الاعتماد الخطي للأعمدة. الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لصفوف وأعمدة المصفوفة

يتم تعريف مفاهيم الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي بالتساوي بالنسبة للصفوف والأعمدة. ولذلك، فإن الخصائص المرتبطة بهذه المفاهيم المصاغة للأعمدة، بالطبع، صالحة أيضًا للصفوف.

1. إذا كان نظام الأعمدة يتضمن عمودًا صفريًا، فهو يعتمد خطيًا.

2. إذا كان نظام الأعمدة يحتوي على عمودين متساويين، فإنه يعتمد خطيا.

3. إذا كان نظام الأعمدة يحتوي على عمودين متناسبين، فإنه يعتمد خطيًا.

4. يعتمد نظام الأعمدة خطيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأعمدة على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

5. تشكل أي أعمدة مدرجة في نظام مستقل خطيًا نظامًا فرعيًا مستقلاً خطيًا.

6. نظام العمود الذي يحتوي على نظام فرعي يعتمد خطيًا يعتمد خطيًا.

7. إذا كان نظام الأعمدة مستقلا خطيا، وبعد إضافة عمود إليه، اتضح أنه يعتمد خطيا، فيمكن توسيع العمود إلى أعمدة، وعلاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها، أي. يمكن العثور على معاملات التوسع بشكل فريد.

دعونا نثبت، على سبيل المثال، الخاصية الأخيرة. نظرًا لأن نظام الأعمدة يعتمد خطيًا، فهناك أرقام لا تساوي جميعها 0، والتي

في هذه المساواة. في الواقع، إذاً

وهذا يعني أن مجموعة خطية غير بديهية من الأعمدة تساوي العمود الصفري، وهو ما يتعارض مع الاستقلال الخطي للنظام. لذلك، وبعد ذلك، أي. العمود عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة. يبقى أن نظهر تفرد مثل هذا التمثيل. ولنفترض العكس. يجب أن يكون هناك توسعتان و ، وليس كل معاملات التوسعات متساوية مع بعضها البعض على التوالي (على سبيل المثال ، ). ثم من المساواة

نحصل على (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

بالتتابع، فإن التركيبة الخطية للأعمدة تساوي العمود الصفري. وبما أن معاملاتها ليست كلها تساوي الصفر (على الأقل)، فإن هذا الجمع غير تافه، وهو ما يتعارض مع شرط الاستقلال الخطي للأعمدة. ويؤكد التناقض الناتج تفرد التوسع.

مثال 3.2.إثبات أن عمودين غير صفريين يعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا متناسبين، أي .

حل.في الواقع، إذا كانت الأعمدة تعتمد خطيًا، فهناك أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت، بحيث . وفي هذه المساواة. في الواقع، بافتراض ذلك، نحصل على تناقض، لأن العمود أيضًا غير صفري. وسائل، . ولذلك، هناك عدد من هذا القبيل. لقد ثبتت الحاجة.

وعلى العكس من ذلك، إذا . لقد حصلنا على مجموعة خطية غير تافهة من الأعمدة تساوي العمود الصفري. وهذا يعني أن الأعمدة تعتمد خطيا.

مثال 3.3.خذ بعين الاعتبار جميع أنواع الأنظمة المتكونة من الأعمدة

فحص كل نظام للاعتماد الخطي.
حل. دعونا نفكر في خمسة أنظمة تحتوي كل منها على عمود واحد. وفقا للفقرة 1 من الملاحظات 3.1: الأنظمة مستقلة خطيا، والنظام الذي يتكون من عمود صفر واحد يعتمد خطيا.

لنفكر في الأنظمة التي تحتوي على عمودين:

- يعتمد كل نظام من الأنظمة الأربعة خطيًا، لأنه يحتوي على عمود صفري (الخاصية 1)؛

– النظام يعتمد خطياً، حيث أن الأعمدة متناسبة (الخاصية 3): ;

- كل نظام من الأنظمة الخمسة مستقل خطياً، حيث أن الأعمدة غير متناسبة (انظر بيان المثال 3.2).

خذ بعين الاعتبار الأنظمة التي تحتوي على ثلاثة أعمدة:

- يعتمد كل نظام من الأنظمة الستة خطياً، لأنه يحتوي على عمود صفري (الخاصية 1)؛

- الأنظمة تابعة خطيًا، لأنها تحتوي على نظام فرعي تابع خطيًا (الخاصية 6)؛

- الأنظمة وتعتمد خطيًا، حيث يتم التعبير عن العمود الأخير خطيًا من خلال الباقي (الخاصية 4): و، على التوالي.

وأخيرًا، تعتمد الأنظمة المكونة من أربعة أو خمسة أعمدة خطيًا (حسب الخاصية 6).

رتبة المصفوفة

في هذا القسم، سنتناول خاصية عددية مهمة أخرى للمصفوفة، تتعلق بمدى اعتماد صفوفها (أعمدتها) على بعضها البعض.

التعريف 14.10دع مصفوفة ذات أحجام وعدد لا يتجاوز أصغر الأرقام وتعطى: . دعونا نختار صفوف وأعمدة المصفوفة بشكل عشوائي (قد تختلف أرقام الصفوف عن أرقام الأعمدة). يسمى محدد المصفوفة المكونة من عناصر عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة بترتيب المصفوفات الثانوية.

مثال 14.9يترك .

القاصر من الدرجة الأولى هو أي عنصر من عناصر المصفوفة. إذن 2،، هم قاصرون من الدرجة الأولى.

قاصرون من الدرجة الثانية:

1. خذ الصفوف 1، 2، الأعمدة 1، 2، نحصل على قاصر ;

2. خذ الصفوف 1، 3، الأعمدة 2، 4، نحصل على قاصر ;

3. نأخذ الصفوف 2، 3، الأعمدة 1، 4، نحصل على قاصر

قاصرون من الدرجة الثالثة:

لا يمكن تحديد الصفوف هنا إلا بطريقة واحدة،

1. خذ الأعمدة 1، 3، 4، نحصل على قاصر ;

2. خذ الأعمدة 1، 2، 3، نحصل على قاصر .

الاقتراح 14.23 إذا كانت جميع العناصر الثانوية في مصفوفة الرتبة تساوي صفرًا، فإن جميع العناصر الثانوية من الرتبة، إن وجدت، تساوي أيضًا الصفر.

دليل. لنأخذ قاصرًا تعسفيًا من النظام. هذا هو محدد مصفوفة الترتيب. دعونا نقسمها على طول السطر الأول. ثم في كل حد من عوامل التوسع سيكون أحد العوامل أصغر من ترتيب المصفوفة الأصلية. حسب الشرط، ترتيب القاصرين يساوي الصفر. وبالتالي فإن أصغر الترتيب يساوي صفرًا.

التعريف 14.11رتبة المصفوفة هي أكبر ترتيب للمصفوفات الثانوية بخلاف الصفر. تعتبر رتبة المصفوفة الصفرية صفراً.

لا يوجد تعيين قياسي واحد لرتبة المصفوفة. وبعد الكتاب المدرسي سنشير إليه.

مثال 14.10حصلت مصفوفة المثال 14.9 على المرتبة 3 لأنه يوجد عنصر ثانوي من الدرجة الثالثة بخلاف الصفر، ولكن لا توجد عناصر ثانوية من الدرجة الرابعة.

رتبة المصفوفة يساوي 1، نظرًا لوجود عنصر ثانوي من الدرجة الأولى غير الصفر (عنصر المصفوفة) وجميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي الصفر.

رتبة مصفوفة مربعة غير مفردة من الرتبة تساوي ، لأن محددها هو قاصر من الرتبة وغير صفر بالنسبة للمصفوفة غير المفردة.

الاقتراح 14.24 عندما يتم نقل المصفوفة، لا يتغير ترتيبها، أي، .

دليل. سيكون القاصر المنقول من المصفوفة الأصلية قاصرًا من المصفوفة المنقولة، والعكس صحيح، أي قاصر هو قاصر منقول من المصفوفة الأصلية. عند النقل، لا يتغير المحدد (الثانوي) (الاقتراح 14.6). لذلك، إذا كانت جميع العناصر الثانوية من نفس الرتبة في المصفوفة الأصلية تساوي صفرًا، فإن جميع العناصر الثانوية من نفس الرتبة تساوي أيضًا صفرًا. إذا كان الترتيب الثانوي في المصفوفة الأصلية يختلف عن الصفر، فإن b هو ترتيب ثانوي من نفس الترتيب، يختلف عن الصفر. لذلك، .

التعريف 14.12ولتكن رتبة المصفوفة . ثم أي قاصر من الرتبة، بخلاف الصفر، يسمى قاصرًا أساسيًا.

مثال 14.11يترك . محدد المصفوفة هو صفر، لأن الصف الثالث يساوي مجموع الصفين الأولين. الترتيب الثاني الثانوي، الموجود في أول صفين وأول عمودين، يساوي . وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي اثنان، والقاصر المعتبر هو الأساسي.

القاصر الأساسي هو أيضًا قاصر يقع، على سبيل المثال، في الصفين الأول والثالث، العمودين الأول والثالث: . ستكون القاعدة الصغرى في الصفين الثاني والثالث والعمودين الأول والثالث: .

القاصر في الصف الأول والثاني والعمود الثاني والثالث هو صفر وبالتالي لن يكون أساسًا. يمكن للقارئ أن يتحقق بشكل مستقل من أي من القاصرين الآخرين من الدرجة الثانية سيكون أساسيًا وأيهم لن يكون كذلك.

نظرًا لأنه يمكن إضافة أعمدة (صفوف) المصفوفة، وضربها بالأرقام، وتكوين مجموعات خطية، فمن الممكن تقديم تعريفات الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لنظام أعمدة (صفوف) المصفوفة. هذه التعريفات تشبه نفس التعريفات 10.14، 10.15 للمتجهات.

التعريف 14.13يسمى نظام الأعمدة (الصفوف) معتمدًا خطيًا إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات، واحدة منها على الأقل تختلف عن الصفر، بحيث يكون الجمع الخطي للأعمدة (الصفوف) مع هذه المعاملات مساويًا للصفر.

التعريف 14.14يكون نظام الأعمدة (الصفوف) مستقلاً خطيًا إذا كانت المساواة مع الصفر لمجموعة خطية من هذه الأعمدة (الصفوف) تعني أن جميع معاملات هذه المجموعة الخطية تساوي الصفر.

الاقتراح التالي، المشابه للاقتراح 10.6، صحيح أيضًا.

الجملة 14.25 يعتمد نظام الأعمدة (الصفوف) خطيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأعمدة (أحد الصفوف) عبارة عن مزيج خطي من أعمدة (صفوف) أخرى في هذا النظام.

دعونا صياغة نظرية تسمى أساس نظرية ثانوية.

نظرية 14.2 أي عمود مصفوفة هو عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي.

يمكن العثور على الدليل في كتب الجبر الخطي، على سبيل المثال، في.

الاقتراح 14.26 رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد أعمدتها التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا.

دليل. ولتكن رتبة المصفوفة . لنأخذ الأعمدة التي تمر عبر الأساس الصغير. لنفترض أن هذه الأعمدة تشكل نظامًا يعتمد خطيًا. ثم يكون أحد الأعمدة عبارة عن مزيج خطي من الأعمدة الأخرى. لذلك، في الأساس الثانوي، سيكون أحد الأعمدة عبارة عن مزيج خطي من الأعمدة الأخرى. بموجب الاقتراحين 14.15 و14.18، يجب أن يكون هذا الأساس القاصر مساويًا للصفر، وهو ما يتعارض مع تعريف الأساس القاصر. لذلك، فإن الافتراض بأن الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي تعتمد خطيًا غير صحيح. لذا، فإن الحد الأقصى لعدد الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا أكبر من أو يساوي.

لنفترض أن الأعمدة تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا. دعونا نجعل منهم مصفوفة. جميع المصفوفات الثانوية هي مصفوفات ثانوية. ولذلك، فإن الأساس الثانوي للمصفوفة ليس له ترتيب أكبر من . وفقًا لنظرية الأساس الثانوي، فإن العمود الذي لا يمر عبر الأساس الثانوي للمصفوفة هو مزيج خطي من الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي، أي أن أعمدة المصفوفة تشكل نظامًا تابعًا خطيًا. وهذا يتعارض مع اختيار الأعمدة التي تشكل المصفوفة. لذلك، لا يمكن أن يكون الحد الأقصى لعدد الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا أكبر من . وهذا يعني أنه مساو لما ذكر.

الاقتراح 14.27 رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا.

دليل. وفقا للاقتراح 14.24، فإن رتبة المصفوفة لا تتغير أثناء النقل. صفوف المصفوفة تصبح أعمدتها. الحد الأقصى لعدد الأعمدة الجديدة للمصفوفة المنقولة (الصفوف السابقة للأصل) التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا يساوي رتبة المصفوفة.

الاقتراح 14.28 إذا كان محدد المصفوفة صفرًا، فإن أحد أعمدتها (أحد الصفوف) عبارة عن مزيج خطي من الأعمدة المتبقية (الصفوف).

دليل. دع ترتيب المصفوفة يساوي . المحدد هو المصفوفة الثانوية الوحيدة التي لها ترتيب في المصفوفة المربعة. وبما أنها تساوي الصفر إذن. وبالتالي، فإن نظام الأعمدة (الصفوف) يعتمد خطيًا، أي أن أحد الأعمدة (أحد الصفوف) عبارة عن مزيج خطي من الأعمدة الأخرى.

نتائج المقترحات 14.15 و14.18 و14.28 تعطي النظرية التالية.

نظرية 14.3 محدد المصفوفة يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان أحد أعمدتها (أحد الصفوف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة المتبقية (الصفوف).

يتطلب العثور على رتبة مصفوفة عن طريق حساب جميع فروعها الكثير من العمل الحسابي. (يمكن للقارئ التحقق من وجود 36 رتبة ثانوية في مصفوفة مربعة من الدرجة الرابعة.) لذلك، يتم استخدام خوارزمية مختلفة للعثور على الرتبة. لوصف ذلك، سوف تكون هناك حاجة لعدد من المعلومات الإضافية.

التعريف 14.15دعونا نسمي الإجراءات التالية عليها التحولات الأولية للمصفوفات:

1) إعادة ترتيب الصفوف أو الأعمدة؛
2) ضرب صف أو عمود برقم غير الصفر.
3) إضافة إلى أحد الصفوف صف آخر مضروبا في رقم أو إضافة إلى أحد الأعمدة عمود آخر مضروبا في رقم.

الاقتراح 14.29 أثناء التحويلات الأولية، لا تتغير رتبة المصفوفة.

دليل. لتكن رتبة المصفوفة مساوية لـ - المصفوفة الناتجة عن إجراء تحويل أولي.

دعونا ننظر في التقليب من السلاسل. لنكن صغرى من المصفوفة، فإن المصفوفة لها صغرى إما أن تتطابق معها أو تختلف عنها عن طريق إعادة ترتيب الصفوف. والعكس صحيح، يمكن ربط أي مصفوفة ثانوية بمصفوفة ثانوية تتطابق معها أو تختلف عنها في ترتيب الصف. لذلك، من حقيقة أن جميع العناصر الثانوية من رتبة ما في المصفوفة تساوي صفرًا، يترتب على ذلك أن جميع العناصر الثانوية من هذا الترتيب في المصفوفة تساوي أيضًا صفرًا. وبما أن المصفوفة لها رتبة ثانوية، تختلف عن الصفر، فإن المصفوفة أيضًا لها رتبة ثانوية، تختلف عن الصفر، أي.

فكر في ضرب سلسلة برقم غير الصفر. يقابل القاصر من المصفوفة القاصر من المصفوفة التي تتطابق معها أو تختلف عنها في صف واحد فقط، ويتم الحصول عليها من الصف الصغير عن طريق الضرب في رقم غير الصفر. في الحالة الأخيرة. وفي جميع الأحوال إما أن تكون في نفس الوقت مساوية للصفر، أو في نفس الوقت مختلفة عن الصفر. لذلك، .

أين توجد بعض الأرقام (بعض هذه الأرقام أو حتى جميعها قد يساوي صفراً). وهذا يعني أن هناك المساواة التالية بين عناصر الأعمدة:

من (3.3.1) يتبع ذلك

إذا كانت المساواة (3.3.3) صحيحة إذا وفقط إذا، فإن الصفوف تسمى مستقلة خطيًا. توضح العلاقة (3.3.2) أنه إذا تم التعبير عن أحد الصفوف خطيًا من حيث الصفوف الأخرى، فإن الصفوف تعتمد خطيًا.

من السهل رؤية العكس: إذا كانت السلاسل تعتمد خطيًا، فهناك سلسلة عبارة عن مزيج خطي من السلاسل الأخرى.

ولنفترض مثلا في (3.3.3) إذن .

تعريف. اسمح بتحديد رتبة ثانوية معينة من الرتبة r في المصفوفة A، ودع الرتبة الثانوية (r+1) من نفس المصفوفة تحتوي على القاصر بالكامل. سنقول أنه في هذه الحالة يقع القاصر على حدود القاصر (أو على حدود ).

الآن سوف نثبت أهمية كبيرة.

ليماحول الحدود مع القاصرين. إذا كان القاصر من الرتبة r للمصفوفة A= يختلف عن الصفر، وجميع القاصرين المتاخمين له يساوي الصفر، فإن أي صف (عمود) من المصفوفة A هو مزيج خطي من صفوفه (الأعمدة) التي تشكل.

دليل. دون أن نفقد عمومية الاستدلال، سنفترض أن هناك عنصرًا صغيرًا غير الصفر من المرتبة r موجود في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة A =:

بالنسبة للصفوف k الأولى من المصفوفة A، فإن بيان lemma واضح: يكفي أن تدرج في مجموعة خطية نفس الصف بمعامل يساوي واحدًا، والباقي - بمعاملات تساوي الصفر.

دعونا نثبت الآن أن الصفوف المتبقية من المصفوفة A يتم التعبير عنها خطيًا من خلال الصفوف k الأولى. للقيام بذلك، نقوم بإنشاء ترتيب صغير من (r+1) عن طريق إضافة السطر k () إلى الترتيب الصغير و لالعمود الرابع ():

القاصر الناتج يساوي الصفر لجميع k و l. إذا كان يساوي صفرًا لأنه يحتوي على عمودين متطابقين. إذا، فإن القاصر الناتج هو حافة صغيرة لـ، وبالتالي، يساوي الصفر وفقًا لشروط lemma.

دعونا نحلل القاصر حسب عناصر الأخير لالعمود الرابع:

لنفترض أننا حصلنا على:

(3.3.6)

التعبير (3.3.6) يعني أن الصف k من المصفوفة A يتم التعبير عنه خطيًا من خلال الصفوف r الأولى.

نظرًا لأنه عندما يتم نقل المصفوفة، فإن قيمها الثانوية لا تتغير (بسبب خاصية المحددات)، فكل ما تم إثباته ينطبق أيضًا على الأعمدة. لقد تم إثبات النظرية.

النتيجة الطبيعية I. أي صف (عمود) من المصفوفة هو مزيج خطي من صفوفها الأساسية (الأعمدة). في الواقع، الأساس الأصغر للمصفوفة هو غير صفر، وجميع العناصر الثانوية المجاورة لها تساوي صفرًا.

النتيجة الطبيعية الثانية. محدد الترتيب n يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان يحتوي على صفوف (أعمدة) تابعة خطيًا. وقد تم إثبات كفاية الاعتماد الخطي للصفوف (الأعمدة) لكي يكون المحدد مساوياً للصفر كخاصية للمحددات.

دعونا نثبت الضرورة. دعونا نحصل على مصفوفة مربعة من الرتبة n، وصغرها الوحيد هو صفر. ويترتب على ذلك أن رتبة هذه المصفوفة أقل من n، أي. يوجد صف واحد على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأساسية لهذه المصفوفة.

دعونا نثبت نظرية أخرى حول رتبة المصفوفة.

نظرية.الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا للمصفوفة يساوي الحد الأقصى لعدد أعمدتها المستقلة خطيًا ويساوي رتبة هذه المصفوفة.

دليل. دع رتبة المصفوفة A= تساوي r. ثم يكون أي من صفوف الأساس k الخاصة به مستقلاً خطيًا، وإلا فإن الأساس الثانوي سيكون مساويًا للصفر. من ناحية أخرى، فإن أي صف r+1 أو أكثر يعتمد خطيًا. بافتراض العكس، يمكننا العثور على رتبة ثانوية أكبر من r وهي غير صفرية من خلال النتيجة الطبيعية 2 من الليما السابقة. هذا الأخير يتناقض مع حقيقة أن الحد الأقصى لترتيب القاصرين غير الصفر هو r. كل ما تم إثباته بالنسبة للصفوف ينطبق أيضًا على الأعمدة.

وفي الختام، سنوضح طريقة أخرى للعثور على رتبة المصفوفة. يمكن تحديد رتبة المصفوفة من خلال إيجاد رتبة ثانوية من الحد الأقصى تختلف عن الصفر.

للوهلة الأولى، يتطلب هذا حساب عدد محدود، ولكن ربما كبير جدًا من العناصر الثانوية لهذه المصفوفة.

ومع ذلك، تسمح النظرية التالية بإدخال تبسيطات كبيرة في هذا الأمر.

نظرية.إذا كان القاصر للمصفوفة A غير صفر، وجميع القاصرات المجاورة لها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي r.

دليل. يكفي إظهار أن أي نظام فرعي لصفوف المصفوفة لـ S>r سوف يعتمد خطيًا في ظل ظروف النظرية (سيتبع ذلك أن r هو الحد الأقصى لعدد صفوف المصفوفة المستقلة خطيًا أو أي من صفوفها الثانوية أكبر من k تساوي الصفر).

ولنفترض العكس. دع الصفوف تكون مستقلة خطيا. من خلال lemma حول القاصرين المجاورين، سيتم التعبير عن كل منهم خطيًا من حيث الخطوط التي تحتوي على القاصر والتي، نظرًا لأنها غير صفرية، تكون مستقلة خطيًا:

الآن فكر في المجموعة الخطية التالية:

أو

وباستخدام (3.3.7) و (3.3.8) نحصل على

مما يتعارض مع استقلال الصف الخطي.

وبالتالي، فإن افتراضنا غير صحيح، وبالتالي فإن أي صفوف S>r في ظل ظروف النظرية تكون تابعة خطيًا. لقد تم إثبات النظرية.

لنفكر في قاعدة حساب رتبة المصفوفة - طريقة تحديد حدود القاصرين، بناءً على هذه النظرية.

عند حساب رتبة المصفوفة، ينبغي للمرء أن ينتقل من القاصرين من الرتب الأدنى إلى القاصرين من الرتب الأعلى. إذا تم بالفعل العثور على قاصر من الرتبة r، يختلف عن الصفر، فمن الضروري حساب القاصرين من الرتبة (r+1) المتاخمة للقاصر فقط. إذا كانت تساوي الصفر، فإن رتبة المصفوفة تساوي r. تُستخدم هذه الطريقة أيضًا إذا لم نحسب رتبة المصفوفة فحسب، بل نحدد أيضًا الأعمدة (الصفوف) التي تشكل الأساس الثانوي للمصفوفة.

مثال. احسب رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الثانوية

حل. الترتيب الثاني الثانوي، الموجود في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة A، ليس صفرًا:

ومع ذلك، فإن جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة المحيطة به تساوي الصفر:

;	;
;	;
;	.

وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A تساوي اثنين: .

الصفان الأول والثاني، والعمودان الأول والثاني في هذه المصفوفة أساسيان. الصفوف والأعمدة المتبقية عبارة عن مجموعات خطية منها. في الواقع، المساواة التالية تنطبق على السلاسل:

وفي الختام نلاحظ صحة الخصائص التالية:

1) لا تكون رتبة منتج المصفوفات أكبر من رتبة كل عامل من العوامل؛

2) رتبة منتج المصفوفة التعسفية A على اليمين أو اليسار بمصفوفة مربعة غير مفردة Q تساوي رتبة المصفوفة A.

المصفوفات متعددة الحدود

تعريف. المصفوفة متعددة الحدود أو المصفوفة - هي مصفوفة مستطيلة عناصرها عبارة عن متعددات الحدود في متغير واحد بمعاملات عددية.

يمكن إجراء التحويلات الأولية على المصفوفات. وتشمل هذه:

إعادة ترتيب صفين (أعمدة)؛

ضرب صف (عمود) برقم غير الصفر؛

إضافة إلى صف واحد (عمود) صف آخر (عمود) مضروبًا في أي كثيرة الحدود.

يقال إن مصفوفتين ولهما نفس الحجم متكافئتان: إذا أمكن الانتقال من المصفوفة إلى استخدام عدد محدود من التحويلات الأولية.

مثال. إثبات تكافؤ المصفوفة

1. قم بتبديل العمودين الأول والثاني في المصفوفة:

2. من السطر الثاني اطرح الأول مضروبًا في ():

3. اضرب السطر الثاني في (-1) ولاحظ ذلك

4. اطرح من العمود الثاني العمود الأول مضروبًا في نحصل عليه

يتم تقسيم مجموعة جميع المصفوفات ذات الأحجام المحددة إلى فئات منفصلة من المصفوفات المتكافئة. المصفوفات المتكافئة تشكل فئة واحدة، والمصفوفات غير المتكافئة تشكل فئة أخرى.

تتميز كل فئة من المصفوفات المتكافئة بمصفوفة أساسية أو عادية ذات أبعاد معينة.

تعريف. مصفوفة الأبعاد الأساسية أو العادية هي مصفوفة يحتوي قطرها الرئيسي على كثيرات الحدود، حيث p هو أصغر الأرقام m و n ( )، ومتعددات الحدود التي لا تساوي الصفر لها معاملات رائدة تساوي 1، ويتم تقسيم كل كثيرة حدود لاحقة على السابقة. جميع العناصر خارج القطر الرئيسي هي 0.

ويترتب على التعريف أنه إذا كان هناك كثيرات الحدود من الدرجة صفر بين كثيرات الحدود، فهي في بداية القطر الرئيسي. إذا كان هناك أصفار، فهي في نهاية القطر الرئيسي.

مصفوفة المثال السابق هي أساسية. مصفوفة

الكنسي أيضا.

تحتوي كل فئة من المصفوفات على مصفوفة قانونية فريدة، أي. كل -مصفوفة تعادل مصفوفة قانونية فريدة من نوعها، والتي تسمى بالشكل القانوني أو الشكل العادي لتلك المصفوفة.

تسمى كثيرات الحدود الموجودة على القطر الرئيسي للشكل القانوني لمصفوفة معينة بالعوامل الثابتة لهذه المصفوفة.

إحدى طرق حساب العوامل الثابتة هي اختزال مصفوفة معينة إلى الشكل القانوني.

وبالتالي، بالنسبة لمصفوفة المثال السابق، فإن العوامل الثابتة هي

ويترتب على ما سبق أن وجود نفس مجموعة العوامل الثابتة شرط ضروري وكاف لتكافؤ المصفوفات.

يتم تقليل اختزال المصفوفات إلى الشكل القانوني لتحديد العوامل الثابتة

, ; ,

حيث r هي رتبة المصفوفة؛ - القاسم المشترك الأكبر للرتبة k الصغرى، مأخوذًا بمعامل رئيسي يساوي 1.

مثال. واسمحوا معين -مصفوفة

حل. ومن الواضح أن القاسم المشترك الأكبر من الدرجة الأولى، أي. .

دعونا نحدد القاصرين من الدرجة الثانية:

إلخ.

بالفعل هذه البيانات كافية للتوصل إلى نتيجة: لذلك، .

نحدد

لذلك، .

وبالتالي فإن الشكل القانوني لهذه المصفوفة هو المصفوفة التالية:

مصفوفة متعددة الحدود هي تعبير عن النموذج

حيث هو متغير؛ - المصفوفات المربعة من الرتبة n ذات العناصر العددية.

إذا كانت S تسمى درجة المصفوفة كثيرة الحدود، n هي ترتيب المصفوفة متعددة الحدود.

يمكن تمثيل أي مصفوفة من الدرجة الثانية كمصفوفة متعددة الحدود. ومن الواضح أن العبارة المعاكسة صحيحة أيضًا، أي. يمكن تمثيل أي مصفوفة متعددة الحدود كمصفوفة مربعة.

من الواضح أن صحة هذه العبارات تنبع من خصائص العمليات على المصفوفات. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التالية:

مثال. تمثل مصفوفة متعددة الحدود

في شكل مصفوفة متعددة الحدود على النحو التالي

مثال. مصفوفة متعددة الحدود

يمكن تمثيلها على أنها المصفوفة متعددة الحدود التالية ( -matrix)

تلعب قابلية التبادل بين كثيرات الحدود المصفوفية والمصفوفات متعددة الحدود دورًا مهمًا في الجهاز الرياضي لطرق تحليل العوامل والمكونات.

يمكن جمع كثيرات الحدود المصفوفية بنفس الترتيب وطرحها وضربها بنفس طريقة كثيرات الحدود العادية ذات المعاملات العددية. ومع ذلك، يجب أن نتذكر أن ضرب كثيرات حدود المصفوفة، بشكل عام، ليس عملية إبدالية، نظرًا لأن ضرب المصفوفة ليس تبادلياً.

يقال أن مصفوفتين كثيرتي الحدود متساويتان إذا كانت معاملاتهما متساوية، أي. المصفوفات المتناظرة لنفس قوى المتغير .

مجموع (الفرق) بين كثيرات حدود المصفوفة هو مصفوفة كثيرة الحدود معاملها لكل درجة من المتغير يساوي مجموع (الفرق) للمعاملات لنفس الدرجة في كثيرات الحدود و.

لضرب مصفوفة كثيرة الحدود في مصفوفة متعددة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من حدود المصفوفة في كل حد من حدود المصفوفة، وإضافة المنتجات الناتجة وإحضار مصطلحات مماثلة.

درجة مصفوفة كثيرة الحدود هي حاصل ضرب أقل من أو يساوي مجموع درجات العوامل.

يمكن إجراء العمليات على كثيرات حدود المصفوفة باستخدام العمليات على المصفوفات المقابلة.

لإضافة (طرح) كثيرات حدود المصفوفة، يكفي إضافة (طرح) المصفوفات المقابلة. الأمر نفسه ينطبق على الضرب. -مصفوفة منتج كثيرات الحدود المصفوفة يساوي منتج -مصفوفات العوامل.

ومن ناحية أخرى، ويمكن كتابتها في النموذج

حيث B 0 هي مصفوفة غير مفردة.

عند القسمة على يوجد حاصل حق فريد وباقي صحيح

حيث تكون درجة R 1 أقل من الدرجة، أو (القسمة بدون باقي)، وكذلك الحاصل الأيسر والباقي الأيسر إذا وفقط إذا، أين الترتيب

الاستقلال الخطي لصفوف المصفوفة

نظرا لمصفوفة الحجم

دعونا نشير إلى صفوف المصفوفة على النحو التالي:

يتم استدعاء الخطين متساوي إذا كانت العناصر المتناظرة متساوية. .

دعونا نقدم عمليات ضرب سلسلة برقم وإضافة سلاسل كعمليات يتم تنفيذها عنصرًا بعنصر:

تعريف.يسمى الصف مجموعة خطية من صفوف المصفوفة إذا كان يساوي مجموع منتجات هذه الصفوف بأرقام حقيقية عشوائية (أي أرقام):

تعريف.يتم استدعاء صفوف المصفوفة تعتمد خطيا ، إذا كانت هناك أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت، بحيث تكون المجموعة الخطية من صفوف المصفوفة مساوية لصف الصفر:

أين . (1.1)

الاعتماد الخطي لصفوف المصفوفة يعني أن صفًا واحدًا على الأقل من المصفوفة عبارة عن مزيج خطي من الباقي.

تعريف.إذا كانت المجموعة الخطية من الصفوف (1.1) تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع المعاملات، فسيتم استدعاء الصفوف مستقل خطيا .

نظرية رتبة المصفوفة. رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها أو أعمدتها المستقلة خطيًا والتي يتم من خلالها التعبير خطيًا عن جميع الصفوف (الأعمدة) الأخرى.

تلعب النظرية دورا أساسيا في تحليل المصفوفات، وخاصة في دراسة أنظمة المعادلات الخطية.

6, 13,14,15,16. ثلاثة أبعاد. العمليات على المتجهات (الجمع والطرح والضرب في عدد)،ن -ناقل الأبعاد. مفهوم الفضاء المتجه وأساسه.

المتجه هو قطعة موجهة لها نقطة بداية أونقطة النهاية في(والتي يمكن نقلها بالتوازي مع نفسها).

يمكن تعيين المتجهات إما بحرفين كبيرين أو بحرف صغير مع خط أو سهم.

الطول (أو الوحدة) المتجه هو رقم يساوي طول القطعة AB التي تمثل المتجه.

تسمى المتجهات الواقعة على نفس الخط أو على خطوط متوازية على استطراد .

إذا كانت بداية ونهاية المتجه تتزامن ()، فسيتم استدعاء هذا المتجه صفر ويشار إليه = . طول المتجه الصفري هو صفر:

1) منتج المتجه والرقم:

سيكون هناك متجه له طول يتطابق اتجاهه مع اتجاه المتجه إذا وعكسه إذا .

2) ناقلات المعاكس - ويسمى حاصل ضرب المتجه - والرقم (-1) أي . -=.

3) مجموع اثنين من المتجهات ويسمى متجهاً، تكون بدايته مع بداية المتجه، ونهايته مع نهاية المتجه، بشرط أن تتطابق البداية مع النهاية. (قاعدة المثلثات). يتم تحديد مجموع العديد من المتجهات بالمثل.

4) الفرق بين ناقلين ويسمى مجموع المتجه والمتجه - المعاكس .

المنتج العددي

تعريف: المنتج القياسي لمتجهين هو رقم يساوي منتج أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما:

ناقلات الأبعاد ومساحة المتجهات

تعريف. المتجه ذو الأبعاد n عبارة عن مجموعة مرتبة ن الأعداد الحقيقية مكتوبة في النموذج س = (س 1، س 2،…، س ن)، أين × ط – أنا -المكون من المتجه X.

يستخدم مفهوم المتجه ذو الأبعاد n على نطاق واسع في الاقتصاد، على سبيل المثال، يمكن وصف مجموعة معينة من السلع بواسطة ناقل س = (س 1، س 2،…، س ن)،والأسعار المقابلة ص = (ص 1، ص 2،…،ص ن).

- متجهان ذوا أبعاد n متساويان إذا وفقط إذا كانت المكونات المقابلة لها متساوية، أي. س=ص، إذا كان س أنا= ص أنا, أنا = 1,2,…,ن.

- مجموع متجهين نفس الحجم نيسمى ناقل ض = س + ص، التي تساوي مكوناتها مجموع المكونات المقابلة لمتجهات الجمع، أي. ض أنا= س أنا+ ص أنا، ط = 1،2،…، ن.

- حاصل ضرب المتجه x وعدد حقيقي يسمى المتجه الذي تكون مكوناته مساوية لمنتج المكونات المقابلة للمتجه، أي. , أنا= 1,2,…,ن.

العمليات الخطية على أي متجهات تحقق الخصائص التالية:

1) - الخاصية التبادلية (التبادلية) للمجموع؛

2) - الخاصية الترابطية (التوليفية) للمجموع؛

3) - خاصية ترابطية فيما يتعلق بالعامل العددي؛

4) - خاصية التوزيع (التوزيع) بالنسبة لمجموع المتجهات؛

5) - خاصية التوزيع فيما يتعلق بمجموع العوامل العددية؛

6) يوجد متجه صفري لأي متجه (الدور الخاص للمتجه الصفري)؛

7) لأي متجه يوجد متجه معاكس مثل ؛

8) لأي متجه (الدور الخاص للعامل العددي 1).

تعريف. مجموعة المتجهات ذات المكونات الحقيقية، والتي يتم فيها تعريف عمليات إضافة المتجهات وضرب المتجه بعدد يحقق الخصائص الثمانية المذكورة أعلاه (التي تعتبر بديهيات)، تسمى حالة ناقلات .

البعد وأساس الفضاء المتجه

تعريف. يسمى الفضاء الخطي ن الأبعاد ، إذا كان موجودا نناقلات مستقلة خطيًا، وأي من المتجهات تابعة بالفعل. بعبارة أخرى، البعد الفضاء هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا التي يحتوي عليها. الرقم n يسمى البعد المكاني ويرمز له بالرمز .

تسمى مجموعة من المتجهات n المستقلة خطيًا في الفضاء n الأبعاد أساس .

7. المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفة. المعادلة المميزة للمصفوفة.

تعريف. يسمى المتجه eigenvector عامل خطي إذا كان هناك رقم مثل:

الرقم يسمى الصحيح قيمة المشغل (المصفوفات أ) الموافق للناقل.

يمكن كتابتها على شكل مصفوفة:

أين توجد مصفوفة عمود لإحداثيات المتجهات، أو في شكل موسع:

لنعد كتابة النظام بحيث تكون هناك أصفار على الجانب الأيمن:

أو على شكل مصفوفة: . النظام المتجانس الناتج دائمًا ما يكون حله صفرًا. ولوجود الحل اللاصفري فإنه من الضروري والكافي أن يكون محدد النظام: .

المحدد هو متعدد الحدود نالدرجة الرابعة نسبة إلى . يسمى هذا كثير الحدود كثير الحدود مميزة للمشغل أو المصفوفة A، والمعادلة الناتجة هي المعادلة المميزة للمشغل أو المصفوفة أ.

مثال:

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للعامل الخطي المعطاة بواسطة المصفوفة.

الحل: نشكل المعادلة المميزة أو , من حيث القيمة الذاتية للمشغل الخطي .

نجد المتجه الذاتي المطابق للقيمة الذاتية. للقيام بذلك، نحل معادلة المصفوفة:

أو ، أو، من حيث نجد: ، أو

أو .

لنفترض أننا حصلنا على أن المتجهات، لأي منها، هي ناقلات ذاتية لمشغل خطي ذو قيمة ذاتية.

وبالمثل، ناقلات .

8. النظام صالمعادلات الخطية مع صالمتغيرات (نظرة عامة). شكل مصفوفة لتسجيل مثل هذا النظام. حل النظام (التعريف). أنظمة متسقة وغير متوافقة ومحددة وغير محددة من المعادلات الخطية.

حل نظام المعادلات الخطية مع المجهول

تستخدم أنظمة المعادلات الخطية على نطاق واسع في الاقتصاد.

نظام المعادلات الخطية ذات المتغيرات له الشكل:

حيث () يتم استدعاء أرقام عشوائية معاملات المتغيرات و شروط المعادلات الحرة ، على التوالى.

دخول مختصر: ().

تعريف.حل النظام هو مجموعة من القيم، عند استبدالها تتحول كل معادلة في النظام إلى مساواة حقيقية.

1) يسمى نظام المعادلات مشترك ، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير مشترك، إذا لم يكن لها حلول.

2) يسمى النظام المتزامن للمعادلات تأكيد ، إذا كان لديه حل فريد، و غير مؤكد ، إذا كان له أكثر من حل.

3) يتم استدعاء نظامين من المعادلات مقابل (مقابل) ، إذا كان لديهم نفس مجموعة الحلول (على سبيل المثال، حل واحد).

لنكتب النظام على شكل مصفوفة:

دعنا نشير إلى: ، أين

أ- مصفوفة المعاملات للمتغيرات، أو مصفوفة النظام، X - عمود المصفوفة من المتغيرات، في - عمود مصفوفة للأعضاء الأحرار.

لأن عدد أعمدة المصفوفة يساوي عدد صفوف المصفوفة، فإن حاصل ضربهم هو:

هناك مصفوفة العمود. عناصر المصفوفة الناتجة هي الأجزاء اليسرى من النظام الأولي. بناءً على تعريف مساواة المصفوفات يمكن كتابة النظام الأولي على الصورة: .

نظرية كريمر. ليكن محدد مصفوفة النظام، وليكن محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها من المصفوفة عن طريق استبدال العمود th بعمود المصطلحات الحرة. ثم، إذا، فإن النظام لديه حل فريد، يتم تحديده بواسطة الصيغ:

صيغة كريمر.

مثال. حل نظام المعادلات باستخدام صيغ كرامر

حل. محدد مصفوفة النظام. ولذلك، فإن النظام لديه حل فريد من نوعه. دعونا نحسب أنه تم الحصول عليه من استبدال الأعمدة الأول والثاني والثالث بعمود من المصطلحات الحرة، على التوالي:

وفقا لصيغ كريمر:

9. طريقة جاوس لحل النظامن المعادلات الخطية مع صالمتغيرات. مفهوم طريقة جوردان غاوس.

طريقة غاوس - طريقة الحذف المتسلسل للمتغيرات.

تتكون طريقة غاوس من حقيقة أنه باستخدام تحويلات الصفوف الأولية وتباديل الأعمدة، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئ لشكل خطوة (أو مثلث)، حيث يتم العثور على جميع المتغيرات الأخرى بالتتابع، بدءًا من الأخير ( حسب العدد) المتغيرات.

من الملائم إجراء تحويلات غاوسية ليس باستخدام المعادلات نفسها، ولكن باستخدام المصفوفة الموسعة لمعاملاتها، والتي يتم الحصول عليها عن طريق تخصيص عمود من المصطلحات الحرة للمصفوفة:

تجدر الإشارة إلى أن طريقة غاوس يمكنها حل أي نظام من المعادلات من النموذج .

مثال. حل النظام باستخدام طريقة غاوس:

دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام.

الخطوة 1 . لنبدل السطرين الأول والثاني حتى يصبح يساوي 1.

الخطوة 2. لنضرب عناصر الصف الأول في (–2) و(–1) ونضيفها إلى عناصر الصف الثاني والثالث بحيث تظهر الأصفار تحت العنصر الموجود في العمود الأول. .

بالنسبة للأنظمة المتزامنة للمعادلات الخطية، تكون النظريات التالية صحيحة:

النظرية 1.إذا كانت رتبة مصفوفة النظام المشترك تساوي عدد المتغيرات أي ، فإن النظام لديه حل فريد.

النظرية 2.إذا كانت رتبة مصفوفة النظام المشترك أقل من عدد المتغيرات، أي. فإن النظام غير مؤكد وله عدد لا نهائي من الحلول.

تعريف.الأساس القاصر للمصفوفة هو أي قاصر غير الصفر وترتيبه يساوي رتبة المصفوفة.

تعريف.تسمى تلك المجهولة التي تم تضمين معاملاتها في تدوين القاصر الأساسي أساسية (أو أساسية)، وتسمى المجهولة المتبقية حرة (أو غير أساسية).

حل نظام المعادلات في هذه الحالة يعني التعبير عن و (بما أن المحدد المكون من معاملاتها لا يساوي الصفر)، إذن و هي مجهولة حرة.

دعونا نعبر عن المتغيرات الأساسية بدلالة المتغيرات الحرة.

من الصف الثاني من المصفوفة الناتجة نعبر عن المتغير:

من السطر الأول نعرب : ,

الحل العام لنظام المعادلات : , .

يسمى نظام من المتجهات من نفس الترتيب معتمدًا خطيًا إذا كان من الممكن الحصول على متجه صفر من هذه المتجهات من خلال مجموعة خطية مناسبة. (من غير المسموح أن تكون جميع معاملات المجموعة الخطية مساوية للصفر، لأن هذا سيكون تافهًا.) وإلا، تسمى المتجهات مستقلة خطيًا. على سبيل المثال، المتجهات الثلاثة التالية:

تعتمد خطيًا، حيث أنه من السهل التحقق منها. في حالة الاعتماد الخطي، يمكن دائمًا التعبير عن أي متجه من خلال مجموعة خطية من المتجهات الأخرى. في مثالنا: إما أو من السهل التحقق من ذلك باستخدام الحسابات المناسبة. يؤدي هذا إلى التعريف التالي: يكون المتجه مستقلاً خطيًا عن المتجهات الأخرى إذا لم يكن من الممكن تمثيله كمجموعة خطية من هذه المتجهات.

دعونا نفكر في نظام من المتجهات دون تحديد ما إذا كان يعتمد خطيًا أم مستقلاً خطيًا. لكل نظام يتكون من ناقلات العمود أ، من الممكن تحديد أقصى عدد ممكن من المتجهات المستقلة خطيًا. هذا الرقم، الذي يُشار إليه بالحرف، هو رتبة هذا النظام المتجهي. نظرًا لأنه يمكن النظر إلى كل مصفوفة على أنها نظام من نواقل الأعمدة، يتم تعريف رتبة المصفوفة على أنها الحد الأقصى لعدد نواقل الأعمدة المستقلة خطيًا التي تحتوي عليها. تُستخدم متجهات الصف أيضًا لتحديد رتبة المصفوفة. كلتا الطريقتين تعطيان نفس النتيجة لنفس المصفوفة، ولا يمكن أن تتجاوز أصغر أو تتراوح رتبة المصفوفة المربعة من 0 إلى . إذا كانت جميع المتجهات صفرًا، فإن رتبة هذه المصفوفة تكون صفرًا. إذا كانت جميع المتجهات مستقلة خطيًا عن بعضها البعض، فإن رتبة المصفوفة متساوية. إذا قمنا بتكوين مصفوفة من المتجهات المذكورة أعلاه، فإن رتبة هذه المصفوفة هي 2. وبما أنه يمكن اختزال كل متجهين إلى الثلث عن طريق مجموعة خطية، فإن رتبة هذه المصفوفة أقل من 3.

لكن يمكننا التأكد من أن أي متجهين لهما مستقلان خطيًا، ومن هنا تأتي الرتبة

تسمى المصفوفة المربعة بالمفرد إذا كانت متجهات الأعمدة أو متجهات الصفوف التابعة لها تعتمد خطيًا. محدد مثل هذه المصفوفة يساوي الصفر ومصفوفتها العكسية غير موجودة كما ذكرنا أعلاه. هذه الاستنتاجات تعادل بعضها البعض. ونتيجة لذلك، تسمى المصفوفة المربعة غير مفردة، أو غير مفردة، إذا كانت متجهات الأعمدة أو متجهات الصفوف مستقلة عن بعضها البعض. محدد مثل هذه المصفوفة لا يساوي الصفر ومصفوفتها العكسية موجودة (قارن مع ص43)

رتبة المصفوفة لها تفسير هندسي واضح تمامًا. إذا كانت رتبة المصفوفة تساوي، يقال أن الفضاء ذو الأبعاد ممتد بواسطة المتجهات. إذا كانت الرتبة هي فإن المتجهات تقع في فضاء فرعي ذو أبعاد يتضمنها جميعًا. لذا، فإن رتبة المصفوفة تتوافق مع الحد الأدنى المطلوب للبعد "الذي يحتوي على جميع المتجهات"؛ ويسمى الفضاء الفرعي ذو الأبعاد في الفضاء ذو الأبعاد بالمستوى الزائد ذو الأبعاد. تتوافق رتبة المصفوفة مع أصغر بُعد للمستوى الزائد الذي لا تزال جميع المتجهات موجودة فيه.

أو ، .

من (3.3.1) يتبع ذلك

(3.3.2)

أين هي السلسلة الصفرية.

تعريف. صفوف المصفوفة A تعتمد خطيًا إذا كانت هناك أرقام لا تساوي كلها الصفر في نفس الوقت، بحيث

(3.3.3)

من السهل رؤية العكس: إذا كانت السلاسل تعتمد خطيًا، فهناك سلسلة عبارة عن مزيج خطي من السلاسل الأخرى.

ولنفترض مثلا في (3.3.3) إذن .

تعريف. دع قاصرًا معينًا يتم اختياره في المصفوفة Aص الترتيب العاشر والسماح للقاصر (ص يحتوي الترتيب +1) لنفس المصفوفة على المصفوفة الثانوية بالكامل. سنقول أنه في هذه الحالة يقع القاصر على حدود القاصر (أو على حدود ).

الآن سوف نثبت أهمية كبيرة.

ليماحول الحدود مع القاصرين. إذا كان القاصر من النظامص المصفوفة A = تختلف عن الصفر، وجميع العناصر الثانوية المتاخمة لها تساوي صفرًا، فإن أي صف (عمود) من المصفوفة A هو مزيج خطي من صفوفه (أعمدةه) التي يتكون منها.

دليل. ودون أن نفقد عمومية الاستدلال، سنفترض أنه صغير غير الصفرص الترتيب العاشر موجود في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة A =:

لأول ك صفوف المصفوفة A، بيان الليما واضح: يكفي أن ندرج في مجموعة خطية نفس الصف بمعامل يساوي واحدًا، والباقي - بمعاملات تساوي الصفر.

لنثبت الآن أن الصفوف المتبقية من المصفوفة A يتم التعبير عنها خطيًا بدلالة الصف الأولك خطوط. للقيام بذلك، سوف نقوم ببناء قاصر (ص +1) الترتيب الرابع عن طريق الإضافة إلى القاصرك - السطر () و لالعمود الرابع ():

القاصر الناتج يساوي الصفر للجميعك و ل . إذا كان يساوي صفرًا لأنه يحتوي على عمودين متطابقين. إذا، فإن القاصر الناتج هو حافة صغيرة لـ، وبالتالي، يساوي الصفر وفقًا لشروط lemma.

دعونا نحلل القاصر حسب عناصر الأخيرلالعمود الرابع:

(3.3.4)

أين هي المكملات الجبرية للعناصر. وبالتالي فإن المكمل الجبري هو جزء صغير من المصفوفة A. قسّم (3.3.4) على وعبّر عنه من خلال:

(3.3.5)

أين ، .

لنفترض أننا حصلنا على:

(3.3.6)

التعبير (3.3.6) يعني ذلكك يتم التعبير عن الصف الرابع من المصفوفة A خطيًا من خلال الصف الأولخطوط ص.

النتيجة الطبيعية أنا . أي صف (عمود) من المصفوفة هو مزيج خطي من صفوفها (الأعمدة) الأساسية. في الواقع، الأساس الأصغر للمصفوفة هو غير صفر، وجميع العناصر الثانوية المجاورة لها تساوي صفرًا.

النتيجة الطبيعية الثانية. المحدد ن الترتيب يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان يحتوي على صفوف (أعمدة) تابعة خطيًا. وقد تم إثبات كفاية الاعتماد الخطي للصفوف (الأعمدة) لكي يكون المحدد مساوياً للصفر كخاصية للمحددات.

دعونا نثبت الضرورة. دعونا نعطي مصفوفة مربعةن المرتبة الرابعة، وأصغرها صفر. ويترتب على ذلك أن رتبة هذه المصفوفة أقلن ، أي. يوجد صف واحد على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأساسية لهذه المصفوفة.

دعونا نثبت نظرية أخرى حول رتبة المصفوفة.

دليل. لتكن رتبة المصفوفة A= مساوية لـص. ثم أي من ك صفوف الأساس مستقلة خطيًا، وإلا فإن الأساس الثانوي سيكون صفرًا. ومن ناحية أخرى أيص +1 أو أكثر من الصفوف تعتمد خطيًا. وبافتراض العكس، يمكن أن نجد صغرى من النظام أكبر منص ، يختلف عن الصفر بالنتيجة الطبيعية 2 من الليما السابقة. وهذا الأخير يتناقض مع حقيقة أن الحد الأقصى لترتيب القاصرين غير الصفر يساويص . كل ما تم إثباته بالنسبة للصفوف ينطبق أيضًا على الأعمدة.

للوهلة الأولى، يتطلب هذا حساب عدد محدود، ولكن ربما كبير جدًا من العناصر الثانوية لهذه المصفوفة.

ومع ذلك، تسمح النظرية التالية بإدخال تبسيطات كبيرة في هذا الأمر.

نظرية.إذا كان القاصر للمصفوفة A غير صفر، وجميع القاصرات المجاورة لها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساويص.

دليل. يكفي إظهار أن أي نظام فرعي من صفوف المصفوفة بهص>ص سوف يعتمد خطيًا في ظل شروط النظرية (سيترتب على ذلك أن r هو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا للمصفوفة أو أي من صفوفها الثانوية الأكبر منك يساوي الصفر).

(3.3.7)

النظر في المصفوفة K من معاملات التعبيرات الخطية (3.3.7):

سيتم الإشارة إلى صفوف هذه المصفوفة بواسطة . وسوف تكون معتمدة خطيا، منذ رتبة المصفوفة K، أي. لا يتجاوز الحد الأقصى لعدد خطوطها المستقلة خطياص< S . ولذلك، هناك أرقام، ليست كلها تساوي الصفر، ذلك

دعنا ننتقل إلى المساواة في المكونات

(3.3.8)

الآن فكر في المجموعة الخطية التالية:

أو