Първо, нека разгледаме случая на функция на две променливи. Условният екстремум на функция $z=f(x,y)$ в точка $M_0(x_0;y_0)$ е екстремумът на тази функция, постигнат при условие, че променливите $x$ и $y$ в околностите на тази точка отговарят на уравнението за връзка $\ varphi (x,y)=0$.

Името „условен“ екстремум се дължи на факта, че върху променливите е наложено допълнително условие $\varphi(x,y)=0$. Ако една променлива може да бъде изразена от уравнението на връзката чрез друга, тогава проблемът за определяне на условния екстремум се свежда до проблема за определяне на обичайния екстремум на функция на една променлива. Например, ако уравнението на връзката предполага $y=\psi(x)$, тогава замествайки $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получаваме функция на една променлива $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. В общия случай обаче този метод е малко полезен, така че се налага въвеждането на нов алгоритъм.

Метод на умножителя на Лагранж за функции на две променливи.

Методът на умножителя на Лагранж се състои от конструиране на функция на Лагранж за намиране на условен екстремум: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметърът $\lambda$ се нарича множител на Лагранж). Необходимите условия за екстремума се определят от система от уравнения, от които се определят стационарните точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right. $$

Достатъчно условие, от което може да се определи естеството на екстремума, е знакът $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ако в стационарна точка $d^2F > 0$, тогава функцията $z=f(x,y)$ има условен минимум в тази точка, но ако $d^2F< 0$, то условный максимум.

Има и друг начин да се определи естеството на екстремума. От уравнението на свързване получаваме: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, следователно във всяка неподвижна точка имаме:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \вдясно)$$

Вторият фактор (разположен в скоби) може да бъде представен в следната форма:

Елементите на детерминантата $\left| са маркирани в червено. \begin(масив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (масив)\right|$, което е хесианът на функцията на Лагранж. Ако $H > 0$, тогава $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, т.е. имаме условен минимум на функцията $z=f(x,y)$.

Бележка относно записа на детерминанта $H$. Покажи скрий

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ край (масив) \right| $$

В тази ситуация правилото, формулирано по-горе, ще се промени, както следва: ако $H > 0$, тогава функцията има условен минимум и ако $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритъм за изследване на функция на две променливи за условен екстремум

1. Съставете функцията на Лагранж $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решете системата $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
3. Определете естеството на екстремума във всяка от стационарните точки, намерени в предходния параграф. За да направите това, използвайте някой от следните методи:
   • Съставете детерминантата на $H$ и намерете знака му
   • Като вземете предвид уравнението за свързване, изчислете знака на $d^2F$

Метод на множителя на Лагранж за функции на n променливи

Да кажем, че имаме функция от $n$ променливи $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнения за свързване ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Означавайки множителите на Лагранж като $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, съставяме функцията на Лагранж:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимите условия за наличие на условен екстремум се дават от система от уравнения, от които се намират координатите на стационарни точки и стойностите на множителите на Лагранж:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Можете да разберете дали функцията има условен минимум или условен максимум в намерената точка, както преди, като използвате знака $d^2F$. Ако в намерената точка $d^2F > 0$, тогава функцията има условен минимум, но ако $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Детерминанта на матрицата $\left| \begin(масив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( масив) \right|$, подчертано в червено в матрицата $L$, е Хесианът на функцията на Лагранж. Използваме следното правило:

• Ако знаците на ъгловите минори $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрици $L$ съвпадат със знака на $(-1)^m$, тогава изследваната стационарна точка е условната минимална точка на функцията $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ако знаците на ъгловите минори $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ се редуват и знакът на второстепенното $H_(2m+1)$ съвпада със знака на числото $(-1)^(m+1 )$, тогава стационарната точка е условната максимална точка на функцията $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример №1

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=x+3y$ при условие $x^2+y^2=10$.

Геометричната интерпретация на тази задача е следната: изисква се да се намерят най-голямата и най-малката стойност на апликацията на равнината $z=x+3y$ за точките на нейното пресичане с цилиндъра $x^2+y ^2=10$.

Донякъде е трудно да изразим една променлива чрез друга от уравнението за свързване и да я заместим във функцията $z(x,y)=x+3y$, така че ще използваме метода на Лагранж.

Означавайки $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, съставяме функцията на Лагранж:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Нека напишем система от уравнения за определяне на стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (подравнено)\вдясно.$$

Ако приемем $\lambda=0$, тогава първото уравнение става: $1=0$. Полученото противоречие показва, че $\lambda\neq 0$. При условието $\lambda\neq 0$, от първото и второто уравнение имаме: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Замествайки получените стойности в третото уравнение, получаваме:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\край (подравнено) $$

И така, системата има две решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Нека разберем природата на екстремума във всяка стационарна точка: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. За да направим това, ние изчисляваме детерминантата на $H$ във всяка точка.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ламбда;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right| $$

В точка $M_1(1;3)$ получаваме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, така че при точка $M_1(1;3)$ функцията $z(x,y)=x+3y$ има условен максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

По същия начин в точка $M_2(-1,-3)$ намираме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. От $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отбелязвам, че вместо да се изчислява стойността на детерминантата $H$ във всяка точка, е много по-удобно да се разшири в общ вид. За да не претрупвам текста с подробности, ще скрия този метод под бележка.

Записване на детерминантата $H$ в общ вид. Покажи скрий

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

По принцип вече е очевидно какъв знак има $H$. Тъй като нито една от точките $M_1$ или $M_2$ не съвпада с началото, то $y^2+x^2>0$. Следователно знакът на $H$ е противоположен на знака на $\lambda$. Можете да завършите изчисленията:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(подравнено) $$

Въпросът за природата на екстремума в стационарните точки $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ може да бъде решен без използване на детерминантата $H$. Нека намерим знака на $d^2F$ във всяка неподвижна точка:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Нека отбележа, че записът $dx^2$ означава точно $dx$, повдигнат на втора степен, т.е. $\left(dx \right)^2$. Следователно имаме: $dx^2+dy^2>0$, следователно с $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ получаваме $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Отговор: в точка $(-1;-3)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=-10$. В точка $(1;3)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=10$

Пример №2

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условие $x+y=0$.

Първи метод (метод на умножителя на Лагранж)

Означавайки $\varphi(x,y)=x+y$, съставяме функцията на Лагранж: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ламбда=0; \\ & x+y=0. \end(подравнено) \right. $$

След като решихме системата, получаваме: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Имаме две стационарни точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Нека открием природата на екстремума във всяка стационарна точка, като използваме детерминантата $H$.

$$H=\ляво| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(масив) \right|=-10-18y $$

В точка $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, следователно в тази точка функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ние изследваме природата на екстремума във всяка точка, използвайки различен метод, базиран на знака на $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

От уравнението на връзката $x+y=0$ имаме: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Тъй като $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, тогава $M_1(0;0)$ е условната минимална точка на функцията $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. По същия начин $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Втори начин

От уравнението на връзката $x+y=0$ получаваме: $y=-x$. Замествайки $y=-x$ във функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получаваме някаква функция на променливата $x$. Нека означим тази функция като $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Така сведохме проблема за намиране на условния екстремум на функция на две променливи до проблема за определяне на екстремума на функция на една променлива.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Получихме точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Допълнителни изследвания са известни от курса на диференциалното смятане на функциите на една променлива. Като изследваме знака на $u_(xx)^("")$ във всяка неподвижна точка или проверяваме промяната в знака на $u_(x)^(")$ в намерените точки, получаваме същите заключения, както когато решаване на първия метод. Например ще проверим знака $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Тъй като $u_(xx)^("")(M_1)>0$, тогава $M_1$ е минималната точка на функцията $u(x)$ и $u_(\min)=u(0)=0 $ . Тъй като $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Стойностите на функцията $u(x)$ за дадено условие на свързване съвпадат със стойностите на функцията $z(x,y)$, т.е. намерените екстремуми на функцията $u(x)$ са търсените условни екстремуми на функцията $z(x,y)$.

Отговор: в точката $(0;0)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=0$. В точката $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Нека разгледаме друг пример, в който ще изясним природата на екстремума чрез определяне на знака на $d^2F$.

Пример №3

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=5xy-4$, ако променливите $x$ и $y$ са положителни и удовлетворяват уравнението за свързване $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Нека съставим функцията на Лагранж: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Нека намерим стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right. $$

Всички следващи трансформации се извършват, като се вземе предвид $x > 0; \; y > 0$ (това е посочено в формулировката на проблема). От второто уравнение изразяваме $\lambda=-\frac(5x)(y)$ и заместваме намерената стойност в първото уравнение: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Като заместим $x=2y$ в третото уравнение, получаваме: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Тъй като $y=1$, тогава $x=2$, $\lambda=-10$. Ние определяме природата на екстремума в точката $(2;1)$ въз основа на знака на $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

Тъй като $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, тогава:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

По принцип тук можете веднага да замените координатите на стационарната точка $x=2$, $y=1$ и параметъра $\lambda=-10$, получавайки:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Въпреки това, в други задачи на условен екстремум може да има няколко стационарни точки. В такива случаи е по-добре да представите $d^2F$ в общ вид и след това да замените координатите на всяка от намерените неподвижни точки в получения израз:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Замествайки $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получаваме:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Тъй като $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Отговор: в точка $(2;1)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=6$.

В следващата част ще разгледаме приложението на метода на Лагранж за функции на по-голям брой променливи.

Класификация на задачите на математическото програмиране

ПРОГРАМИРАНЕ

МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ ЗАДАЧИ

Тестови въпроси към раздел 4

Схема за решаване на транспортната задача

Нека изброим основните етапи на решаване на транспортния проблем.

1. Проверете затвореното състояние. Ако задачата е отворена, транспортната таблица се допълва или с колона с фиктивен потребителски пункт, или с ред с фиктивен доставчик.

2. Изградете референтен план.

3. Проверете плана за поддръжка за неизраждане. Ако няма достатъчно заета клетка, за да се удовлетвори условието за неизроденост, една от клетките на транспортната таблица се запълва със запас, равен на нула. Ако е необходимо, е допустимо да се записват нулеви доставки в няколко клетки.

4. Планът се проверява за оптималност.

5. Ако условията за оптималност не са изпълнени, преминете към следващия план чрез преразпределение на доставките. Изчислителният процес се повтаря, докато се получи оптималният план.

1. Какво е значението на целевата функция в математическия модел на транспортната задача?

2.Какво е значението на ограниченията в математическия модел на транспортната задача?

3. Възможно ли е да се приложи потенциалният метод за решаване на отворен (незатворен) транспортен проблем?

4.Какви промени трябва да се направят в оригиналната транспортна маса, за да може проблемът да бъде решен чрез потенциалния метод?

5. Каква е същността на метода на минималния елемент? Какъв етап от решаването на транспортния проблем ще бъде завършен в резултат на прилагането на този метод?

6. Как да разберете дали транспортният план е оптимален?

7. В какъв случай и как е необходимо да се преразпределят доставките по отношение на транспорта?

8. Да предположим, че построеният транспортен план е изроден. Възможно ли е да продължим да решаваме проблема с потенциалния метод и какво трябва да се направи за това?

Общият проблем на математическото програмиране беше формулиран в раздел 1.1. В зависимост от вида на функциите, включени в модела (1.1)-(1.3), задачата се класифицира като един или друг вид математическо програмиране. Има линейно програмиране (всички функции са линейни), цяло число (решението е представено от цели числа), квадратично (целевата функция е квадратна форма), нелинейно (поне една от функциите на проблема е нелинейна) и стохастично програмиране ( включени са параметри, които са вероятностни по природа).

Класът на проблемите на нелинейното програмиране е по-широк от класа на линейните модели. Например производствените разходи в повечето случаи не са пропорционални на обема на продукцията, а зависят нелинейно от него, приходите от продажбата на производствени продукти се оказват нелинейна функция на цените и т.н. Критериите в задачите за оптимално планиране често са максимална печалба, минимални разходи и минимални капиталови разходи. Променливите количества са обемите на производството на различни видове продукти. Ограниченията включват производствени функции, които характеризират връзката между продукцията и разходите за труд и материални ресурси, чийто обем е ограничен.

За разлика от линейното програмиране, което използва универсален метод за решаване (симплексния метод), за решаване на нелинейни проблеми има цял набор от методи в зависимост от формата на функциите, включени в модела. От разнообразието от методи ще разгледаме само два: метода на Лагранж и метода на динамичното програмиране.

СЪССъщността на метода на Лагранж е да сведе проблема с условния екстремум до решаване на проблема с безусловния екстремум. Разгледайте модела на нелинейното програмиране:

(5.2)

Където – известни функции,

А – дадени коефициенти.

Обърнете внимание, че при тази формулировка на проблема ограниченията се определят от равенства и няма условие променливите да са неотрицателни. Освен това смятаме, че функциите са непрекъснати с техните първи частни производни.

Нека трансформираме условията (5.2), така че от лявата или дясната страна на равенствата да има нула:

(5.3)

Нека съставим функцията на Лагранж. Той включва целевата функция (5.1) и десните страни на ограниченията (5.3), взети съответно с коефициентите . Ще има толкова коефициенти на Лагранж, колкото са ограниченията в проблема.

Точките на екстремум на функция (5.4) са точките на екстремум на първоначалния проблем и обратно: оптималният план на проблем (5.1)-(5.2) е глобалната точка на екстремум на функцията на Лагранж.

Наистина, нека се намери решение задачи (5.1)-(5.2), тогава условията (5.3) са изпълнени. Нека заместим плана във функция (5.4) и проверете валидността на равенството (5.5).

По този начин, за да се намери оптималният план за първоначалния проблем, е необходимо да се изследва функцията на Лагранж за екстремума. Функцията има екстремни стойности в точки, където нейните частни производни са равни нула. Такива точки се наричат стационарен.

Нека дефинираме частните производни на функцията (5.4)

,

.

След изравняване нулапроизводни получаваме системата m+nуравнения с m+nнеизвестен

, (5.6)

В общия случай системата (5.6)-(5.7) ще има няколко решения, които ще включват всички максимуми и минимуми на функцията на Лагранж. За да се подчертае глобалният максимум или минимум, стойностите на целевата функция се изчисляват във всички намерени точки. Най-голямата от тези стойности ще бъде глобалният максимум, а най-малката ще бъде глобалният минимум. В някои случаи е възможно да се използва достатъчни условия за строг екстремумнепрекъснати функции (вижте проблем 5.2 по-долу):

нека функцията е непрекъсната и два пъти диференцируема в някаква околност на своята стационарна точка (т.е. )). Тогава:

А) Ако ,(5.8)

тогава е точката на строгия максимум на функцията;

б)ако ,(5.9)

тогава е строгата минимална точка на функцията;

Ж ) Ако ,

тогава въпросът за наличието на екстремум остава открит.

В допълнение, някои решения на системата (5.6)-(5.7) могат да бъдат отрицателни. Което не е в съответствие с икономическото значение на променливите. В този случай трябва да помислите за замяна на отрицателните стойности с нулеви стойности.

Икономически смисъл на множителите на Лагранж.Оптимална стойност на множителя показва колко ще се промени стойността на критерия Зкогато ресурсът се увеличава или намалява йс една единица, тъй като

Методът на Лагранж може да се използва и в случаите, когато ограниченията са неравенства. По този начин, намирането на екстремума на функцията при условия

,

извършва се на няколко етапа:

1. Определят стационарни точки на целевата функция, за които решават система от уравнения

.

2. От стационарните точки изберете тези, чиито координати отговарят на условията

3. Използвайки метода на Лагранж, решете задачата с ограничения за равенство (5.1)-(5.2).

4. Точките, открити във втория и третия етап, се изследват за глобалния максимум: стойностите на целевата функция в тези точки се сравняват - най-голямата стойност съответства на оптималния план.

Задача 5.1Нека решим задача 1.3, разгледана в първия раздел, като използваме метода на Лагранж. Оптималното разпределение на водните ресурси се описва с математически модел

.

Нека съставим функцията на Лагранж

Нека намерим безусловния максимум на тази функция. За да направим това, изчисляваме частните производни и ги приравняваме към нула

,

Така получихме система от линейни уравнения от вида

Решението на системата от уравнения представлява оптимален план за разпределение на водните ресурси в напояваните площи

Стойностите се измерват в стотици хиляди кубични метри. - размерът на нетния доход от сто хиляди кубични метра вода за напояване. Следователно пределната цена на 1 m 3 вода за напояване е равна на бърлога единици

Максималният допълнителен нетен доход от напояване ще бъде

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (ден. единици)

Задача 5.2Решаване на проблем с нелинейно програмиране

Нека представим ограничението във формата:

.

Нека съставим функцията на Лагранж и да определим нейните частни производни

.

За да се определят стационарните точки на функцията на Лагранж, нейните частни производни трябва да бъдат равни на нула. В резултат на това получаваме система от уравнения

Метод на множителяЛагранж(в англоезичната литература „Методът на LaGrange на неопределените множители“) ˗ е числен метод за решаване на оптимизационни проблеми, който ви позволява да определите „условния“ екстремум на целевата функция (минимална или максимална стойност)

при наличие на определени ограничения върху неговите променливи под формата на равенства (т.е. определен е обхватът на допустимите стойности)

˗ това са стойностите на аргумента на функцията (контролируеми параметри) в реалната област, при която стойността на функцията клони към екстремум. Използването на името „условен“ екстремум се дължи на факта, че върху променливите се налага допълнително условие, което ограничава обхвата на допустимите стойности при търсене на екстремума на функцията.

Методът на умножителя на Лагранж позволява проблемът за търсене на условен екстремум на целева функция върху набор от допустими стойности да се трансформира в проблем за безусловна оптимизация на функция.

В случай, че функциите И са непрекъснати заедно с техните частни производни, тогава има такива променливи λ, които не са едновременно равни на нула, при които е изпълнено следното условие:

Така, в съответствие с метода на умножителя на Лагранж, за да намеря екстремума на целевата функция върху множеството от допустими стойности, съставям функцията на Лагранж L(x, λ), която е допълнително оптимизирана:

където λ ˗ е вектор от допълнителни променливи, наречени неопределени множители на Лагранж.

Така проблемът за намиране на условния екстремум на функцията f(x) се свежда до проблема за намиране на безусловния екстремум на функцията L(x, λ).

И

Необходимото условие за екстремума на функцията на Лагранж се дава от система от уравнения (системата се състои от „n + m“ уравнения):

Решаването на тази система от уравнения ни позволява да определим аргументите на функцията (X), при които стойността на функцията L(x, λ), както и стойността на целевата функция f(x) съответстват на екстремума.

Големината на множителите на Лагранж (λ) е от практически интерес, ако ограниченията са представени във вид със свободен член в уравнението (константа). В този случай можем да разгледаме допълнително (увеличаване/намаляване) стойността на целевата функция чрез промяна на стойността на константата в системата от уравнения. По този начин множителят на Лагранж характеризира скоростта на промяна на максимума на целевата функция при промяна на ограничаващата константа.

Има няколко начина да се определи естеството на екстремума на получената функция:

Първи метод: Нека е координатите на екстремалната точка и е съответната стойност на целевата функция. Взема се точка, близка до точката, и се изчислява стойността на целевата функция:

Ако , тогава има максимум в точката.

Ако , тогава има минимум в точката.

Втори метод: Достатъчно условие, от което може да се определи естеството на екстремума, е знакът на втория диференциал на функцията на Лагранж. Вторият диференциал на функцията на Лагранж се дефинира, както следва:

Ако в даден момент минимум, ако , тогава целевата функция f(x) има условие максимум.

Трети метод: Също така, природата на екстремума на функцията може да се определи чрез разглеждане на Хесиана на функцията на Лагранж. Хесианската матрица е симетрична квадратна матрица от втори частични производни на функция в точката, в която елементите на матрицата са симетрични спрямо главния диагонал.

За да определите вида на екстремума (максимум или минимум на функция), можете да използвате правилото на Силвестър:

1. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с положителен знак необходимо е ъгловите минори на функцията да са положителни. При такива условия функцията в тази точка има минимум.

2. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с отрицателен знак , необходимо е ъгловите минори на функцията да се редуват, а първият елемент на матрицата трябва да е negativesv. При такива условия функцията в тази точка има максимум.

Под ъглов минор имаме предвид минора, разположен в първите k реда и k колони на оригиналната матрица.

Основното практическо значение на метода на Lagrange е, че ви позволява да преминете от условна оптимизация към безусловна оптимизация и съответно да разширите арсенала от налични методи за решаване на проблема. Въпреки това, проблемът за решаване на системата от уравнения, до която се свежда този метод, в общия случай не е по-прост от първоначалния проблем за намиране на екстремум. Такива методи се наричат ​​индиректни. Използването им се обяснява с необходимостта да се получи решение на екстремален проблем в аналитична форма (например за определени теоретични изчисления). При решаването на конкретни практически проблеми обикновено се използват директни методи, базирани на итеративни процеси на изчисляване и сравняване на стойностите на оптимизираните функции.

Метод на изчисление

1 стъпка: Определяме функцията на Лагранж от дадената целева функция и система от ограничения:

Напред

За да добавите коментар към статията, моля, регистрирайте се на сайта.

Метод на умножителя на Лагранж.

Методът на умножителя на Lagrange е един от методите, който ви позволява да решавате проблеми с нелинейно програмиране.

Нелинейното програмиране е клон на математическото програмиране, който изучава методи за решаване на екстремни проблеми с нелинейна целева функция и област от възможни решения, определени от нелинейни ограничения. В икономиката това съответства на факта, че резултатите (ефективността) нарастват или намаляват непропорционално на промените в мащаба на използване на ресурсите (или, което е същото, мащаба на производството): например поради разделянето на производствените разходи в предприятията на променливи и полуфиксирани; поради насищане на търсенето на стоки, когато всяка следваща единица е по-трудна за продажба от предишната и др.

Проблемът с нелинейното програмиране се поставя като проблем за намиране на оптимума на определена целева функция

F(x 1 ,…x n), Е (х) → макс

когато са изпълнени условията

g j (x 1 ,…x n)≥0, ж (х) ≤ b , х ≥ 0

Където х-вектор на търсените променливи;

Е (х) -обективна функция;

ж (х) - функция на ограничение (непрекъснато диференцируема);

b - вектор на константите на ограниченията.

Решението на задача на нелинейно програмиране (глобален максимум или минимум) може да принадлежи или към границата, или към вътрешността на допустимото множество.

За разлика от проблем с линейно програмиране, в проблем с нелинейно програмиране оптимумът не е задължително да лежи на границата на областта, дефинирана от ограниченията. С други думи, задачата е да се изберат такива неотрицателни стойности на променливи, подчинени на система от ограничения под формата на неравенства, при които се постига максимумът (или минимумът) на дадена функция. В този случай не са посочени формите нито на целевата функция, нито на неравенствата. Може да има различни случаи: целевата функция е нелинейна, но ограниченията са линейни; целевата функция е линейна, а ограниченията (поне едно от тях) са нелинейни; както целевата функция, така и ограниченията са нелинейни.

Проблемът с нелинейното програмиране се среща в природните науки, инженерството, икономиката, математиката, бизнес отношенията и правителството.

Нелинейното програмиране, например, е свързано с основен икономически проблем. По този начин, в проблема с разпределението на ограничените ресурси, или ефективността, или, ако потребителят се изследва, потреблението се максимизира при наличието на ограничения, които изразяват условията на недостиг на ресурси. При такава обща формулировка математическата формулировка на проблема може да е невъзможна, но в конкретни приложения количествената форма на всички функции може да се определи директно. Например промишлено предприятие произвежда пластмасови изделия. Производствената ефективност тук се измерва с печалбата, а ограниченията се интерпретират като налична работна ръка, производствено пространство, производителност на оборудването и т.н.

Методът на рентабилността също се вписва в схемата на нелинейното програмиране. Този метод е разработен за използване при вземане на решения в правителството. Обща функция на ефективността е благосъстоянието. Тук възникват два проблема с нелинейното програмиране: първият е максимизиране на ефекта при ограничени разходи, вторият е минимизиране на разходите, при условие че ефектът е над определено минимално ниво. Този проблем обикновено се моделира добре с помощта на нелинейно програмиране.

Резултатите от решаването на проблем с нелинейно програмиране са полезни при вземането на правителствени решения. Полученото решение, разбира се, се препоръчва, така че е необходимо да се изследват допусканията и точността на проблема с нелинейното програмиране, преди да се вземе окончателно решение.

Нелинейните проблеми са сложни; те често се опростяват, като водят до линейни. За да се направи това, конвенционално се приема, че в определена област целевата функция нараства или намалява пропорционално на промяната в независимите променливи. Този подход се нарича метод на частично линейни апроксимации, но той е приложим само за определени типове нелинейни проблеми.

Нелинейните проблеми при определени условия се решават с помощта на функцията на Лагранж: чрез намиране на нейната седлова точка се намира решението на проблема. Сред изчислителните алгоритми за научни изследвания градиентните методи заемат голямо място. Няма универсален метод за нелинейни проблеми и, очевидно, може и да няма, тъй като те са изключително разнообразни. Многоекстремалните проблеми са особено трудни за решаване.

Един от методите, който ви позволява да намалите проблем с нелинейно програмиране до решаване на система от уравнения, е методът на Лагранж на неопределените множители.

Използвайки метода на умножителя на Лагранж, по същество се установяват необходимите условия, за да се позволи идентифицирането на оптимални точки в оптимизационни проблеми с ограничения на равенството. В този случай ограниченият проблем се трансформира в еквивалентен проблем за безусловна оптимизация, който включва някои неизвестни параметри, наречени множители на Лагранж.

Методът на умножителя на Лагранж се състои в свеждане на задачите върху условен екстремум до задачи върху безусловния екстремум на спомагателна функция – т.нар. Функции на Лагранж.

За задачата за екстремума на функция f(x 1, x 2,..., x n) при условията (ограничителни уравнения) φ аз(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, аз= 1, 2,..., м, функцията на Лагранж има формата

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Множители λ 1 , λ 2 , ..., λmНаречен Множители на Лагранж.

Ако стойностите x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmсъщността на решенията на уравненията, които определят стационарните точки на функцията на Лагранж, а именно за диференцируемите функции са решения на системата от уравнения

тогава, при доста общи предположения, x 1 , x 2 , ..., x n осигуряват екстремум на функцията f.

Разгледайте проблема за минимизиране на функция от n променливи, предмет на едно ограничение под формата на равенство:

Минимизиране на f(x 1, x 2… x n) (1)

при ограничения h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Съгласно метода на умножителя на Лагранж този проблем се трансформира в следния проблем за неограничена оптимизация:

минимизиране на L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

където функцията L(x;λ) се нарича функция на Лагранж,

λ е неизвестна константа, която се нарича множител на Лагранж. Няма изисквания за знака на λ.

Нека за дадена стойност λ=λ 0 безусловният минимум на функцията L(x,λ) по отношение на x се постигне в точката x=x 0 и x 0 удовлетворява уравнението h 1 (x 0)=0 . Тогава, както е лесно да се види, x 0 минимизира (1), като взема предвид (2), тъй като за всички стойности на x, удовлетворяващи (2), h 1 (x)=0 и L(x,λ)=min f(x).

Разбира се, необходимо е да се избере стойността λ=λ 0 така, че координатата на безусловната минимална точка x 0 да удовлетворява равенството (2). Това може да стане, ако, разглеждайки λ като променлива, намерите безусловния минимум на функция (3) под формата на функция λ и след това изберете стойността на λ, при която е изпълнено равенство (2). Нека илюстрираме това с конкретен пример.

Минимизирайте f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

при ограничението h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Съответният неограничен оптимизационен проблем се записва по следния начин:

минимизиране на L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Решение. Приравнявайки двата компонента на градиента L към нула, получаваме

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

За да проверим дали стационарната точка x° съответства на минимума, изчисляваме елементите на матрицата на Хесиан на функцията L(x;u), разглеждана като функция от x,

което се оказва положително определено.

Това означава, че L(x,u) е изпъкнала функция на x. Следователно координатите x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 определят глобалната минимална точка. Оптималната стойност на λ се намира чрез заместване на стойностите x 1 0 и x 2 0 в уравнението 2x 1 + x 2 =2, от което 2λ+λ/2=2 или λ 0 =4/5. Така условният минимум се постига при x 1 0 =4/5 и x 2 0 =2/5 и е равен на min f(x) = 4/5.

При решаването на примерния проблем ние разгледахме L(x;λ) като функция на две променливи x 1 и x 2 и в допълнение предположихме, че стойността на параметъра λ е избрана така, че ограничението да е изпълнено. Ако решението на системата

J=1,2,3,…,n

λ не може да се получи под формата на изрични функции, тогава стойностите на x и λ се намират чрез решаване на следната система, състояща се от n+1 уравнения с n+1 неизвестни:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

За да намерите всички възможни решения на дадена система, можете да използвате числени методи за търсене (например метод на Нютон). За всяко от решенията () трябва да изчислим елементите на хесианската матрица на функцията L, разглеждана като функция от x, и да разберем дали тази матрица е положително определена (локален минимум) или отрицателно определена (локален максимум ).

Методът на умножителя на Лагранж може да бъде разширен до случая, когато проблемът има няколко ограничения под формата на равенства. Помислете за общ проблем, който изисква

Минимизиране на f(x)

при ограничения h k =0, k=1, 2, ..., K.

Функцията на Лагранж приема следната форма:

Тук λ 1 , λ 2 , ..., λk-Множители на Лагранж, т.е. неизвестни параметри, чиито стойности трябва да бъдат определени. Приравнявайки частните производни на L по отношение на x на нула, получаваме следната система от n уравнения с n неизвестни:

Ако се окаже трудно да се намери решение на горната система под формата на функции на вектора λ, тогава можете да разширите системата, като включите ограничения под формата на равенства

Решението на разширената система, състояща се от n + K уравнения с n + K неизвестни, определя стационарната точка на функцията L. След това се прилага процедура за проверка за минимум или максимум, която се извършва на базата на изчисляване елементите на матрицата на Хесиан на функцията L, разглеждана като функция на x, подобно на това, което беше направено в случай на задача с едно ограничение. За някои задачи разширена система от n+K уравнения с n+K неизвестни може да няма решения и методът на умножителя на Лагранж се оказва неприложим. Трябва да се отбележи обаче, че подобни задачи са доста редки на практика.

Нека разгледаме специален случай на общата задача на нелинейното програмиране, като приемем, че системата от ограничения съдържа само уравнения, няма условия за неотрицателност на променливите и и и са непрекъснати функции заедно с техните частни производни. Следователно, чрез решаване на системата от уравнения (7), ние получаваме всички точки, в които функция (6) може да има екстремни стойности.

Алгоритъм за метода на умножителя на Лагранж

1. Съставете функцията на Лагранж.

2. Намерете частните производни на функцията на Лагранж по отношение на променливите x J ,λ i и ги приравнете на нула.

3. Решаваме системата от уравнения (7), намираме точките, в които целевата функция на задачата може да има екстремум.

4. Сред точките, подозрителни за екстремум, намираме тези, в които е достигнат екстремумът, и изчисляваме стойностите на функция (6) в тези точки.

Пример.

Първоначални данни:Според производствения план предприятието трябва да произведе 180 продукта. Тези продукти могат да бъдат произведени по два технологични начина. При производството на x 1 продукта по 1-ви метод разходите са 4x 1 + x 1 2 рубли, а при производството на x 2 продукта по 2-ри метод те са 8x 2 + x 2 2 рубли. Определете колко продукта трябва да бъдат произведени с всеки метод, така че производствените разходи да са минимални.

Целевата функция за поставения проблем има формата
® минпри условията x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Съставете функцията на Лагранж
.
2. Изчисляваме частните производни по отношение на x 1, x 2, λ и ги приравняваме към нула:

3. Решавайки получената система от уравнения, намираме x 1 =91,x 2 =89

4. След като направихме замяна в целевата функция x 2 =180-x 1, получаваме функция на една променлива, а именно f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Изчисляваме или 4x 1 -364=0 ,

откъдето имаме x 1 * =91, x 2 * =89.

Отговор: Броят на продуктите, произведени по първия метод, е x 1 = 91, по втория метод x 2 = 89, докато стойността на целевата функция е равна на 17 278 рубли.

• Урок

Добър ден на всички. В тази статия искам да покажа един от графичните методи за конструиране на математически модели за динамични системи, който се нарича облигационна графика(„връзка“ - връзки, „графа“ - графика). В руската литература намерих описания на този метод само в учебника на Томския политехнически университет, А.В. Воронин “МОДЕЛИРАНЕ НА МЕХАТРОНИЧНИ СИСТЕМИ” 2008 Също така покажете класическия метод чрез уравнението на Лагранж от 2-ри род.

Метод на Лагранж

Няма да описвам теорията, ще покажа етапите на изчисленията с няколко коментара. Лично за мен е по-лесно да се уча от примери, отколкото да чета теория 10 пъти. Струваше ми се, че в руската литература обяснението на този метод, както и математиката или физиката като цяло, е много богато на сложни формули, което съответно изисква сериозна математическа подготовка. Докато изучавах метода на Лагранж (уча в Политехническия университет в Торино, Италия), изучавах руска литература, за да сравня методите на изчисление, и ми беше трудно да проследя напредъка на решаването на този метод. Дори да си спомня курсовете по моделиране в Харковския авиационен институт, извеждането на такива методи беше много тромаво и никой не си направи труда да разбере този въпрос. Това реших да напиша, наръчник за конструиране на математически модели по Лагранж, както се оказа не е никак трудно, достатъчно е да знаете как се изчисляват производни по време и частни производни. За по-сложни модели се добавят и ротационни матрици, но и в тях няма нищо сложно.

Характеристики на методите за моделиране:

• Нютон-Ойлер: векторни уравнения, базирани на динамично равновесие силаИ моменти
• Лагранж: скаларни уравнения, базирани на функции на състоянието, свързани с кинетика и потенциал енергии
• Брой облигации: метод, базиран на потока мощностмежду елементите на системата

Да започнем с един прост пример. Маса с пружина и демпфер. Пренебрегваме силата на гравитацията.

Фиг. 1. Маса с пружина и демпфер

На първо място, ние обозначаваме:

• начална координатна система(NSK) или фиксиран ск R0(i0,j0,k0). Където? Можете да посочите с пръст небето, но чрез потрепване на върховете на невроните в мозъка преминава идеята, за да постави NSC на линията на движение на тялото M1.
• координатни системи за всяко тяло с маса(имаме M1 R1(i1,j1,k1)), ориентацията може да бъде произволна, но защо да усложнявате живота си, задайте го с минимална разлика от NSC
• обобщени координати q_i(минималният брой променливи, които могат да опишат движението), в този пример има една обобщена координата, движение само по оста j

Фиг. 2. Записваме координатни системи и обобщени координати

Фигура 3. Позиция и скорост на тялото M1

След това ще намерим кинетичната (C) и потенциалната (P) енергия и дисипативната функция (D) за амортисьора, използвайки формулите:

Фигура 4. Пълна формула за кинетична енергия

В нашия пример няма ротация, вторият компонент е 0.

Фигура 5. Изчисляване на кинетична, потенциална енергия и дисипативна функция

Уравнението на Лагранж има следната форма:

Фиг. 6. Уравнение на Лагранж и Лагранжиан

Делта W_iТова е виртуална работа, извършена от приложени сили и моменти. Да я намерим:

Фигура 7. Изчисляване на виртуална работа

Където делта q_1виртуално движение.

Заместваме всичко в уравнението на Лагранж:

Фиг. 8. Полученият масов модел с пружина и амортисьор

Това е мястото, където методът на Лагранж свършва. Както можете да видите, не е толкова сложно, но все пак е много прост пример, за който най-вероятно методът на Нютон-Ойлер би бил дори по-прост. За по-сложни системи, където ще има няколко тела, завъртани едно спрямо друго под различни ъгли, методът на Лагранж ще бъде по-лесен.

Метод на графиката на облигациите

Веднага ще ви покажа как изглежда моделът в bond-graph за пример с маса, пружина и демпфер:

Фиг. 9. Bond-graph маси с пружина и демпфер

Тук ще трябва да разкажете малко теория, която ще бъде достатъчна за изграждане на прости модели. Ако някой се интересува, може да прочете книгата ( Методология на Bond Graph) или ( Воронин А.В. Моделиране на мехатронни системи: учебник. – Томск: Издателство на Томския политехнически университет, 2008 г).

Нека първо дефинираме, че сложните системи се състоят от няколко области. Например, електрическият двигател се състои от електрически и механични части или домейни.

облигационна графикавъз основа на обмена на енергия между тези домейни, подсистеми. Обърнете внимание, че обменът на енергия, независимо от неговата форма, винаги се определя от две променливи ( променлива мощност), с помощта на които можем да изследваме взаимодействието на различни подсистеми в динамична система (виж таблицата).

Както се вижда от таблицата, изразяването на власт е почти еднакво навсякъде. В обобщение, Мощност- Тази работа " поток - f" На " усилие - e».

Усилие(Английски) усилие) в електрическата област това е напрежение (e), в механичната област е сила (F) или въртящ момент (T), в хидравликата е налягане (p).

Поток(Английски) поток) в електрическата област това е ток (i), в механичната област е скорост (v) или ъглова скорост (omega), в хидравликата това е потокът или скоростта на потока на течността (Q).

Като вземем тези обозначения, получаваме израз за мощност:

Фиг. 10. Формула за мощност чрез променливи за мощност

В езика на графиката на връзката връзката между две подсистеми, които обменят мощност, е представена чрез връзка. връзка). Ето защо този метод се нарича бонд-графили ж raf-връзки, свързан граф. Нека помислим блокова схемавръзки в модел с електрически двигател (това все още не е графика на връзката):

Фиг. 11. Блокова диаграма на потока на мощността между домейни

Ако имаме източник на напрежение, тогава той съответно генерира напрежение и го предава на двигателя за намотка (затова стрелката е насочена към двигателя), в зависимост от съпротивлението на намотката се появява ток според закона на Ом (насочен от двигателя към източника). Съответно една променлива е вход към подсистемата, а втората трябва да бъде изходот подсистемата. Тук напрежението ( усилие) – вход, ток ( поток) - изход.

Ако използвате източник на ток, как ще се промени диаграмата? вярно Токът ще бъде насочен към двигателя, а напрежението към източника. Тогава текущият ( поток) - входен волтаж ( усилие) - изход.

Нека да разгледаме един пример в механиката. Сила, действаща върху маса.

Фиг. 12. Сила, приложена към масата

Блоковата схема ще бъде както следва:

Фиг. 13. Блокова схема

В този пример Сила ( усилие) – входна променлива за маса. (Сила, приложена към масата)
Според втория закон на Нютон:

Масата отговаря бързо:

В този пример, ако една променлива ( сила - усилие) е входв механичната област, след това друга променлива на мощността ( скорост - поток) – автоматично става изход.

За да се разграничи къде е входът и къде е изходът, се използва вертикална линия в края на стрелката (връзката) между елементите, тази линия се нарича знак за причинност или причинно-следствена връзка (причинно-следствена връзка). Оказва се, че приложената сила е причината, а скоростта е следствието. Този знак е много важен за правилното изграждане на системен модел, тъй като причинността е следствие от физическото поведение и обмен на мощности на две подсистеми, следователно изборът на местоположението на знака за причинност не може да бъде произволен.

Фиг. 14. Обозначаване на причинно-следствената връзка

Тази вертикална линия показва коя подсистема получава силата ( усилие) и в резултат на това генерира поток ( поток). В примера с маса би било така:

Фиг. 14. Причинно-следствена връзка за силата, действаща върху масата

От стрелката е ясно, че входът за маса е - сила, а изходът е скорост. Това се прави, за да не се претрупва диаграмата със стрелки и да се систематизира конструкцията на модела.

Следваща важна точка. Генерализиран импулс(количество движение) и движещ се(енергийни променливи).

Таблица на променливите мощност и енергия в различни области

Таблицата по-горе въвежда две допълнителни физически величини, използвани в метода на графиката на връзката. Те се наричат генерализиран импулс (Р) И генерализирано движение (р) или енергийни променливи и те могат да бъдат получени чрез интегриране на мощностни променливи във времето:

Фиг. 15. Връзка между променливите мощност и енергия

В електрическата област :

Въз основа на закона на Фарадей, волтажв краищата на проводника е равна на производната на магнитния поток през този проводник.

А Текуща сила- физическо количество, равно на съотношението на количеството заряд Q, преминаващо през напречното сечение на проводника за определено време t към стойността на този период от време.

Механична област:

От 2-рия закон на Нютон, Сила– времева производна на импулса

И съответно, скорост- времева производна на изместване:

Нека да обобщим:

Основни елементи

Всички елементи в динамичните системи могат да бъдат разделени на двуполюсни и четириполюсни компоненти.
Нека помислим биполярни компоненти:

Източници
Има източници както на усилие, така и на поток. Аналогия в електрическата област: източник на усилия – източник на напрежение, източник на поток – източник на ток. Причинно-следствените знаци за източниците трябва да бъдат само такива.

Фиг. 16. Причинно-следствени връзки и обозначаване на източници

Компонент R – дисипативен елемент

Компонент I – инерционен елемент

Компонент C – капацитивен елемент

Както се вижда от фигурите, различни елементи от един и същи тип R, C, I се описват с едни и същи уравнения. Има разлика САМО в електрическия капацитет, просто трябва да я запомните!

Четириполюсни компоненти:

Нека разгледаме два компонента: трансформатор и жиратор.

Последните важни компоненти в метода на графиката на връзката са връзките. Има два вида възли:

Това е с компонентите.

Основните стъпки за установяване на причинно-следствени връзки след конструиране на графика на връзка:

1. Дайте причинно-следствени връзки на всички източници
2. Преминете през всички възли и запишете причинно-следствени връзки след точка 1
3. За компоненти Iзадайте входна причинно-следствена връзка (усилието е включено в този компонент), за компоненти Cприсвояване на изходна причинно-следствена връзка (усилието произлиза от този компонент)
4. Повторете точка 2
5. Въведете причинно-следствени връзки за R компоненти

Това завършва мини-курса по теория. Сега имаме всичко необходимо за изграждане на модели.
Нека решим няколко примера. Нека започнем с електрическа верига; по-добре е да разберем аналогията с конструирането на графика на връзката.

Пример 1

Нека започнем да изграждаме графика на връзка с източник на напрежение. Просто напишете Se и поставете стрелка.

Вижте, всичко е просто! Нека да разгледаме по-нататък, R и L са свързани последователно, което означава, че в тях протича един и същ ток, ако говорим за променливи на мощността - един и същ поток. Кой възел има същия поток? Правилният отговор е 1 възел. Свързваме източника, съпротивлението (компонент - R) и индуктивността (компонент - I) към 1-възел.

След това имаме капацитет и съпротивление в паралел, което означава, че те имат същото напрежение или сила. 0-node е подходящ като никой друг. Свързваме капацитета (компонент C) и съпротивлението (компонент R) към 0-възела.

Също така свързваме възли 1 и 0 един с друг. Посоката на стрелките се избира произволно, посоката на връзката засяга само знака в уравненията.

Ще получите следната графика на връзката:

Сега трябва да установим причинно-следствени връзки. Следвайки указанията за последователността на поставянето им, нека започнем с източника.

1. Имаме източник на напрежение (усилие), такъв източник има само един вариант на причинност - изход. Нека го облечем.
2. Следва компонент I, нека видим какво препоръчват. Ние поставяме
3. Сложихме го за 1-възел. Яжте
4. 0-възел трябва да има един вход и всички изходни причинно-следствени връзки. Засега имаме един почивен ден. Търсим компоненти C или I. Намерихме го. Ние поставяме
5. Нека изброим каквото е останало

Това е всичко. Построена е графика на облигации. Ура, другари!

Остава само да напишем уравненията, които описват нашата система. За да направите това, създайте таблица с 3 колони. Първият ще съдържа всички компоненти на системата, вторият ще съдържа входната променлива за всеки елемент, а третият ще съдържа изходната променлива за същия компонент. Вече дефинирахме входа и изхода чрез причинно-следствени връзки. Така че не би трябвало да има проблеми.

Нека номерираме всяка връзка за по-лесно записване на нивата. Взимаме уравненията за всеки елемент от списъка с компоненти C, R, I.

След като съставихме таблица, ние дефинираме променливите на състоянието, в този пример има 2 от тях, p3 и q5. След това трябва да запишете уравненията на състоянието:

Това е всичко, моделът е готов.

Пример 2. Бих искал веднага да се извиня за качеството на снимката, основното е, че можете да четете

Нека решим друг пример за механична система, същата, която решихме с помощта на метода на Лагранж. Ще покажа решението без коментар. Нека да проверим кой от тези методи е по-прост и лесен.

В Матбала са компилирани и двата математически модела с еднакви параметри, получени по метода на Лагранж и графика на връзката. Резултатът е по-долу: Добавете тагове