تكامل أبسط الوظائف غير العقلانية. دمج الكسور المعقدة
دعونا نفكر في التكاملات ذات الجذور الكسرية دالة خطية:
(1)
,
حيث R هي الوظيفة العقلانية لحججها. أي دالة مكونة من وسيطاتها وثوابتها العشوائية باستخدام عدد محدودعمليات الجمع (الطرح) والضرب والقسمة (الرفع إلى قوة عدد صحيح).
أمثلة على التكاملات المدروسة ذات اللاعقلانية الخطية الكسرية
دعونا نعطي أمثلة على التكاملات مع جذور النموذج (1) .
مثال 1
على الرغم من أن علامة التكامل تتضمن جذورًا بدرجات مختلفة، إلا أنه يمكن تحويل تعبير التكامل على النحو التالي:
;
;
.
وبالتالي، يتكون التكامل من متغير التكامل x وجذر الدالة الخطية باستخدام عدد محدود من عمليات الطرح والقسمة والضرب. ظزولاؤ وظيفة عقلانيةمن x و وينتمي إلى النوع المعني (1)
بقيم ثابتة ن = 6
,
α = β = δ = 1
,
γ = 0
:
.
مثال 2
وهنا نقوم بالتحويل:
.
يوضح هذا أن التكامل هو دالة عقلانية لـ x و . لذلك فهو ينتمي إلى النوع المعني.
مثال عام على اللاعقلانية الخطية الكسرية
في حالة أكثر عمومية، يمكن أن يتضمن التكامل أي عدد محدود من جذور نفس الدالة الكسرية الخطية:
(2)
,
حيث R هي الوظيفة العقلانية لوسائطها،
- أرقام نسبية،
م 1، ن 1، ...، م ث، ن ق- الأعداد الكلية.
في الواقع، دع n يكون القاسم المشترك للأرقام r 1، ...، r s. ومن ثم يمكن تمثيلهم على النحو التالي:
,
حيث ك 1 , ك 2 , ..., ك ق- الأعداد الكلية. ثم شمل الجميع (2)
الجذور هي قوى:
,
,
. . . . .
.
وهذا هو، التكامل بأكمله (2)
تتكون من x والجذر باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والضرب والقسمة. لذلك فهي دالة عقلانية لـ x و :
.
طريقة التكامل الجذري
التكامل مع اللاعقلانية الخطية الكسرية
(1)
يختزل إلى تكامل دالة عقلانية عن طريق الاستبدال
(3)
.
دليل
استخرج الجذر النوني من كلا الجانبين (3)
:
.
دعونا نتحول (3)
:
;
;
.
إيجاد المشتقة:
;
;
.
التفاضلي:
.
بدل في (1)
:
.
ومن هذا يتضح أن تكامليتكون من ثوابت ومتغير تكامل t باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع (الطرح) والضرب (الرفع إلى عدد صحيح) والقسمة. ولذلك، فإن التكامل هو دالة عقلانية لمتغير التكامل. وهكذا تم اختزال حساب التكامل إلى تكامل دالة عقلانية. Q.E.D.
مثال على التكامل اللاعقلاني الخطي
أوجد التكامل:
حل
بما أن التكامل يشمل جذور نفس الدالة الخطية (الكسرية) x + 1 ، ويتم تكوين التكامل باستخدام عمليات الطرح والقسمة، فهذا التكامل ينتمي إلى النوع قيد النظر.
دعونا نحول التكامل بحيث يتضمن جذورًا من نفس الدرجة:
;
;
.
إجراء الاستبدال
س+ 1 = ر 6.
لنأخذ التفاضل:
د (س + 1) = دكس = (
ر 6 )′
د = 6 ر 5 د.ت.
دعونا نستبدل:
س = ر 6 - 1
;
;
;
.
نختار الجزء الكامل من الكسر، مع ملاحظة ذلك
ر 6 - 1 =
(ر - 1)(ر 5 + ر 4 + ر 3 + ر 2 + ر + 1).
ثم
.
إجابة
,
أين .
مثال على تكامل اللاعقلانية الخطية الكسرية
أوجد التكامل
حل
دعونا نحدد جذر الدالة الكسرية الخطية:
.
ثم
.
إجراء الاستبدال
.
خذ الفارق
.
العثور على المشتقة
.
ثم
.
التالي نلاحظ ذلك
.
استبدال في التكامل
.
إجابة
مراجع:
ن.م. غونتر، ر.و. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.
نواصل النظر في تكاملات الكسور والجذور. ليست جميعها معقدة للغاية، ولكن لسبب أو لآخر كانت الأمثلة "خارج الموضوع" قليلاً في مقالات أخرى.
مثال 9
أوجد التكامل غير المحدد
يوجد في المقام تحت الجذر ثلاثية الحدود بالإضافة إلى "ملحق" على شكل "X" خارج الجذر. يمكن حل جزء لا يتجزأ من هذا النوع باستخدام الاستبدال القياسي.
.
الاستبدال هنا بسيط:
دعونا ننظر إلى الحياة بعد الاستبدال:
(1) بعد التعويض، نختصر الحدود الموجودة تحت الجذر إلى قاسم مشترك.
(2) نخرجه من تحت الجذر.
(3) يتم تقليل البسط والمقام بمقدار . وفي الوقت نفسه، قمنا بإعادة ترتيب المصطلحات تحت الجذر أمر مناسب. مع بعض الخبرة، يمكن تخطي الخطوات (1)، (2) عن طريق تنفيذ الإجراءات التي تم التعليق عليها شفهيًا.
(4) تم حل التكامل الناتج، كما تتذكر طريقة استخراج المربع الكامل. حدد مربعًا كاملاً.
(5) بالتكامل نحصل على لوغاريتم "طويل" عادي.
(6) نقوم بإجراء الاستبدال العكسي. إذا كان في البداية، ثم العودة: .
(7) الإجراء النهائيتهدف إلى تصميم النتيجة: تحت الجذر نقوم مرة أخرى بإحضار المصطلحات إلى قاسم مشترك ونخرجها من تحت الجذر.
مثال 10
أوجد التكامل غير المحدد
.
وهذا مثال ل قرار مستقل. هنا يتم إضافة ثابت إلى "X" الوحيد، ويكون الاستبدال هو نفسه تقريبًا:
.
الشيء الوحيد المطلوب هو إضافة علامة "x" من عملية الاستبدال الجاري تنفيذها:
.
الحل الكاملوالإجابة في نهاية الدرس.
في بعض الأحيان في مثل هذا التكامل قد يكون هناك ذات حدين من الدرجة الثانية تحت الجذر، وهذا لا يغير طريقة الحل، بل سيكون أبسط. تشعر الفرق:
مثال 11
أوجد التكامل غير المحدد
مثال 12
أوجد التكامل غير المحدد
حلول وإجابات مختصرة في نهاية الدرس. تجدر الإشارة إلى أن المثال 11 هو بالضبط تكامل ذو الحدين، والتي تمت مناقشة حلها في الفصل التكاملات من وظائف غير عقلانية .
تكامل كثيرة الحدود من الدرجة الثانية غير القابلة للتحلل في المقام للقوة
أكثر نادرة، ولكن مع ذلك وجدت في أمثلة عمليةنوع التكامل.
مثال 13
أوجد التكامل غير المحدد
يحتوي مقام التكامل على ذات حدين من الدرجة الثانية لا يمكن تحليلها إلى عوامل. نؤكد على أن عدم القابلية للتحليل هي سمة أساسية. إذا تم تحليل كثير الحدود، فكل شيء يصبح أكثر وضوحا، على سبيل المثال:
دعنا نعود إلى المثال مع رقم الحظ 13. هذا التكامل هو أيضًا أحد العناصر التي يمكن أن تكون مؤلمة جدًا إذا كنت لا تعرف كيفية حلها.
الحل يبدأ بتحول مصطنع:
أعتقد أن الجميع يفهم بالفعل كيفية قسمة البسط على المقام حدًا تلو الآخر.
يتم أخذ التكامل الناتج في أجزاء:
لجزء لا يتجزأ من النموذج
أين ( ك≥ 2) – عدد طبيعي، مشتق متكررصيغة التخفيض:
; هو تكامل لدرجة أقل بمقدار 1.
ماذا لو كان هناك كثير حدود إضافي في البسط؟ في هذه الحالة، يتم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة، ويتم توسيع الدالة التكاملية إلى مجموع الكسور. إذا واجهت مثل هذا التكامل، فاطلع على الكتاب المدرسي - كل شيء بسيط هناك.
التعريف 1
مجموعة جميع المشتقات المضادة وظيفة معينة$y=f(x)$ المعرفة على مقطع معين تسمى التكامل غير المحدد لدالة معينة $y=f(x)$. تكامل غير محدديُشار إليه بالرمز $\int f(x)dx $.
تعليق
يمكن كتابة التعريف 2 على النحو التالي:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
لا يمكن التعبير عن كل وظيفة غير عقلانية باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، يمكن اختزال معظم هذه التكاملات باستخدام بدائل تكاملات الدوال الكسرية، والتي يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \يمين)^(r/s) \يمين)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.
أنا
عند العثور على تكامل من النموذج $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ فمن الضروري إجراء الاستبدال التالي:
مع هذا الاستبدال، يتم التعبير عن كل قوة كسرية للمتغير $x$ من خلال قوة عددية للمتغير $t$. ونتيجة لذلك، يتم تحويل الدالة التكاملية إلى دالة نسبية للمتغير $t$.
مثال 1
تنفيذ التكامل:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
حل:
$k=4$ هو القاسم المشترك للكسور $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(صفيف)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
ثانيا
عند العثور على تكامل للنموذج $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ من الضروري إجراء الاستبدال التالي:
حيث $k$ هو القاسم المشترك للكسور $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
ونتيجة لهذا الاستبدال، يتم تحويل الدالة التكاملية إلى دالة نسبية للمتغير $t$.
مثال 2
تنفيذ التكامل:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
حل:
لنقم بالاستبدال التالي:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1) +\frac(4)(t^(2) -4) \يمين)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \يسار |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]
وبعد إجراء الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة النهائية:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]
ثالثا
عند العثور على تكامل من النموذج $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $، يتم إجراء ما يسمى باستبدال أويلر (أحد البدائل الثلاثة الممكنة هو مستخدم).
استبدال أويلر الأول
بالنسبة للحالة $a>
أخذ علامة "+" أمام $\sqrt(a) $، نحصل عليها
مثال 3
تنفيذ التكامل:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) ) .\]
حل:
لنجري الاستبدال التالي (الحالة $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
وبعد إجراء الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة النهائية:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
تبديل أويلر الثاني
بالنسبة للحالة $c>0$، من الضروري إجراء الاستبدال التالي:
أخذ علامة "+" أمام $\sqrt(c) $، نحصل عليها
مثال 4
تنفيذ التكامل:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2)) ) ) dx .\]
حل:
لنقم بالاستبدال التالي:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ بعد إجراء العكس بالتعويض نحصل على النتيجة النهائية:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2)) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2)) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2)) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2)) ) +1\right|+C) \end ( مجموعة مصفوفة)\]
تبديل أويلر الثالث
تحت غير منطقيفهم تعبير يتم فيه تضمين المتغير المستقل %%x%% أو كثير الحدود %%P_n(x)%% من الدرجة %%n \in \mathbb(N)%% تحت العلامة متطرف(من اللاتينية الجذر- الجذر) أي. مرفوع إلى قوة كسرية. من خلال استبدال متغير، يمكن اختزال بعض فئات التكاملات غير المنطقية بالنسبة إلى %%x%% إلى تعبيرات منطقية بالنسبة إلى متغير جديد.
يمكن توسيع مفهوم الدالة العقلانية لمتغير واحد ليشمل وسائط متعددة. إذا كان لكل وسيطة %%u، v، \dotsc، w%% عند حساب قيمة دالة، يتم توفير العمليات الحسابية فقط والرفع إلى قوة عدد صحيح، فإننا نتحدث عن دالة عقلانية لهذه الوسائط، والتي عادة ما تكون يُشار إليه بـ %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. يمكن أن تكون وسيطات هذه الدالة نفسها دوال للمتغير المستقل %%x%%، بما في ذلك الجذور من النموذج %%\sqrt[n](x)، n \in \mathbb(N)%%. على سبيل المثال، الدالة المنطقية $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ مع %%u = x، v = \sqrt(x)%% و%% w = \sqrt(x^2 + 1)%% هي دالة عقلانية لـ $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ من %%x%% والجذور %%\sqrt(x)%% و%%\sqrt(x) ^2 + 1 )%%، بينما الدالة %%f(x)%% ستكون دالة غير منطقية (جبرية) لمتغير مستقل واحد %%x%%.
لنفكر في التكاملات بالشكل %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. يتم ترشيد هذه التكاملات عن طريق استبدال المتغير %%t = \sqrt[n](x)%%، ثم %%x = t^n، \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.
مثال 1
ابحث عن %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.
تتم كتابة تكامل الوسيطة المطلوبة كدالة لجذور الدرجة %%2%% و%%3%%. بما أن المضاعف المشترك الأصغر لـ %%2%% و%%3%% هو %%6%%، فإن هذا التكامل هو تكامل من النوع %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% ويمكن ترشيدها عن طريق استبدال %%\sqrt(x) = t%%. ثم %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. ولذلك، $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ لنأخذ %%t + 1 = z، \mathrm(d)t = \mathrm(d)z، z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% و $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\يمين) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(صفيف) $$
التكاملات ذات الشكل %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% هي حالة خاصة من اللاعقلانية الخطية الكسرية، أي. تكاملات النموذج %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%، حيث %% ad - bc \neq 0%%، والتي يمكن ترشيدها عن طريق استبدال المتغير %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%، ثم %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. ثم $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$
مثال 2
ابحث عن %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.
لنأخذ %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%، ثم %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ لذلك، $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$
لنفكر في التكاملات بالشكل %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. في أبسط الحالات، يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكاملات جدولية إذا تم إجراء تغيير في المتغيرات بعد عزل المربع الكامل.
مثال 3
أوجد التكامل %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.
بالنظر إلى أن %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%، فإننا نأخذ %%t = x + 2، \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%، ثم $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C.\end(array) $$
في المزيد الحالات الصعبةللعثور على تكاملات النموذج %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) يتم استخدام \mathrm(d)x%%
الإجابات الجاهزة حول تكامل الوظائف مأخوذة من اختبار طلاب السنة الأولى والثانية في أقسام الرياضيات. للتأكد من أن الصيغ في المسائل والإجابات لا تكرر شروط المهام، لن نكتب الشروط. أنت تعلم بالفعل أنه في المسائل التي تحتاج فيها إما إلى "البحث عن التكامل" أو "حساب التكامل". لذلك، إذا كنت بحاجة إلى إجابات حول التكامل، فابدأ بدراسة الأمثلة التالية.
تكامل الوظائف غير العقلانية
مثال 18. نقوم بتغيير المتغيرات تحت التكامل. لتبسيط العمليات الحسابية، لا نختار الجذر فقط، بل المقام بأكمله للمتغير الجديد. بعد هذا الاستبدال، يتم تحويل التكامل إلى مجموع تكاملين جدوليين، والتي لا تحتاج إلى تبسيط
بعد التكامل نعوض بالمتغير
مثال 19. لقد تم إنفاق الكثير من الوقت والمساحة على تكامل هذه الدالة الكسرية غير المنطقية، ولا نعرف حتى ما إذا كان بإمكانك اكتشافها من جهاز لوحي أو هاتف. للتخلص من اللاعقلانية، ونحن هنا نتعامل مع الجذر التكعيبي، نختار الدالة الجذرية للقوة الثالثة للمتغير الجديد. بعد ذلك، نوجد التفاضلية ونستبدل الدالة السابقة بالتكامل 
الجدول الزمني يأخذ معظم الوقت ميزة جديدةعلى علاقات القوة والكسور 
بعد التحويلات نجد بعض التكاملات مباشرة ونكتب الأخير إلى تكاملين نحولهما حسب صيغ التكامل الجدولي 
بعد كل الحسابات، لا تنس العودة إلى الاستبدال الذي تم إجراؤه في البداية 
دمج الدوال المثلثية
مثال 20. علينا إيجاد تكامل الجيب للقوة السابعة. وفقًا للقواعد، يجب دفع جيب واحد إلى التفاضل (نحصل على تفاضل جيب التمام)، ويجب كتابة الجيب إلى القوة السادسة من خلال جيب التمام. وهكذا نصل إلى التكامل من دالة المتغير الجديد t = cos (x). في هذه الحالة، سيتعين عليك إحضار الفرق إلى المكعب، ثم التكامل 
ونتيجة لذلك، نحصل على كثيرة الحدود من الرتبة 7 في جيب التمام.
مثال 21. في هذا التكامل، من الضروري كتابة جيب تمام الدرجة الرابعة في الصيغ المثلثية من خلال الاعتماد على جيب تمام الدرجة الأولى. بعد ذلك، نطبق الصيغة الجدولية لتكامل جيب التمام. 
مثال 22. تحت التكامل لدينا حاصل ضرب الجيب وجيب التمام. وفقًا للصيغ المثلثية، نكتب حاصل الضرب من خلال فرق الجيب. يمكن فهم كيفية الحصول على هذا القوس من خلال تحليل معاملات "x". بعد ذلك نقوم بدمج الجيوب 
مثال 23. لدينا هنا دالة جيب التمام وجيب التمام في المقام. علاوة على ذلك، فإن الصيغ المثلثية لن تساعد في تبسيط الاعتماد. لإيجاد التكامل، نطبق التعويض المثلثي الشامل t=tan(x/2)
يتضح من السجل أن المقامين سوف يلغيان وسنحصل على ثلاثية مربعة في مقام الكسر. فيه نختار مربعًا كاملاً وجزءًا مجانيًا. وبعد التكامل، نصل إلى لوغاريتم الفرق بين العوامل الأولية للمقام. لتبسيط الترميز، تم ضرب كل من البسط والمقام تحت اللوغاريتم في اثنين. 
في نهاية الحسابات، بدلًا من المتغير، نعوض بظل نصف الوسيطة.
مثال 24. لتكامل الدالة، نخرج مربع جيب التمام من الأقواس، ونطرح بين قوسين ونضيف واحدًا للحصول على ظل التمام. 
بعد ذلك، نختار ظل التمام u = ctg (x) للمتغير الجديد، وسيعطينا تفاضله العامل الذي نحتاجه للتبسيط. بعد الاستبدال نصل إلى دالة تعطي ظل قوسي عند تكاملها. 
حسنًا، لا تنس تغيير u إلى ظل التمام.
مثال 25. ب اخر مهمةاختبار تحتاج إلى تكامل ظل التمام لزاوية مزدوجة إلى الدرجة الرابعة. 
على هذا امتحانلقد تم تحديد التكامل، ولن يجد أي معلم خطأً في الإجابات ومبررات التحولات.
إذا تعلمت كيفية التكامل بهذه الطريقة، فإن الاختبارات أو الأقسام المتعلقة بموضوع التكاملات ليست مخيفة بالنسبة لك. كل شخص آخر لديه الفرصة للتعلم أو طلب حلول التكاملات منا (أو من منافسينا :))).