كيفية التحويل من 16 إلى ثنائي. تحويل الأرقام إلى أنظمة الأعداد الثنائية والست عشرية والعشرية والثمانية

طرق تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر.

تحويل الأرقام من نظام أرقام موضعية إلى آخر: تحويل الأعداد الصحيحة.

لتحويل عدد صحيح من نظام أرقام ذو الأساس d1 إلى نظام آخر ذو الأساس d2، يجب عليك تقسيم هذا الرقم ونواتج القسمة الناتجة بشكل تسلسلي على الأساس d2 للنظام الجديد حتى تحصل على حاصل قسمة أقل من الأساس d2. الحاصل الأخير هو أعلى رقم من الرقم الموجود نظام جديدالأرقام ذات الأساس d2، والأرقام التي تليها هي بقايا القسمة، مكتوبة بترتيب عكسي لاستلامها. إجراء العمليات الحسابية في نظام الأرقام الذي يُكتب فيه الرقم الذي تتم ترجمته.

مثال 1. تحويل الرقم 11(10) إلى النظام الثنائيالحساب.

الجواب: 11(10)=1011(2).

مثال 2. تحويل الرقم 122(10) إلى نظام الأرقام الثماني.

الجواب: 122(10)=172(8).

مثال 3. تحويل الرقم 500(10) إلى نظام الأرقام الست عشري.

الجواب: 500(10)=1F4(16).

تحويل الأرقام من نظام أرقام موضعي إلى آخر: تحويل الكسور المناسبة.

لتحويل كسر مناسب من نظام أرقام ذو أساس d1 إلى نظام ذو أساس d2، من الضروري ضرب الكسر الأصلي والأجزاء الكسرية للنواتج الناتجة بالتسلسل بأساس نظام الأرقام الجديد d2. يتم تشكيل الكسر الصحيح للرقم في نظام الأرقام الجديد ذو الأساس d2 في شكل أجزاء صحيحة من المنتجات الناتجة، بدءًا من الأول.
إذا نتج عن الترجمة كسر على شكل سلسلة لا نهائية أو متباعدة، فيمكن إكمال العملية عند تحقيق الدقة المطلوبة.

عند ترجمة الأعداد المختلطة، من الضروري ترجمة الأجزاء الصحيحة والكسرية بشكل منفصل إلى نظام جديد وفقًا لقواعد ترجمة الأعداد الصحيحة والكسور الصحيحة، ثم دمج كلتا النتيجتين في رقم مختلط واحد في نظام الأرقام الجديد.

مثال 1. تحويل الرقم 0.625(10) إلى نظام الأرقام الثنائية.

الجواب: 0.625(10)=0.101(2).

مثال 2. تحويل الرقم 0.6(10) إلى نظام الأرقام الثماني.

الجواب: 0.6(10)=0.463(8).

مثال 2. تحويل الرقم 0.7(10) إلى نظام الأرقام الست عشري.

الجواب: 0.7(10)=0.B333(16).

ترجمة ثنائية وثمانية و أرقام سداسية عشريةإلى نظام الأرقام العشرية.

لتحويل رقم من النظام P-ary إلى رقم عشري، يجب عليك استخدام صيغة التوسيع التالية:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

مثال 1. تحويل الرقم 101.11(2) إلى نظام الأرقام العشري.

الجواب: 101.11(2)= 5.75(10) .

مثال 2. تحويل الرقم 57.24(8) إلى نظام الأرقام العشري.

الجواب: 57.24(8) = 47.3125(10) .

مثال 3. تحويل الرقم 7A,84(16) إلى نظام الأرقام العشري.

الجواب: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

تحويل الأرقام الثمانية والست عشرية إلى نظام الأرقام الثنائية والعكس.

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثماني إلى نظام ثنائي، يجب كتابة كل رقم من هذا الرقم كرقم ثنائي مكون من ثلاثة أرقام (ثالوث).

مثال: اكتب الرقم 16.24(8) في نظام الأرقام الثنائية.

الجواب: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

لتحويل رقم ثنائي مرة أخرى إلى نظام الأرقام الثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم الأصلي إلى ثلاثيات على يسار ويمين العلامة العشرية وتمثيل كل مجموعة برقم في نظام الأرقام الثماني. يتم استكمال الثلاثيات غير المكتملة القصوى بالأصفار.

مثال: اكتب الرقم 1110.0101(2) في نظام الأرقام الثماني.

الجواب: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

لتحويل رقم من نظام الأرقام السداسي العشري إلى النظام الثنائي، تحتاج إلى كتابة كل رقم من هذا الرقم كرقم ثنائي مكون من أربعة أرقام (رباعي).

مثال: اكتب الرقم 7A,7E(16) في نظام الأرقام الثنائية.

الجواب: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

ملاحظة: لا تتم كتابة الأصفار البادئة على اليسار للأعداد الصحيحة وعلى اليمين للكسور.

لتحويل رقم ثنائي مرة أخرى إلى نظام الأرقام السداسي العشري، تحتاج إلى تقسيم الرقم الأصلي إلى رباعيات على يسار ويمين العلامة العشرية وتمثيل كل مجموعة برقم نظام سداسي عشريالحساب. يتم استكمال الثلاثيات غير المكتملة القصوى بالأصفار.

مثال: اكتب الرقم 1111010.0111111(2) بنظام الأرقام الست عشري.

ملاحظة 1

إذا كنت ترغب في تحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر، فمن الملائم أكثر تحويله أولاً إلى نظام الأرقام العشري، وبعد ذلك فقط تحويله من نظام الأرقام العشري إلى أي نظام أرقام آخر.

قواعد تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام عشري

في تكنولوجيا الكمبيوترباستخدام الحساب الآلي، يلعب تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر دورًا مهمًا. أدناه نقدم القواعد الأساسية لمثل هذه التحولات (الترجمات).

عند تحويل رقم ثنائي إلى رقم عشري، يجب تمثيله عدد ثنائيفي شكل كثيرة الحدود، يتم تمثيل كل عنصر منها كمنتج لرقم من الرقم والقوة المقابلة للرقم الأساسي، في في هذه الحالة$2$، ثم تحتاج إلى حساب كثير الحدود باستخدام قواعد الحساب العشري:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

الشكل 1. الجدول 1

مثال 1

تحويل الرقم $11110101_2$ إلى نظام الأرقام العشري.

حل.باستخدام الجدول الموضح لقوى $1$ للأساس $2$، فإننا نمثل الرقم باعتباره متعدد الحدود:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثماني إلى نظام الأرقام العشرية، تحتاج إلى تمثيله على أنه متعدد الحدود، حيث يتم تمثيل كل عنصر منه على أنه حاصل ضرب رقم من الرقم والقوة المقابلة للرقم الأساسي، في هذا الحالة $8$، ثم تحتاج إلى حساب كثير الحدود وفقًا لقواعد الحساب العشري:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

الشكل 2. الجدول 2

مثال 2

تحويل الرقم $75013_8$ إلى نظام الأرقام العشرية.

حل.باستخدام الجدول الموضح لقوى $2$ للأساس $8$، فإننا نمثل الرقم باعتباره متعدد الحدود:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

لتحويل رقم من النظام السداسي العشري إلى النظام العشري، تحتاج إلى تمثيله على أنه متعدد الحدود، حيث يتم تمثيل كل عنصر منه على أنه حاصل ضرب رقم من الرقم والقوة المقابلة للرقم الأساسي، في هذه الحالة $16$، ثم تحتاج إلى حساب كثير الحدود وفقًا لقواعد الحساب العشري:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

الشكل 3. الجدول 3

مثال 3

تحويل الرقم $FFA2_(16)$ إلى نظام الأرقام العشرية.

حل.باستخدام الجدول الموضح لقوى $3$ للأساس $8$، فإننا نمثل الرقم باعتباره متعدد الحدود:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قواعد تحويل الأرقام من نظام الأرقام العشرية إلى نظام آخر

لتحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي، يجب قسمته بالتسلسل على $2$ حتى يتبقى أقل من أو يساوي $1$. يتم تمثيل الرقم في النظام الثنائي كتسلسل للنتيجة الأخيرة للقسمة وبقية القسمة بترتيب عكسي.

مثال 4

تحويل الرقم $22_(10)$ إلى نظام الأرقام الثنائية.

حل:

الشكل 4.

$22_{10} = 10110_2$

لتحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثماني، يجب قسمته بالتسلسل على $8$ حتى يتبقى أقل من أو يساوي $7$. يتم تمثيل الرقم في نظام الأرقام الثماني كسلسلة من أرقام نتيجة القسمة الأخيرة وبقية القسمة بترتيب عكسي.

مثال 5

قم بتحويل الرقم $571_(10)$ إلى نظام الأرقام الثماني.

حل:

الشكل 5.

$571_{10} = 1073_8$

لتحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى النظام السداسي العشري، يجب قسمته على التوالي على $16$ حتى يتبقى أقل من أو يساوي 15$. يتم تمثيل الرقم في النظام السداسي العشري كسلسلة من أرقام نتيجة القسمة الأخيرة وبقية القسمة بترتيب عكسي.

مثال 6

تحويل الرقم $7467_(10)$ إلى نظام الأرقام الست عشري.

حل:

الشكل 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

من أجل تحويل كسر مناسب من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام غير عشري، من الضروري مضاعفة الجزء الكسري من الرقم الذي يتم تحويله بالتسلسل بقاعدة النظام الذي يحتاج إلى التحويل إليه. سيتم تمثيل الكسور في النظام الجديد كأجزاء كاملة من المنتجات، بدءًا من الأولى.

على سبيل المثال: $0.3125_((10))$ في نظام الأرقام الثماني سيبدو مثل $0.24_((8))$.

في هذه الحالة، قد تواجه مشكلة عندما يكون الكسر العشري المحدود مطابقًا لكسر لا نهائي (دوري) في النظام العشريالحساب. وفي هذه الحالة فإن عدد أرقام الكسر الممثل في النظام الجديد سيعتمد على الدقة المطلوبة. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الأعداد الصحيحة تظل أعدادًا صحيحة، والكسور الصحيحة تظل كسورًا في أي نظام أرقام.

قواعد تحويل الأرقام من نظام الأرقام الثنائية إلى آخر

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم ثماني، يجب تقسيمه إلى ثلاثيات (ثلاثية أرقام)، بدءًا من الرقم الأقل أهمية، وإذا لزم الأمر، إضافة أصفار إلى الثالوث البادئ، ثم استبدال كل ثلاثية بالرقم الثماني المقابل وفقا للجدول 4.

الشكل 7. الجدول 4

مثال 7

تحويل الرقم $1001011_2$ إلى نظام الأرقام الثماني.

حل. باستخدام الجدول 4، نقوم بتحويل الرقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم ثماني:

$001 001 011_2 = 113_8$

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم سداسي عشري، يجب تقسيمه إلى رباعيات (أربعة أرقام)، بدءًا من الرقم الأقل أهمية، وإذا لزم الأمر، إضافة أصفار إلى الرباعيات الأكثر أهمية، ثم استبدال كل رباعية بالرقم الثماني المقابل وفقا للجدول 4.

تتيح لك الآلة الحاسبة تحويل الأعداد الصحيحة والكسرية من نظام أرقام إلى آخر. لا يمكن أن يكون أساس نظام الأرقام أقل من 2 وأكثر من 36 (10 أرقام و26 حرفًا لاتينيًا). يجب ألا يتجاوز طول الأرقام 30 حرفًا. للدخول أرقام كسريةاستخدم الرمز. أو، . لتحويل رقم من نظام إلى آخر، أدخل الرقم الأصلي في الحقل الأول، الجذر النظام الأصليالرقم في الحقل الثاني وقاعدة نظام الأرقام الذي تريد تحويل الرقم إليه في الحقل الثالث، ثم انقر فوق الزر "الحصول على السجل".

الرقم الأصلي مكتوب في 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.

أريد الحصول على رقم مكتوب 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.

الحصول على الدخول

الترجمات المنجزة: 1363703

أنظمة الأرقام

تنقسم أنظمة الأرقام إلى نوعين: الموضعيةو ليس موضعيا. نحن نستخدم النظام العربي، وهو موضعي، ولكن هناك أيضًا النظام الروماني - وهو ليس موضعيًا. في الأنظمة الموضعيةيحدد موضع الرقم في الرقم قيمة هذا الرقم بشكل فريد. من السهل فهم ذلك من خلال النظر إلى بعض الأرقام كمثال.

مثال 1. لنأخذ الرقم 5921 في نظام الأرقام العشري. لنرقم الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:

يمكن كتابة الرقم 5921 بالشكل التالي: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . الرقم 10 هو الخاصية التي تحدد نظام الأرقام. يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.

مثال 2. النظر في الحقيقي عدد عشري 1234.567. لنرقمها ابتداءً من موقف الصفرالأرقام من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:

يمكن كتابة الرقم 1234.567 بالشكل التالي: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

معظم بطريقة بسيطةتحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر هو تحويل الرقم أولاً إلى نظام أرقام عشري، ثم النتيجة الناتجة إلى نظام الأرقام المطلوب.

تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري

لتحويل رقم من أي نظام أرقام إلى نظام عشري، يكفي ترقيم أرقامه، بدءًا من الصفر (الرقم الموجود على يسار العلامة العشرية) كما في المثالين 1 أو 2. فلنوجد مجموع حاصل ضرب الأرقام من الرقم بقاعدة نظام الأرقام إلى قوة موضع هذا الرقم:

1. تحويل الرقم 1001101.1101 2 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
إجابة: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. تحويل الرقم E8F.2D 16 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
إجابة: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، يجب تحويل الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم بشكل منفصل.

تحويل جزء صحيح من رقم من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر

يتم تحويل الجزء الصحيح من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق قسمة الجزء الصحيح من الرقم بالتسلسل على أساس نظام الأرقام حتى يتم الحصول على باقي كامل أقل من أساس نظام الأرقام. وستكون نتيجة الترجمة عبارة عن سجل للباقي، بدءًا من الترجمة الأخيرة.

3. تحويل الرقم 273 10 إلى نظام الأرقام الثماني.
حل: 273 / 8 = 34 والباقي 1. 34 / 8 = 4 والباقي 2. 4 أقل من 8، وبذلك تكون العملية الحسابية قد اكتملت. سيبدو السجل من الأرصدة كما يلي: 421
فحص: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، النتيجة واحدة. وهذا يعني أن الترجمة تمت بشكل صحيح.
إجابة: 273 10 = 421 8

دعونا نفكر في ترجمة الكسور العشرية العادية إلى أنظمة أرقام مختلفة.

تحويل الجزء الكسري من رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

تذكر أن الكسر العشري الصحيح يسمى عدد حقيقي مع جزء صحيح صفر. لتحويل هذا الرقم إلى نظام أرقام ذو الأساس N، تحتاج إلى ضرب الرقم بالتسلسل في N حتى جزءلن يتم إعادة التعيين أو لن يتم استلام العدد المطلوب من الأرقام. إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ الجزء الصحيح في الاعتبار بشكل أكبر، حيث يتم إدخاله بالتسلسل في النتيجة.

4. تحويل الرقم 0.125 10 إلى نظام الأرقام الثنائية.
حل: 0.125·2 = 0.25 (0 هو الجزء الصحيح الذي سيصبح الرقم الأول من النتيجة)، 0.25·2 = 0.5 (0 هو الرقم الثاني من النتيجة)، 0.5·2 = 1.0 (1 هو الرقم الثالث من النتيجة، وبما أن الجزء الكسري هو صفر، فقد اكتملت الترجمة).
إجابة: 0.125 10 = 0.001 2

هل هناك أي صعوبات أو سوء فهم عند تحويل الأرقام من النظام الثنائي إلى النظام الست عشري؟ قم بالتسجيل معي للحصول على دروس فردية في علوم الكمبيوتر وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات. في دروسنا الخاصة، لا نقوم أنا وطلابي بتحليل الجزء النظري فحسب، بل نقوم أيضًا بحل عدد هائل من التمارين المواضيعية المختلفة.

أنت بحاجة إلى معرفة ما هو نظام الأرقام الثنائية أو الثنائية

قبل التفكير في كيفية تحويل رقم من 2 إلى 16، يجب أن يكون لديك فهم جيد للأرقام الموجودة في نظام الأرقام الثنائية. دعني أذكرك أن أبجدية نظام الأرقام الثنائية تتكون من عنصرين صالحين - 0 و 1 . هذا يعني أن أي رقم مكتوب على الإطلاق الثنائية، سيتكون من مجموعة من الأصفار والآحاد. فيما يلي أمثلة على الأرقام المكتوبة بالتمثيل الثنائي: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

عليك أن تعرف ما هو نظام الأرقام السداسي العشري

لقد اكتشفنا النظام الثنائي، وتذكرنا النقاط الأساسية، والآن دعونا نتحدث عن النظام السداسي العشري. تتكون الأبجدية لنظام الأرقام السداسي العشري من ستة عشر حرفًا مختلفًا: 10 أرقام عربية (من 0 إلى 9) و6 أحرف لاتينية كبيرة (من "A" إلى "F"). هذا يعني أن أي رقم مكتوب بالنظام الست عشري سيتكون من أحرف من الأبجدية المذكورة أعلاه. فيما يلي أمثلة على الأرقام المكتوبة بالتدوين السداسي العشري:

810 أ

FCDF

198303

100FF0

لنتحدث عن خوارزمية تحويل الرقم من 2 إلى نظام الأرقام السداسي العشري

سوف نحتاج في إلزاميالنظر في جدول الترميز Tetrad. بدون استخدام هذا الجدول، سيكون من الصعب جدًا تحويل الأرقام بسرعة من نظام 2 إلى 16.

الغرض من جدول ترميز Tetrad هو المطابقة الفريدة لرموز نظام الأرقام الثنائية ونظام الأرقام السداسي العشري.

يحتوي جدول Tetrad على البنية التالية:

جدول تتراد
0000 - 0	0001 - 1	0010 - 2	0011 - 3	0100 - 4	0101 - 5	0110 - 6	0111 - 7
1000 - 8	1001 - 9	1010 - أ	1011 - ب	1100 - ج	1101 - د	1110 - ه	1111 - F

لنفترض أننا بحاجة إلى تحويل الرقم 10101111001010 2 إلى رقم سداسي عشري. بادئ ذي بدء ، أنت بحاجة إلى الأصل الكود الثنائيمقسمة إلى مجموعات من أربع فئات، وهو أمر مهم للغاية، يجب أن يبدأ التقسيم بالضرورة من اليمين إلى اليسار.

101 . 0111 . 1100 . 1010

بعد التقسيم حصلنا على أربع مجموعات: 101، 0111، 1100 و 1010. الجزء الموجود في أقصى اليسار يتطلب عناية خاصة، أي الجزء 101. وكما ترون، طوله هو 3 أرقام، ومن الضروري أن يكون طوله مساوياً لـ أربعة، لذلك، سوف نضيف هذا الجزءصفر بادئ:

101 -> 0 101.

أخبرني، على أي أساس نضيف 0 إلى يسار الرقم؟ والحقيقة هي أن إضافة أصفار ضئيلة ليس له أي تأثير على قيمة الرقم الأصلي. لذلك لدينا كل الحقأضف ليس فقط صفرًا واحدًا إلى يسار الرقم الثنائي، ولكن من حيث المبدأ أي عدد من الأصفار واحصل على رقم بالطول المطلوب.

على المرحلة الأخيرةالتحويل، من الضروري تحويل كل مجموعة من المجموعات الثنائية الناتجة إلى القيمة المقابلة وفقًا لجدول ترميز Tetrad.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> ج

1010 -> أ

101011111001010 2 = 57CA 16

والآن أقترح عليك التعرف على حل الوسائط المتعددة، والذي يوضح كيفية تحويلها من الحالة الثنائية إلى الحالة السداسية العشرية:

استنتاجات موجزة

في هذا المقال القصير ناقشنا موضوع " أنظمة الأرقام: كيفية التحويل من 2 إلى 16" إذا كان لديك أي أسئلة أو سوء فهم، يرجى الاتصال والاشتراك في دروسي الفردية في علوم الكمبيوتر والبرمجة. سأعرض عليك حل العشرات من التمارين المشابهة ولن يتبقى لديك سؤال واحد. بشكل عام، تعد أنظمة الأعداد موضوعًا مهمًا للغاية ويشكل الأساس المستخدم طوال الدورة.

أهداف الدرس:

كرر المادة التي تمت دراستها حول موضوع نظام الأرقام؛
تعلم كيفية تحويل رقم من النظام العشري إلى أي نظام أرقام موضعي آخر والعكس.
إتقان مبادئ تحويل الأرقام من نظام إلى آخر؛
تطوير التفكير المنطقي.

خلال الفصول الدراسية

في بداية الدرس، مراجعة موجزة والتحقق من الواجبات المنزلية.

في أي شكل يتم تقديم المعلومات الرقمية في ذاكرة الكمبيوتر؟

ما هي أنظمة الأرقام المستخدمة ل؟

ما هي أنواع أنظمة الأرقام التي تعرفها؟ أعط الأمثلة الخاصة بك.

كيف تختلف الأنظمة الموضعية عن الأنظمة غير الموضعية؟

الهدف من درسنا هو تعلم كيفية تحويل رقم من النظام العشري إلى أي نظام أرقام موضعي آخر والعكس. لكن أولاً سننظر في كيفية القيام بذلك

تمثل أي عدد صحيح غير سالب:

في الأنظمة الموضعية، يتم تحديد قيمة كتابة عدد صحيح من خلال القاعدة التالية: دع a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 تكون كتابة الرقم A، وi أرقام، إذن

حيث p هو عدد صحيح أكبر من 1، وهو ما يسمى أساس نظام الأرقام

من أجل أنه، بالنسبة لـ p معين، يمكن كتابة أي عدد صحيح غير سالب وفقًا للصيغة (1)، علاوة على ذلك، بطريقة فريدة، القيم الرقمية أرقام مختلفةيجب أن تكون أعدادًا صحيحة مميزة تنتمي إلى الفاصل الزمني من 0 إلى p-1.

1) النظام العشري

الأرقام: 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9

الرقم 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0

2) النظام الثلاثي

الأرقام: 0,1,2

العدد 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0

ملاحظة: يشير الحرف المنخفض في الرقم إلى قاعدة نظام الأرقام الذي كتب فيه الرقم. بالنسبة لنظام الأرقام العشري، لا يلزم كتابة الفهرس.

تمثيل الأرقام السالبة والكسرية:

في جميع أنظمة التسجيل الموضعي أرقام سلبيةتمامًا كما هو الحال في النظام العشري، يتم استخدام العلامة "-". يتم استخدام الفاصلة لفصل الجزء الصحيح من الرقم عن الجزء الكسري. قيمة الإدخال a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m يتم تحديد الرقم A بواسطة الصيغة، وهي تعميم لـ فورمولا 1):

75.6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1

–2.314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)

تحويل الأرقام من نظام الأرقام التعسفي إلى النظام العشري:

يجب أن يكون مفهوما أنه عند ترجمة رقم من نظام رقمي إلى آخر، فإن القيمة الكمية للرقم لا تتغير، بل يتغير شكل كتابة الرقم فقط، تماما كما هو الحال عند ترجمة اسم رقم، على سبيل المثال، من الروسية إلى الإنجليزية.

يتم تحويل الأرقام من نظام أرقام عشوائي إلى نظام عشري عن طريق الحساب المباشر باستخدام الصيغة (1) للأعداد الصحيحة والصيغة (2) للكسور.

تحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام عشوائي.

تحويل رقم من النظام العشري إلى نظام ذو الأساس p يعني إيجاد المعاملات في الصيغة (2). في بعض الأحيان يكون من السهل القيام بذلك اختيار بسيط. على سبيل المثال، لنفترض أنك بحاجة إلى تحويل الرقم 23.5 إلى النظام الثماني. من السهل أن ترى أن 23.5 = 16+7+0.5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27.48. من الواضح أن الإجابة ليست واضحة دائمًا. بشكل عام، يتم استخدام طريقة تحويل الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم بشكل منفصل.

لتحويل الأعداد الصحيحة، يتم استخدام الخوارزمية التالية (تم الحصول عليها بناءً على الصيغة (1)):

1. أوجد الناتج والباقي عند قسمة عدد على ص. سيكون الباقي هو الرقم التالي ai (j=0,1,2...) من الرقم في نظام الأرقام الجديد.

2. إذا كان حاصل القسمة يساوي صفرًا، فقد اكتملت ترجمة الرقم، وإلا فإننا نطبق النقطة 1 على خارج القسمة.

ملاحظة 1. يتم ترقيم الأرقام ai الموجودة في تدوين الأرقام من اليمين إلى اليسار.

ملاحظة 2. إذا كانت p>10، فمن الضروري إدخال تدوين للأرقام ذات القيم العددية أكبر من أو تساوي 10.

تحويل الرقم 165 إلى نظام الأرقام الحاجزية.

165:7 = 23 (الباقي 4) => أ 0 = 4

23:7 = 3 (الباقي 2) => أ 1 = 2

3:7 = 0 (الباقي 3) => أ 2 = 3

دعنا نكتب النتيجة: a 2 a 1 a 0 , أي. 3247.

وبعد التدقيق باستخدام الصيغة (1)، سنتأكد من صحة الترجمة:

3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

لتحويل الأجزاء الكسرية من الأرقام، يتم استخدام خوارزمية تم الحصول عليها بناءً على الصيغة (2):

1. اضرب الجزء الكسري من الرقم بـ p.

2. الجزء الصحيح من النتيجة سيكون الرقم التالي صباحا (m = -1، -2، -3 ...) لكتابة الرقم في نظام الأرقام الجديد. إذا كان الجزء الكسري من النتيجة صفراً، فستكتمل ترجمة الرقم، وإلا فإننا نطبق الخطوة 1 عليه.

ملاحظة 1. يتم ترتيب الأرقام a m في تدوين الأرقام من اليسار إلى اليمين بترتيب متزايد للقيمة المطلقة لـ m.

ملاحظة 2. عادة ما يكون عدد الأرقام الكسرية في دخول جديدالأعداد محدودة مقدما. يتيح لك ذلك إجراء ترجمة تقريبية بدقة معينة. في حالة الكسور اللانهائية، يضمن هذا القيد محدودية الخوارزمية.

تحويل الرقم 0.625 إلى نظام الأرقام الثنائية.

0.625 2 = 1.25 (الجزء الصحيح 1) => أ -1 =1

0.25 2 = 0.5 (الجزء الصحيح 0) => أ- 2 = 0

0.5 2 = 1.00 (الجزء الصحيح 1) => أ- 3 = 1

إذن 0.62510 = 0.1012

وبعد التدقيق باستخدام الصيغة (2)، سنتأكد من صحة الترجمة:

0.1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0.5+0.125 = 0.625.

قم بتحويل الرقم 0.165 إلى نظام الأعداد الرباعي، مع قصره على أربعة أرقام رباعية.

0.165 4 = 0.66 (الجزء الصحيح 0) => أ -1 =0

0.66 4 = 2.64 (الجزء الصحيح 2) => أ -2 = 2

0.64 4 = 2.56 (الجزء الصحيح 2) => أ -3 = 2

0.56 4 = 2.24 (الجزء الصحيح 2) => أ -4 = 2

إذن 0.16510" 0.02224

دعنا نقوم به الترجمة العكسيةللتأكد من أن الخطأ المطلق لا يتجاوز 4-4:

0.02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0.1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

تحويل الأرقام من نظام عشوائي إلى آخر

وفي هذه الحالة يجب عليك أولاً تحويل الرقم إلى النظام العشري، ومن ثم من النظام العشري إلى النظام المطلوب.

يتم استخدام طريقة خاصة لتحويل الأرقام للأنظمة ذات القواعد المتعددة.

دع p و q هما أساس نظامين رقميين. سوف نسمي هذه الأنظمة أنظمة الأعداد ذات القواعد المتعددة إذا كان p = qn أو q = pn، حيث n هو عدد طبيعي. على سبيل المثال، أنظمة الأرقام ذات الأساسين 2 و8 هي أنظمة أرقام أساسية متعددة.

دع p = qn وتحتاج إلى تحويل رقم من نظام أرقام ذو أساس q إلى نظام أرقام ذو أساس p. دعونا نقسم العدد الصحيح والأجزاء الكسرية من الرقم إلى مجموعات مكونة من أرقام n مكتوبة بالتسلسل على يسار ويمين العلامة العشرية. إذا كان عدد الأرقام في الجزء الصحيح من الرقم ليس من مضاعفات n، فأنت بحاجة إلى إضافة العدد المقابل من الأصفار إلى اليسار. إذا كان عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم ليس من مضاعفات n، فسيتم إضافة الأصفار إلى اليمين. كل مجموعة من هذه الأرقام هي رقم في النظام القديمسيتوافق الرقم مع رقم واحد من الرقم في نظام الأرقام الجديد.

دعونا نحول 1100001.111 2 إلى نظام الأعداد الرباعي.

وبجمع الأصفار واختيار أزواج من الأرقام، نحصل على 01100001.11102.

الآن دعونا نترجم كل زوج من الأرقام على حدة، باستخدام القسم ترجمة الأرقام من نظام عشوائي إلى آخر.

إذن، 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

لنفترض الآن أننا بحاجة إلى الانتقال من نظام ذي قاعدة أكبر q إلى نظام ذي قاعدة أصغر p، أي. س = ن. في هذه الحالة، رقم واحد من رقم في نظام الأرقام القديم يتوافق مع أرقام n من رقم في نظام الأرقام الجديد.

مثال: دعونا نتحقق من الترجمة السابقة لرقم ما.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

يوجد في النظام السداسي العشري أرقام ذات قيم عددية 10،11،12، 13،14،15. لتعيينها، استخدم الأحرف الستة الأولى من الأبجدية اللاتينية A، B، C، D، E، F.

فيما يلي جدول الأرقام من 0 إلى 16، مكتوبًا في أنظمة الأرقام ذات الأساس 10 و2 و8 و16.

الرقم في النظام العشري	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
في الثماني	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
في ثنائي	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
بالنظام الست عشري	1	2	3	4	5	6	7	8	9	أ	ب	ج	د	ه	F	10

يمكنك أيضًا استخدام الأرقام الصغيرة لكتابة أرقام سداسية عشرية. حروفأ-و.

مثال: لنحول الرقم 110101001010101010100.11 2 إلى نظام الأرقام الست عشري.

لنستخدم تعدد أسس أنظمة الأعداد (16=2 4). لنقم بتجميع الأرقام على أربعة، مع إضافة العدد المطلوب من الأصفار إلى اليسار واليمين

000110101001010101010100,1100 2

وبالتحقق من الجدول نحصل على: 1A9554,C 16

خاتمة:

إن تحديد نظام الأرقام الأفضل لكتابة الأرقام هو مسألة ملائمة وتقاليد. من الناحية الفنية، من الملائم استخدام النظام الثنائي في الكمبيوتر، لأنه يستخدم رقمين فقط 0 و1 لتسجيل رقم، والذي يمكن تمثيله بحالتين يمكن تمييزهما بسهولة "لا توجد إشارة" و"توجد إشارة". إشارة."

على العكس من ذلك، من غير المناسب أن يتعامل الشخص مع الرموز الثنائية للأرقام نظرًا لأنها أطول من الأرقام العشرية وتحتوي على العديد من الأرقام المتكررة. لذلك، إذا لزم الأمر، العمل مع تمثيلات الآلة للأرقام، استخدم أنظمة الأرقام الثمانية أو السداسية العشرية. أساس هذه الأنظمة هو عدد صحيح من القوى العددية، وبالتالي يتم تحويل الأرقام بسهولة من هذه الأنظمة إلى ثنائية والعكس.

اكتب الواجب المنزلي:

أ) اكتب تاريخ ميلاد جميع أفراد عائلتك أنظمة مختلفةالحساب.

ب) تحويل الأرقام من الثنائي إلى النظام الثماني والسداسي العشري، ثم التحقق من النتائج عن طريق إجراء التحويلات العكسية:

أ) 1001111110111.011 2؛