رقم 19 في النظام الثنائي. ترجمة الأرقام في أنظمة الأرقام الموضعية

ظهر نظام الأرقام الموضعية لأول مرة في بابل القديمة. في الهند يعمل النظام كما

الترقيم العشري الموضعي باستخدام الصفر، لدى الهنود نظام الأرقام هذا

فالأمة العربية اقترضت، والأوروبيون بدورهم أخذوا منهم. وفي أوروبا أصبح هذا النظام

نسميها العربية.

النظام الموضعي - يعتمد معنى جميع الأرقام على موضع (رقم) رقم معين في الرقم.

على سبيل المثال، نظام الرقم العاشر القياسي هو نظام موضعي. لنفترض أن الرقم 453 معطى.

الرقم 4 يدل على المئات ويتوافق مع الرقم 400، 5 - عدد العشرات ويتوافق مع القيمة 50،

و3 - الوحدات والقيمة 3. من السهل ملاحظة أنه مع زيادة الرقم، تزداد القيمة.

ومن ثم نكتب الرقم المعطى بالمجموع 400+50+3=453.

نظام الأرقام الثنائية.

لا يوجد سوى رقمين هنا - 0 و 1. قاعدة النظام الثنائي- رقم 2.

يشير الرقم الموجود على الحافة إلى اليمين إلى عدد الوحدات، ويشير الرقم الثاني

في جميع الأرقام، هناك رقم واحد فقط ممكن - إما صفر أو واحد.

باستخدام نظام الأرقام الثنائية، من الممكن تشفير أي رقم طبيعي من خلال تمثيله

هذا الرقم عبارة عن سلسلة من الأصفار والواحدات.

مثال: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

غالبًا ما يستخدم نظام الأرقام الثنائية، مثل نظام الأرقام العشرية، في الحوسبة

تكنولوجيا. يقوم الكمبيوتر بتخزين النصوص والأرقام في ذاكرته في شكل كود ثنائي ويقوم بتحويلها برمجياً

في الصورة على الشاشة.

جمع وطرح وضرب الأعداد الثنائية.

جدول الجمع في نظام الأرقام الثنائية:

10 ( النقل إلى

رتبة عليا)

جدول الطرح في نظام الأعداد الثنائية:

(قرض من كبار

الفئة 1

مثال على إضافة العمود (14 10 + 5 10 = 19 10 أو 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
+			1	0	1
	1	0	0	1	1

جدول الضرب في نظام الأعداد الثنائية:

مثال على ضرب الأعمدة (14 10 * 5 10 = 70 10 أو 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
*					1	0	1
+				1	1	1	0
+			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

تحويل الرقم في نظام الأرقام الثنائية.

للتحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري، استخدم جدول الأسس التالي

القواعد 2:

بدءًا من الرقم واحد، يتم ضرب كل رقم في 2. ويتم استدعاء النقطة بعد الرقم 1 نقطة ثنائية.

تحويل الأرقام الثنائية إلى عشرية.

يجب أن يكون هناك رقم ثنائي 110001 2. للتحويل إلى رقم عشري نكتبه كمجموع

الترتيب على النحو التالي:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

فرق بسيط:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

من الجيد أيضًا كتابة الحساب على شكل جدول:

ننتقل من اليمين إلى اليسار. تحت جميع الوحدات الثنائية نكتب ما يعادلها في السطر أدناه.

تحويل الأرقام الثنائية الكسرية إلى أرقام عشرية.

يمارس:تحويل الرقم 1011010، 101 2 إلى النظام العشري.

نكتب الرقم المعطى بهذا الشكل:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

خيار تسجيل آخر:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

أو على شكل جدول:

								0.25	0.125

									0.125

تحويل الأرقام العشرية إلى ثنائية.

لنفترض أنك بحاجة إلى تحويل الرقم 19 إلى ثنائي. يمكننا أن نفعل ذلك بهذه الطريقة:

19 /2 = 9 مع الباقي 1

9 /2 = 4 مع الباقي 1

4 /2 = 2 دون أن يترك أثرا 0

2 /2 = 1 دون أن يترك أثرا 0

1 /2 = 0 مع الباقي 1

أي أن كل حاصل قسمة على 2 ويتم كتابة الباقي حتى نهاية التدوين الثنائي. قسم

يستمر حتى لا يكون هناك صفر في الحاصل. نكتب النتيجة من اليمين إلى اليسار. أولئك. أدنى

الرقم (1) سيكون أقصى اليسار وهكذا. إذن، لدينا الرقم 19 بالترميز الثنائي: 10011.

تحويل الأعداد العشرية الكسرية إلى ثنائية.

عندما يحتوي رقم معين على جزء صحيح، يتم تحويله بشكل منفصل عن الجزء الكسري. ترجمة

تتم عملية تحويل عدد كسري من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي كما يلي:

يتم ضرب الكسر بقاعدة نظام الأرقام الثنائية (2)؛

في المنتج الناتج، يتم عزل الجزء بأكمله، والذي يعتبر الجزء الرئيسي.

رقم من رقم في نظام الأرقام الثنائية؛

تنتهي الخوارزمية إذا كان الجزء الكسري للمنتج الناتج صفرًا أو إذا

تم تحقيق الدقة الحسابية المطلوبة. وبخلاف ذلك، تستمر الحسابات

جزء كسري من المنتج.

مثال: أنت بحاجة إلى تحويل الرقم العشري الكسري 206.116 إلى رقم ثنائي كسري.

وبترجمة الجزء بأكمله نحصل على 206 10 = 11001110 2. يتم ضرب الجزء الكسري من 0.116 بالأساس 2،

نضع أجزاء المنتج بأكملها في المنازل العشرية:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

نتيجة: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

خوارزمية لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر.

1. من نظام الأرقام العشرية:

قسمة الرقم على قاعدة نظام الأرقام المترجم؛

العثور على الباقي عند قسمة الجزء الصحيح من الرقم؛

اكتب كل ما تبقى من القسمة بترتيب عكسي؛

2. من نظام الأرقام الثنائية:

للتحويل إلى نظام الأرقام العشرية، نجد مجموع منتجات الأساس 2 بواسطة

درجة مناسبة من التفريغ

في قسم السؤال كيفية التبديل من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي؟ قدمها المؤلف تاتيانا تاتياناأفضل إجابة هي تحويل الأرقام العشرية إلى ثنائية

لنفترض أننا بحاجة إلى تحويل الرقم 19 إلى رقم ثنائي. يمكنك استخدام الإجراء التالي:

19/2 = 9 والباقي 1
9/2 = 4 والباقي 1
4 /2 = 2 والباقي 0
2 /2 = 1 والباقي 0
1/2 = 0 والباقي 1

لذلك، نقسم كل حاصل على 2 ونكتب 1 أو 0 كالباقي، ويجب أن نستمر في القسمة حتى يكون هناك 1 في المقسوم، ونضع الأرقام من الباقي واحدًا تلو الآخر، بدءًا من النهاية. ونتيجة لذلك نحصل على الرقم 19 بالتدوين الثنائي (بدءًا من النهاية): 10011.

حظ سعيد))

الإجابة من روزيلا[المعلم]

لتحويل 19 إلى ثنائي، نختار في الصف العلوي أكبر رقم يقبل القسمة على 19 بدون باقي وهو في حالتنا 16. (قبل 19، هناك 3 أرقام أخرى مفقودة) الرقم التالي الذي يقبل القسمة على 3 بدون باقي. والباقي هو 2. (يبقى 1) 1 يقبل القسمة على 1 بدون باقي. اخترنا الأرقام 16 - 2 - 1. تحتها نكتب "1"، وتحت الباقي "0". نحصل على 10011.
يبدو مرهقًا جدًا في الكلمات. ولكن إذا ألقيت نظرة فاحصة على الطاولة، فلا يوجد شيء معقد فيها. يتم تذكره بسرعة ولا حاجة إلى قلم أو ورقة لترجمته.

يستخدم نظام الأرقام الثنائية رقمين فقط، 0 و1. وبعبارة أخرى، الرقم اثنان هو أساس نظام الأرقام الثنائية. (وبالمثل، النظام العشري له قاعدة 10.)

لتعلم كيفية فهم الأرقام في نظام الأرقام الثنائية، فكر أولاً في كيفية تكوين الأرقام في نظام الأرقام العشري المألوف لدينا.

في نظام الأرقام العشري لدينا عشرة أرقام (من 0 إلى 9). عندما يصل العدد إلى 9، يتم إدخال رقم جديد (العشرات)، ويتم إعادة تعيين الأرقام إلى الصفر ويبدأ العد مرة أخرى. بعد الرقم 19، يزيد رقم العشرات بمقدار 1، ويتم إعادة تعيين الآحاد إلى الصفر مرة أخرى. وما إلى ذلك وهلم جرا. عندما تصل العشرات إلى 9، يظهر الرقم الثالث - المئات.

يشبه نظام الأرقام الثنائية نظام الأرقام العشري، فيما عدا أن رقمين فقط يشاركان في تكوين الرقم: 0 و1. وبمجرد وصول الرقم إلى الحد الأقصى (أي واحد)، يظهر رقم جديد، و تتم إعادة تعيين القديم إلى الصفر.

دعونا نحاول العد في النظام الثنائي:
0 هو صفر
1 هو واحد (وهذا هو حد التفريغ)
10 هو اثنان
11 يساوي ثلاثة (وهذا هو الحد مرة أخرى)
100 هو أربعة
101 - خمسة
110 - ستة
111 - سبعة، الخ.

تحويل الأرقام من الثنائي إلى العشري

ليس من الصعب ملاحظة أنه في نظام الأرقام الثنائية، تزداد أطوال الأرقام بسرعة مع زيادة القيم. كيفية تحديد ما يعنيه هذا: 10001001؟ نظرًا لعدم اعتياده على هذا النوع من كتابة الأرقام، لا يستطيع الدماغ البشري عادةً فهم مقدارها. سيكون من الجيد أن تكون قادرًا على تحويل الأرقام الثنائية إلى أرقام عشرية.

في نظام الأعداد العشرية، يمكن تمثيل أي رقم كمجموع وحدات، عشرات، مئات، إلخ. على سبيل المثال:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

انظر إلى هذا الإدخال بعناية. هنا الأرقام 1 و 4 و 7 و 6 هي مجموعة من الأرقام التي يتكون منها الرقم 1476. ويتم ضرب كل هذه الأرقام تباعا في عشرة مرفوعة بدرجة أو بأخرى. العشرة هي أساس نظام الأرقام العشري. الأس الذي يُرفع إليه الرقم 10 هو رقم الرقم ناقص واحد.

يمكن توسيع أي رقم ثنائي بطريقة مماثلة. فقط القاعدة هنا ستكون 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

أولئك. الرقم 10001001 في الأساس 2 يساوي الرقم 137 في الأساس 10. يمكنك كتابته هكذا:

10001001 2 = 137 10

لماذا يعد نظام الأرقام الثنائية شائعًا جدًا؟

الحقيقة هي أن نظام الأرقام الثنائية هو لغة تكنولوجيا الكمبيوتر. يجب أن يتم تمثيل كل رقم بطريقة ما على وسيط مادي. إذا كان هذا نظامًا عشريًا، فسيتعين عليك إنشاء جهاز يمكن أن يحتوي على عشر حالات. انه لامر معقد. من الأسهل إنتاج عنصر فيزيائي يمكن أن يكون في حالتين فقط (على سبيل المثال، يوجد تيار أو لا يوجد تيار). وهذا هو أحد الأسباب الرئيسية وراء إيلاء الكثير من الاهتمام لنظام الأرقام الثنائية.

تحويل الرقم العشري إلى ثنائي

قد تحتاج إلى تحويل الرقم العشري إلى ثنائي. إحدى الطرق هي القسمة على اثنين وتكوين رقم ثنائي من الباقي. على سبيل المثال، تحتاج إلى الحصول على تدوينه الثنائي من الرقم 77:

77 / 2 = 38 (1 باقي)
38 / 2 = 19 (0 باقي)
19 / 2 = 9 (1 متبقي)
9 / 2 = 4 (1 متبقي)
4 / 2 = 2 (0 باقي)
2 / 2 = 1 (0 باقي)
1/2 = 0 (1 متبقي)

ونجمع الباقي معًا، بدءًا من النهاية: 1001101. وهذا هو الرقم 77 في التمثيل الثنائي. دعونا تحقق:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

يعد تحويل الأرقام من النظام الثنائي والثماني والست عشري إلى النظام العشري أمرًا سهلاً إلى حد ما. للقيام بذلك، تحتاج إلى كتابة الرقم في شكل موسع وحساب قيمته.

تحويل رقم من ثنائي إلى عشري. لنأخذ أي رقم ثنائي، على سبيل المثال 10.112. لنكتبها بشكل موسع ونجري الحسابات:

10.112 = 1*21 +0*2° + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*2 + 0*1 + 1*1/2 + 1*1/4 = 2.7510.

تحويل الأرقام من ثماني إلى عشري.

لنأخذ أي رقم ثماني، على سبيل المثال 67.58. لنكتبها بشكل موسع ونجري الحسابات:

67.58 = 6*81 + 7*8° + 5*8-1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55.62510.

تحويل الأرقام من النظام الست عشري إلى النظام العشري.

لنأخذ أي رقم سداسي عشري، على سبيل المثال 19F16. لنكتبها بشكل موسع (تذكر أن الرقم السداسي العشري F يتوافق مع الرقم العشري 15) ونجري الحسابات:

19F16 = 1*162 + 9*161 + F*16° = 1*256 + 9*16 + 15*1 = 41510.

يعد تحويل الأرقام من النظام العشري إلى النظام الثنائي والثماني والست عشري أكثر تعقيدًا ويمكن إجراؤه بعدة طرق. لنفكر في إحدى خوارزميات الترجمة باستخدام مثال تحويل الأرقام من النظام العشري إلى النظام الثنائي. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن خوارزميات تحويل الأعداد الصحيحة والكسور الصحيحة ستختلف.

خوارزمية لتحويل الأعداد الصحيحة العشرية إلى نظام الأرقام الثنائية. دع Acd يكون رقمًا عشريًا صحيحًا. لنكتبها كمجموع قوى الأساس 2 مع المعاملات الثنائية. في شكلها الموسع لن تكون هناك قوى سلبية للقاعدة (رقم 2):

Acd= an-1*2n-1+ an-2*2n-2+…+ a1*21+a0*20

في الخطوة الأولى، نقسم الرقم A على أساس النظام الثنائي، أي على 2. ويكون حاصل القسمة مساويًا لـ

آن-1*2ن-2+ آن-2*2ن-3+…+ أ1

في الخطوة الثانية، نقسم مرة أخرى حاصل القسمة على 2، وسيكون باقي القسمة الآن يساوي a0

إذا واصلنا عملية التقسيم هذه، فبعد الخطوة التاسعة نحصل على تسلسل البقايا:

أ0، أ1، ...، أن-1

من السهل أن نرى أن تسلسلها يتزامن مع التسلسل العكسي لأرقام الرقم الثنائي الصحيح المكتوب في شكل مطوي:

A2 = An-1…a1a0

وبالتالي، يكفي كتابة الباقي بترتيب عكسي للحصول على الرقم الثنائي المطلوب.

ستكون خوارزمية تحويل رقم عشري صحيح إلى ثنائي كما يلي:

قم بتقسيم الرقم العشري الصحيح الأصلي ونواتج القسمة الصحيحة الناتجة بشكل متسق على قاعدة النظام (على 2) حتى تحصل على حاصل قسمة أقل من المقسوم عليه، أي أقل من 2.

اكتب الأرصدة الناتجة بترتيب عكسي.

على سبيل المثال، فكر في تحويل الرقم العشري 19 إلى رقم ثنائي، وتسجيل النتائج في جدول:

ونتيجة لذلك، نحصل على رقم ثنائي: A2 = a 4 a 3a 2a1 a0 = 100112.

خوارزمية لتحويل الكسور العشرية الصحيحة إلى نظام الأرقام الثنائية. دع A يكون كسرًا عشريًا مناسبًا. في شكلها الموسع لن تكون هناك قوى إيجابية للقاعدة (الرقم 2):

أضف = أ-1*2-1+ أ-2*2-2

في الخطوة الأولى نقوم بضرب الرقم Add في قاعدة النظام الثنائي، أي في 2. وسيكون الناتج مساوياً لـ:

أ-1 +أ-2*2-1+…

الجزء الصحيح سيكون مساوياً لـ a-1

في الخطوة الثانية، نضرب الجزء الكسري المتبقي في 2 مرة أخرى، فنحصل على الجزء الصحيح الذي يساوي a-2

يجب أن تستمر العملية الموصوفة حتى نحصل، نتيجة للضرب، على جزء كسري صفري أو يتم تحقيق دقة الحساب المطلوبة.

من السهل ملاحظة أن تسلسل الأرقام الناتجة يتزامن مع تسلسل أرقام الرقم الثنائي الكسري المكتوب بشكل مطوي:

ستكون خوارزمية تحويل الكسر العشري الصحيح إلى ثنائي كما يلي:

1. قم بضرب الكسر العشري الأصلي والأجزاء الكسرية الناتجة من المنتجات بشكل متسق في قاعدة النظام (بنسبة 2) حتى يتم الحصول على جزء كسري صفري أو يتم تحقيق دقة الحساب المطلوبة.
2. اكتب الأجزاء الكاملة للعمل الناتجة بالتسلسل المباشر.

على سبيل المثال، فكر في تحويل الكسر العشري 0.75 إلى ثنائي، وتسجيل النتائج في جدول:

ونتيجة لذلك، نحصل على كسر ثنائي: A2 = 0، و-1a-2 = 0.112.

يتم تحويل الأرقام من نظام موضعي ذو قاعدة تعسفية p إلى نظام ذي قاعدة q باستخدام خوارزميات مشابهة لتلك التي تمت مناقشتها أعلاه.

لنفكر في خوارزمية تحويل الأعداد الصحيحة باستخدام مثال تحويل العدد الصحيح العشري A10 = 42410 إلى نظام سداسي عشري، أي من نظام أرقام ذو أساس p = 10 إلى نظام أرقام ذو أساس q = 16.

في عملية تنفيذ الخوارزمية، من الضروري الانتباه إلى أنه يجب تنفيذ جميع الإجراءات في نظام الأرقام الأصلي (في هذه الحالة، العشري)، ويجب كتابة الباقي الناتج بأرقام نظام الأرقام الجديد (في في هذه الحالة، الست عشري).

دعونا الآن نفكر في خوارزمية تحويل الأرقام الكسرية باستخدام مثال تحويل الكسر العشري A10 = 0.625 إلى النظام الثماني، أي من نظام أرقام ذو أساس p = 10 إلى نظام أرقام ذو أساس q = 8.

يمكن إجراء تحويل الأرقام بين أنظمة الأرقام التي أساسها قوى العدد 2 (q = 2n) باستخدام خوارزميات أبسط. يمكن استخدام مثل هذه الخوارزميات لتحويل الأرقام بين أنظمة الأرقام الثنائية (q = 21) والثمانية (q = 23) والنظام الست عشري (q = 24).

تحويل الأرقام من الثنائي إلى الثماني. لكتابة أرقام ثنائية، يتم استخدام رقمين، أي أنه في كل رقم من الرقم هناك خياران للكتابة. نحن نحل المعادلة الأسية:

2 = 21. وبما أن 2 يساوي 21، فأنا = 1 بت.

تحتوي كل بتة من الرقم الثنائي على بتة واحدة من معلومات خيار التسجيل. دعونا نحل المعادلة الأسية

8 = 2ط. وبما أن 8 = 23، فإن I = 3 بتات. يحتوي كل متغير من الرقم الثماني على 3 بتات من المعلومات

لذا، لتحويل رقم ثنائي صحيح إلى رقم ثماني، تحتاج إلى تقسيمه إلى مجموعات مكونة من ثلاثة أرقام، من اليمين إلى اليسار، ثم تحويل كل مجموعة إلى رقم ثماني. إذا كانت المجموعة الأخيرة، اليسرى، تحتوي على أقل من ثلاثة أرقام، فيجب استكمالها على اليسار بالأصفار.

دعونا نحول الرقم الثنائي 1010012 إلى الرقم الثماني بهذه الطريقة: 518

لتبسيط الترجمة، يمكنك إعداد جدول مسبقًا لتحويل الثلاثيات الثنائية (مجموعات مكونة من 3 أرقام) إلى أرقام ثماني:

سيكون أقل من أربعة أرقام، فأنت بحاجة إلى حشوه بالأصفار على اليمين.

ثم تحتاج إلى تحويل كل مجموعة إلى رقم سداسي عشري، باستخدام جدول المراسلات المترجم مسبقًا بين الرباعيات الثنائية والأرقام السداسية العشرية.

لنقم بتحويل الرقم الثنائي الصحيح A2 = 1010012 إلى رقم سداسي عشري:

لتحويل رقم ثنائي كسري (كسر مناسب) إلى رقم ثماني، تحتاج إلى تقسيمه إلى ثلاثيات من اليسار إلى اليمين، وإذا كانت المجموعة الأخيرة، اليمنى، تحتوي على أقل من ثلاثة أرقام، أضف أصفارًا إلى اليمين. بعد ذلك، تحتاج إلى استبدال الثلاثيات بأرقام ثمانية.

على سبيل المثال، دعونا نحول الرقم الثنائي الكسري A2 = = 0.1101012 إلى نظام الأرقام الثماني:

نحصل على: A8 = 0.658.

تحويل الأرقام من ثنائي إلى سداسي عشري.

لكتابة أرقام سداسية عشرية، يتم استخدام ستة عشر رقمًا، أي أنه في كل رقم من الرقم هناك 16 خيارًا للكتابة. نحن نحل المعادلة الأسية:

16 = 21. وبما أن 16 = 24، فإن I = 4 بتات.

يحتوي كل رقم من الرقم السداسي العشري على 4 بتات من المعلومات.

وبالتالي، لتحويل رقم ثنائي صحيح إلى رقم سداسي عشري، يجب تقسيمه إلى مجموعات من أربعة أرقام (رباعيات)، بدءًا من اليمين، وإذا كانت المجموعة اليسرى الأخيرة تحتوي على أقل من أربعة أرقام، ضعها على اليسار بالأصفار. لتحويل رقم ثنائي كسري (كسر حقيقي) إلى رقم سداسي عشري، تحتاج إلى تقسيمه إلى رباعيات من اليسار إلى اليمين، وإذا كانت المجموعة اليمنى الأخيرة تحتوي على أقل من 4 أرقام، فأنت بحاجة إلى حشوها بالأصفار على اليمين.

من أجل تحويل أي رقم ثنائي إلى أنظمة أرقام ثماني أو سداسية عشرية، من الضروري إجراء التحويلات باستخدام الخوارزميات التي تمت مناقشتها أعلاه بشكل منفصل لأجزائه الصحيحة والكسرية.

لتحويل الأرقام من أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية إلى أنظمة ثنائية، تحتاج إلى تحويل أرقام الرقم إلى مجموعات من الأرقام الثنائية. للتحويل من ثماني إلى ثنائي، يجب تحويل كل رقم من رقم إلى مجموعة من ثلاثة أرقام ثنائية (ثالوث)، وعند تحويل رقم سداسي عشري، إلى مجموعة من أربعة أرقام (رباعي).

على سبيل المثال، دعونا نحول الرقم الثماني الكسري A8 = 0.478 إلى نظام الأرقام الثنائية:

أنظمة الأرقام

لراحة التحويل اللاحق، تخضع الإشارة المنفصلة الترميز(للاطلاع على الترميز، راجع القسم ترميز الإشارة). تعتمد معظم الرموز على أنظمة الأرقام، علاوة على ذلك، باستخدام المبدأ الموضعي لتكوين الأرقام، حيث تعتمد قيمة كل رقم على موضعه في الرقم.

مثال على الشكل الموضعي لكتابة الأرقام هو الذي نستخدمه (ما يسمى بالشكل العربي للأرقام). لذلك، في الرقمين 123 و 321، يتم تحديد معنى الرقم 3، على سبيل المثال، من خلال موقعه في الرقم: في الحالة الأولى، يعني ثلاث وحدات (أي ثلاث فقط)، وفي الثانية، ثلاث وحدات مئات (أي ثلاثمائة).

ثم يتم الحصول على العدد الإجمالي بالصيغة:

أين ل –تم تقليل عدد أرقام الرقم بمقدار 1 ،

أنا- ترتيب التفريغ،

م- قاعدة نظام الأرقام،

أ أنا- مضاعف يأخذ أي قيمة عددية من 0 إلى م-1 والرقم المقابل أنا-الترتيب من الرقم.

على سبيل المثال، للعلامة العشرية ( م= 10) من الرقم 345 يتم حساب قيمته الكاملة بالصيغة:

3*10 2 + 4*10 1 + 5*10 0 = 345.

الأرقام الرومانية هي مثال على نظام شبه موضعي لتكوين الأرقام: وبالتالي، في الرقمين IX وXI، تشير العلامة I في كلتا الحالتين إلى واحد (علامة على نظام غير موضعي)، ولكن كونها تقع على يسار العلامة X (التي تشير إلى عشرة) تطرح من عشرة، وعندما تكون على اليمين تضاف إلى عشرة. في الحالة الأولى، القيمة الكاملة للرقم هي 9، في الحالة الثانية - 11.

في علوم الكمبيوتر الحديثة، هناك ثلاثة أنظمة أرقام (جميعها موضعية): ثنائي، سداسي عشري، وعشري.

نظام الأرقام الثنائيةيستخدم لتشفير إشارة منفصلة، المستهلك منها هو تكنولوجيا الكمبيوتر. لقد تطورت هذه الحالة تاريخيًا، نظرًا لأنه من الأسهل تمثيل الإشارة الثنائية على مستوى الأجهزة. في نظام الأرقام هذا، يتم استخدام علامتين لتمثيل الأرقام - 0 و1.

نظام الأرقام السداسي العشرييستخدم لتشفير إشارة منفصلة، يكون مستهلكها مستخدمًا مدربًا جيدًا - متخصصًا في مجال علوم الكمبيوتر. يمثل هذا النموذج محتويات أي ملف يتم طلبه من خلال أغلفة نظام التشغيل المتكاملة، على سبيل المثال، باستخدام Norton Commander في حالة MS DOS. الأحرف المستخدمة لتمثيل الرقم هي أرقام عشرية من 0 إلى 9 وأحرف الأبجدية اللاتينية - A، B، C، D، E، F.

نظام الأعداد العشريةيتم استخدامه لتشفير إشارة منفصلة، والمستهلك هو ما يسمى بالمستخدم النهائي - وهو غير متخصص في مجال علوم الكمبيوتر (من الواضح أن أي شخص يمكنه التصرف كمستهلك). الرموز المستخدمة لتمثيل الرقم هي أرقام من 0 إلى 9.

لتمييز أنظمة الأرقام التي يتم فيها تمثيل الأرقام، يتم تقديم تفاصيل إضافية في تعيين الأرقام الثنائية والست عشرية:

بالنسبة للأرقام الثنائية - الرمز الموجود على يمين الرقم على شكل الرقم 2 أو الحروف B أو b (ثنائي)، أو العلامة B أو b على يمين الرقم. على سبيل المثال، 101000 2 = 101000 ب = 101000 ب = 101000 ب = 101000 ب؛

بالنسبة للأرقام السداسية العشرية - الحرف الموجود على يمين الرقم على شكل الرقم 16 أو الحروف H أو h (سداسي عشري - سداسي عشري)، أو علامة H أو h على يمين الرقم. على سبيل المثال، 3AB 16 = 3AB H = 3AB h = 3ABH = 3ABh.

هناك قواعد معينة لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر. وهي تختلف اعتمادًا على تنسيق الرقم - الكسر الكامل أو الصحيح. بالنسبة للأعداد الحقيقية، يتم استخدام مجموعة من قواعد التحويل للعدد الصحيح والكسر المناسب

قواعد تحويل الأعداد الصحيحة

نتيجة تحويل عدد صحيح دائماً هو عدد صحيح.

التحويل من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي والست عشري:

أ) يتم تقسيم العدد الصحيح الأصلي على أساس نظام الأرقام الذي يتم ترجمته إليه (على 2 - عند التحويل إلى نظام الأرقام الثنائية أو على 16 - عند التحويل إلى نظام سداسي عشري)؛ يتم الحصول على الحاصل والباقي.

ب) إذا كان حاصل القسمة أقل من أساس نظام الأرقام الذي يتم التحويل إليه، تتوقف عملية القسمة، انتقل إلى الخطوة ج). وبخلاف ذلك، يتم تنفيذ الإجراءات الموضحة في الخطوة أ) على حاصل القسمة.

ج) يتم تحويل جميع البقايا المستلمة والحاصل الأخير وفقًا لجدول التحويل إلى أرقام نظام الأرقام الذي يتم التحويل إليه؛

د) يتم تكوين الرقم الناتج: أعلى رقم له هو آخر ناتج تم الحصول عليه، ويتكون كل رقم منخفض لاحق من باقي القسمة الناتجة، بدءًا من الأخير وانتهاءً بالأول. وبالتالي، فإن الرقم الأقل أهمية من الرقم الناتج هو أول باقي القسمة، والرقم الأعلى هو خارج القسمة الأخير.

مثال 1 . تحويل الرقم 19 إلى نظام الأرقام الثنائية:

وبالتالي 19 = 10011 2.

مثال 2 . تحويل الرقم 19 إلى نظام الأرقام الست عشري:

وبالتالي، 19 = 13 16.

مثال 3. تحويل الرقم 123 إلى نظام الأرقام الست عشري:

هنا يتم تحويل الباقي 11 إلى رقم سداسي عشري B) وبعد ذلك يتم تضمين هذا الرقم في الرقم. وبالتالي، 123 = 7V 16.

التحويل من أنظمة الأرقام الثنائية والست عشرية إلى النظام العشري.

في هذه الحالة، يتم حساب القيمة الكاملة للرقم باستخدام معروف معادلة.

مثال 4. تحويل الرقم 13 16 إلى نظام الأرقام العشري. لدينا:

13 16 = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.

وبالتالي، 13 16 = 19.

مثال 5. تحويل الرقم 10011 2 إلى نظام الأرقام العشري. لدينا:

10011 2 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.

وبالتالي، 10011 2 = 19.

أ) ينقسم الرقم الأصلي إلى رباعيات (أي 4 أرقام)، بدءاً من الأرقام الأقل أهمية. إذا كان عدد أرقام الرقم الثنائي الأصلي ليس من مضاعفات الرقم 4، فسيتم حشوه على اليسار بأصفار ضئيلة حتى يتم تحقيق مضاعف الرقم 4؛

ب) سيتم استبدال كل رباعية بالرقم السداسي العشري المقابل وفقًا لـ طاولة.

عدد ثنائي	رقم سداسي عشري

مثال 6. تحويل الرقم 10011 2 إلى نظام الأرقام الست عشري.

بما أن عدد الأرقام في الرقم الثنائي الأصلي ليس من مضاعفات الرقم 4، فإننا نكمله على اليسار بأصفار ضئيلة حتى يصل عدد الأرقام من مضاعفات الرقم 4. لدينا:

وفقا لل طاولة 0011 2 = 11 2 = 3 16 و 0001 2 = 1 2 = 1 16 .

ثم 10011 2 = 13 16.

التحويل من الثنائي إلى الثماني

على غرار خوارزمية التحويل من ثنائي إلى سداسي عشري، يتم تقسيم الرقم الأصلي فقط إلى ثلاثيات. طاولة

عدد ثنائي	رقم سداسي عشري

أ) يتم استبدال كل رقم من الرقم الأصلي برباعية من الأرقام الثنائية وفقًا لـ طاولة. إذا كان الرقم الثنائي في الجدول يحتوي على أقل من 4 أرقام، فسيتم حشوه على اليسار بأصفار غير مهمة للرباعيات؛

ب) يتم التخلص من الأصفار غير المهمة في الرقم الناتج.

مثال 7. تحويل الرقم 13 16 إلى نظام الأرقام الثنائية.

بواسطة طاولةلدينا:

1 16 = 1 2 وبعد الحشو بأصفار ضئيلة من الرقم الثنائي 1 2 = 0001 2؛

3 16 = 11 2 وبعد الحشو بأصفار ضئيلة من الرقم الثنائي 11 2 = 0011 2.

ثم 13 16 = 00010011 2. بعد إزالة الأصفار غير المهمة يصبح لدينا 13 16 = 10011 2.

من الثماني إلى الثنائي هو نفسه.

قواعد تحويل الكسور الصحيحة

تذكر أن الكسر الصحيح يحتوي على جزء صحيح صفر، أي. بسطه أقل من مقامه.

نتيجة تحويل الكسر الصحيح دائماً جزء الصحيح.

التحويل من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي والست عشري:

أ) يتم ضرب الكسر الأصلي بأساس نظام الأرقام الذي تم تحويله إليه (2 أو 16)؛

ب) في المنتج الناتج، يتم تحويل الجزء الصحيح إلى رقم من نظام الأرقام المطلوب ويتم التخلص منه - وهو أعلى رقم في الكسر الناتج؛

ج) يتم ضرب الجزء الكسري المتبقي (هذا هو الكسر الصحيح) مرة أخرى بالقاعدة المطلوبة لنظام الأرقام، تليها معالجة المنتج الناتج وفقًا للخطوات أ) و ب)؛

د) يستمر إجراء الضرب حتى يتم الحصول على نتيجة صفرية في الجزء الكسري من المنتج أو الوصول إلى العدد المطلوب من الأرقام في النتيجة؛

هـ) يتم تكوين الرقم المطلوب: الأرقام التي تم تجاهلها تسلسلياً في الخطوة ب) تشكل الجزء الكسري من النتيجة، وبترتيب تنازلي للأسبقية.

مثال 1 . تحويل الرقم 0.847 إلى نظام الأرقام الثنائية. تحويل إلى أربعة أرقام هامة بعد العلامة العشرية.

وبالتالي 0.847 = 0.1101 2.

في هذا المثال، تمت مقاطعة إجراء الترجمة في الخطوة الرابعة لأنه تم استلام العدد المطلوب من أرقام النتيجة. ومن الواضح أن هذا أدى إلى فقدان عدد من الشخصيات.

مثال 2. تحويل الرقم 0.847 إلى نظام الأرقام الست عشري. تحويل إلى ثلاثة أرقام كبيرة.

في هذا المثال، تمت مقاطعة إجراء النقل أيضًا.

وبالتالي، 0.847 = 0.D8D 16.

ترجمة من أنظمة الأرقام الثنائية والست عشرية إلى النظام العشري.

في هذه الحالة، يتم حساب القيمة الكاملة للرقم بواسطة معادلة، والمعاملات أ أناخذ القيمة العشرية

مثال 3 . التحويل من نظام الأرقام الثنائية إلى الرقم العشري 0.1101 2.

0,1101 2 = 1*2 -1 + 1*2 -2 + 0*2 -3 +1*2 -4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.

مثال 1) يرجع إلى حقيقة مقاطعة إجراء التحويل إلى جزء ثنائي.

وبالتالي 0.1101 2 = 0.8125.

مثال 4 . التحويل من نظام الأرقام السداسي العشري إلى الرقم العشري 0,D8D 16.

0.D8D 16 = 13*16 -1 + 8*16 -2 + 13*16 -3 = 13*0.0625 + 8*0.003906 + 13* 0.000244 = 0.84692.

التناقض بين النتيجة التي تم الحصول عليها والرقم الأصلي (انظر. مثال 2) يرجع إلى حقيقة مقاطعة إجراء التحويل إلى الكسر السداسي العشري.

وبالتالي، 0.D8D 16 = 0.84692.

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام الست عشري:

أ) ينقسم الكسر الأصلي إلى رباعيات، بدءًا من موضع العلامة العشرية إلى اليمين. إذا كان عدد أرقام الجزء الكسري من الرقم الثنائي الأصلي ليس من مضاعفات 4، فسيتم حشوه على اليمين بأصفار ضئيلة حتى يتم تحقيق مضاعف 4؛

ب) يتم استبدال كل رباعية برقم سداسي عشري وفقًا لـ طاولة.

مثال 5 . التحويل من نظام الأرقام الثنائية إلى الرقم الست عشري 0.1101 2.

وفقا لل طاولة 1101 2 = د 16. ثم 0.1101 2 = 0.د 16.

مثال 6 . التحويل من نظام الأرقام الثنائية إلى الرقم الست عشري 0.0010101 2.

بما أن عدد أرقام الجزء الكسري ليس من مضاعفات 4، فإننا نضيف صفرًا ضئيلًا إلى اليمين:

وفقا لل طاولة 0010 2 = 10 2 = 2 16 و 1010 2 = أ 16.

ثم 0.0010101 2 = 0.2 أ 16.

التحويل من النظام الست عشري إلى الثنائي:

أ) يتم استبدال كل رقم من الكسر الأصلي برباعية من الأرقام الثنائية وفقًا لـ طاولة;

ب) يتم التخلص من الأصفار غير الهامة.

مثال 7 . التحويل من نظام الأرقام السداسي العشري إلى الرقم الثنائي 0.2A 16.

بواسطة طاولةلدينا 2 16 = 0010 2 و أ 16 = 1010 2.

ثم 0.2 أ 16 = 0.00101010 2.

ونتيجة لذلك، نتجاهل الصفر التافه ونحصل على الإجابة النهائية: 0.2أ 16 = 0.0010101 2

قاعدة تحويل الكسور (الكسور غير النظامية)

تذكر أن الكسر غير الحقيقي يحتوي على جزء كسري غير الصفر، أي. بسطه أكبر من مقامه.

نتيجة تحويل الكسر غير السليم دائماً جزء غير لائق.

عند الترجمة، تتم ترجمة الجزء الكامل من الرقم بشكل منفصل، والجزء الكسري بشكل منفصل. النتائج تضيف ما يصل.

مثال 1 . التحويل من نظام الأرقام العشري إلى الرقم الست عشري 19.847. تتم الترجمة إلى ثلاثة أرقام معنوية بعد العلامة العشرية.

لنتخيل الرقم الأصلي كمجموع عدد صحيح وكسر مناسب:

19,847 = 19 + 0,847.

على النحو التالي من مثال 2قسم تحويل عدد صحيح 19 = 13 16، ووفقا ل مثال 2قسم ترجمة الكسور المناسبة 0.847 = 0.D8D 16.

إذن لدينا:

19 + 0.847 = 13 16 + 0.D8D 16 = 13.D8D 16 .

وبالتالي 19.847 = 13.D8D 16.

قواعد إجراء العمليات الحسابية البسيطة

تتبع العمليات الحسابية للأرقام الثنائية والست عشرية نفس القواعد المتبعة في الأرقام العشرية المألوفة للقارئ. دعونا نلقي نظرة على أمثلة على إجراء العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح والضرب للأعداد الصحيحة.

قواعد الإضافة

يبدو جدول إضافة الأرقام الثنائية كما يلي (يتم تمييز القيم الإجمالية باللون الأصفر):

مثال 1 . يطوى الثنائيةالأرقام 1101 و 11011.

يتم وصف عملية تكوين المجموع بالأرقام أدناه:

أ) المرتبة 1: 1 2 + 1 2 = 10 2؛ يبقى 0 في البتة 1، ويتم نقل 1 إلى البتة 2؛

ب) الرقم 2: 0 2 + 1 2 + 1 2 = 10 2، حيث الثاني 1 2 هو وحدة الحمل؛ يبقى 0 في البتة 2، ويتم نقل 1 إلى البتة 3؛

ج) الرقم 3: 1 2 + 0 2 + 1 2 = 10 2، حيث الثاني 1 2 هو وحدة الحمل؛ يبقى 0 في البتة 3، ويتم نقل 1 إلى البتة 4؛

د) الرقم 4: 1 2 + 1 2 + 1 2 = 11 2، حيث الثالث 1 2 هو وحدة الحمل؛ يبقى 1 في الرقم 4، ويتم نقل 1 إلى الرقم 5؛

هـ) المرتبة 5: 1 2 + 1 2 = 10 2؛ حيث الثانية 1 2 هي وحدة النقل؛ يبقى 0 في البت 5، ويتم نقل 1 إلى البت 6.

وبالتالي: 1 1 0 1 2 +1 1 0 1 1 2 = 10 1 0 0 0 2 .

دعونا نتحقق من النتيجة. للقيام بذلك، نحدد القيم الكاملة للمصطلحات والمبالغ (انظر. تحويل عدد صحيح):

1101 2 = 1*2 3 +1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 1 = 13;

11011 2 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 32 + 8 = 40.

بما أن 13 + 27 = 40، فإن عملية الجمع الثنائية صحيحة.

يبدو جدول إضافة بعض الأرقام السداسية العشرية كما يلي (تتوافق تسميات الصفوف والأعمدة مع المصطلحات):

مثال 2 . يطوى السداسي عشريالأرقام 1C و7B.

لنكتب المصطلحات في عمود ونقوم بترقيم الأرقام، مع تعيين الرقم الأقل أهمية وهو 1:

عملية توليد النتيجة بالأرقام باستخدام المعطى الجداولهو موضح أدناه:

أ) الفئة 1: ج 16 + ب 16 = 17 16؛ 7 يبقى في المرتبة 1؛ يتم نقل 1 إلى الرقم 2؛

ب) الرقم 2: 16 1 + 16 7 + 16 1 = 16 9، حيث الرقم 16 1 الثاني هو وحدة الحمل.

وبالتالي: 1 ج 16 + 7 ب 16 = 7 9 16.

دعونا نتحقق من النتيجة. للقيام بذلك، نحدد القيم الكاملة للمصطلحات والنتيجة (انظر. تحويل عدد صحيح):

1ج 16 = 1*16 1 + 12*16 0 = 16 + 12 = 28;

7ب 16 = 7*16 1 + 11*16 0 = 112 + 11 = 123;

97 16 = 9*16 1 + 7*16 0 = 144 + 7 = 151.

بما أن 28 + 123 = 151، فالجمع صحيح.

قواعد الطرح

عند الطرح، يتم استخدام جداول الجمع المذكورة سابقا.

مثال 3 . اطرح من الثنائيةالأرقام 101 الثنائيةرقم 11.