Повечето математически модели в икономиката се описват с помощта на матрици и матрично смятане.

Матрица е правоъгълна таблица, съдържаща числа, функции, уравнения или други математически обекти, подредени в редове и колони.

Обектите, които изграждат една матрица, се наричат елементи . Матриците се обозначават с главни латински букви

и техните елементи са малки букви.

Символ
означава, че матрицата има
линии и колони, елемент в пресечната точка -ти ред и -та колона
.

.

Казват, че матрицата Аравен на матрицата IN : А=Б, ако имат еднаква структура (т.е. еднакъв брой редове и колони) и съответните им елементи са идентично равни
, за всеки
.

Специални видове матрици

В практиката доста често се срещат матрици от специален тип. Някои методи също включват трансформации на матрици от един тип в друг. Най-често срещаните видове матрици са дадени по-долу.

	квадратна матрица, брой редове правен на броя на колоните п
	матрица-колона
	матрица-ред
	долна триъгълна матрица
	горна триъгълна матрица
	нулева матрица
	диагонална матрица
д =	матрица на идентичността д(квадрат)
	унитарна матрица
	стъпкова матрица
	Празна матрица

Матрични елементи с еднакви номера на редове и колони, т.е а iiобразуват главния диагонал на матрицата.

Операции с матрици.

.

Свойства на операциите върху матрици

Специфични свойства на операциите

Ако произведението на матрици
– съществува, значи работата
може да не съществува. най-общо казано,
. Тоест матричното умножение не е комутативно. Ако
, Това И се наричат ​​комутативни. Например диагоналните матрици от един и същи ред са комутативни.

Ако
, след това по избор
или
. Тоест произведението на ненулеви матрици може да даде нулева матрица. например

Операция за степенуване дефинирани само за квадратни матрици. Ако
, Това

.

По дефиниция те вярват
, и е лесно да се покаже това
,
. Имайте предвид, че от
това не следва
.

Елементно степенуване А. м =
.

Операция за транспониране матрица се състои от заместване на редовете на матрица с нейните колони:

,

например

,
.

Транспониране на свойства:

Детерминанти и техните свойства.

За квадратни матрици понятието често се използва детерминант – число, което се изчислява от елементите на матрицата по строго определени правила. Това число е важна характеристика на матрицата и се обозначава със символите

.

Матрична детерминанта
е негов елемент .

Матрична детерминанта
изчислено по правилото:

т.е. произведението на елементите на допълнителния диагонал се изважда от произведението на елементите на главния диагонал.

За изчисляване на детерминанти от по-висок ред (
) е необходимо да се въведат понятията минор и алгебрично допълнение на елемент.

второстепенен
елемент е детерминантата, която се получава от матрицата , задраскване -ти ред и та колона.

Помислете за матрицата размер
:

,

тогава, например,

Алгебрично допълнение елемент те го наричат ​​минор, умножено по
.

,

Теорема на Лаплас: Детерминантата на квадратна матрица е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки ред (колона) от техните алгебрични допълнения.

Например, разлагане
въз основа на елементите на първия ред получаваме:

Последната теорема предоставя универсален начин за изчисляване на детерминанти от всякакъв ред, като се започне от втората. Редът (колоната) винаги се избира да бъде този с най-голям брой нули. Например, трябва да изчислите детерминанта от четвърти ред

В този случай можете да разширите детерминантата по първата колона:

или последния ред:

Този пример също така показва, че детерминантата на горна триъгълна матрица е равна на произведението на нейните диагонални елементи. Лесно се доказва, че това заключение е валидно за всякакви триъгълни и диагонални матрици.

Теоремата на Лаплас позволява да се намали изчисляването на детерминантата -та поръчка за изчисляване детерминанти
ти ред и в крайна сметка до изчисляване на детерминанти от втори ред.

Тук ще очертаем онези свойства, които обикновено се използват за изчисляване на детерминанти в стандартен курс по висша математика. Това е спомагателна тема, към която ще се позоваваме от други раздели, ако е необходимо.

И така, нека определена квадратна матрица $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) бъде дадено & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( масив) \right)$. Всяка квадратна матрица има характеристика, наречена детерминанта (или детерминанта). Тук няма да навлизам в същността на това понятие. Ако се нуждае от пояснение, моля, пишете за това във форума и аз ще засегна този въпрос по-подробно.

Детерминантата на матрицата $A$ се означава като $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Определящ редравен на броя на редовете (колоните) в него.

1. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако нейните редове се заменят със съответните колони, т.е. $\Делта A=\Делта A^T$.

   показване\скриване

   Нека заменим редовете с колони в него според принципа: „имаше първи ред - имаше първа колона“, „имаше втори ред - имаше втора колона“:

   Нека изчислим получената детерминанта: $\left| \begin(масив) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(масив) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Както можете да видите, стойността на детерминантата не се е променила поради замяната.

2. Ако размените два реда (колони) на детерминантата, знакът на детерминантата ще се промени на противоположния.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(масив) \right|$. Нека намерим стойността му, използвайки формула № 1 от темата за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:

   $$\ляво| \begin(масив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(масив) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Сега нека разменим първия и втория ред. Получаваме детерминантата $\left| \begin(масив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(масив) \right|$. Нека изчислим получената детерминанта: $\left| \begin(масив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(масив) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. И така, стойността на първоначалната детерминанта беше (-37), а стойността на детерминантата с променения ред на реда е $-(-37)=37$. Знакът на определителя се е променил на противоположния.

3. Детерминанта, за която всички елементи на ред (колона) са равни на нула, е равна на нула.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Тъй като в детерминанта $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ всички елементи от третата колона са нула, тогава детерминантата е нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(масив) \right|=0$.

4. Детерминантата, в която всички елементи от даден ред (колона) са равни на съответните елементи от друг ред (колона), е равна на нула.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Тъй като в детерминанта $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(масив) \right|$ всички елементи от първия ред са равни на съответния елементи от втория ред, то детерминантата е равна на нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Ако в един детерминант всички елементи от един ред (колона) са пропорционални на съответните елементи от друг ред (колона), тогава такъв детерминант е равен на нула.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Тъй като в детерминанта $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Вторият и третият ред са пропорционални, т.е. $r_3=-3\cdot(r_2)$, то детерминантата е равна на нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Ако всички елементи на ред (колона) имат общ фактор, тогава този фактор може да бъде изваден от детерминантния знак.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|$. Забележете, че всички елементи във втория ред се делят на 3:

   $$\ляво| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|=\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(масив) \right|$$

   Числото 3 е общият множител на всички елементи от втория ред. Нека извадим трите от определящия знак:

   $$\ляво| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|=\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(масив) \right|= 3\cdot \left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(масив) \right| $$

7. Детерминантата няма да се промени, ако към всички елементи на даден ред (колона) добавим съответните елементи от друг ред (колона), умножени по произволно число.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|$. Нека добавим към елементите от втория ред съответните елементи от третия ред, умножени по 5. Това действие се записва по следния начин: $r_2+5\cdot(r_3)$. Вторият ред ще бъде променен, останалите редове ще останат непроменени.

   $$\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|. $$

8. Ако определен ред (колона) в детерминанта е линейна комбинация от други редове (колони), то детерминантата е равна на нула.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Нека незабавно обясня какво означава фразата „линейна комбинация“. Нека имаме s реда (или колони): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Изразяване

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   където $k_i\in R$ се нарича линейна комбинация от редове (колони) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Например, разгледайте следната детерминанта:

   $$\ляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(масив) \right| $$

   В тази детерминанта четвъртият ред може да бъде изразен като линейна комбинация от първите три реда:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Следователно въпросната детерминанта е равна на нула.

9. Ако всеки елемент от определен k-ти ред (k-та колона) на детерминанта е равен на сбора от два члена, тогава такъв детерминант е равен на сбора от детерминанти, първият от които има първите членове в k-ти ред (k-та колона), а втората детерминанта k-ти ред (k-та колона) съдържа вторите членове. Другите елементи на тези детерминанти са еднакви.

   Пример за използване на това свойство: show\hide

   Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|$. Нека запишем елементите на втората колона така: $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(масив) \right|$. Тогава такава детерминанта е равна на сумата от две детерминанти:

   $$\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(масив) \right|+ \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(масив) \right| $$

10. Детерминантата на произведението на две квадратни матрици от един и същи ред е равна на произведението на детерминантите на тези матрици, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. От това правило можем да получим следната формула: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Ако матрицата $A$ е неособена (т.е. нейният детерминант не е равен на нула), тогава $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Формули за изчисляване на детерминанти

За детерминанти от втори и трети ред са правилни следните формули:

\begin(equation) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(подравнено)\end(equation)

Примери за използване на формули (1) и (2) са в темата "Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред. Примери за изчисляване на детерминанти".

Детерминантата на матрицата $A_(n\times n)$ може да бъде разширена в i-тия ред, като се използва следната формула:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \край (уравнение)

Съществува аналог на тази формула и за колони. Формулата за разширяване на детерминантата в j-та колона е следната:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(уравнение)

Правилата, изразени с формули (3) и (4), са подробно илюстрирани с примери и обяснени в темата Редуциране на реда на детерминантата. Разлагане на детерминантата в ред (колона).

Нека посочим друга формула за изчисляване на детерминантите на горни триъгълни и долни триъгълни матрици (за обяснение на тези термини вижте темата „Матрици. Видове матрици. Основни термини“). Детерминантата на такава матрица е равна на произведението на елементите на главния диагонал. Примери:

\begin(aligned) &\left| \begin(масив) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(масив) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(масив) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(масив) \ дясно|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \край (подравнено)

Основната числена характеристика на квадратната матрица е нейната детерминанта. Помислете за квадратна матрица от втори ред

Детерминанта или детерминанта от втори ред е число, изчислено съгласно следното правило

например,

Нека сега разгледаме квадратна матрица от трети ред

.

Детерминанта от трети ред е число, изчислено по следното правило

За да се запомни комбинацията от термини, включени в изразите за определяне на детерминанта от трети ред, те обикновено използват Правилото на Сарус: първият от трите члена, включени в дясната страна със знак плюс, е произведение на елементи, разположени на главния диагонал на матрицата, а всеки от другите два е произведение на елементи, разположени на паралел на този диагонал и елемент от срещуположния ъгъл на матрицата.

Последните три члена, включени със знак минус, се определят по подобен начин, само по отношение на вторичния диагонал.

Пример:

Основни свойства на матричните детерминанти

1. Стойността на детерминантата не се променя, когато матрицата се транспонира.

2. При пренареждане на редовете или колоните на матрицата детерминантата сменя само знака, запазвайки абсолютната стойност.

3. Детерминантата, съдържаща пропорционални редове или колони, е равна на нула.

4. Общият фактор на елементите на определен ред или колона може да бъде изваден от детерминантния знак.

5. Ако всички елементи на даден ред или колона са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.

6. Ако към елементите на отделен ред или колона на детерминанта добавим елементи от друг ред или колона, умножени по произволен неизроден фактор, тогава стойността на детерминантата няма да се промени.

второстепененМатрицата е детерминанта, получена чрез изтриване на същия брой колони и редове от квадратна матрица.

Ако всички минори от порядък по-висок от , които могат да бъдат съставени от матрица, са равни на нула и сред минорите от порядък поне един е различен от нула, тогава числото се нарича ранг тази матрица.

Алгебрично допълнениеелемент от детерминантата на реда ще наричаме неговия второстепенен ред, получен чрез задраскване на съответния ред и колона, в пресечната точка на които има елемент, взет със знак плюс, ако сумата от индексите е равна на четно число и с знак минус в противен случай.

Така

,

къде е съответната второстепенна поръчка.

Изчисляване на детерминанта на матрица чрез разширяване на ред или колона

Детерминантата на матрицата е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки ред (всяка колона) на матрицата от съответните алгебрични добавки на елементите на този ред (тази колона). Когато изчислявате детерминантата на матрица по този начин, трябва да се ръководите от следното правило: изберете реда или колоната с най-голям брой нулеви елементи. Тази техника ви позволява значително да намалите количеството на изчисленията.

Пример: .

При изчисляването на този детерминант използвахме техниката на разлагането му на елементите на първата колона. Както може да се види от горната формула, няма нужда да се изчислява последната от детерминантите от втори ред, т.к. тя се умножава по нула.

Изчисляване на обратната матрица

При решаване на матрични уравнения широко се използва обратната матрица. До известна степен той замества операцията деление, която не присъства изрично в алгебрата на матриците.

Квадратни матрици от един и същи ред, чийто продукт дава единичната матрица, се наричат ​​реципрочни или обратни. Означава се обратната матрица и за нея важи следното:

Възможно е да се изчисли обратната матрица само за матрица, за която .

Класически алгоритъм за изчисляване на обратната матрица

1. Запишете матрицата, транспонирана към матрицата.

2. Заменете всеки елемент от матрицата с детерминанта, получена чрез задраскване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира този елемент.

3. Тази детерминанта се придружава от знак плюс, ако сумата от индексите на елемента е четна, и знак минус в противен случай.

4. Разделете получената матрица на детерминантата на матрицата.

За да умножите матрица по число, трябва да умножите всеки елемент от матрицата по това число.

Последица. Общият множител на всички елементи на матрицата може да бъде изваден от знака на матрицата.

Например,.

Както можете да видите, действията по събиране, изваждане на матрици и умножаване на матрица по число са подобни на действията с числа. Матричното умножение е специфична операция.

Произведение на две матрици.

Не всички матрици могат да се умножават. Произведение на две матрици АИ INв посочения ред ABвъзможно само когато броят на колоните на първия фактор Аравен на броя на редовете на втория фактор IN.

Например,.

Размер на матрицата А 33, размер на матрицата IN 23. Работа ABневъзможно, работа Вирджинияможе би

Продуктът на две матрици A и B е третата матрица C, чийто елемент C ij е равен на сумата от произведенията по двойки на елементите на i-тия ред на първия фактор и j-тата колона на втория фактор фактор.

Беше показано, че в този случай произведението на матриците е възможно Вирджиния

От правилото за съществуване на произведението на две матрици следва, че произведението на две матрици в общия случай не се подчинява на комутативния закон, т.е. AB? Вирджиния. Ако в конкретен случай се окаже, че AB = BA,тогава такива матрици се наричат ​​пермутабилни или комутативни.

В матричната алгебра произведението на две матрици може да бъде нулева матрица, дори когато никоя от фактор матриците не е нула, противно на обикновената алгебра.

Например, нека намерим произведението на матриците AB, Ако

Можете да умножите множество матрици. Ако можете да умножавате матрици А, INи произведението на тези матрици може да бъде умножено по матрицата СЪС, тогава е възможно да съставите продукта ( AB) СЪСИ А(слънце). В този случай действа комбинационният закон по отношение на умножението ( AB) СЪС = А(слънце).

Нека ни бъде дадена таблица (наречена матрица), състояща се от четири числа:

Матрицата има два реда и две колони, които съставляват тази матрица и са обозначени с буква с два индекса. Първият индекс показва номера на реда, а вторият номер на колоната, в която фигурира даденото число. Например означава числото в първия ред и втората колона; числото във втория ред и първата колона. Числата ще наричаме елементи на матрицата.

Детерминантата (или детерминантата) от втори ред, съответстваща на дадена матрица, е числото, получено, както следва:

Детерминантата се обозначава със символа

по този начин

Числата се наричат ​​елементи на определителя.

Нека представим свойствата на детерминанта от втори ред.

Свойство 1. Детерминантата не се променя, ако нейните редове се разменят със съответните колони, т.е.

Имот 2.

При пренареждане на два реда (или колони) детерминантата ще промени знака си на противоположния, запазвайки абсолютната стойност, т.е.

Свойство 3. Детерминантата с два еднакви реда (или колони) е равна на нула.

Свойство 4. Общият множител на всички елементи на ред (или колона) може да бъде изваден от детерминантния знак:

Свойство 5. Ако всички елементи на ред (или колона) са равни на нула, то детерминантата е равна на нула.

Свойство 6. Ако към който и да е ред (или колона) от детерминантата добавим съответните елементи от друг ред (или колона), умножени по същото число y, то детерминантата няма да промени стойността си, т.е.