تحديد حي إبسيلون من نقطة. حي الوظيفة

ما هي الرموز التي تعرفها إلى جانب علامات عدم المساواة والمعامل؟

ومن مقرر الجبر نعرف الترميز التالي:

- المُحدِّد الكمي العالمي يعني "لأي"، و"للجميع"، و"للجميع"، أي أنه يجب قراءة الإدخال "لأي إبسيلون إيجابي"؛

- المُحدِّد الكمي الوجودي - هناك قيمة تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

- عصا عمودية طويلة تقرأ هكذا: "هكذا"، "هكذا"، "هكذا" أو "هكذا"، في حالتنا، من الواضح أننا نتحدث عن رقم - لذلك "هكذا"؛

- لجميع "en" أكبر من ;

- علامة المعامل تعني المسافة، أي. يخبرنا هذا الإدخال أن المسافة بين القيم أقل من إبسيلون.

تحديد حد التسلسل

وفي الواقع، دعونا نفكر قليلا - كيفية صياغة تعريف صارم للتسلسل؟ …أول ما يتبادر إلى الذهن في ضوء الدرس العملي: “إن نهاية المتتابعة هي العدد الذي يقترب منه أعضاء المتتابعة إلى ما لا نهاية”.

حسنًا، لنكتب التسلسل:

ليس من الصعب أن نفهم أن اللاحقة تقترب من الرقم -1 بشكل لا نهائي، وأن المصطلحات ذات الأعداد الزوجية تقترب من "واحد".

أو ربما هناك حدان؟ ولكن لماذا لا يمكن لأي تسلسل أن يحتوي على عشرة أو عشرين منها؟ يمكنك الذهاب بعيدا بهذه الطريقة. ومن المنطقي في هذا الصدد الافتراض أنه إذا كان للمتتابعة حد، فهي الوحيدة.

ملاحظة: ليس للتسلسل حد، ولكن يمكن تمييز تسلسلين منه (انظر أعلاه)، ولكل منهما حد خاص به.

وبالتالي، فإن التعريف المذكور أعلاه لا يمكن الدفاع عنه. نعم، إنه يصلح لحالات مثل (التي لم أستخدمها بشكل صحيح تمامًا في الشروحات المبسطة للأمثلة العملية)، لكننا الآن بحاجة إلى إيجاد تعريف صارم.

المحاولة الثانية: "حد التسلسل هو العدد الذي يقترب منه جميع أعضاء التسلسل، مع احتمال استثناء عددهم المحدود." وهذا أقرب إلى الحقيقة، لكنه لا يزال غير دقيق تماما. لذلك، على سبيل المثال، نصف حدود التسلسل لا تقترب من الصفر على الإطلاق - فهي ببساطة تساويه =) بالمناسبة، يأخذ "الضوء الوامض" عمومًا قيمتين ثابتتين.

ليس من الصعب توضيح الصياغة، ولكن بعد ذلك يطرح سؤال آخر: كيف نكتب التعريف بالرموز الرياضية؟ كافح العالم العلمي مع هذه المشكلة لفترة طويلة حتى تم حل الموقف من قبل المايسترو الشهير، الذي، في جوهره، إضفاء الطابع الرسمي على التحليل الرياضي الكلاسيكي بكل صرامة. اقترح كوشي العمل في المنطقة المحيطة، مما أدى إلى تقدم كبير في النظرية.

خذ بعين الاعتبار نقطة معينة وحيها التعسفي:

إن قيمة "إبسيلون" تكون دائمًا إيجابية، علاوة على ذلك، لدينا الحق في اختيارها بأنفسنا. لنفترض أنه في حي معين يوجد العديد من الأعضاء (وليس بالضرورة جميعهم) من تسلسل معين. كيف نكتب حقيقة أن الفصل العاشر على سبيل المثال موجود في الحي؟ فليكن على الجانب الأيمن منه. ثم المسافة بين النقاط ويجب أن تكون أقل من " إبسيلون " : . أما إذا كان "x العاشر" يقع على يسار النقطة "a" فإن الفارق سيكون سالباً، ولذلك يجب إضافة إشارة المعامل إليه: .

التعريف: يُطلق على الرقم حد التسلسل إذا كان هناك رقم طبيعي لأي من أحياءه (المحددة مسبقًا) بحيث يكون جميع أعضاء التسلسل ذوي الأعداد الأكبر داخل الحي:

أو باختصار: إذا

بمعنى آخر، بغض النظر عن مدى صغر قيمة "إبسيلون" التي نأخذها، عاجلاً أم آجلاً، فإن "الذيل اللانهائي" للتسلسل سيكون بالكامل في هذا الحي.

لذلك، على سبيل المثال، فإن "الذيل اللانهائي" للتسلسل سينتقل تمامًا إلى أي منطقة صغيرة بشكل تعسفي من النقطة، وبالتالي، فإن هذه القيمة هي حد التسلسل حسب التعريف. دعني أذكرك أنه يتم استدعاء تسلسل حده صفر متناهي الصغر.

تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للتسلسل، لم يعد من الممكن قول "سيأتي ذيل لا نهاية له" - فالمصطلحات ذات الأرقام الفردية تساوي في الواقع الصفر و"لن تذهب إلى أي مكان" =) ولهذا السبب يظهر الفعل "سوف يظهر" "يستخدم في التعريف. وبطبيعة الحال، فإن أعضاء سلسلة كهذه أيضًا "لا يذهبون إلى أي مكان". بالمناسبة، تحقق مما إذا كان الرقم هو الحد الأقصى.

الآن سوف نبين أن التسلسل ليس له نهاية. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، حي النقطة . من الواضح تمامًا أنه لا يوجد مثل هذا الرقم الذي تنتهي بعده جميع الحدود في حي معين - حيث "ستقفز" المصطلحات الفردية دائمًا إلى "ناقص واحد". ولسبب مماثل، ليس هناك حد عند هذه النقطة.

أثبت أن نهاية المتتابعة هي صفر. حدد الرقم الذي يتم بعده ضمان تواجد جميع أعضاء التسلسل داخل أي حي صغير بشكل تعسفي للنقطة.

ملاحظة: بالنسبة للعديد من التسلسلات، يعتمد الرقم الطبيعي المطلوب على القيمة - ومن هنا جاء التدوين .

الحل: فكر في حي عشوائي لنقطة ما وتحقق مما إذا كان هناك رقم بحيث تكون جميع المصطلحات ذات الأرقام الأعلى داخل هذا الحي:

لإثبات وجود العدد المطلوب نعبر عنه من خلال .

نظرًا لأنه بالنسبة لأي قيمة "en"، يمكن إزالة علامة المعامل:

نحن نستخدم الإجراءات "المدرسة" مع المتباينات، والتي كررتها في دروس المتباينات الخطية ومجال الدالة. في هذه الحالة، هناك ظرف مهم وهو أن "epsilon" و"en" موجبان:

نظرًا لأننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية على اليسار، والجانب الأيمن عمومًا كسري، فيجب تقريبه:

ملاحظة: في بعض الأحيان يتم إضافة وحدة إلى اليمين لتكون في الجانب الآمن، ولكن في الواقع هذا مبالغة. نسبيًا، إذا أضعفنا النتيجة عن طريق التقريب إلى الرقم الأدنى، فإن أقرب رقم مناسب ("ثلاثة") سيظل يحقق المتراجحة الأصلية.

الآن ننظر إلى عدم المساواة ونتذكر أننا في البداية اعتبرنا حيًا تعسفيًا، أي. "إبسيلون" يمكن أن يكون مساوياً لأي رقم موجب.

خاتمة : بالنسبة لأي منطقة صغيرة بشكل تعسفي لنقطة ما، تم العثور على قيمة بحيث تكون عدم المساواة لجميع الأعداد الأكبر. وبالتالي، فإن الرقم هو نهاية التسلسل حسب التعريف. Q.E.D.

بالمناسبة، يظهر النمط الطبيعي بوضوح من النتيجة التي تم الحصول عليها: كلما كان الحي أصغر، كلما زاد العدد، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في هذا الحي. ولكن بغض النظر عن مدى صغر حجم "إبسيلون"، سيكون هناك دائمًا "ذيل لا نهائي" في الداخل والخارج - حتى لو كان عددًا كبيرًا ولكن محدودًا من المصطلحات.

يتم النظر في التعريف العام لجوار نقطة على خط الأعداد. تعريفات حي إبسيلون والأحياء ذات الجانب الأيسر والأيمن والأحياء المثقوبة ذات النقاط المحدودة واللانهائية. ممتلكات الحي. تم إثبات نظرية حول تكافؤ استخدام حي إبسيلون وحي اختياري في تحديد نهاية الدالة حسب كوشي.

محتوى

تحديد محيط نقطة ما

حي نقطة حقيقية x 0 أي فترة مفتوحة تحتوي على هذه النقطة تسمى:
.
هنا ε 1 و ε 2 - أرقام إيجابية تعسفية.

إبسيلون - حي النقطة x 0 هي مجموعة النقاط المسافة التي يمكن الوصول منها إلى النقطة x 0 أقل من ε:
.

حي مثقوب من النقطة x 0 هو جوار هذه النقطة التي تستثنى منها النقطة x نفسها 0 :
.

أحياء نقاط النهاية

في البداية، تم تقديم تعريف لجوار نقطة ما. تم تعيينه على أنه . ولكن يمكنك الإشارة بوضوح إلى أن الحي يعتمد على رقمين باستخدام الوسيطات المناسبة:
(1) .
أي أن الحي عبارة عن مجموعة من النقاط تنتمي إلى فترة مفتوحة.

معادلة ε 1 إلى ε 2 ، نحصل على إبسيلون - الحي:
(2) .
حي إبسيلون عبارة عن مجموعة من النقاط تنتمي إلى فترة مفتوحة ذات نهايات متساوية البعد.
بالطبع، يمكن استبدال الحرف epsilon بأي حرف آخر والنظر في δ - الحي، σ - الحي، وما إلى ذلك.

في نظرية الحد، يمكن للمرء استخدام تعريف الجوار بناءً على المجموعة (1) والمجموعة (2). استخدام أي من هذه الأحياء يعطي نتائج معادلة (انظر). لكن التعريف (2) أبسط، لذلك غالبًا ما يستخدم إبسيلون - جوار نقطة يتم تحديدها من (2).

تُستخدم أيضًا مفاهيم الأحياء ذات الجانب الأيسر والأيمن والمثقوبة لنقاط النهاية على نطاق واسع. وهنا تعريفاتهم.

الحي الأيسر للنقطة الحقيقية x 0 هي فترة نصف مفتوحة تقع على المحور الحقيقي على يسار النقطة x 0 ، بما في ذلك النقطة نفسها:
;
.

الحي الأيمن للنقطة الحقيقية x 0 هي فترة نصف مفتوحة تقع على يمين النقطة x 0 ، بما في ذلك النقطة نفسها:
;
.

الأحياء المثقوبة من نقاط النهاية

الأحياء المثقوبة للنقطة x 0 - هذه هي نفس الأحياء التي تستثنى منها النقطة نفسها. يشار إليها بدائرة فوق الحرف. وهنا تعريفاتهم.

الحي المثقوب للنقطة x 0 :
.

إبسيلون مثقوب - حي النقطة x 0 :
;
.

مثقوب الجانب الأيسر المجاورة:
;
.

ثقب الجانب الأيمن المجاورة:
;
.

أحياء النقاط في اللانهاية

إلى جانب نقاط النهاية، تم أيضًا تقديم مفهوم مجاورة النقاط عند اللانهاية. لقد تم ثقبها جميعًا لأنه لا يوجد عدد حقيقي عند اللانهاية (يتم تعريف النقطة عند اللانهاية على أنها حد تسلسل كبير بلا حدود).

.
;
;
.

ويمكن تحديد أحياء النقاط عند اللانهاية كالتالي:
.
ولكن بدلاً من M، نستخدم ، بحيث يكون الحي ذو ε الأصغر هو مجموعة فرعية من الحي ذو ε الأكبر، كما هو الحال مع أحياء نقطة النهاية.

ممتلكات الحي

بعد ذلك، نستخدم الخاصية الواضحة لجوار نقطة ما (متناهية أو لا نهاية لها). يكمن في حقيقة أن أحياء النقاط ذات القيم الأصغر لـ ε هي مجموعات فرعية من الأحياء ذات القيم الأكبر لـ ε. فيما يلي صيغ أكثر صرامة.

يجب أن تكون هناك نقطة نهائية أو بعيدة بلا حدود. دعها تذهب.
ثم
;
;
;
;
;
;
;
.

والعكس صحيح أيضا.

تكافؤ تعريفات نهاية الدالة حسب كوشي

سنبين الآن أنه عند تحديد نهاية الدالة وفقًا لكوشي، يمكنك استخدام كل من الحي التعسفي والمجاور ذي الأطراف المتساوية.

نظرية
تعريفات كوشي لحد الدالة التي تستخدم الأحياء العشوائية والأحياء ذات الأطراف المتساوية متكافئة.

دليل

دعونا صياغة التعريف الأول لنهاية الدالة.
الرقم a هو نهاية الدالة عند نقطة (محدودة أو لا نهاية لها)، إذا كانت هناك أرقام موجبة لأي أرقام موجبة، وهذا لكل شيء ينتمي إلى الحي المقابل للنقطة a:
.

دعونا صياغة التعريف الثاني لنهاية الدالة.
الرقم a هو نهاية الدالة عند نقطة ما إذا كان هناك رقم موجب لأي رقم يعتمد على ذلك للجميع:
.

الدليل 1 ⇒ 2

دعونا نثبت أنه إذا كان الرقم a هو نهاية الدالة بالتعريف الأول، فهو أيضًا حد بالتعريف الثاني.

دع التعريف الأول يكون راضيا. هذا يعني أن هناك وظائف و، لذلك بالنسبة لأي أرقام موجبة يحمل ما يلي:
في حيث .

وبما أن الأرقام عشوائية، فإننا نساويها:
.
ثم هناك مثل هذه الوظائف و، لذلك بالنسبة لأي من الحالات التالية:
في حيث .

لاحظ أن .
اسمحوا ان يكون اصغر من الارقام الموجبة و . ثم حسب ما ذكرنا أعلاه
.
اذا ثم.

وهذا يعني أننا وجدنا مثل هذه الوظيفة، لذا فإن أيًا من هذه الوظائف يحمل ما يلي:
في حيث .
وهذا يعني أن الرقم a هو نهاية الدالة بالتعريف الثاني.

البرهان 2 ⇒ 1

دعونا نثبت أنه إذا كان الرقم a هو نهاية الدالة بالتعريف الثاني، فهو أيضًا حد بالتعريف الأول.

دع التعريف الثاني يكون راضيا. لنأخذ رقمين موجبين و . وليكن أقلهم. ثم، وفقًا للتعريف الثاني، هناك مثل هذه الوظيفة، بحيث بالنسبة لأي رقم موجب ولكل شيء، يتبع ذلك
.

ولكن وفقا ل . ولذلك مما يلي ذلك
.

ثم لأي أرقام موجبة و ، وجدنا رقمين، لذلك للجميع:
.

وهذا يعني أن الرقم a هو حد بالتعريف الأول.

لقد تم إثبات النظرية.

مراجع:
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.

texvc -حيّالمجموعات في التحليل الوظيفي والتخصصات ذات الصلة هي مثل هذه المجموعة، حيث تتم إزالة كل نقطة منها من المجموعة المحددة بما لا يزيد عن غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon .

تعريفات

• يترك غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): (X,\varrho)هناك مساحة مترية، غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/README - مساعدة في الإعداد.): x_0 \in X،و غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/الملف التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon > 0. غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon-المحيط غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvc تسمى مجموعة

غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/README للحصول على تعليمات الإعداد.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• دعونا نعطي مجموعة فرعية غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/الملف التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): A\subset X.ثم غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon-حي هذه المجموعة هو المجموعة

غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/الملف التمهيدي للحصول على تعليمات الإعداد.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

ملحوظات

• غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon-حي النقطة غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/الملف التمهيدي - مساعدة في الإعداد.): x_0ومن ثم يتم استدعاء كرة مفتوحة مركزها غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/الملف التمهيدي - مساعدة في الإعداد.): x_0ونصف القطر غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon.
• ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف

غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع الرياضيات/README للحصول على تعليمات الإعداد.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• غير قادر على تحليل التعبير (ملف قابل للتنفيذ texvcغير معثور عليه؛ راجع math/README للحصول على تعليمات الإعداد.): \varepsilon- الحي هو الحي، وعلى وجه الخصوص، مجموعة مفتوحة.

أمثلة

اكتب رأيك عن مقال "حي إبسيلون"

مقتطف يميز حي إبسيلون

- حسنا، هل نستمع؟ - دفعتني الفتاة الصغيرة بفارغ الصبر.
لقد اقتربنا... وشعرت بلمسة ناعمة رائعة من موجة متلألئة... لقد كان شيئًا رقيقًا بشكل لا يصدق، حنونًا ومهدئًا بشكل مدهش، وفي الوقت نفسه، يخترق "أعماق" دهشتي وحذري قليلاً. روح... ركضت "موسيقى" هادئة على قدمي، واهتزت بملايين الظلال المختلفة، وبدأت تغلفني بشيء جميل رائع، شيء يتجاوز أي كلمات... شعرت أنني كنت أطير، على الرغم من وجوده. لم تكن رحلة ولم تحدث في الواقع. كان رائعًا!.. ذابت كل خلية وذابت في الموجة الجديدة القادمة، وغسلني الذهب المتلألئ، آخذًا كل شيء سيئًا وحزينًا، ولم يترك سوى النور النقي النقي في روحي...
لم أشعر حتى كيف دخلت وانغمست في هذه المعجزة البراقة تقريبًا. لقد كان جيدًا بشكل لا يصدق ولم أرغب أبدًا في المغادرة هناك ...
- حسنًا، هذا يكفي بالفعل! مهمة تنتظرنا! - انفجر صوت ستيلا الحازم في الجمال اللامع. - هل أحببتها؟
- نعم بالتأكيد! - زفرت. – لم أرغب في الخروج كثيرًا!..
- بالضبط! لذلك "يستحم" البعض حتى تجسدهم التالي... وبعد ذلك لا يعودون إلى هنا مرة أخرى...

الحد الأدنى النظري

لقد تم بالفعل تقديم مفهوم الحد فيما يتعلق بالتسلسلات الرقمية في الموضوع "".
يوصى بقراءة المواد الواردة فيه أولاً.

وبالانتقال إلى موضوع هذا الموضوع فلنتذكر مفهوم الوظيفة. الوظيفة هي مثال آخر لرسم الخرائط. سننظر في أبسط حالة
الوظيفة الحقيقية لحجة حقيقية واحدة (ما هو صعب في الحالات الأخرى سيتم مناقشته لاحقًا). تُفهم الوظيفة ضمن هذا الموضوع على أنها
قانون يتم بموجبه تعيين عنصر واحد أو أكثر لكل عنصر من عناصر المجموعة التي يتم تحديد الوظيفة عليها
مجموعة تسمى مجموعة قيم الوظائف. إذا تم تعيين عنصر واحد لكل عنصر من عناصر مجال تعريف الوظيفة
مجموعة من القيم، فإن الدالة تسمى ذات قيمة واحدة، وإلا تسمى الدالة متعددة القيم. للتبسيط سنتحدث فقط عن
وظائف لا لبس فيها.

أود على الفور التأكيد على الفرق الأساسي بين الوظيفة والتسلسل: المجموعات المتصلة عن طريق التعيين في هاتين الحالتين تختلف اختلافًا كبيرًا.
ولتجنب الحاجة إلى استخدام مصطلحات الطوبولوجيا العامة، سنوضح الفرق باستخدام المنطق غير الدقيق. عند مناقشة الحد
التسلسلات، تحدثنا عن خيار واحد فقط: النمو غير المحدود لعدد عناصر التسلسل. ومع هذه الزيادة في العدد، فإن العناصر نفسها
تصرفت التسلسلات بشكل أكثر تنوعًا. يمكنهم "التراكم" في حي صغير يضم عددًا معينًا؛ يمكن أن تنمو بشكل غير محدود، وما إلى ذلك.
بشكل تقريبي، تحديد التسلسل هو تحديد دالة في "مجال تعريف" منفصل. إذا كنا نتحدث عن وظيفة، يتم إعطاء تعريفها
في بداية الموضوع، ينبغي بناء مفهوم الحد بعناية أكبر. من المنطقي التحدث عن حدود الوظيفة عندما تميل حجتها إلى قيمة معينة .
لم تكن صياغة السؤال هذه منطقية فيما يتعلق بالتسلسلات. هناك حاجة لتقديم بعض التوضيحات. وكلها مرتبطة
كيف تسعى الحجة بالضبط إلى المعنى المعني.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة - لفترة وجيزة الآن:


ستسمح لنا هذه الوظائف بالنظر في مجموعة متنوعة من الحالات. نقدم هنا الرسوم البيانية لهذه الوظائف لمزيد من الوضوح في العرض.

الدالة في أي نقطة في مجال تعريفها لها حد - وهذا أمر واضح بديهيًا. مهما كانت نقطة مجال التعريف الذي نأخذه،
يمكنك معرفة القيمة التي تميل إليها الدالة على الفور عندما تميل الوسيطة إلى القيمة المحددة، وسيكون الحد محدودًا إذا كانت الوسيطة فقط
لا يميل إلى اللانهاية. الرسم البياني للوظيفة لديه شبك. وهذا يؤثر على خصائص الدالة عند نقطة التوقف، ولكن من وجهة نظر النهاية
لم يتم تسليط الضوء على هذه النقطة. أصبحت الوظيفة بالفعل أكثر إثارة للاهتمام: عند هذه النقطة ليس من الواضح ما هي قيمة الحد الذي سيتم تعيينه للوظيفة.
إذا اقتربنا من نقطة من اليمين فإن الدالة تميل إلى قيمة واحدة، وإذا اقتربنا من اليسار فإن الدالة تميل إلى قيمة أخرى. في السابق
لم تكن هناك أمثلة على ذلك. عندما تميل الدالة إلى الصفر، سواء من اليسار أو من اليمين، فإنها تتصرف بنفس الطريقة، وتميل إلى ما لا نهاية -
على عكس الدالة التي تميل إلى ما لا نهاية كما يميل الوسيط إلى الصفر، لكن إشارة اللانهاية تعتمد على ما
الجانب الذي نقترب فيه من الصفر. وأخيرًا، تتصرف الدالة بشكل غير مفهوم تمامًا عند الصفر.

دعونا نضفي طابعًا رسميًا على مفهوم النهاية باستخدام لغة "epsilon-delta". سيكون الاختلاف الرئيسي عن تعريف حد التسلسل هو الحاجة
وصف ميل وسيطة دالة إلى قيمة معينة. وهذا يتطلب مفهوم نقطة النهاية للمجموعة، وهو أمر مساعد في هذا السياق.
تسمى النقطة نقطة الحد لمجموعة إذا كانت في أي حي يحتوي على عدد لا يحصى من النقاط
ينتمون إليه ويختلفون عنه. وبعد ذلك بقليل سوف يصبح من الواضح سبب الحاجة إلى مثل هذا التعريف.

لذا فإن الرقم يسمى نهاية الدالة عند النقطة، وهي نقطة نهاية المجموعة التي تم تعريفها عليها
وظيفة إذا

دعونا نلقي نظرة على هذا التعريف واحدا تلو الآخر. ولنسلط الضوء هنا على الأجزاء المرتبطة برغبة الحجة في المعنى، وبرغبة الوظيفة
إلى قيمة . يجب أن تفهم المعنى العام للبيان المكتوب، والذي يمكن تفسيره تقريبًا على النحو التالي.
تميل الوظيفة إلى ، إذا أخذنا رقمًا من حي صغير بما فيه الكفاية للنقطة، فسنقوم بذلك
الحصول على قيمة دالة من حي صغير بما فيه الكفاية من الرقم. وكلما صغر حي النقطة التي تؤخذ منها القيم
الوسيطة، الأصغر سيكون بجوار النقطة التي تقع فيها قيم الدالة المقابلة.

ولنعود مرة أخرى إلى التعريف الرسمي للحد ونقرأه في ضوء ما قلناه للتو. الرقم الإيجابي يحد من الحي
النقطة التي سنأخذ منها قيم الوسيطة. علاوة على ذلك فإن قيم الوسيطة بالطبع هي من مجال تعريف الدالة ولا تتطابق مع الدالة نفسها
نقطة كاملة: نحن نكتب الطموح، وليس الصدفة! لذلك، إذا أخذنا قيمة الوسيطة من المنطقة المحددة للنقطة،
فإن قيمة الدالة سوف تقع في منطقة -النقطة .
وأخيرا، دعونا نضع التعريف معا. بغض النظر عن مدى صغر حجم اختيارنا لـ -جوار النقطة، سيكون هناك دائمًا مثل هذا -جوار النقطة،
أنه عند اختيار قيم الحجة منه سنجد أنفسنا في محيط النقطة. وبطبيعة الحال، الحجم هو جوار النقطة في هذه الحالة
يعتمد على ما تم تحديد حي النقطة. إذا كان جوار قيمة الدالة كبيرًا بدرجة كافية، فإن انتشار القيم المقابل
ستكون الحجة عظيمة. ومع انخفاض قيمة حي الدالة، سينخفض ​​أيضًا الانتشار المقابل لقيم الوسيطة (انظر الشكل 2).

يبقى توضيح بعض التفاصيل. أولاً، إن شرط أن تكون النقطة هي الحد يلغي الحاجة إلى القلق بشأن ما إذا كانت النقطة أم لا
من -neighborhood عمومًا ينتمي إلى مجال تعريف الوظيفة. ثانياً: المشاركة في تحديد الشرط الحدي وسائل
أن الحجة يمكن أن تميل إلى قيمة على اليسار وعلى اليمين.

بالنسبة للحالة التي تميل فيها وسيطة الدالة إلى اللانهاية، يجب تعريف مفهوم نقطة الحد بشكل منفصل. يسمى الحد
نقطة المجموعة إذا كان الفاصل الزمني لأي رقم موجب يحتوي على مجموعة لا نهائية
نقاط من المجموعة.

دعنا نعود إلى الأمثلة. الوظيفة ليست ذات أهمية خاصة بالنسبة لنا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على الوظائف الأخرى.

أمثلة.

مثال 1. الرسم البياني للوظيفة لديه شبك.
وظيفة وعلى الرغم من التفرد عند هذه النقطة، إلا أن له حدًا عند هذه النقطة. الخصوصية عند الصفر هي فقدان النعومة.

مثال 2. حدود من جانب واحد.
الدالة عند نقطة ما ليس لها حد. وكما سبقت الإشارة، فإن وجود الحد يشترط ذلك عند الاعتناء
على اليسار وعلى اليمين تميل الدالة إلى نفس القيمة. من الواضح أن هذا لا يصمد هنا. ومع ذلك، يمكن تقديم مفهوم الحد من جانب واحد.
إذا كانت الوسيطة تميل إلى قيمة معينة من جانب القيم الأكبر، فإننا نتحدث عن النهاية اليمنى؛ إذا كان بجانب القيم الأصغر -
حول الحد الأيسر.
في حالة الوظيفة
- الحد الأيمن ومع ذلك، يمكننا إعطاء مثال عندما لا تتداخل تذبذبات الجيب التي لا نهاية لها مع وجود حد (وواحد على الوجهين).
على سبيل المثال سيكون الوظيفة . ويرد الرسم البياني أدناه؛ لأسباب واضحة، قم ببنائه حتى الانتهاء في المنطقة المجاورة
الأصل مستحيل. الحد عنده هو صفر.

ملحوظات.
1. هناك طريقة لتحديد حد الوظيفة التي تستخدم حد التسلسل - ما يسمى. تعريف هاين. هناك يتم إنشاء سلسلة من النقاط التي تتقارب مع القيمة المطلوبة
الوسيطة - ثم يتقارب التسلسل المقابل لقيم الدالة إلى حد الدالة عند قيمة الوسيطة هذه. معادلة تعريف هاينه والتعريف في اللغة
تم إثبات "إبسيلون دلتا".
2. حالة الدوال ذات وسيطتين أو أكثر معقدة بسبب حقيقة أنه لوجود نهاية عند نقطة ما، يشترط أن تكون قيمة النهاية هي نفسها بأي طريقة تتجه بها الحجة
إلى القيمة المطلوبة. إذا كانت هناك حجة واحدة فقط، فيمكنك السعي للحصول على القيمة المطلوبة من اليسار أو من اليمين. مع المزيد من المتغيرات، يزيد عدد الخيارات بشكل كبير. حالة الوظائف
يتطلب المتغير المعقد مناقشة منفصلة.