Детерминанта на матрица, когато е равна на нула. Методи за изчисляване на детерминанти

детерминанти н GO поръчка

1. Метод на редукция до триъгълна форма.

а) Изчислете детерминантата: .

Изваждайки първия ред от всички останали, получаваме детерминанта, която има триъгълна форма и следователно е равна на произведението на диагоналните елементи:

. В крайна сметка Dn = (–1)н –1 .

б) Изчислете детерминантата: .

Изваждаме първия ред от всички останали и след това от колоните на определителя изваждаме: от първия А 1 – х; от втория А 2 – х; …..; от н th и н – х. Получаваме:

д = (а 1 – х) (а 2 -х)… (a n–х) .

Нека запишем първия елемент от първата колона във формата: = 1 + и добавим всички колони на получения детерминант към първата колона. Получаваме триъгълна детерминанта, която е равна на произведението на диагоналните елементи. Следователно:

д = (а 1 – х) (а 2 – х)…(a n – х)х + + + … + .

2. Метод за идентифициране на линейни фактори.

а) Изчислете детерминантата.

1. Добавяйки останалите три към първата колона на детерминантата, намираме, че в първата колона има общ множител, който е равен на х + при + z. Следователно детерминантата се разделя на х + при + z.

2. По същия начин, като добавим втората към първата колона и извадим третата и четвъртата колона от нея, намираме, че детерминантата се дели на x – y – z.

3. Ако първата колона се добави към третата и се извадят втората и четвъртата, получаваме, че детерминантата се дели на x – y + z.

4. Ако добавим четвъртата към първата колона и извадим втората и третата колона, откриваме, че детерминантата има фактор x – y + z. Така:

Ясно е, че детерминантата е полином от степен 4 in х, от ги от z. Отдясно също има полином от същата степен. Ето защо V= конст. В определителя х 4 се включва в термина:

а 12 а 21 а 34 а 43 = (–1) 2 × х× х× х× х = х 4 .

От дясната страна е старшият термин х: Vx 4, т.е. V= 1. Получаваме резултата:

= (х + г + z)(х – г – z)(х – г + z)(х + г – z) = х 4 + г 4 + z 4 – 2х 2 г 2 – 2х 2 z 2 – 2при 2 z 2 .

б) Изчислете детерминантата н-та поръчка: .

Тази детерминанта се нарича детерминанта на Вандермонд. Разглеждайки го като полином ( н–1) степен роднина x nще видим, че се превръща в 0, когато x n = х 1, x n= х 2, … x n = x n- 1 . Тогава Dn = a n – 1 (x n – х 1)(x n – х 2) … (x n– x n–1), и a n –1 = = Dn-1 . Повтаряйки тази процедура, получаваме: Dn = (х 2 – х 1)(х 3 – х 2)(х 3 – х 1)(х 4 – х 3)(х 4 – х 2)(х 4 – –х 1)… = .

3. Метод за представяне на детерминанта като сбор от детерминанти.

Изчислете детерминантата: .

Забелязвайки, че елементите на първата колона са представени като суми от две числа, нека разширим детерминантата в сумата от две детерминанти:

Сега ще разложим всяка от получените детерминанти на сумата от две детерминанти, като се възползваме от факта, че елементите на вторите колони също са представени под формата на суми и т.н. След като направим това, получаваме ( н> 2), че низовете на получените детерминанти ще бъдат както следва: a i, a i, … , a iили b 1, b 2, … , b n .Редовете от 1-ви тип са пропорционални, редовете от 2-ри тип са равни и следователно всички членове са равни на нула. Следователно: Dn = 0 ("н > 2).

За детерминанти от същия тип, но от първи и втори ред, получаваме:

д 1 = | а 1 + б 1 | = а 1 + б 1 ; д 2 = =

= а 1 b 2 –а 2 b 2 + б 1 а 2 – а 1 b 1 = (а 1 – а 2)b 2 + (а 2 + а 1)b 1 = (а 1 – а 2)(b 2 – b 1).

Метод на рекурентните (възвратни) отношения.

Изчислителна детерминанта н-та поръчка: .

Разширявайки детерминантата в елементите на първия ред, получаваме рекурентната връзка: Dn= .

След като разширихме детерминантата от дясната страна на релацията по първата колона, записваме нова рекурентна релация: Dn= 5Dn –1 – 6Dn –2 .

Представяне на тази връзка като: Dn– 2Dn –1 = 3(Dn –1 – 2Dn–2) и въвеждане на обозначението:

T n= Dn– 2Dn–1 получаваме: T n= 3T n –1 – 3 2 T n–2 = … =3 n-2 T 2 = 3n.

По същия начин, запис на рекурентната връзка във формата: Dn– 3Dn –1 = 2(Dn –1 – 3Dn–2) и означаващи: Вн= Dn– 3Dn–1 получаваме Вн= 2V n = 1 = 2 2 Вн –2 =…= 2н .

1. Общо правило на знаците. За по-нататъшни цели ще бъде полезно да разберете с какъв знак членът е включен в определителя, където са две пермутации на числа.

За да разберете, трябва да подредите факторите по реда на редовете. Обърнете внимание, че ако разменим два фактора, тогава се получава транспониране както в първия, така и във втория индекс, така че броят на инверсиите в първите индекси и броят на инверсиите във вторите индекси се променят на нечетни числа и следователно тяхната сума се променя на четно число. Следователно, той не се променя, когато местата на два фактора се променят и следователно, когато редът на факторите се променя, тъй като всяка промяна в реда е еквивалентна на няколко промени по двойки на местата. От това следва, че знакът, с който членът е включен в определителя, е . Наистина, нека е последователността от номера на колони след привеждане на факторите в ред, така че Тогава

и това е коефициентът ±1, с който членът, който ни интересува, се включва в детерминантата.

2. Детерминантата на транспонираната матрица е равна на оригиналната. С други думи, детерминантата не се променя, когато матрицата се транспонира.

Наистина, вземането на продуктите на елементи, по един от всеки ред и един от всяка колона на оригиналната матрица, е същото като да направите това по отношение на транспонирана матрица. Освен това, номерата на редовете за оригинала са номерата на колоните за транспонирания, а номерата на колоните на оригинала са номерата на редовете на транспонирания. Следователно всеки член е включен в детерминантата на оригиналната матрица и детерминантата на транспонираната матрица със същия коефициент

Установените две свойства показват, че в детерминантата редовете и колоните са напълно равни. Следователно всички допълнителни свойства, зададени за редове, остават валидни за колони.

Следващите две свойства означават, че детерминантата е линейна по отношение на елементите на който и да е от нейните редове.

3. Ако елементите на ред са представени като сбор от два члена, то детерминантата е равна на сбора от два детерминанта, в първия от които елементите на маркираната линия са равни на първите членове, във втория - към втория.

Това свойство става по-прозрачно, ако преминем от словесната формулировка към формулата:

Доказателство.

Ясно е, че първата сума е равна на , а втората е равна на

Доказаното свойство естествено се обобщава за случая, когато елементите на низ са представени като сума от няколко члена.

4. Ако всички елементи от който и да е ред на детерминантата имат общ множител, тогава този общ множител може да бъде изваден от знака на детерминантата.

Наистина ли,

5. Детерминантата с два еднакви реда е равна на нула.

6. Ако два реда в една матрица се разменят, нейният детерминант ще промени знака на противоположния.

Тези две свойства са тясно свързани и играят особено важна роля в теорията на детерминантите.

Нека първо докажем 5-то свойство, а след това 6-то.

Нека детерминантът е даден с два еднакви реда:

Нека разделим сумата на две части, съответстващи на четни и нечетни пермутации:

Нека си припомним, че всички нечетни пермутации се получават, ако направим една и съща транспозиция във всички четни пермутации.

Но . Следователно, за всеки термин в първата сума има равен член във втория, така че , Което е това, което трябваше да се докаже.

Нека сега се обърнем към доказателството на свойството и нека обозначим пермутираните редове просто като I и II. Трябва да сравним детерминантите

За тази цел разгледайте спомагателна детерминанта, която очевидно е равна на нула:

Използвахме свойство 3 два пъти.

Първият и четвъртият член са равни на нула. Следователно сборът от второто и третото е равен на нула, което трябваше да се докаже.

Нека разгледаме друг начин за доказване на свойства 5 и 6. Да започнем с шестото. Позволявам

Нека вземем някакъв член от втория детерминант, записан в реда на редовете му:

Предлага се с множител. Но така влиза в А с множител. Ясно е, че така всеки член от A влиза в A с обратен знак, т.е.

Сега, за да докажете свойство 5, разгледайте детерминанта с два еднакви реда и разменете тези редове. От една страна, ще промени знака, но в същото време няма да се промени. Следователно, .

Това разсъждение обаче е приложимо само ако делението на 2 е възможно в пръстена, така че следва

В областта на остатъците по модул 2 не бихме могли да направим такова заключение. Това е лек недостатък на второто доказателство в сравнение с първото.

7. Детерминанта с два пропорционални реда е равна на нула.

Действително, ако съгласно свойство 4 извадим коефициента на пропорционалност от знака на детерминантата, то остава детерминанта с равни редове, която е равна на нула.

8. Детерминантата не се променя, ако към някоя от нейните линии се добавят числа, пропорционални на друга права.

Наистина ли,

Свойство 8 е особено важно, защото предоставя ключа за изчисляване на детерминанти.

Нека да разгледаме един малък пример.

Да предположим, че трябва да изчислим детерминантата

Нека добавим първия ред, умножен по -1, към втория ред, след това да добавим първия ред, умножен по -1, към третия ред и след това да добавим първия ред, умножен по -1, към четвъртия ред. Получаваме равен детерминант

Сега към четвъртия ред добавете третия, умножен по -1, а към четвъртия - втория, умножен по -1.

Получаваме равен детерминант

Сега се оказва, че от 24 члена на детерминантата само един е различен от нула: . Пермутацията (1, 3, 2, 4) е нечетна, следователно детерминантата е -16.

Тук ще очертаем онези свойства, които обикновено се използват за изчисляване на детерминанти в стандартен курс по висша математика. Това е спомагателна тема, към която ще се позоваваме от други раздели, ако е необходимо.

И така, нека определена квадратна матрица $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) бъде дадено & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( масив) \right)$. Всяка квадратна матрица има характеристика, наречена детерминанта (или детерминанта). Тук няма да навлизам в същността на това понятие. Ако се нуждае от пояснение, моля, пишете за това във форума и аз ще засегна този въпрос по-подробно.

Детерминантата на матрицата $A$ се означава като $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Определящ редравен на броя на редовете (колоните) в него.

Стойността на детерминантата няма да се промени, ако нейните редове се заменят със съответните колони, т.е. $\Делта A=\Делта A^T$.
Покажи скрий

Нека заменим редовете в него с колони според принципа: „имаше първи ред - имаше първа колона“, „имаше втори ред - имаше втора колона“:

Нека изчислим получената детерминанта: $\left| \begin(масив) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(масив) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Както можете да видите, стойността на детерминантата не се е променила поради замяната.
Ако размените два реда (колони) на детерминантата, знакът на детерминантата ще се промени на противоположния.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(масив) \right|$. Нека намерим стойността му, използвайки формула № 1 от темата за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:
$$\ляво| \begin(масив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(масив) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Сега нека разменим първия и втория ред. Получаваме детерминантата $\left| \begin(масив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(масив) \right|$. Нека изчислим получената детерминанта: $\left| \begin(масив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(масив) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. И така, стойността на първоначалната детерминанта беше (-37), а стойността на детерминантата с променения ред на реда е $-(-37)=37$. Знакът на определителя се е променил на противоположния.
Детерминанта, за която всички елементи на ред (колона) са равни на нула, е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Тъй като в детерминанта $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ всички елементи от третата колона са нула, тогава детерминантата е нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(масив) \right|=0$.
Детерминантата, при която всички елементи от даден ред (колона) са равни на съответните елементи от друг ред (колона), е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Тъй като в детерминанта $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(масив) \right|$ всички елементи от първия ред са равни на съответния елементи от втория ред, то детерминантата е равна на нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.
Ако в един детерминант всички елементи от един ред (колона) са пропорционални на съответните елементи от друг ред (колона), тогава такъв детерминант е равен на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Тъй като в детерминанта $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Вторият и третият ред са пропорционални, т.е. $r_3=-3\cdot(r_2)$, то детерминантата е равна на нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.
Ако всички елементи на ред (колона) имат общ фактор, тогава този фактор може да бъде изваден от детерминантния знак.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|$. Забележете, че всички елементи във втория ред се делят на 3:
$$\ляво| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|=\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(масив) \right|$$
Числото 3 е общият множител на всички елементи от втория ред. Нека извадим трите от определящия знак:
$$\ляво| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|=\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(масив) \right|= 3\cdot \left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(масив) \right| $$
Детерминантата няма да се промени, ако към всички елементи на даден ред (колона) добавим съответните елементи от друг ред (колона), умножени по произволно число.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|$. Нека добавим към елементите от втория ред съответните елементи от третия ред, умножени по 5. Това действие се записва по следния начин: $r_2+5\cdot(r_3)$. Вторият ред ще бъде променен, останалите редове ще останат непроменени.
$$\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|. $$
Ако определен ред (колона) в детерминанта е линейна комбинация от други редове (колони), то детерминантата е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Нека незабавно обясня какво означава фразата „линейна комбинация“. Нека имаме s реда (или колони): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Изразяване
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
където $k_i\in R$ се нарича линейна комбинация от редове (колони) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Например, разгледайте следната детерминанта:
$$\ляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(масив) \right| $$
В тази детерминанта четвъртият ред може да бъде изразен като линейна комбинация от първите три реда:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Следователно въпросната детерминанта е равна на нула.
Ако всеки елемент от определен k-ти ред (k-та колона) на детерминанта е равен на сбора от два члена, тогава такъв детерминант е равен на сбора от детерминанти, първият от които има първите членове в k-ти ред (k-та колона), а втората детерминанта k-ти ред (k-та колона) съдържа вторите членове. Другите елементи на тези детерминанти са еднакви.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Разгледайте детерминантата $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|$. Нека запишем елементите на втората колона така: $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(масив) \right|$. Тогава такава детерминанта е равна на сумата от две детерминанти:
$$\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(масив) \right|+ \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(масив) \right| $$
Детерминантата на произведението на две квадратни матрици от един и същи ред е равна на произведението на детерминантите на тези матрици, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. От това правило можем да получим следната формула: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Ако матрицата $A$ е неособена (т.е. нейният детерминант не е равен на нула), тогава $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Формули за изчисляване на детерминанти

За детерминанти от втори и трети ред са правилни следните формули:

\begin(equation) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(подравнено)\end(equation)

Примери за използване на формули (1) и (2) са в темата "Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред. Примери за изчисляване на детерминанти".

Детерминантата на матрицата $A_(n\times n)$ може да бъде разширена в i-тия ред, като се използва следната формула:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \край (уравнение)

Съществува аналог на тази формула и за колони. Формулата за разширяване на детерминантата в j-та колона е следната:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(уравнение)

Правилата, изразени с формули (3) и (4), са подробно илюстрирани с примери и обяснени в темата Редуциране на реда на детерминантата. Разлагане на детерминантата в ред (колона).

Нека посочим друга формула за изчисляване на детерминантите на горни триъгълни и долни триъгълни матрици (за обяснение на тези термини вижте темата „Матрици. Видове матрици. Основни термини“). Детерминантата на такава матрица е равна на произведението на елементите на главния диагонал. Примери:

\begin(aligned) &\left| \begin(масив) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(масив) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(масив) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(масив) \ дясно|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \край (подравнено)

Отговор: СВОЙСТВО 1. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако всички негови редове се заменят с колони и всеки ред се замени с колона със същия номер, т.е.

СВОЙСТВО 2. Пренареждането на две колони или два реда от детерминанта е еквивалентно на умножаването й по -1. Например,

.Свойство 3. Ако детерминантата има две еднакви колони или два еднакви реда, тогава тя е равна на 0. СВОЙСТВО 4. Умножаването на всички елементи от една колона или един ред на детерминантата по произволно число k е еквивалентно на умножаването на детерминантата по това номер k. Например,

СВОЙСТВО 5. Ако всички елементи на дадена колона или някакъв ред са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула. Това свойство е частен случай на предходното (при k=0) СВОЙСТВО 6. Ако съответните елементи на две колони или два реда на детерминантата са пропорционални, то детерминантата е равна на нула СВОЙСТВО 7. Ако всеки елемент на n-та колона или n-ти ред на детерминантата е сумата от два члена, тогава детерминантата може да бъде представена като сума от две детерминанти, от които една в n-та колона или съответно в n-ти ред има първият от споменатите термини, а другият има втория; елементите, стоящи на останалите места, са еднакви за етапите на трите детерминанти. Например,

СВОЙСТВО 8. Ако към елементите на определена колона (или някакъв ред) добавим съответните елементи на друга колона (или друг ред), умножени по произволен общ множител, тогава стойността на детерминантата няма да се промени. Например,

Допълнителни свойства на детерминантите са свързани с концепцията за алгебрично допълнение и минор. Минорът на някакъв елемент е детерминанта, получена от даден чрез задраскване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира този елемент.Алгебричното допълнение на всеки елемент от детерминантата е равно на минора на този елемент, взет с неговия знак, ако сборът от числата на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира елементът е четно число, и с обратен знак, ако това число е нечетно.Алгебричното допълнение на елемент ще означаваме с главна буква със същото име и същия номер като буквата, която обозначава самия елемент.СВОЙСТВО 9. Детерминант

е равно на сумата от произведенията на елементите на всяка колона (или ред) от техните алгебрични допълнения.

Определящо. Това е полином, който комбинира елементите на квадратна матрица по такъв начин, че стойността му се запазва при транспониране и линейни комбинации от редове или колони.Тоест детерминантата характеризира съдържанието на матрицата. По-специално, ако една матрица има линейно зависими редове или колони, детерминантата е равна на нула. Детерминантата играе ключова роля при решаването на системи от линейни уравнения в общ вид; на негова основа се въвеждат основни понятия. В общия случай а матрица може да бъде дефинирана върху всеки комутативен пръстен, в този случай детерминантата ще бъде елемент от същия пръстен Детерминантата на матрица A се означава като: det(A), |A| или Δ(A).

5.сингулярна матрица. обратна матрица, нейните свойства, изчисление, теорема за съществуване.

Отговор: Квадратна матрица A се нарича изродена, специална (сингулярна) матрица, ако нейният детерминант (Δ) е равен на нула. В противен случай се казва, че матрица A е неособена.

Нека разгледаме проблема с дефинирането на обратната операция на умножението на матрицата.

Позволявам да бъде квадратна матрица от ред. Матрица, удовлетворяваща заедно с дадената матрица равенствата:

Нарича се реверс. Една матрица се нарича обратима, ако има обратна за нея, в противен случай тя е необратима.

От дефиницията следва, че ако обратната матрица съществува, тогава тя е квадратна от същия ред като . Въпреки това, не всяка квадратна матрица има обратна. Ако детерминантата на една матрица е нула, тогава няма обратна за нея. Всъщност, прилагайки теоремата за детерминантата на произведението на матриците за единичната матрица, получаваме противоречието

Тъй като детерминантата на матрицата на идентичността е равна на 1. Оказва се, че ненулевата детерминанта на квадратна матрица е единственото условие за съществуването на обратна матрица. Спомнете си, че квадратна матрица, чийто детерминант е равен на нула, се нарича сингулярна (единична), в противен случай тя се нарича неизродена (неособена).

Теорема 4.1 за съществуването и единствеността на обратната матрица. Квадратна матрица, чиято детерминанта е различна от нула, има обратна матрица и само една:

(4.1)

където е матрицата, транспонирана за матрица, съставена от алгебрични добавки на матрични елементи.

Матрицата се нарича свързана матрица по отношение на матрица.

Всъщност матрицата съществува при условието . Необходимо е да се покаже, че е обратно на , т.е. отговаря на две условия:

Нека докажем първото равенство. Съгласно параграф 4 от забележки 2.3, от свойствата на детерминантата следва, че . Ето защо

което трябваше да се покаже. Второто равенство се доказва по подобен начин. Следователно при условието матрицата има обратна

Ще докажем уникалността на обратната матрица от противно. Да предположим, че в допълнение към матрицата има друга обратна матрица такова, че . Умножавайки двете страни на това равенство отляво по матрицата, получаваме . Следователно това противоречи на предположението. Следователно обратната матрица е уникална.

Бележки 4.1

1. От определението следва, че матриците и са комутативни.

2. Обратната на неособена диагонална матрица също е диагонална:

3. Обратната на неособена долна (горна) триъгълна матрица е долна (горна) триъгълна.

4. Елементарните матрици имат обратни, които също са елементарни (виж параграф 1 от забележки 1.11).

Свойства на обратна матрица

Операцията за обръщане на матрицата има следните свойства:

Ако операциите, посочени в равенства 1-4, имат смисъл.

Нека докажем свойство 2: ако произведението на неособени квадратни матрици от същия ред има обратна матрица, тогава .

Наистина детерминантата на произведението на матриците не е равна на нула, тъй като

Следователно обратната матрица съществува и е единствена. Нека покажем по дефиниция, че матрицата е обратна на матрицата. Наистина ли:

Уникалността на обратната матрица предполага равенството . Второто свойство е доказано. Останалите свойства се доказват по подобен начин.

Бележки 4.2

1. За сложна матрица е валидно равенство, подобно на свойство 3:

Къде е операцията за конюгиране на матрицата.

2. Операцията за обръщане на матрицата ви позволява да определите степента на отрицателно цяло число на матрица. За неособена матрица и всяко естествено число дефинираме .

6.системи линейни уравнения. Коефициенти за неизвестни, свободни термини. Решаване на система от линейни уравнения. Съвместимост на система от линейни уравнения. Система от линейни еднородни уравнения и нейните характеристики.

Отговор: Система от линейни алгебрични уравнения, съдържаща m уравнения и n неизвестни, се нарича система от вида

където числата a ij се наричат системни коефициенти, числата b i се наричат свободни членове. Трябва да се намерят числата x n.

Удобно е да напишете такава система в компактна матрична форма

Тук A е матрицата на системните коефициенти, наречена основна матрица;

Вектор колона от неизвестни x j .

Вектор колона от свободни членове b i .

Продуктът на матриците A*X е дефиниран, тъй като има толкова колони в матрица A, колкото има редове в матрица X (n части).

Разширената матрица на система е матрицата А на системата, допълнена от колона от свободни членове

Решението на системата е n стойности на неизвестните x 1 =c 1, x 2 =c 2, ..., x n =c n, при заместването на които всички уравнения на системата се превръщат в истински равенства. Всяко решение на системата може да бъде написано като колонна матрица

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма никакво решение.

За последователна система се казва, че е детерминирана, ако има едно решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко нейно решение се нарича частно решение на системата. Съвкупността от всички частни решения се нарича общо решение.

Решаването на една система означава да разберете дали тя е съвместима или непоследователна. Ако системата е последователна, намерете нейното общо решение.

Две системи се наричат еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно.

Еквивалентни системи се получават по-специално чрез елементарни трансформации на системата, при условие че трансформациите се извършват само върху редовете на матрицата.

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички свободни членове са равни на нула:

Една хомогенна система винаги е последователна, тъй като x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.

4.2. Решаване на системи от линейни уравнения.

Теорема на Кронекер-Капели

Нека е дадена произволна система от n линейни уравнения с n неизвестни

Изчерпателен отговор на въпроса за съвместимостта на тази система дава теоремата на Кронекер-Капели.

Теорема 4.1. Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само тогава, когато рангът на разширената матрица на системата е равен на ранга на основната матрица.

Нека го приемем без доказателства.

Правилата за практическо търсене на всички решения на едновременна система от линейни уравнения следват от следните теореми.

Теорема 4.2. Ако рангът на съвместна система е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.

Теорема 4.3. Ако рангът на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.

Правило за решаване на произволна система от линейни уравнения

1. Намерете ранговете на основната и разширената матрици на системата. Ако r(A)≠r(A), тогава системата е непоследователна.

2. Ако r(A)=r(A)=r, системата е последователна. Намерете всеки основен минор от ред r (напомняне: минор, чийто ред определя ранга на матрицата, се нарича базис). Вземете r уравнения, чиито коефициенти съставляват базисния минор (изхвърлете останалите уравнения). Неизвестните, чиито коефициенти са включени в базисния минор, се наричат главни и се оставят отляво, а останалите n-r неизвестни се наричат свободни и се прехвърлят в дясната страна на уравненията.

3. Намерете изрази на основните неизвестни чрез свободни. Получава се общо решение на системата.

4. Като даваме произволни стойности на свободните неизвестни, получаваме съответните стойности на основните неизвестни. По този начин могат да се намерят частични решения на оригиналната система от уравнения.

Пример 4.1.

4.3 Решаване на неизродени линейни системи. Формули на Крамер

Нека е дадена система от n линейни уравнения с n неизвестни

(4.1)

или в матрична форма A*X=B.

Основната матрица A на такава система е квадратна. Детерминантата на тази матрица

се нарича детерминанта на системата. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата се нарича неизродена.

Нека намерим решение на тази система от уравнения в случая на D¹0

Умножавайки двете страни на уравнението A*X=B отляво по матрицата A -1, получаваме

A -1 *A*X=A -1 *B Тъй като. A -1 *A=E и E*X=X, тогава

Намирането на решение на системата с помощта на формула (4.1) се нарича матричен метод за решаване на системата.

Записваме матрично равенство (4.1) във формата

Следва, че

Но има разлагане на детерминантата

по елементи от първата колона. Детерминантата D 1 се получава от детерминантата D чрез заместване на първата колона от коефициенти с колона от фиктивни членове. Така,

По същия начин:

където D2 се получава от D чрез заместване на втората колона от коефициенти с колона от фиктивни членове:

се наричат формули на Крамер.

И така, неизродена система от n линейни уравнения с n неизвестни има уникално решение, което може да бъде намерено чрез матричния метод (4.1) или с помощта на формулите на Крамер (4.2).

Пример 4.3.

4.4 Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

Един от най-универсалните и ефективни методи за решаване на линейни алгебрични системи е методът на Гаус, който се състои в последователно елиминиране на неизвестни.

Нека е дадена система от уравнения

Процесът на решаване на Гаус се състои от два етапа. На първия етап (директен ход) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

Системата по-долу е под формата на стъпки

Коефициентите aii се наричат основните елементи на системата.

На втория етап (обратен) има последователно определяне на неизвестните от тази стъпкова система.

Нека опишем по-подробно метода на Гаус.

Нека трансформираме системата (4.3), като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направим това, умножаваме двете страни на първото уравнение по и ги добавяме член по член с второто уравнение на системата. След това умножаваме двете страни на първото уравнение по и ги добавяме към третото уравнение на системата. Продължавайки този процес, получаваме еквивалентната система

Ето новите стойности на коефициентите и десните части, които се получават след първата стъпка.

По същия начин, като се има предвид основният елемент, ние изключваме неизвестното x 2 от всички уравнения на системата, с изключение на първото и второто и т.н. Продължаваме този процес възможно най-дълго.

Ако в процеса на редуциране на системата (4.3) до поетапна форма се появят нулеви уравнения, т.е равенства от вида 0 = 0, те се отхвърлят.Ако се появи уравнение от вида тогава това показва несъвместимостта на системата.

Вторият етап (обратен) е да се реши системата на стъпките. Една поетапна система от уравнения, най-общо казано, има безкраен брой решения.В последното уравнение на тази система ние изразяваме първото неизвестно x k през останалите неизвестни (x k+ 1,…,x n). След това заместваме стойността x k в предпоследното уравнение на системата и изразяваме x k-1 чрез (x k+ 1,…,x n). , след това намерете x k-2 ,…,x 1. . Предоставяне на безплатни неизвестни (x k+ 1,…,x n). произволни стойности, получаваме безкраен брой решения на системата.

Бележки:

1. Ако системата от стъпки се окаже триъгълна, т.е. k=n, тогава оригиналната система има уникално решение. От последното уравнение намираме x n от предпоследното уравнение x n-1, след което преминавайки нагоре през системата, намираме всички останали неизвестни (x n-1,...,x 1).

2. На практика е по-удобно да се работи не със система (4.3), а с нейната разширена матрица, извършваща всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a 11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на 11 ¹1).

Пример 4.4.

Решение: В резултат на елементарни трансформации над разширената матрица на системата

оригиналната система беше намалена до поетапна:

Следователно общото решение на системата: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Ако поставим, например, x 3 =0,x 4 =0, тогава ще намерете едно от частните решения на тази система x 1 =-1.x 2 =-3.x 3 =0.x 4 =0.

Пример 4.5.

Решете системата по метода на Гаус:

Решение: Нека извършим елементарни трансформации на редовете на разширената матрица на системата:

Получената матрица съответства на системата

Извършвайки обратното движение, намираме x 3 =1, x 2 =1, x 1 =1.

4.5 Системи линейни еднородни уравнения

Нека е дадена система от линейни еднородни уравнения

Очевидно една хомогенна система винаги е последователна; тя има нулево (тривиално) решение x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

При какви условия една хомогенна система има ненулеви решения?

Теорема 4.4. За да има система от хомогенни уравнения ненулеви решения, е необходимо и достатъчно рангът r на основната й матрица да бъде по-малък от броя на неизвестните n, т.е.

Необходимост.

Тъй като рангът не може да надвишава размера на матрицата, тогава, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Това означава, че няма други решения освен тривиалните. Така че, ако има нетривиално решение, тогава r

Адекватност:

Нека r

Теорема 4.5. За да може една хомогенна система от n линейни уравнения с n неизвестни да има ненулеви решения, е необходимо и достатъчно нейната детерминанта D да е равна на нула, т.е. D=0.

Ако системата има ненулеви решения, тогава D=0. Тъй като за D¹0 системата има само уникално, нулево решение. Ако D=0, то рангът r на основната матрица на системата е по-малък от броя на неизвестните, т.е. r

Пример 4.6.

Решете системата

Като поставим x 3 =0, получаваме едно конкретно решение: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Като поставим x 3 =1, получаваме второто конкретно решение: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 и т.н.

АЛГЕБРИЧНИ ДОПЪЛНЕНИЯ И МИНОРИ

Нека имаме детерминанта от трети ред: .

Незначителен, съответстваща на този елемент a ijдетерминант от трети ред се нарича детерминант от втори ред, получен от даден чрез изтриване на реда и колоната, в пресечната точка на които стои дадения елемент, т.е. аз-ти ред и йта колона. Минори, съответстващи на даден елемент a ijще обозначим M ij.

Например, незначителен М 12, съответстващ на елемента а 12, ще има определител , което се получава чрез изтриване на 1-ви ред и 2-ра колона от тази детерминанта.

По този начин формулата, дефинираща детерминанта от трети ред, показва, че тази детерминанта е равна на сумата от произведенията на елементите от 1-ви ред от съответните им второстепенни; в този случай минорът, съответстващ на елемента а 12, се приема със знак „–“, т.е. можем да напишем това

(1)

По подобен начин може да се въведат дефиниции на минори за детерминанти от втори и по-висок ред.

Нека въведем още едно понятие.

Алгебрично допълнениеелемент a ijопределителят се нарича негов минор M ij, умножено по (–1) i+j .

Алгебрично допълнение на елемент a ijобозначен с A ij.

От определението получаваме, че връзката между алгебричното допълнение на елемент и неговия минор се изразява с равенството A ij= (–1) i+j Mij.

Например,

Пример.Дадена е детерминанта. намирам A 13, A 21, A 32.

Лесно е да се види, че използвайки алгебрични добавки на елементи, формула (1) може да бъде записана като:

Подобно на тази формула, можете да получите разширението на детерминантата в елементите на всеки ред или колона.

Например разлагането на детерминантата на елементи от 2-ри ред може да се получи по следния начин. Според свойство 2 на детерминантата имаме:

Нека разширим получената детерминанта в елементите на 1-ви ред.

(2)

Оттук защото детерминантите от втори ред във формула (2) са второстепенни на елементите а 21, а 22, а 23. Така, т.е. получихме разлагането на детерминантата на елементите от 2-ри ред.

По същия начин можем да получим разширяването на детерминантата в елементите на третия ред. Използвайки свойство 1 на детерминантите (относно транспонирането), можем да покажем, че подобни разширения са валидни и при разширяване върху елементи от колони.

Следователно следната теорема е валидна.

Теорема (за разширяването на детерминанта върху даден ред или колона).Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки от неговите редове (или колони) и техните алгебрични допълнения.

Всичко по-горе е вярно и за детерминанти от по-висок порядък.

Примери.

ОБРАТНА МАТРИЦА

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици.

Ако Атогава е квадратна матрица обратенза него матрицата е матрица, означена А-1и отговарящи на условието. (Тази дефиниция е въведена по аналогия с умножението на числа)