أمثلة على ضرب المصفوفات 2x2. ضرب مصفوفة مربعة في مصفوفة عمود

سنقوم "باستبعاد" المجهول بالتتابع. للقيام بذلك، سنترك المعادلة الأولى للنظام دون تغيير، ونحول الثانية والثالثة:

1) إلى المعادلة الثانية نضيف الأولى مضروبة في -2 ونحولها إلى الصيغة -3 س 2 –2س 3 = –2;

2) إلى المعادلة الثالثة نضيف الأولى مضروبة في -4 ونحولها إلى الصورة -3 س 2 – 4س 3 = 2.

ونتيجة لذلك، سيتم استبعاد المجهول من المعادلتين الثانية والثالثة س 1 وسوف يأخذ النظام النموذج

نضرب المعادلتين الثانية والثالثة للنظام بـ -1، نحصل على ذلك

المعامل 1 في المعادلة الأولى للمجهول الأول X 1 يسمى العنصر الرائدالخطوة الأولى للقضاء.

في الخطوة الثانية تبقى المعادلتان الأولى والثانية دون تغيير، ويتم تطبيق نفس طريقة حذف المتغير على المعادلة الثالثة س 2 . العنصر الرائدمن الخطوة الثانية هو المعامل 3. ​​إلى المعادلة الثالثة نضيف الثانية مضروبة في -1 ثم يتحول النظام إلى الشكل

(1.2)

تسمى عملية اختزال النظام (1.1) إلى الشكل (1.2) بعملية مباشرة التقدم في الطريقةغاوس.

يسمى إجراء حل النظام (1.2). إلى الوراء.من المعادلة الأخيرة نحصل عليها X 3 = -2. وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية نحصل على: X 2 = 2. وبعد ذلك تعطي المعادلة الأولى X 1 = 1. وبالتالي هو الحل للنظام (1.1).

مفهوم المصفوفة

دعونا نفكر في الكميات المدرجة في النظام (1.1). مجموعة من تسعة معاملات رقمية تظهر قبل المجهول في المعادلات تشكل جدول أرقام يسمى مصفوفة:

أ= .

(1.3)

يتم استدعاء أرقام الجدول عناصرالمصفوفات. شكل العناصر الصفوف و الأعمةالمصفوفات. عدد الصفوف وعدد الأعمدة في النموذج البعدالمصفوفات. مصفوفة أأبعاده 3'3 ("ثلاثة في ثلاثة")، حيث يشير الرقم الأول إلى عدد الصفوف، والثاني إلى عدد الأعمدة. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المصفوفة من خلال الإشارة إلى بعدها A (3 × 3). منذ عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة أنفس الشيء، وتسمى المصفوفة مربع.يسمى عدد الصفوف (والأعمدة) في المصفوفة المربعة به مرتب، لهذا أ- مصفوفة الترتيب الثالث.

تشكل الجوانب اليمنى من المعادلات أيضًا جدول أرقام، أي. مصفوفة:

ويتكون كل صف من هذه المصفوفة من عنصر واحد، لذلك ب(3 × 1) يسمى عمود المصفوفة، البعد هو 3'1. يمكن أيضًا تمثيل مجموعة المجهولة كمصفوفة عمود:

عمليه الضرب مصفوفة مربعةإلى عمود المصفوفة

مع المصفوفات فمن الممكن أن تنتج عمليات مختلفة، والتي سيتم مناقشتها بالتفصيل لاحقًا. سنقوم هنا فقط بتحليل قاعدة ضرب المصفوفة المربعة في مصفوفة العمود. بواسطة تعريف، نتيجة ضرب المصفوفة أ(3 × 3) لكل عمود في(3 × 1) هو العمود د(3 ´ 1) التي تساوي عناصرها مجموع منتجات عناصر صفوف المصفوفة ألعناصر العمود في:

2)ثانيةعنصر العمود ديساوي مجموع منتجات العناصر ثانيةصفوف المصفوفة ألعناصر العمود في:

من الصيغ المذكورة أعلاه يتضح أن ضرب المصفوفة بعمود فيممكن فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة أيساوي عدد العناصر في العمود في.

دعونا نلقي نظرة على مثالين عدديين آخرين لضرب المصفوفات (3 ´3) لكل عمود (3 ´1):

مثال 1.1

أ.ب =
.

مثال 1.2

أ.ب= .

السنة الأولى، الرياضيات العليا، دراسة المصفوفاتوالإجراءات الأساسية عليها. نقوم هنا بتنظيم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المصفوفات. من أين تبدأ التعرف على المصفوفات؟ بالطبع من أبسط الأشياء - التعاريف والمفاهيم الأساسية والعمليات البسيطة. نؤكد لك أن المصفوفات سوف يفهمها كل من يخصص لها القليل من الوقت على الأقل!

تعريف المصفوفة

مصفوفةهو جدول مستطيل من العناصر. حسنا، ماذا لو بلغة بسيطة- جدول الأرقام.

عادةً ما يتم الإشارة إلى المصفوفات بالأحرف الكبيرة بأحرف لاتينية. على سبيل المثال، مصفوفة أ ، مصفوفة ب وما إلى ذلك وهلم جرا. يمكن أن تكون المصفوفات مقاسات مختلفة: مستطيلة، مربعة، وهناك أيضا مصفوفات الصف ومصفوفات الأعمدة تسمى المتجهات. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، لنكتب مصفوفة مستطيلة الحجم م على ن ، أين م - عدد الأسطر، و ن - عدد الأعمدة.

العناصر التي ط=ي (a11، a22، .. ) تشكل القطر الرئيسي للمصفوفة وتسمى قطري.

ماذا يمكنك أن تفعل بالمصفوفات؟ إضافة/طرح, اضرب برقم, تتكاثر فيما بينها, تبديل موضع. الآن عن كل هذه العمليات الأساسية على المصفوفات بالترتيب.

عمليات الجمع والطرح للمصفوفات

دعنا نحذرك على الفور أنه لا يمكنك سوى إضافة مصفوفات من نفس الحجم. وستكون النتيجة مصفوفة من نفس الحجم. إن إضافة (أو طرح) المصفوفات أمر بسيط - تحتاج فقط إلى إضافة العناصر المقابلة لها . دعونا نعطي مثالا. لنجري عملية جمع مصفوفتين A وB بحجم اثنين في اثنين.

يتم إجراء الطرح عن طريق القياس، فقط مع الإشارة المعاكسة.

على عدد التعسفييمكنك ضرب أي مصفوفة. لفعل هذا، تحتاج إلى مضاعفة كل عنصر من عناصره بهذا الرقم. على سبيل المثال، لنضرب المصفوفة A من المثال الأول بالرقم 5:

عملية ضرب المصفوفة

لا يمكن ضرب كل المصفوفات معًا. على سبيل المثال، لدينا مصفوفتان - A وB. ويمكن ضربهما في بعضهما البعض فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. في هذه الحالة يقع كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة في الصف الأول و العمود ي، سيكون مساوياً لمجموع منتجات العناصر المقابلة في الخط الأولالعامل الأول والعمود j للثاني. لفهم هذه الخوارزمية، دعونا نكتب كيفية ضرب مصفوفتين مربعتين:

ومثال مع الأعداد الحقيقية. دعونا نضرب المصفوفات:

عملية تبديل المصفوفة

تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل الصفوف والأعمدة المقابلة. على سبيل المثال، لننقل المصفوفة A من المثال الأول:

محدد المصفوفة

المحدد أو المحدد هو أحد المفاهيم الأساسية للجبر الخطي. ذات مرة، توصل الناس إلى معادلات خطية، وبعدها كان عليهم أن يتوصلوا إلى محدد. في النهاية، الأمر متروك لك للتعامل مع كل هذا، لذا، الدفعة الأخيرة!

المحدد هو خاصية عددية للمصفوفة المربعة، وهي ضرورية لحل العديد من المسائل.
لحساب محدد أبسط مصفوفة مربعة، تحتاج إلى حساب الفرق بين منتجات عناصر الأقطار الرئيسية والثانوية.

محدد المصفوفة من الدرجة الأولى، أي التي تتكون من عنصر واحد، يساوي هذا العنصر.

ماذا لو كانت المصفوفة ثلاثة في ثلاثة؟ وهذا أكثر صعوبة، ولكن يمكنك التعامل معه.

بالنسبة لمثل هذه المصفوفة، تكون قيمة المحدد تساوي مجموع منتجات عناصر القطر الرئيسي ومنتجات العناصر الموجودة على المثلثات ذات الوجه الموازي للقطر الرئيسي، والتي منها منتج القطر الرئيسي يتم طرح عناصر القطر الثانوي وحاصل ضرب العناصر الموجودة على المثلثات ذات وجه القطر الثانوي الموازي.

لحسن الحظ، نادرا ما يكون من الضروري حساب محددات المصفوفات ذات الأحجام الكبيرة.

لقد نظرنا هنا إلى العمليات الأساسية على المصفوفات. بالطبع في الحياه الحقيقيهقد لا تصادف أبدًا أي تلميح لنظام مصفوفة من المعادلات، أو على العكس من ذلك، قد تواجه أكثر من ذلك بكثير الحالات المعقدةعندما يكون عليك حقًا أن تجهد عقلك. في مثل هذه الحالات توجد خدمات طلابية محترفة. اطلب المساعدة واحصل على الجودة و حل مفصل‎استمتع بنجاحك الأكاديمي ووقت فراغك.

منح أدواتسوف تساعدك على تعلم كيفية الأداء العمليات مع المصفوفات: جمع (طرح) المصفوفات، تبديل المصفوفات، ضرب المصفوفات، إيجاد المصفوفة العكسية. يتم تقديم جميع المواد في شكل بسيط وسهل الوصول إليه، ويتم تقديم الأمثلة ذات الصلة، لذلك حتى الشخص غير المستعد يمكنه تعلم كيفية تنفيذ الإجراءات باستخدام المصفوفات. للمراقبة الذاتية والاختبار الذاتي، يمكنك تنزيل حاسبة المصفوفات مجانًا >>>.

سأحاول تقليل الحسابات النظرية؛ في بعض الأماكن، من الممكن تقديم تفسيرات "على الأصابع" واستخدام مصطلحات غير علمية. عشاق النظرية الصلبة، يرجى عدم الانخراط في النقد، مهمتنا هي تعلم كيفية إجراء العمليات مع المصفوفات.

للتحضير بسرعة فائقة حول موضوع (من "يشتعل")، توجد دورة تدريبية مكثفة بتنسيق pdf مصفوفة ومحددة واختبار!

المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل للبعض عناصر. مثل عناصرسننظر في الأرقام، أي المصفوفات العددية. عنصرهو مصطلح. من المستحسن أن تتذكر هذا المصطلح، فهو سيظهر كثيرًا، وليس من قبيل الصدفة أنني استخدمت الخط العريض لتسليط الضوء عليه.

تعيين:يُشار إلى المصفوفات عادةً بأحرف لاتينية كبيرة

مثال:النظر في مصفوفة اثنين في ثلاثة:

هذه المصفوفةيتكون من ستة عناصر:

جميع الأرقام (العناصر) الموجودة داخل المصفوفة موجودة من تلقاء نفسها، أي أنه ليس هناك شك في أي طرح:

إنه مجرد جدول (مجموعة) من الأرقام!

سوف نتفق أيضا لا تعيد ترتيبالأرقام، ما لم ينص على خلاف ذلك في التوضيحات. كل رقم له موقعه الخاص ولا يمكن خلطه!

تحتوي المصفوفة المعنية على صفين:

وثلاثة أعمدة:

معيار: عند الحديث عن أحجام المصفوفة، إذن في البدايهتشير إلى عدد الصفوف، وبعد ذلك فقط عدد الأعمدة. لقد قمنا للتو بتفكيك المصفوفة التي تساوي اثنين في ثلاثة.

إذا كان عدد صفوف وأعمدة المصفوفة هو نفسه، يتم استدعاء المصفوفة مربع، على سبيل المثال: - مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.

إذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد أو صف واحد، فإن هذه المصفوفات تسمى أيضًا ثلاثة أبعاد.

في الواقع، لقد عرفنا مفهوم المصفوفة منذ المدرسة؛ لنأخذ على سبيل المثال نقطة ذات إحداثيات "x" و"y": . في الأساس، تتم كتابة إحداثيات النقطة في مصفوفة واحدة تلو الأخرى. بالمناسبة، هنا مثال على أهمية ترتيب الأرقام: وهما نقطتان مختلفتان تمامًا على المستوى.

الآن دعنا ننتقل إلى الدراسة العمليات مع المصفوفات:

1) الفعل الأول. إزالة علامة ناقص من المصفوفة (إدخال علامة ناقص في المصفوفة).

دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا . كما لاحظت على الأرجح، يوجد عدد كبير جدًا من الأرقام السالبة في هذه المصفوفة. هذا غير مريح للغاية من وجهة نظر الأداء. إجراءات مختلفةمع المصفوفة، من غير المناسب كتابة الكثير من السلبيات، ويبدو التصميم قبيحًا.

دعونا ننقل الطرح خارج المصفوفة، مع تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:

عند الصفر، كما تفهم، فإن العلامة لا تتغير؛ الصفر هو أيضًا صفر في أفريقيا.

مثال عكسي: . يبدو قبيحا.

دعونا نقدم علامة ناقص في المصفوفة عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:

حسنا، اتضح أجمل بكثير. والأهم من ذلك أنه سيكون من الأسهل تنفيذ أي إجراءات باستخدام المصفوفة. لأن هناك مثل هذه العلامة الشعبية الرياضية: والمزيد من السلبيات، والمزيد من الارتباك والأخطاء.

2) الفعل الثاني. ضرب مصفوفة بعدد.

مثال:

الأمر بسيط، من أجل ضرب مصفوفة برقم، تحتاج كلعنصر المصفوفة مضروبا في رقم معين. في في هذه الحالة- لثلاثة.

آخر مثال مفيد:

- ضرب المصفوفة بكسر

أولا دعونا ننظر إلى ما يجب القيام به لا حاجة:

ليست هناك حاجة لإدخال كسر في المصفوفة، أولاً، فهو يزيد الأمر تعقيدًا مزيد من الإجراءاتباستخدام المصفوفة، ثانيًا، يجعل من الصعب على المعلم التحقق من الحل (خاصة إذا كان - الإجابة النهائية للمهمة).

وخاصة، لا حاجةقسّم كل عنصر من عناصر المصفوفة على ناقص سبعة:

من المقال الرياضيات للدمى أو من أين تبدأنتذكر أنه في الرياضيات العليا يحاولون تجنب الكسور العشرية بفواصل بكل طريقة ممكنة.

الشيء الوحيد هو ويفضلما يجب فعله في هذا المثال هو إضافة علامة ناقص إلى المصفوفة:

ولكن إذا فقط الجميعتم تقسيم عناصر المصفوفة على 7 دون أن يترك أثرا، فسيكون من الممكن (والضروري!) التقسيم.

مثال:

في هذه الحالة، يمكنك بحاجة لاضرب جميع عناصر المصفوفة في، حيث أن جميع أرقام المصفوفات قابلة للقسمة على 2 دون أن يترك أثرا.

ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "القسمة". بدلًا من قول "هذا مقسومًا على ذاك"، يمكنك دائمًا أن تقول "هذا مضروبًا في كسر". أي أن القسمة هي حالة خاصةعمليه الضرب.

3) الفعل الثالث. تبديل المصفوفة.

من أجل تبديل مصفوفة، تحتاج إلى كتابة صفوفها في أعمدة المصفوفة المنقولة.

مثال:

تبديل المصفوفة

يوجد سطر واحد فقط هنا، ووفقًا للقاعدة، يجب كتابته في عمود:

- مصفوفة منقولة.

يُشار عادةً إلى المصفوفة المنقولة بحرف مرتفع أو أولي في أعلى اليمين.

مثال خطوة بخطوة:

تبديل المصفوفة

أولاً نعيد كتابة الصف الأول في العمود الأول:

ثم نعيد كتابة السطر الثاني في العمود الثاني:

وأخيرًا، نعيد كتابة الصف الثالث في العمود الثالث:

مستعد. بشكل تقريبي، النقل يعني قلب المصفوفة على جانبها.

4) الفصل الرابع. مجموع (الفرق) من المصفوفات.

مجموع المصفوفات عملية بسيطة
لا يمكن طي جميع المصفوفات. لإجراء عملية الجمع (الطرح) للمصفوفات، من الضروري أن تكون بنفس الحجم.

على سبيل المثال، إذا تم إعطاء مصفوفة اثنين في اثنين، فلا يمكن إضافتها إلا بمصفوفة اثنين في اثنين وليس غيرها!

مثال:

إضافة المصفوفات و

من أجل إضافة المصفوفات، تحتاج إلى إضافة العناصر المقابلة لها:

بالنسبة لاختلاف المصفوفات فإن القاعدة متشابهة، فمن الضروري العثور على الفرق بين العناصر المقابلة.

مثال:

أوجد اختلاف المصفوفة ,

كيف تقرر هذا المثالأسهل حتى لا يتم الخلط؟ يُنصح بالتخلص من السلبيات غير الضرورية؛ للقيام بذلك، أضف علامة ناقص إلى المصفوفة:

ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "الطرح". بدلًا من قول "اطرح هذا من هذا"، يمكنك دائمًا أن تقول "أضف هذا إلى هذا". رقم سلبي" أي أن الطرح هو حالة خاصة من عمليات الجمع.

5) الفعل الخامس. ضرب المصفوفة.

ما المصفوفات التي يمكن ضربها؟

من أجل ضرب المصفوفة بمصفوفة، فمن الضروري بحيث يكون عدد أعمدة المصفوفة مساوياً لعدد صفوف المصفوفة.

مثال:
هل من الممكن ضرب مصفوفة بمصفوفة؟

وهذا يعني أنه يمكن ضرب بيانات المصفوفة.

ولكن إذا تم إعادة ترتيب المصفوفات، ففي هذه الحالة، لم يعد الضرب ممكنًا!

ولذلك فإن الضرب غير ممكن:

ليس من النادر أن تواجه المهام بخدعة، عندما يُطلب من الطالب ضرب المصفوفات، ومن الواضح أن ضربها مستحيل.

وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الحالات يمكن ضرب المصفوفات في كلا الاتجاهين.
على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفات، ويكون الضرب والضرب ممكنين

لذا، تناولنا في الدرس السابق قواعد جمع وطرح المصفوفات. أنها كذلك عمليات بسيطةأن معظم الطلاب يفهمونها حرفيًا فورًا.

ومع ذلك، تفرح مبكرا. انتهت الهدية الترويجية - دعنا ننتقل إلى الضرب. سأحذرك على الفور: ضرب مصفوفتين لا يعني على الإطلاق ضرب أرقام في خلايا لها نفس الإحداثيات، كما قد تعتقد. كل شيء أكثر متعة هنا. وسيتعين علينا أن نبدأ بالتعريفات الأولية.

المصفوفات المتطابقة

واحد من أهم الخصائصالمصفوفة هي حجمها. لقد تحدثنا بالفعل عن هذا مائة مرة: كتابة $A=\left[ m\times n \right]$ تعني أن المصفوفة تحتوي بالضبط على صفوف $m$ وأعمدة $n$. لقد ناقشنا بالفعل كيفية عدم الخلط بين الصفوف والأعمدة. هناك شيء آخر مهم الآن.

تعريف. مصفوفات بالشكل $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، حيث يتطابق عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف وفي الثانية، تسمى متسقة.

مرة أخرى: عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في الثانية! ومن هنا نحصل على نتيجتين في وقت واحد:

1. ترتيب المصفوفات مهم بالنسبة لنا. على سبيل المثال، المصفوفات $A=\left[ 3\times 2 \right]$ و $B=\left[ 2\times 5 \right]$ متسقة (عمودان في المصفوفة الأولى وصفين في المصفوفة الثانية) ، ولكن العكس — المصفوفات $B=\left[ 2\times 5 \right]$ و $A=\left[ 3\times 2 \right]$ لم تعد متسقة (5 أعمدة في المصفوفة الأولى ليست 3 صفوف في الثانية).
2. يمكن التحقق من الاتساق بسهولة عن طريق تدوين جميع الأبعاد واحدًا تلو الآخر. باستخدام المثال من الفقرة السابقة: "3 2 2 5" - هناك أرقام متطابقة في المنتصف، وبالتالي فإن المصفوفات متسقة. لكن "2 5 3 2" غير متسقة، نظرًا لوجود أرقام مختلفة في المنتصف.

بالإضافة إلى ذلك، يبدو أن Captain Obviousness يلمح إلى أن المصفوفات المربعة ذات الحجم نفسه $\left[ n\times n \right]$ تكون دائمًا متسقة.

في الرياضيات، عندما يكون ترتيب إدراج الكائنات مهمًا (على سبيل المثال، في التعريف الذي تمت مناقشته أعلاه، يكون ترتيب المصفوفات مهمًا)، فإننا غالبًا ما نتحدث عن أزواج مرتبة. التقينا بهم في المدرسة: أعتقد أنه من غير المنطقي أن تحدد الإحداثيات $\left(1;0 \right)$ و$\left(0;1 \right)$ نقاطًا مختلفة على المستوى.

إذن: الإحداثيات هي أيضًا أزواج مرتبة مكونة من أرقام. لكن لا شيء يمنعك من صنع مثل هذا الزوج من المصفوفات. ثم يمكننا أن نقول: "زوج المصفوفات المرتب $\left(A;B \right)$ يكون متسقًا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى هو نفس عدد الصفوف في الثانية."

حسنا، ماذا في ذلك؟

تعريف الضرب

خذ بعين الاعتبار مصفوفتين متناسقتين: $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$. ونحدد لهم عملية الضرب.

تعريف. حاصل ضرب المصفوفتين المتطابقتين $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$ هو مصفوفة جديدة$C=\left[ m\times k \right]$، والتي يتم حساب عناصرها وفقًا للصيغة:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

تتم الإشارة إلى مثل هذا المنتج بالطريقة القياسية: $C=A\cdot B$.

أولئك الذين يرون هذا التعريف لأول مرة لديهم سؤالان على الفور:

1. أي نوع من اللعبة الشرسة هذا؟
2. لماذا هو صعب جدا؟

حسنا، أول الأشياء أولا. لنبدأ بالسؤال الأول. ماذا تعني كل هذه المؤشرات؟ وكيف لا نخطئ عند العمل مع المصفوفات الحقيقية؟

بداية نلاحظ أن الخط الطويل لحساب $((c)_(i;j))$ (وضعت فاصلة منقوطة بين المؤشرات خصيصًا حتى لا يتم الخلط بينها، ولكن لا داعي لوضعها عام - لقد تعبت بنفسي من كتابة الصيغة في التعريف) في الواقع يعود إلى قاعدة بسيطة:

1. خذ الصف $i$th في المصفوفة الأولى؛
2. خذ العمود $j$th في المصفوفة الثانية؛
3. نحصل على تسلسلين من الأرقام. ونضرب عناصر هذه المتتابعات بنفس الأرقام، ثم نضيف المنتجات الناتجة.

هذه العملية سهلة الفهم من الصورة:

مخطط لضرب مصفوفتين

مرة أخرى: نصلح الصف $i$ في المصفوفة الأولى، والعمود $j$ في المصفوفة الثانية، ونضرب العناصر بنفس الأرقام، ثم نضيف المنتجات الناتجة - نحصل على $((c)_(ij))$ . وهكذا بالنسبة لكل $1\le i\le m$ و $1\le j\le k$. أولئك. سيكون هناك $m\times k$ من هذه "الانحرافات" في المجموع.

في الواقع، لقد واجهنا بالفعل ضرب المصفوفات في المناهج المدرسية، ولكن بشكل مخفض إلى حد كبير. دع المتجهات تعطى:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \النهاية(محاذاة)\]

عندها سيكون منتجهم العددي هو مجموع المنتجات الزوجية بالضبط:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(ب))+((ض)_(أ))\cdot ((ض)_(ب))\]

في الأساس، عندما كانت الأشجار أكثر خضرة والسماء أكثر سطوعًا، قمنا ببساطة بضرب متجه الصف $\overrightarrow(a)$ في متجه العمود $\overrightarrow(b)$.

لم يتغير شيء اليوم. إنه يوجد الآن المزيد من متجهات الصفوف والأعمدة هذه.

لكن نظرية كافية! دعونا نلقي نظرة على أمثلة حقيقية. ودعونا نبدأ من البداية حالة بسيطة- المصفوفات المربعة .

ضرب المصفوفة المربعة

المهمة 1. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(ص)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

حل. لذا، لدينا مصفوفتان: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ و $B=\left[ 2\times 2 \right]$. من الواضح أنها متسقة (المصفوفات المربعة ذات الحجم نفسه تكون متسقة دائمًا). لذلك نقوم بعملية الضرب:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ نهاية (صفيف)\يمين]. \end(محاذاة)\]

هذا كل شئ!

الإجابة: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

المهمة 2. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(صفيف) \right]\]

حل. مرة أخرى، مصفوفات متسقة، لذلك نقوم بالإجراءات التالية:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(محاذاة)\]

كما ترون، والنتيجة هي مصفوفة مليئة بالأصفار

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

من الأمثلة المذكورة أعلاه، من الواضح أن ضرب المصفوفات ليس عملية معقدة. بواسطة على الأقلللمصفوفات المربعة ذات الحجم 2 في 2.

في عملية الحسابات، قمنا بتجميع مصفوفة وسيطة، حيث وصفنا مباشرة الأرقام المضمنة في خلية معينة. هذا هو بالضبط ما يجب القيام به عند حل المشكلات الحقيقية.

الخصائص الأساسية لمنتج المصفوفة

شيء صغير. ضرب المصفوفة:

1. غير تبادلية: $A\cdot B\ne B\cdot A$ في الحالة العامة. هناك بالطبع مصفوفات خاصة تكون فيها المساواة $A\cdot B=B\cdot A$ (على سبيل المثال، إذا كانت $B=E$ هي مصفوفة الهوية)، ولكن في الغالبية العظمى من الحالات، لا ينجح هذا ;
2. بشكل ترابطي: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. لا توجد خيارات هنا: يقف في مكان قريبيمكن ضرب المصفوفات دون الحاجة إلى القلق بشأن ما هو على يسار ويمين هاتين المصفوفتين.
3. توزيعيًا: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ و $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (بسبب عدم تبادلية المنتج، من الضروري تحديد التوزيع الأيمن والأيسر بشكل منفصل.

والآن - كل شيء هو نفسه، ولكن بمزيد من التفصيل.

يشبه ضرب المصفوفات في كثير من النواحي ضرب الأرقام الكلاسيكية. ولكن هناك اختلافات، وأهمها هو ذلك ضرب المصفوفة، بشكل عام، غير تبادلي.

دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على المصفوفات من المشكلة 1. نحن نعرف بالفعل منتجها المباشر:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(ص)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(صفيف) \right]\]

ولكن إذا قمنا بتبديل المصفوفات، فسنحصل على نتيجة مختلفة تمامًا:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(ص)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix )\يمين]\]

اتضح أن $A\cdot B\ne B\cdot A$. بالإضافة إلى ذلك، يتم تعريف عملية الضرب فقط للمصفوفات المتسقة $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، ولكن لم يضمن أحد أنها ستبقى متسقة إذا تم تبديلها. على سبيل المثال، المصفوفات $\left[ 2\times 3 \right]$ و $\left[ 3\times 5 \right]$ متسقة تمامًا بالترتيب المحدد، ولكن نفس المصفوفات $\left[ 3\times 5 \right] $ و$\left[ 2\times 3 \right]$ مكتوبان ترتيب عكسي، لم تعد متفق عليها. حزين.:(

بين المصفوفات المربعة حجم معين$n$ سيكون هناك دائمًا تلك التي تعطي نفس النتيجة عند ضربها بترتيب مباشر أو عكسي. كيفية وصف كل هذه المصفوفات (وعددها بشكل عام) هو موضوع لدرس منفصل. لن نتحدث عن ذلك اليوم :)

ومع ذلك، فإن ضرب المصفوفة هو ترابطي:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

لذلك، عندما تحتاج إلى ضرب عدة مصفوفات متتالية في وقت واحد، فليس من الضروري على الإطلاق القيام بذلك بشكل مستقيم: فمن الممكن أن يكون بعضها قريبًا المصفوفات الدائمةعندما تتضاعف فإنها تعطي نتيجة مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، مصفوفة صفرية، كما في المشكلة 2 التي تمت مناقشتها أعلاه.

في المسائل الحقيقية، يتعين علينا في أغلب الأحيان ضرب المصفوفات المربعة ذات الحجم $\left[ n\times n \right]$. تتم الإشارة إلى مجموعة كل هذه المصفوفات بواسطة $((M)^(n))$ (أي، الإدخالات $A=\left[ n\times n \right]$ و \ تعني نفس الشيء)، وسوف تحتوي بالضرورة على مصفوفة $E$، والتي تسمى مصفوفة الهوية.

تعريف. مصفوفة الهوية ذات الحجم $n$ هي مصفوفة $E$ بحيث تكون المساواة لأي مصفوفة مربعة $A=\left[ n\times n \right]$ كما يلي:

تبدو هذه المصفوفة دائمًا كما هي: هناك أرقام على قطرها الرئيسي، وأصفار في جميع الخلايا الأخرى.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

بمعنى آخر، إذا كنت بحاجة إلى ضرب مصفوفة واحدة في مجموع مصفوفتين أخريين، فيمكنك ضربها في كل من "المصفوفتين الأخريين" ثم إضافة النتائج. من الناحية العملية، يتعين علينا عادةً إجراء العملية المعاكسة: نلاحظ نفس المصفوفة، ونخرجها من الأقواس، ونجري عملية الجمع، وبالتالي نبسط حياتنا :).

ملحوظة: لوصف التوزيعية، كان علينا كتابة صيغتين: حيث يكون المجموع في العامل الثاني وحيث يكون المجموع في العامل الأول. يحدث هذا على وجه التحديد لأن ضرب المصفوفات غير تبادلي (وبشكل عام، في الجبر غير التبادلي، هناك الكثير من الأشياء الممتعة التي لا تتبادر إلى الذهن حتى عند التعامل مع الأعداد العادية). وإذا، على سبيل المثال، تحتاج إلى كتابة هذه الخاصية في الامتحان، فتأكد من كتابة كلتا الصيغتين، وإلا فقد يغضب المعلم قليلاً.

حسنًا، كانت هذه كلها حكايات خيالية حول المصفوفات المربعة. ماذا عن المستطيلة؟

حالة المصفوفات المستطيلة

ولكن لا شيء - كل شيء هو نفسه كما هو الحال مع المربعات.

المهمة 3. قم بالضرب:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

حل. لدينا مصفوفتان: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ و $B=\left[ 2\times 2 \right]$. لنكتب الأرقام التي تشير إلى الأحجام على التوالي:

كما ترون، الرقمان المركزيان متطابقان. وهذا يعني أن المصفوفات متسقة ويمكن ضربها. علاوة على ذلك، عند الإخراج نحصل على المصفوفة $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(صفيف) \يمين]. \end(محاذاة)\]

كل شيء واضح: المصفوفة النهائية تحتوي على 3 صفوف وعمودين. تمامًا $=\left[ 3\times 2 \right]$.

الإجابة: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(array) \right]$.

الآن دعونا نلقي نظرة على واحدة من أفضل المهام التدريبية لأولئك الذين بدأوا للتو في العمل مع المصفوفات. وفيه لا تحتاج إلى ضرب بعض اللوحين فحسب، بل تحتاج أولاً إلى تحديد: هل يجوز هذا الضرب؟

المشكلة 4. ابحث عن جميع منتجات المصفوفات الزوجية الممكنة:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrix) \\\end(matrix) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

حل. أولاً، دعونا نكتب أحجام المصفوفات:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

نجد أن المصفوفة $A$ لا يمكن التوفيق بينها إلا مع المصفوفة $B$، نظرًا لأن عدد أعمدة $A$ هو 4، و$B$ فقط يحتوي على هذا العدد من الصفوف. لذلك يمكننا العثور على المنتج:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ يسار[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

أقترح أن يقوم القارئ بإكمال الخطوات الوسيطة بشكل مستقل. سأشير فقط إلى أنه من الأفضل تحديد حجم المصفوفة الناتجة مسبقًا، حتى قبل إجراء أي حسابات:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

بمعنى آخر، نقوم ببساطة بإزالة معاملات "العبور" التي تضمن اتساق المصفوفات.

ما هي الخيارات الأخرى الممكنة؟ بالطبع، يمكن العثور على $B\cdot A$، نظرًا لأن $B=\left[ 4\times 2 \right]$، $A=\left[ 2\times 4 \right]$، وبالتالي فإن الزوج المرتب $\ left(B ;A \right)$ متسق، وسيكون أبعاد المنتج كما يلي:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

باختصار، سيكون الناتج عبارة عن مصفوفة $\left[ 4\times 4 \right]$، والتي يمكن حساب معاملاتها بسهولة:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ يسار[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(صفيف) \يمين]\]

من الواضح أنه يمكنك أيضًا الاتفاق على $C\cdot A$ و$B\cdot C$ - وهذا كل شيء. لذلك، نقوم ببساطة بكتابة المنتجات الناتجة:

لقد كان سهلا.:)

الإجابة: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

بشكل عام، أوصي بشدة بالقيام بهذه المهمة بنفسك. ومهمة أخرى مماثلة، وهي في العمل في المنزل. ستساعدك هذه الأفكار التي تبدو بسيطة على التدرب على جميع المراحل الأساسية لضرب المصفوفات.

لكن القصة لا تنتهي عند هذا الحد. دعنا ننتقل إلى حالات الضرب الخاصة :)

ناقلات الصف ومتجهات العمود

واحدة من الأكثر شيوعا عمليات المصفوفةهو الضرب في مصفوفة تحتوي على صف واحد أو عمود واحد.

تعريف. متجه العمود عبارة عن مصفوفة بحجم $\left[ m\times 1 \right]$، أي. يتكون من عدة صفوف وعمود واحد فقط.

متجه الصف عبارة عن مصفوفة بحجم $\left[ 1\times n \right]$، أي يتكون من صف واحد وعدة أعمدة.

في الواقع، لقد واجهنا بالفعل هذه الأشياء. على سبيل المثال، المتجه العادي ثلاثي الأبعاد من القياس المجسم $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ ليس أكثر من مجرد متجه صف. من الناحية النظرية، لا يوجد فرق تقريبًا بين الصفوف والأعمدة. ما عليك سوى توخي الحذر عند التنسيق مع المصفوفات المضاعفة المحيطة.

المهمة 5. قم بالضرب:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

حل. لدينا هنا حاصل ضرب المصفوفات المتطابقة: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. لنجد هذه القطعة:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

الإجابة: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

المهمة 6. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (ص)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

حل. مرة أخرى، تم الاتفاق على كل شيء: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. نحن نحسب المنتج:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (ص)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

كما ترى، عندما نضرب متجه صف ومتجه عمود في مصفوفة مربعة، ينتج عن الإخراج دائمًا صف أو عمود بنفس الحجم. هذه الحقيقة لها تطبيقات كثيرة - من الحل المعادلات الخطيةلجميع أنواع التحويلات الإحداثية (والتي تنتهي أيضًا في النهاية بأنظمة المعادلات، لكن دعونا لا نتحدث عن أشياء حزينة).

أعتقد أن كل شيء كان واضحا هنا. دعنا ننتقل إلى الجزء الأخير من درس اليوم.

الأس المصفوفة

من بين جميع عمليات الضرب، تستحق الأسية اهتمامًا خاصًا - وذلك عندما نضرب نفس الكائن في نفسه عدة مرات. المصفوفات ليست استثناءً، ويمكن أيضًا رفعها إلى قوى مختلفة.

يتم الاتفاق دائمًا على مثل هذه الأعمال:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

ويتم تحديدها بنفس طريقة الدرجات العادية تمامًا:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \النهاية(محاذاة)\]

للوهلة الأولى، كل شيء بسيط. دعونا نرى كيف يبدو هذا في الممارسة العملية:

المهمة 7. ارفع المصفوفة إلى القوة المشار إليها:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

حل. حسنا حسنا، دعونا نبني. لنقم بتربيعها أولاً:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(صفيف) \يمين] \end(محاذاة)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (مصفوفة) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(مصفوفة) \يمين])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( مصفوفة) \يمين]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \end(محاذاة)\]

هذا كل شئ.:)

الإجابة: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

المشكلة 8. ارفع المصفوفة إلى القوة المشار إليها:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

حل. فقط لا تبكي الآن بشأن حقيقة أن "الدرجة العلمية كبيرة جدًا"، و"العالم ليس عادلاً"، و"لقد فقد المعلمون شواطئهم تمامًا". إنه في الواقع سهل:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (مصفوفة) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

لاحظ أننا في السطر الثاني استخدمنا ترابط الضرب. في الواقع، استخدمناها في المهمة السابقة، لكنها كانت ضمنية هناك.

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في رفع المصفوفة إلى قوة. المثال الأخيريمكن تلخيصها:

\[(\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (ص)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

ومن السهل إثبات هذه الحقيقة من خلال الاستقراء الرياضي أو الضرب المباشر. ومع ذلك، ليس من الممكن دائمًا اكتشاف مثل هذه الأنماط عند الرفع إلى مستوى الطاقة. لذلك كن حذرًا: غالبًا ما يكون ضرب عدة مصفوفات "عشوائيًا" أسهل وأسرع من البحث عن نوع ما من الأنماط.

بشكل عام، لا تبحث عن معنى أعلى حيث لا يوجد شيء. وأخيرا، دعونا نلقي نظرة على الأس المصفوفة حجم أكبر- بقدر $\left[ 3\times 3 \right]$.

المشكلة 9. ارفع المصفوفة إلى القوة المشار إليها:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

حل. دعونا لا نبحث عن الأنماط. نحن نعمل للأمام:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (مصفوفة)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(مصفوفة) \يمين]\]

أولاً، لنقوم بتربيع هذه المصفوفة:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

الآن دعونا نجعلها مكعبة:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( صفيف)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

هذا كل شئ. حلت المشكلة.

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

كما ترون، أصبح حجم الحسابات أكبر، ولكن المعنى لم يتغير على الإطلاق :).

بهذا يختتم الدرس. في المرة القادمة سننظر في العملية العكسية: باستخدام المنتج الحالي سنبحث عن العوامل الأصلية.

كما ربما خمنت بالفعل، سنتحدث عنه مصفوفة معكوسةوطرق العثور عليه.

إضافة المصفوفة:

الطرح وإضافة المصفوفاتيقلل من العمليات المقابلة على عناصرها. عملية إضافة المصفوفةدخلت فقط ل المصفوفاتنفس الحجم، أي ل المصفوفاتحيث يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا على التوالي. مجموع المصفوفاتيتم استدعاء A و B مصفوفةج، التي تساوي عناصرها مجموع العناصر المقابلة لها. C = A + B c ij = a ij + b ij معرف بالمثل فرق المصفوفة.

ضرب المصفوفة بعدد :

عملية ضرب المصفوفة (القسمة).من أي حجم برقم تعسفي يتم تقليله إلى ضرب (قسمة) كل عنصر المصفوفاتلهذا الرقم. منتج المصفوفةويسمى الرقم ك مصفوفةب، هكذا

ب ي = ك × أ ي . ب = ك × أ ب ج = ك × أ ج . مصفوفة- أ = (-1) × أ يسمى العكس مصفوفةأ.

خواص جمع المصفوفات وضرب المصفوفة بعدد:

عمليات إضافة المصفوفةو ضرب المصفوفةعلى رقم له الخصائص التالية: 1. A + B = B + A؛ 2. أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج؛ 3. أ + 0 = أ؛ 4. أ - أ = 0؛ 5. 1 × أ = أ؛ 6. α × (أ + ب) = αA + αB؛ 7. (α + β) × A = αA + βA؛ 8. α × (βA) = (αβ) × A؛ ، حيث A و B و C عبارة عن مصفوفات، و α و β أرقام.

ضرب المصفوفة (منتج المصفوفة):

عملية ضرب مصفوفتينيتم إدخاله فقط في حالة عدد الأعمدة الأولى المصفوفاتيساوي عدد أسطر الثانية المصفوفات. منتج المصفوفةو م×ن على مصفوفةفي n×p، يسمى مصفوفةمع m×p بحيث يكون ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk ، أي أنه تم العثور على مجموع منتجات عناصر الصف i المصفوفاتوإلى العناصر المقابلة للعمود j المصفوفاتب. إذا المصفوفات A وB مربعان لهما نفس الحجم، وبالتالي فإن المنتجين AB وBA موجودان دائمًا. من السهل إظهار أن A × E = E × A = A، حيث A مربع مصفوفةه - الوحدة مصفوفةنفس الحجم.

خصائص ضرب المصفوفات:

ضرب المصفوفةغير تبادلية، أي AB ≠ BA حتى لو تم تعريف كلا المنتجين. ومع ذلك، إذا كان لأي المصفوفاتالعلاقة AB=BA محققة، إذن هكذا المصفوفاتتسمى تبادلية. المثال الأكثر شيوعًا هو واحد مصفوفة، الذي يتنقل مع أي شخص آخر مصفوفةنفس الحجم. فقط تلك المربعة يمكن أن تكون قابلة للتبديل المصفوفاتمن نفس الترتيب. أ × ه = ه × أ = أ

ضرب المصفوفةله الخصائص التالية: 1. أ × (ب × ج) = (أ × ب) × ج؛ 2. أ × (ب + ج) = أب + أس؛ 3. (أ + ب) × ج = أ + ب. 4. α × (AB) = (αA) × B؛ 5. أ × 0 = 0؛ 0 × أ = 0؛ 6. (AB) T = B T A T؛ 7. (ABC) T = C T V T A T؛ 8. (أ + ب) ت = أ تي + ب تي؛

2. محددات الأمرين الثاني والثالث. خصائص المحددات.

محدد المصفوفةالنظام الثاني، أو المحددالترتيب الثاني هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

محدد المصفوفةالترتيب الثالث، أو المحددالترتيب الثالث هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

يمثل هذا الرقم مجموعًا جبريًا يتكون من ستة حدود. يحتوي كل مصطلح على عنصر واحد بالضبط من كل صف وكل عمود المصفوفات. يتكون كل مصطلح من منتج ثلاثة عوامل.

علامات مع أي أعضاء محدد المصفوفةالمدرجة في الصيغة إيجاد محدد المصفوفةويمكن تحديد الترتيب الثالث باستخدام المخطط المعطى، والذي يسمى قاعدة المثلثات أو قاعدة ساروس. الحدود الثلاثة الأولى تؤخذ بعلامة الجمع وتحدد من الشكل الأيسر، والحدود الثلاثة التالية تؤخذ بعلامة الطرح وتحدد من الشكل الأيمن.

تحديد عدد المصطلحات المطلوب العثور عليها محدد المصفوفة، في مجموع جبري، يمكنك حساب المضروب: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

خصائص محددات المصفوفة

خصائص محددات المصفوفة:

الخاصية رقم 1:

محدد المصفوفةلن يتغير إذا تم استبدال صفوفه بأعمدة، كل صف بعمود بنفس الرقم، والعكس صحيح (Transposition). |أ| = |أ| ت

عاقبة:

الأعمدة والصفوف محدد المصفوفةمتساوية، وبالتالي فإن الخصائص المتأصلة في الصفوف تتحقق أيضًا بالنسبة للأعمدة.

الخاصية رقم 2:

عند إعادة ترتيب صفين أو عمودين محدد المصفوفةسيتم تغيير الإشارة إلى العكس، مع الحفاظ على القيمة المطلقة، أي:

العقار رقم 3:

محدد المصفوفةوجود صفين متماثلين يساوي صفرًا.

العقار رقم 4:

العامل المشترك لعناصر أي سلسلة محدد المصفوفةيمكن أن تؤخذ كعلامة المحدد.

النتائج الطبيعية من العقارين رقم 3 ورقم 4:

إذا كانت جميع عناصر سلسلة معينة (صف أو عمود) متناسبة مع العناصر المقابلة لها في سلسلة متوازية، فهذا هو الحال محدد المصفوفةيساوي الصفر.

العقار رقم 5:

محدد المصفوفةتساوي الصفر، إذن محدد المصفوفةيساوي الصفر.

العقار رقم 6:

إذا كانت جميع عناصر الصف أو العمود المحددتم تقديمه كمجموع فترتين، إذن المحدد المصفوفاتيمكن تمثيلها كمجموع 2 المحدداتوفقا للصيغة:

العقار رقم 7:

إذا إلى أي صف (أو عمود) المحددأضف العناصر المقابلة لصف (أو عمود) آخر، مضروبة في نفس العدد، ثم محدد المصفوفةلن تغير قيمته

مثال على استخدام الخصائص للحساب محدد المصفوفة: