Oof сложни функции. Диапазон на допустимите стойности - ODZ
функция y=f(x) е такава зависимост на променливата y от променливата x, когато всяка валидна стойност на променливата x съответства на една единствена стойност на променливата y.
Област на дефиниране на функция D(f) е множеството от всички приемливи стойностипроменлива x.
Функционален диапазон E(f) е множеството от всички допустими стойности на променливата y.
Графика на функция y=f(x) е набор от точки на равнината, чиито координати отговарят на дадена функционална зависимост, тоест точки от формата M (x; f(x)). Графиката на функция е определена линия в равнина.
Ако b=0, тогава функцията ще приеме формата y=kx и ще бъде извикана пряка пропорционалност.
D(f) : x \in R;\enинтервал E(f) : y \in R
График линейна функция- прав.
Наклонът k на правата линия y=kx+b се изчислява по следната формула:
k= tan \alpha, където \alpha е ъгълът на наклона на правата спрямо положителната посока на оста Ox.
1) Функцията нараства монотонно за k > 0.
Например: y=x+1
2) Функцията спада монотонно като k< 0 .
Например: y=-x+1
3) Ако k=0, тогава давайки b произволни стойности, получаваме семейство от прави линии, успоредни на оста Ox.
Например: y=-1
Обратна пропорционалност
Обратна пропорционалностнаречена функция на формата y=\frac (k)(x), където k е ненулево реално число
D(f): x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).
Функционална графика y=\frac (k)(x)е хипербола.
1) Ако k > 0, тогава графиката на функцията ще бъде разположена в първата и третата четвърт на координатната равнина.
Например: y=\frac(1)(x)
2) Ако k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Например: y=-\frac(1)(x)
Силова функция
Силова функцияе функция от формата y=x^n, където n е ненулево реално число
1) Ако n=2, тогава y=x^2. D(f): x \in R; \: E(f) : y \in; основен период на функцията T=2 \pi
В математиката има безкраен брой функции. И всеки има свой собствен характер.) За да работите с голямо разнообразие от функции, от които се нуждаете единиченподход. Иначе каква математика е това?!) И такъв подход има!
Когато работим с всяка функция, ние я представяме със стандартен набор от въпроси. И първият, най-много важен въпрос- Това област на дефиниция на функцията.Понякога тази област се нарича набор от валидни стойности на аргументи, област, където е посочена функция и т.н.
Какво представлява домейнът на функция? Как да го намерите? Тези въпроси често изглеждат сложни и неразбираеми... Въпреки че всъщност всичко е изключително просто. Можете да се убедите сами, като прочетете тази страница. Отивам?)
Е, какво да кажа... Просто уважение.) Да! Естественият домейн на функция (която се обсъжда тук) мачовес ODZ на изрази, включени във функцията. Съответно те се търсят по същите правила.
Сега нека да разгледаме една не съвсем естествена област на дефиниция.)
Допълнителни ограничения върху обхвата на функция.
Тук ще говорим за ограниченията, които налага задачата. Тези. Задачата съдържа някои допълнителни условия, които компилаторът измисли. Или ограниченията произтичат от самия метод на дефиниране на функцията.
Що се отнася до ограниченията в задачата, всичко е просто. Обикновено не е необходимо да търсите нищо, всичко вече е казано в задачата. Нека ви напомня, че ограниченията, написани от автора на задачата, не отменят фундаментални ограничения на математиката.Просто трябва да запомните да вземете предвид условията на задачата.
Например тази задача:
Намерете домейна на функция:
върху множеството от положителни числа.
Открихме естествената област на дефиниция на тази функция по-горе. Тази област:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
При вербалния метод за уточняване на функция трябва внимателно да прочетете условието и да намерите там ограничения върху X-овете. Понякога очите търсят формули, но думите свистят покрай съзнанието, да...) Пример от предишния урок:
Функцията се определя от условието: всяка стойност на естествения аргумент x е свързана със сумата от цифрите, които съставляват стойността на x.
Тук трябва да се отбележи, че говорим самоза естествените стойности на X. Тогава D(f)незабавно записано:
D(f): x ∈ н
Както можете да видите, домейнът на функция не е толкова сложно понятие. Намирането на тази област се свежда до изследване на функцията, записване на система от неравенства и решаване на тази система. Разбира се, има всякакви системи, прости и сложни. Но...
аз ще го отворя малка тайна. Понякога функция, за която трябва да намерите домейна на дефиницията, изглежда просто плашеща. Искам да пребледня и да заплача.) Но щом напиша системата от неравенства... И изведнъж системата се оказва елементарна! Освен това често колкото по-ужасна е функцията, толкова по-проста е системата...
Морал: очите се страхуват, главата решава!)
Функцията е модел. Нека дефинираме X като набор от стойности на независима променлива // независим означава всяко.
Функцията е правило, с помощта на което за всяка стойност на независима променлива от множеството X може да се намери уникална стойност на зависимата променлива. // т.е. за всяко x има едно y.
От дефиницията следва, че има две понятия - независима променлива (която означаваме с x и може да приема произволна стойност) и зависима променлива (която означаваме с y или f (x) и се изчислява от функцията, когато заместваме x).
НАПРИМЕР y=5+x
1. Независимо е x, което означава, че приемаме произволна стойност, нека x=3
2. Сега нека изчислим y, което означава y=5+x=5+3=8. (y зависи от x, защото каквото и x да заместим, получаваме същото y)
Казва се, че променливата y функционално зависи от променливата x и се означава по следния начин: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.y=1/x. (наречена хипербола)
2. y=x^2. (наречена парабола)
3.y=3x+7. (наречена права линия)
4. y= √ x. (наречен клон на парабола)
Независимата променлива (която означаваме с x) се нарича аргумент на функцията.
Функционален домейн
Наборът от всички стойности, които приема аргумент на функция, се нарича домейн на функцията и се обозначава с D(f) или D(y).
Разгледайте D(y) за 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) и (0;+∞) //целият набор от реални числа с изключение на нула.
2. D (y)= (∞; +∞)//всеки брой реални числа
3. D (y)= (∞; +∞)//всеки брой реални числа
4. D (y) = .
Всичко това показва колко е важно да има ОДЗ.
Пример 3
Намерете ODZ израза x 3 + 2 x y − 4 .
Решение
Всяко число може да бъде подложено на куб. Този израз няма дроб, така че стойностите на x и y могат да бъдат всякакви. Тоест ODZ е произволно число.
Отговор: x и y – всякакви стойности.
Пример 4
Намерете ODZ на израза 1 3 - x + 1 0.
Решение
Може да се види, че има една дроб, чийто знаменател е нула. Това означава, че за всяка стойност на x ще получим деление на нула. Това означава, че можем да заключим, че този израз се счита за недефиниран, т.е. той няма допълнителна отговорност.
Отговор: ∅ .
Пример 5
Намерете ODZ на дадения израз x + 2 · y + 3 - 5 · x.
Решение
Наличност корен квадратенпоказва, че този израз трябва да бъде по-голям или равен на нула. Ако е отрицателна, няма смисъл. Това означава, че е необходимо да се напише неравенство от вида x + 2 · y + 3 ≥ 0. Тоест, това е желаният диапазон от приемливи стойности.
Отговор:набор от x и y, където x + 2 y + 3 ≥ 0.
Пример 6
Определете ODZ израза от формата 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .
Решение
По условие имаме дроб, така че знаменателят му не трябва да е равен на нула. Получаваме, че x + 1 - 1 ≠ 0. Радикалният израз винаги има смисъл, когато е по-голям или равен на нула, тоест x + 1 ≥ 0. Тъй като има логаритъм, изразът му трябва да е строго положителен, т.е. x 2 + 3 > 0. Основата на логаритъма също трябва да има положителна стойност и да е различна от 1, след което добавяме условията x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1. От това следва, че желаният ODZ ще приеме формата:
x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1
С други думи, тя се нарича система от неравенства с една променлива. Решението ще доведе до следната ODZ нотация [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .
Отговор: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
Защо е важно да вземете предвид DPD, когато стимулирате промяна?
По време на трансформациите на идентичността е важно да се намери ODZ. Има случаи, когато съществуването на ODZ не се случва. За да разберете дали даден израз има решение, трябва да сравните VA на променливите на оригиналния израз и VA на получения резултат.
Трансформации на идентичността:
- може да не повлияе на DL;
- може да доведе до разширяване или добавяне на ДЗ;
- може да стесни ДЗ.
Нека разгледаме един пример.
Пример 7
Ако имаме израз във формата x 2 + x + 3 · x, тогава неговата ODZ е дефинирана върху цялата област на дефиниция. Дори при въвеждане на подобни термини и опростяване на израза, ODZ не се променя.
Пример 8
Ако вземем за пример израза x + 3 x − 3 x, тогава нещата са различни. Имаме дробен израз. И знаем, че деленето на нула е неприемливо. Тогава ODZ има формата (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Вижда се, че нулата не е решение, така че я добавяме със скоба.
Нека разгледаме пример с наличието на радикален израз.
Пример 9
Ако има x - 1 · x - 3, тогава трябва да обърнете внимание на ODZ, тъй като трябва да бъде записано като неравенството (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Възможно е да се реши чрез метода на интервала, тогава откриваме, че ODZ ще приеме формата (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . След трансформиране на x - 1 · x - 3 и прилагане на свойството на корените, имаме, че ODZ може да бъде допълнена и всичко може да бъде написано под формата на система от неравенства от вида x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. При решаването му намираме, че [ 3 , + ∞) . Това означава, че ODZ се записва изцяло, както следва: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
Трябва да се избягват трансформации, които стесняват DZ.
Пример 10
Нека разгледаме пример за израза x - 1 · x - 3, когато x = - 1. При заместване получаваме, че - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Ако преобразуваме този израз и го доведем до формата x - 1 · x - 3, тогава при изчисляване откриваме, че 2 - 1 · 2 - 3 изразът няма смисъл, тъй като радикалният израз не трябва да е отрицателен.
Необходимо е да се придържате към идентични трансформации, които ODZ няма да промени.
Ако има примери, които го разширяват, тогава трябва да се добави към DL.
Пример 11
Нека разгледаме примера на дроб от вида x x 3 + x. Ако съкратим с x, тогава получаваме това 1 x 2 + 1. Тогава ODZ се разширява и става (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Освен това, когато изчисляваме, ние вече работим с втората опростена дроб.
При наличието на логаритми ситуацията е малко по-различна.
Пример 12
Ако има израз под формата ln x + ln (x + 3), той се заменя с ln (x · (x + 3)), въз основа на свойството на логаритъма. От това можем да видим, че ODZ от (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Следователно, за да се определи ODZ ln (x · (x + 3)) е необходимо да се извършат изчисления върху ODZ, тоест наборът (0, + ∞).
При решаването винаги е необходимо да се обръща внимание на структурата и вида на израза, даден от условието. Ако дефиниционната област е намерена правилно, резултатът ще бъде положителен.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter