Връзка между импулсни и трансферни характеристики. Връзка между импулсната характеристика и предавателната функция на веригата

В радио схемите съпротивленията на натоварване обикновено са големи и не влияят на мрежата с четири извода, или съпротивлението на натоварване е стандартно и вече е взето предвид в веригата с четири извода.

Тогава четиритерминалната мрежа може да се характеризира с един параметър, който установява връзката между изходното и входното напрежение, като пренебрегва тока на натоварване. При синусоидален сигнал такава характеристика е предавателната функция на веригата (коефициент на предаване), равна на съотношението на комплексната амплитуда на изходния сигнал към комплексната амплитуда на входния сигнал: , където е фазово-честотната характеристика, е амплитудно-честотната характеристика на веригата.

Трансферната функция на линейна верига, поради валидността на принципа на суперпозицията, ни позволява да анализираме преминаването на сложен сигнал през веригата, като го разлагаме на синусоидални компоненти. Друга възможност за използване на принципа на суперпозицията е да се разложи сигналът на сума от изместени във времето d-функции d(t). Реакцията на веригата към действието на сигнал под формата на d-функции е импулсната характеристика g(t), т.е. това е изходният сигнал, ако входният сигнал е d-функция. при . Освен това g(t) = 0 при t< 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.

Експериментално импулсният отговор може да се определи чрез прилагане на кратък импулс с площ от една единица към входа и намаляване на продължителността на импулса, като същевременно се поддържа площта, докато изходният сигнал спре да се променя. Това ще бъде импулсната характеристика на веригата.

Тъй като може да има само един независим параметър, свързващ напреженията на изхода и входа на веригата, има връзка между импулсния отговор и предавателната функция.

Нека на входа се подаде сигнал под формата на d-функция със спектрална плътност. Изходът на веригата ще има импулсна характеристика, като всички спектрални компоненти на входния сигнал се умножават по предавателната функция на съответната честота: . По този начин импулсният спектър на веригата и трансферната функция са свързани чрез трансформацията на Фурие:

Понякога се въвежда така нареченият преходен отговор на веригата h(t), който е отговор на сигнал, наречен единична стъпка:

I(t) = 1 при t ³ 0

I(t) = 0 при t< 0

в този случай h(t) = 0 при t< 0.

Поради връзката между предавателната функция и импулсната характеристика, се налагат ограничения върху предавателната функция:

· Условието, че g(t) трябва да е реално, води до изискването, че т.е. модулът на предавателната функция (AFC) е четен, а фазовият ъгъл (PFC) е нечетна функция на честотата.

· Условието е при т< 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера: .

Например, помислете за идеален нискочестотен филтър с трансферна функция.

Тук интегралът в критерия на Пейли-Винер се отклонява, както за всеки , който се равнява на краен сегмент от честотната ос.

Импулсната характеристика на такъв филтър е

g(t) не е нула при t< 0, тем сильнее, чем меньше время задержки , которое определяет ее угол наклона . Это указывает на нереализуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших .

По определение трансферна функция(PF) е оператор, равен на отношението на изображенията на изходните и входните координати при нулеви начални условия:

W(p) = R(p) / Q(p)

Цел на услугата. Обектът на управление (CO) се описва с линейно диференциално уравнение от порядък n. За осцилаторна връзка от n-ти ред се определят:

трансферна функция;
честотни характеристики (амплитудна (AFC), фазова (PFC), логаритмична (LFC));
преходни и импулсни преходни (теглови) функции;
графики на преходни и честотни характеристики.

За да намерите функцията за прехвърляне онлайн, трябва да изберете типа връзка и да въведете степента на връзката.

Пример. Контролният обект (OU) се описва с линейно диференциално уравнение от трети ред:
(2)
1) Предавателната функция на операционен усилвател в общия случай може да бъде представена като отношение
W(iω) = A(ω)e iφ(ω) = U(ω) + iV(ω),
където R(p) и Q(p) са изображенията на Лаплас на изходните и входните променливи на операционния усилвател, съответстващи на лявата и дясната страна на уравнение 1. Следователно, трансферната функция ще има формата:
(3)
или
. (4)

2) Да определим честотните характеристики на оп-усилвателя. Известно е, че честотната трансферна функция W(ω) може да бъде представена като:
, (5)
където A(ω) – амплитудна честотна характеристика (AFC);
φ(ω) – фазова честотна характеристика (PFC);
U(ω) – реална честотна характеристика (RFC);
V(ω) – въображаема честотна характеристика;
Нека заместим iω в израз (3) вместо p. Получаваме:
(6)
Въз основа на изрази (5) и (6) разделяме амплитудните и фазово-честотните характеристики и заместваме числените стойности на коефициентите. Въз основа на факта, че:
A(ω) = |W(iω)|
φ(ω) = arg(W(iω))
(виж комплексни числа). Накрая получаваме: (7)

3) Да определим логаритмичната амплитудна честотна характеристика (LAFC).
Известно е, че LFC се определя от връзката:
L(ω) = 20log(A(ω)) (8)
Тази характеристика има измерение dB (децибели) и показва промяната в отношението на изходната мощност към входната стойност. За удобство LFC се изобразява в логаритмична скала.
Фазовата честотна характеристика, изобразена в логаритмична скала, ще се нарича логаритмична фазова честотна характеристика (LPFR).
Примери за конструиране на LFC и LPFC за нашите първоначални данни са показани на фигура 1.
Нека дефинираме функцията на импулсния преход (тегло). Тегловата функция w(t) представлява реакцията на системата към единична импулсна функция, приложена към нейния вход. Тегловата функция е свързана с трансферната функция чрез трансформацията на Лаплас.
. (9)
Следователно, тегловната функция може да бъде намерена чрез прилагане на обратното преобразуване на Лаплас към трансферната функция.
w(t) = L -1 (10)

Академия на Русия

Катедра по физика

Лекция

Преходни и импулсни характеристики на електрически вериги

Орел 2009 г

Образователни и образователни цели:

Обяснете на учениците същността на преходните и импулсните характеристики на електрическите вериги, покажете връзката между характеристиките, обърнете внимание на използването на разглежданите характеристики за анализ и синтез на електрически вериги и се стремете към висококачествена подготовка за практически обучение.

Разпределение на лекционното време

Уводна част……………………………………………………5 мин.

Въпроси за проучване:

1. Преходни характеристики на електрически вериги………………15 мин.

2. Интеграли на Дюамел……………………………………………………………...25 мин.

3. Импулсни характеристики на електрически вериги. Връзка между характеристиките………………………………………………………25 мин.

4. Конволюционни интеграли………………………………………….15 мин.

Заключение……………………………………………………5 мин.

1. Преходни характеристики на електрически вериги

Преходният отговор на верига (като импулсния отговор) се отнася до временните характеристики на веригата, т.е. изразява определен преходен процес при предварително определени влияния и начални условия.

За да се сравнят електрическите вериги според тяхната реакция на тези влияния, е необходимо да се поставят веригите при едни и същи условия. Най-простите и удобни са нулевите начални условия.

Преходен отговор на веригата е съотношението на реакцията на верига към поетапно въздействие към големината на това въздействие при нулеви начални условия.

По дефиниция,

където е верижният отговор на стъпаловидно действие;

– големината на стъпковия ефект [B] или [A].

Тъй като и е разделено на големината на удара (това е реално число), това всъщност е реакцията на веригата към удар с една стъпка.

Ако преходният отговор на веригата е известен (или може да бъде изчислен), тогава от формулата можете да намерите реакцията на тази верига към стъпков ефект при нула NL

Нека установим връзка между операторната трансферна функция на верига, която често е известна (или може да бъде намерена), и преходния отговор на тази верига. За да направим това, използваме въведената концепция за операторска трансферна функция:

Съотношението на преобразуваната по Лаплас реакция на веригата към големината на удара е преходната характеристика на оператора на веригата:

Следователно.

От тук характеристиката на прехода на оператора на веригата се намира с помощта на функцията за прехвърляне на оператора.

За да се определи преходната характеристика на веригата, е необходимо да се приложи обратната трансформация на Лаплас:

използвайки таблицата на съответствието или (предварително) теоремата за разлагане.

Пример: определете преходния отговор за отговора на напрежението на кондензатор в последователна верига (фиг. 1):

Ето реакцията на стъпаловиден ефект на величина:

откъде идва характеристиката на прехода:

Преходните характеристики на най-често срещаните вериги са намерени и дадени в референтната литература.

2. Интеграли на Дюамел

Преходният отговор често се използва за намиране на отговора на верига към комплексен стимул. Нека да установим тези отношения.

Нека се съгласим, че влиянието е непрекъсната функция и се прилага към веригата в момент , а началните условия са нула.

Дадено въздействие може да бъде представено като сбор от стъпаловидно въздействие, приложено към веригата в даден момент, и безкрайно голям брой безкрайно малки стъпаловидни въздействия, непрекъснато следващи едно друго. Едно от тези елементарни въздействия, съответстващо на момента на прилагане, е показано на фигура 2.

Нека намерим стойността на верижната реакция в даден момент от времето.

Постепенен ефект с разлика в момента на времето предизвиква реакция, равна на произведението на разликата по стойността на преходния отговор на веригата при , т.е. равна на:

Безкрайно малък стъпков ефект с разлика предизвиква безкрайно малка реакция , където е времето, изминало от момента на прилагане на въздействието до момента на наблюдението. Тъй като по условие функцията е непрекъсната, тогава:

В съответствие с принципа на суперпозицията, реакцията ще бъде равна на сумата от реакции, причинени от съвкупността от влияния, предшестващи момента на наблюдение, т.е.

Обикновено в последната формула те просто я заместват с , тъй като намерената формула е правилна за всякакви времеви стойности:

Или след някои прости трансформации:

Всяко от тези съотношения решава проблема за изчисляване на отговора на линейна електрическа верига към дадено непрекъснато действие, като се използва известен преходен отговор на веригата. Тези отношения се наричат интеграли на Дюамел.

3. Импулсни характеристики на електрически вериги

Импулсен спектър на веригата се нарича съотношението на реакцията на верига към импулсно действие към площта на това действие при нулеви начални условия.

По дефиниция,

където е реакцията на веригата към импулсно действие;

– зона на ударния импулс.

Използвайки известната импулсна характеристика на веригата, може да се намери реакцията на веригата към дадено влияние: .

Единичен импулсен ефект, наричан още делта функция или функция на Дирак, често се използва като функция на въздействие.

Делта функцията е функция, равна на нула навсякъде с изключение на , а нейната площ е равна на единица ():

До концепцията за делта функция може да се стигне, като се вземе предвид границата на правоъгълен импулс с височина и продължителност, когато (фиг. 3):

Нека установим връзка между предавателната функция на една верига и нейната импулсна характеристика, за което използваме операторния метод.

По дефиниция:

Ако влиянието (оригиналът) се разглежда в най-общия случай под формата на произведението на площта на импулса и делта функцията, т.е. във формата, тогава изображението на това влияние според таблицата на съответствието има формата:

Тогава, от друга страна, съотношението на преобразуваната от Лаплас реакция на веригата към площта на ударния импулс е импулсната реакция на оператора на веригата:

Следователно, .

За да се намери импулсната характеристика на верига, е необходимо да се приложи обратното преобразуване на Лаплас:

Това е всъщност.

Обобщавайки формулите, получаваме връзка между операторната трансферна функция на веригата и операторните преходни и импулсни характеристики на веригата:

По този начин, знаейки една от характеристиките на веригата, можете да определите всички други.

Нека извършим идентичното преобразуване на равенството, като добавим към средната част .

Тогава ще имаме.

Тъй като е образ на производната на преходната характеристика, оригиналното равенство може да бъде пренаписано като:

Преминавайки към областта на оригиналите, получаваме формула, която ни позволява да определим импулсната характеристика на верига от нейния известен преходен отговор:

Ако, тогава.

Обратната връзка между тези характеристики има формата:

С помощта на трансферната функция е лесно да се определи наличието на член във функцията.

Ако мощностите на числителя и знаменателя са еднакви, тогава въпросният термин ще присъства. Ако функцията е правилна дроб, тогава този член няма да съществува.

Пример: определете импулсните характеристики за напрежения и в серийната верига, показана на фигура 4.

Нека дефинираме:

Използвайки таблицата за съответствие, нека преминем към оригинала:

Графиката на тази функция е показана на фигура 5.

ориз. 5

Трансферна функция:

Според таблицата за съответствие имаме:

Графиката на получената функция е показана на фигура 6.

Нека отбележим, че същите изрази могат да бъдат получени с помощта на отношения, установяващи връзка между и .

Импулсният спектър в неговия физически смисъл отразява процеса на свободни трептения и поради тази причина може да се твърди, че в реалните вериги винаги трябва да бъде изпълнено следното условие:

4. Конволюционни (наслагващи) интеграли

Нека разгледаме процедурата за определяне на реакцията на линейна електрическа верига към сложно влияние, ако е известна импулсната реакция на тази верига. Ще приемем, че въздействието е частично непрекъсната функция, показана на фигура 7.

Нека се изисква да се намери стойността на реакцията в някакъв момент от време. Решавайки този проблем, нека си представим въздействието като сума от правоъгълни импулси с безкрайно малка продължителност, един от които, съответстващ на момента във времето, е показан на фигура 7. Този импулс се характеризира с продължителност и височина.

От обсъдения по-рано материал е известно, че реакцията на верига към кратък импулс може да се счита за равна на произведението на импулсния отговор на веригата и площта на импулсното действие. Следователно безкрайно малкият компонент на реакцията, дължащ се на това импулсно действие в момента на времето, ще бъде равен на:

тъй като площта на импулса е равна на , а времето минава от момента на прилагането му до момента на наблюдение.

Използвайки принципа на суперпозицията, общата реакция на една верига може да се дефинира като сбор от безкрайно голям брой безкрайно малки компоненти, причинени от последователност от импулсни действия с безкрайно малка площ, предхождащи момента във времето.

Така:

Тази формула е вярна за всякакви стойности, така че обикновено променливата се обозначава просто. След това:

Получената връзка се нарича конволюционен интеграл или суперпозиционен интеграл. Функцията, която се намира в резултат на изчисляване на конволюционния интеграл, се нарича конволюция и .

Можете да намерите друга форма на конволюционния интеграл, ако промените променливите в получения израз:

Пример: намерете напрежението върху капацитета на серийна верига (фиг. 8), ако на входа действа експоненциален импулс от формата:

Нека използваме конволюционния интеграл:

Израз за е получено преди това.

следователно , И .

Същият резултат може да се получи чрез прилагане на интеграла на Дюамел.

Литература:

Белецки A.F. Теория на линейните електрически вериги. – М.: Радио и съобщения, 1986. (Учебник)

Бакалов В. П. Теория на електрическите вериги. – М.: Радио и съобщения, 1998. (Учебник);

Качанов Н. С. и др. Линейни радиотехнически устройства. М.: Военен. изд., 1974. (Учебник);

Попов В.П. Основи на теорията на веригите - М.: Висше училище, 2000. (Учебник)

Многопътният комуникационен канал, като всяка линейна система, се определя уникално от своя IR във времевата област и/или трансферната функция в честотната област. IR каналът и неговата трансферна функция позволяват да се определи връзката между изходния и входния сигнал и съответно техните спектри. Многопътният канал е показан на фиг. 2.4.

ориз. 2.4. Многопътен канал

В многопътен канал сигналът се движи по много пътища и пПътят th (лъч) се характеризира със забавяне на сигнала t п(t) и комплексен коефициент на пренос a п(t). Ако се предава сигнал s(t), тогава се наблюдава сигнал на входа на приемника х(t), което е сумата от сигнали, разпространяващи се по различни начини. Този сигнал може да бъде написан по следния начин:

, (2.3.1)

По-голямата част от комуникационните системи използват теснолентови сигнали, които могат да бъдат представени във формата (1.1.2). Замествайки (1.1.2) в (2.3.1), получаваме това

От това следва, че комплексната амплитуда на приетия нискочестотен сигнал е равна на

По-нататък ще приемем, че по време на преминаването на сигнала за забавяне t п(t) и комплексни коефициенти на пренос a п(t) за всички лъчи остават непроменени и равни на t пи а п.

По дефиниция IR на линейна система с фиксирани параметри е отговорът на системата на входа d-пулс. Следователно, ние ще получим IR канала, ако приложим сигнал (1.1.2) с комплексна амплитуда, равна на . В резултат на това ще имаме това

За да се получи функцията за предаване на канала, е необходимо да се вземе хармоничен сигнал с амплитуда на единична честота f, т.е. заместете сигнала в (2.3.1). Тогава разбираме това

. (2.3.5)

Като пример, разгледайте свойствата на двулъчев канал. Да приемем, че има директен сигнал и сигнал, отразен от местен обект. Директният сигнал пристига без изкривяване и има забавяне по време на разпространението от предавателя към приемника. Освен това амплитудата му намалява и зависи от разстоянието между предавателя и приемника. Тези промени в параметрите на сигнала не са от фундаментално значение за нашето разглеждане. Следователно началото на отброяването на времето е съвместимо с момента на пристигането на директния сигнал в приемната антена, а амплитудата на директния сигнал се нормализира така, че да е равна на единица. Нека вземем фазата на директния сигнал равна на нула. В този случай от (2.3.4) получаваме, че каналът може да се характеризира с IM

Къде – комплексен коефициент на отражение на сигнала от локален обект, – фазова разлика между първия и втория сигнал поради закъснението t 2 секунди сигнали спрямо първия, А 2 – комплексна амплитуда на втория сигнал спрямо първия.

IR на двулъчев канал е показан на фиг. 2.5.

ориз. 2.5. Двулъчев канал: а) директните сигнали идват на входа на приемника s 1 и отразено s 2
сигнали; б) ТЕХНИЯ двулъчев канал

Имайте предвид, че IR каналът (2.3.6) не предоставя информация за посоката на пристигането на втория сигнал. Обикновено се приема, че вторият сигнал е с по-малка амплитуда, т.е. .

Намираме каналната трансферна функция от (2.3.5). Разбираме това

Коефициентът на предаване на мощност на канал се определя като квадрат на модула на предавателната функция, т.е.

Пример за тази функция е показан на фиг. 2.6 за | а 2 |=0,8, t 2 =1, arga 2 =p/6. Вижда се, че коефициентът на предаване на мощността на канала има максимуми и минимуми, тоест хармоничните сигнали с някои честоти са отслабени, докато с други честоти се усилват. Минимуми се наблюдават за честоти, където п=0, ±1,¼. Разстоянието между минимумите по честотната ос не зависи от фазата на коефициента на отражение a 2 и е равно на . Средният коефициент на предаване на мощността е 1+| а 2 | 2 и показано на фиг. 2.6 с пунктирана линия, минимумът е (1-| а 2 |) 2 , а максимумът е (1+| а 2 |) 2 . Ако амплитудата на директния сигнал е равна на амплитудата на забавения сигнал, тогава може да се наблюдава пълна загуба на сигнал на входа на приемника.

ориз. 2.6. Коефициент на предаване на мощност на двулъчев канал

Промяната в нивото на получения сигнал, причинена от смущението на сигнали, преминаващи през различни пътища в канала, обикновено се нарича затихване на получения сигнал или затихване. Ако честотната лента на приемника е , тогава всички спектрални компоненти на сигнала в рамките на честотната лента на приемника ще изпитат постоянно затихване. В този случай е прието да се каже, че каналът е плосък(плосък канал). Ако е изпълнено друго условие, тогава различните спектрални компоненти на сигнала изпитват различно затихване. В този случай се казва, че каналът е честотно селективен(честотно селективен канал).

Фазата на отразения сигнал в (2.3.7) може да се промени значително дори при много малки промени в забавянето t 2 на този сигнал. Всъщност промяна на фазата от 2p радиана възниква, когато забавянето t 2 се промени с 1/ f. Например, ако носещата честота f c=900 MHz, тогава стойността е 1/ fе само 1,1 наносекунди, което съответства на промяна в пътя на разпространение на сигнала с 33 cm, тоест по дължина на вълната. По този начин, ако разликата в пътя между директния и отразения сигнал се промени само с 16,5 cm, фазовата разлика между тях ще се промени със 180 градуса. Този пример показва, че сигналът може да изпита дълбоко и бързо затихване, дори когато абонатът се движи със скорост на ходене.