قم ببناء رسم بياني كامل قدر الإمكان. بناء الرسوم البيانية على أساس خصائصها

المعلومات النظرية

لاحظ أنه في مشاكل البناء يجب البحث عن الحل من خلال الرسوم البيانية البسيطة غير الموجهة (أي الرسوم البيانية التي لا تحتوي على حواف متعددة وبدون حلقات). لسوء الحظ، لا توجد تقنية عالمية تسمح لك بتحديد ما إذا كان من الممكن إنشاء رسم بياني بخصائص معينة بدقة.

من المهم أن نتذكر أنه في أي رسم بياني، يكون مجموع درجات جميع رؤوسه هو رقم زوجي، يساوي ضعف عدد حواف الرسم البياني، لأن كل حافة تشارك في هذا المجموع مرتين بالضبط. هذه النتيجة، التي عرفها أويلر منذ 200 عام، تسمى غالبًا بـ "المصافحة". ويترتب على ذلك أنه إذا تصافح عدة أشخاص، فإن إجمالي عدد المصافحات يكون بالضرورة متساويًا، لأن كل مصافحة تشترك في يدين (يتم حساب كل يد بقدر ما شاركت في المصافحة). إنه يتبع هذا:

عدد القمم ذات الدرجات الفردية في أي رسم بياني زوجي؛
في أي رسم بياني مع صقمم حيث ص> 2، يوجد دائمًا على الأقل رأسان لهما نفس الدرجة؛
إذا كان في الرسم البياني مع القمم ص> 2 بالضبط رأسان لهما نفس الدرجة، ففي هذا الرسم البياني يوجد دائمًا إما رأس واحد تمامًا من الدرجة 0 أو رأس واحد بالضبط من الدرجة (ص - 1).

عند حل المشكلات، يجب عليك قراءة الشروط بعناية شديدة، نظرًا لأن العديد من الصفات التي تصف خصائص الرسم البياني لها مكافئات عددية. نقدم جدولًا بهذه المراسلات التي توجد غالبًا في صياغة المشكلات (الجدول 2.9).

بعد حصولك على جميع الأرقام اللازمة، عليك أن تحاول حساب الخصائص المفقودة للرسم البياني. في بعض الأحيان يعطي الشرط درجات كل أو عدة القمم. في هذه الحالة، واستنادًا إلى حقيقة أن كل حافة من الرسم البياني تضيف رأسين بالضبط إلى درجتها الإجمالية، يمكننا استخدام الصيغة

× 5 (ص /) =2 طن'

أين ت -عدد القمم، ويتم الجمع على جميع القمم من 1 إلى ص.

مهام

المشكلة 2.42. أنشئ رسمًا بيانيًا لثمانية رؤوس له التوزيع التالي لدرجات الرأس: رأسان من الدرجة 4؛ ثلاثة رؤوس من الدرجة 3؛ رأسين من الدرجة 2؛ قمة واحدة من الدرجة 1.

حل.

الدرجة الإجمالية لجميع الرءوس هي 2-4 + 3- 3 + 2- 2+1 1=22، مما يعني أن هناك 11 حرفًا في المجمل. من الأسهل إنشاء الرسوم البيانية بناءً على متجه الدرجات، بدءًا من القمم ذات الدرجات الكبيرة. الإصدار-

الجدول 2.9

المراسلات بين وصف الرسم البياني وخصائصه

صفة	رقم	ماذا يعني ذلك
		يحتوي الرسم البياني على مكون واحد متصل بالضبط
غير متماسك		يحتوي الرسم البياني على أكثر من مكون، وقطره يساوي تمامًا ما لا نهاية
عادي	5(U;) = سوشي	درجات جميع القمم متساوية
درجة منتظمة	з(Уи)=У	درجات جميع القمم متساوية ش.إذا كان معروفا ص(عدد القمم)، ثم يمكنك حسابها على الفور ت(عدد الأضلاع): نعم؟ ص/2 (صأو فييجب أن يكون رقمًا زوجيًا)
غير دوري	ص= ر-ع + ك = 0	الرقم الدوري هو صفر، والرسم البياني ليس له دورات، فهو عبارة عن شجرة أو غابة (اعتمادًا على الاتصال)، ويمكن دائمًا تلوين هذه الرسوم البيانية بلونين. إذا كان اثنان من المتغيرات الثلاثة معروفين ( ص, ر، ك)،ثم باستخدام الصيغة يمكنك العثور على الباقي
شجرة (أو رسم بياني متصل غير دوري)	ص=ر-ن+ 1 =0، من أين تي-ن - 1	الرقم الدوري هو صفر، والرسم البياني لا يحتوي على دورات، فهو عبارة عن شجرة، ويمكن دائمًا تلوين هذه الرسوم البيانية بلونين. إذا كان أحد المتغيرين معروفا ( صأو ت)،ثم باستخدام الصيغة يمكنك العثور على الثاني
ثنائي اللون		العدد اللوني للرسم البياني هو اثنان، ويمكن دائمًا تلوين هذه الرسوم البيانية بلونين، وهي رسوم بيانية ثنائية الأجزاء، ومن الناحية الرسومية فهي إما رسوم بيانية غير دورية أو رسوم بيانية تكون فيها جميع الدورات ذات طول متساوي

من الأفضل ترتيب الناقلات في التمثيل الرسومي للرسم البياني بحيث يتقاطع أقل عدد ممكن من الحواف والأقواس، ويتم تجميع القمم نفسها وفقًا لبعض معايير التشابه. يظهر أحد الخيارات في الشكل. 2.8.

المشكلة 2.43. أنشئ رسمًا بيانيًا لستة رؤوس له التوزيع التالي لدرجات الرأس: رأسان من الدرجة 3؛

أرز. 2.8.

رأسين من الدرجة 2؛ قمة واحدة من الدرجة 1؛ قمة واحدة لديها درجة تعسفية.

حل.

الدرجة الإجمالية للرءوس هي 11، لذلك يجب أن يكون للرأس المتبقي درجة فردية، أي. 1،3 أو 5. وبالتالي، فمن الممكن بناء ثلاثة رسوم بيانية مختلفة (الشكل 2.9).

أرز. 2.9.

المشكلة 2.44. أنشئ رسمًا بيانيًا باستخدام المتجه التالي لدرجات الرأس: 5 = (1، 2، 2، 3، 4، 4، 5).

حل.

الدرجة الإجمالية هي 5 + 8 + 3 + 4 + 1 = 21. نظرًا لأن هذا رقم فردي يتعارض مع النظرية (عدد الحواف هو نصف هذا الرقم، لكن 21 لا يقبل القسمة على 2).

إجابة.لا يوجد مثل هذا الرسم البياني.

المشكلة 2.45. أنشئ رسمًا بيانيًا باستخدام المتجه التالي لدرجات الرأس: 5 = (1، 1،2، 2، 2، 4، 4، 4، 4).

المشكلة 2.46. أنشئ رسمًا بيانيًا باستخدام المتجه التالي لدرجات الرأس: 5 = (5، 5، 6، 6، 6، 6، 6).

المشكلة 2.47. أنشئ رسمًا بيانيًا باستخدام المتجه التالي لدرجات الرأس: 5 = (1، 1، 1،2، 3، 3، 3، 3، 5، 5، 5).

المشكلة 2.48. أنشئ رسمًا بيانيًا باستخدام المتجه التالي لدرجات الرأس: 5 = (3، 3، 3، 3، 3، 3، 3، 7).

المشكلة 2.49. أنشئ رسمًا بيانيًا لستة رؤوس يكون توزيع درجات رؤوسها كما يلي: ثلاثة رؤوس من الدرجة 5، والقمم الثلاثة الأخرى مجهولة الدرجة.

المشكلة 2.50. قم بإنشاء رسم بياني لعشرة رؤوس، مع ضعف عدد الحواف مثل القمم، والتوزيع التالي لدرجات الرأس: رأسان من الدرجة 6؛ أربعة رؤوس من الدرجة 5؛ رأسان من الدرجة 4؛ رأسين بدرجة تعسفية - أو تبرير استحالة بناء مثل هذا الرسم البياني.

المشكلة 2.51. أنشئ رسمًا بيانيًا لعشرة رؤوس له توزيع درجات الرأس على النحو التالي: رأس واحد من الدرجة 7؛ رأسين من الدرجة 6؛ رأسين من الدرجة 5؛ رأسان من الدرجة 4؛ رأسين من الدرجة 3؛ قمة واحدة من الدرجة 2 - أو تبرير استحالة بناء مثل هذا الرسم البياني.

المشكلة 2.52. أنشئ رسمًا بيانيًا مكونًا من 11 رأسًا له توزيع درجات الرأس على النحو التالي: رأس واحد من الدرجة 7؛ رأسين من الدرجة 6؛ رأسين من الدرجة 5؛ رأسين من الدرجة 4؛ رأسين من الدرجة 3؛ قمة واحدة من الدرجة 2 - أو تبرير استحالة بناء مثل هذا الرسم البياني.

نظرية الرسم البياني هي فرع من الرياضيات المنفصلة التي تدرس الكائنات الممثلة كعناصر فردية (القمم) والروابط بينها (الأقواس والحواف).

نشأت نظرية الرسم البياني من حل مشكلة جسور كونيجسبيرج في عام 1736 من قبل عالم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر(1707-1783: ولد في سويسرا، عاش وعمل في روسيا).

مشكلة حول جسور كونيجسبيرج.

هناك سبعة جسور في مدينة كونيغسبيرغ البروسية على نهر بريغال. هل من الممكن العثور على مسار للمشي يمر مرة واحدة بالضبط فوق كل جسر ويبدأ وينتهي في نفس المكان؟

يسمى الرسم البياني الذي يوجد فيه مسار يبدأ وينتهي عند نفس الرأس ويمر على جميع حواف الرسم البياني مرة واحدة بالضبطالرسم البياني أويلر.

يُطلق على تسلسل القمم (ربما المتكرر) الذي يمر من خلاله المسار المطلوب، مثل المسار نفسهدورة أويلر .

مشكلة ثلاثة بيوت وثلاثة آبار.

هناك ثلاثة منازل وثلاثة آبار، تقع بطريقة أو بأخرى على متن طائرة. -رسم مسار من كل بيت إلى كل بئر حتى لا تتقاطع المسارات. تم حل هذه المشكلة (تبين أنه لا يوجد حل) على يد كوراتوفسكي (1896 - 1979) في عام 1930.

مشكلة الألوان الأربعة. يسمى تقسيم المستوى إلى مناطق غير متقاطعة بالبطاقة. تسمى مناطق الخريطة متجاورة إذا كان لها حدود مشتركة. تتمثل المهمة في تلوين الخريطة بحيث لا يتم رسم منطقتين متجاورتين بنفس اللون. منذ نهاية القرن التاسع عشر، عُرفت فرضية مفادها أن أربعة ألوان كافية لذلك. ولم يتم إثبات الفرضية بعد.

يتمثل جوهر الحل المنشور في تجربة عدد كبير ولكن محدود (حوالي 2000) من الأمثلة المضادة المحتملة لنظرية الألوان الأربعة وإظهار أنه لا توجد حالة واحدة تعتبر مثالًا مضادًا. تم الانتهاء من هذا البحث بواسطة البرنامج في حوالي ألف ساعة من تشغيل الكمبيوتر العملاق.

من المستحيل التحقق من الحل الناتج "يدويًا" - نطاق التعداد يتجاوز نطاق القدرات البشرية. يطرح العديد من علماء الرياضيات السؤال التالي: هل يمكن اعتبار مثل هذا "الدليل البرنامجي" دليلاً صالحًا؟ في النهاية قد تكون هناك أخطاء في البرنامج..

وبالتالي، لا يمكننا الاعتماد إلا على مهارات البرمجة للمؤلفين ونعتقد أنهم فعلوا كل شيء بشكل صحيح.

التعريف 7.1. عدد ز= ز(الخامس, ه) عبارة عن مجموعة من مجموعتين محدودتين: V - تسمى العديد من القمموالمجموعة E من أزواج العناصر من V، أي. EÍV´V، دعا العديد من الحواف، إذا كانت الأزواج غير مرتبة، أو العديد من الأقواس، إذا تم ترتيب الأزواج.

في الحالة الأولى، الرسم البياني ز(الخامس, ه) مُسَمًّى صعب، في الثانية - الموجهة.

مثال. رسم بياني بمجموعة الرؤوس V = (a,b,c) ومجموعة الحواف E =((a, b), (b, c))

مثال. رسم بياني مع V = (a,b,c,d,e) و E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (ج، د))،

إذا كانت e=(v 1 ,v 2), еОЕ، فإنهم يقولون أن الحافة هي e يربطالقمم الخامس 1 والخامس 2.

يتم استدعاء القمتين v 1,v 2 مجاورإذا كان هناك حافة تربط بينهما. في هذه الحالة، يتم استدعاء كل من القمم حادثة الحافة المقابلة .

ضلعين مختلفين مجاور، إذا كان لديهم قمة مشتركة. في هذه الحالة، يتم استدعاء كل من الحواف عرضي قمة المقابلة .

عدد رؤوس الرسم البياني زدعونا نشير الخامس، وعدد الحواف هو ه:

التمثيل الهندسي للرسوم البيانية هو كما يلي:

1) قمة الرسم البياني هي نقطة في الفضاء (على المستوى)؛

2) حافة الرسم البياني غير الموجه – قطعة؛

3) قوس الرسم البياني الموجه – الجزء الموجه.

التعريف 7.2.إذا حدث في الحافة e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2، فإن الحافة e تسمى حلقة. إذا كان الرسم البياني يسمح بالحلقات، فسيتم استدعاؤه الرسم البياني مع الحلقات أو رسم زائف .

إذا كان الرسم البياني يسمح بوجود أكثر من حافة واحدة بين رأسين، فإنه يسمى multigraph .

إذا تم تسمية كل قمة من الرسم البياني و/أو الحافة، فسيتم استدعاء هذا الرسم البياني ملحوظ (أو محمل ). عادة ما تستخدم الحروف أو الأعداد الصحيحة كعلامات.

التعريف 7.3.رسم بياني ز (الخامس , ه ) مُسَمًّى رسم بياني فرعي (أو جزء ) رسم بياني ز(الخامس,ه)، لو الخامس الخامس, ه ه. لو الخامس = الخامس، الذي - التي ز مُسَمًّى رسم بياني فرعي ممتد ز.

مثال 7 . 1 . نظرا لرسم بياني غير موجه.

التعريف 7.4.يسمى الرسم البياني مكتمل ، لو أي رأساه متصلان بحافة. الرسم البياني الكامل مع نيُشار إلى القمم بـ ك ن .

التهم ك 2 ، ل 3, ل 4 و ك 5 .

التعريف 7.5.رسم بياني ز=ز(الخامس, ه) يسمى ذو فلقتين ، لو الخامسيمكن تمثيلها كاتحاد لمجموعات مفككة، على سبيل المثال الخامس=أب، بحيث يكون لكل حافة الشكل ( الخامس أنا , الخامس ي)، أين الخامس أنا أو الخامس ي ب.

تربط كل حافة قمة من A إلى قمة من B، لكن لا يوجد رأسان من A أو رأسان من B متصلان.

يسمى الرسم البياني الثنائي ثنائي الفلقة كاملة عدد ك م , ن، لو أيتضمن مقمم, بيتضمن نالقمم ولكل الخامس أنا أ, الخامس ي بلدينا ( الخامس أنا , الخامس ي)ه.

وهكذا للجميع الخامس أنا أ، و الخامس ي بهناك حافة تربطهم.

ك 12 ك 23 ك 22 ك 33

مثال 7 . 2 . إنشاء رسم بياني ثنائي كامل ك 2.4 والرسم البياني الكامل ك 4 .

الرسم البياني للوحدةن-مكعب الأبعادفي ن .

رؤوس الرسم البياني عبارة عن مجموعات ثنائية ذات أبعاد n. تربط الحواف القمم التي تختلف في إحداثية واحدة.

مثال:

يعد تنسيق ملف الرسومات طريقة لتمثيل البيانات الرسومية على الوسائط الخارجية. هناك تنسيقات نقطية ومتجهة لملفات الرسوم، ومن بينها، بدورها، تنسيقات رسومية عالمية وتنسيقات خاصة (أصلية) للتطبيقات الرسومية.

يتم "فهم" تنسيقات الرسوم العالمية من خلال جميع التطبيقات التي تعمل مع الرسومات النقطية (المتجهة).

تنسيق الرسم النقطي العالمي هو تنسيق BMP. تحتوي ملفات الرسوم بهذا التنسيق على حجم كبير من المعلومات، حيث أنها تخصص 24 بت لتخزين معلومات حول لون كل بكسل.

يمكن للرسومات المحفوظة بتنسيق الصورة النقطية العالمي GIF أن تستخدم 256 لونًا مختلفًا فقط. هذه اللوحة مناسبة للرسوم التوضيحية والصور التوضيحية البسيطة. تحتوي ملفات الرسوم بهذا التنسيق على حجم معلومات صغير. وهذا مهم بشكل خاص للرسومات المستخدمة على شبكة الإنترنت العالمية،

والتي يرغب المستخدمون في ظهور المعلومات التي طلبوها على الشاشة في أسرع وقت ممكن.

تم تصميم التنسيق النقطي العالمي JPEG خصيصًا للتخزين الفعال للصور ذات جودة التصوير الفوتوغرافي. يمكن لأجهزة الكمبيوتر الحديثة إنتاج أكثر من 16 مليون لون، معظمها لا يمكن تمييزه بالعين البشرية. يتيح لك تنسيق JPEG التخلص من مجموعة متنوعة من ألوان وحدات البكسل المجاورة التي تعتبر "مفرطة" بالنسبة للإدراك البشري. يتم فقدان بعض المعلومات الأصلية، ولكن هذا يضمن تقليل حجم المعلومات (ضغط) ملف الرسوم. يتم منح المستخدم الفرصة لتحديد درجة ضغط الملف. إذا كانت الصورة التي يتم حفظها هي صورة من المفترض أن تتم طباعتها على ورقة كبيرة الحجم، فإن فقدان المعلومات أمر غير مرغوب فيه. إذا تم وضع هذه الصورة على صفحة XL، فيمكن ضغطها بأمان عشرات المرات: وستكون المعلومات المتبقية كافية لإعادة إنتاج الصورة على شاشة العرض.

تتضمن تنسيقات الرسومات المتجهة العالمية تنسيق WMF، المستخدم لتخزين مجموعة من صور Microsoft (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

يتيح لك تنسيق EPS العالمي تخزين معلومات حول الرسومات النقطية والمتجهة. وغالبا ما يستخدم للواردات! الملفات في برامج لإعداد المنتجات المطبوعة.

سوف تتعرف على التنسيقات الخاصة بك مباشرة في عملية العمل مع التطبيقات الرسومية. إنها توفر أفضل نسبة لجودة الصورة وحجم معلومات الملف، ولكنها مدعومة (أي يتم التعرف عليها وتشغيلها) فقط من خلال التطبيق نفسه الذي يقوم بإنشاء الملف.

المشكلة 1. يتم استخدام 3 بايت لتشفير بكسل واحد. تم حفظ الصورة بأبعاد 2048 × 1536 بكسل كملف غير مضغوط. تحديد حجم الملف الناتج. حل.

I-k.i i-I/k

ط-2. 1024 8/(128.128) =

2 2 10 2 3 /(2 7 2 7) = 2 1 + 10 + 3 /2 7 + 7 2 14 /2 14 = 1 (بت). إل جي-21-2.

الجواب: لونين - أبيض وأسود.

الأكثر أهمية

رسومات الكمبيوتر هي مفهوم واسع يشير إلى: 1) أنواع مختلفة من الكائنات الرسومية التي تم إنشاؤها أو معالجتها باستخدام أجهزة الكمبيوتر؛ 2) مجال النشاط الذي تستخدم فيه أجهزة الكمبيوتر كأدوات لإنشاء ومعالجة الكائنات الرسومية.

اعتمادا على طريقة إنشاء صورة رسومية، يتم تمييز الرسومات النقطية والمتجهة.

في الرسومات النقطية، يتم تشكيل الصورة على شكل خطوط نقطية لمجموعة من النقاط (البكسلات) التي تشكل صفوفًا وأعمدة. عندما يتم حفظ صورة نقطية في ذاكرة الكمبيوتر، يتم تخزين معلومات حول لون كل بكسل مضمن فيها.

في الرسومات المتجهة، يتم تشكيل الصور على أساس مجموعات البيانات (المتجهات) التي تصف كائنًا رسوميًا معينًا وصيغًا لبناءها. عند حفظ صورة متجهة، يتم إدخال معلومات حول أبسط الكائنات الهندسية التي تتكون منها في ذاكرة الكمبيوتر.

يعد تنسيق ملف الرسومات طريقة لتمثيل البيانات الرسومية على الوسائط الخارجية. هناك تنسيقات نقطية ومتجهة لملفات الرسوم، ومن بينها، بدورها، تنسيقات رسومية عالمية وتنسيقات خاصة للتطبيقات الرسومية.

أ- الأسئلة والمهام

1. ما هي الرسومات الحاسوبية؟

2. اذكر المجالات الرئيسية لتطبيق رسومات الحاسوب.

ح. كيف يمكن إنتاج الرسومات الرقمية؟

4. يتم مسح صورة ملونة بحجم 10 × 15 سم بدقة الماسح الضوئي 600 × 600 نقطة في البوصة، وعمق الألوان - 3 بايت. ما هو حجم المعلومات الذي سيحتوي عليه ملف الرسم الناتج؟

5. ما الفرق بين الطرق النقطية والمتجهة لتمثيل الصورة؟

ب. لماذا يُعتقد أن الصور النقطية تنقل الألوان بدقة شديدة؟

7. ما هي عملية تحويل الصورة النقطية التي تؤدي إلى أكبر خسارة لجودتها - تصغيرها أو تكبيرها؟ كيف تستطيع شرح هذا؟

8. لماذا لا يؤثر القياس على جودة الصور المتجهة؟

9. كيف يمكنك شرح تنوع تنسيقات الملفات الرسومية؟

رسومات الحاسوب

10. ما هو الفرق الرئيسي بين تنسيقات الرسومات العالمية وتنسيقات تطبيقات الرسومات الخاصة؟

11. قم بإنشاء رسم بياني كامل قدر الإمكان للمفاهيم الواردة في القسم 3.2.4.

12. قم بتقديم وصف تفصيلي للصور النقطية والمتجهة، مع الإشارة إلى ما يلي:

أ) من العناصر التي تم بناء الصورة؛

ب) ما هي المعلومات حول الصورة المخزنة في الذاكرة الخارجية؛

ج) كيفية تحديد حجم الملف الذي يحتوي على صورة رسومية؛

د) كيف تتغير جودة الصورة عند القياس؛

ه) ما هي المزايا والعيوب الرئيسية للصور النقطية (المتجهة).

13. تم حفظ رسم بأبعاد 1024 × 512 بكسل كملف غير مضغوط بحجم 1.5 ميجابايت. ما مقدار المعلومات التي تم استخدامها لتشفير لون البكسل؟ ما هو أقصى عدد ممكن من الألوان في اللوحة المقابلة لعمق الألوان هذا؟

14. الصورة النقطية غير المضغوطة مقاس 256 × 128 بكسل تشغل 16 كيلو بايت من الذاكرة. ما هو أقصى عدد ممكن من الألوان في لوحة الصور؟

نظرية الرسم البياني- أحد أكثر أقسام الرياضيات المنفصلة شمولاً، ويستخدم على نطاق واسع في حل المشكلات الاقتصادية والإدارية، في البرمجة والكيمياء وتصميم ودراسة الدوائر الكهربائية والاتصالات وعلم النفس وعلم النفس وعلم الاجتماع واللغويات وغيرها من مجالات المعرفة. نظرية الرسم البيانييدرس بشكل منهجي ومتسق خصائص الرسوم البيانية، والتي يمكن القول أنها تتكون من مجموعات من النقاط ومجموعات من الخطوط التي تمثل الروابط بين هذه النقاط. يعتبر مؤسس نظرية الرسم البياني ليونارد أويلر (1707-1882)، الذي حل مشكلة جسور كونيجسبيرج المعروفة في عام 1736.

يتم بناء الرسوم البيانيةمن أجل عرض العلاقات على مجموعات. دعونا، على سبيل المثال، تكون مجموعة أ = {أ1 , أ 2 , ... أن)- الكثير من الناس، وسيتم عرض كل عنصر كنقطة. مجموعة من ب = {ب1 , ب 2 , ... بم)- العديد من الاتصالات (خطوط مستقيمة، أقواس، شرائح - لا يهم بعد). على مجموعة أيتم إعطاء علاقة التعارف بين الأشخاص من هذه المجموعة. بناء الرسم البيانيمن النقاط والوصلات. ستقوم الروابط بربط أزواج من الأشخاص الذين يعرفون بعضهم البعض. وبطبيعة الحال، قد يختلف عدد معارف بعض الأشخاص عن عدد معارف أشخاص آخرين، وقد لا يعرف البعض أحدا (هذه العناصر ستكون نقاطا غير مرتبطة بأي شيء آخر). إذن لدينا رسم بياني!

ما أطلقنا عليه في البداية "النقاط" يجب أن يسمى رؤوس الرسم البياني، وما أسميناه "الاتصالات" يجب أن يسمى حواف الرسم البياني.

لا تأخذ نظرية الرسم البياني بعين الاعتبار الطبيعة المحددة للمجموعات أو ب. هناك عدد كبير من المشكلات المحددة المختلفة جدًا، عند حلها، يمكنك نسيان المحتوى المحدد للمجموعات وعناصرها مؤقتًا. وهذه الخصوصية لا تؤثر بأي شكل من الأشكال على سير حل المشكلة مهما كانت صعوبتها! على سبيل المثال، عند تحديد ما إذا كان ذلك ممكنا من نقطة ما أأوضح ماذا تقصد ه، والتحرك فقط على طول الخطوط التي تربط النقاط، ولا يهم ما إذا كنا نتعامل مع الأشخاص أو المدن أو الأرقام وما إلى ذلك. ولكن عندما يتم حل المشكلة، نحصل على حل صحيح لأي محتوى تم تصميمه على شكل رسم بياني. ليس من المستغرب إذن أن تكون نظرية الرسم البياني إحدى الأدوات الأكثر شيوعًا في إنشاء الذكاء الاصطناعي: بعد كل شيء، يمكن للذكاء الاصطناعي أن يناقش مع محاوره قضايا الحب، وقضايا الموسيقى أو الرياضة، وقضايا حل المشكلات المختلفة. ، ويفعل ذلك دون أي انتقال (تبديل)، والذي بدونه لا يستطيع الإنسان الاستغناء عنه في مثل هذه الحالات.

والآن التعريفات الرياضية الصارمة للرسم البياني.

التعريف 1.يطلق عليه الرسم البيانينظام من الكائنات ذات الطبيعة التعسفية (القمم) والروابط (الحواف) التي تربط بعض أزواج هذه الكائنات.

التعريف 2.يترك الخامس- (غير فارغة) مجموعة من القمم والعناصر الخامس∈الخامس- القمم. رسم بياني ز = ز(الخامس) مع العديد من القمم الخامسهناك عائلة معينة من الأزواج من النموذج: ه = (أ, ب) ، أين أ,ب∈الخامس ، مما يشير إلى القمم التي تظل متصلة. كل زوج ه = (أ, ب) - حافة الرسم البياني. مجموعة من ش- حواف كثيرة هرسم بياني. القمم أو ب- نقاط نهاية الحافة ه .

الرسوم البيانية كبنية البيانات.يرجع الاستخدام الواسع النطاق لنظرية الرسم البياني في علوم الكمبيوتر وتكنولوجيا المعلومات إلى إضافة مفهوم الرسم البياني كبنية بيانات إلى التعريفات المذكورة أعلاه. في علوم الكمبيوتر وتكنولوجيا المعلومات، يتم تعريف الرسم البياني على أنه بنية بيانات غير خطية. ما هي إذن بنية البيانات الخطية وكيف تختلف الرسوم البيانية عنها؟ تتميز هياكل البيانات الخطية بحقيقة أنها تربط العناصر من خلال علاقات من نوع "الجوار البسيط". هياكل البيانات الخطية هي، على سبيل المثال، المصفوفات والجداول والقوائم وقوائم الانتظار والمكدسات والسلاسل. في المقابل، هياكل البيانات غير الخطية هي تلك التي تقع العناصر فيها على مستويات مختلفة من التسلسل الهرمي وتنقسم إلى ثلاثة أنواع: الأصلية، والمولدة، والمماثلة. لذلك، الرسم البياني هو بنية بيانات غير خطية.

كلمة الرسم البياني هي من أصل يوناني، من الكلمات "أنا أكتب"، "أصف". منذ بداية هذه المقالة، نعرف بالضبط ما يصفه الرسم البياني: فهو يصف العلاقات. أي أن أي رسم بياني يصف العلاقات. والعكس صحيح: يمكن وصف أي علاقة على أنها رسم بياني.

المفاهيم الأساسية لنظرية الرسم البياني

يعد مفهوم الحدوث ضروريًا أيضًا عند تطوير الخوارزميات لحل العديد من المشكلات العملية المتعلقة بالرسوم البيانية. على سبيل المثال، يمكنك التعرف على تنفيذ البرنامج اجتياز العمق الأول للرسم البياني الذي تمثله مصفوفة الإصابة. الفكرة بسيطة: يمكنك فقط التحرك عبر القمم المتصلة بالحواف. وإذا تم تعيين بعض القيم للحواف ("المقاييس"، غالبًا ما تكون على شكل أرقام، تسمى هذه الرسوم البيانية مرجحة أو معنونة)، فيمكن حل المشكلات التطبيقية المعقدة، والتي تم ذكر بعضها في الفقرة الأخيرة من هذا الدرس.

المشاكل الكلاسيكية لنظرية الرسم البياني وحلولها

أحد الأمثلة المنشورة الأولى للعمل على نظرية الرسم البياني وتطبيق الرسوم البيانية هو العمل على "مشكلة جسور كونيجسبيرج" (1736)، الذي ألفه عالم الرياضيات البارز في القرن الثامن عشر ليونارد أويلر. وتحتوي المشكلة على نهر وجزر يغسلها هذا النهر وعدة جسور. سؤال المشكلة: هل يمكن بعد الخروج من نقطة معينة عبور كل جسر مرة واحدة فقط والعودة إلى نقطة البداية؟ (الصورة أدناه)

يمكن صياغة المشكلة على النحو التالي: يتم ربط نقطة واحدة بكل مساحة أرض، ويتم ربط نقطتين بخط إذا وفقط إذا كانت مساحات الأرض المقابلة متصلة بواسطة جسر (الشكل أدناه، يتم رسم خطوط الربط بخطوط منقطة) . وهكذا، يتم بناء الرسم البياني.

إجابة أويلر على سؤال المشكلة هي كما يلي. إذا كان لهذه المشكلة حل إيجابي، فسيكون هناك في الرسم البياني الناتج مسار مغلق يمر على طول الحواف ويحتوي على كل حافة مرة واحدة فقط. إذا كان هذا المسار موجودًا، فيجب أن يكون لكل قمة عدد زوجي فقط من الحواف. لكن التمثيل البياني الناتج يحتوي على رءوس تحتوي على عدد فردي من الحواف. ولذلك، فإن المشكلة ليس لها حل إيجابي.

وفقًا للتقاليد الراسخة، فإن الرسم البياني الأويليري هو رسم بياني يمكن من خلاله اجتياز جميع القمم وفي نفس الوقت اجتياز حافة واحدة مرة واحدة فقط. في ذلك، يجب أن يكون لكل قمة عدد زوجي فقط من الحواف. توجد مشكلة متوسطة الصعوبة في الرسوم البيانية لأويلر في مادة "الأنواع الأساسية للرسوم البيانية".

في عام 1847، طور كيرشوف نظرية الأشجار لحل نظام متزامن من المعادلات الجبرية الخطية، مما يسمح للمرء بإيجاد قيمة التيار في كل موصل (قوس) وفي كل دائرة من الدائرة الكهربائية. تجريدًا من الدوائر الكهربائية والدوائر التي تحتوي على مقاومات ومكثفات ومحاثات وما إلى ذلك، فقد نظر في الهياكل التوافقية المقابلة التي تحتوي فقط على القمم والوصلات (الحواف أو الأقواس)، وبالنسبة للتوصيلات ليست هناك حاجة إلى مراعاة أنواع العناصر الكهربائية أنها تتوافق مع . وهكذا، استبدل كيرشوف كل دائرة كهربائية برسم بياني مناظر، وأظهر أنه لحل نظام من المعادلات، ليس من الضروري النظر في كل دورة من رسم بياني للدائرة الكهربائية بشكل منفصل.

اكتشف كايلي في عام 1858، أثناء عمله على مسائل عملية بحتة في الكيمياء العضوية، فئة مهمة من الرسوم البيانية تسمى الأشجار. لقد سعى إلى إدراج أيزومرات الهيدروكربونات المشبعة بعدد معين من ذرات الكربون. قام كايلي أولًا بصياغة المشكلة بشكل تجريدي: أوجد عدد جميع الأشجار التي بها صالقمم، كل منها له رؤوس بالدرجات 1 و 4. لم يتمكن من حل هذه المشكلة على الفور، وبدأ في تغيير صياغتها بطريقة يمكن من خلالها حل مشكلة التعداد الجديدة:

الأشجار ذات الجذور (التي يتم فيها اختيار أحد القمم)؛
جميع الأشجار؛
الأشجار التي لا تزيد درجات رؤوسها عن 4؛
الأشجار التي درجات قمة رأسها 1 و 4 (بيان مشكلة من الكيمياء).

مسائل الرسم البياني لتعزيز المفاهيم الأساسية

مثال 1.يترك أ- مجموعة الأرقام 1، 2، 3: أ= (1، 2، 3) . قم بإنشاء رسم بياني لعرض العلاقة "

حل. من الواضح أن الأرقام 1، 2، 3 يجب أن تمثل كرؤوس الرسم البياني. ثم يجب أن يكون كل زوج من القمم متصلاً بحافة واحدة. لحل هذه المشكلة، وصلنا إلى مثل هذه المفاهيم الأساسية لنظرية الرسم البياني مثل الرسوم البيانية الموجهة وغير الموجهة. الرسوم البيانية غير الموجهة هي تلك التي ليس لحوافها أي اتجاه. أو، كما يقولون في كثير من الأحيان، فإن ترتيب طرفي الحافة ليس مهمًا. في الواقع، الرسم البياني الذي تم إنشاؤه في بداية هذا الدرس والذي يمثل علاقة التعارف بين الأشخاص لا يحتاج إلى اتجاهات حافة، حيث يمكن القول بأن "الشخص رقم 1" على دراية بـ "الشخص رقم 2" بنفس القدر كـ "الشخص رقم 2" مع "الشخص رقم 1". في مثالنا الحالي، هناك رقم أقل من الآخر، ولكن ليس العكس. لذلك، يجب أن يكون للحافة المقابلة للرسم البياني اتجاه يشير إلى الرقم الأقل من الآخر. وهذا يعني أن ترتيب نهايات الحافة مهم. يسمى هذا الرسم البياني (مع وجود حواف ذات اتجاه) بالرسم البياني الموجه أو الرسم البياني.

هكذا في كثرتنا أالرقم 1 أقل من الرقم 2 والرقم 3، والرقم 2 أقل من الرقم 3. ونعرض هذه الحقيقة من خلال الحواف التي لها اتجاه، وهو ما يظهر بواسطة الأسهم. نحصل على الرسم البياني التالي:

مثال 2.يترك أ- مجموعة الأرقام 2، 4، 6، 14: أ= (2، 4، 6، 14) . أنشئ رسمًا بيانيًا لعرض العلاقة "القابلة للقسمة على" في هذه المجموعة.

حل. في هذا المثال، بعض الحواف سيكون لها اتجاه، والبعض الآخر لن يكون، أي أننا نقوم بالبناء رسم بياني مختلط. دعونا ندرج العلاقات في المجموعة: 4 يقبل القسمة على 2، 6 يقبل القسمة على 2، 14 يقبل القسمة على 2، وكل رقم من هذه المجموعة يقبل القسمة على نفسه. هذه العلاقة، أي عندما يكون العدد قابلاً للقسمة على نفسه، سيتم عرضها على شكل حواف تربط الرأس بنفسه. تسمى هذه الحواف حلقات. في هذه الحالة ليست هناك حاجة لإعطاء الاتجاه للحلقة. إذن في مثالنا هناك ثلاث حواف موجهة منتظمة وأربع حلقات. نحصل على الرسم البياني التالي:

مثال 3.اسمحوا مجموعات معينة أ= (α، β، γ) و ب= (أ، ب، ج) . أنشئ رسمًا بيانيًا لعرض العلاقة "الضرب الديكارتي للمجموعات".

حل. كما هو معروف من التعريف المنتج الديكارتي للمجموعات، لا توجد مجموعات مرتبة من عناصر نفس المجموعة. وهذا يعني أنه في مثالنا، لا يمكنك الجمع بين الحروف اليونانية مع اليونانية واللاتينية مع اللاتينية. يتم عرض هذه الحقيقة كما رسم بياني ثنائيأي أن القمم تنقسم إلى قسمين بحيث لا تكون القمم التي تنتمي إلى نفس الجزء متصلة ببعضها البعض. نحصل على الرسم البياني التالي:

مثال 4.توظف الوكالة العقارية مديرين إيجور وسيرجي وبيتر. تتم خدمة الكائنات O1، O2، O3، O4، O5، O6، O7، O8. قم بإنشاء رسم بياني لعرض العلاقات "إيجور يعمل مع الكائنات O4، O7"، "سيرجي يعمل مع الكائنات O1، O2، O3، O5، O6"، "بيتر يعمل مع الكائن O8".

حل. سيكون الرسم البياني الذي يعرض هذه العلاقات ثنائيًا أيضًا، نظرًا لأن المدير لا يعمل مع المدير والكائن لا يعمل مع الكائن. ومع ذلك، على عكس المثال السابق، سيتم توجيه الرسم البياني. في الواقع، على سبيل المثال، يعمل Igor مع الكائن O4، لكن الكائن O4 لا يعمل مع Igor. في كثير من الأحيان، عندما تكون خاصية العلاقات هذه واضحة، فإن الحاجة إلى إعطاء الاتجاه للحواف قد تبدو مثل "الغباء الرياضي". ولكن لا يزال، وهذا يتبع الطبيعة الصارمة للرياضيات، إذا كانت العلاقة من جانب واحد، فمن الضروري إعطاء توجيهات للحواف. في التطبيقات العلائقية، تؤتي هذه الدقة ثمارها، على سبيل المثال، في البرامج المصممة للتخطيط، حيث يتم استخدام الرسوم البيانية أيضًا ويجب أن يمر المسار على طول القمم والحواف بدقة في اتجاه معين. وبذلك نحصل على الرسم البياني الثنائي الموجه التالي:

ومرة أخرى إلى الأمثلة بالأرقام.

مثال 5.دع مجموعة تعطى ج = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . قم بإنشاء رسم بياني ينفذ علاقة تحدد جميع أزواج الأرقام أو بمن العديد جحيث أنه عند قسمة العنصر الثاني على الأول نحصل على حاصل قسمة أكبر من 1.

حل. سيتم توجيه الرسم البياني الذي يعرض هذه العلاقات، حيث أن الشرط يحتوي على ذكر العنصرين الثاني والأول، أي أنه سيتم توجيه الحافة من العنصر الأول إلى العنصر الثاني. ومن هذا يتضح بوضوح أي عنصر هو الأول وأي عنصر هو الثاني. دعنا نضيف أيضًا بعض المصطلحات: عادةً ما تسمى الحواف الموجهة بالأقواس. سيكون هناك 7 أقواس في الرسم البياني لدينا: ه1 = (3, 15) , ه2 = (3, 18) , ه3 = (5, 15) , ه4 = (3, 6) , ه5 = (2, 18) , ه6 = (6, 18) , ه7 = (2, 6) . في هذا المثال، يتم ترقيم حواف (أقواس) الرسم البياني ببساطة، لكن الأرقام التسلسلية ليست هي الشيء الوحيد الذي يمكن تخصيصه لقوس. يمكن أيضًا تعيين مقاييس للقوس، على سبيل المثال، تكلفة إرسال البضائع من نقطة إلى أخرى. لكننا سنتعرف على أوزان القوس لاحقًا وبمزيد من التفاصيل. وبذلك نحصل على الرسم البياني الموجه التالي:

كما نعلم بالفعل من الجزء التمهيدي النظري، فإن نظرية الرسم البياني لا تأخذ في الاعتبار الطبيعة المحددة للمجموعات وبمساعدة نفس الرسم البياني من الممكن تحديد العلاقات على مجموعات ذات محتويات مختلفة جدًا. أي أنه يمكن استخلاص هذا المحتوى بالذات عند نمذجة المشكلة. دعنا ننتقل إلى الأمثلة التي توضح هذه الخاصية الرائعة لنظرية الرسم البياني.

مثال 6.على قطعة من رقعة الشطرنج قياس 3×3، يوضع فارسان أبيضان وفارسان أسودان كما هو موضح في الشكل أدناه.

هل من الممكن نقل الفرسان إلى الحالة الموضحة في الشكل التالي، دون أن ننسى أنه لا يمكن أن تكون قطعتين في نفس المربع؟

حل. في الرسم البياني الذي تم إنشاؤه، سيتم ربط أزواج القمم بعلاقة "حركة الفارس". أي أن إحدى القمم هي التي خرج منها الفارس، والأخرى هي التي وصل إليها، والخلية المتوسطة للحرف "r" ستكون خارج هذه العلاقة. نحصل على الرسم البياني التالي:

ومع ذلك فقد تبين أن التصميم مرهق. تظهر فيه خلايا رقعة الشطرنج، وتتقاطع العديد من حواف الرسم البياني. هل من الممكن التجريد من المظهر المادي لرقعة الشطرنج وتخيل العلاقة بشكل أكثر بساطة؟ اتضح أن هذا ممكن. في الرسم البياني الجديد، ستكون القمم المجاورة هي تلك المرتبطة بعلاقة "حركة الفارس"، وليس تلك المجاورة على رقعة الشطرنج (الشكل أدناه).

من السهل الآن أن نرى أن الإجابة على سؤال هذه المشكلة سلبية. في الحالة الأولية لا يوجد فارس أسود بين فارسين أبيضين، لكن في الحالة النهائية يجب أن يكون هناك هذا الفارس الأسود. تم وضع حواف الرسم البياني بحيث لا يتمكن الفارسان المتجاوران من القفز فوق بعضهما البعض.

مثال 7.مشكلة الذئب والماعز والملفوف. على إحدى ضفتي النهر يوجد رجل (H)، قارب، ذئب (V)، عنزة (Kz) وملفوف (Kp). لا يجوز تواجد أكثر من شخص واحد من الأشياء المنقولة في القارب في نفس الوقت. يجب على الشخص نقل جميع الأشياء إلى الجانب الآخر، مع مراعاة الحالة: لا يمكن ترك الذئب دون مراقبة مع عنزة، أو عنزة مع ملفوف.

حل. في الرسم البياني الذي تم إنشاؤه، تكون القمم عبارة عن تكوينات، والحواف هي علاقة "الاتصال بركوب قارب واحد" بين التكوينات. التكوين يعني ترتيب الأشياء على الضفة الأصلية وعلى الضفة المقابلة. يتم عرض كل تكوين كـ ( أ|ب) ، أين أ- الأشياء الموجودة على الشاطئ الأصلي، و ب- الأشياء الموجودة على الضفة المقابلة. التكوين الأولي لذلك - (بمكبكز| ) . على سبيل المثال، بعد نقل الماعز إلى الجانب الآخر، سيكون التكوين (فكب|ChKz) . التكوين النهائي هو دائما ( |بمكبكز) . يمكننا الآن إنشاء رسم بياني، مع معرفة ما تعنيه القمم والحواف:

لنضع رؤوس الرسم البياني بحيث لا تتقاطع حوافه، والقمم المجاورة هي تلك التي ترتبط بعلاقة على الرسم البياني. بعد ذلك سيكون من الأسهل بكثير رؤية العلاقات (لتكبير الصورة، انقر بزر الماوس الأيسر عليها):

كما نرى، هناك طريقان مستمران مختلفان من التكوين الأولي إلى التكوين النهائي. ولذلك، فإن المشكلة لها حلان مختلفان (وكلاهما صحيح).

نظرية الرسم البياني وأهم المسائل التطبيقية الحديثة

استنادًا إلى نظرية الرسوم البيانية، تم تطوير طرق لحل المشكلات التطبيقية التي يتم فيها تصميم أنظمة معقدة للغاية في شكل رسوم بيانية. في هذه النماذج، تحتوي العقد على مكونات فردية، وتمثل الحواف الروابط بين المكونات. عادةً ما يتم استخدام الرسوم البيانية المرجحة لنمذجة شبكات النقل وأنظمة الانتظار وتخطيط الشبكة. لقد تحدثنا عنها بالفعل؛ وهي عبارة عن رسوم بيانية يتم فيها تعيين الأوزان للأقواس.

تُستخدم الرسوم البيانية الشجرية، على سبيل المثال، في البناء أشجار القرار(يستخدم لتحليل المخاطر، وتحليل المكاسب والخسائر المحتملة في ظل ظروف عدم اليقين). باستخدام نظرية الرسم البياني، المتقدمة و العديد من النماذج الرياضية الأخرىلحل المشاكل في مجالات موضوعية محددة.

الرسوم البيانية ومشكلة التدفق

صياغة المشكلة. يوجد نظام أنابيب المياه، ويمثله الرسم البياني في الشكل أدناه.

يمثل كل قوس من الرسم البياني أنبوبًا. الأرقام الموجودة فوق الأقواس (المقاييس) هي سعة الأنبوب. العقد هي الأماكن التي يتم فيها توصيل الأنابيب. يتدفق الماء عبر الأنابيب في اتجاه واحد فقط. عقدة س- مصدر المياه، العقدة ت- مخزون. مطلوب تعظيم حجم المياه المتدفقة من المصدر إلى الصرف.

لحل مشكلة التدفق، يمكنك استخدام طريقة Ford-Fulkerson. فكرة الطريقة: يتم البحث عن الحد الأقصى للتدفق على مراحل. في بداية الخوارزمية، يتم ضبط التدفق على الصفر. وفي كل خطوة لاحقة تزداد قيمة التدفق، حيث يتم البحث عن مسار تكميلي يصل من خلاله التدفق الإضافي. يتم تكرار هذه الخطوات طالما توجد مسارات إضافية. وقد تم تطبيق المشكلة بنجاح في مختلف الأنظمة الموزعة: نظام إمدادات الطاقة، وشبكة الاتصالات، ونظام السكك الحديدية وغيرها.

الرسوم البيانية وتخطيط الشبكات

في تخطيط مشاكل العمليات المعقدة التي تتكون من العديد من الوظائف، والتي يتم تنفيذ بعضها بالتوازي وبعضها بالتسلسل، أصبحت الرسوم البيانية الموزونة، المعروفة باسم شبكات PERT، تستخدم على نطاق واسع.

PERT - تقنية تقييم ومراجعة البرنامج (المشروع) - تقنية لتقييم وتحليل البرامج (المشاريع) المستخدمة في إدارة المشاريع.

شبكة PERT عبارة عن رسم بياني موجه غير دوري مرجح يمثل فيه كل قوس وظيفة (إجراء، عملية)، ووزن القوس هو الوقت اللازم لإكماله.

إذا كانت هناك أقواس في الشبكة ( أ, ب) و ( ب, ج)، ثم العمل الذي يمثله القوس ( أ, ب) يجب أن يكتمل قبل العمل الذي يمثله القوس ( ب, ج) . كل قمة ( الخامسأنا)يمثل النقطة الزمنية التي يتم من خلالها كل العمل، والتي تحددها أقواس تنتهي عند قمة الرأس ( الخامسأنا).

في عمود مثل هذا:

قمة واحدة، ليس لها أسلاف، تحدد وقت بدء العمل؛
قمة واحدة، ليس لها أتباع، تتوافق مع اللحظة الزمنية التي تكتمل فيها مجموعة الأعمال.

يُطلق على المسار الأقصى للطول بين رؤوس الرسم البياني هذه (من بداية عملية العمل إلى نهايتها) اسم المسار الحرج. لتقليل الوقت اللازم لإكمال مجموعة العمل بأكملها، من الضروري العثور على عمل يقع على المسار الحرج وتقليل مدته، على سبيل المثال، من خلال جذب فنانين إضافيين وآليات وتقنيات جديدة.

الكتلة بأكملها "نظرية الرسم البياني"

من المستحسن تقديم مفهوم الرسم البياني بعد تحليل العديد من المشاكل المشابهة للمشكلة 1، والاعتبار الحاسم فيها هو التمثيل الرسومي. من المهم أن يدرك الطلاب على الفور أنه يمكن رسم نفس الرسم البياني بطرق مختلفة. في رأيي، ليست هناك حاجة لإعطاء تعريف صارم للرسم البياني، لأنه فهو مرهق للغاية ولن يؤدي إلا إلى تعقيد المناقشة. في البداية، سيكون المفهوم البديهي كافيا. عند مناقشة مفهوم التماثل، يمكنك حل العديد من التمارين لتحديد الرسوم البيانية المتماثلة وغير المتماثلة. إحدى النقاط المركزية في الموضوع هي نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية. من المهم أن يفهم الطلاب دليله بشكل كامل وأن يتعلموا كيفية تطبيقه على حل المشكلات. عند تحليل العديد من المسائل، أوصي بعدم الرجوع إلى النظرية، ولكن في الواقع تكرار برهانها. يعد مفهوم اتصال الرسم البياني مهمًا للغاية أيضًا. ومن الاعتبارات المهمة هنا النظر في مكون الاتصال؛ ويجب إيلاء اهتمام خاص لذلك. تعتبر الرسوم البيانية لأويلر موضوعًا للعبة تقريبًا.

الهدف الأول والرئيسي الذي يجب تحقيقه عند دراسة الرسوم البيانية هو تعليم تلاميذ المدارس رؤية الرسم البياني في بيان المشكلة وترجمة الحالة بشكل صحيح إلى لغة نظرية الرسم البياني. لا يجب أن تخبر كلاهما للجميع في عدة فصول متتالية. من الأفضل توزيع الفصول الدراسية على 2-3 سنوات دراسية. (مرفق تطوير درس "مفهوم الرسم البياني. تطبيق الرسوم البيانية على حل المسائل" للصف السادس).

2. المادة النظرية لموضوع الرسوم البيانية.

مقدمة

الرسوم البيانية هي كائنات رياضية رائعة؛ بمساعدتها يمكنك حل الكثير من المهام المختلفة والمختلفة ظاهريًا. يوجد قسم كامل في الرياضيات - نظرية الرسم البياني، الذي يدرس الرسوم البيانية وخصائصها وتطبيقاتها. سنناقش فقط المفاهيم الأساسية وخصائص الرسوم البيانية وبعض الطرق لحل المشكلات.

مفهوم الرسم البياني

دعونا نفكر في مشكلتين.

مهمة 1. تم إنشاء اتصالات فضائية بين الكواكب التسعة في النظام الشمسي. تطير الصواريخ العادية على الطرق التالية: الأرض - عطارد؛ بلوتو - كوكب الزهرة؛ الأرض - بلوتو؛ بلوتو - عطارد. عطارد - فيينا؛ أورانوس - نبتون. نبتون - زحل. زحل – المشتري. المشتري - المريخ والمريخ - أورانوس. هل يمكن الطيران بالصواريخ العادية من الأرض إلى المريخ؟

حل:لنرسم مخططًا للحالة: سنصور الكواكب كنقاط، ومسارات الصواريخ كخطوط.

أصبح من الواضح الآن على الفور أنه من المستحيل السفر من الأرض إلى المريخ.

المهمة 2. اللوحة لها شكل صليب مزدوج، ويتم الحصول عليها عن طريق إزالة مربعات الزاوية من مربع 4x4.

هل من الممكن تجاوزه عن طريق تحريك فارس الشطرنج والعودة إلى المربع الأصلي، وزيارة جميع المربعات مرة واحدة بالضبط؟

حل:لنقوم بترقيم مربعات اللوحة بالتسلسل:

والآن، باستخدام الشكل، سنوضح أن مثل هذا الاجتياز للجدول، كما هو موضح في الشرط، ممكن:

لقد نظرنا في مشكلتين مختلفتين. ومع ذلك، فإن حلول هاتين المشكلتين متحدتان بفكرة مشتركة - تمثيل رسومي للحل. وفي الوقت نفسه، تبين أن الصور المرسومة لكل مهمة متشابهة: كل صورة تتكون من عدة نقاط، بعضها متصل بخطوط.

تسمى هذه الصور الرسوم البيانية. يتم استدعاء النقاط قمم، والخطوط – ضلوعرسم بياني. لاحظ أنه لن يتم تسمية كل صورة من هذا النوع برسم بياني. على سبيل المثال. إذا طلب منك رسم البنتاغون في دفتر ملاحظاتك، فلن يكون هذا الرسم رسمًا بيانيًا. سوف نسمي الرسم من هذا النوع، كما في المسائل السابقة، رسمًا بيانيًا إذا كانت هناك مهمة محددة تم إنشاء هذا الرسم من أجلها.

ملاحظة أخرى تتعلق بمظهر الرسم البياني. حاول التأكد من إمكانية رسم الرسم البياني لنفس المشكلة بطرق مختلفة؛ والعكس صحيح، بالنسبة للمهام المختلفة، يمكنك رسم رسوم بيانية لها نفس المظهر. كل ما يهم هنا هو ما هي القمم المرتبطة ببعضها البعض والتي ليست كذلك. على سبيل المثال، يمكن رسم الرسم البياني للمهمة 1 بشكل مختلف:

تسمى هذه الرسوم البيانية المتطابقة ولكن المرسومة بشكل مختلف متماثل.

درجات القمم وحساب عدد حواف الرسم البياني

دعنا نكتب تعريفًا آخر: درجة الرأس في الرسم البياني هي عدد الحواف الخارجة منه. في هذا الصدد، تسمى القمة ذات الدرجة الزوجية قمة زوجية، على التوالي، تسمى قمة ذات درجة فردية قمة غريبة.

ترتبط إحدى النظريات الرئيسية لنظرية الرسم البياني بمفهوم درجة القمة - نظرية عدالة عدد القمم الفردية. سنثبت ذلك بعد قليل، ولكن أولاً، على سبيل المثال، سننظر في المشكلة.

المهمة 3. يوجد 15 هاتفًا في مدينة مالينكي. فهل يمكن ربطها بالأسلاك بحيث يتصل كل هاتف بخمسة هواتف أخرى بالضبط؟

حل:لنفترض أن مثل هذا الاتصال بين الهواتف ممكن. ثم تخيل رسمًا بيانيًا تمثل فيه القمم الهواتف، وتمثل الحواف الأسلاك التي تربطها. دعونا نحسب عدد الأسلاك الموجودة في المجموع. يحتوي كل هاتف على 5 أسلاك متصلة بالضبط، أي. درجة كل قمة من الرسم البياني لدينا هي 5. للعثور على عدد الأسلاك، تحتاج إلى جمع درجات جميع رؤوس الرسم البياني وتقسيم النتيجة الناتجة على 2 (نظرًا لأن كل سلك له طرفان، فعند جمع الدرجات، سيتم أخذ كل سلك مرتين) . ولكن بعد ذلك سيكون عدد الأسلاك مختلفًا. لكن هذا الرقم ليس عددًا صحيحًا. وهذا يعني أن افتراضنا بأن كل هاتف يمكن توصيله بخمسة هواتف أخرى بالضبط تبين أنه غير صحيح.

إجابة.من المستحيل توصيل الهواتف بهذه الطريقة.

نظرية: يحتوي أي رسم بياني على عدد زوجي من القمم الفردية.

دليل:عدد حواف الرسم البياني يساوي نصف مجموع درجات رؤوسه. بما أن عدد الأضلاع يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإن مجموع درجات الرءوس يجب أن يكون زوجيًا. وهذا ممكن فقط إذا كان التمثيل البياني يحتوي على عدد زوجي من الرءوس الفردية.

اتصال الرسم البياني

هناك مفهوم آخر مهم يتعلق بالرسوم البيانية وهو مفهوم الاتصال.

يسمى الرسم البياني متماسك،إذا كان من الممكن توصيل أي اثنين من رؤوسه بواسطة،أولئك. تسلسل مستمر من الحواف. هناك عدد من المشاكل التي يعتمد حلها على مفهوم اتصال الرسم البياني.

المهمة 4. هناك 15 مدينة في دولة السبع، ترتبط كل مدينة عن طريق الطرق بسبعة مدن أخرى على الأقل. أثبت أنه من المألوف الانتقال من كل مدينة إلى أي مدينة أخرى.

دليل: خذ بعين الاعتبار مدينتين عشوائيتين A وB وافترض أنه لا يوجد طريق بينهما. وترتبط كل واحدة منها بطرق إلى سبع مدن أخرى على الأقل، ولا توجد مدينة متصلة بكلتا المدينتين المعنيتين (وإلا سيكون هناك طريق من أ إلى ب). لنرسم جزءًا من الرسم البياني المقابل لهذه المدن:

والآن أصبح من الواضح أننا استقبلنا ما لا يقل عن 16 مدينة مختلفة، وهو ما يتعارض مع ظروف المشكلة. وهذا يعني أن القول قد ثبت بالتناقض.

إذا أخذنا في الاعتبار التعريف السابق، فيمكن إعادة صياغة بيان المشكلة بطريقة أخرى: "إثبات أن الرسم البياني للطريق للبلد سبعة متصل".

الآن أنت تعرف كيف يبدو الرسم البياني المتصل. يتكون الرسم البياني المنفصل من عدة "قطع"، كل منها عبارة عن قمة منفصلة بدون حواف أو رسم بياني متصل. يمكنك مشاهدة مثال على رسم بياني غير متصل في الشكل:

يتم استدعاء كل قطعة فردية من هذا القبيل مكون متصل من الرسم البياني.يمثل كل مكون متصل رسمًا بيانيًا متصلًا وجميع البيانات التي أثبتناها بشأن الرسوم البيانية المتصلة تؤيده. دعونا نلقي نظرة على مثال لمشكلة تستخدم مكونًا متصلاً:

المشكلة 5. في مملكة Far Far Away، يوجد نوع واحد فقط من وسائل النقل - السجادة الطائرة. هناك 21 خط سجاد يغادر العاصمة، واحد من مدينة دالني، و20 خطًا من جميع المدن الأخرى. إثبات أنه يمكنك الطيران من العاصمة إلى مدينة دالني.

دليل:ومن الواضح أنه إذا قمت برسم رسم بياني لسجادة المملكة، فقد يكون غير متماسك. دعونا نلقي نظرة على مكون الاتصال الذي يشمل عاصمة المملكة. هناك 21 سجادة تخرج من العاصمة، و20 من أي مدينة أخرى باستثناء مدينة دالني، لذلك، من أجل استيفاء قانون العدد الزوجي للقمم الفردية، من الضروري إدراج مدينة دالني. في نفس مكون الاتصال. وبما أن المكون المتصل هو رسم بياني متصل، فمن العاصمة هناك طريق على طول السجاد إلى مدينة دالني، وهو ما يجب إثباته.

الرسوم البيانية أويلر

من المحتمل أنك واجهت مهام تحتاج فيها إلى رسم شكل دون رفع قلم الرصاص من الورقة ورسم كل سطر مرة واحدة فقط. اتضح أن مثل هذه المشكلة ليست قابلة للحل دائمًا، أي. هناك أشكال لا يمكن رسمها بهذه الطريقة. يتم أيضًا تضمين مسألة إمكانية حل مثل هذه المشكلات في نظرية الرسم البياني. تم استكشافها لأول مرة في عام 1736 من قبل عالم الرياضيات الألماني العظيم ليونارد أويلر، وحل مشكلة جسور كونيجسبيرج. ولذلك فإن الرسوم البيانية التي يمكن رسمها بهذه الطريقة تسمى رسوم بيانية أويلر.

المهمة 6. هل يمكن رسم الرسم البياني الموضح في الشكل دون رفع القلم الرصاص عن الورقة ورسم كل حافة مرة واحدة بالضبط؟

حل.إذا رسمنا الرسم البياني كما هو مذكور في الشرط، فإننا سوف ندخل كل قمة، باستثناء الأولية والنهائية، نفس عدد المرات التي نخرج منها. وهذا يعني أن جميع رؤوس الرسم البياني، باستثناء اثنين، يجب أن تكون زوجية. يحتوي الرسم البياني لدينا على ثلاث رؤوس فردية، لذا لا يمكن رسمه بالطريقة المحددة في الشرط.

لقد أثبتنا الآن نظرية الرسوم البيانية لأويلر:

نظرية: يجب أن يحتوي الرسم البياني لأويلر على رأسين فرديين على الأكثر.

وفي الختام - مشكلة جسور كونيجسبيرج.

المهمة 7. يوضح الشكل رسمًا تخطيطيًا للجسور في مدينة كونيجسبيرج.

هل من الممكن أن تمشي بحيث تعبر كل جسر مرة واحدة بالضبط؟

3. مشاكل موضوع "الرسوم البيانية"

مفهوم الرسم البياني.

1. على لوحة مربعة 3×3، تم وضع 4 فرسان كما هو موضح في الشكل 1. هل يمكن بعد القيام بعدة حركات مع الفرسان إعادة ترتيبهم إلى الوضع الموضح في الشكل 2؟

أرز. 1

أرز. 2

حل.لنقوم بترقيم مربعات اللوحة كما هو موضح في الشكل:

دعونا نخصص نقطة على المستوى لكل خلية، وإذا كان من الممكن الوصول إلى خلية واحدة عن طريق تحريك فارس الشطرنج من خلية واحدة، فسنربط النقاط المقابلة بخط. يظهر الموضع الأولي والمطلوب للفرسان في الأشكال:

بالنسبة لأي سلسلة من تحركات الفارس، من الواضح أن ترتيبها لا يمكن أن يتغير. لذلك، من المستحيل إعادة ترتيب الخيول بالشكل المطلوب.

2. في بلد الرقم يوجد 9 مدن بأسماء 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اكتشف أحد المسافرين أن مدينتين متصلتين بواسطة شركة طيران إذا وفقط إذا كان الرقم المكون من رقمين رقم مكون من أسماء المدن مقسوما على 3. هل يمكن الطيران جوا من المدينة 1 إلى المدينة 9؟

حل.وبتخصيص نقطة لكل مدينة وربط النقاط بخط، إذا كان مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3، نحصل على رسم بياني تكون فيه الأرقام 3، 5، 9 متصلة ببعضها البعض، ولكنها غير متصلة بالرقم استراحة. هذا يعني أنه لا يمكنك السفر من المدينة 1 إلى المدينة 9.

درجات القمم وحساب عدد الحواف.

3. هناك 100 مدينة في الولاية، ولكل مدينة 4 طرق. كم عدد الطرق الموجودة في الولاية؟

حل.لنحسب العدد الإجمالي للطرق التي تغادر المدينة - 100 . 4 = 400. ومع ذلك، مع هذا الحساب، يتم احتساب كل طريق مرتين - يغادر مدينة ويدخل أخرى. وهذا يعني أن إجمالي عدد الطرق أقل بمرتين، أي. 200.

4. هناك 30 شخصا في الفصل. هل يمكن أن يكون 9 أشخاص لديهم 3 أصدقاء، و11 لديهم 4 أصدقاء، و10 لديهم 5 أصدقاء؟

إجابة.لا (نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية).

5. للملك 19 تابعاً. هل يمكن أن يكون لكل تابع 1 أو 5 أو 9 جيران؟

إجابة.لا، هو لا يستطيع.

6. هل يمكن لولاية يخرج فيها 3 طرق بالضبط من كل مدينة أن يكون بها 100 طريق بالضبط؟

حل. دعونا نحسب عدد المدن. عدد الطرق يساوي عدد المدن × مضروبًا في 3 (عدد الطرق التي تغادر كل مدينة) ومقسمًا على 2 (انظر المشكلة 3). ثم 100 = 3x/2 => 3x = 200، وهو ما لا يمكن أن يحدث مع x الطبيعي. وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك 100 طريق في مثل هذه الحالة.

7. أثبت أن عدد الأشخاص الذين عاشوا على الأرض وقاموا بالمصافحة بعدد فردي هو عدد زوجي.

يتبع الدليل مباشرة من نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية في الرسم البياني.

الاتصال.

8. في الدولة، يغادر كل مدينة 100 طريق ومن كل مدينة يمكنك الوصول إلى أي مدينة أخرى. وتم إغلاق طريق واحد للإصلاحات. أثبت أنه يمكنك الآن الانتقال من أي مدينة إلى أي مدينة أخرى.

دليل. لنفكر في مكون الاتصال، الذي يتضمن إحدى المدن التي تم إغلاق الطريق بينها. ومن خلال نظرية تكافؤ عدد القمم الفردية، فإنها تشمل أيضًا المدينة الثانية. وهذا يعني أنه لا يزال بإمكانك العثور على طريق والانتقال من إحدى هذه المدن إلى أخرى.

الرسوم البيانية أويلر.

9. هناك مجموعة من الجزر متصلة ببعضها بواسطة جسور بحيث يمكنك الوصول من كل جزيرة إلى أي جزيرة أخرى. تجول السائح حول جميع الجزر، وعبر كل جسر مرة واحدة. زار جزيرة ثري فولد ثلاث مرات. كم عدد الجسور التي تؤدي من Troyekratnoye إذا كان سائحًا

أ) لم تبدأ به ولم تنتهي به؟
ب) بدأت به ولم تنتهي منه؟
ج) بدأت به وانتهيت به؟

10. تظهر الصورة حديقة مقسمة إلى عدة أجزاء بواسطة الأسوار. هل من الممكن السير في الحديقة وضواحيها بحيث يمكنك تسلق كل سياج مرة واحدة؟