رتبة المصفوفة وخصائصها. رتبة المصفوفة وأساس المصفوفة الثانوية

لتكن A مصفوفة ذات أحجام m\times n و k عدد طبيعي لا يتجاوز m و n: ك\leqslant\min\(م;ن\). طلب k ثانويالمصفوفة A هي محدد مصفوفة الترتيب k التي تتكون من العناصر الموجودة عند تقاطع صفوف k المختارة بشكل تعسفي وأعمدة k للمصفوفة A. عند الإشارة إلى الأعمدة الثانوية، سنشير إلى أرقام الصفوف المحددة كمؤشرات عليا، وأرقام الأعمدة المحددة كمؤشرات سفلية، مع ترتيبها تصاعديًا.

مثال 3.4.اكتب قاصرين من رتب مختلفة من المصفوفة

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

حل.المصفوفة A لها أبعاد 3\times4 . وفيها: 12 قاصرا من الدرجة الأولى، مثلا، القاصر M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 قاصرا من الدرجة الثانية، على سبيل المثال، M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 قاصرين من الدرجة الثالثة، على سبيل المثال،

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

في المصفوفة A ذات الأبعاد m\times n، يتم استدعاء الرتبة الثانوية من الرتبة r أساسي، إذا كانت غير الصفر وجميع الترتيب الثانوي (r+1)-ro يساوي صفرًا أو لا وجود له على الإطلاق.

رتبة المصفوفةويسمى ترتيب الأساس القاصر. لا يوجد أساس ثانوي في المصفوفة الصفرية. ومن ثم، فإن رتبة المصفوفة الصفرية، حسب التعريف، تساوي الصفر. يتم الإشارة إلى رتبة المصفوفة A بواسطة \ اسم المشغل (rg) أ.

مثال 3.5.البحث عن جميع القصر الأساسيين ورتبة المصفوفة

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

حل.جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا، لأن الصف الثالث لهذه المحددات هو صفر. لذلك، فقط المصفوفة الثانوية من الدرجة الثانية الموجودة في الصفين الأولين من المصفوفة يمكن أن تكون أساسية. من خلال المرور على 6 قاصرين محتملين، نختار غير الصفر

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

كل واحد من هؤلاء القاصرين الخمسة هو أساسي. ولذلك فإن رتبة المصفوفة هي 2.

ملاحظات 3.2

1. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الرتبة k في المصفوفة تساوي صفرًا، فإن العناصر الثانوية من الرتبة الأكبر من ترتيب عالي. في الواقع، عند توسيع الترتيب الأصغر (k+1)-ro على أي صف، نحصل على مجموع منتجات عناصر هذا الصف بواسطة الترتيب الأصغر من الترتيب k، وهي تساوي صفرًا.

2. رتبة المصفوفة هي أعلى ترتيبقاصر غير صفري لهذه المصفوفة.

3. إذا كانت المصفوفة المربعة غير مفردة فإن رتبتها تساوي ترتيبها. إذا كانت المصفوفة المربعة مفردة فإن رتبتها أقل من رتبتها.

4. تستخدم التسميات أيضًا للرتبة \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. رتبة مصفوفة الكتلةيتم تعريفها على أنها رتبة مصفوفة (رقمية) عادية، أي. بغض النظر عن هيكل الكتلة. وفي هذه الحالة لا تقل رتبة مصفوفة الكتلة عن رتبة كتلتها: \اسم المشغل(rg)(A\منتصف B)\geqslant\اسم المشغل(rg)Aو \اسم المشغل(rg)(A\منتصف B)\geqslant\اسم المشغل(rg)B، نظرًا لأن جميع العناصر الثانوية للمصفوفة A (أو B ) هي أيضًا عناصر ثانوية للمصفوفة الكتلية (A\mid B) .

نظريات على الأساس الصغير ورتبة المصفوفة

دعونا نفكر في النظريات الرئيسية التي تعبر عن خصائص الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأعمدة (صفوف) المصفوفة.

نظرية 3.1 على أساس قاصر.في المصفوفة التعسفية A، كل عمود (صف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة (الصفوف) التي يوجد بها الأساس الثانوي.

في الواقع، دون فقدان العمومية، نفترض أنه في مصفوفة A بحجم m\times n يقع الأساس الثانوي في صفوف r الأولى وأعمدة r الأولى. النظر في المحدد

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix)،

والتي يتم الحصول عليها عن طريق تعيين العناصر المقابلة للأساس الثانوي للمصفوفة A الصف العاشروالعمود ك. لاحظ أنه لأي 1\leqslant s\leqslant موهذا المحدد يساوي الصفر. إذا كان s\leqslant r أو k\leqslant r، فإن المحدد D يحتوي على سلسلتين متطابقتين أو سلسلتين أعمدة متطابقة. إذا كانت s>r وk>r، فإن المحدد D يساوي الصفر، لأنه أصغر من رتبة (r+l)-ro. توسيع المحدد بواسطة الخط الأخير، نحن نحصل

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

حيث D_(ص+1\,ي) - الإضافات الجبريةعناصر الصف الأخير. لاحظ أن D_(r+1\,r+1)\ne0 نظرًا لأن هذا هو أساس ثانوي. لهذا

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr)، أين \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

كتابة المساواة الأخيرة لـ s=1,2,\ldots,m، نحصل عليها

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

أولئك. العمود k (لأي 1\leqslant ك\leqslant ن) عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة الأساس الصغير، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

تعمل النظرية الثانوية الأساسية على إثبات النظريات المهمة التالية.

شرط أن يكون المحدد صفراً

النظرية 3.2 (ضرورية و شرط كافالمحدد يساوي صفر).لكي يكون المحدد مساوياً للصفر، من الضروري والكافي أن يكون أحد أعمدته (أحد صفوفه) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة المتبقية (الصفوف).

في الواقع، الضرورة تنبع من النظرية الثانوية الأساسية. إذا كان محدد مصفوفة مربعة من الرتبة n يساوي الصفر، فإن رتبتها أقل من n، أي. لا يتم تضمين عمود واحد على الأقل في الأساس الثانوي. ثم هذا العمود المختار، حسب النظرية 3.1، هو مزيج خطي من الأعمدة التي يقع فيها الأساس الثانوي. ومن خلال إضافة، إذا لزم الأمر، إلى هذه المجموعة أعمدة أخرى ذات معاملات صفرية، نحصل على أن العمود المحدد عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة المتبقية من المصفوفة. الكفاية تتبع من خصائص المحدد. إذا، على سبيل المثال، العمود الأخير A_n من المحدد \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)يتم التعبير عنها خطيًا من خلال الباقي

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1)،

ثم أضف إلى العمود A_n A_1 مضروبًا في (-\lambda_1)، ثم العمود A_2 مضروبًا في (-\lambda_2)، وما إلى ذلك. العمود A_(n-1) مضروبًا في (-\lambda_(n-1)) نحصل على المحدد \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)بعمود فارغ يساوي صفر (الخاصية 2 للمحدد).

ثبات رتبة المصفوفة في ظل التحولات الأولية

النظرية 3.3 (على ثبات الرتبة في ظل التحولات الأولية). أثناء التحويلات الأولية لأعمدة (صفوف) المصفوفة، لا يتغير ترتيبها.

في الواقع، فليكن. لنفترض أنه نتيجة لتحويل أولي واحد لأعمدة المصفوفة A، حصلنا على المصفوفة A". إذا تم إجراء تحويل من النوع الأول (تبديل عمودين)، فإن أي ثانوي (r+l)-ro من الترتيب من المصفوفة A" إما يساوي القاصر المقابل (r+l ) -ro من ترتيب المصفوفة A، أو يختلف عنه في الإشارة (الخاصية 3 للمحدد). إذا تم إجراء تحويل من النوع II (ضرب العمود بالرقم \lambda\ne0 )، فإن أي ثانوي (r+l)-ro من ترتيب المصفوفة A" يكون إما مساويًا للقاصر المقابل (r+l) -ro لترتيب المصفوفة A أو العامل المختلف عنه \lambda\ne0 (الخاصية 6 للمحدد). إذا تم إجراء تحويل من النوع III (إضافة عمود آخر مضروبًا في الرقم \Lambda)، ثم أي قاصر من الترتيب (r+1) للمصفوفة A" إما يساوي القاصر المقابل. (r+1)-الترتيب من المصفوفة A (الخاصية 9 للمحدد)، أو يساوي مجموع قاصران (r+l)-ro من رتبة المصفوفة A (الخاصية 8 للمحدد). لذلك، في ظل التحويل الأولي من أي نوع، فإن جميع العناصر الثانوية (r+l)-ro من رتبة المصفوفة A" تساوي الصفر، نظرًا لأن جميع العناصر الثانوية (r+l)-ro من رتبة المصفوفة A هي يساوي صفرًا، فقد ثبت أنه في ظل التحويلات الأولية للأعمدة، لا يمكن أن تزيد مصفوفة الرتبة، نظرًا لأن التحويلات العكسية للتحولات الأولية هي تحويلات أولية، فإن رتبة المصفوفة لا يمكن أن تنخفض في ظل التحويلات الأولية للأعمدة، أي أنها بالمثل. أثبت أن رتبة المصفوفة لا تتغير في ظل التحولات الأولية للصفوف.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان صف واحد (عمود) من المصفوفة عبارة عن مزيج خطي من صفوفه (أعمدةه) الأخرى، فيمكن حذف هذا الصف (العمود) من المصفوفة دون تغيير رتبته.

في الواقع، مثل هذا الخط باستخدام التحولات الأوليةيمكن جعلها فارغة، ولا يمكن تضمين السلسلة الفارغة في الأساس الثانوي.

النتيجة الطبيعية 2. إذا تم تقليل المصفوفة إلى أبسط صورة (1.7)، إذن

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

في الواقع، المصفوفة ذات الشكل الأبسط (1.7) لها أساس أصغر من الرتبة r.

النتيجة الطبيعية 3. أي مصفوفة مربعة غير مفردة تعتبر أولية، بمعنى آخر، أي مصفوفة مربعة غير مفردة تعادل مصفوفة هوية من نفس الترتيب.

في الواقع، إذا كانت A عبارة عن مصفوفة مربعة غير مفردة من الرتبة n، إذن \اسم المشغل(rg)A=n(انظر الفقرة 3 من التعليقات 3.2). لذلك، بجلب المصفوفة A إلى أبسط صورة (1.7) عن طريق التحويلات الأولية، نحصل على مصفوفة الهوية \Lambda=E_n ، حيث \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(انظر النتيجة الطبيعية 2). ولذلك فإن المصفوفة A تعادل مصفوفة الهوية E_n ويمكن الحصول عليها منها نتيجة لذلك عدد محدودالتحولات الأولية. وهذا يعني أن المصفوفة A أولية.

النظرية 3.4 (حول رتبة المصفوفة). رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا لهذه المصفوفة.

في الواقع، اسمحوا \اسم المشغل(rg)A=r. ثم تحتوي المصفوفة A على صفوف مستقلة خطيًا. هذه هي الخطوط التي يقع فيها القاصر الأساسي. إذا كانا يعتمدان خطيًا، فإن هذا القاصر سيكون مساويًا للصفر حسب النظرية 3.2، ولن تكون رتبة المصفوفة A مساوية لـ r. دعونا نبين أن r هو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيا، أي. أي صفوف p تعتمد خطيًا على p>r. في الواقع، نحن نشكل المصفوفة B من هذه الصفوف p. وبما أن المصفوفة B جزء من المصفوفة A، إذن \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

وهذا يعني أنه لا يتم تضمين صف واحد على الأقل من المصفوفة B في الأساس الثانوي لهذه المصفوفة. ثم، وفقًا لنظرية الأساس الثانوية، فهي تساوي مجموعة خطية من الصفوف التي يقع فيها الأساس الثانوي. ولذلك، فإن صفوف المصفوفة B تعتمد خطيا. وبالتالي، فإن المصفوفة A تحتوي على صفوف مستقلة خطيًا على الأكثر.

النتيجة الطبيعية 1. الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا في المصفوفة يساوي الحد الأقصى لعدد الصفوف الخطية أعمدة مستقلة:

\اسم المشغل(rg)A=\اسم المشغل(rg)A^T.

يتبع هذا البيان النظرية 3.4 إذا طبقناها على صفوف المصفوفة المنقولة وأخذنا في الاعتبار أن القاصرين لا يتغيرون أثناء النقل (الخاصية 1 للمحدد).

النتيجة الطبيعية 2. مع التحولات الأولية لصفوف المصفوفة، الاعتماد الخطي (أو الاستقلال الخطي) لأي نظام من أعمدة هذه المصفوفة محفوظ.

في الواقع، دعونا نختار أي أعمدة k من المصفوفة A المحددة وننشئ المصفوفة B منها. دع المصفوفة A" يتم الحصول عليها نتيجة للتحولات الأولية لصفوف المصفوفة A، والمصفوفة B" يتم الحصول عليها نتيجة لنفس التحولات لصفوف المصفوفة B. بواسطة نظرية 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. ولذلك، إذا كانت أعمدة المصفوفة B مستقلة خطيا، أي. ك=\اسم المشغل(rg)ب(انظر النتيجة الطبيعية 1)، فإن أعمدة المصفوفة B" تكون أيضًا مستقلة خطيًا، نظرًا لأن ك=\اسم المشغل(rg)ب". إذا كانت أعمدة المصفوفة B تعتمد خطيا (ك>\اسم المشغل(rg)B)، فإن أعمدة المصفوفة B" تعتمد أيضًا خطيًا (ك>\اسم المشغل(rg)B"). وبالتالي، بالنسبة لأي أعمدة من المصفوفة A، يتم الحفاظ على الاعتماد الخطي أو الاستقلال الخطي في ظل تحويلات الصف الأولية.

ملاحظات 3.3

1. بموجب النتيجة الطبيعية 1 للنظرية 3.4، تكون خاصية الأعمدة المشار إليها في النتيجة الطبيعية 2 صحيحة أيضًا لأي نظام من صفوف المصفوفة إذا تم إجراء التحويلات الأولية على أعمدتها فقط.

2. يمكن تحسين النتيجة الطبيعية 3 للنظرية 3.3 على النحو التالي: أي غير منحط مصفوفة مربعة، باستخدام التحويلات الأولية لصفوفها فقط (أو أعمدتها فقط)، يمكن اختزالها إلى مصفوفة هوية بنفس الترتيب.

في الواقع، باستخدام تحويلات الصف الأولية فقط، يمكن اختزال أي مصفوفة A إلى الشكل المبسط \Lambda (الشكل 1.5) (انظر النظرية 1.1). نظرًا لأن المصفوفة A غير مفردة (\det(A)\ne0)، فإن أعمدتها تكون مستقلة خطيًا. وهذا يعني أن أعمدة المصفوفة \Lambda مستقلة خطيًا أيضًا (النتيجة الطبيعية 2 للنظرية 3.4). ولذلك، فإن الشكل المبسط \Lambda للمصفوفة غير المفردة A يتطابق مع أبسط صورها (الشكل 1.6) وهو مصفوفة الهوية \Lambda=E (انظر النتيجة الطبيعية 3 للنظرية 3.3). وبالتالي، من خلال تحويل صفوف المصفوفة غير المفردة فقط، يمكن اختزالها إلى مصفوفة الهوية. ينطبق المنطق المماثل على التحويلات الأولية لأعمدة المصفوفة غير المفردة.

رتبة المنتج ومجموع المصفوفات

النظرية 3.5 (على رتبة منتج المصفوفات). لا تتجاوز رتبة منتج المصفوفات رتبة العوامل:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

في الواقع، لنفترض أن المصفوفتين A و B لهما أحجام m\times p و p\times n . دعونا نخصص للمصفوفة A المصفوفة C=AB\colon\,(A\منتصف C). بالطبع ذلك \اسم المشغل(rg)C\leqslant\اسم المشغل(rg)(A\منتصف C)حيث أن C جزء من المصفوفة (A\mid C) (انظر الفقرة 5 من الملاحظة 3.2). لاحظ أن كل عمود C_j، وفقًا لعملية ضرب المصفوفة، عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة A_1,A_2,\ldots,A_pالمصفوفات أ=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

يمكن حذف مثل هذا العمود من المصفوفة (A\mid C) دون تغيير رتبته (النتيجة الطبيعية 1 للنظرية 3.3). بشطب جميع أعمدة المصفوفة C نحصل على: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. من هنا، \اسم المشغل(rg)C\leqslant\اسم المشغل(rg)(A\mid C)=\اسم المشغل(rg)A. وبالمثل، يمكننا أن نثبت أن الشرط قد تحقق في وقت واحد \اسم المشغل(rg)C\leqslant\اسم المشغل(rg)B، واستخلاص استنتاج حول صحة النظرية.

عاقبة. لو A هي مصفوفة مربعة غير مفردةو \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B، أي. لا تتغير رتبة المصفوفة عندما يتم ضربها من اليسار أو اليمين في مصفوفة مربعة غير مفردة.

النظرية 3.6 على رتبة مجاميع المصفوفات. لا تتجاوز رتبة مجموع المصفوفات مجموع رتب المصطلحات:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

في الواقع، دعونا إنشاء مصفوفة (أ+ب\منتصف أ\منتصف ب). لاحظ أن كل عمود من المصفوفات A+B عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة المصفوفات A وB. لهذا \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). مع الأخذ في الاعتبار أن عدد الأعمدة المستقلة خطيا في المصفوفة (A\mid B) لا يتجاوز \اسم المشغل(rg)A+\اسم المشغل(rg)ب، أ \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(انظر القسم 5 من الملاحظات 3.2)، نحصل على عدم المساواة التي تم إثباتها.

يُسمى الرقم r رتبة المصفوفة A إذا:
1) يوجد في المصفوفة A رتبة ثانوية r تختلف عن الصفر؛
2) جميع العناصر الثانوية من رتبة (r+1) وما فوقها إن وجدت تساوي صفراً.
وبخلاف ذلك، فإن رتبة المصفوفة هي أعلى رتبة ثانوية بخلاف الصفر.
التسميات: rangA، r A أو r.
ويترتب على التعريف أن r عدد صحيح رقم موجب، عدد إيجابي. بالنسبة للمصفوفة الخالية، تعتبر الرتبة صفرًا.

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت للعثور على رتبة المصفوفة. وفي هذه الحالة يبقى الحل في تركيب الكلمةو اكسل. انظر الحل المثال.

تعليمات. حدد بُعد المصفوفة، ثم انقر فوق "التالي".

تعريف . دع مصفوفة الرتبة r تعطى. أي مصفوفة ثانوية تختلف عن الصفر ولها رتبة r تسمى أساسية، وتسمى صفوف وأعمدة مكوناتها الصفوف والأعمدة الأساسية.
وفقًا لهذا التعريف، يمكن أن تحتوي المصفوفة A على عدة قواعد ثانوية.

رتبة مصفوفة الهوية E هي n (عدد الصفوف).

مثال 1. نظرا لمصفوفتين، وقصرهم , . أي منهم يمكن اعتباره الأساسي؟
حل. Minor M 1 = 0، لذلك لا يمكن أن يكون أساسًا لأي من المصفوفات. الصغرى M 2 = -9≠0 ولها الترتيب 2، مما يعني أنه يمكن اتخاذها كأساس للمصفوفات A أو / و B، بشرط أن تكون رتبتها تساوي 2. نظرًا لأن detB=0 (كمحدد بعمودين متناسبين)، فيمكن اعتبار rangB=2 وM 2 بمثابة الأساس الثانوي للمصفوفة B. ورتبة المصفوفة A هي 3، نظرًا لحقيقة أن detA=-27≠ 0، وبالتالي فإن الترتيب الأساسي لهذه المصفوفة يجب أن يساوي 3، أي أن M 2 ليس أساسًا للمصفوفة A. لاحظ أن المصفوفة A لها أساس صغير واحد، يساوي محدد المصفوفة A.

نظرية (حول الأساس الصغير). أي صف (عمود) من المصفوفة هو مزيج خطي من صفوفها (الأعمدة) الأساسية.
النتائج الطبيعية من النظرية.

كل مصفوفة عمود (صف) (r+1) من الرتبة r تعتمد خطيًا.
إذا كانت رتبة المصفوفة أقل من عدد صفوفها (أعمدةها)، فإن صفوفها (أعمدةها) تعتمد خطيا. إذا كانت rangA تساوي عدد صفوفها (أعمدةها)، فإن الصفوف (الأعمدة) تكون مستقلة خطيًا.
محدد المصفوفة A يساوي الصفر إذا وفقط إذا كانت صفوفها (أعمدتها) مرتبطة خطيًا.
إذا قمت بإضافة صف (عمود) آخر إلى صف (عمود) من مصفوفة، مضروبًا في أي رقم غير الصفر، فلن يتغير ترتيب المصفوفة.
إذا قمت بشطب صف (عمود) في مصفوفة، وهي عبارة عن مجموعة خطية من صفوف (أعمدة) أخرى، فلن يتغير ترتيب المصفوفة.
رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها (الأعمدة) المستقلة خطيًا.
الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا هو نفس الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا.

مثال 2. أوجد رتبة المصفوفة .
حل. بناءً على تعريف رتبة المصفوفة، سنبحث عن رتبة ثانوية من أعلى رتبة تختلف عن الصفر. أولاً نقوم بتحويل المصفوفة إلى المزيد عرض بسيط. للقيام بذلك، اضرب الصف الأول من المصفوفة في (-2) وأضفه إلى الثاني، ثم اضربه في (-1) وأضفه إلى الثالث.

تحديد رتبة المصفوفة

خذ بعين الاعتبار مصفوفة \(A\) من النوع \((m,n)\). دع، للتحديد، \(m \leq n\). لنأخذ صفوف \(m\) ونختار \(m\) أعمدة المصفوفة \(A\)، عند تقاطع هذه الصفوف والأعمدة نحصل على مصفوفة مربعة من الترتيب \(m\)، محددها يسمى أمر بسيط \(م\) المصفوفات \(أ\). إذا كان هذا القاصر يختلف عن 0، فإنه يسمى قاصر الأساسية ويقولون أن رتبة المصفوفة \(A\) تساوي \(m\). إذا كان هذا المحدد يساوي 0، فسيتم اختيار أعمدة \(m\) أخرى، عند تقاطعها توجد عناصر تشكل ثانوية أخرى من الترتيب \(m\). إذا كان القاصر 0، نواصل الإجراء. إذا لم يكن هناك أي أصفار من بين جميع الرتب الثانوية المحتملة \(m\) ، فإننا نختار \(m-1\) صفوف وأعمدة من المصفوفة \(A\)، عند تقاطعها مصفوفة مربعة من الرتبة \(m- 1\) ، ويسمى محدده رتبة ثانوية \(m-1\) للمصفوفة الأصلية. لمواصلة الإجراء، نبحث عن قاصر غير صفري، ونمر عبر جميع القاصرين المحتملين، ونخفض ترتيبهم.

تعريف.

يُطلق على المصفوفة الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينة من الدرجة الأعلى قاصر الأساسية من المصفوفة الأصلية، يسمى ترتيبها رتبة تسمى المصفوفات \(A\) والصفوف والأعمدة، التي يوجد عند تقاطعها قاعدة ثانوية، صفوف وأعمدة أساسية. يُشار إلى رتبة المصفوفة بالرمز \(rang(A)\).

ويترتب على هذا التعريف خصائص بسيطةرتبة المصفوفة: هذا عدد صحيح، والرتبة مصفوفة غير صفريةيرضي المتباينات: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).

كيف ستتغير رتبة المصفوفة إذا تم حذف الصف؟ إضافة بعض الخط؟

تحقق من الجواب

1) قد ينخفض الترتيب بمقدار 1.

2) يمكن زيادة الرتبة بمقدار 1.

الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأعمدة المصفوفة

اجعل \(A\) مصفوفة من النوع \((m,n)\). خذ بعين الاعتبار أعمدة المصفوفة \(A\) - هذه أعمدة مكونة من أرقام \(m\) لكل منها. دعنا نشير إليها \(A_1,A_2,...,A_n\). دع \(c_1,c_2,...,c_n\) عبارة عن بعض الأرقام.

تعريف.

العمود \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] يسمى مجموعة خطية من الأعمدة \(A_1,A_2,...,A_n\)، أرقام \( c_1,c_2 ,...,c_n\) تسمى معاملات هذه المجموعة الخطية.

تعريف.

دع الأعمدة \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\) تعطى. إذا كان هناك أرقام \(c_1,c_2,...,c_p\) هكذا

1. ليست كل هذه الأرقام تساوي الصفر،

2. التركيبة الخطية \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) تساوي عمود الصفر (أي عمود جميع عناصره أصفار)، فنقول أن الأعمدة \( A_1، A_2، ...، A_p\) تعتمد خطيًا. إذا ل هذه المجموعةلا توجد أعمدة بهذه الأرقام \(c_1,c_2,...,c_n\)، تسمى الأعمدة مستقلة خطيًا.

مثال. خذ بعين الاعتبار عمودين

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right)، A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)، \] ثم بالنسبة لأي أرقام \(c_1,c_2\) لدينا: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

هذه التركيبة الخطية تساوي عمود الصفر إذا وفقط إذا كان كلا الرقمين \(c_1,c_2\) يساوي الصفر. وبالتالي، فإن هذه الأعمدة مستقلة خطيا.

إفادة. لكي تكون الأعمدة معتمدة خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحدها عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

دع الأعمدة \(A_1,A_2,...,A_m\) تكون مستقلة خطيًا، أي بالنسبة لبعض الثوابت \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\)، والتي لا تساوي جميعها 0، فإن ما يلي ينطبق على: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (على الجانب الأيمن يوجد عمود الصفر). لنفترض على سبيل المثال \(\lambda _1 \neq 0\). ثم \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] أي. العمود الأول عبارة عن مزيج خطي من الآخرين.

أساس النظرية الثانوية

نظرية.

بالنسبة لأي مصفوفة غير الصفر \(A\) يكون ما يلي صحيحًا:

1. الأعمدة الأساسية مستقلة خطيًا.

2. أي عمود مصفوفة هو عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة الأساس الخاصة به.

(وينطبق الشيء نفسه على السلاسل).

لنفترض، من أجل التحديد، \((m,n)\) هو نوع المصفوفة \(A\)، \(rang(A)=r \leq n\) ويقع الأساس الثانوي في \(r) الأول \) مصفوفات الصفوف والأعمدة \(A\). دع \(s\) يكون أي رقم بين 1 و \(m\)، \(k\) يكون أي رقم بين 1 و \(n\). خذ بعين الاعتبار نموذجًا صغيرًا من النموذج التالي: \[ D=\left| \begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| ، \] أي. لقد قمنا بتعيين العمود \(s-\)الصف \(k-\)th إلى الأساس الثانوي. من خلال تعريف رتبة المصفوفة، فإن هذا المحدد يساوي الصفر (إذا اخترنا \(s\leq r\) أو \(k \leq r\)، فإن هذا المحدد الصغير لديه عمودين متطابقين أو صفين متطابقين، إذا \(s>r\) و \(k>r\) - حسب تعريف الرتبة، يصبح الحجم الصغير الأكبر من \(r\) صفرًا). لنوسع هذا المحدد على طول السطر الأخير، نحصل على: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) أ_(كانساس)=0. \رباعية \رباعية(16) \]

هنا الأرقام \(A_(kp)\) هي المكملات الجبرية للعناصر من الصف السفلي \(D\). قيمها لا تعتمد على \(ك\)، لأن يتم تشكيلها باستخدام عناصر من الصفوف \(r\) الأولى. في هذه الحالة، القيمة \(A_(ks)\) هي قيمة ثانوية أساسية، تختلف عن 0. دعنا نشير إلى \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). دعونا نعيد كتابة (16) بترميز جديد: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] أو بالقسمة على \(c_s\)، \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr)، \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] هذه المساواة صالحة لأي قيمة \(k\)، لذلك \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r)، \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(السيد). \] إذن، العمود \(s-\)th هو مزيج خطي من الأعمدة \(r\) الأولى. لقد تم إثبات النظرية.

تعليق.

ويترتب على النظرية الثانوية الأساسية أن رتبة المصفوفة تساوي عدد أعمدتها المستقلة خطيًا (وهو ما يساوي عدد الصفوف المستقلة خطيًا).

النتيجة الطبيعية 1.

إذا كان المحدد صفرًا، فهذا يعني أنه يحتوي على عمود عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

النتيجة الطبيعية 2.

إذا كانت رتبة المصفوفة أقل من عدد الأعمدة، فإن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيا.

حساب رتبة المصفوفة وإيجاد الأساس الثانوي

بعض تحويلات المصفوفة لا تغير رتبتها. يمكن تسمية هذه التحولات بالابتدائية. يمكن التحقق من الحقائق المقابلة بسهولة باستخدام خصائص المحددات وتحديد رتبة المصفوفة.

1. إعادة ترتيب الأعمدة.

2. ضرب عناصر أي عمود بمعامل غير الصفر.

3. إضافة إلى عمود أي عمود آخر مضروبا فيه عدد التعسفي.

4. شطب عمود الصفر.

وينطبق الشيء نفسه على السلاسل.

باستخدام هذه التحويلات، يمكن تحويل المصفوفة إلى ما يسمى بالشكل "شبه المنحرف" - مصفوفة تحتوي على أصفار فقط تحت القطر الرئيسي. بالنسبة للمصفوفة "شبه المنحرفة"، فإن الرتبة هي عدد العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي، والأساس الصغير هو الصغير الذي يتطابق قطره مع مجموعة العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي للمصفوفة المحولة.

مثال. النظر في المصفوفة

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(صفيف) \يمين). \] سنقوم بتحويله باستخدام التحويلات المذكورة أعلاه. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

هنا نقوم بالخطوات التالية بالتتابع: 1) إعادة ترتيب السطر الثاني إلى الأعلى، 2) طرح السطر الأول من الباقي بعامل مناسب، 3) طرح السطر الثاني من الثالث 4 مرات، إضافة السطر الثاني إلى السطر الثاني. الرابع، 4) شطب خطي الصفر - الثالث والرابع . حصلت المصفوفة النهائية على الشكل المطلوب: هناك أرقام غير صفرية على القطر الرئيسي، وأصفار تحت القطر الرئيسي. بعد ذلك يتوقف الإجراء ويصبح عدد العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي مساويًا لرتبة المصفوفة. القاصر الأساسي هو أول صفين وأول عمودين. عند تقاطعهما توجد مصفوفة من الرتبة 2 ذات محدد غير صفري. وفي الوقت نفسه، العودة على طول سلسلة التحولات إلى الجانب المعاكس، يمكنك تتبع مصدر هذا الصف أو ذاك (هذا العمود أو ذاك) في المصفوفة النهائية، أي. تحديد الصفوف والأعمدة الأساسية في المصفوفة الأصلية. في في هذه الحالةيشكل أول صفين وأول عمودين الأساس الثانوي.

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) التقليب من أي صفين (أو أعمدة)،

2) ضرب صف (أو عمود) برقم غير الصفر،

3) إضافة صف (أو عمود) إلى صف (أو عمود) آخر (أو عمود) مضروبًا في رقم معين.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية.

المصفوفات المتكافئة ليست متساوية بشكل عام، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متكافئتين، فسيتم كتابتهما على النحو التالي: A ~ B.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة يوجد فيها في بداية القطر الرئيسي عدة مصفوفات متتالية (يمكن أن يكون عددها صفرًا)، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر، على سبيل المثال،

باستخدام التحويلات الأولية للصفوف والأعمدة، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد المصفوفات الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد رتبة المصفوفة

أ=

وإحضاره إلى الشكل القانوني.

حل.من السطر الثاني اطرح الأول وأعد ترتيب هذه الأسطر:

الآن من السطرين الثاني والثالث نطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من السطر الثالث؛ نحصل على مصفوفة

ب = ,

وهو ما يعادل المصفوفة A، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2، وبالتالي r(A)=2. يمكن بسهولة اختزال المصفوفة B إلى المستوى الأساسي. وبطرح العمود الأول مضروبا بالأرقام المناسبة من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول، باستثناء الأول، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك، بطرح العمود الثاني، مضروبًا بالأرقام المناسبة، من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر لجميع عناصر الصف الثاني، باستثناء الثاني، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

كرونيكر - نظرية كابيلي- معيار التوافق للنظام الخطي المعادلات الجبرية:

لكي يكون النظام الخطي متسقا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام مساوية لرتبة مصفوفته الرئيسية.

إثبات (شروط توافق النظام)

ضروري

يترك نظاممشترك ثم هناك، ماذا . ولذلك، فإن العمود عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة المصفوفة. من حقيقة أن رتبة المصفوفة لن تتغير إذا تم حذف صف (عمود) أو إضافته من نظام صفوفه (أعمدةه)، وهو عبارة عن مزيج خطي من صفوف (أعمدة) أخرى، يتبع ذلك.

قدرة

يترك . لنأخذ بعض العناصر الثانوية الأساسية في المصفوفة. وبما أنه سيكون أيضًا الأساس الثانوي للمصفوفة. ثم وفقا لنظرية الأساس صغير، سيكون العمود الأخير من المصفوفة عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة الأساس، أي أعمدة المصفوفة. ولذلك، فإن عمود الحدود الحرة للنظام عبارة عن مزيج خطي من أعمدة المصفوفة.

عواقب

عدد المتغيرات الرئيسية أنظمةيساوي رتبة النظام.

مشترك نظامسيتم تعريفه (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام تساوي عدد جميع متغيراته.

نظام متجانس من المعادلات

يعرض15 . 2 نظام متجانس من المعادلات

هو دائما مشترك.

دليل. بالنسبة لهذا النظام، مجموعة الأرقام،،،، هي الحل.

في هذا القسم سوف نستخدم تدوين المصفوفة للنظام: .

يعرض15 . 3 مجموع حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية هو حل لهذا النظام. الحل مضروبًا في رقم هو أيضًا حل.

دليل. دعهم بمثابة حلول للنظام. ثم و.

يترك . ثم

منذ ذلك الحين - الحل.

يترك . ثم

اسمحوا ان يكون عددا تعسفيا ، . ثم15 . 1 عاقبة

إذا كان نظام متجانس من المعادلات الخطية له حل غير صفري، فإن لديه عددًا لا نهائيًا من الحلول المختلفة.

في الواقع، بضرب الحل غير الصفري في أرقام مختلفة، سنحصل على حلول مختلفة.15 . 5 تعريف سنقول أن الحلول شكل النظمالنظام الأساسي للحلول ، إذا كانت الأعمدة تشكل خطيانظام مستقل

وأي حل للنظام هو مزيج خطي من هذه الأعمدة.

يجد

تحديد رتبة المصفوفة

رتبة المصفوفة دعونا نفكرمصفوفة مستطيلة . إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفةك . إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفةخطوط و الأعمدة، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة تشكل مصفوفة مربعة بالترتيب k. يسمى محدد هذه المصفوفةقاصر من الترتيب k المصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها عناصر ثانوية من أي ترتيب من 1 إلى أصغر الأرقام m وn. من بين جميع العناصر الثانوية غير الصفرية في المصفوفة A يوجد واحدعلى الأقل رتبةقاصر واحد يكون ترتيبه أعظم. تسمى أكبر الأوامر الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينة المصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي، هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي غير الصفر المصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هيبل كل قاصر من أجل أكبر من المصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي، يساوي الصفر. يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r(A). من الواضح أن العلاقة قائمة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما بطريقة الحدود الثانوية أو بطريقة التحويلات الأولية. عند حساب رتبة مصفوفة باستخدام الطريقة الأولى، يجب عليك الانتقال من الترتيب الثانوي إلى الترتيب الثانوي. إذا تم بالفعل العثور على قاصر D من الرتبة k للمصفوفة A، يختلف عن الصفر، فإن الرتب الثانوية (k+1) المتاخمة للمصفوفة D الثانوية فقط هي التي تتطلب الحساب، أي. تحتوي على أنها قاصر. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي . إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفة.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

حل.نبدأ بالقاصرين من الدرجة الأولى، أي. من عناصر المصفوفة A. دعونا نختار، على سبيل المثال، (عنصر) ثانوي M 1 = 1، الموجود في الصف الأول والعمود الأول. الحدود بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث نحصل على قاصر M 2 = يختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لـ M2. يوجد اثنان منهم فقط (يمكنك إضافة عمود ثانٍ أو رابع). دعونا نحسبهم: = 0. وبالتالي، تبين أن جميع القاصرين المتاخمين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. رتبة المصفوفة A هي اثنان.