كيفية إجراء ضرب المصفوفات. ضرب مصفوفة مربعة في مصفوفة عمود
سيساعدك هذا الدليل على تعلم كيفية الأداء العمليات مع المصفوفات: جمع (طرح) المصفوفات، تبديل المصفوفات، ضرب المصفوفات، إيجاد المصفوفة العكسية. يتم تقديم جميع المواد في شكل بسيط وسهل الوصول إليه، ويتم تقديم الأمثلة ذات الصلة، لذلك حتى الشخص غير المستعد يمكنه تعلم كيفية تنفيذ الإجراءات باستخدام المصفوفات. للمراقبة الذاتية والاختبار الذاتي، يمكنك تنزيل حاسبة المصفوفات مجانًا >>>.
سأحاول تقليل الحسابات النظرية، في بعض الأماكن من الممكن تفسيرات "على الأصابع" واستخدام المصطلحات غير العلمية. عشاق النظرية الصلبة، يرجى عدم الانخراط في النقد، مهمتنا هي تعلم كيفية إجراء العمليات مع المصفوفات.
للتحضير بسرعة فائقة حول موضوع (من "يشتعل")، توجد دورة تدريبية مكثفة بتنسيق pdf مصفوفة ومحددة واختبار!
المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل للبعض عناصر. مثل عناصرسننظر في الأرقام، أي المصفوفات العددية. عنصرهو مصطلح. من المستحسن أن تتذكر هذا المصطلح، فهو سيظهر كثيرًا، وليس من قبيل الصدفة أنني استخدمت الخط العريض لتسليط الضوء عليه.
تعيين:عادة ما يتم الإشارة إلى المصفوفات بالأحرف الكبيرة بأحرف لاتينية
مثال:النظر في مصفوفة اثنين في ثلاثة:
هذه المصفوفةيتكون من ستة عناصر:
جميع الأرقام (العناصر) الموجودة داخل المصفوفة موجودة من تلقاء نفسها، أي أنه ليس هناك شك في أي طرح: 
إنه مجرد جدول (مجموعة) من الأرقام!
سوف نتفق أيضا لا إعادة ترتيبالأرقام، ما لم ينص على خلاف ذلك في التوضيحات. كل رقم له موقعه الخاص ولا يمكن خلطه!
تحتوي المصفوفة المعنية على صفين: 
وثلاثة أعمدة: 
معيار: عند الحديث عن أحجام المصفوفة، إذن في البدايهتشير إلى عدد الصفوف، وبعد ذلك فقط عدد الأعمدة. لقد قمنا للتو بتفكيك المصفوفة التي تساوي اثنين في ثلاثة.
إذا كان عدد صفوف وأعمدة المصفوفة هو نفسه، يتم استدعاء المصفوفة مربع، على سبيل المثال: 
- مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.
إذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد أو صف واحد، فإن هذه المصفوفات تسمى أيضًا ثلاثة أبعاد.
في الواقع، لقد عرفنا مفهوم المصفوفة منذ المدرسة؛ لنأخذ على سبيل المثال نقطة ذات إحداثيات "x" و"y": . بشكل أساسي، تتم كتابة إحداثيات النقطة في مصفوفة واحدة تلو الأخرى. بالمناسبة، هنا مثال على أهمية ترتيب الأرقام: وهما نقطتان مختلفتان تمامًا على المستوى.
الآن دعنا ننتقل إلى الدراسة العمليات مع المصفوفات:
1) الفعل الأول. إزالة علامة ناقص من المصفوفة (إدخال علامة ناقص في المصفوفة).
دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا 
. كما لاحظت على الأرجح، يوجد عدد كبير جدًا من الأرقام السالبة في هذه المصفوفة. هذا غير مريح للغاية من وجهة نظر الأداء. إجراءات مختلفةمع المصفوفة، من غير المناسب كتابة الكثير من السلبيات، ويبدو التصميم قبيحًا.
دعونا ننقل الطرح خارج المصفوفة عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:
عند الصفر، كما تفهم، فإن العلامة لا تتغير؛ الصفر هو أيضًا صفر في أفريقيا.
مثال عكسي: 
. يبدو قبيحا.
دعونا نقدم علامة ناقص في المصفوفة عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:
حسنا، اتضح أجمل بكثير. والأهم من ذلك أنه سيكون من الأسهل تنفيذ أي إجراءات باستخدام المصفوفة. لأن هناك مثل هذه العلامة الشعبية الرياضية: والمزيد من السلبيات، والمزيد من الارتباك والأخطاء.
2) الفعل الثاني. ضرب مصفوفة بعدد.
مثال:
الأمر بسيط، من أجل ضرب مصفوفة برقم، تحتاج كلعنصر المصفوفة مضروبا في رقم معين. في في هذه الحالة- لثلاثة.
آخر مثال مفيد:
- ضرب المصفوفة بكسر
أولا دعونا نلقي نظرة على ما يجب القيام به لا حاجة:
ليست هناك حاجة لإدخال كسر في المصفوفة، أولاً، فهو يزيد الأمر تعقيدًا مزيد من الإجراءاتباستخدام المصفوفة، ثانيًا، يجعل من الصعب على المعلم التحقق من الحل (خاصة إذا كان 
- الإجابة النهائية للمهمة).
وخاصة، لا حاجةقسّم كل عنصر من عناصر المصفوفة على ناقص سبعة:
من المقال الرياضيات للدمى أو من أين تبدأنتذكر أنه في الرياضيات العليا يحاولون تجنب الكسور العشرية بفواصل بكل طريقة ممكنة.
الشيء الوحيد هو ويفضلما يجب فعله في هذا المثال هو إضافة علامة ناقص إلى المصفوفة:
ولكن إذا فقط الجميعتم تقسيم عناصر المصفوفة على 7 دون أن يترك أثرا، فسيكون من الممكن (والضروري!) التقسيم.
مثال:
في هذه الحالة، يمكنك بحاجة لاضرب جميع عناصر المصفوفة في، حيث أن جميع أرقام المصفوفات قابلة للقسمة على 2 دون أن يترك أثرا.
ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "القسمة". بدلًا من قول "هذا مقسومًا على ذاك"، يمكنك دائمًا أن تقول "هذا مضروبًا في كسر". أي أن القسمة هي حالة خاصةعمليه الضرب.
3) الفعل الثالث. تبديل المصفوفة.
من أجل تبديل مصفوفة، تحتاج إلى كتابة صفوفها في أعمدة المصفوفة المنقولة.
مثال:
تبديل المصفوفة
يوجد سطر واحد فقط هنا، ووفقًا للقاعدة، يجب كتابته في عمود:
- مصفوفة منقولة.
يُشار عادةً إلى المصفوفة المنقولة بحرف مرتفع أو أولي في أعلى اليمين.
تبديل المصفوفة 
أولاً نعيد كتابة الصف الأول في العمود الأول:
ثم نعيد كتابة السطر الثاني في العمود الثاني: 
وأخيرًا، نعيد كتابة الصف الثالث في العمود الثالث:
مستعد. بشكل تقريبي، النقل يعني قلب المصفوفة على جانبها.
4) الفصل الرابع. مجموع (الفرق) من المصفوفات.
مجموع المصفوفات عملية بسيطة
لا يمكن طي جميع المصفوفات. لإجراء عملية الجمع (الطرح) للمصفوفات، من الضروري أن تكون بنفس الحجم.
على سبيل المثال، إذا تم إعطاء مصفوفة اثنين في اثنين، فلا يمكن إضافتها إلا بمصفوفة اثنين في اثنين وليس غيرها! 
مثال:
إضافة المصفوفات 
و 
من أجل إضافة المصفوفات، تحتاج إلى إضافة العناصر المقابلة لها:
بالنسبة لاختلاف المصفوفات فإن القاعدة متشابهة، فمن الضروري العثور على الفرق بين العناصر المقابلة.
مثال:
أوجد اختلاف المصفوفة 
, 
كيف تقرر هذا المثالأسهل حتى لا يتم الخلط؟ يُنصح بالتخلص من السلبيات غير الضرورية؛ للقيام بذلك، أضف علامة ناقص إلى المصفوفة:
ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "الطرح". بدلًا من قول "اطرح هذا من هذا"، يمكنك دائمًا أن تقول "أضف هذا إلى هذا". رقم سلبي" أي أن الطرح هو حالة خاصة من عمليات الجمع.
5) الفعل الخامس. ضرب المصفوفة.
ما المصفوفات التي يمكن ضربها؟
من أجل ضرب المصفوفة بمصفوفة، فمن الضروري بحيث يكون عدد أعمدة المصفوفة مساوياً لعدد صفوف المصفوفة.
مثال:
هل من الممكن ضرب مصفوفة بمصفوفة؟
وهذا يعني أنه يمكن ضرب بيانات المصفوفة.
ولكن إذا تم إعادة ترتيب المصفوفات، ففي هذه الحالة، لم يعد الضرب ممكنًا!
ولذلك فإن الضرب غير ممكن:
ليس من النادر أن تواجه المهام بخدعة، عندما يُطلب من الطالب ضرب المصفوفات، ومن الواضح أن ضربها مستحيل.
وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الحالات يمكن ضرب المصفوفات في كلا الاتجاهين.
على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفات، وكل من الضرب والضرب ممكنان
ترتبط التطبيقات الرئيسية للمصفوفات بالعملية عمليه الضرب.
يتم إعطاء مصفوفتين:
أ - الحجم مليون
ب - الحجم ن 
ك
لأن يتزامن طول الصف في المصفوفة A مع ارتفاع العمود في المصفوفة B، ويمكنك تحديد مصفوفة C=AB، والتي سيكون لها أبعاد m 
ك. عنصر 
المصفوفة C، الموجودة في صف i عشوائي (i=1,...,m) وعمود j عشوائي (j=1,...,k)، بحكم التعريف، تساوي المنتج القياسي من ناقلات اثنين من 
:الصف الأول من المصفوفة A والعمود j من المصفوفة B:
ملكيات:
كيف يتم تعريف عملية ضرب المصفوفة A برقم lect؟
منتج A والرقم lect هو مصفوفة يكون فيها كل عنصر مساويًا لمنتج العنصر المقابل في A و lect. عاقبة: مجموع المضاعفيمكن إخراج جميع عناصر المصفوفة من علامة المصفوفة.
13. تعريف المصفوفة العكسية وخصائصها.
تعريف. إذا كانت هناك مصفوفتان مربعتان X و A من نفس الترتيب تحققان الشرط:
حيث E هي مصفوفة الهوية بنفس ترتيب المصفوفة A، ثم تسمى المصفوفة X يعكسإلى المصفوفة A ويشار إليها بـ A -1.
خصائص المصفوفات العكسية
دعونا نشير إلى الخصائص التالية للمصفوفات العكسية:
1) (أ -1) -1 = أ؛
2) (AB) -1 = ب -1 أ -1
3) (أ تي) -1 = (أ -1) تي .
1. إذا مصفوفة معكوسةموجود، فهو الوحيد.
2. ليس كل واحد عنده غير الصفر مصفوفة مربعةالعكس موجود.
14. إعطاء الخصائص الرئيسية للمحددات.التحقق من صحة الخاصية |AB|=|A|*|B| للمصفوفات
أ= 
و ب= 
خصائص المحددات:
1. إذا كان أي صف من المحدد يتكون من أصفار، فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا.
2. عند إعادة ترتيب صفين، يتم ضرب المحدد بـ -1.
3. المحدد ذو الصفين المتماثلين يساوي صفراً.
4. يمكن إخراج العامل المشترك لعناصر أي صف من علامة المحدد.
5. إذا تم تقديم عناصر صف معين من المحدد A كمجموع حدين، فإن المحدد نفسه يساوي مجموع المحددين B و D. في المحدد B، يتكون السطر المحدد من الحدود الأولى، في د - من المصطلحات الثانية. الخطوط المتبقية من المحددات B وD هي نفسها الموجودة في A.
6. لن تتغير قيمة المحدد إذا أضيف خط آخر إلى أحد الخطوط مضروبا في أي رقم.
7. مجموع منتجات عناصر أي صف الإضافات الجبريةإلى العناصر المقابلة للصف الآخر تساوي 0.
8. محدد المصفوفة A يساوي محدد المصفوفة المنقولة A m، أي. لا يتغير المحدد عند نقله.
15. تحديد المعامل والوسيطة للرقم المركب. اكتب الأعداد √3+ على الصورة المثلثيةأنا, -1+ أنا.
يمكن ربط كل عدد مركب z=a+ib بالمتجه (a,b)€R 2. ويسمى طول هذا المتجه الذي يساوي √a 2 + b 2 معامل العدد المركب z ويشار إليه بـ |z|. تسمى الزاوية φ بين متجه معين والاتجاه الموجب لمحور الثور حجة الرقم المركب z ويشار إليه بـ arg z.
يمكن تمثيل أي رقم مركب z≠0 كـ z=|z|(cosφ +isinφ).
يُسمى هذا النوع من كتابة الأعداد المركبة علم المثلثات.
√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);
1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).
يمكن تعيين متجه (a; b) لكل رقم مركب Z = a + ib ينتمي إلى R^2. طول هذا المتجه، الذي يساوي KB من a^2 + b^2، يسمى معامل العدد المركب ويشار إليه بالمعامل Z. وتسمى الزاوية بين هذا المتجه والاتجاه الموجب لمحور الثور وسيطة العدد المركب (يشار إليها بالوسيطة Z).
سيغطي هذا الموضوع عمليات مثل جمع وطرح المصفوفات، وضرب مصفوفة في رقم، وضرب مصفوفة في مصفوفة، ونقل مصفوفة. جميع الرموز المستخدمة في هذه الصفحة مأخوذة من الموضوع السابق.
جمع وطرح المصفوفات.
مجموع $A+B$ من المصفوفات $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و$B_(m\times n)=(b_(ij))$ يسمى المصفوفة $C_(m) \times n) =(c_(ij))$، حيث $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ لكل $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline( 1,ن) $.
يتم تقديم تعريف مماثل لاختلاف المصفوفات:
الفرق بين المصفوفات $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ هي المصفوفة $C_(m\times) n)=( c_(ij))$، حيث $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ لكل $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1, ن)$.
شرح للمدخل $i=\overline(1,m)$: show\hide
الترميز "$i=\overline(1,m)$" يعني أن المعلمة $i$ تختلف من 1 إلى m. على سبيل المثال، تشير العلامة $i=\overline(1,5)$ إلى أن المعلمة $i$ تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5.
تجدر الإشارة إلى أن عمليات الجمع والطرح يتم تعريفها فقط للمصفوفات ذات الحجم نفسه. بشكل عام، جمع وطرح المصفوفات هي عمليات واضحة بشكل حدسي، لأنها تعني في الأساس مجرد جمع أو طرح العناصر المقابلة.
المثال رقم 1
يتم إعطاء ثلاث مصفوفات:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$
هل من الممكن العثور على المصفوفة $A+F$؟ ابحث عن المصفوفات $C$ و$D$ إذا كانت $C=A+B$ و$D=A-B$.
تحتوي المصفوفة $A$ على صفين و3 أعمدة (بمعنى آخر، حجم المصفوفة $A$ هو $2\times 3$)، وتحتوي المصفوفة $F$ على صفين وعمودين. حجم المصفوفتين $A$ و$F$ غير متطابقين، لذا لا يمكننا جمعهما، أي. لم يتم تعريف العملية $A+F$ لهذه المصفوفات.
أحجام المصفوفات $A$ و $B$ هي نفسها، أي. تحتوي بيانات المصفوفة على عدد متساو من الصفوف والأعمدة، وبالتالي فإن عملية الجمع تنطبق عليها.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
لنجد المصفوفة $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$
إجابة: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
ضرب مصفوفة بعدد.
حاصل ضرب المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ بالرقم $\alpha$ هو المصفوفة $B_(m\times n)=(b_(ij))$، حيث $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ للجميع $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1,n)$.
ببساطة، ضرب مصفوفة في عدد معين يعني ضرب كل عنصر في مصفوفة معينة في هذا الرقم.
المثال رقم 2
يتم إعطاء المصفوفة: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. ابحث عن المصفوفات $3\cdot A$ و$-5\cdot A$ و$-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( صفيف) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (صفيف) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$
الترميز $-A$ هو تدوين مختصر لـ $-1\cdot A$. أي أنه للعثور على $-A$، فإنك تحتاج إلى ضرب جميع عناصر المصفوفة $A$ في (-1). هذا يعني بشكل أساسي أن إشارة جميع عناصر المصفوفة $A$ ستتغير إلى العكس:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
إجابة: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
منتج من مصفوفتين.
إن تعريف هذه العملية مرهق وغير واضح للوهلة الأولى. ولذلك، سأشير أولا تعريف عام، وبعد ذلك سننظر بالتفصيل في معناها وكيفية التعامل معها.
حاصل ضرب المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ بالمصفوفة $B_(n\times k)=(b_(ij))$ هو المصفوفة $C_(m\times k) )=(c_( ij))$، حيث كل عنصر $c_(ij)$ يساوي مجموع منتجات العناصر المقابلة الخط الأولالمصفوفة $A$ إلى عناصر العمود j للمصفوفة $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
دعونا نلقي نظرة على ضرب المصفوفات خطوة بخطوة باستخدام مثال. ومع ذلك، يجب أن تلاحظ على الفور أنه لا يمكن ضرب جميع المصفوفات. إذا أردنا ضرب المصفوفة $A$ في المصفوفة $B$، فعلينا أولاً التأكد من أن عدد أعمدة المصفوفة $A$ يساوي عدد صفوف المصفوفة $B$ (غالبًا ما تسمى هذه المصفوفات متفق عليه). على سبيل المثال، لا يمكن ضرب المصفوفة $A_(5\times 4)$ (تحتوي المصفوفة على 5 صفوف و4 أعمدة) في المصفوفة $F_(9\times 8)$ (9 صفوف و8 أعمدة)، نظرًا لأن الرقم عدد أعمدة المصفوفة $A $ لا يساوي عدد صفوف المصفوفة $F$، أي. 4 دولارات/ما يعادل 9 دولارات. لكن يمكنك ضرب المصفوفة $A_(5\times 4)$ بالمصفوفة $B_(4\times 9)$، نظرًا لأن عدد أعمدة المصفوفة $A$ يساوي عدد صفوف المصفوفة $ ب $. في هذه الحالة، نتيجة ضرب المصفوفات $A_(5\times 4)$ و $B_(4\times 9)$ ستكون المصفوفة $C_(5\times 9)$، التي تحتوي على 5 صفوف و9 أعمدة:
المثال رقم 3
المصفوفات المعطاة: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (صفيف) \يمين)$ و $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. أوجد المصفوفة $C=A\cdot B$.
أولاً، دعونا نحدد على الفور حجم المصفوفة $C$. نظرًا لأن حجم المصفوفة $A$ هو $3\times 4$، وحجم المصفوفة $B$ هو $4\times 2$، فإن حجم المصفوفة $C$ هو: $3\times 2$:
لذلك، كنتيجة لمنتج المصفوفات $A$ و$B$، يجب أن نحصل على مصفوفة $C$، تتكون من ثلاثة صفوف وعمودين: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. إذا كان تعيين العناصر يثير تساؤلات، فيمكنك الاطلاع على الموضوع السابق: "أنواع المصفوفات"، وفي بدايته تم شرح تسمية عناصر المصفوفة. هدفنا: إيجاد قيم جميع عناصر المصفوفة $C$.
لنبدأ بالعنصر $c_(11)$. للحصول على العنصر $c_(11)$، تحتاج إلى إيجاد مجموع منتجات عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ والعمود الأول من المصفوفة $B$:
للعثور على العنصر $c_(11)$ نفسه، تحتاج إلى ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ في العناصر المقابلة للعمود الأول من المصفوفة $B$، أي. العنصر الأول إلى الأول، والثاني إلى الثاني، والثالث إلى الثالث، والرابع إلى الرابع. ونلخص النتائج التي تم الحصول عليها:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
لنواصل الحل ونجد $c_(12)$. للقيام بذلك، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ والعمود الثاني من المصفوفة $B$:
وكما في السابق لدينا:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
تم العثور على جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة $C$. لننتقل إلى السطر الثاني الذي يبدأ بالعنصر $c_(21)$. للعثور عليه، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة $A$ والعمود الأول من المصفوفة $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
نجد العنصر التالي $c_(22)$ عن طريق ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة $A$ في العناصر المقابلة لها في العمود الثاني من المصفوفة $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
للعثور على $c_(31)$، اضرب عناصر الصف الثالث من المصفوفة $A$ بعناصر العمود الأول من المصفوفة $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
وأخيرًا، للعثور على العنصر $c_(32)$، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الثالث من المصفوفة $A$ بالعناصر المقابلة للعمود الثاني من المصفوفة $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
تم العثور على جميع عناصر المصفوفة $C$، كل ما تبقى هو كتابة $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( صفيف) \يمين)$ . أو للكتابة كاملة:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
إجابة: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
بالمناسبة، غالبًا لا يوجد سبب لوصف موقع كل عنصر من عناصر مصفوفة النتائج بالتفصيل. بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم الصغير، يمكنك القيام بذلك:
ومن الجدير بالذكر أيضًا أن ضرب المصفوفات غير تبادلي. وهذا يعني أنه في الحالة العامة $A\cdot B\neq B\cdot A$. فقط لبعض أنواع المصفوفات، والتي تسمى قابل للتبديل(أو التنقل)، فإن المساواة $A\cdot B=B\cdot A$ صحيحة. يعتمد هذا على عدم تبادلية الضرب التي نحتاجها للإشارة بالضبط إلى كيفية ضرب التعبير في مصفوفة معينة: على اليمين أو على اليسار. على سبيل المثال، العبارة "اضرب طرفي المساواة $3E-F=Y$ في المصفوفة $A$ على اليمين" تعني أنك تريد الحصول على المساواة التالية: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $.
منقولة فيما يتعلق بالمصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ هي المصفوفة $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, للعناصر $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
ببساطة، للحصول على مصفوفة منقولة $A^T$، تحتاج إلى استبدال الأعمدة الموجودة في المصفوفة الأصلية $A$ بالصفوف المقابلة وفقًا لهذا المبدأ: كان هناك صف أول - سيكون هناك عمود أول ; كان هناك صف ثان - سيكون هناك عمود ثان؛ كان هناك صف ثالث - سيكون هناك عمود ثالث وهكذا. على سبيل المثال، لنبحث عن المصفوفة المنقولة إلى المصفوفة $A_(3\times 5)$:
وفقًا لذلك، إذا كان حجم المصفوفة الأصلية هو $3\× 5$، فإن حجم المصفوفة المنقولة يبلغ $5\× 3$.
بعض خواص العمليات على المصفوفات.
من المفترض هنا أن $\alpha$، $\beta$ هي بعض الأرقام، وأن $A$، $B$، $C$ عبارة عن مصفوفات. بالنسبة للخصائص الأربعة الأولى، فقد أشرت إلى أسماء؛ ويمكن تسمية الباقي قياسًا على الخصائص الأربعة الأولى.
- $A+B=B+A$ (إبدالية الإضافة)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ترابط الجمع)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (توزيع الضرب بمصفوفة فيما يتعلق بجمع الأرقام)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (توزيع الضرب برقم بالنسبة إلى إضافة المصفوفة)
- $أ(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$، $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$، $E\cdot A=A$، حيث $E$ هي مصفوفة الهوية بالترتيب المقابل.
- $A\cdot O=O$، $O\cdot A=O$، حيث $O$ عبارة عن مصفوفة صفرية بالحجم المناسب.
- $\left(A^T \يمين)^T=A$
- $(أ+ب)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
في الجزء التالي، سنتناول عملية رفع المصفوفة إلى قوة عدد صحيح غير سالب، وسنحل أيضًا الأمثلة التي يلزم فيها إجراء عدة عمليات على المصفوفات.
إضافة المصفوفة:
الطرح وإضافة المصفوفاتيقلل من العمليات المقابلة على عناصرها. عملية إضافة المصفوفةدخلت فقط ل المصفوفاتنفس الحجم، أي ل المصفوفاتحيث يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا على التوالي. مجموع المصفوفاتيتم استدعاء A و B مصفوفةج، التي تساوي عناصرها مجموع العناصر المقابلة لها. C = A + B c ij = a ij + b ij معرف بالمثل فرق المصفوفة.
ضرب المصفوفة بعدد :
عملية ضرب المصفوفة (القسمة).من أي حجم برقم تعسفي يتم تقليله إلى ضرب (قسمة) كل عنصر المصفوفاتلهذا الرقم. منتج المصفوفةويسمى الرقم ك مصفوفةب، هكذا
ب ي = ك × أ ي . ب = ك × أ ب ج = ك × أ ج . مصفوفة- أ = (-1) × أ يسمى العكس مصفوفةأ.
خواص جمع المصفوفات وضرب المصفوفة بعدد:
عمليات إضافة المصفوفةو ضرب المصفوفةعلى رقم له الخصائص التالية: 1. A + B = B + A؛ 2. أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج؛ 3. أ + 0 = أ؛ 4. أ - أ = 0؛ 5. 1 × أ = أ؛ 6. α × (أ + ب) = αA + αB؛ 7. (α + β) × A = αA + βA؛ 8. α × (βA) = (αβ) × A؛ ، حيث A و B و C عبارة عن مصفوفات، و α و β أرقام.
ضرب المصفوفة (منتج المصفوفة):
عملية ضرب مصفوفتينيتم إدخاله فقط في حالة عدد الأعمدة الأولى المصفوفاتيساوي عدد أسطر الثانية المصفوفات. منتج المصفوفةو م×ن على مصفوفةفي n×p، يسمى مصفوفةمع m×p بحيث يكون ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk ، أي أنه تم العثور على مجموع منتجات عناصر الصف i المصفوفاتوإلى العناصر المقابلة للعمود j المصفوفاتب. إذا المصفوفات A وB مربعان لهما نفس الحجم، وبالتالي فإن المنتجين AB وBA موجودان دائمًا. من السهل إظهار أن A × E = E × A = A، حيث A مربع مصفوفةه - الوحدة مصفوفةنفس الحجم.
خصائص ضرب المصفوفات:
ضرب المصفوفةغير تبادلية، أي AB ≠ BA حتى لو تم تعريف كلا المنتجين. ومع ذلك، إذا كان لأي المصفوفاتالعلاقة AB=BA محققة، إذن هكذا المصفوفاتتسمى تبادلية. المثال الأكثر شيوعًا هو واحد مصفوفة، الذي يتنقل مع أي شخص آخر مصفوفةنفس الحجم. فقط تلك المربعة يمكن أن تكون قابلة للتبديل المصفوفاتمن نفس الترتيب. أ × ه = ه × أ = أ
ضرب المصفوفةله الخصائص التالية: 1. أ × (ب × ج) = (أ × ب) × ج؛ 2. أ × (ب + ج) = أب + أس؛ 3. (أ + ب) × ج = أ + ب. 4. α × (AB) = (αA) × B؛ 5. أ × 0 = 0؛ 0 × أ = 0؛ 6. (AB) T = B T A T؛ 7. (ABC) T = C T V T A T؛ 8. (أ + ب) ت = أ تي + ب تي؛
2. محددات الأمرين الثاني والثالث. خصائص المحددات.
محدد المصفوفةالنظام الثاني، أو المحددالترتيب الثاني هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:
محدد المصفوفةالترتيب الثالث، أو المحددالترتيب الثالث هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:
يمثل هذا الرقم مجموعًا جبريًا يتكون من ستة حدود. يحتوي كل مصطلح على عنصر واحد بالضبط من كل صف وكل عمود المصفوفات. يتكون كل مصطلح من منتج ثلاثة عوامل.
علامات مع أي أعضاء محدد المصفوفةالمدرجة في الصيغة العثور على محدد المصفوفةويمكن تحديد الترتيب الثالث باستخدام المخطط المعطى، والذي يسمى قاعدة المثلثات أو قاعدة ساروس. الحدود الثلاثة الأولى تؤخذ بعلامة الجمع وتحدد من الشكل الأيسر، والحدود الثلاثة التالية تؤخذ بعلامة الطرح وتحدد من الشكل الأيمن.
تحديد عدد المصطلحات المطلوب العثور عليها محدد المصفوفة، في مجموع جبري، يمكنك حساب المضروب: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
خصائص محددات المصفوفة
خصائص محددات المصفوفة:
الخاصية رقم 1:
محدد المصفوفةلن يتغير إذا تم استبدال صفوفه بأعمدة، كل صف بعمود بنفس الرقم، والعكس صحيح (Transposition). |أ| = |أ| ت
عاقبة:
الأعمدة والصفوف محدد المصفوفةمتساوية، وبالتالي فإن الخصائص المتأصلة في الصفوف تتحقق أيضًا بالنسبة للأعمدة.
الخاصية رقم 2:
عند إعادة ترتيب صفين أو عمودين محدد المصفوفةسيتم تغيير الإشارة إلى العكس، مع الحفاظ على القيمة المطلقة، أي:
العقار رقم 3:
محدد المصفوفةوجود صفين متماثلين يساوي صفرًا.
العقار رقم 4:
العامل المشترك لعناصر أي سلسلة محدد المصفوفةيمكن أن تؤخذ كعلامة المحدد.
النتائج الطبيعية من العقارين رقم 3 ورقم 4:
إذا كانت جميع عناصر سلسلة معينة (صف أو عمود) متناسبة مع العناصر المقابلة لها في سلسلة متوازية، فهذا هو الحال محدد المصفوفةيساوي الصفر.
العقار رقم 5:
محدد المصفوفةتساوي الصفر، إذن محدد المصفوفةيساوي الصفر.
العقار رقم 6:
إذا كانت جميع عناصر الصف أو العمود المحددتم تقديمه كمجموع فترتين، إذن المحدد المصفوفاتيمكن تمثيلها كمجموع 2 المحدداتوفقا للصيغة:
العقار رقم 7:
إذا إلى أي صف (أو عمود) المحددأضف العناصر المقابلة لصف (أو عمود) آخر، مضروبة في نفس العدد، ثم محدد المصفوفةلن تغير قيمته
مثال على استخدام الخصائص للحساب محدد المصفوفة:
