Счетоводни изчисления по двоично-десетичната бройна система. Представяне на числа в двоичен код

Двоичната десетична бройна система е широко разпространена в съвременните компютри поради лесното преобразуване в десетичната система и обратно. Използва се там, където основното внимание се обръща не на простотата на техническата конструкция на машината, а на удобството на потребителя. В тази бройна система всички десетични цифри са отделно кодирани от четири двоични цифри и в тази форма се записват последователно една след друга.

Двоично-десетичната система не е икономична от гледна точка на изпълнение на техническата конструкция на машината (необходимото оборудване се увеличава с около 20%), но е много удобна при изготвяне на задачи и програмиране. В двоичната десетична бройна система основата на бройната система е числото десет, но всяка от 10-те десетични цифри (0, 1, ..., 9) е представена с помощта на двоични цифри, тоест кодирани в двоични цифри. Четири двоични цифри се използват за представяне на една десетична цифра. Тук, разбира се, има излишък, тъй като четири двоични цифри (или двоична тетрада) могат да представляват не 10, а 16 числа, но това вече е производствен разход в името на удобството на програмирането. Съществуват редица двоично кодирани десетични системи за представяне на числа, характеризиращи се с това, че на определени комбинации от нули и единици в рамките на една тетрада се приписват определени стойности на десетични цифри 1 .

В най-често използваната естествена двоично кодирана десетична бройна система, теглата на двоичните цифри в рамките на една тетрада са естествени, т.е. 8, 4, 2, 1 (Таблица 3.1).

Таблица 3.1. Таблица с двоични кодове на десетични и шестнадесетични цифри

Номер	Код	Номер	Код


		А
		б
		° С
		д
		д
		Е

Например десетичното число 9703 в BCD изглежда така: 1001011100000011.

Въпрос 18. операционна система.Логически принципи на работа на компютъра. Логически алгебрични операции

Алгебрата на логиката включва много логически операции. Три от тях обаче заслужават специално внимание, тъй като... с тяхна помощ можете да опишете всички останали и следователно да използвате по-малко разнообразие от устройства при проектирането на схеми. Такива операции са съчетание(И), дизюнкция(ИЛИ) и отрицание(НЕ). Често съюзът се обозначава & , дизюнкция - || , а отрицанието е черта над променливата, указваща израза.

Със връзката истинността на сложния израз възниква само ако всички прости изрази, които съставляват сложния, са верни. Във всички останали случаи сложният израз ще бъде неверен.

С дизюнкция, истинността на сложен израз възниква, когато поне един прост израз, включен в него, е верен или два наведнъж. Случва се сложен израз да се състои от повече от два прости. В този случай е достатъчно едно просто да е вярно и тогава цялото твърдение ще е вярно.

Отрицанието е унарна операция, тъй като се извършва по отношение на един прост израз или по отношение на резултата от сложен израз. В резултат на отрицанието се получава ново твърдение, което е противоположно на първоначалното.

Въпрос 19.Основни правила на логиката на алгебрата

Обичайната нотация за тези закони във формалната логика е:

Въпрос 20.Таблица на истината

Таблици на истината

Удобно е логическите операции да се описват чрез т.нар таблици на истината, които отразяват резултатите от изчисленията на сложни изрази за различни стойности на оригиналните прости изрази. Простите твърдения се означават с променливи (например A и B).

21 Въпрос.Логически елементи. Техните имена и обозначения на диаграмата

Как можем да използваме знанията, които сме придобили от областта на математическата логика, за да проектираме електронни устройства? Ние знаем, че О и 1 в логиката не са просто числа, а обозначение на състояния на някакъв обект в нашия свят, условно наричани „лъжа“ и „истина“. Такъв обект, който има две фиксирани състояния, може да бъде електрически ток. Наричат се устройства, които откриват две стабилни състояния бистабилен(напр. превключвател, реле). Ако си спомняте, първите компютри бяха релейни. По-късно бяха създадени нови електрически контролни устройства - електронни схеми, състоящ се от набор от полупроводникови елементи. Такива електронни схеми, които преобразуват сигнали само от две фиксирани напрежения на електрически ток (бистабилни), започнаха да се наричат логически елементи.

Компютърен логически елемент- това е част от електронна логическа схема, която изпълнява елементарна логическа функция.

Логическите елементи на компютрите са електронни схеми AND, OR, NOT, NAND, NORи други (наричани още клапани), и спусък.

Използвайки тези схеми, можете да реализирате всяка логическа функция, която описва работата на компютърните устройства. Обикновено вентилите имат от два до осем входа и един или два изхода.

За представяне на двете логически състояния "1" и "0" в портите, съответните им входни и изходни сигнали имат едно от двете зададени нива на напрежение. Например +5 волта и 0 волта.

Високото ниво обикновено съответства на стойността „true“ („1“), а ниското ниво на стойността „false“ („0“).

Всеки логически елемент има свой собствен символ,което изразява неговата логическа функция, но не показва какъв вид електронна схема е реализирана в него. Това улеснява писането и разбирането на сложни логически схеми.

Работата на логическите елементи е описана с помощта на таблици на истинност.

Таблица на истинатае таблично представяне на логическа схема (операция), която изброява всички възможни комбинации от стойностите на истината на входните сигнали (операнди) заедно с стойността на истината на изходния сигнал (резултат от операцията) за всяка от тези комбинации.

Пример за смесена бройна система е двоична десетична система . В числовата система BCD се разпределят 4 двоични цифри за всяка десетична цифра, тъй като максималната десетична цифра 9 е кодирана като 1001 2. Например,

925 10 = 1001 0010 0101 2-10 .

Тук последователни четворки (тетради) от двоични цифри представляват съответно цифрите 9, 2 и 5 от десетичния запис.

Въпреки че нотацията BCD използва само цифрите 0 и 1, нотацията BCD е различна от двоичното представяне на дадено число. Например, двоичният код 1001 0010 0101 съответства на десетичното число 2341, а не на 925.

Ако P=Q l (l е положително цяло число), представянето на което и да е число в смесена бройна система идентично съвпада с образа на това число в бройна система с основа Q. Примери за такава смесена бройна система са двоични- осмична и двоично-шестнадесетична.

Например,

A2 16 = 1010 0010 2 = 1010 0010 2-16

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ОТРИЦАТЕЛНИ ЧИСЛА ВЪВ ФОРМАТ С ФИКСИРАНА ТОЧКА (ТОЧКИ)

За да опростят аритметичните операции, компютрите използват специални двоични кодове за представяне на отрицателни числа: реципрочни и допълващи. С помощта на тези кодове е опростено да се определи знакът на резултата от операция по време на алгебрично събиране. Операцията на изваждане (или алгебрично събиране) се свежда до аритметично събиране на операндите, което улеснява разработването на признаци на препълване на битовата мрежа. В резултат на това компютърните устройства, които извършват аритметични операции, са опростени.

Известно е, че един от начините за извършване на операция за изваждане е да се замени знакът на субтрахенда с противоположния му знак и да се добави към умаляваното:

A - B = A + (- B)

Това заменя операцията на аритметичното изваждане с операцията на алгебричното събиране, което може да се извърши с помощта на двоични суматори.

За машинно представяне на отрицателни числа се използват кодове директен, допълнителен, обратен. Опростена дефиниция на тези кодове може да бъде дадена по следния начин. Ако числото А в обикновения двоичен код е директендвоичен код, изобразен като

[A] pr = 0.an an-1 an-2.....a1 a0,

тогава числото -A в същия код е представено като

[-A]pr = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

и в обратен(обратен) код това число ще изглежда така:

[-A]rev = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

ai = 1, ако ai = 0,

ai = 0, ако ai = 1,

а i - цифра аз- тази цифра на двоично число. Следователно, когато се преминава от директен код към обратен код, всички цифри от битовете на числото на Матис се обръщат.

Тогава числото -A в допълнителенкодът е представен като

[-A]добавяне = [-A]rev + 1

По този начин, за да получите допълнителния код на отрицателните числа, първо трябва да обърнете цифровата част на оригиналното число, което води до неговия обратен код, и след това да добавите единица към най-малката цифра на цифровата част на числото.

Допълнителният код на определено число се получава чрез замяната му с ново число, допълващи седо число, равно на теглото на цифрата, следваща най-значимата цифра от битовата мрежа, използвана за представяне на мантисата на числото във формат с фиксирана запетая. Следователно такъв цифров код се нарича допълнителен.

Нека си представим, че имаме само две цифри за представяне на числа в десетичната бройна система. Тогава максималното число, което може да бъде изобразено, ще бъде 99, а теглото на третата несъществуваща най-висока цифра ще бъде 10 2, т.е. 100. В този случай за числото 20 допълнителното число ще бъде 80, което допълва 20 към 100 (100 - 20 = 80). Следователно, по дефиниция, изваждане

може да се замени с добавяне:

Тук най-високата единица излиза извън разпределената битова мрежа, в която остава само числото 30, т.е. Резултатът от изваждането на числото 20 от 50.

Сега нека разгледаме подобен пример за числа, представени в 4-битов двоичен код. Нека намерим допълнителното число за 0010 2 = 210. Трябва да извадим 0010 от 0000, получаваме 1110, което е допълнителният код 2. Цифрата, показана в квадратни скоби, всъщност не съществува. Но тъй като имаме 4-битова решетка, по същество е невъзможно да се извърши такова изваждане и още повече се опитваме да се отървем от изваждането. Следователно допълнителният цифров код се получава по описания по-рано начин, т.е. първо получават обратния код на числото и след това добавят към него 1. След като направихме всичко това с нашето число (2), не е трудно да видим, че ще се получи подобен отговор.

Нека подчертаем това Допълването на две и кодовете на допълнение на две се използват само за представяне на отрицателни двоични числа във форма с фиксирана запетая. Положителните числа в тези кодове не променят образа си и се представят както в директния код.

Така цифровите цифри на отрицателно число в директен кодостават непроменени, а в знаковата част се изписва едно.

Нека да разгледаме прости примери.

Седем в директен код е представен, както следва:

pr = 0,0001112

Число -7 в директен код:

[-7]pr = 1,0001112,

и в обратния код ще изглежда така

[-7]rev = 1.1110002,

тези. единиците се заменят с нули, а нулите с единици. Същото число в допълнение от две би било:

[-7]добавяне = 1,1110012.

Нека разгледаме отново как процедурата за изваждане, използвайки представянето на субтрахенда в допълнителен код на две, се свежда до процедурата за събиране. Извадете числото 7 от 10: 10 - 7 = 3. Ако и двата операнда са представени в директен код, тогава процедурата за изваждане се изпълнява, както следва:

-1.000111

И ако subtrahendable, т.е. -7, представен в кода на допълване на две, тогава процедурата за изваждане се свежда до процедурата за добавяне:

+ 1.111001

1 0.000011 = 310.

В днешно време компютрите обикновено използват код за допълване на две, за да представят отрицателни числа във формат с фиксирана точка.

Формата на представяне на числата в цифровите машини е набор от правила, които позволяват да се установи взаимно съответствие между записа на число и неговия количествен еквивалент.

Машинно (автоматично) изображение на числото е представяне на число в битовата мрежа на цифрова машина. Символът за машинно изображение на число, например A, ще бъде представен като [A].

Поради ограничената дължина на машинните думи наборът от числа, които могат да бъдат представени в машина, е краен. Сравненията между различните форми на представяне на числа в компютрите обикновено се правят въз основа на приблизителна оценка обхват и точност на представяне на числата.

В ежедневната практика най-разпространената форма за представяне на числа е като поредица от цифри, разделени със запетая на цели и дробни части. Числата, представени в тази форма, се наричат числа с естествена запетая или числа в естествен вид. В естествена форма числото се записва в естествената си форма, например 12560 е цяло число, 0,003572 е правилна дроб, 4,89760 е неправилна дроб.

При представяне на числа в тази форма е необходимо всяко число да посочи позицията на своята запетая в битовата мрежа, разпределена за представяне на числото в машината, което изисква допълнителни хардуерни разходи в доста голяма сума. Следователно две други форми на представяне са широко разпространени в компютрите: с фиксирана и плаваща запетая (точка).

Няма нужда да се посочва позицията на запетаята, ако мястото на запетаята в битовата мрежа на машината е фиксирано предварително веднъж завинаги. Тази форма на представяне на числа се нарича представяне с фиксирана запетая (точка).

Тъй като числата могат да бъдат положителни и отрицателни, форматът (битовата мрежа) на машинното изображение е разделен на емблематична частИ числово поле. Числовото поле съдържа изображението на самото число, което условно ще наричаме мантисачисла. За кодиране на знака на число се използва най-значимата цифра от битовата мрежа, запазена за изображението на двоичното число, а останалите цифри се разпределят за мантисата на числото. Позицията на запетаята в битовата мрежа е строго фиксирана, обикновено или вдясно от най-ниската цифра на мантисата, или вляво от най-високата. В първия случай числото се представя като цяло число, във втория - като правилна дроб. В наши дни по-голямата част от компютрите представят цели числа във формат с фиксирана точка.

Знаковата част съдържа информация за знака на числото. Прието е, че знакът положително число "+" представено от символа 0, и знакът е отрицателно число "-" представено от символа 1.

Например, в двоичен код, използвайки 6-битова мрежа, числото 7 във форма с фиксирана запетая може да бъде представено като:

където цифрата вляво от точката е знакът на числото, а петте цифри вдясно от точката са мантисата на числото в директен код. Тук се има предвид това запетая е фиксирана отдясно на най-малката цифра, а точката в изображението на числото в този случай просто разделя знаковия бит от мантисата на числото.

В бъдеще този тип представяне на число в машинна форма често ще се използва в примери. Можете да използвате друга форма за представяне на число в машинна форма:

където знаковият бит е разделен с квадратни скоби.

Броят на цифрите в битовата мрежа, разпределен за представяне на мантисата на число, определя диапазона и точността на представянето на число с фиксирана запетая. Максималното двоично число по абсолютна стойност се представя от единици във всички цифри, с изключение на знака единица, т.е. за цяло число

|A|max = (2 (n -1) - 1),

Където н- обща дължина на битовата мрежа. В случай на 16-битова мрежа

|A| max = (2 (16-1) - 1) = 32767 10,

тези. Диапазонът на представяне на цяло число в този случай ще бъде от +3276710 до -3276710.

За случая, когато запетаята е фиксирана вдясно от младшата цифра на мантисата, т.е. за цели числа, числа, чийто модул е по-голям от

(2(n-1) - 1) и по-малко от едно не са представени във форма с фиксирана точка. Числа, чиято абсолютна стойност е по-малка от една от най-малко значимите цифри на битовата мрежа, в този случай се наричат машинна нула. Отрицателната нула е забранена.

В някои случаи, когато е възможно да се работи само с модули от числа, цялата битова мрежа, включително най-значимият бит, се разпределя за представяне на числото, което прави възможно разширяването на обхвата на представяне на числата.

Двоична десетична бройна система

Двоично-десетичната система не е икономична от гледна точка на изпълнение на техническата конструкция на машината (необходимото оборудване се увеличава с около 20%), но е много удобна при изготвяне на задачи и програмиране. В двоичната десетична бройна система основата на бройната система е числото 10, но всяка десетична цифра (0, 1, ..., 9) е представена, тоест кодирана, с двоични цифри. Четири двоични цифри се използват за представяне на една десетична цифра. Тук, разбира се, има излишък, тъй като 4 двоични цифри (или двоична тетрада) могат да представляват не 10, а 16 числа, но това вече е производствен разход в името на удобството на програмирането. Съществуват редица двоично кодирани десетични системи за представяне на числа, характеризиращи се с това, че на определени комбинации от нули и единици в рамките на една тетрада се приписват определени стойности на десетични цифри.
Публикувано на реф.рф
В най-често използваната естествена двоично кодирана десетична бройна система, теглата на двоичните цифри в рамките на една тетрада са естествени, т.е. 8, 4, 2, 1 (Таблица 6).

Таблица 6

Двоичен десетичен запис

Например десетичното число 5673 в нотация BCD е 01010110011100011.

Преобразуването на числа от една бройна система в друга е важна част от машинната аритметика. Нека разгледаме основните правила на превода.

1. За да преобразувате двоично число в десетично число, е необходимо да напишете ᴇᴦο като полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на 2, и да изчислите според правилата на десетичната аритметика˸

При превод е удобно да използвате таблицата на степени на две˸

Таблица 7.

Силите на числото 2

n (степен)

Пример.Преобразувайте числото в десетичната бройна система.

2. За да преобразувате осмично число в десетично число, е необходимо да напишете ᴇᴦο като полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на числото 8, и да изчислите според правилата на десетичната аритметика˸

При превод е удобно да използвате таблицата на степените на осем˸

Таблица 8.

Силите на числото 8

n (степен)
8 п

Двоична десетична бройна система – понятие и видове. Класификация и особености на категория "Двоично-десетична бройна система" 2015, 2017-2018.

Тази система има основа S = 10, но всяка цифра е представена от четири-битово двоично число, наречено тетрада. Обикновено тази бройна система се използва в компютрите при въвеждане и извеждане на информация. В някои видове компютри обаче ALU съдържа специални десетични аритметични блокове, които извършват операции с числа в двоичен десетичен код. Това позволява в някои случаи значително да се увеличи производителността на компютъра.

Например в автоматизирана система за обработка на данни има много числа, но малко изчисления. В този случай операциите, свързани с прехвърлянето на номера от една система към друга, значително ще надвишат времето, необходимо за извършване на операции по обработка на информация.

Преобразуването на числа от десетичната система в BCD е много просто и се състои в замяна на всяка цифра с двоична тетрада.

Пример.

Запишете десетичното число 572,38 (10) в двоичната десетична бройна система.

Обратният превод също е прост: трябва да разделите двоично-десетичното число на тетради от точката отляво (за цялата част) и отдясно (за дробната част), добавете необходимия брой незначителни нули и след това запишете всяка тетрада като десетична цифра.

Пример.

Запишете двоичното десетично число 10010.010101 (2-10) в десетичната бройна система.

Преобразуването на числа от BCD в двоична система се извършва съгласно общите правила, описани по-горе.

2.3. Осмична бройна система

В осмичната бройна система се използват само осем цифри, т.е. тази бройна система има основа S = 8. Като цяло едно осмично число изглежда така:

Където
.

Осмичната бройна система не е необходима на компютъра, за разлика от двоичната система. Той е удобен като компактна форма за запис на числа и се използва от програмисти (например в програмни текстове за по-сбит и удобен начин за писане на двоични кодове на команди, адреси и операнди). В осмичната бройна система теглото на всяка цифра е кратно на осем или една осма, така че осембитовото двоично число ви позволява да изразите десетични стойности в диапазона 0-255, а осмичното число покрива диапазона 0 -99999999 (за двоичен код това е 27 цифри).

Тъй като 8=2 3, всеки осмичен знак може да бъде представен като трибитово двоично число. За да преобразувате число от двоичната бройна система в осмичната бройна система, трябва да разделите това число отляво (за целочислената част) и отдясно (за дробната част) на точката (запетая) на групи от три цифри (триади) и представят всяка група с число в осмичната бройна система. Крайните непълни триади се допълват с необходимия брой незначещи нули.

Пример.

Запишете двоичното число 10101011111101 (2) в осмичната бройна система.

Пример.

Запишете двоичното число 1011.0101 (2) в осмичната бройна система.

Преобразуването от осмично в двоично число се извършва чрез представяне на всяка цифра от осмично число като трицифрено двоично число (триада).

2.4. Шестнадесетична бройна система

Тази бройна система има основа S = 16. Най-общо шестнадесетичното число изглежда така:

Където
.

Шестнадесетичната бройна система дава възможност многобитовите двоични числа да се записват още по-кратко и освен това да се съкрати записът на 4-битовото двоично число, т.е. хапка, тъй като 16=2 4 . Шестнадесетичната система се използва и в програмните текстове за по-сбито и удобно записване на двоични числа.

За да преобразувате число от двоичната бройна система в шестнадесетична, трябва да разделите това число отляво и отдясно на точката на тетради и да представите всяка тетрада с цифра в шестнадесетичната бройна система.

Пример.

Запишете двоичното число 10101011111101 (2) в шестнадесетичен формат.

Пример.

Напишете двоичното число 11101,01111 (2) в шестнадесетичен формат.

За да преобразувате число от шестнадесетичната бройна система в двоичната бройна система, е необходимо, напротив, да замените всяка цифра от това число с тетрада.

В заключение трябва да се отбележи, че прехвърлянето на произволни числа от една бройна система в друга може да се извърши съгласно общите правила, описани в раздела „Двоична бройна система“. На практика обаче преобразуването на числата от десетичната система в разглежданите бройни системи и обратно се извършва чрез двоичната бройна система.

Освен това не забравяйте, че шестнадесетичните и осмичните числа са само начин за представяне на големите двоични числа, с които процесорът действително работи. В този случай шестнадесетичната система е за предпочитане, тъй като в съвременните компютри процесорите манипулират думи с дължина 4, 8, 16, 32 или 64 бита, т.е. дължината на думите е кратна на 4. В осмичната бройна система се предпочитат думи, кратни на 3 бита, например думи с дължина 12 бита (както в PDP-8 от DEC).

В курсовете по компютърни науки, независимо от училището или университета, се отделя специално място на такава концепция като числови системи. По правило за него се отделят няколко урока или практически упражнения. Основната цел е не само да се усвоят основните понятия по темата, да се изучат видовете бройни системи, но и да се запознаят с двоичната, осмичната и шестнадесетичната аритметика.

Какво означава?

Нека започнем с дефиниране на основната концепция. Както се отбелязва в учебника "Информатика", числовата система е запис на числа, който използва специална азбука или определен набор от числа.

В зависимост от това дали стойността на цифрата се променя в зависимост от позицията й в числото, има две: позиционна и непозиционна бройни системи.

В позиционните системи значението на цифрата се променя с нейната позиция в числото. Така че, ако вземем числото 234, тогава числото 4 в него означава единици, но ако вземем предвид числото 243, то вече ще означава десетки, а не единици.

В непозиционните системи значението на цифрата е статично, независимо от нейната позиция в числото. Най-яркият пример е системата стик, където всяка единица е обозначена с тире. Няма значение къде поставяте пръчката, стойността на числото ще се промени само с единица.

Непозиционни системи

Непозиционните бройни системи включват:

Единична система, която се смята за една от първите. Използваше пръчици вместо числа. Колкото повече бяха, толкова по-голяма беше стойността на числото. Можете да намерите пример за числа, написани по този начин във филми, където говорим за хора, изгубени в морето, затворници, които отбелязват всеки ден с помощта на резки върху камък или дърво.
римски, в който вместо цифри са използвани латински букви. Използвайки ги, можете да напишете произволно число. Освен това стойността му се определя чрез сумата и разликата на цифрите, съставляващи числото. Ако имаше по-малко число отляво на цифрата, тогава лявата цифра беше извадена от дясната и ако цифрата отдясно беше по-малка или равна на цифрата отляво, тогава техните стойности бяха сумирани. Например числото 11 беше написано като XI, а 9 - IX.
Азбучен, в който числата са обозначени с помощта на азбуката на определен език. Една от тях се счита за славянската система, в която редица букви имат не само фонетично, но и числово значение.
в който са използвани само две нотации за писане - клинове и стрелки.
Египет също използва специални символи за представяне на числа. При писане на число всеки символ може да се използва не повече от девет пъти.

Позиционни системи

В компютърните науки се обръща голямо внимание на позиционните бройни системи. Те включват следното:

двоичен;
осмичен;
десетичен;
шестнадесетичен;
шестдесетичен, използван при отчитане на времето (например има 60 секунди в минута, 60 минути в час).

Всеки от тях има своя азбука за писане, правила за превод и извършване на аритметични действия.

Десетична система

Тази система ни е най-позната. Той използва числата от 0 до 9 за писане на числа. Наричат ги още арабски. В зависимост от позицията на цифрата в числото, тя може да представлява различни цифри - единици, десетици, стотици, хиляди или милиони. Използваме го навсякъде, знаем основните правила, по които се извършват аритметични операции с числа.

Двоична система

Една от основните бройни системи в компютърните науки е двоичната. Неговата простота позволява на компютъра да извършва тромави изчисления няколко пъти по-бързо, отколкото в десетичната система.

За записване на числа се използват само две цифри - 0 и 1. Освен това, в зависимост от позицията на 0 или 1 в числото, неговата стойност ще се променя.

Първоначално с помощта на компютри те получаваха цялата необходима информация. В този случай едно означава наличието на сигнал, предаван с помощта на напрежение, а нула означава неговото отсъствие.

Осмична система

Друга добре позната компютърна номерационна система, която използва числа от 0 до 7. Използва се главно в онези области на знанието, които са свързани с цифрови устройства. Но напоследък тя се използва много по-рядко, тъй като е заменена от шестнадесетичната бройна система.

Двоична десетична система

Представянето на големи числа в двоична система е доста сложен процес за хората. За да го опрости, той е разработен Обикновено се използва в електронни часовници и калкулатори. В тази система не цялото число се преобразува от десетичната система в двоична, но всяка цифра се преобразува в съответния набор от нули и единици в двоичната система. Преобразуването от двоичен в десетичен се извършва по подобен начин. Всяка цифра, представена като четирицифрен набор от нули и единици, се преобразува в цифра от десетичната бройна система. По принцип няма нищо сложно.

За работа с числа в този случай ще бъде полезна таблица с числови системи, която ще посочи съответствието между числата и техния двоичен код.

Шестнадесетична система

Напоследък шестнадесетичната бройна система става все по-популярна в програмирането и компютърните науки. Той използва не само цифри от 0 до 9, но и редица латински букви - A, B, C, D, E, F.

В същото време всяка от буквите има собствено значение, така че A=10, B=11, C=12 и т.н. Всяко число е представено като набор от четири знака: 001F.

Преобразуване на числа: от десетични към двоични

Преводът в числови системи се извършва по определени правила. Най-често срещаното преобразуване е от двоична в десетична система и обратно.

За да преобразувате число от десетичната система в двоичната система, е необходимо последователно да го разделите на основата на бройната система, тоест числото две. В този случай трябва да се запише остатъкът от всяко деление. Това ще се случи, докато остатъкът от делението стане по-малък или равен на едно. Най-добре е изчисленията да се извършват в колона. След това получените остатъци от деление се записват на реда в обратен ред.

Например, нека преобразуваме числото 9 в двоично:

Разделяме 9, тъй като числото не се дели на цяло, тогава вземаме числото 8, остатъкът ще бъде 9 - 1 = 1.

След като разделим 8 на 2, получаваме 4. Разделяме го отново, тъй като числото се дели на цяло число - получаваме остатък 4 - 4 = 0.

Извършваме същата операция с 2. Остатъкът е 0.

В резултат на разделянето получаваме 1.

Независимо от крайната бройна система, преобразуването на числата от десетична във всяка друга ще се извърши съгласно принципа на разделяне на числото на основата на позиционната система.

Преобразуване на числа: от двоични към десетични

Доста лесно е да преобразувате числа в десетична бройна система от двоична. За да направите това, достатъчно е да знаете правилата за повишаване на числата до правомощия. В този случай на степен две.

Алгоритъмът за превод е следният: всяка цифра от кода на двоично число трябва да се умножи по две, като първите две ще бъдат на степен m-1, втората - m-2 и така нататък, където m е брой цифри в кода. След това добавете резултатите от събирането, за да получите цяло число.

За ученици този алгоритъм може да се обясни по-просто:

Като начало вземаме и записваме всяка цифра, умножена по две, след което поставяме степента на две от края, започвайки от нула. След това сумираме полученото число.

Като пример ще анализираме полученото по-рано число 1001, като го преобразуваме в десетичната система и в същото време ще проверим правилността на нашите изчисления.

Ще изглежда така:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Когато изучавате тази тема, е удобно да използвате таблица със степен на две. Това значително ще намали времето, необходимо за извършване на изчисления.

Други опции за превод

В някои случаи преводът може да се извърши между двоични и осмични бройни системи, двоични и шестнадесетични. В този случай можете да използвате специални таблици или да стартирате приложение за калкулатор на вашия компютър, като изберете опцията „Програмист“ в раздела Изглед.

Аритметични операции

Независимо от формата, в която е представено числото, то може да се използва за извършване на изчисления, които са ни познати. Това може да бъде деление и умножение, изваждане и събиране в бройната система, която сте избрали. Разбира се, всеки от тях има свои собствени правила.

Така че за двоичната система са разработени собствени таблици за всяка от операциите. Същите таблици се използват и в други позиционни системи.

Няма нужда да ги запаметявате - просто ги разпечатайте и ги дръжте под ръка. Можете също да използвате калкулатор на вашия компютър.

Една от най-важните теми в компютърните науки е бройната система. Познаването на тази тема, разбирането на алгоритмите за преобразуване на числа от една система в друга е ключът към факта, че ще можете да разберете по-сложни теми, като алгоритмизация и програмиране, и ще можете сами да напишете първата си програма.