وضع العامل المشترك بين قوسين: القاعدة والأمثلة. "إخراج العامل المشترك من بين قوسين"

سنتعرف في هذا الدرس على قواعد إخراج العامل المشترك من الأقواس ونتعلم كيفية العثور عليه أمثلة مختلفةوالتعبيرات. دعونا نتحدث عن كيف عملية بسيطة، فإن وضع العامل المشترك خارج الأقواس يسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية. سنقوم بتوحيد المعرفة والمهارات المكتسبة من خلال النظر في أمثلة التعقيدات المختلفة.

ما هو العامل المشترك ولماذا نبحث عنه ولأي غرض تم إخراجه من الأقواس؟ دعنا نجيب على هذه الأسئلة من خلال النظر إلى مثال بسيط.

دعونا نحل المعادلة. الجانب الأيسر من المعادلة هو متعدد الحدود يتكون من مصطلحات مماثلة. جزء الحرف مشترك بين هذه المصطلحات، مما يعني أنه سيكون العامل المشترك. لنخرجها من بين قوسين:

في في هذه الحالةلقد ساعدنا وضع العامل المشترك بين قوسين على تحويل كثيرة الحدود إلى أحادية الحد. وهكذا، تمكنا من تبسيط كثيرة الحدود، وساعدنا تحويلها في حل المعادلة.

في المثال الذي تم تناوله، كان العامل المشترك واضحًا، ولكن هل سيكون من السهل جدًا العثور عليه في كثيرة حدود عشوائية؟

فلنجد معنى التعبير : .

في في هذا المثالأدى وضع العامل المشترك بين قوسين إلى تبسيط العملية الحسابية إلى حد كبير.

دعونا نحل مثالا آخر. دعونا نثبت قابلية القسمة على التعبيرات.

التعبير الناتج قابل للقسمة على كما هو مطلوب إثباته. ومرة أخرى، سمح لنا أخذ العامل المشترك بحل المشكلة.

دعونا نحل مثالا آخر. لنثبت أن التعبير قابل للقسمة على أي عدد طبيعي: .

التعبير هو نتاج عددين طبيعيين متجاورين. بالتأكيد سيكون أحد الرقمين زوجيًا، مما يعني أن التعبير سيكون قابلاً للقسمة على .

لقد قمنا بتسوية الأمر أمثلة مختلفةلكنهم استخدموا نفس طريقة الحل: لقد أخرجوا العامل المشترك من الأقواس. نرى أن هذه العملية البسيطة تبسط الحسابات إلى حد كبير. كان من السهل العثور على عامل مشترك لهذه الحالات الخاصة، ولكن ما الذي يجب فعله في الحالة العامة، بالنسبة لكثيرة حدود عشوائية؟

تذكر أن كثيرة الحدود هي مجموع أحاديات الحد.

النظر في كثير الحدود . كثير الحدود هذا هو مجموع اثنين من أحاديات الحد. وحيدة الحد هي حاصل ضرب رقم، ومعامل، وجزء من الحرف. وهكذا، في كثيرة الحدود لدينا، يتم تمثيل كل أحادية الحد بمنتج عدد والقوى، منتج العوامل. يمكن أن تكون العوامل هي نفسها بالنسبة لجميع أحاديات الحد. هذه هي العوامل التي يجب تحديدها وإخراجها من القوس. أولًا، نوجد العامل المشترك للمعاملات، وهي أعداد صحيحة.

كان من السهل العثور على العامل المشترك، ولكن دعونا نحدد gcd للمعاملات: .

ولننظر إلى مثال آخر: .

لنجد ما سيسمح لنا بتحديد العامل المشترك لهذا التعبير: .

لقد استنتجنا قاعدة لمعاملات الأعداد الصحيحة. تحتاج إلى العثور على gcd الخاص بهم وإخراجه من القوس. دعونا ندمج هذه القاعدة من خلال حل مثال آخر.

لقد ألقينا نظرة على قاعدة تعيين عامل مشترك لمعاملات الأعداد الصحيحة، فلننتقل إلى جزء الحرف. أولاً نبحث عن تلك الحروف التي تدخل في جميع أحاديات الحد، ومن ثم نحدد أعلى درجة للحرف الذي تدخل في جميع أحاديات الحد: .

في هذا المثال كان هناك متغير واحد فقط للأحرف المشتركة، ولكن من الممكن أن يكون هناك عدة متغيرات، كما في المثال التالي:

لنجعل المثال أكثر تعقيدًا عن طريق زيادة عدد أحاديات الحد:

وبعد إخراج العامل المشترك، قمنا بتحويل المجموع الجبري إلى حاصل الضرب.

لقد نظرنا إلى قواعد الطرح لمعاملات الأعداد الصحيحة ومتغيرات الحروف بشكل منفصل، ولكن في أغلب الأحيان تحتاج إلى تطبيقهما معًا لحل المثال. دعونا نلقي نظرة على مثال:

في بعض الأحيان قد يكون من الصعب تحديد التعبير الذي تبقى بين قوسين، دعونا نلقي نظرة على خدعة سهلة تسمح لك بحل هذه المشكلة بسرعة.

يمكن أن يكون العامل المشترك أيضًا هو القيمة المطلوبة:

العامل المشترك لا يمكن أن يكون مجرد رقم أو وحيدة الحد، ولكن أيضًا أي تعبير، كما هو الحال في المعادلة التالية.

>>الرياضيات: إخراج العامل المشترك من الأقواس

قبل البدء في دراسة هذا القسم، ارجع إلى الفقرة 15. لقد نظرنا بالفعل إلى مثال كان مطلوبًا فيه تقديم متعدد الحدودكمنتج كثير الحدود ووحيد الحد. لقد أثبتنا أن هذه المشكلة ليست صحيحة دائمًا. ومع ذلك، إذا كان من الممكن تجميع مثل هذا المنتج، فعادةً ما يقولون أن كثير الحدود يتم تحليله باستخدام الحكم العامالعامل المشترك خارج الأقواس. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.عامل كثير الحدود:

أ) 2س + 6ص، ج) 4أ 3 + 6أ 2؛ ه) 5أ 4 - 10أ 3 + 15أ 8.
ب) أ 3 + أ 2؛ د) 12أ 4 - 18 أ 2 ب 3 ج؛

حل.
أ) 2س + 6ص = 2 (س + 3). تم إخراج القاسم المشترك لمعاملات الحدود كثيرة الحدود من الأقواس.

ب) أ 3 + أ 2 = أ 2 (أ + 1). إذا تم تضمين نفس المتغير في جميع حدود كثيرة الحدود، فيمكن إخراجه من الأقواس إلى درجة تساوي أصغر الأسس المتاحة (أي اختيار أصغر الأسس المتاحة).

ج) هنا نستخدم نفس التقنية المستخدمة عند حل الأمثلة أ) و ب): بالنسبة للمعاملات نجد القاسم المشترك (في هذه الحالة الرقم 2)، للمتغيرات - الأصغر درجةمن تلك المتاحة (في هذه الحالة 2). نحصل على:

4أ 3 + 6أ 2 = 2أ 2 2أ + 2أ 2 3 = 2أ 2 (2أ + 3).

د) عادةً ما يحاولون العثور على معاملات الأعداد الصحيحة، ليس فقط القاسم المشترك، بل القاسم المشترك الأكبر. بالنسبة للمعاملين 12 و18، سيكون الرقم 6. نلاحظ أن المتغير a متضمن في كلا حدي كثيرة الحدود، حيث يكون الأس الأصغر هو 1. كما يتم تضمين المتغير b في كلا حدي كثيرة الحدود، مع الأس الأصغر هو 3. وأخيرًا، يتم تضمين المتغير c فقط في الحد الثاني من كثيرة الحدود ولا يتم تضمينه في الحد الأول، مما يعني أنه لا يمكن إخراج هذا المتغير من الأقواس بأي درجة. ونتيجة لذلك لدينا:

12ab 4 - 18a 2 b 3 c = 6ab 3 2b - 6ab 3 Zas = 6ab 3 (2b - Zas).

ه) 5أ 4 -10أ 3 +15أ 8 = 5أ 3 (أ-2 + لـ 2).

في الواقع، في هذا المثال قمنا بتطوير الخوارزمية التالية.

تعليق . في بعض الحالات، يكون من المفيد إخراج المعامل الكسري كعامل مشترك.

على سبيل المثال:

مثال 2.حلل إلى عوامل:

× 4 ص 3 -2x 3 ذ 2 + 5x 2.

حل. دعونا نستخدم الخوارزمية المصاغة.

1) القاسم المشترك الأكبر للمعاملات -1 و -2 و 5 هو 1.
2) يتم تضمين المتغير x في جميع حدود كثيرة الحدود ذات الأسس 4، 3، 2، على التوالي؛ ولذلك، يمكن إخراج x 2 من الأقواس.
3) لا يتم تضمين المتغير y في جميع حدود كثيرة الحدود؛ وهذا يعني أنه لا يمكن إخراجه من الأقواس.

خاتمة:×2 يمكن إخراجها من الأقواس. صحيح أنه من المنطقي في هذه الحالة وضع -x 2 بين قوسين.

نحصل على:
-x 4 ص 3 -2x 3 ص 2 + 5x 2 = - x 2 (x 2 ص 3 + 2س 2 - 5).

مثال 3. هل من الممكن تقسيم كثيرة الحدود 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 على أحادية الحد 5a 3؟ إذا كانت الإجابة بنعم، ثم تنفيذ قسم.

حل. في المثال 1 د) حصلنا على ذلك

5 أ 4 - 10 أ 3 + 15 أ 8 - 5 أ 3 ( أ - 2 + ل 2).

هذا يعني أن كثيرة الحدود المعطاة يمكن قسمتها على 5a 3، وسيكون حاصل القسمة هو a - 2 + For 2.

لقد نظرنا إلى أمثلة مماثلة في الفقرة 18؛ يرجى النظر إليها مرة أخرى، ولكن هذه المرة من وجهة نظر إخراج العامل المشترك من الأقواس.

يرتبط تحليل كثير الحدود عن طريق إخراج العامل المشترك من الأقواس ارتباطًا وثيقًا بالعمليتين اللتين درسناهما في الفقرتين 15 و18 - ضرب كثير الحدود بوحيد الحد وتقسيم كثير الحدود على أحادية الحد.

والآن دعونا نوسع أفكارنا بعض الشيء بشأن إخراج العامل المشترك من الأقواس. الشيء هو أنه في بعض الأحيان التعبير الجبرييُعطى بطريقة تجعل العامل المشترك لا يمكن أن يكون أحادي الحد، بل مجموع عدة أحاديات الحد.

مثال 4.حلل إلى عوامل:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

حل. لنقم بإدخال متغير جديد y = x - 2. ثم نحصل على:

2س (س - 2) + 5 (س - 2) 2 = 2 س ص + 5 ص 2.

نلاحظ أنه يمكن إخراج المتغير y من الأقواس:

2س + 5ص 2 - ص (2س + 5ص). والآن لنعد إلى التدوين القديم:

y(2x + 5y) = (x- 2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

في مثل هذه الحالات، بعد اكتساب بعض الخبرة، لا يمكنك إدخال متغير جديد، ولكن استخدم ما يلي

2x(x - 2) + 5(x - 2) 2 = (x - 2)(2x + 5(x - 2))= (x - 2)(2x + 5x~ 10) = (x - 2)( 7x - 10).

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديومن الرياضيات على الانترنت، تحميل الرياضيات في المدرسة

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والدورات التدريبية، والحالات، والمهام، والواجبات المنزلية، وأسئلة المناقشة، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم لهذا العام توصيات منهجيةبرامج المناقشة دروس متكاملة

درس الجبر في الصف السابع.

الموضوع: "إخراج العامل المشترك بين قوسين."

الكتاب المدرسي Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G. إلخ.

أهداف الدرس:

التعليمية –

التعرف على مستوى إتقان الطلاب لمجموعة من المعارف والمهارات في استخدام مهارات الضرب والقسمة؛

تطوير القدرة على تطبيق تحليل كثيرة الحدود عن طريق وضع العامل المشترك بين قوسين؛

تطبيق إزالة العامل المشترك من الأقواس عند حل المعادلات.

التنموية –

تعزيز تنمية الملاحظة والقدرة على التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج؛

تنمية مهارات ضبط النفس عند إنجاز المهام.

تعليمية -

تعزيز المسؤولية والنشاط والاستقلال واحترام الذات الموضوعي.

نوع الدرس:مجموع.

نتائج التعلم الرئيسية:

تكون قادرة على إخراج العامل المشترك من بين قوسين؛

تكون قادرة على تطبيق هذه الطريقةعند حل التمارين

يتحركدرس.

وحدة واحدة (30 دقيقة).

1. لحظة تنظيمية.

تحيات؛

إعداد الطلاب للعمل.

2. فحص العمل في المنزل.

التحقق من التوافر (في الخدمة)، ومناقشة القضايا التي نشأت.

3 . تحديث المعرفة الأساسية.

نأوجد GCD (15,6)، (30،60)، (24،8)، (4،3)، (20،55)، (16، 12).

ما هو GCD؟

كيف يتم تقسيم السلطات على نفس الأسس؟

كيف يتم ضرب القوى ذات الأساس نفسه؟

لهذه الدرجات (ج 3) 7 ,b 45 ,ج 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 قم بتسمية الدرجة ذات الأسس الأدنى، نفس القواعد، نفس الأسس

دعونا نكرر قانون التوزيع للضرب. أكتبها على شكل حرف

أ (ب + ج) = أب + أس

* - علامة الضرب

إكمال المهام الشفهية على تطبيق خاصية التوزيع. (التحضير على السبورة).

1) 2*(أ + ب) 4) (س – 6)*5

2) 3*(س - ص) 5) -4*(ص + 5)

3) أ*(4 + س) 6) -2*(ج – أ)

تتم كتابة المهام على لوحة مغلقة، ويقوم الرجال بحلها وكتابة النتيجة على السبورة. مسائل في ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود.

في البداية، أقدم لك مثالاً على ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود:

2x (x2 +4xy – 3) = 2x3 + 8x2y – 6x لا تغسل!

اكتب قاعدة ضرب وحيدة الحد في كثيرة الحدود على شكل رسم بياني.

تظهر ملاحظة على السبورة:

يمكنني كتابة هذه الخاصية على النحو التالي:

في هذا النموذج استخدمنا التسجيل بالفعل طريقة بسيطةحسابات التعبير

أ) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

والباقي شفهي، تحقق من الإجابات:

هـ) 55*682 – 45*682 = 6820

ز) 7300*3 + 730*70 = 73000

ح) 500*38 – 50*80 = 15000

ما هو القانون الذي ساعدك في إيجاد طريقة بسيطة للحساب؟ (توزيع)

في الواقع، يساعد قانون التوزيع على تبسيط التعبيرات.

4 . تحديد الهدف وموضوع الدرس. العد الشفهي. تخمين موضوع الدرس.

العمل في أزواج.

بطاقات للأزواج.

لقد اتضح أن تحليل التعبير إلى عوامله هو العملية العكسية لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود.

لنفكر في نفس المثال الذي قام الطالب بحله، ولكن في ترتيب عكسي. التخصيم يعني إخراج العامل المشترك من الأقواس.

2 × 3 + 8 × 2 ص – 6 س = 2 س (س 2 + 4 ص ص – 3).

سنتناول اليوم في الدرس مفهومي تحليل كثيرة الحدود وإخراج العامل المشترك من الأقواس، وسنتعلم كيفية تطبيق هذه المفاهيم عند حل التمارين.

خوارزمية لإخراج العامل المشترك من الأقواس

القاسم المشترك الأكبر للمعاملات.

متغيرات الحروف نفسها

أضف أصغر درجة إلى المتغيرات التي تمت إزالتها.

ثم يتم كتابة وحيدات الحد المتبقية من كثير الحدود بين قوسين.

تم العثور على القاسم المشترك الأكبر في فئة المبتدئين، المتغير المشترك هو الأقل وضوحًا في لمحة. ومن أجل العثور بسرعة على كثيرة الحدود المتبقية بين قوسين، عليك التدرب على استخدام الرقم 657.

5. التعلم الأساسي مع التحدث بصوت عال.

رقم 657 (عمود واحد)

الوحدة 2 (30 دقيقة).

1. نتيجة أول 30 دقيقة.

أ) ما هو التحويل الذي يسمى تحليل كثيرة الحدود؟

ب) ما الخاصية التي تعتمد على إخراج العامل المشترك من القوسين؟

س) كيف يتم إخراج العامل المشترك من الأقواس؟

2. التوحيد الأولي.

تتم كتابة التعبيرات على السبورة. ابحث عن الأخطاء في هذه المساواة، إن وجدت، وقم بتصحيحها.

1) 2 × 3 - 3 × 2 - س = س (2 × 2 - 3 س).

2) 2 س + 6 = 2 (س + 3).

3) 8 س + 12 ص = 4 (2 س - 3 ص).

4) أ 6 - أ 2 = أ 2 (أ 2 - 1).

5) 4 -2أ = – 2 (2 – أ).

3. التحقق الأولي من الفهم.

العمل مع الاختبار الذاتي. 2 شخص لكل الجانب الخلفي

أخرج العامل المشترك من الأقواس:

التحقق لفظيا عن طريق الضرب.

4. إعداد الطلاب للأنشطة العامة.

لنخرج عامل كثير الحدود من الأقواس (شرح المعلم).

عامل كثير الحدود.

في هذا التعبير نرى أن هناك عاملًا واحدًا يمكن إخراجه من الأقواس. إذن نحصل على:

التعبيرات "و" متعارضة، لذلك في بعض الحالات يمكنك استخدام هذه المساواة . نغير العلامة مرتين!عامل كثير الحدود

توجد هنا تعبيرات متضادة، وباستخدام الهوية السابقة نحصل على المدخل التالي: .

والآن نرى أنه يمكن إخراج العامل المشترك من الأقواس.

التعريف 1

أولا دعونا نتذكر قواعد ضرب أحادية الحد في أحادية الحد:

لضرب وحيدة الحد في وحيدة الحد، يجب عليك أولاً ضرب معاملات وحيدات الحد، ثم، باستخدام قاعدة ضرب القوى مع نفس الأساس، قم بضرب المتغيرات المضمنة في وحيدات الحد.

مثال 1

أوجد حاصل ضرب وحيدات الحد $(2x)^3y^2z$ و$(\frac(3)(4)x)^2y^4$

حل:

أولاً، دعونا نحسب حاصل ضرب المعاملات

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ في هذه المهمة استخدمنا قاعدة ضرب عدد في كسر - لضرب عدد صحيح في كسر، تحتاج لضرب الرقم في بسط الكسر، ووضع المقام دون تغيير

الآن دعونا نستخدم الخاصية الرئيسية للكسر - يمكن تقسيم البسط والمقام للكسر على نفس الرقم، يختلف عن $0$. دعونا نقسم بسط ومقام هذا الكسر على $2$، أي تقليل هذا الكسر بمقدار $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ فارك(3)(2)$

وتبين أن النتيجة الناتجة هي كسر غير حقيقي، أي أن البسط فيه أكبر من المقام.

دعونا نحول هذا الكسر عن طريق عزل الجزء بأكمله. دعونا نتذكر أنه لعزل جزء صحيح، من الضروري كتابة الحاصل غير المكتمل الذي تم الحصول عليه بقسمة البسط على المقام، كجزء صحيح، وباقي القسمة على بسط الجزء الكسري، والمقسوم عليه القاسم.

لقد وجدنا معامل المنتج المستقبلي.

الآن سنقوم بضرب المتغيرات $x^3\cdot x^2=x^5$ بالتتابع،

$y^2\cdot y^4 =y^6$. استخدمنا هنا قاعدة ضرب القوى ذات الأساس نفسه: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

إذن نتيجة ضرب أحاديات الحد ستكون:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

ثم على أساس من هذه القاعدةيمكنك تنفيذ المهمة التالية:

مثال 2

تمثيل كثيرة الحدود المعينة كمنتج من كثيرة الحدود ووحيدة الحد $(4x)^3y+8x^2$

دعونا نمثل كل من وحيدات الحد المتضمنة في كثيرة الحدود كناتج لاثنين من أحاديات الحد من أجل عزل وحيدة الحد المشتركة، والتي ستكون عاملاً في كل من وحيدات الحد الأولى والثانية.

أولاً، لنبدأ بأول وحدة أحادية الحد $(4x)^3y$. دعونا نحلل معاملها إلى عوامل بسيطة: $4=2\cdot 2$. سنفعل الشيء نفسه مع معامل أحادي الحد الثاني $8=2\cdot 2 \cdot 2$. لاحظ أنه تم تضمين العاملين $2\cdot 2$ في كل من المعاملين الأول والثاني، مما يعني $2\cdot 2=4$ - سيتم تضمين هذا الرقم في أحادية الحد العامة كمعامل

الآن دعونا نلاحظ أنه في أحادية الحد الأولى يوجد $x^3$، وفي الثانية يوجد نفس المتغير للأس $2:x^2$. وهذا يعني أنه من المناسب تمثيل المتغير $x^3$ على النحو التالي:

يتم تضمين المتغير $y$ في حد واحد فقط من كثيرة الحدود، مما يعني أنه لا يمكن تضمينه في أحادية الحد العامة.

لنتخيل وحيدة الحد الأولى والثانية المتضمنة في كثيرة الحدود كحاصل ضرب:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

لاحظ أن وحدة الحد المشتركة، والتي ستكون عاملاً في كل من وحدة الحد الأولى والثانية، هي $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

الآن نطبق قانون التوزيع للضرب، ومن ثم يمكن تمثيل التعبير الناتج كحاصل ضرب عاملين. سيكون أحد المضاعفات هو المضاعف الإجمالي: $4x^2$ والآخر سيكون مجموع المضاعفات المتبقية: $xy + 2$. وسائل:

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

هذه الطريقة تسمى التحليل عن طريق إخراج عامل مشترك.

كان العامل المشترك في هذه الحالة هو الوحيد $4x^2$.

خوارزمية

ملاحظة 1

أوجد القاسم المشترك الأكبر لمعاملات جميع أحاديات الحد المتضمنة في كثيرة الحدود - سيكون معامل العامل المشترك أحادي الحد، الذي سنضعه بين قوسين

ستكون وحيدة الحد التي تتكون من المعامل الموجود في الفقرة 2 والمتغيرات الموجودة في الفقرة 3 عاملاً مشتركًا. والتي يمكن إخراجها من الأقواس كعامل مشترك.

مثال 3

أخرج العامل المشترك $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

حل:

لنجد gcd للمعاملات؛ ولهذا سنقوم بتحليل المعاملات إلى عوامل بسيطة

45 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 5$

ونجد حاصل ضرب تلك التي يدخل في توسيع كل منها:

حدد المتغيرات التي تشكل كل وحيدة حد وحدد المتغير ذو الأس الأصغر

$a^3=a^2\cdot a$

يتم تضمين المتغير $b$ فقط في أحادية الحد الثانية والثالثة، مما يعني أنه لن يتم تضمينه في العامل المشترك.

لنقم بتكوين أحادية الحد تتكون من المعامل الموجود في الخطوة 2، والمتغيرات الموجودة في الخطوة 3، نحصل على: $3a$ - سيكون هذا هو العامل المشترك. ثم:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

وفي إطار دراسة تحولات الهوية فإن موضوع إخراج العامل المشترك من الأقواس مهم جداً. سنشرح في هذه المقالة ماهية هذا التحول بالضبط، ونستمد القاعدة الأساسية ونحلل الأمثلة النموذجية للمشكلات.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مفهوم أخذ عامل من الأقواس

لتطبيق هذا التحويل بنجاح، عليك أن تعرف ما هي التعبيرات المستخدمة وما هي النتيجة التي تحتاج إلى الحصول عليها في النهاية. دعونا نوضح هذه النقاط.

يمكنك إخراج العامل المشترك من الأقواس في التعبيرات التي تمثل مجاميع يكون فيها كل حد حاصل ضرب، وفي كل منتج يوجد عامل واحد مشترك (نفسه) للجميع. وهذا ما يسمى العامل المشترك. وهذا هو ما سنخرجه من الأقواس. لذلك، إذا كان لدينا أعمال 5 3و 5 4,ثم يمكننا إخراج العامل المشترك 5 من الأقواس.

مم يتكون هذا التحول؟ نمثل خلالها التعبير الأصلي كحاصل ضرب عامل مشترك وتعبير بين قوسين يحتوي على مجموع جميع الحدود الأصلية باستثناء العامل المشترك.

لنأخذ المثال المذكور أعلاه. دعونا نضيف العامل المشترك 5 إلى 5 3و 5 4ونحصل على 5 (3 + 4) . التعبير النهائي هو حاصل ضرب العامل المشترك 5 في التعبير الموجود بين قوسين، وهو مجموع الحدود الأصلية بدون 5.

هذا التحوليعتمد على خاصية التوزيع للضرب، والتي سبق أن درسناها من قبل. في شكل حرفي يمكن كتابتها كما أ (ب + ج) = أ ب + أ ج. بالتغيير الجانب الأيمنعلى اليسار، سنرى مخططًا لإخراج العامل المشترك من الأقواس.

قاعدة إخراج العامل المشترك من الأقواس

باستخدام كل ما ذكر أعلاه، نستمد القاعدة الأساسية لمثل هذا التحول:

التعريف 1

لإزالة العامل المشترك من الأقواس، عليك كتابة التعبير الأصلي كحاصل ضرب العامل المشترك والأقواس التي تتضمن المجموع الأصلي بدون العامل المشترك.

مثال 1

لنأخذ مثالاً بسيطًا للتقديم. لدينا تعبير رقمي 3 7 + 3 2 − 3 5وهو مجموع ثلاثة حدود 3 · 7، 3 · 2 والعامل المشترك 3. وبأخذ القاعدة التي اشتقناها كأساس، نكتب المنتج بالشكل 3 (7 + 2 − 5). هذه هي نتيجة تحولنا. الحل بأكمله يبدو مثل هذا: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

يمكننا إخراج المضاعف من الأقواس ليس فقط بالأرقام، بل أيضًا التعبيرات الحرفية. على سبيل المثال، في 3 س − 7 س + 2يمكنك إخراج المتغير x والحصول عليه 3 س − 7 س + 2 = س (3 − 7) + 2، في التعبير (س 2 + ص) س ص − (س 2 + ص) س 3- عامل مشترك (س2+ص)والحصول في النهاية (س 2 + ص) · (س · ص − س 3).

ليس من الممكن دائمًا تحديد العامل المشترك على الفور. في بعض الأحيان، يجب أولاً تحويل التعبير عن طريق استبدال الأرقام والتعبيرات بمنتجات متساوية متماثلة.

مثال 2

لذلك، على سبيل المثال، في التعبير 6 س + 4 صمن الممكن استخلاص العامل المشترك 2 الذي لم يتم كتابته بشكل صريح. للعثور عليه، نحتاج إلى تحويل التعبير الأصلي، الذي يمثل ستة في صورة 2 · 3 وأربعة في صورة 2 · 2. إنه 6 س + 4 ص = 2 3 س + 2 2 ص = 2 (3 س + 2 ص). أو في التعبير س 3 + س 2 + 3 سيمكننا إخراج العامل المشترك x من الأقواس، والذي يظهر بعد الاستبدال × 3على س · س 2 .هذا التحول ممكن بسبب الخصائص الأساسية للدرجة. ونتيجة لذلك، نحصل على التعبير س (س 2 + س + 3).

هناك حالة أخرى يجب مناقشتها بشكل منفصل وهي إزالة علامة الطرح من الأقواس. ثم لا نخرج العلامة نفسها، بل ناقص واحد. على سبيل المثال، دعونا نحول التعبير بهذه الطريقة − 5 − 12 س + 4 س ص. دعونا نعيد كتابة التعبير كما (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y، بحيث يكون المضاعف الإجمالي أكثر وضوحًا. لنخرجها من الأقواس ونحصل على − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . يوضح هذا المثال أنه بين قوسين يتم الحصول على نفس المبلغ، ولكن مع علامات عكسية.

في الاستنتاجات، نلاحظ أن التحويل عن طريق وضع العامل المشترك خارج الأقواس يستخدم في كثير من الأحيان في الممارسة العملية، على سبيل المثال، لحساب قيمة التعبيرات المنطقية. تكون هذه الطريقة مفيدة أيضًا عندما تحتاج إلى تمثيل تعبير كحاصل ضرب، على سبيل المثال، تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل فردية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter