط الدائرة التي تحدها (هناك عدد لا نهائي منها).

نقطة الزاوية في متعدد السطوح تسمى قمة.

دعونا نفكر في ZLP المعطى في شكل متماثل.

النظرية 4 تتوافق الخطة المثالية لـ ZLP مع قمة القرار متعدد السطوح الذي يحدده نظام القيود الخاص به.

في الحالة العامة، تتم كتابة مشكلة البرمجة الخطية بطريقة تكون فيها القيود عبارة عن معادلات ومتباينات، ويمكن أن تكون المتغيرات إما غير سلبية أو متفاوتة بشكل تعسفي. في الحالة التي تكون فيها جميع القيود معادلات وجميع المتغيرات تلبي شرط عدم السالب، تسمى مشكلة البرمجة الخطية قانونًا. يمكن تمثيله بالتدوين الإحداثي أو المتجه أو المصفوفة.

1. مشكلة البرمجة الخطية الأساسية في تدوين الإحداثيات لها الشكل

.

في شكل أكثر إحكاما هذه المهمةيمكن كتابتها باستخدام علامة الجمع،

(1.7)

2. مشكلة البرمجة الخطية الأساسية في تدوين المتجهات لها الشكل

(1.8)

أين ,

.

3. مشكلة البرمجة الخطية الأساسية في تدوين المصفوفة لها الشكل

(1.9)

, .

هنا أ– مصفوفة معاملات نظام المعادلات, X- عمود المصفوفة متغيرات المشكلة- عمود المصفوفة للأجزاء الصحيحة من نظام القيود.

غالبا ما تستخدم مشاكل البرمجة الخطية، وتسمى متماثل، والتي في تدوين المصفوفة لها النموذج

(1.10)

(1.11)

1.4. جلب المهمة الشائعةالبرمجة الخطية
إلى الشكل الكنسي

يفترض في معظم طرق حل مسائل البرمجة الخطية أن نظام القيود يتكون من معادلات وشروط طبيعية لعدم سلبية المتغيرات. ومع ذلك، عند تجميع النماذج الرياضية المهام الاقتصاديةتتشكل القيود بشكل أساسي في أنظمة عدم المساواة، لذلك من الضروري أن تكون قادرًا على الانتقال من نظام عدم المساواة إلى نظام المعادلات. وتحقيقا لهذه الغاية، نثبت النظرية التالية.

نظرية 1.1.عند استبدال المتباينة بمعادلة. كل قرار عدم المساواة

يتوافق مع حل فريد للمعادلة

وعدم المساواة

, (1.14)

وعلى العكس من ذلك، فإن كل حل للمعادلة (1.13) والمتباينة (1.14) يتوافق مع حل فريد للمتباينة (1.12).

دليل.يترك هو الحل لعدم المساواة (1.12)، إذن. دعونا نشير إلى الفرق بين الجانبين الأيمن والأيسر من هذا عدم المساواة بواسطة، أي.

بوضوح . دعونا نعوض في المعادلة (1.13) بدلاً من ذلك القيم المتغيرة ، نحن نحصل

وبذلك يحقق المعادلة (1.13) والتفاوت (1.14). وهذا يعني أن الجزء الأول من النظرية قد تم إثباته.

لنحقق الآن المعادلة (1.13) والمتباينة (1.14)، أي أن لدينا

و

وبطرح القيمة غير السالبة على الجانب الأيسر من المساواة الأخيرة، نحصل على ذلك

أي. يرضي عدم المساواة (1.12). لقد تم إثبات النظرية.

إذا كانت المتراجحة هي، فيجب إدخال متغير إضافي غير سالب في جانبها الأيسر بعلامة الطرح، أي.

تسمى المتغيرات غير السلبية التي يتم إدخالها في قيود عدم المساواة لتحويلها إلى معادلات متغيرات إضافية. يتم إدخال متغيرات إضافية في الدالة الهدف بمعاملات صفرية وبالتالي لا تؤثر على قيمتها.

في حالة تغيير المشكلة بشكل تعسفي للمتغيرات، يتم استبدال أي متغير من هذا القبيل باختلاف متغيرين غير سلبيين، أي. ، أين و .

في بعض الأحيان يصبح من الضروري الانتقال في المشكلة من إيجاد الحد الأدنى إلى إيجاد الحد الأقصى أو العكس. للقيام بذلك، يكفي تغيير علامات جميع معاملات الدالة الموضوعية إلى العكس، وإلا اترك المشكلة دون تغيير. تتطابق الحلول المثلى للمشاكل القصوى والدنيا التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة، وتتطابق قيم الوظائف الموضوعية الحلول الأمثلتختلف فقط في التوقيع

مثال 1.1.إحضار مشكلة البرمجة الخطية إلى النموذج الأساسي.

د

حل. دعنا ننتقل إلى مشكلة إيجاد الحد الأقصى للدالة الهدف. للقيام بذلك، نقوم بتغيير علامات معاملات الدالة الهدف. لتحويل المتباينتين الثانية والثالثة لنظام القيود إلى معادلات، نقوم بإدخال متغيرات إضافية غير سلبية (على نموذج رياضييتم تمييز هذه العملية بالحرف D). يتم إدخال المتغير في الجانب الأيسر من المتباينة الثانية بعلامة "+"، لأن المتباينة لها الشكل . يتم إدخال المتغير في الجانب الأيسر من المتباينة الثالثة بعلامة "-"، حيث أن المتباينة لها الشكل . يتم إدخال المتغيرات في الدالة الهدف بمعامل يساوي الصفر. ويستبدل بالمتغير الذي لا يفرض عليه شرط عدم السالبة الفرق , . نكتب المهمة في الشكل الكنسي

وفي بعض الحالات يصبح من الضروري إحضاره مشكلة قانونيةل مشكلة متماثلة. لنلقي نظرة على مثال.

مثال 1.2.جلب مشكلة البرمجة الخطية إلى شكل متماثل

صفحة 1

الشكل الكنسيوتتميز المشكلة بالسمات الثلاث التالية: 1) نظام متجانس من القيود في شكل نظام المعادلات؛ 2) شروط عدم السلبية المتجانسة التي تنطبق على جميع المتغيرات المشاركة في المشكلة، و 3) التعظيم، دالة خطية. في هذه المشكلة، يتم انتهاك كافة هذه الميزات الثلاثة.  

يتميز الشكل القانوني للمشكلة بالميزات الثلاث التالية: 1) نظام متجانس من القيود في شكل نظام المعادلات؛ 2) شروط غير سلبية متجانسة تنطبق على جميع المتغيرات المشاركة في المشكلة، و 3) تعظيم دالة خطية. في هذه المشكلة، يتم انتهاك كافة هذه الميزات الثلاثة.  

يعد الشكل الأساسي لمسألة البرمجة الخطية مناسبًا لأنه من السهل العثور على الرأس الأولي منطقة صالحة.  

دعونا نفكر في الشكل القانوني لمشكلة البرمجة الخطية وطريقة الحذف جوردان-غاوس.  

غالبًا ما يكون الشكل الأساسي لمشكلة البرمجة الخطية مناسبًا.  

عند تحويل نظام القيود إلى الشكل القانوني لمشكلة البرمجة الخطية، يجب استبدال عدم المساواة (12) و(13) بالمساواة. للقيام بذلك، يتم تقديم متغيرات إضافية غير سلبية.  

أثبت أن المصفوفات الحقيقية المنتقلة بشكل زوجي يتم اختزالها في الوقت نفسه إلى الشكل القانوني للمشكلة رقم 1128 عن طريق تحويل التشابه باستخدام مصفوفة متعامدة.  

بشكل أساسي (4) - (5) يمكن اعتبارها الشكل الأساسي لمشكلة البرمجة غير الخطية، حيث أن الطرق الموضحة في الفصل. عادة في مشاكل البرمجة غير الخطية لا يشترط أن تكون المتغيرات صحيحة.  

أنواع القيود وطرق تحويلها.

يتميز الشكل القانوني للمشكلة بتجانس نظام القيود في شكل نظام المعادلات؛ تعظيم الوظيفة الموضوعية. -شرط عدم سلبية كافة المتغيرات المشاركة في المشكلة.  

لا أحد ميزات إضافيةلا يضيف الشكل القانوني للمشاكل إلى المخطط الحسابي قيد النظر.  

دعونا نفكر أولاً في الشكل القانوني الثاني لمشكلة الحد الأدنى.  

يمكن تقسيم خوارزمية القياس البسيط إلى مرحلتين. في المرحلة الأولى، من خلال حذف المتغيرات، نجد الحل الأساسي. إذا تم العثور عليها، فلدينا الشكل القانوني للمشكلة للانتقال إلى المرحلة الثانية. الخطوة الثانية هي التحقق مما إذا كان هناك حد أمثل. وإذا وجدت يتم تحديد الحلول الأساسية المقبولة ويتم اختيار الحل الأمثل منها.  

إذا تم حل المشكلة في شكل قانوني، فسيتم استخدام جزء فقط من العمليات المقدمة في الفقرة الثانية. وبالتالي، بالنسبة لمشكلة الحد الأدنى القانوني، يتم تحقيق حالة الفقرة 3.4.1 فقط، ولا يلزم سوى عمليات إعادة الترتيب الدوري للأعمدة، وتمرير العمود عبر منطقة الحدود الرأسية، وتصحيح الانتهاكات الهيكلية وجزء من عملية الاقتطاع. بشكل متماثل، عند حل مشكلة الحد الأقصى القانوني، يتم تحقيق حالة الفقرة 3.4.2 فقط، ويتم تنفيذ عمليات إعادة الترتيب الدوري للسلاسل، وتمرير سلسلة عبر منطقة الحدود الأفقية، وتصحيح الانتهاكات الهيكلية، وجزء آخر من عملية الاقتطاع ضروري. وبخلاف ذلك، فإن الشكل القانوني للمشكلة لا يضيف أي خصوصية إضافية.  

أظهرت الفقرة الأولى من المقدمة كيف يمكن اختزال مشكلة البرمجة الخطية العامة إلى أحد الأشكال الأساسية. بالنسبة إلى الكنسي (نفس وصف المهام للطريقة تحسن متسقتم تبسيطه رسميًا، حيث ليست هناك حاجة للنظر في خيارين لانتهاك شروط المثالية وخيارين للوصول إلى القمة التالية. ومع ذلك، فإن هذا يزيد من الحجم مصفوفة الأساس A [ /, J ]، والتي تحدد بشكل أساسي مدى تعقيد لقطة واحدة. ومع ذلك، في كثير من الحالات، يكون تطبيق الطريقة على الأشكال الأساسية للمشكلة هو الأفضل، وفي هذا القسم سنتناول متغيرات الطريقة التي تم الحصول عليها لمشكلات برمجة خطية معينة.  

الصفحات:      1

مشكلة البرمجة الخطية على الشكل ax = b حيث a هي مصفوفة المعاملات، b هو متجه القيد.
مثال:

في كل مسألة LP، يتم البحث عن قيم المتغيرات بشرط:

• هذه القيم ترضي بعض النظام المعادلات الخطيةأو عدم المساواة؛
• عند هذه القيم، ستتحول الدالة الهدف إلى الحد الأدنى أو الحد الأقصى.

تعليمات. حدد عدد المتغيرات وعدد الصفوف (عدد القيود). يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word.

واحد من طرق عالميةليرة لبنانية هو طريقة بسيطة، والتي، مع ذلك، يمكن استخدامها إذا كانت مشكلة LP لها شكل أساسي.

تعريف. مشكلة LP لها شكل قانوني إذا كانت جميع قيود النظام تتكون من معادلات فقط (باستثناء عدم المساواة التي تعبر عن عدم سلبية المتغيرات) ويجب تقليل الدالة الهدف.
مثال على مشكلة LP في الشكل الأساسي هي المشكلة 1 - مشكلة نقل متوازنة مع نظام القيود (1) ووظيفة موضوعية (2).
ومع ذلك، في معظم المشاكل الاقتصادية، غالبًا ما لا يشتمل نظام القيود في البداية على المعادلات فحسب، بل يتضمن أيضًا عدم المساواة.

إفادة.يمكن اختزال أي مشكلة LP عامة إلى الشكل الأساسي.
يتم تقليل مشكلة LP العامة إلى الشكل الأساسي عن طريق إدخال متغيرات جديدة (تسمى إضافية).
يتكون نظام القيود (3) لهذه المشكلة من أربع متباينات. من خلال إدخال متغيرات إضافية ذ 1 ≥ 0, ذ 2 ≥ 0, ذ 3 ≥ 0, ذ 4 ≥ 0، يمكننا الانتقال إلى نظام القيود:

هذه المتغيرات الإضافية ذلدي معنى اقتصادي واضح تمامًا، وهو أنهم يقصدون مقدار وقت العمل غير المستخدم (وقت توقف الآلة أنا-النوع).
على سبيل المثال، إذا عملت آلات من النوع الأول لمدة 18 ساعة كاملة، فإن x + y = 18، وبالتالي، y 1 = 0. لكننا نسمح بإمكانية الاستخدام غير الكامل لوقت تشغيل الآلة الأولى س + ذ<18. В этом случае ذ 1 يأخذ قيمة موجبة ويمكن اعتباره حدًا زمنيًا غير مستخدم. على سبيل المثال، معرفة حل هذه المشكلة من الفقرة 3.3.2، س = 12, ذ= 6 نستنتج من نظام القيود (3.9) أن ذ 1 = ذ 2 = ذ 3 = 0، و ذ 4 = 12 – 6 = 6. أي أن الآلات من النوع الأول والثاني والثالث تستخدم وقت عملها بالكامل. لكن الجهاز الرابع لم يتم تحميله إلا نصفه، ولمدة 6 ساعات، ومع وجود خطة مثالية معينة فهو خامل. ربما، بعد هذه الاستنتاجات، سيرغب رئيس المؤسسة في تحميلها بأعمال أخرى، وتأجيرها لهذا الوقت، وما إلى ذلك.
لذلك، من خلال إدخال متغيرات إضافية، يمكننا توجيه أي قيد من نوع عدم المساواة إلى المعادلة.

دعونا ننظر في مشكلة الخليط. نظام القيود له الشكل:
تم تحويل المتباينات نحو "المزيد"، وبالتالي، عند إدخال متغيرات إضافية y 1، y 2، y 3 ≥ 0، يجب طرحها من الجانب الأيسر لمعادلتها مع اليمين. نحصل على نظام القيود في شكل قانوني:
المتغيرات y i ستكون لها أيضًا معنى اقتصادي. إذا كنت تتذكر المحتوى العملي للمسألة، فإن المتغير y 1 سيعني كمية المادة الزائدة A في الخليط، y 2 سيعني كمية المادة الزائدة فيفي الخليط ذ 3 – الفائض معفي الخليط.
يمكن اختزال مهمة العثور على القيمة القصوى للدالة الهدف إلى إيجاد الحد الأدنى للدالة - Fلوضوح العبارة max F = –min (- F). انظر إلى الصورة: إذا كان في مرحلة ما س= س 0 وظيفة ذ= F(س) يصل إلى الحد الأقصى، ثم الوظيفة ذ= –F(س)، متناظرة بالنسبة للمحور ثور، في نفس النقطة س 0 سيصل إلى الحد الأدنى، و Fالحد الأقصى = - (- Fدقيقة) في س = س 0 .

خاتمة.لتمثيل مشكلة LP في شكل قانوني، من الضروري:

• تحويل عدم المساواة المتضمنة في نظام قيود المشكلة إلى معادلات عن طريق إدخال متغيرات إضافية؛
• إذا كانت الوظيفة الهدف F→max (تعظيم)، يتم استبداله بالوظيفة – F→ دقيقة (التي تم تصغيرها).

مهام النائب

يسمى ZLP العام <,=,>=)bi (i=1,n) (2) بشرط xj>

متماثل < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > العنوان الأساسي مختلط.

الحد الأدنى f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

التفسير الهندسي للوظيفة الموضوعية وقيود ZLP. صياغة هندسية للZLP.

دع المشكلة f=c1x1+c2x2-max (1) تعطى

a11x1+a12x2<=b1 }

صباحا1x1+صباحا2x2<=bm}

س1>=0، س2>=0 (3)

مخطط المسألة (x1,x2) هو نقطة على المستوى. كل عدم المساواة مع-نحن 2 التمثيل. هو نصف الطائرة. نصف المستوى عبارة عن مجموعة محدبة. محدبتسمى المجموعة التي تنتمي فيها نقاط القطعة المتصلة (x1 و x2) التي تنتمي إلى هذه المجموعة أيضًا إلى المجموعة. يمثل C-ma 2 تقاطع أنصاف المستويات. عند العبور يمكنك الحصول على:

1) منطقة مغلقة متعددة الأضلاع محدبة.

2) منطقة متعددة الأضلاع محدبة مفتوحة

3) نقطة واحدة

4) مجموعة فارغة

5) الشعاع والقطعة

التفسير الهندسي للوظيفة الهدف:الدالة 1 هي عائلة من الخطوط المستقيمة المتوازية، والتي تسمى خطوط المستوى (خطوط ذات قيمة ثابتة للدالة الهدف). توضح المشتقات الجزئية للدالة بالنسبة إلى x1 وx2 معدل زيادة الدالة الموضوعية على طول إحداثيات المحاور. ناقل التدرجيُظهر اتجاه أسرع زيادة في الدالة الهدف بالنسبة للمسألة 1-3، فإن متجه التدرج = (c1;c2) يترك النقطة (0,0) ويتم توجيهه إلى النقطة ذات الإحداثيات (c1;c2). متجه التدرج عمودي على خطوط المستوى. عادة ما يسمى تقاطع أنصاف المستويات مجال الحلول المقبولة (ADD).

النظرية الرئيسية لLP. رسم تخطيطىحل ZLP، الذي يتبع من هذه النظرية.

إذا كان لدى ZLP حل، فإن الدالة الهدف تصل إلى قيمة متطرفة واحدة على الأقل من النقاط القصوى لمتعدد السطوح في المخطط. إذا وصلت الدالة الموضوعية إلى قيمة متطرفة عند أكثر من نقطة متطرفة، فإنها تصل إلى نفس القيمة عند أي نقطة، وهي مجموعة خطية محدبة منهما. عند حل ZLP يدويًا، يكون من المناسب استخدام إدخال جدولي.

بي بي		SP -Xm+1 -Xm+2 -Xn
×1	b1o	ب11 ب12 ب1ن-م
×2	b2o	ب21 ب22 ب2ن-م
xm	بي ام	bm1 bm2 bmn-m
F	بوو	bo1 bo2 بون م

خوارزمية الطريقة البسيطة.

1. جلب نموذج المشكلة إلى الشكل الأساسي؛

2. ابحث عن الأولي الخطة المرجعية;

3. أكتب المشكلة بشكل بسيط . طاولة؛

5. الانتقال إلى خطة مرجعية جديدة، إلى أعراض جديدة. طاولة. من أجل الانتقال إلى خطة مرجعية جديدة، يكفي استبدال متغير أساسي بمتغير مجاني. يتم تحديد المتغير المتضمن في الأساس وعمود الدقة المقابل بواسطة أكبر عنصر سلبي مطلق في الصف f. يتم تحديد المتغير الذي يتم استبعاده من الأساس وخط التحليل المقابل بواسطة أصغر نسبة بسيطة، أي. علاقة عناصر عمود الوحدة بالعنصر المقابل في عمود الدقة. النسبة البسيطة هي كمية غير سالبة. عند تقاطع صف الحل وعمود الحل يوجد عنصر حل فيما يتعلق به التحول البسيطالتالي القاعدة: 1. تنقسم عناصر سلسلة السماح إلى عنصر السماح؛ 2. تنقسم عناصر عمود الدقة إلى عنصر الدقة وتغيير إشارتها إلى العكس؛ 3. يتم إعادة ترتيب باقي عناصر الجدول وفقاً لقاعدة المستطيل:

بيج مكرر bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

نظرية الازدواجية الثانية.

إذا كانت إحدى المشكلات المزدوجة لديها خطة مثالية، فإن الأخرى قابلة للحل أيضًا، أي. لديه خطة بصرية. في هذه الحالة، تتطابق القيم المتطرفة للدوال الموضوعية (j=من 1 إلى n) Σcjxj*= (i=من 1 إلى m)Σbiyi* إذا كانت في الأصل. المشكلة، وظيفة الهدف غير محدودة على مجموعة الخطط، ثم في مشكلة مزدوجةنظام القيود غير متناسق.

نظرية على رتبة مصفوفة TK.

رتبة المصفوفة A لمسألة النقل أقل بواحد من عدد المعادلات: r(A)=m+n-1.

39. خوارزمية بناء الخطة المرجعية الأولية لـ ZLP.

وللحصول على الخطة المرجعية الأولية يمكننا أن نقترح ما يلي الخوارزمية:

1. اكتب المشكلة على شكل جدول الأردن بحيث تكون جميع عناصر عمود المصطلحات الحرة غير سالبة، أي. تم استيفاء عدم المساواة aio>=0 (i=1,m). تلك المعادلات التي تكون فيها الحدود الحرة سالبة يتم ضربها أولاً في -1.

		-x1….. -xn
0=	a1o	أ11.... a1n
…..	…..	………………………..
0=	عمو	صباحا1…..آمن
و =		-ج1…. -cn

قم بتحويل الجدول باستخدام خطوات الحذف الأردنية، مع استبدال الأصفار في العمود الأيسر بـ x المقابلة. وفي نفس الوقت في كل خطوة يمكن اختيار المسموحأي عمود يحتوي على عنصر إيجابي واحد على الأقل. يتم تحديد صف الحل بواسطة أصغر نسب المصطلحات الحرة إلى العناصر الإيجابية المقابلة لعمود الحل. إذا تمت مصادفة صف 0 أثناء عملية الحذف، وجميع عناصره صفر، والحد الحر غير صفر، فإن نظام المعادلات المقيدة ليس له حلول. إذا واجهنا صفًا من 0 لا توجد فيه عناصر إيجابية أخرى، باستثناء الحد الحر، فإن مجموعة المعادلات المقيدة لا تحتوي على حلول غير سالبة مشترك، ثم بعد عدد معين من الخطوات، سيتم استبدال جميع الأصفار الموجودة في العمود الأيسر بـ x وبالتالي الحصول على أساس معين، وبالتالي الخطة المرجعية المقابلة.

40. خوارزمية بناء الخطة المرجعية الأمثل لـ ZLP.

يتم فحص خطة الدعم الأولية لـ Ho للتأكد من أنها مثالية.

إذا لم تكن هناك عناصر سلبية في الصف f (دون احتساب المصطلح الحر)، فإن الخطة -plan هي الأمثل. إذا لم يكن هناك أي عناصر صفرية في الصف f، فهناك خطة مثالية واحدة فقط؛ إذا كان من بين العناصر صفر واحد على الأقل، فهناك عدد لا حصر له من الخطط المثالية. إذا كان هناك عنصر سلبي واحد على الأقل في الصف f، ولا توجد عناصر موجبة في العمود المقابل، فإن الدالة الهدف ليست محدودة في المنطقة الممكنة. المشكلة ليست قابلة للحل. إذا كان هناك عنصر سلبي واحد على الأقل في الصف f، وفي كل عمود يحتوي على مثل هذا العنصر يوجد عنصر إيجابي واحد على الأقل، فيمكنك الانتقال إلى خطة مرجعية جديدة أقرب إلى الخطة الأمثل. للقيام بذلك، يتم أخذ العمود الذي يحتوي على عنصر سلبي في الصف f على أنه متساهل; إنهم يحددون سلسلة الحل من العلاقة البسيطة الدنيا وينفذون خطوة الإزالة الأردنية. يتم فحص الخطة المرجعية الناتجة مرة أخرى للتأكد من أنها مثالية. يتكرر هذا حتى يتم العثور على الخطة المرجعية المثالية أو إثبات عدم إمكانية حل المشكلة.

خوارزمية طريقة جوموري.

1. باستخدام الطريقة البسيطة تم إيجاد الخطة المثالية للمشكلة. إذا كانت جميع مكونات الخطة المثالية عبارة عن أعداد صحيحة، فهي الخطة الأمثل. بخلاف ذلك، انتقل إلى الخطوة 2

2. من بين المكونات غير الصحيحة، يجب عليك اختيار المكون الذي يحتوي على جزءهو الأكبر، وباستخدام الصف المقابل من الجدول البسيط، قم بصياغة القطع الصحيح باستخدام الصيغة

(nm,s=1)∑ (αkm+1)Xm+1≥(βk)

3. تحويل المتباينة المصاغة إلى مساواة صفرية مكافئة وإدراجها فيها جدول بسيطمع خطة مثالية غير صحيحة

4. يتم حل المشكلة الممتدة الناتجة باستخدام الطريقة البسيطة. إذا لم تكن الخطة الناتجة صحيحة، فانتقل إلى الخطوة 2.

إذا ظهر خط أثناء عملية الحل بمصطلح حر غير صحيح ومعاملات أعداد صحيحة أخرى، فإن المعادلة المقابلة ليس لها حل بالأعداد الصحيحة. في هذه الحالة و المشكلة الأصليةطريقة جوموري غير قابلة للتحديد في الأعداد الصحيحة لها تطبيق محدود. بمساعدتها، من المستحسن حل المشاكل الصغيرة، لأن... يمكن أن يكون عدد التفاعلات كبيرًا جدًا.

أشكال مختلفة من تدوين ZLP (عام، قانوني، متماثل)

مهام النائب: تحديد الخطة المثلى، تحديد الحجم الأمثل للإنتاج، تحديد التوليفة الأمثل للمحاصيل، تكوين الحزمة المثلى للأصول، تعظيم أرباح البنوك، إلخ.

يسمى ZLP العام مشكلة التعظيم (التقليل).الدالة الخطية f=Σcj*xj-max(min) (1) تحت القيود الخطية ∑aij *xj(=<,=,>=)bi (i=1,n) (2) بشرط xj>=0(j=1,n1)، xj-تعسفي (j=n1+1,n)(3) حيث cj,aij، أرقام ثنائية الثوابت .

متماثليُطلق على شكل كتابة ZLP مشكلة تعظيم الوظيفة (1) في ظل القيود الخطية في المتباينات الموقعة< либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком >أو = والمتغيرات غير السلبية. العنوان الأساسييُطلق على شكل كتابة ZLP اسم مشكلة الدالة القصوى (1) في ظل القيود الخطية للمساواة والمتغيرات غير السالبة. ويسمى أي شكل آخر مختلط.

الحد الأدنى f(x) = -max(-f(x))

يتم تحويل المتباينة إلى معادلة وبالعكس على أساس Lemma: لكل حل x1...xn للمتباينة a1x1+...+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) والعكس صحيح. كل حل x1…xn,xn+1 للمعادلة 6 والمتباينة 7 يتوافق مع حل x1…xn للمتباينة 5.

للانتقال من نموذج sim الخلفي إلى النموذج الأساسي الخلفي، يجب عليك الدخول توازن (معادلة) المتغيرات.يعتمد هذا على نظرية المتباينة: أي متباينة يمكن تمثيلها كمعادلة أو متباينة بسيطة.