Анализ на Фурие и предаване на сигнали. Спектрален анализ на базата на бързо преобразуване на Фурие
Камерите за видеонаблюдение се използват широко за наблюдение на условията на движение по магистрали с голям трафик. Информацията, получена от видеокамери, съдържа данни за временни промени в пространственото положение на превозните средства в зрителното поле на системата. Обработката на тази информация на базата на алгоритми, използвани в телевизионните измервателни системи (TIS), позволява да се определи скоростта на превозните средства и да се осигури управление на трафика. Именно тези фактори обясняват нарастващия интерес към телевизионния мониторинг на транспортните магистрали.
За да се разработят методи за филтриране на изображения на превозни средства на фона на шум, е необходимо да се познават техните основни параметри и характеристики. Преди това авторите проведоха изследване на спектрите на Фурие и вълновите вълни на естествени и градски среди. Тази работа е посветена на изследването на подобни спектри на превозни средства.
- с помощта на цифрова камера беше създадена банка от първоначални .bmp файлове с монохромни изображения на превозни средства от различни видове (автомобили, камиони, автобуси, за всяка група броят на изображенията беше 20-40 при различни ъгли и условия на осветеност); изображенията са с размери 400 пиксела хоризонтално и 300 пиксела вертикално; диапазон на яркост от 0 до 255 единици;
- тъй като изображенията съдържаха и фонов компонент в допълнение към превозното средство, той беше изкуствено потиснат до нулево ниво, за да се предотврати влиянието му върху резултата;
- Характеристиките на изображенията на превозното средство бяха анализирани с помощта на методите на Фурие и вълновия анализ.
Програмата, разработена в средата MATLAB, ви позволява да изчислите средната яркост (т.е. математическото очакване на яркостта на изображението), дисперсия на яркостта, спектър на Фурие на индивидуални и общи линии на изображението, спектрограми, както и вълнови спектри, като използвате различни добре познати вълнови вълни (Haar, Daubechies, Simleta и др.). Резултатите от анализа се отразяват под формата на спектри на двуизмерно и 3D изображение.
Въз основа на резултатите от изследването могат да се направят следните изводи:
- характеристиките на средната яркост (средна яркост, дисперсия) на изображенията на различни превозни средства имат сходни стойности за всички видове; Слънчевите отблясъци от стъклото и повърхностите на автомобила оказват значително влияние върху яркостните характеристики; в зависимост от интензитета и посоката на осветяване, черните автомобили могат да имат характеристики на яркост, подобни на светлите автомобили;
- Независимо от типа превозно средство, спектрите на Фурие и вълновите спектри имат подобна структура;
- ширината на Фурие на спектъра на автомобила зависи леко от типа автомобил; спектърът има значително неравномерна структура, променяща се с промени в осветлението и ориентацията на превозното средство; спектърът в хоризонталната равнина има по-неравномерна структура, отколкото във вертикалната равнина; спектралните характеристики на полукамионите и автобусите са силно повлияни от рисунки и надписи (реклами) върху неговите повърхности;
- при завъртане на автомобили има значителна промяна в спектрите на изображенията в хоризонталната равнина, спектърът във вертикалната равнина остава доста стабилен; това е особено ясно видимо в вълновите спектри;
- анализът на спектрите на отделно превозно средство и превозно средство на фона на смущения показва, че те се различават по амплитудните нива на спектралните компоненти; при липса на фон вертикалният спектър е значително по-равномерен; за изображения на автомобили без фон има по-голяма вероятност от дълбоки спадове в спектъра (по-висока неравномерност), обвивката на спектъра на изображения с фон е по-равномерна, отколкото без фон;
- проведените проучвания показват, че поради силното влияние на голям брой фактори, спектралните характеристики на превозните средства (както получени чрез анализ на Фурие, така и вълнов анализ) не ни позволяват да идентифицираме стабилни спектрални характеристики на изображенията на превозни средства; това намалява ефективността на филтрирането на спектрално изображение, извършено за потискане на фона;
- в автоматизираните системи за контрол на движението, за да се разграничат автомобилите от фона на шума, е необходимо да се използва набор от характеристики, като цвят, спектър, геометрични параметри на обекти (размери и съотношения на страните) и динамични характеристики.
БИБЛИОГРАФИЯ
- Makaretsky E.A., Nguyen L.H. Изследване на характеристиките на изображения на природни и градски фонове // Изв. Тулск състояние Унив. Радиотехника и радиооптика. - Тула, 2005. - Т. 7.- С.97-104.
Библиографска връзка
Макарецки Е.А. ИЗСЛЕДВАНЕ НА СПЕКТРИ НА ФУРИЕ И ВЕЙВЛЕТ НА ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ПРЕВОЗНИ СРЕДСТВА // Фундаментални изследвания. – 2006. – № 12. – С. 80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (дата на достъп: 15.01.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"
Разделът за уводен преглед обсъжда два много прости примера (взети от Shumway, 1988), за да илюстрира естеството на спектралния анализ и интерпретацията на резултатите. Ако не сте запознати с този метод, препоръчваме ви първо да разгледате този раздел от тази глава.
Преглед и файл с данни. Файлът Sunspot.sta съдържа част от известните числа на слънчевите петна (Wolfer) от 1749 до 1924 г. (Anderson, 1971). По-долу е даден списък с първите няколко данни от примерния файл.
Предполага се, че броят на слънчевите петна влияе върху времето на земята, както и върху селското стопанство, телекомуникациите и т.н. Използвайки този анализ, човек може да се опита да разбере дали активността на слънчевите петна е наистина циклична по природа (всъщност е така, тези данни са широко обсъждани в литературата; вижте например Bloomfield, 1976 или Shumway, 1988).
Дефиниция на анализ. След като изпълните анализа, отворете файла с данни Sunspot.sta. Щракнете върху бутона Variables и изберете променливата Spots (обърнете внимание, че ако файлът с данни Sunspot.sta е текущо отвореният файл с данни и променливата Spots е единствената променлива в този файл, тогава, когато се отвори диалоговият прозорец Анализ на времевите серии, Spots ще да бъдат избрани автоматично). Сега щракнете върху бутона за (спектрален) анализ на Фурие, за да отворите диалоговия прозорец за (спектрален) анализ на Фурие.
Преди да приложите спектрален анализ, първо начертайте броя на слънчевите петна. Имайте предвид, че файлът Sunspot.sta съдържа съответните години като имена на наблюдения. За да използвате тези имена в линейни графики, щракнете върху раздела Изглед на серии и изберете Имена на случаи в секцията Точки на етикети. Също така изберете Ръчно задаване на мащаба на оста X и Мин. = 1 и стъпка = 10. След това щракнете върху бутона Graph до бутона View Selection. променлива.
Броят на слънчевите петна изглежда следва цикличен модел. Тенденцията не се вижда, така че се върнете към прозореца за спектрален анализ и премахнете отметката от опцията Премахване на линейна тенденция в групата Transform Source Series.
Очевидно е, че средната стойност на серията е по-голяма от 0 (нула). Следователно, оставете опцията Изваждане на средното избрана [в противен случай периодограмата ще бъде „запушена” с много голям пик при честота 0 (нула)].
Сега сте готови да започнете своя анализ. Сега щракнете върху OK (Едномерен анализ на Фурие), за да се покаже диалоговият прозорец Резултати от спектралния анализ на Фурие.
Вижте резултатите. Разделът с информация в горната част на диалоговия прозорец показва някои обобщени статистически данни за серията. Той също така показва петте най-големи пика в периодограмата (по честота). Трите най-големи пика са при честоти 0.0852, 0.0909 и 0.0114. Тази информация често е полезна, когато се анализират много големи серии (например с повече от 100 000 наблюдения), които не могат лесно да се начертаят на една графика. В този случай обаче е лесно да се видят стойностите на периодограмата; като щракнете върху бутона Периодограма в секцията Периодограма и графики на спектралната плътност.
Графиката на периодограмата показва два ясни пика. Максимумът е при честота приблизително 0,9. Върнете се в прозореца Резултати от спектрален анализ и щракнете върху бутона Резюме, за да видите всички стойности на периодограма (и други резултати) в таблицата с резултати. По-долу е дадена част от таблицата с резултатите с най-големия пик, идентифициран от периодограмата.
Както беше обсъдено в раздела за уводен преглед, Честотата е броят цикли за единица време (където всяко наблюдение е една единица време). По този начин Честота 0,0909 съответства на стойността от 11 периода (броят времеви единици, необходими за пълен цикъл). Тъй като данните за слънчевите петна в Sunspot.sta представляват годишни наблюдения, може да се заключи, че има отчетлив 11-годишен (може би малко по-дълъг от 11-годишен) цикъл в активността на слънчевите петна.
Спектрална плътност. Обикновено, за да се изчислят оценките на спектралната плътност, периодограмата се изглажда, за да се премахнат произволните флуктуации. Типът на претеглената пълзяща средна и ширината на прозореца могат да бъдат избрани в секцията Spectral Windows. В раздела Уводен преглед тези опции се обсъждат подробно. За нашия пример нека оставим прозореца по подразбиране избран (ширина на Хеминг 5) и да изберем графиката на спектралната плътност.
Двата върха вече са още по-различни. Нека да разгледаме стойностите на периодограмата по период. Изберете полето Период в секцията График. Сега изберете графиката Spectral Density.
Отново може да се види, че има ясно изразен 11-годишен цикъл в активността на слънчевите петна; Освен това има признаци за съществуването на по-дълъг, приблизително 80-90 годишен цикъл.
Mathcad има вградени инструменти за бързо преобразуване на Фурие (FFT), които значително опростяват процедурата за приблизителен спектрален анализ.
БПФ- бърз алгоритъм за прехвърляне на информация за определена функция 2 м(м- цяло число) проби във времевата област, в честотната област.
елементи:
Фиг.3 Спектрален анализ с помощта на FFT
функция fft( v )имплементира напред FFT връща напред FFT 2 м-дименсионален вектор v, Където v- вектор, чиито елементи съхраняват функционални проби f(T). Резултатът ще бъде вектор Аразмери 1 + 2 м- 1 със сложни елементи - проби в честотната област. Всъщност реалната и имагинерната част на вектора са коефициенти на Фурие a kИ b k, което значително улеснява тяхното получаване.
функция ifft( v) прилага обратно БПФ - връща обратното БПФ на вектор vсъс сложни елементи. вектор vима 1 + 2 м – 1
Филтриране на аналогови сигнали
Ø Филтриране на дефиниция- отделяне на полезен сигнал от неговата смес със смущаващ сигнал - шум. Най-често срещаният тип филтриране е честотното филтриране. Ако честотният диапазон, зает от полезния сигнал, е известен, достатъчно е да се изолира тази област и да се потиснат онези области, които са заети от шум.
Използвайки предно FFT, шумният сигнал се преобразува от времевата област в честотната област, създавайки вектор fот 64 честотни компонента.
След това се извършва филтърна трансформация с помощта на функцията Heaviside
Е (х) - Хевисайд стъпкова функция.
Връща 1 if х 0; иначе 0.
Филтриран сигнал (вектор ж) се подлага на обратно FFT и произвежда изходен вектор ч.
Сравнението на времевите зависимости на източника и изходния сигнал показва, че изходният сигнал почти напълно повтаря входния сигнал и е до голяма степен свободен от високочестотни шумови смущения, които маскират полезния сигнал
Фиг.4. Филтриране на аналогови сигнали
Фигура 4 илюстрира техниката на филтриране с помощта на FFT Първо, оригиналният сигнал се синтезира, представен от 128 векторни проби v. След това към този сигнал се добавя шум с помощта на генератор на произволни числа ( функция rnd ) и се формира вектор от 128 проби от сигнала с шум.
.
Процедура за извършване на лабораторна работа
Упражнение 1.Изчислете първите шест двойки коефициенти от разширението на функцията в ред на Фурие f(T) на сегмента.
Постройте графики на 1-ви, 2-ри и 3-ти хармоници.
Извършване на хармоничен синтез на функция f(T) за 1-ви, 2-ри и 3-ти хармоници. Резултатите от синтеза се показват графично.
Варианти на задачите 1
| № | f(T) | Опция № | f(T) | Опция № | f(T) |
| cos e |sin 3 t| |
Задача 2.Извършване на класически спектрален анализ и функционален синтез f(T). Покажете графично спектрите на амплитудите и фазите, резултатът от спектралния синтез на функцията f(T).
Задача 3.Извършва числен спектрален анализ и функционален синтез f(T). За да направите това, трябва да зададете оригиналната функция f(T) дискретно в 32 проби. Покажете графично спектрите на амплитудите и фазите, резултатът от спектралния синтез на функцията f(T).
Задача 4.Извършване на спектрален анализ и функционален синтез f(T) с помощта на FFT. За да направите това ви трябва:
· задайте първоначалната функция f(T) дискретно в 128 проби;
изпълнете директно FFT с помощта на функцията fftи показва графично намерените спектри на амплитудите и фазите на първите шест хармоника;
извършете обратно FFT с помощта на функцията ifftи покажете графично резултата от спектралния синтез на функцията f(T).
Задача 5.Филтриране на функция f(T) с помощта на FFT:
· синтезира функция f(T) под формата на полезен сигнал, представен от 128 векторни проби v;
до полезен сигнал vприкачете шум чрез функция rnd (rnd(2) - 1) и формират вектор от 128 проби от сигнала с шум с;
Преобразуване на сигнал с шум сот времеви домейн към честотен домейн с помощта на FFT (функция fft). Резултатът ще бъде сигнал fот 64 честотни компоненти;
· извършва филтрираща трансформация с помощта на функцията Heaviside (параметър на филтриране = 2);
използване на функцията ifftизвършете обратно FFT и вземете изходния вектор ч;
· изграждане на графики на полезния сигнал vи сигнала, получен чрез филтриране на шумния сигнал с.
Тема 1. “Пропозиционална логика”
Упражнение
1. Определете дали тази формула е идентично вярна.
2. Напишете това твърдение под формата на пропозиционална логическа формула. Конструирайте отрицанието на това твърдение под формата на формула, която не съдържа външни признаци на отрицание. Превеждайте на естествен език.
3. Определете дали това разсъждение е правилно (проверете дали заключението следва от връзката на предпоставките).
Варианти на самостоятелни задания по темата на ЛП
Опция 1
3. Ако човек е взел някакво решение и е възпитан правилно, тогава той ще преодолее всички конкурентни желания. Човекът взе решение, но не преодоля конкуриращите се желания. Следователно той е възпитан неправилно.
Вариант №2
2. Вали дъжд и сняг.
3. Ако това явление е психическо, тогава то е причинено от външно въздействие върху тялото. Ако е физиологично, значи се дължи и на външни влияния върху организма. Това явление не е нито психическо, нито физиологично. Следователно не се причинява от външни влияния върху тялото.
Вариант #3
2. Той е добър ученик или добър спортист.
3. Ако заподозреният е извършил кражбата, тогава тя или е била внимателно подготвена, или е имал съучастници. Ако кражбата е била внимателно подготвена, то ако е имало съучастници, е щяло да се открадне много. Малко е откраднато. Това означава, че заподозреният е невинен.
Вариант No4
2. Ако стоманено колело се нагрее, диаметърът му ще се увеличи.
3. Ако цената на ценните книжа се повиши или лихвеният процент намалее, тогава цената на акциите пада. Ако лихвеният процент намалява, тогава или цената на акциите не пада, или цената на акциите не се повишава. Цената на акциите върви надолу. Вследствие на това лихвеният процент намалява.
Вариант №5
3. Или свидетелят не е бил сплашен, или ако Хенри се е самоубил, бележката е била намерена. Ако свидетелят е бил сплашен, тогава Хенри не се е самоубил. Бележката е намерена. В резултат на това Хенри се самоуби.
Вариант #6
2. Учи в института или посещава курсове по чужд език.
3. Ако един философ е дуалист, то той не е материалист. Ако не е материалист, значи е диалектик или метафизик. Той не е метафизик. Следователно той е диалектик или дуалист.
Вариант №7
2. Той е способен и усърден.
3. Ако инвестициите останат постоянни, държавните разходи ще се увеличат или ще настъпи безработица. Ако държавните разходи не се увеличат, данъците ще бъдат намалени. Ако данъците бъдат намалени и инвестициите останат постоянни, безработицата няма да се увеличи. Безработицата няма да расте. Следователно държавните разходи ще се увеличат.
Вариант No8
2. Тази книга е трудна и безинтересна.
3. Ако изходните данни са правилни и програмата работи правилно, тогава се получава правилният резултат. Резултатът е неправилен. Следователно въведените данни са неправилни или програмата не работи правилно.
Вариант No9
2. Той е и жътвар, и швед, и тръбач.
3. Ако цените са високи, значи и заплатите са високи. Цените са високи или се прилага ценови контрол. Ако се прилага контрол върху цените, тогава няма инфлация. Има инфлация. Следователно заплатите са високи..
Вариант No10
2. Ако водата се охлади, нейният обем ще намалее.
3. Ако съм уморен, искам да се прибера вкъщи. Ако съм гладен, искам да се прибера вкъщи или да отида на ресторант. Уморен съм и гладен. Ето защо искам да се прибера.
Вариант №11
2. Ако едно число завършва на нула, то се дели на 5.
3. Ако утре е студено, ще нося топло яке, ако ръкавът е ремонтиран. Утре ще е студено и маншона няма да се ремонтира. Така че няма да нося топло яке.
Вариант No12
2. Тялото, лишено от опора, пада на земята.
3. Ако вали сняг, ще бъде трудно да управлявате колата. Ако е трудно да карам, ще закъснея, ако не тръгна по-рано. Вали сняг и ще си тръгна рано. Така че няма да закъснея.
Вариант No13
2. Иван и Петър познават Федор.
3. Ако човек изрича лъжа, значи греши или умишлено заблуждава другите. Този човек лъже и явно не греши. Това означава, че той умишлено заблуждава другите.
Вариант No14
2. Тази книга е полезна и интересна.
3. Ако беше умен, щеше да види грешката си. Ако беше искрен, щеше да й признае. Той обаче не е нито умен, нито искрен. Следователно той или няма да види грешката си, или няма да я признае.
Вариант No15
2. Този актьор играе в театъра и не играе във филми.
3. Ако човек е материалист, то той признава познаваемостта на света Ако човек признава познаваемостта на света, то той не е агностик. Следователно, ако човек не е последователен материалист, той е агностик.
Вариант No16
2. Ако кучето го дразнят, то ще хапе.
3. Ако в света има справедливост, тогава злите хора не могат да бъдат щастливи. Ако светът е творение на зъл гений, тогава злите хора могат да бъдат щастливи. Това означава, че ако в света има справедливост, то светът не може да бъде творение на зъл гений
Вариант No17
2. Ако говорите английски, можете да се справите с тази работа.
3. Ако Иванов работи, значи получава заплата. Ако Иванов учи, получава стипендия. Но Иванов не получава нито заплата, нито стипендия. Следователно той не работи и не учи.
Вариант No18
2. Ако функцията е нечетна, тогава нейната графика е симетрична спрямо началото.
3. Ако си легна, няма да издържа изпита. Ако уча през нощта, също няма да взема изпита. Затова няма да издържа изпита.
Вариант No19
2. Ако едно число се дели на 3, то сумата от цифрите му се дели на 3.
3. Ако утре отида на първата лекция, ще трябва да стана рано. Ако отида на дискотека вечер, ще си легна късно. Ако си лягам късно и ставам рано, ще се чувствам зле. Затова трябва да пропусна първата лекция или да не отида на дискотека.
Вариант No20
2. Ако една дума е поставена в началото на изречението, тогава тя се пише с главна буква.
3. Ако х 0 и г 0, тогава х 2 + г 2 > 0. Ако х= 0 и г= 0, тогава изразът ( х – г):(х + г) няма смисъл. Това не е вярно х 2 + г 2 > 0. Следователно изразът ( х – г):(х + г).
Вариант No21
2. Иван и Мария се обичат.
3. Ако книгата, която чета, е безполезна, значи не е трудна. Ако една книга е трудна, значи не е интересна. Тази книга е сложна и интересна. Така че е полезно.
Вариант No22
2. Лош войник е този, който не мечтае да стане генерал.
3. Ако утре вали, ще нося дъждобран. Ако има вятър, ще нося яке. Затова, ако няма дъжд и вятър, няма да нося шлифер или яке.
Вариант No23
2. Ако ред се сближава, тогава неговият общ член клони към нула.
3. Ако не е страхливец, тогава ще действа в съответствие със собствените си убеждения. Ако е честен, значи не е страхливец. Ако не е честен, тогава няма да признае грешката си. Той призна грешката си. Значи не е страхливец.
Вариант No24
2. Нито Иван, нито Федор са отлични ученици.
3. Ако е упорит, значи може да сгреши. Ако е честен, не е упорит. Ако не е упорит, тогава той не може да не прави грешки и да бъде честен в същото време. Значи не е упорит.
Вариант No25
2. Иван или Петър познават Федор.
3. Ако заплатите се плащат навреме, значи или избори, или протест. Заплатата се изплащаше навреме. Избори не се очакват. Това означава, че се очаква протест.
Вариант No26
2. Ако създадете алгоритъм и напишете програма, можете да разрешите този проблем.
3. Ако човек спортува, значи е здрав. Ако човек е здрав, значи е щастлив, този човек се занимава със спорт. Значи е щастлив.
Вариант No27
2. Вечерта ще отидем на хокей или ще го гледаме по телевизията.
3. Антон е преуморен или болен. Ако е преуморен, той се дразни. Той не се дразни. Следователно той е болен.
Вариант No28
2. Ако не спя достатъчно или съм гладен, не мога да спортувам.
3. Ако една компания се фокусира върху укрепване на маркетинга, тогава тя възнамерява да реализира големи печалби чрез пускане на нови продукти. Ако една компания планира да разшири дистрибуторската си мрежа, тогава тя възнамерява да реализира големи печалби от увеличени продажби. Компанията планира да засили маркетинга или ще разшири дистрибуторската си мрежа, поради което възнамерява да реализира големи печалби.
Вариант No29
2. Ако не се намалят данъците, малките производители ще фалират и ще напуснат производството.
3. Договорът ще бъде изпълнен тогава и само ако къщата е завършена през февруари. Ако къщата е завършена през февруари, тогава можем да се преместим през март. Договорът ще бъде изпълнен, следователно можем да се преместим през март.
Вариант No30
2. Ако нашият отбор не вземе първо място, ние ще останем вкъщи и ще тренираме.
3. Предвидената програма ще успее, ако врагът бъде изненадан или ако позициите му са слабо защитени. Можете да го изненадате, ако е невнимателен. Той няма да бъде небрежен, ако позициите му са слабо защитени. Това означава, че програмата ще се провали.
Тема 2. Линейна регресия по двойки
Тази тема включва шест лабораторни работи, посветени на конструирането и изследването на уравнение на линейна регресия от вида
Пример 1.1.
За да се определи връзката между сменното производство на въглища на работник (променлива Y, измерено в тонове) и дебелината на въглищния пласт (променлива х, измерено в метри) бяха проведени изследвания в 10 мини, резултатите от които са представени в таблица.
| i | ||||||||||
| x i | ||||||||||
| y i |
Лабораторна работа №1
Изчисляване на коефициенти на уравнението LR
Цел на работатаИзчисляване на коефициенти на уравнение на линейна регресия от пространствена извадка.
Изчислителни съотношения. Коефициентите, определени въз основа на метода на най-малките квадрати, са решението на системата от уравнения
Решавайки тази система от уравнения, получаваме
,
Където m XY– примерна стойност на корелационния момент, определена по формулата:
,
– примерна стойност на дисперсията на количеството х, определя се по формулата:
Решение
Нека изчислим тези коефициенти с помощта на процесора за електронни таблици на Excel. Фигурата показва фрагмент от документ на Excel, в който:
а) данните от таблицата са осчетоводени;
б) изчисляването на коефициентите на системата е програмирано;
в) изчислението е програмирано b 0 , b 1 по формули.
Имайте предвид, че функцията на Excel AVERAGE ( клетъчен диапазон).
В резултат на извършване на програмираните изчисления получаваме
b 0 = –2.75; b 1 = 1.016,
и самото регресионно уравнение ще приеме формата
Упражнение. Като използвате полученото регресионно уравнение, определете производителността на труда на миньора, ако дебелината на въглищния слой е:
а) 8,5 метра (интерполация на данни);
б) 14 метра (екстраполация на данни).
Ориз. 1.Изчисляване на коефициенти на линейна регресия
Лабораторна работа №2
Изчисляване на извадковия коефициент на корелация
Цел на работата.Изчисляване на извадковия коефициент на корелация от пространствена извадка.
Изчислителни съотношения. Извадковият коефициент на корелация се определя от връзката
Където 
, 
, .
Решение
Фрагмент от документ на Excel, изчисляващ следните стойности: коефициент на корелация
Ориз. 2. Изчисляване на коефициента на корелация
Лабораторна работа №3
Изчисляване на оценки на дисперсии на сдвоени LR
Цел на работата.Изчислете оценки за отклонения на коефициента b 0 , b 1 ,.
Изчислителни съотношения.Оценките за дисперсии на коефициента се определят по формулите:
, 
Където 
- оценка на дисперсията.
Решение.Фигура 3 показва фрагмент от документ на Excel, в който са изчислени оценки на дисперсията. забележи това
· стойностите на коефициентите са взети от лабораторна работа № 1 и клетките (B1, B2), в които се намират, имат абсолютно адресиране ($B$1, $B$2) в изрази, които изчисляват регресионни стойности;
· стойност (клетка B19) е взета от лабораторна работа № 1. Получаваме следните стойности:
.
Ориз. 3. Изчисляване на оценки за дисперсии на коефициентите
Лабораторна работа №4
Функции на Excel за двойки LR коефициенти
Цел на работата.Изчислете коефициентите на уравнение на линейна регресия от пространствена извадка с помощта на функции на Excel.
Ето някои статистически функции на Excel, които са полезни при изграждане на сдвоена линейна регресия.
Функция CUT.
ЛИНИЕН СЕГМЕНТ( диапазон_от_стойности ; диапазон_от_стойности ).
Функция TILT.Изчислява коефициента и инверсията има формата
НАКЛОН( диапазон_от_стойности ; диапазон_от_стойности ).
Функция ПРОГНОЗА.Изчислява стойността на линейна регресия по двойки за дадена стойност на независимата променлива (означена с ) и инверсията има формата
ПРОГНОЗА(; диапазон_от_стойности ;диапазон_от_стойности_ ).
Функция STOSYX.Изчислява оценка за стандартното отклонение на смущенията и инверсията има формата (YX - латински букви):
STOSHYX( диапазон_от_стойности ; диапазон_от_стойности ).
Решение.Даден е фрагмент от документ на Excel, изчисляващ необходимите стойности. Обърнете внимание на използването на абсолютно адресиране при изчисляване.
Ориз. 4. Използване на функции на Excel
Упражнение. Сравнете изчислените стойности със стойностите, получени в лаборатории #1 и #3.
Лабораторна работа № 5
Конструиране на интервална оценка за сдвоената LR функция
Цел на работата.Конструиране на интервална оценка за регресионната функция 
с надеждност g = 0,95, използвайки за целта регресионното уравнение, построено в лабораторна работа № 1.
Изчислителни съотношения.Интервална оценка (доверителен интервал) за (за дадена стойност) с надеждност (вероятност за доверие), равна на g, се определя от израза
Оценката за дисперсията на функцията има формата
,
Където - оценка на дисперсията.
Така две величини (в зависимост от ) и , изчислени с помощта на функцията на Excel:
STUDISCOVER().
Решение.Ще изчислим стойностите на долната и горната граница на интервала за 
.
Фрагмент от документа, извършващ тези изчисления, е показан на фигурата
Фиг.5. Конструиране на интервална оценка за
Стойностите (клетки B16:B18) и коефициентите (B1:B2) са взети от предишна лабораторна работа. Магнитуд = STUDASCOVER() = 2,31.
Лабораторна работа № 6
Проверка на значимостта на LR уравнението с помощта на критерия на Фишер
Цел на работата.Според данните от таблицата, оценете значимостта на регресионното уравнение на ниво a = 0,05
,
вградена лабораторна работа №1.
Изчислителни съотношения.Уравнение на регресия по двойки е значимо при ниво на значимост a, ако е валидно следното неравенство:
Където Е g; 1; н-2 – квантилни стойности на ниво g Е-разпределения с брой степени на свобода к 1 = 1 и к 2 = н – 2.
За да изчислите квантила, можете да използвате следния израз
FDISC().
Сумите се определят от изразите:
,
.
Критерият често се нарича Критерий на Фишерили F-тест.
Решение.Ето фрагмент от документ на Excel, който изчислява стойностите Q e, и критерий Е. В колона дстойностите се изчисляват по формулата. Стойностите на коефициента са взети от лабораторна работа № 1.
Бяха получени следните стойности: , , . Изчисляване на квантила Е 0,95; 1; 8 = 5,32. Неравенството е изпълнено, тъй като 24,04 > 5,32 и следователно регресионното уравнение значим с ниво на значимост a = 0,05.
Ориз. 6. Изчисляване на F стойността - критерий
Тема 3 Нелинейна регресия по двойки
Тази тема включва две лабораторни упражнения, които се фокусират върху конструирането на нелинейно уравнение на регресия по двойки. Пространствената извадка за конструиране на регресията е взета от следния пример.
ПримерТаблицата показва стойностите на независимата променлива (семеен доход в хиляди рубли) и стойностите на зависимата променлива (дял на разходите за дълготрайни стоки като процент от общите разходи).
| 13.4 | 15.4 | 16.5 | 18.6 | 19.1 |
Лабораторна работа №7
Изграждане на нелинейна регресия с помощта на
Добавяне на команди за линия на тенденция
Цел на работатаИзползвайки пространствено вземане на проби, е необходимо да се изгради нелинейно регресионно уравнение на формата с помощта на командата „Добавяне на линия на тенденция“ и да се изчисли коефициентът на детерминация.
Команда „Добавяне на тренд линия“.Използва се за подчертаване на тенденции (бавни промени) в анализа на времеви редове.
Тази команда обаче може да се използва и за конструиране на нелинейно регресионно уравнение, като времето се счита за независима променлива.
Тази команда ви позволява да съставите следните регресионни уравнения:
линеен
полином 
();
логаритмичен
· мощност;
· експоненциален.
За да изградите една от изброените регресии, трябва да изпълните следните стъпки:
Етап 1.В избрания лист на Excel въведете изходните данни в колони 
.
Стъпка 2.Използвайки тези данни, изградете графика в декартовата координатна система.
Стъпка 3.Поставете курсора върху начертаната графика, щракнете с десния бутон и изпълнете командата в контекстното меню, което се появява Добавете тренд линия
Стъпка 4.В появилия се диалогов прозорец активирайте раздела „Тип“ и изберете желаното регресионно уравнение.
Ориз. 2.1. Изграждане на графика въз основа на изходни данни
Ориз. 2.2. Избор на вида на регресионното уравнение
Стъпка 5.Активирайте раздела „Опции“ и „активиране“ Опциите, от които се нуждаем, са:
· "Покажи уравнението на диаграмата" -диаграмата ще покаже избраното регресионно уравнение с изчислените коефициенти;
Ориз. 2.3. Задаване на опции за извеждане на информация
· „Поставете стойността на надеждност на приближението (R^2) върху диаграмата“ -диаграмата ще покаже стойността на коефициента на детерминация (за нелинейна регресия - индекс на детерминация), изчислена по формулата
· Ако е необходимо да се направи прогноза въз основа на съставеното регресионно уравнение, тогава трябва да посочите броя на прогнозните периоди.
Целта на другите опции е ясна от имената им.
Стъпка 6.След като посочите всички изброени опции, щракнете върху бутона „OK“ и на диаграмата ще се появи формулата на изграденото регресионно уравнение и стойността на индекса на определяне (маркирана в засенчване).
Ориз. 2.4. Графика и уравнение на построената регресия
Решение.
Ние съставяме уравнението, като използваме описаните по-горе стъпки. Получаваме уравнението
,
за които коефициентът на детерминация е равен на . Тази стойност показва добро съответствие на конструираното уравнение с оригиналните данни.
Лабораторна работа № 8
Избор на най-добрата нелинейна регресия
Цел на работата.Използвайки пространствено вземане на проби и командата „Добавяне на линия на тенденция“, съставете шест нелинейни регресионни уравнения (полиномното уравнение се съставя с и), определете за всяко уравнение коефициента на детерминация (стойността се показва), намаления коефициент на детерминация (стойността се изчислява) и като използвате максималната стойност, намерете най-доброто уравнение на нелинейна регресия.
Намален коефициент на детерминация.Коефициентът на детерминация характеризира близостта на изградената регресия до оригиналните данни, които съдържат „нежелан“ случаен компонент. Очевидно, чрез конструиране на полином от 5-ти ред от данните, ние получаваме „идеалната“ стойност, но такова уравнение съдържа не само независима променлива, но и компонент, и това намалява точността на използване на конструираното уравнение за прогнозиране.
Следователно при избора на регресионно уравнение е необходимо да се вземе предвид не само стойността, но и „сложността“ на регресионното уравнение, определена от броя на коефициентите на уравнението.
Такова счетоводство се прилага успешно в т.нар даден коефициент на детерминация:
,
където е броят на изчислените регресионни коефициенти. Може да се види, че при постоянни стойности увеличението намалява стойността на . Ако броят на коефициентите на сравняваните регресионни уравнения е еднакъв (например ), тогава изборът на най-добрата регресия може да се извърши чрез стойността на . Ако броят на коефициентите в регресионните уравнения се промени, тогава такъв избор е подходящ по отношение на стойността.
Решение.За да конструираме всяко уравнение, изпълняваме стъпки 2 – 6 (за първото уравнение също стъпка 1) и поставяме шест прозореца в един документ, в който се показват намерените регресионни уравнения и стойността. След това въвеждаме формулата на уравнението в таблицата. След това изчисляваме намаления коефициент на детерминация и въвеждаме тези стойности в таблицата.
Като „най-добро“ регресионно уравнение избираме уравнението, което има най-големия редуциран коефициент на определяне. Такова уравнение е степенна функция (в таблицата редът с тази функция е маркиран в сиво).
,
със стойност = 0,9901.
| № | Уравнението | ||
 | 0.949 | 0.938 | |
| 0.9916 | 0.9895 | ||
| (полином, ) | 0.9896 | 0.9827 | |
 (полином, ) | 0.9917 | 0.9792 | |
| | 0.9921 | 0.9901 | |
 | 0.9029 | 0,8786 |
Упражнение.Определете „най-лошото“ регресионно уравнение въз основа на неговата стойност.
Тема 4. Линейна множествена регресия
Тази тема включва лабораторна работа, посветена на конструирането и изследването на уравнение на линейна множествена регресия от формата
Пространствената извадка, използвана за конструиране на това уравнение, е взета от следния пример.
Пример Данни за сменно производство на въглища на работник (променлива Y), дебелина на резервоара (променлива х 1 и нивото на механизация на работата в мината (променлива х 2), характеризиращи процеса на добив на въглища в 10 мини, са дадени в таблицата. Ако приемем, че съществува линейна връзка между променливите Y, X 1, X 2, е необходимо да се намери аналитичен израз за тази връзка, т.е. съставете уравнение на линейна регресия.
| Мина номер i | x i 1 | x i 2, т.е. матрица а) контакт Функция Master и изберете желаната функционална категория, след това посочете името на функцията и задайте съответните диапазони от клетки, б) въведете името на функцията от клавиатурата и задайте съответните диапазони от клетки. Транспониране на матрица извършва се чрез функцията ТРАНСПОРТ (категория функции – Връзки и масиви TRANSPA ( клетъчен диапазон), къде е параметърът клетъчен диапазонопределя всички елементи на матрицата (или вектора), които да бъдат транспонирани. Матрично умножение извършва се с помощта на функцията MULTIPLE (категория функции – Математически).Извикването на функцията има формата: MUMNO( диапазон_1; диапазон_2), къде е параметърът диапазон_1определя елементите на първата от умножените матрици и параметъра диапазон_2 –елементи от втората матрица. В този случай матриците, които се умножават, трябва да имат подходящите размери (ако първата матрица е, втората е, тогава резултатът ще бъде матрицата). Инверсия на матрицата (изчисляване на обратната матрица) се извършва с помощта на функцията MOBR (категория функции – Математически). Извикването на функцията изглежда така: MOBR ( клетъчен диапазон), къде е параметърът клетъчен диапазонопределя всички елементи на обратимата матрица, които трябва да бъдат квадратни и неизродени. Когато използвате тези функции Трябва да се следва следната процедура: · изберете фрагмент от клетка, в който ще бъде въведен резултатът от изпълнението на матрични функции (в този случай е необходимо да се вземат предвид размерите на оригиналните матрици); · въведете аритметичен израз, съдържащ извикване на матрични функции на Excel; · натиснете клавишите едновременно.. . Ако това не е направено, тогава ще бъде изчислен само един елементполучената матрица или вектор. Режим на регресия на модула Анализ на данни. Електронната таблица на Excel съдържа модул Анализ на данни. Този модул ви позволява да извършвате статистически анализ на извадкови данни (изграждане на хистограми, изчисляване на числени характеристики и др.). Режим на работа РегресияТози модул изчислява коефициенти на линейна множествена регресия с променливи, конструира доверителни интервали и тества значимостта на регресионното уравнение. За извикване на режима Регресиямодул Анализ на данни необходимо: · достъп до елемент от менюто Обслужване; · в появилото се меню изпълнете командата Анализ на данни; · в списъка с режими на работа на модула Анализ на данни изберете режим Регресияи щракнете върху бутона Добре . След извикване на режима РегресияНа екрана се появява диалогов прозорец, в който се задават следните параметри: 1. Въведете интервал Y –въвежда се диапазон от адреси на клетки, съдържащи стойности (клетките трябва да образуват една колона).
Ориз. 3.2. Диалогов прозорец за режим на регресия 2. Въведете интервал X –въвежда се диапазон от адреси на клетки, съдържащи стойностите на независими променливи. Стойностите на всяка променлива са представени в една колона. Броят на променливите е не повече от 16 (т.е.). 3. Етикети –разрешено, ако първият ред във входния диапазон съдържа заглавие. В този случай стандартните имена ще бъдат създадени автоматично. 4. Ниво на надеждност –Активирането на тази опция определя надеждността при конструиране на доверителни интервали. 5. Константа-нула– когато този параметър е активиран, коефициентът е . 6. Изходен интервал –когато е включен, се активира поле, в което трябва да въведете адреса на горната лява клетка на изходния диапазон, който съдържа клетки с резултатите от изчисленията на режима Регресия. 7. Нов работен лист –когато този параметър е активиран, се отваря нов лист, в който, започвайки от клетка A1, се вмъкват резултатите от режима Регресия. 8. Нова работна книга- когато този параметър е активиран, на първия лист се отваря нова книга, на която, започвайки от клетка A1, се вмъкват резултатите от режима Регресия. 9. Остатъци –когато е включена, се изчислява колоната, съдържаща остатъците 10. Стандартизирани баланси –когато е разрешено, се изчислява колона, съдържаща стандартизираните остатъци. След този режим Регресияи в диалоговия прозорец ще зададем необходимите параметри. Имайте предвид, че поради голямата „широчина“ на таблиците, в които се показват резултатите от режима регресия,Някои от резултатите се поставят в други клетки. Нека дадем кратка интерпретация на индикаторите, чиито стойности се изчисляват в режима Регресия.Първо, нека да разгледаме индикаторите, обединени от името Регресионна статистика(виж Фиг. 3.3). Многократни - корен квадратен от коефициента на определяне. квадрат– коефициент на детерминация.
Ориз. 3.3. Резултати от режима на регресия Нормализирано квадрат– намален коефициент на детерминация (виж формула (2.1)). Стандартна грешка– оценка за стандартно отклонение. Наблюдения– брой наблюдения. |
ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ И КЛАСИЧЕСКИ ЦИФРОВ СПЕКТРАЛЕН АНАЛИЗ. Въведение Спектралният анализ е един от методите за обработка на сигнала, който ви позволява да характеризирате честотния състав на измерения сигнал. Преобразуването на Фурие е математическа рамка, която свързва времеви или пространствен сигнал (или някакъв модел на този сигнал) с неговото представяне в честотната област. Статистическите методи играят важна роля в спектралния анализ, тъй като сигналите, като правило, са случайни или шумни по време на разпространение или измерване. Ако основните статистически характеристики на сигнала бяха точно известни или можеха да бъдат определени от краен интервал на този сигнал, тогава спектралният анализ би представлявал клон на „точната наука“. В действителност обаче от сегмент на сигнала може да се получи само оценка на неговия спектър. Следователно практикуването на спектрален анализ е вид занаят (или изкуство?) с доста субективен характер. Разликата между спектралните оценки, получени в резултат на обработката на един и същ сигнален сегмент с различни методи, може да се обясни с различни предположения, направени по отношение на данните, различни методи за осредняване и т.н. Ако характеристиките на сигнала не са известни предварително, не е възможно да се каже коя от оценките е по-добра. Преобразуване на Фурие - математическата основа на спектралния анализ ,
(1) който идентифицира честотите и амплитудите на тези сложни синусоиди (експоненти), на които се разлагат някои произволни трептения.
По-малко ограничително достатъчно условие е ограничеността на енергията на сигнала
и функцията sinc е изразът
Функцията за вземане на проби във времева област се дава от
Таблица 1. Основни свойства на NVPF и функции
Друго важно свойство е установено от теоремата на Парсевал за две функции g(t) и h(t):
Ако поставим g(t) = h(t), тогава теоремата на Парсевал се свежда до теоремата за енергията
Израз (9) е по същество просто формулировка на закона за запазване на енергията в две области (време и честота). В (9) отляво е общата енергия на сигнала, следователно функцията
описва честотното разпределение на енергията за детерминиран сигнал h(t) и следователно се нарича спектрална енергийна плътност (SED). Използване на изрази
могат да се изчислят амплитудните и фазовите спектри на сигнала h(t). Операции за вземане на проби и претегляне В следващия раздел ще представим серията на Фурие с дискретно време (DTFS) или по друг начин дискретното преобразуване на Фурие (DFT) като специален случай на трансформацията на Фурие с непрекъснато време (CTFT), използвайки две основни операции за обработка на сигнали - вземане на проби ( вземане на проби) И претеглянес помощта на прозорец. Тук разглеждаме влиянието на тези операции върху сигнала и неговата трансформация. Таблица 2 изброява функциите, които извършват претегляне и вземане на проби. За еднакви отчитания с интервал от T секунди, честотата на вземане на проби F е равна на 1/T Hz. Обърнете внимание, че тегловната функция и функцията за вземане на проби във времевия домейн са обозначени съответно с TW (time windowing) и TS (time sampling), а в честотния домейн - FW (frequency windowing) и FS (frequency sampling).
Да приемем, че са взети проби от непрекъснат реален сигнал x(t) с ограничен спектър, чиято горна честота е равна на F0. NVFT на реален сигнал винаги е симетрична функция с пълна ширина 2F0, вижте Фиг. 1.
Фиг. 1 - илюстрация на теоремата за вземане на проби във времевата област за реален сигнал с ограничен спектър:
Конволюцията на X(f) с преобразуването на Фурие на примерната функция F (TS)=Y1/T(f) просто периодично продължава X(f) с честотен интервал от 1/T Hz. Следователно XS(f) е периодично разширен спектър на X(f). Като цяло, пробите в един домейн (например време) водят до периодично продължение в домейна на трансформация (например честота). Ако честотата на дискретизация е избрана достатъчно ниска (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
В резултат на това (виж Фиг. 1 d) се възстановява оригиналното преобразуване на Фурие. Използвайки теореми за навиване във времевата и честотната област, получаваме . (15) Израз (15) е математическа нотация теореми за вземане на проби във времева област(теоремата на Уитакър, Котелников, Шанън - UKSH), която гласи, че с помощта на интерполационната формула (15) реален сигнал с ограничен спектър може да бъде точно възстановен с безкраен бройизвестни времеви проби, взети с честота F = 2F0. Двойствената към теорема (15) е теоремата проби в честотната областза сигнали с ограничена продължителност. , (16) и съответните трансформации са изрази
По този начин NVPF X (f) на някакъв сигнал с ограничена продължителност може да бъде недвусмислено възстановен от еквидистантни проби от спектъра на такъв сигнал, ако избраният честотен интервал на дискретизация удовлетворява условието F1/2T 0 Hz, където T 0 е сигналът продължителност. Връзки между непрекъснати и дискретни трансформации Двойка трансформации за конвенционалната дефиниция на N-точковото дискретно преобразуване на Фурие (DFT) времева последователност x[n] и съответната N-точка Последователности от преобразуване на Фурие X[k] е дадено от изразите
За да получим спектрални оценки от извадки от данни в съответните единици енергия или мощност, ние записваме ред на Фурие с дискретно време (DTFS), който може да се разглежда като някакво приближение на преобразуването на Фурие с непрекъснато време (CTFT), базирано на използването на краен брой проби от данни:
За да се покаже естеството на съответствие с DVRF ( отделенфункции както във времевата, така и в честотната област) и CVDF (непрекъснати функции във времевата и честотната област), имаме нужда от последователност от четири линейни комутативни операции: претегляне във времевата и честотната област и вземане на проби или вземане на пробикакто във времевата, така и в честотната област. Ако се извърши операция по претегляне в една от тези области, тогава, съгласно теоремата за конволюцията, тя ще съответства на операция за филтриране (конволюция) в друга област с функцията sinc. По същия начин, ако дискретизацията се извършва в една област, тогава периодична операция за продължаване се извършва в друга. Тъй като претеглянето и вземането на проби са линейни и комутативни операции, възможни са различни начини за подреждането им, което дава един и същ краен резултат с различни междинни резултати. Фигура 2 показва две възможни последователности за извършване на тези четири операции.
Ориз. 2. Две възможни последователности от две операции по претегляне и две операции по вземане на проби, свързващи NVPF и DVRF: FW - прилагане на прозорец в честотната област; TW - приложение на прозорец във времевата област; FS - вземане на проби в честотната област; TS - вземане на проби във времевата област.
(22)
Така че DVFT е просто Z-трансформацията, изчислена върху единичната окръжност и умножена по T.
където k=-N/2, . . . ,N/2-1
където n=0, . . . ,N-1 ,
и характеризира енергията на последователност от N проби от данни. И двете последователности x[n] и X[k] са периодични по модул N, така че (28) може да се запише във формата
където 0 n N. Факторът T в (27) - (30) е необходим, така че (27) и (28) всъщност да са приближение на интегралната трансформация в областта на интегриране
Нулева подплата Чрез процес, наречен подпълване с нули, редът на Фурие за дискретно време може да бъде модифициран, за да интерполира между N стойности на оригиналното преобразуване. Нека наличните извадки от данни x,...,x бъдат допълнени с нулеви стойности x[N],...X. DVRF на тази 2N-точкова последователност от данни с нулева подплата ще бъде дадена от
(32) където горната граница на сумата вдясно е модифицирана, за да се приспособи към наличието на нулеви данни. Нека k=2m, така че
където m=0,1,...,N-1, дефинира четни стойности на X[k]. Това показва, че за четни стойности на индекса k, 2N-точковата серия на Фурие с дискретно време се редуцира до N-точкова серия с дискретно време. Нечетните стойности на индекса k съответстват на интерполирани DVRF стойности, разположени между стойностите на оригиналния N-точков DVRF. Тъй като все повече и повече нули се добавят към оригиналната N-точкова последователност, могат да се получат още повече интерполирани данни. В ограничаващия случай на безкраен брой входни нули, DVRF може да се разглежда като преобразуване на Фурие в дискретно време на N-точкова последователност от данни:
Трансформация (34) съответства на възел 6 на фиг. 2.
Фиг.3. Интерполация с използване на нулева подложка:
Може да се покаже, че еквивалентната продължителност на прозорец (или всеки друг сигнал) и еквивалентната честотна лента на неговата трансформация са взаимно обратни величини: TeBe=1. Бързо преобразуване на Фурие Бързото преобразуване на Фурие (FFT) не е друг вид преобразуване на Фурие, а името на редица ефективни алгоритми, предназначен за бързо изчисляване на редове на Фурие с дискретно време. Основният проблем, който възниква при практическата реализация на DVRF се крие в големия брой изчислителни операции, пропорционални на N2. Въпреки че много преди появата на компютрите бяха предложени няколко ефективни изчислителни схеми, които биха могли значително да намалят броя на изчислителните операции, истинска революция беше направена с публикуването през 1965 г. на статия от Cooly и Tukey с практически алгоритъм за бърз (брой операции) Nlog 2 N) изчисления на DVRF. След това бяха разработени много варианти, подобрения и допълнения към основната идея, образувайки клас алгоритми, известни като бързо преобразуване на Фурие. Основната идея на FFT е да раздели N-точков DVRF на два или повече по-малки DVRF-а, всеки от които може да бъде изчислен отделно и след това линейно сумиран с останалите, за да се получи DVRF на оригиналната N-точкова последователност.
където стойността W N =exp(-j2 /N) се нарича коефициент на обръщане (по-нататък в този раздел периодът на вземане на проби е T=1). Нека изберем елементи с четни и нечетни числа от редицата x[n]
Но от тогава , (37) където всеки член е трансформация с дължина N/2 (38) Обърнете внимание, че последователността (WN/2) nk е периодична по k с период N/2. Следователно, въпреки че числото k в израз (37) приема стойности от 0 до N-1, всяка от сумите се изчислява за стойности на k от 0 до N/2-1. Възможно е да се оцени броят на сложните операции за умножение и събиране, необходими за изчисляване на преобразуването на Фурие в съответствие с алгоритъм (37)-(38). Две N/2-точкови преобразувания на Фурие съгласно формули (38) включват извършване на 2(N/2) 2 умножения и приблизително същия брой събирания. Комбинирането на две N/2-точкови трансформации с помощта на формула (37) изисква още N умножения и N събирания. Следователно, за да се изчисли трансформацията на Фурие за всички N стойности на k, е необходимо да се извършат N+N 2 /2 умножения и събирания. В същото време директното изчисление с помощта на формула (35) изисква N 2 умножения и събирания. Вече за N>2 неравенството N+N 2 /2 е изпълнено< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям: ,
(39)
(41) където "едноточковите трансформации" X 1 са просто проби от сигнала x[n]: X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42) В резултат на това можем да напишем FFT алгоритъма, който по очевидни причини се нарича алгоритъм за изтъняване на времето : X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N, където k=0.1, p=0.1,...,N/2 -1; X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M, където k=0.1,...,2N/M -1, p=0.1,...,M/2 -1; X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2, (43) където k=0,1,...,N-1 На всеки етап от изчисленията се извършват N комплексни умножения и събирания. И тъй като броят на разлаганията на оригиналната последователност в подпоследователности с половин дължина е равен на log 2 N, тогава общият брой на операциите за умножение-събиране в алгоритъма за FFT е равен на Nlog 2 N. За големи N има значително спестяване на изчислителни операции в сравнение с директните DFT изчисления. Например, когато N = 2 10 = 1024, броят на операциите се намалява 117 пъти. Случайни процеси и спектрална плътност на мощността Дискретният случаен процес x може да се разглежда като определен набор или ансамбъл от реални или сложни дискретни времеви (или пространствени) последователности, всяка от които може да бъде наблюдавана като резултат от някакъв експеримент (n е времевият индекс, i е номер на наблюдение). Последователността, получена в резултат на едно от наблюденията, ще бъде означена с x[n]. Операцията на осредняване върху ансамбъла (т.е. статистическо осредняване) ще бъдат обозначени с оператора<>. По този начин, Случаен процес се нарича стационарен в в широк смисъл, ако средната му стойност е постоянна (независима от времето), а автокорелацията зависи само от разликата във времевите индекси m=n1-n2 (времево изместване или забавяне между извадките). По този начин широко стационарен дискретен случаен процес x[n] се характеризира с постоянна средна стойност r xx [m] =< xx*[n] >. (44) Нека отбележим следните свойства на автоматичната скоростна кутия: r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45) които са валидни за всички m.
PSD, чиято ширина се приема, че е ограничена до ±1/2T Hz, е периодична функция на честотата с период от 1/T Hz. Функцията PSD описва честотното разпределение на мощността на произволен процес. За да потвърдите името, избрано за него, помислете за обратната DVFT
изчислено при m=0
Автокорелацията при нулево изместване характеризира средна мощностслучаен процес. Съгласно (48), площта под кривата P xx (f) характеризира средната мощност, така че P xx (f) е функция на плътност (мощност на единица честота), която характеризира честотното разпределение на мощността. Двойката трансформации (46) и (47) често се наричат Теорема на Винер-Хинчинза случая на дискретно време. Тъй като r xx [-m]=r* xx [m], тогава PSD трябва да бъде строго реална положителна функция. Ако ACP е строго реална функция, тогава r xx [-m]=r xx [m] и PSD може да се запише под формата на косинусово преобразуване на Фурие
което също означава, че P xx (f) = P xx (-f), т.е. SPM е равномерна функция.
Тази граница, ако съществува, се сближава с истинската средна стойност, ако и само ако дисперсията във времето на средната стойност клони към нула, което означава, че е изпълнено следното условие:
(51) Предположението за ергодичност ни позволява не само да въведем, чрез осредняване на времето, дефинициите за средна стойност и автокорелация, но също така да дадем подобна дефиниция за спектралната плътност на мощността . (52) Тази еквивалентна форма на PSD се получава чрез статистическо осредняване на DVFT модула на претегления набор от данни, разделен на дължината на записа с данни, за случая, когато броят на пробите нараства до безкрайност. Статистическото осредняване е необходимо тук, тъй като самата DVFT е случайна променлива, която се променя за всяка реализация на x[n]. За да покажем, че (52) е еквивалентно на теоремата на Винер-Хинчин, представяме квадрата на DVFT модула като произведение на две серии и променяме реда на операциите за сумиране и статистическо осредняване:
Използвайки известния израз , (54)
Обърнете внимание, че на последния етап от извеждането (55) беше използвано предположението, че автокорелационната последователност се „разпада“, така че
Връзката между двете дефиниции на PSD (46) и (52) е ясно показана от диаграмата, представена на фигура 4.
което се нарича примерен спектър.
Ориз. 4. Връзка между два метода за оценка на спектралната плътност на мощността Периодограммен метод за спектрална оценка По-горе въведохме два формални еквивалентни метода за определяне на спектралната плътност на мощността (PSD). Индиректният метод се основава на използването на безкрайна последователност от данни за изчисляване на автокорелационна последователност, чиято трансформация на Фурие дава желаната PSD. Директният метод за определяне на PSD се основава на изчисляване на квадратния модул на преобразуването на Фурие за безкрайна последователност от данни, като се използва подходящо статистическо осредняване. PSD, получен без такова осредняване, се оказва незадоволителен, тъй като средноквадратичната грешка на такава оценка е сравнима със средната му стойност. Сега ще разгледаме методи за осредняване, които осигуряват плавни и статистически стабилни спектрални оценки за краен брой проби. Оценките на SPD, базирани на директна трансформация на данни и последващо осредняване, се наричат периодограми. Наричат се PSD оценки, за които първо се формират корелационни оценки от първоначалните данни корелограма. Когато използва всеки метод за оценка на PSD, потребителят трябва да вземе много компромисни решения, за да получи статистически стабилни спектрални оценки с възможно най-висока разделителна способност от краен брой проби. Тези компромиси включват, но не се ограничават до избор на прозорец за претегляне на данни и оценки на корелация и параметри за осредняване във времева и честотна област, които балансират изискванията за намаляване на страничните лобове поради претегляне, извършване на ефективно осредняване и осигуряване приемлива спектрална разделителна способност. На фиг. Фигура 5 показва диаграма, показваща основните етапи периодограма метод
Прилагането на метода започва със събирането на N извадки от данни, които се вземат на интервал от T секунди на проба, последвани (по избор) от стъпка за премахване на тенденцията. За да се получи статистически стабилна спектрална оценка, наличните данни трябва да се разделят на припокриващи се (ако е възможно) сегменти и впоследствие да се осреднят пробните спектри, получени за всеки такъв сегмент. Параметрите на това осредняване се променят чрез подходящо избиране на броя на пробите на сегмент (NSAMP) и броя на пробите, с които трябва да се измести началото на следващия сегмент (NSHIFT), вижте фиг. 6. Броят на сегментите се избира в зависимост от необходимата степен на гладкост (дисперсия) на спектралната оценка и необходимата спектрална разделителна способност. Малка стойност за параметъра NSAMP води до повече сегменти, върху които ще бъде извършено осредняване, и следователно ще бъдат получени оценки с по-малка дисперсия, но също и по-малка честотна разделителна способност. Увеличаването на дължината на сегмента (параметър NSAMP) увеличава разделителната способност, естествено поради увеличаване на дисперсията на оценката поради по-малък брой осреднявания. Стрелката за връщане на фиг. 5 показва необходимостта от няколко повтарящи се преминавания през данните с различна дължина и брой сегменти, което ни позволява да получим повече информация за процеса, който се изследва.
Фиг.6. Разделяне на данни на сегменти за изчисляване на периодограма прозорец Един от важните въпроси, който е общ за всички класически методи за спектрална оценка, е свързан с претеглянето на данните. Прозорците се използват за контролиране на страничните ефекти в спектралните оценки. Имайте предвид, че е удобно да разглеждате съществуващия краен запис на данни като част от съответната безкрайна последователност, видима през приложения прозорец. По този начин последователността от наблюдавани данни x 0 [n] от N проби може да бъде написана математически като произведение на безкрайна последователност x [n] и правоъгълна прозоречна функция
X 0 [n]=x[n] rect[n]. X 0 (f)=X(f)*D N (f) , където Функцията D N (f), наречена дискретна sinc функция или ядро на Дирихле, е DCFT на правоъгълна функция. Трансформацията на наблюдавана крайна последователност е изкривена версия на трансформацията на безкрайна последователност. Ефектът на правоъгълен прозорец върху синусоида с дискретно време с честота f 0 е илюстриран на Фиг. 7.
Фиг.7. Илюстрация на отклонение на преобразуване на Фурие в дискретно време поради изтичане поради претегляне на данни: a, b - оригинални и претеглени последователности; b, d - техните преобразувания на Фурие. От фигурата може да се види, че острите спектрални пикове на DTFT на безкрайната синусоидална последователност се разширяват поради конволюцията с трансформацията на прозореца. По този начин минималната ширина на спектралните пикове на претеглена по прозорец последователност се определя от ширината на главния лоб на трансформация на този прозорец и не зависи от данните. Страничните лобове на трансформацията на прозореца ще променят амплитудите на съседните спектрални пикове (понякога наричани "пропускане"). Тъй като DVFT е периодична функция, припокриването на странични лобове от съседни периоди може да доведе до допълнително отклонение. Увеличаването на честотата на семплиране намалява ефекта на нагласяне на страничния лист. Подобни изкривявания естествено ще се наблюдават в случай на несинусоидални сигнали. Кървенето не само въвежда амплитудни грешки в спектрите на дискретни сигнали, но може също да маскира наличието на слаби сигнали. Има редица други функции на прозореца, които могат да се предложат, които могат да намалят страничните лобове в сравнение с правоъгълен прозорец. Намаляването на нивото на страничните лобове ще намали изместването на спектралната оценка, но това става с цената на разширяване на главния лоб на спектъра на прозореца, което естествено води до влошаване на разделителната способност. Следователно и тук трябва да се избере някакъв компромис между ширината на главния лоб и нивото на страничните лобове. За оценка на качеството на прозорците се използват няколко параметъра. Традиционният индикатор е честотната лента на главния лоб при половин мощност. Вторият индикатор е еквивалентната честотна лента, въведена по-горе. Използват се и два индикатора за оценка на характеристиките на страничните дялове. Първото е тяхното максимално ниво, второто е скоростта на разпадане, която характеризира скоростта, с която страничните лобове намаляват с разстоянието от главния лоб. Таблица 3 показва дефиниции на някои често използвани прозоречни функции с дискретно време, а таблица 4 показва техните характеристики.
Метод на корелограматаоценяването на PSD е просто заместване в израз (46) на крайна последователност от стойности за автокорелационната оценка ( корелограми) вместо безкрайна последователност от неизвестни истински автокорелационни стойности. Повече информация за корелограмния метод за спектрална оценка може да бъде намерена в. Литература 1. Рабинър Л., Гулд Б. Теория и приложение на цифровата обработка на сигнали. М.: Мир, 1978. 2. Марпъл младши S.L. Цифров спектрален анализ и неговите приложения: Прев. от английски -М .: Мир, 1990. 3. Голдберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н., Цифрова обработка на сигнала - М.: Радио и комуникации, 1990 г. 4. Отнес Р., Еноксон Л. Приложен анализ на времеви редове - М.: Мир, 1982. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. (2)
. (3)
. (4)
(5)
(6)
(7)
. (8)
. (9)
(11)
(12)
. (13)
,
(18)
. (19)
(23)
(24)
, (27)
,
(28)
,
(29)
, (30)
.(31)
,
(33)
.
(34)
където W(f) е преобразуването на Фурие за дискретно време на прозоречната функция, например правоъгълна (5). По същия начин можете да влезете еквивалентна продължителност на прозореца
, (35)
.
(46)
(47)
(48)
,
. (49)
. (50)
(53)
(55)
.
(56)
, (57)
. (46)