أكبر ترتيب ثانوي للمصفوفة. العثور على رتبة المصفوفة: الطرق والأمثلة

تعتبر رتبة المصفوفة خاصية عددية مهمة. المشكلة الأكثر شيوعًا التي تتطلب العثور على رتبة المصفوفة هي التحقق من توافق النظام الخطي المعادلات الجبرية. في هذه المقالة سنقدم مفهوم رتبة المصفوفة وننظر في طرق العثور عليها. لفهم المادة بشكل أفضل، سنقوم بتحليل الحلول لعدة أمثلة بالتفصيل.

التنقل في الصفحة.

تحديد رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية اللازمة.

قبل التعبير عن تعريف رتبة المصفوفة، يجب أن يكون لديك فهم جيد لمفهوم القاصر، وإيجاد القاصرين للمصفوفة يعني القدرة على حساب المحدد. لذا، إذا لزم الأمر، نوصي بأن تتذكر نظرية المقالة، وطرق إيجاد محدد المصفوفة، وخصائص المحدد.

لنأخذ المصفوفة A من الترتيب. دع k يكون عددًا طبيعيًا لا يتجاوز أصغر الأرقام m و n، أي، .

تعريف.

طلب k ثانويالمصفوفة A هي المحدد لمصفوفة مرتبة مربعة، مكونة من عناصر المصفوفة A، والتي تقع في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا، ويتم الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A.

بمعنى آخر، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (p–k) والأعمدة (n–k)، ومن العناصر المتبقية قمنا بإنشاء مصفوفة، مع الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A، فإن محدد المصفوفة الناتجة هي ثانوية من الرتبة k للمصفوفة A.

دعونا نلقي نظرة على تعريف المصفوفة الثانوية باستخدام مثال.

النظر في المصفوفة .

دعونا نكتب العديد من العناصر الثانوية من الدرجة الأولى لهذه المصفوفة. على سبيل المثال، إذا اخترنا الصف الثالث والعمود الثاني من المصفوفة A، فإن اختيارنا يتوافق مع مصفوفة ثانوية من الدرجة الأولى . بمعنى آخر، للحصول على هذا القاصر، قمنا بشطب الصفين الأول والثاني، وكذلك الأعمدة الأول والثالث والرابع من المصفوفة A، وقمنا بتكوين محدد من العنصر المتبقي. إذا اخترنا الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة A، فسنحصل على قيمة ثانوية .

دعونا نوضح إجراءات الحصول على القاصرين من الدرجة الأولى
و .

وبالتالي، فإن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة هي عناصر المصفوفة نفسها.

دعونا نعرض العديد من القاصرين من الدرجة الثانية. حدد صفين وعمودين. على سبيل المثال، خذ الصفين الأول والثاني والعمودين الثالث والرابع. بهذا الاختيار لدينا قاصر من الدرجة الثانية . يمكن أيضًا تكوين هذا القاصر عن طريق حذف الصف الثالث والعمودين الأول والثاني من المصفوفة A.

آخر ثانوي من الدرجة الثانية للمصفوفة A هو .

دعونا نوضح بناء هؤلاء القصر من الدرجة الثانية
و .

وبالمثل، يمكن العثور على قاصرين من الدرجة الثالثة للمصفوفة A. نظرًا لوجود ثلاثة صفوف فقط في المصفوفة A، فإننا نختارها جميعًا. إذا اخترنا الأعمدة الثلاثة الأولى من هذه الصفوف، فسنحصل على ثانوية من الدرجة الثالثة

ويمكن بناؤها أيضًا عن طريق شطب العمود الأخير من المصفوفة A.

قاصر آخر من الدرجة الثالثة هو

تم الحصول عليها عن طريق حذف العمود الثالث من المصفوفة A.

وهذه صورة توضح بناء هؤلاء القاصرين من الدرجة الثالثة
و .

بالنسبة لمصفوفة معينة A لا توجد رتبة ثانوية أعلى من الثالثة، حيث أن .

ما عدد العناصر الثانوية من الرتبة k الموجودة في المصفوفة A من الرتبة؟

يمكن حساب عدد القصر من الرتبة k كـ حيث و - عدد المجموعات من p إلى k ومن n إلى k على التوالي.

كيف يمكننا بناء جميع العناصر الثانوية من الرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p بواسطة n؟

سنحتاج إلى العديد من أرقام صفوف المصفوفة والعديد من أرقام الأعمدة. نكتب كل شيء مجموعات من العناصر p بواسطة k(ستتوافق مع الصفوف المحددة من المصفوفة A عند إنشاء رتبة ثانوية من الرتبة k). إلى كل مجموعة من أرقام الصفوف نضيف بشكل تسلسلي جميع مجموعات عناصر n من أرقام الأعمدة k. ستساعد هذه المجموعات من مجموعات أرقام الصفوف وأرقام الأعمدة للمصفوفة A في تكوين جميع العناصر الثانوية من الرتبة k.

دعونا ننظر إليها مع مثال.

مثال.

أوجد جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية للمصفوفة.

حل.

وبما أن ترتيب المصفوفة الأصلية هو 3 في 3، فإن مجموع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية سيكون .

دعونا نكتب جميع المجموعات المكونة من 3 إلى 2 أرقام صف من المصفوفة A: 1، 2؛ 1، 3 و 2، 3. جميع المجموعات المكونة من 3 إلى 2 أرقام أعمدة هي 1، 2؛ 1، 3 و 2، 3.

لنأخذ الصفين الأول والثاني من المصفوفة A. وباختيار العمودين الأول والثاني والعمودين الأول والثالث والعمودين الثاني والثالث لهذه الصفوف نحصل على القاصرين على التوالي

بالنسبة للصفين الأول والثالث، مع اختيار مماثل للأعمدة، لدينا

يبقى إضافة العمود الأول والثاني والأول والثالث والثاني والثالث إلى الصفين الثاني والثالث:

إذن، تم العثور على جميع العناصر التسعة الثانوية من الدرجة الثانية للمصفوفة A.

الآن يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة.

تعريف.

رتبة المصفوفةهو أعلى ترتيب للقاصر غير الصفر في المصفوفة.

يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرتبة(A) . يمكنك أيضًا العثور على التسميات Rg(A) أو Rang(A) .

ومن تعريفات رتبة المصفوفة والمصفوفة الصغرى، يمكننا أن نستنتج أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي الصفر، والرتبة مصفوفة غير صفريةلا تقل عن واحد.

العثور على رتبة المصفوفة حسب التعريف.

إذن، الطريقة الأولى لإيجاد رتبة المصفوفة هي طريقة إحصاء القاصرين. تعتمد هذه الطريقة على تحديد رتبة المصفوفة.

دعونا نحتاج إلى إيجاد رتبة المصفوفة A من الرتبة.

دعونا تصف بإيجاز خوارزميةوحل هذه المشكلة عن طريق تعداد القاصرين.

إذا كان هناك عنصر مصفوفة واحد على الأقل مختلف عن الصفر، فإن رتبة المصفوفة تكون على الأقل يساوي واحد(حيث أن هناك ثانوية من الدرجة الأولى لا تساوي الصفر).

بعد ذلك ننظر إلى القاصرين من الدرجة الثانية. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة غير صفرية من الدرجة الثانية، فإننا ننتقل إلى تعداد صغريات الدرجة الثالثة، وتكون رتبة المصفوفة تساوي اثنين على الأقل.

وبالمثل، إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة صفرًا، فإن رتبة المصفوفة هي اثنان. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة من الدرجة الثالثة غير الصفر، فإن رتبة المصفوفة تكون على الأقل ثلاثة، وننتقل إلى تعداد صغريات الدرجة الرابعة.

لاحظ أن رتبة المصفوفة لا يمكن أن تتجاوز أصغر الأرقام p و n.

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة .

حل.

وبما أن المصفوفة ليست صفراً فإن رتبتها لا تقل عن واحد.

الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A هي اثنان على الأقل. ننتقل إلى تعداد القاصرين من الدرجة الثالثة. مجموع منهم أشياء.

جميع القاصرين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي اثنان.

إجابة:

الرتبة (أ) = 2 .

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى.

هناك طرق أخرى للعثور على رتبة المصفوفة التي تسمح لك بالحصول على النتيجة بعمل حسابي أقل.

إحدى هذه الطرق هي طريقة الحافة البسيطة.

دعونا نتعامل مع مفهوم الحافة الثانوية.

يقال أن مصفوفة صغيرة M ok من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تحد صغرى M من الرتبة k من المصفوفة A إذا كانت المصفوفة المقابلة للصغرى M ok "تحتوي" على المصفوفة المقابلة للمصفوفة الثانوية م .

بمعنى آخر، يتم الحصول على المصفوفة المقابلة للصغرى المجاورة M من المصفوفة المقابلة للصغيرة المجاورة M طيب عن طريق حذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

على سبيل المثال، النظر في المصفوفة واتخاذ أمر ثانوي قاصر. دعنا نكتب جميع القاصرين المجاورين:

طريقة تجاور القاصرين مبررة بالنظرية التالية (نقدم صياغتها بدون برهان).

نظرية.

إذا كانت جميع العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p في n تساوي صفرًا، فإن جميع العناصر الثانوية من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تساوي صفرًا.

وبالتالي، للعثور على رتبة مصفوفة، ليس من الضروري المرور عبر جميع العناصر الثانوية المتاخمة بشكل كافٍ. تم العثور على عدد القاصرين المتاخمين للصغرى من الرتبة k للمصفوفة A من الرتبة بواسطة الصيغة . لاحظ أنه لا يوجد المزيد من العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k-th الثانوية للمصفوفة A أكثر من وجود (k + 1) الثانوية للمصفوفة A. لذلك، في معظم الحالات، يكون استخدام طريقة مجاورة القاصرين أكثر ربحية من مجرد حصر جميع القاصرين.

دعنا ننتقل إلى إيجاد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى. دعونا تصف بإيجاز خوارزميةهذه الطريقة.

إذا كانت المصفوفة A غير صفرية، فإننا نأخذ أي عنصر من عناصر المصفوفة A مختلفًا عن الصفر، باعتباره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. دعونا نلقي نظرة على القاصرين المجاورة لها. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل قاصر واحد غير صفري (ترتيبه اثنان)، فإننا ننتقل إلى النظر في القاصرين المجاورين له. إذا كانت جميعها صفرًا، فإن المرتبة (أ) = 2. إذا كان هناك على الأقل أحد القاصرين المجاورين غير صفر (ترتيبه ثلاثة)، فإننا نعتبر القاصرين المجاورين له. وما إلى ذلك وهلم جرا. ونتيجة لذلك، Rank(A) = k إذا كانت جميع العناصر الثانوية المجاورة للترتيب (k + 1) من المصفوفة A تساوي الصفر، أو Rank(A) = min(p, n) إذا كان هناك غير صفر قاصر يحد قاصر الترتيب (min( p, n) – 1) .

دعونا نلقي نظرة على طريقة تحديد الحدود الثانوية للعثور على رتبة مصفوفة باستخدام مثال.

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة من خلال طريقة الحدود مع القاصرين.

حل.

بما أن العنصر 1 1 من المصفوفة A ليس صفرًا، فإننا نعتبره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. لنبدأ بالبحث عن القاصر المجاور الذي يختلف عن الصفر:

تم العثور على حافة ثانوية من الدرجة الثانية تختلف عن الصفر. دعونا نلقي نظرة على القاصرين المجاورين لهم ( أشياء):

جميع العناصر الصغرى المجاورة للمصفوفة الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A تساوي اثنين.

إجابة:

الرتبة (أ) = 2 .

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين المجاورة.

حل.

كعنصر ثانوي غير الصفر من الدرجة الأولى، نأخذ العنصر a 1 1 = 1 من المصفوفة A. القاصر المحيط من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر. ويحد هذا القاصر قاصر من الدرجة الثالثة
. وبما أنها لا تساوي صفرًا ولا يوجد حد صغير لها، فإن رتبة المصفوفة A تساوي ثلاثة.

إجابة:

الرتبة (أ) = 3 .

إيجاد الرتبة باستخدام تحويلات المصفوفات الأولية (طريقة غاوس).

لنفكر في طريقة أخرى للعثور على رتبة المصفوفة.

تسمى تحويلات المصفوفة التالية بالتحويلات الأولية:

إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) المصفوفة؛
ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة عدد التعسفيك، يختلف عن الصفر؛
إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة، مضروبة في رقم تعسفي ك.

تسمى المصفوفة B مكافئة للمصفوفة A، إذا تم الحصول على B من A باستخدام عدد محدود التحولات الأولية. يُشار إلى تكافؤ المصفوفات بالرمز "~" أي يُكتب A ~ B.

يعتمد العثور على رتبة مصفوفة باستخدام تحويلات المصفوفة الأولية على العبارة التالية: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية، فإن Rank(A) = Rank(B) .

صحة هذا البيان تنبع من خصائص محدد المصفوفة:

عند إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) مصفوفة، يتم الإشارة إلى التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي الصفر، فعند إعادة ترتيب الصفوف (الأعمدة)، تظل مساوية للصفر.
عند ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم عشوائي k بخلاف الصفر، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي المحددالمصفوفة الأصلية مضروبة في ك. إذا كان محدد المصفوفة الأصلية يساوي الصفر، فبعد ضرب جميع عناصر أي صف أو عمود بالرقم k، فإن محدد المصفوفة الناتجة سيكون أيضًا مساويًا للصفر.
إضافة إلى عناصر صف معين (عمود) من المصفوفة العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة، مضروبة في عدد معين ك، لا يغير محدده.

جوهر طريقة التحولات الأوليةيتمثل في تقليل المصفوفة التي نحتاج إلى إيجاد رتبتها إلى مصفوفة شبه منحرفة (في حالة معينة، إلى مصفوفة مثلثة عليا) باستخدام التحويلات الأولية.

لماذا هذا يحدث؟ من السهل جدًا العثور على رتبة المصفوفات من هذا النوع. وهو يساوي عدد الأسطر التي تحتوي على عنصر واحد غير الصفر على الأقل. وبما أن رتبة المصفوفة لا تتغير عند إجراء التحويلات الأولية، فإن القيمة الناتجة ستكون رتبة المصفوفة الأصلية.

نعطي الرسوم التوضيحية للمصفوفات، والتي ينبغي الحصول على واحدة منها بعد التحولات. مظهرها يعتمد على ترتيب المصفوفة.

هذه الرسوم التوضيحية هي قوالب سنقوم بتحويل المصفوفة A إليها.

دعونا وصف خوارزمية الطريقة.

دعونا نحتاج إلى إيجاد رتبة مصفوفة غير صفرية A من الرتبة (p يمكن أن تساوي n).

لذا، . دعونا نضرب جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة A في . في هذه الحالة، نحصل على مصفوفة مكافئة، نشير إليها A (1):

إلى عناصر الصف الثاني من المصفوفة الناتجة A (1) نضيف العناصر المقابلة للصف الأول مضروبة في . إلى عناصر السطر الثالث نضيف العناصر المقابلة للسطر الأول مضروبة في . وهكذا حتى السطر p-th. لنحصل على مصفوفة مكافئة، نرمز لها بـ A (2):

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة الناتجة الموجودة في الصفوف من الثاني إلى p-th تساوي صفرًا، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي واحدًا، وبالتالي تكون رتبة المصفوفة الأصلية متساوية إلى واحد.

إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل غير صفري في السطور من الثاني إلى p-th، فإننا نستمر في إجراء التحويلات. علاوة على ذلك، فإننا نتصرف بنفس الطريقة تمامًا، ولكن فقط مع جزء المصفوفة A (2) المحدد في الشكل.

إذا، فإننا نعيد ترتيب الصفوف و (أو) الأعمدة في المصفوفة A (2) بحيث يصبح العنصر "الجديد" غير صفري.

دعونا نعطي بعض المصفوفة:

دعونا نختار في هذه المصفوفة سلاسل تعسفية و أعمدة تعسفية
. ثم المحدد الترتيب الرابع، ويتكون من عناصر المصفوفة
، الموجود عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة، يسمى قاصرًا مصفوفة الترتيب
.

التعريف 1.13.رتبة المصفوفة
هي أكبر ترتيب للقاصر غير الصفر في هذه المصفوفة.

لحساب رتبة مصفوفة، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار جميع العناصر الثانوية من أدنى رتبة، وإذا كان واحد منهم على الأقل يختلف عن الصفر، انتقل إلى النظر في العناصر الثانوية من أعلى رتبة. يُطلق على هذا الأسلوب في تحديد رتبة المصفوفة اسم طريقة الحدود (أو طريقة الحدود مع القاصرين).

المشكلة 1.4.باستخدام طريقة الحدود مع القاصرين، حدد رتبة المصفوفة
.

خذ بعين الاعتبار الحواف من الدرجة الأولى، على سبيل المثال،
. ثم ننتقل إلى النظر في بعض الحواف من الدرجة الثانية.

على سبيل المثال،
.

وأخيرا، دعونا نحلل الحدود من الدرجة الثالثة.

لذا فإن أعلى ترتيب للقاصر غير الصفر هو 2، وبالتالي
.

عند حل المشكلة 1.4، يمكنك ملاحظة أن عددًا من القاصرين المجاورين من الدرجة الثانية ليس صفرًا. وفي هذا الصدد، ينطبق المفهوم التالي.

التعريف 1.14.الأساس القاصر للمصفوفة هو أي قاصر غير الصفر وترتيبه يساوي رتبة المصفوفة.

نظرية 1.2.(الأساس النظري الصغير). الصفوف الأساسية (الأعمدة الأساسية) مستقلة خطيًا.

لاحظ أن صفوف (أعمدة) المصفوفة تعتمد خطيًا فقط إذا كان من الممكن تمثيل واحد منها على الأقل كمجموعة خطية من الآخرين.

نظرية 1.3.عدد صفوف المصفوفة المستقلة خطيًا يساوي عدد أعمدة المصفوفة المستقلة خطيًا ويساوي رتبة المصفوفة.

نظرية 1.4.(شرط ضروري وكافي ليكون المحدد مساوياً للصفر). من أجل المحدد - الترتيب إذا كانت تساوي صفراً فمن الضروري والكافي أن تكون صفوفها (أعمدتها) مستقلة خطياً.

يعد حساب رتبة المصفوفة بناءً على تعريفها أمرًا مرهقًا للغاية. يصبح هذا مهمًا بشكل خاص للمصفوفات ذات الرتب العالية. وفي هذا الصدد، من الناحية العملية، يتم حساب رتبة المصفوفة بناءً على تطبيق النظريات 10.2 - 10.4، وكذلك استخدام مفاهيم تكافؤ المصفوفات والتحويلات الأولية.

التعريف 1.15.مصفوفتان
و وتسمى متكافئة إذا كانت رتبها متساوية، أي.
.

إذا المصفوفات
و متكافئة، ثم لاحظ
 .

نظرية 1.5.لا تتغير رتبة المصفوفة بسبب التحولات الأولية.

سوف نسمي تحويلات المصفوفات الأولية
اي من الخطوات التاليةفوق المصفوفة:

استبدال الصفوف بأعمدة والأعمدة بالصفوف المقابلة لها؛

إعادة ترتيب صفوف المصفوفة؛

شطب الخط الذي عناصره كلها صفر؛

ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛

إضافة إلى عناصر سطر واحد العناصر المقابلة لها في سطر آخر مضروبة في نفس العدد
.

النتيجة الطبيعية للنظرية 1.5.إذا مصفوفة
تم الحصول عليها من المصفوفة باستخدام عدد منتهٍ من التحويلات الأولية، ثم المصفوفة
و متكافئة.

عند حساب رتبة المصفوفة، ينبغي تخفيضها إلى شكل شبه منحرف باستخدام عدد محدود من التحولات الأولية.

التعريف 1.16.سوف نسمي شبه المنحرف شكلاً من أشكال تمثيل المصفوفة عندما تختفي جميع العناصر الموجودة أسفل العناصر القطرية في العناصر الصغيرة المجاورة ذات الترتيب الأعلى بخلاف الصفر. على سبيل المثال:

هنا
، عناصر المصفوفة
اذهب إلى الصفر. ثم سيكون شكل تمثيل هذه المصفوفة شبه منحرف.

كقاعدة عامة، يتم تقليل المصفوفات إلى شكل شبه منحرف باستخدام خوارزمية غاوس. فكرة خوارزمية غاوس هي أنه من خلال ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة في العوامل المقابلة لها، يتم التوصل إلى أن جميع عناصر العمود الأول تقع أسفل العنصر
، سوف يتحول إلى الصفر. ثم بضرب عناصر العمود الثاني في العوامل المقابلة لها نتأكد أن جميع عناصر العمود الثاني تقع أسفل العنصر
، سوف يتحول إلى الصفر. ثم تابع بنفس الطريقة.

المشكلة 1.5.تحديد رتبة المصفوفة عن طريق تقليلها إلى شكل شبه منحرف.

لتسهيل استخدام الخوارزمية الغوسية، يمكنك تبديل السطرين الأول والثالث.








.

من الواضح أن هنا
. ومع ذلك، لجلب النتيجة إلى شكل أكثر أناقة، يمكنك الاستمرار في تحويل الأعمدة.










.

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) التقليب من أي صفين (أو أعمدة)،

2) ضرب صف (أو عمود) برقم غير الصفر،

3) إضافة صف (أو عمود) إلى صف (أو عمود) آخر (أو عمود) مضروبًا في رقم معين.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية.

المصفوفات المتكافئة ليست متساوية بشكل عام، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متكافئتين، فسيتم كتابتهما على النحو التالي: A ~ B.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة يوجد فيها في بداية القطر الرئيسي عدة مصفوفات متتالية (يمكن أن يكون عددها صفرًا)، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر، على سبيل المثال،

باستخدام التحويلات الأولية للصفوف والأعمدة، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد المصفوفات الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد رتبة المصفوفة

أ=

وإحضاره إلى الشكل القانوني.

حل.من السطر الثاني اطرح الأول وأعد ترتيب هذه الأسطر:

الآن من السطرين الثاني والثالث نطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من السطر الثالث؛ نحصل على مصفوفة

ب = ,

وهو ما يعادل المصفوفة A، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2، وبالتالي r(A)=2. يمكن بسهولة اختزال المصفوفة B إلى المستوى الأساسي. وبطرح العمود الأول مضروبا بالأرقام المناسبة من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول، باستثناء الأول، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك، بطرح العمود الثاني، مضروبًا بالأرقام المناسبة، من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر لجميع عناصر الصف الثاني، باستثناء الثاني، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

كرونيكر - نظرية كابيلي- معيار التوافق لنظام المعادلات الجبرية الخطية:

لكي يكون النظام الخطي متسقا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام مساوية لرتبة مصفوفته الرئيسية.

إثبات (شروط توافق النظام)

ضروري

يترك نظاممشترك ثم هناك، ماذا . ولذلك، فإن العمود عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة المصفوفة. من حقيقة أن رتبة المصفوفة لن تتغير إذا تم حذف صف (عمود) أو إضافته من نظام صفوفه (أعمدةه)، وهو عبارة عن مزيج خطي من صفوف (أعمدة) أخرى، يتبع ذلك.

قدرة

يترك . لنأخذ بعض العناصر الثانوية الأساسية في المصفوفة. منذ ذلك الحين سيكون قاصر الأساسيةوالمصفوفات. ثم وفقا لنظرية الأساس صغير، سيكون العمود الأخير من المصفوفة عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة الأساس، أي أعمدة المصفوفة. ولذلك، فإن عمود الحدود الحرة للنظام عبارة عن مزيج خطي من أعمدة المصفوفة.

عواقب

عدد المتغيرات الرئيسية أنظمةيساوي رتبة النظام.

مشترك نظامسيتم تعريفه (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام تساوي عدد جميع متغيراته.

نظام متجانس من المعادلات

يعرض15 . 2 نظام متجانس من المعادلات

هو دائما مشترك.

دليل. بالنسبة لهذا النظام فإن مجموعة الأرقام , , , هي الحل .

في هذا القسم سوف نستخدم تدوين المصفوفة للنظام: .

يعرض15 . 3 مجموع حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية هو حل لهذا النظام. الحل مضروبًا في رقم هو أيضًا حل.

دليل. دعهم بمثابة حلول للنظام. ثم و.

يترك . ثم

منذ ذلك الحين - الحل.

يترك . ثم

اسمحوا ان يكون عددا تعسفيا ، . ثم15 . 1 عاقبة

إذا كان نظام متجانس من المعادلات الخطية له حل غير صفري، فإن لديه عددًا لا نهائيًا من الحلول المختلفة.

في الواقع، بضرب الحل غير الصفري في أرقام مختلفة، سنحصل على حلول مختلفة.15 . 5 تعريف سنقول أن الحلول شكل النظمالنظام الأساسي للحلول ، إذا كانت الأعمدة تشكل خطيانظام مستقل

وأي حل للنظام هو مزيج خطي من هذه الأعمدة.

يجد

رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة دعونا نفكرمصفوفة مستطيلة . إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفةك . إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفةخطوط و الأعمدة، ثم يتم تشكيل العناصر الموجودة عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددةمصفوفة مربعة ترتيب ك. يسمى محدد هذه المصفوفةقاصر من الترتيب k المصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها عناصر ثانوية من أي ترتيب من 1 إلى أصغر الأرقام m وn. من بين جميع العناصر الثانوية غير الصفرية في المصفوفة A يوجد واحدعلى الأقل قاصر واحد يكون ترتيبه أعظم. تسمى أكبر الأوامر الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينةرتبة المصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي، هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي غير الصفر المصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هيبل كل قاصر من أجل أكبر من المصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي، يساوي الصفر. يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r(A). من الواضح أن العلاقة قائمة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما بطريقة الحدود الثانوية أو بطريقة التحويلات الأولية. عند حساب رتبة مصفوفة باستخدام الطريقة الأولى، ينبغي للمرء أن ينتقل من القاصرين من الرتب الأدنى إلى القاصرين من الرتبة الأعلى. ترتيب عالي. إذا تم بالفعل العثور على قاصر D من الرتبة k للمصفوفة A، يختلف عن الصفر، فإن الرتب الثانوية (k+1) المتاخمة للمصفوفة D الثانوية فقط هي التي تتطلب الحساب، أي. تحتوي على أنها قاصر. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي . إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفة.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

حل.نبدأ بالقاصرين من الدرجة الأولى، أي. من عناصر المصفوفة A. دعونا نختار، على سبيل المثال، (عنصر) ثانوي M 1 = 1، الموجود في الصف الأول والعمود الأول. الحدود بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث نحصل على قاصر M 2 = مختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لـ M2. يوجد اثنان منهم فقط (يمكنك إضافة عمود ثانٍ أو رابع). دعونا نحسبهم: = 0. وبالتالي، تبين أن جميع القاصرين المتاخمين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. رتبة المصفوفة A هي اثنان.