Hvad er den optimale værdi af den objektive funktion? Den optimale værdi af den objektive funktion kaldes
Systemets handling og dets adfærd er ikke kun kendetegnet ved at fastslå det faktum at nå målet, men også af graden af dets opnåelse, bestemt ved hjælp af objektiv funktion.
Objektiv funktion – er en generel indikator for systemet, der kendetegner, i hvilken grad systemet når sit mål. At udarbejde en objektiv funktion er en af de vigtigste opgaver, når man skal designe et system. Der er dog ingen generel teori til at konstruere objektive funktioner; der er kun nogle anbefalinger.
Den objektive funktion er kompileret i henhold til instruktionerne i de tekniske specifikationer på optimeringskriteriet ved analyse eksterne parametre systemer og restriktioner på dem.
Målfunktionen skal i væsentlig grad afhænge af eksterne parametre eller en del af dem. Ellers giver optimering af denne objektive funktion ingen mening. Objektfunktionen repræsenterer en vektor i m-dimensionelt rum af eksterne parametre af systemet
Typisk er den objektive funktion specificeret i skalar form.
Følgende fire former for objektivfunktionen anvendes.
1. Den mest anvendte målfunktion er én ekstern parameter
I dette tilfælde er objektivfunktionen simpelthen lig med en af de eksterne parametre eller dens gensidige værdi
Andet ( m– 1) eksterne parametre oversættes til et system af restriktioner.
Den fysiske betydning af den objektive funktion af de givne typer er, at jo større (eller mindre) er parameteren y jeg, jo bedre, alt andet lige dette system, og ligheden af andre forhold forstås i betydningen restriktioner på de resterende eksterne parametre. Typiske problemer med den reducerede form af den objektive funktion: optimering af systemet for pålidelighed ( y = P(t)), støjimmunitet, omkostninger og andre eksterne parametre. En sådan objektiv funktion har en klar fysisk (teknisk eller økonomisk) betydning, karakteriserer objektivt systemet og bruges derfor ofte. Det vil sige, at i dette tilfælde er målfunktionen en ekstern parameter for systemet. Dette kaldes systemets objektive funktion. Disse kan være: nøjagtighed, hastighed, tid, omkostninger, pålidelighed, vægt, dimensioner, en form for teknologisk indikator osv.
2. Den anden form for objektivfunktionen er summen af parametre af samme dimension eller summen af funktioner af disse parametre
Denne form er typisk ved optimering efter økonomiske kriterier, kompleksitetskriterier mv.
For eksempel, når man minimerer de årlige reducerede omkostninger ved systemet, er den objektive funktion summen af to eksterne parametre: årlige driftsomkostninger og kapitalomkostninger relateret til tilbagebetalingsperioden for systemet. I dette tilfælde er hver af disse eksterne parametre i systemet kompleks funktion dets interne (til at finde) parametre.
De objektive funktioner af optimeringsproblemer baseret på kompleksitetskriteriet har også den anden form, fordi de præsenteres som summen af kompleksiteten af individuelle delsystemer eller blokke af systemet.
3. Den tredje form af objektivfunktionen - den rangerede form - er et ordnet sæt af objektive funktioner af den første form med prioriteter
Den første objektivfunktion er den vigtigste, den sidste objektivfunktion er den mindst vigtige.
I et bestemt tilfælde er den objektive funktion af denne type skrevet som følger:
Et eksempel på rangering er (for eksempel) følgende rækkefølge af objektive funktioner: nøjagtighed, pålidelighed, omkostninger. Betydningen af den objektive funktion af den tredje form er som følger. Den vigtigste - den første i rang - er anerkendt som nogle jeg-system parameter - y jeg(fx nøjagtighed). Hvis et system har dette jeg Den th parameter er større end for alle andre systemer, så uanset værdierne af andre parametre (så længe de opfylder begrænsningerne), betragtes dette system som det bedste. Så ifølge den anden parameter osv.
Optimeringsproceduren i dette tilfælde er som regel flere trin. Sådan optimering anvendes ofte ubevidst i tekniske systemer. Først vælges systemet med den bedste nøjagtighed, hvis flere systemer har samme nøjagtighed, vælges det mere pålidelige, og derefter vælges det billigere. Ved hvert optimeringstrin anvendes kun ét kriterium, hvilket ikke er i modstrid med konceptet systematisk tilgang(optimering baseret på ét enkelt kriterium, se nedenfor).
4. Den fjerde - mest generelle - form for den objektive funktion er en vilkårlig afhængighed af hele eller dele (men ikke mindre end to) af heterogene eksterne parametre
I dette tilfælde konverteres heterogene parametre til dimensionsløse (eller endimensionelle), og den objektive funktion dannes som en bestemt sammensætning (for eksempel det aritmetiske middelværdi) af de opnåede dimensionsløse indikatorer.
En enkelt objektiv funktion af den fjerde form kan opnås fra objektivfunktionerne i den tredje form ved at gange dem med vægtningskoefficienter og efterfølgende summering:
Hvor F S (y jeg) - en af k målfunktioner af den tredje form;
ω S– dens vægtkoefficient.
Men som angivet der er det meget vanskeligt at bestemme vægtningskoefficienterne for individuelle objektivfunktioner.
Den ekstreme værdi af den resulterende mængde vil blive betragtet som optimal.
Det kan således indikeres, at systemkvalitetsindikatorer i de fleste tilfælde (1. og 3. form) estimeres ved numeriske værdier af komponenterne i vektorobjektivfunktionen, som kaldes funktionaliteter :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Da systemer opererer under tilfældig påvirkning, viser funktionalernes værdier sig ofte at være tilfældige variable. Dette er ubelejligt ved brug af funktionalitet i form af kvalitetsindikatorer. Derfor bruges i sådanne tilfælde normalt gennemsnitsværdierne af de tilsvarende funktionaliteter. For eksempel: det gennemsnitlige antal produkter produceret pr. skift; gennemsnitlige produktionsomkostninger mv.
I nogle tilfælde repræsenterer kvalitetsindikatorer sandsynligheder for visse tilfældige hændelser. I dette tilfælde vælges sandsynligheden som den objektive funktion 
opfyldelse af det fastsatte mål (opgave) af systemet
Eksempelvis sandsynligheden for måldetektion ved radar mv.
Da den er centraliseret, udfører den følgende funktioner: funktionen med at regulere priserne mellem nye og serieprodukter funktionen af målrettet og konstant støtte - processen med produktion af nyt udstyr med monetære midler; funktionen af omfordeling af midler til udvikling af nyt udstyr mellem virksomheder, der deltager i udviklingen i varierende grad ny teknologi.
Hvad angår statens udgifter, repræsenterer de trustfonde af midler, der er tildelt og faktisk bruges af staten til at udføre dens funktioner. Hovedfunktionerne i målrettet forbrug omfatter
Lad os nu gå videre til beskrivelsen af de objektive funktioner. PM objektiv funktion
Mål funktion. Objektivfunktionen definerer det problem, der skal løses under optimeringsprocessen. For eksempel er vi i dette kapitel optaget af at minimere risikoen ved en aktivportefølje. En typisk objektiv funktion for en portefølje af risikable aktiver ville være
OBJECTIVE FUNCTION er en funktion, der forbinder målet (den variabel, der optimeres) og de kontrollerede variable i optimeringsproblemet.
Det første udtryk kaldes den objektive funktion (lig med produktet af profit pr. enhed af produkt c, - ved output af dette produkt Xj). De resterende ligninger udgør lineære begrænsninger, hvilket betyder, at forbruget af råvarer, halvfabrikata, produktkvalitet, effekt, dvs. initiale ressourcer, ikke bør overstige forudbestemte værdier //. Koefficienterne a,7 er konstante værdier, der viser ressourceforbruget for / og produkt. Problemet kan løses, hvis variablerne er ikke-negative, og antallet af ukendte er større end antallet af begrænsninger. Hvis den sidste betingelse ikke er opfyldt, er problemet inkonsekvent.
Som den objektive funktion tager vi produktionen af A-76 benzin
Den objektive funktion har formen
Da variable omkostninger afhænger af produktionsvolumen, skal forskellen mellem pris og variable omkostninger maksimeres. Betinget faste udgifter (afskrivninger, udgifter til løbende reparationer, løn med periodisering, generelle butiks- og anlægsudgifter) indgår ikke i modellen og trækkes fra den objektive funktion opnået på computeren. Hvis driftsvarigheden af installationen for hver mulighed tages som ukendt, beregnes de variable omkostninger for en dag efter driften.
Tilstand (4.56) karakteriserer den objektive funktion, den maksimale forskel mellem engrosprisen og prisen på kommerciel benzin.
Den objektive funktion til at løse dette problem kan enten være den maksimale fortjeneste for virksomheden (4.52) eller den maksimale mængde produktion af salgbare produkter i værdi (4.53)
Den givne model til beregning af omkostningerne er samtidig en model til beregning af virksomhedens overskud. Hovedeffekten af at implementere omkostningsberegninger på en computer er imidlertid evnen til at bruge resultaterne af denne beregning til at optimere virksomhedens produktionsprogram. I I dette tilfælde Den maksimale fortjeneste ved produktsalg kan tages som den objektive funktion. Ved optimering af et produktionsprogram er det nødvendigt at maksimere en funktion af formen
Fordelene og ulemperne ved en kundecentreret struktur er generelt de samme som ved en produktstruktur, givet de forskelle, der er forbundet med forskellige objektive funktioner.
Da den integrerede energiintensitet bestemmes under hensyntagen til direkte og indirekte energiomkostninger (via materiale-, tekniske- og arbejdsressourcer), tages der også hensyn til reduktionen i energiintensiteten for hver af de forbrugte og brugte ressourcer i den samlede økonomiske besparelse. Energiintensiteten af hver måleffekt (produkt, service) beregnes som summen af energiintensiteten i stadierne af dens dannelse. For eksempel består energiintensiteten af et rør af energiintensiteten ved malmudvinding, stålsmeltning, pladevalsning og selve rørfremstillingen og måles i kilogram standardbrændstof pr. 1 rubel. dens værdi. Eksisterende regnskabsformer og den foreslåede metode gør det muligt at bestemme disse indikatorer for ethvert produkt, service mv. For at spare energi er det således nødvendigt at reducere forbruget af produktionsressourcer af alle typer og samtidig opnå en given måleffekt. Disse ressourcer og den endelige måleffekt måles i penge. Omkostningerne for dem afhænger af skalaen af den anvendte teknologi, niveauet af sofistikering af de tekniske midler, hvori hovedmålfunktionen er implementeret - den målteknologiske proces, antallet af skalaer og konsekvenser af de hjælpefunktioner, der sikrer implementeringen hovedfunktion, samt det anvendte teknologiniveau.
Udtryk (I) kaldes normalt det oprindelige system af ligninger og uligheder, og udtryk (II) - det funktionelle af det lineære programmeringsproblem eller målfunktionen. Den objektive funktion er et optimalitetskriterium. Den første gruppe af uligheder i systemet (I) gør det muligt i beregningen at tage højde for begrænsningerne i den eksisterende kapacitet af brændstofproduktionsvirksomheder i begyndelsen af planlægningsperioden. Den anden gruppe af uligheder tager højde for
Til M. m. i vest. Og. omfatte følgende afsnit af anvendt matematik, matematisk programmering, spilteori, køteori, skemalægningsteori, lagerstyringsteori og teorien om slitage og udskiftning af udstyr. Matematik (eller optimal) programmering udvikler teori og metoder til at løse betingede ekstremale problemer, er det vigtigste. del af det formelle apparat til at analysere forskellige ledelses-, planlægnings- og designproblemer. Spiller en særlig rolle i optimeringsproblemer ved udendørs planlægning. kh-va og ledelse nronz-vom. Problemer med økonomisk planlægning og teknologistyring kommer sædvanligvis ned til at vælge et sæt tal (de såkaldte kontrolparametre), der giver det optimale af en specifik funktion (objektiv funktion eller løsningskvalitetsindikator) under begrænsninger af typen af ligheder og uligheder, der bestemmes af systemets driftsbetingelser. Afhængigt af egenskaberne af de funktioner, der bestemmer kvalitetsindikatoren og begrænsningerne af problemet, matematisk. programmering er opdelt i lineær og ikke-lineær. Problemer, hvor den objektive funktion er lineær, og betingelserne er skrevet i form af lineære ligheder og uligheder, udgør genstand for et lineært program. Problemer, hvor kvalitetsindikatoren for løsningen eller nogle af de funktioner, der bestemmer begrænsningerne, er ikke-lineære, hører til det ikke-lineære program [) onan p go. Ikke-lineær programmering er til gengæld opdelt i konveks og ikke-konveks programmering. Afhængigt af om de indledende parametre, der karakteriserer problemets betingelser, er veldefinerede tal eller tilfældige variable, i matematik. programmering er der forskelle mellem ledelses- og planlægningsmetoder under forhold med fuldstændig og ufuldstændig information. Metoder til at indstille og løse betingede ekstremale problemer, hvis betingelser indeholder tilfældige parametre, er genstand for stokastisk programmering.
Målet med modellen er at maksimere den samlede tilbagediskonterede nettoindkomst (op til overskud) for et sæt felter og gasrørledningssystemer under givne teknologiske og økonomiske restriktioner. Modellen tillader brug af alternative kriterier - minimering af den vægtede sum af afvigelser fra en given værdi af målfunktionen (målprogrammering); beregninger kan udføres for et givet investeringsniveau, for et givet produktionsniveau, for et givet niveau værdien af DPV.
Succesen for sådan en forretningskvinde afhænger af, hvor godt administrationen anerkender mulige områder, der kan give arbejdsglæde. Det er blevet bemærket, at kvinder klarer funktioner, der kræver kommunikation med mennesker, men hvis dette også er en intellektuel aktivitet - lærer, journalist, rejseleder osv. - så vil den høje effektivitet af deres arbejde og deres positive vurdering næsten helt sikkert falde sammen . I Japan er kvinder sjældent i stand til at få ingeniør- og naturvidenskabelig uddannelse, især inden for moderne, mest lovende specialer, men deres inklusion i de udbredte mobile målgrupper til løsning af ikke-standardiserede problemer viser sig at være produktiv. Det kvindelige sinds opfindsomhed er blevet bemærket i lang tid og i alle lande. I Japan, når de vil give et klart bevis på dette, husker de konkurrencen, der blev annonceret af det berømte firma "Aji no Moto". Hun tilbød en stor pengepræmie for tips om, hvordan man øger salget af sit krydderi, der ligner salt og sælges i lign med saltrystere. Folk skrev afhandlinger og bragte alle former for videnskabelig viden. Men vinderen var en husmor, hvis svar passede i én linje: "Gør hullerne i saltkarret større."
Opgavevariabler
Lad os bygge en model af problemet.
Løsning
Før du bygger matematisk model opgaver, ᴛ.ᴇ. skriv det ned vha matematiske symboler, er det yderst vigtigt at forstå den økonomiske situation, der er beskrevet i betingelsen. For dette er det ekstremt vigtigt ud fra et økonomisk synspunkt, og ikke matematik, svar på følgende spørgsmål:
1) Hvad er de nødvendige mængder af problemet?
2) Hvad er formålet med afgørelsen? Hvilken parameter i problemet tjener som et kriterium for effektiviteten (optimaliteten) af løsningen, for eksempel fortjeneste, omkostninger, tid osv. I hvilken retning skal værdien af denne parameter ændres (til max eller til min) for at opnå bedste resultater?
3) Hvilke betingelser skal være opfyldt med hensyn til opgavens nødvendige mængder og ressourcer?
Disse forhold fastslår, hvordan forskellige parametre i problemet skal forholde sig til hinanden, for eksempel mængden af ressource brugt i produktionen og dens lager på lageret; mængden af producerede produkter og kapaciteten af det lager, hvor de vil blive opbevaret mængde af producerede produkter og markedsefterspørgsel efter disse produkter mv.
Først efter det økonomiske svar på alle disse spørgsmål kan du begynde at registrere disse svar matematisk form, ᴛ.ᴇ. at registrere den matematiske model.
Problemet kræver at bestemme, hvor meget maling af hver type skal produceres. Af denne grund, de ønskede mængder, og derfor opgavevariabler er de daglige produktionsmængder for hver type maling:
x1 – daglig produktionsmængde af maling af 1. type, [t maling/dag];
x2 – daglig produktionsmængde af maling af 2. type, [t maling/dag].
Opgaveerklæringen angiver målet - at nå maksimal indkomst fra produktsalg. De der. Præstationskriteriet er den daglige indkomstparameter, som bør tendere til det maksimale. For at beregne størrelsen af den daglige indkomst fra salg af maling af begge typer, er det ekstremt vigtigt at kende mængden af malingproduktion, ᴛ.ᴇ. x1 og x2 tons maling om dagen, samt Engrospriser for maling af 1. og 2. type - i henhold til betingelserne, henholdsvis 3 og 2 tusind rubler. for 1 ton maling. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, indtægt fra salg af den daglige produktionsmængde af maling af 1. type er lig med 3 x 1 tusind rubler. om dagen, og fra salg af maling af 2. type - 2x 2 tusind rubler. Per dag. Af denne grund skriver vi den objektive funktion som summen af indtægter fra salg af maling af 1. og 2. type (forudsat uafhængighed af salgsmængder af hver maling)
Objektiv funktion - koncept og typer. Klassificering og funktioner i kategorien "Målfunktion" 2017, 2018.
KAPITEL 16. EFFEKTIVITET AF LEDELSESKONTROLSPØRGSMÅL 1. Hvad forårsagede virksomhedens behov for udenlandsk økonomisk aktivitet? 2. Hvad begunstiger en virksomheds udenlandske økonomiske aktivitet? 3. Hvad er en hindring for... .
F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2. Funktionen er konveks, hvis F"(x)>0 for enhver x. Lad os tjekke: ; ; ; . Dette betyder, at funktionen er konveks, fordi "x>0. Derfor viser det sig at vælge det optimale antal tog på to strækninger at være et konveks programmeringsproblem, der kan løses... .
I betingelserne for et markedssystem til styring af virksomheders og virksomheders produktions- og salgsaktiviteter er grundlaget for at træffe forretningsbeslutninger markedsinformation, og gyldigheden af beslutninger verificeres af markedet under salg af varer og tjenester. Med denne tilgang...
Lineær programmering.
Sætte mål
Løsning af det direkte problem lineær programmering besvarer følgende spørgsmål:
med hvilke intensiteter n profitskabende processer (levere forskellige tjenester, produktionsprocesser), hvori m typer af ressourcer (produktionsfaktorer) med kendt maksimal intensitet af brugen af disse ressourcer, salgsindtægter (profit) vil være maksimale i det tilfælde, hvor intensiteten af forbruget af hver ressource og intensiteten af profit (indtægt) i hver af processerne afhænger lineært af intensiteten af denne proces.
Løsningen på dets dobbelte problem besvarer følgende spørgsmål:
til hvilke laveste priser pr. ressourceenhed vil det være urentabelt for en økonomisk aktør yderligere at udvide processen med at opnå overskud gennem erhvervelse af nye mængder ressourcer, der er knappe under de nuværende økonomiske aktivitetsbetingelser?
Et direkte lineært programmeringsproblem kan relateres til følgende situation. Ledig n måder at opnå fortjeneste på (give n typer tjenester) med mængder x i (antal stykker jeg ydelser). I dette tilfælde bruges de m typer af ressourcer, lager j -th af som er lig med b j . Samtidig er forbruget af hver ressource j og mængden af overskud i hver af processerne jeg lineært afhænge af antallet af leverede tjenester jeg -th type med koefficienter en ji Og c i , henholdsvis. Matrix EN=(en ji )m´n betydningen ligner den fra første del og kaldes også matrixen af teknologiske eller strukturelle koefficienter. Så kan den optimale plan i henhold til kriteriet om maksimal profit opnås ved at løse følgende direkte lineære programmeringsproblem:
Dette problem kan være forbundet med en udvidet matrix af følgende form:
(4.1)
Problemet dual to problem (4) har følgende form ( z j – påkrævede grænsepriser):
Med denne formulering af det dobbelte problem følger (5.1) og (5.3) af betingelsen om at minimere priserne, og af betingelsen om urentabilitet ved at fortsætte aktiviteten, opstår betingelsen om overskridelse eller lighed mellem omkostninger og salgsindtægter direkte.
Grundlæggende koncepter for modellen
Beslutning (plan, program) - sæt, vektor af specifikke værdier af alle variable parametre kontrol af modellen - de mængder, der kan ændres efter ønske fra lederen af modelleringsobjektet. Løsninger kan være acceptable (implementeret i praksis), uacceptable (ikke implementerbare på grund af de begrænsninger, der findes i modellen) og optimale (de bedste af de acceptable).
Objektiv funktion L(x) – et matematisk udtryk, der forbinder modellens faktorer (parametre). Den økonomiske betydning af den objektive funktion afspejler optimalitetskriterium– en indikator, der har økonomisk indhold og fungerer som en formalisering af et specifikt ledelsesmål, for eksempel: maksimering af profit (linje 1 i (4)), maksimering af produktkvalitet eller minimering af omkostninger (5.1).
Begrænsningssystem modeller - begrænser den grænse række acceptable(acceptabel, gennemførlig) løsninger, registrering af de vigtigste interne og eksterne egenskaber for objektet, der er forbundet med optimeringsmålet. Kommunikationsligninger(type fj(x) ) – matematisk formalisering af begrænsningssystemet (linje 2 og 3 i (4), (5.2, 5.3)). Systemet af restriktioner afspejler den økonomiske betydning af kommunikationsligningerne.
Et system bestående af en objektiv funktion og kommunikationsligninger - problem med økonomisk og matematisk modellering (EMM). I det tilfælde, hvor objektivfunktionen og koblingsligningerne er lineære, og kontrolvariablerne ændres kontinuerligt, kaldes EMM-problemet problem med lineær programmering (LP).. Hovedegenskaben ved sættet af tilladte planer (SAP) af LP-problemet er, at det er et konveks polyeder. Et sæt kaldes konveks, hvis det indeholder alle de segmenter, der forbinder to punkter i dette sæt. Hvis LP-problemet har en løsning, er det placeret i toppunktet af MDP. Planerne placeret i hjørnerne af MDP kaldes grundlæggende. Lineære programmeringsproblemer er opdelt i problemer med begrænsninger i form af uligheder (generelt LP-problem) og i form af ligheder (kanonisk LP-problem). Ved matematisk formalisering af økonomiske problemer ved hjælp af en lineær model opnås generelle LP-problemer - for eksempel (4), (5). Ethvert generelt problem kan forbindes med et kanonisk problem ved at indføre yderligere variabler. Til problem (4) ved at indføre en ekstra variabel i hver ulighed af typen "ressourceforbrug £ ressourcereserve" (linje 2 i (4)). x n+j (ubrugt saldo j ressource) sammenlignes følgende kanoniske:
Samtidig steg dimensionen af problem (6) - antallet af designvariable - i forhold til (4) med n Før n+m .
Ved løsning af problem (4) er resvigtige, blandt hvilke differentielle og inkrementelle vil blive brugt her. Differentiel rk ji viser omkostningerne ved gengivet ved brug af en enhed j ressource jeg -s tjenester. Disse typer af tjenester, som alt k ji viser sig at være den mindste for alle typer tjenester og er de mindst rentable. De bør ikke være til stede i den optimale plan. Dette gør det muligt, ved at tvinge mængden af levering af sådanne tjenester til nul, at reducere størrelsen af problemet og dermed forenkle dets løsning. De beregnes som følger - k ji =c i /a ji .
inkrementel rK j er proportionalitetskoefficienten mellem stigningen i værdien af den objektive funktion optimal plan og ændringen i reserver, der forårsagede denne stigning j -th ressource. Det kan man overveje TIL j vis, hvor meget værdien af den objektive funktion af det oprindelige problem i den optimale plan vil stige med en stigning i marginen j -th ressource pr. enhed. Fra et matematisk synspunkt er det den komplette afledning af optimal værdi målfunktion for lagermængden j -th ressource: TIL j =dL opt/db j .
Design parametre. Dette udtryk betegner uafhængige variable parametre, der fuldstændigt og utvetydigt bestemmer det designproblem, der skal løses. Designparametre er ukendte størrelser, hvis værdier beregnes under optimeringsprocessen. Alle grundlæggende eller afledte mængder, der tjener til kvantitativt at beskrive systemet, kan tjene som designparametre. Så disse kan være ukendte værdier af længde, masse, tid, temperatur. Antallet af designparametre karakteriserer graden af kompleksitet af et givet designproblem. Normalt er antallet af designparametre angivet med n, og selve designparametrene med x med de tilsvarende indekser. Således vil n designparametre for dette problem blive betegnet med
X1, X2, X3,...Xp.
Det skal bemærkes, at designparametre kan omtales som interne kontrollerbare parametre i nogle kilder.
Mål funktion. Dette er et udtryk, hvis værdi ingeniøren stræber efter at lave maksimum eller minimum. Objektivfunktionen giver dig mulighed for kvantitativt at sammenligne to alternative løsninger. Fra et matematisk synspunkt beskriver objektivfunktionen en eller anden (n+1)-dimensionel overflade. Dens værdi bestemmes af designparametrene
M = M (x1,x2,…,xn).
Eksempler på objektive funktioner, der ofte findes i ingeniørpraksis, er omkostninger, vægt, styrke, dimensioner, effektivitet. Hvis der kun er én designparameter, kan objektivfunktionen repræsenteres af en kurve på planet (fig. 1). Hvis der er to designparametre, vil den objektive funktion blive afbildet som en overflade i tredimensionelt rum (fig. 2). Med tre eller flere designparametre kaldes overfladerne specificeret af objektivfunktionen hyperoverflader og kan ikke afbildes med konventionelle midler. De topologiske egenskaber af overfladen af den objektive funktion spiller en stor rolle i optimeringsprocessen, da valget af den mest effektive algoritme afhænger af dem.
Figur 1. Endimensionel objektivfunktion.
Figur 2. Todimensionel objektivfunktion.
Den objektive funktion kan i nogle tilfælde antage de mest uventede former. For eksempel kan det ikke altid udtrykkes i en lukket matematisk form, i andre tilfælde kan det være en stykkevis lineær funktion. Angivelse af en objektiv funktion kan nogle gange kræve en tabel med tekniske data (f.eks. en tabel over vanddamptilstanden) eller kan kræve et eksperiment. I nogle tilfælde tager designparametre kun heltalsværdier. Et eksempel kunne være antallet af tænder i et tandhjul eller antallet af bolte i en flange. Nogle gange har designparametre kun to betydninger - ja eller nej. Kvalitative parametre, såsom tilfredsheden oplevet af køberen, der har købt produktet, pålidelighed, æstetik, er vanskelige at tage højde for i optimeringsprocessen, da de er næsten umulige at karakterisere kvantitativt. Men uanset hvilken form den objektive funktion præsenteres, skal den være en entydig funktion af designparametrene.
En række optimeringsproblemer kræver introduktion af mere end én objektiv funktion. Nogle gange kan den ene af dem være uforenelig med den anden. Et eksempel er flydesign, hvor der samtidig kræves maksimal styrke, minimumsvægt og minimumsomkostninger. I sådanne tilfælde skal designeren indføre et prioriteringssystem og tildele en vis dimensionsløs faktor til hver objektiv funktion. Som følge heraf vises en "kompromisfunktion", som tillader brugen af én sammensat objektivfunktion under optimeringsprocessen.
Søg efter minimum og maksimum. Nogle optimeringsalgoritmer er designet til at finde maksimum, andre - for at finde minimum. Men uanset hvilken type ekstremumproblem der løses, kan man bruge den samme algoritme, da minimeringsproblemet nemt kan vendes til et maksimalt søgeproblem ved at vende fortegnet for den objektive funktion. Denne teknik er illustreret i fig. 3.
Figur 3. Når fortegnet for den objektive funktion ændres til det modsatte i en minimumsopgave, gør det det til et maksimumsproblem.
Design rum. Dette er navnet på området defineret af alle n designparametre. Designrummet er ikke så stort, som det kan se ud, da det normalt er begrænset af en række forhold relateret til problemets fysiske karakter. Begrænsningerne kan være så stærke, at problemet ikke vil have en enkelt tilfredsstillende løsning. Begrænsninger er opdelt i to grupper: begrænsninger - lighed og begrænsninger - ulighed.
Ligestillingsbegrænsninger er afhængigheder mellem designparametre, der skal tages i betragtning, når man finder en løsning. De afspejler naturlovene, økonomi, jura, fremherskende smag og tilgængeligheden af nødvendige materialer. Antallet af begrænsninger - ligheder kan være enhver. De ligner
C1 (X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0,
C2 (X1, X2, X3, . . ., X n) = 0,
..……………………………..
Cj(X1, X2, X 3,..., Xn) = 0.
Ulighedsbegrænsninger er en særlig type begrænsning udtrykt ved uligheder. I det generelle tilfælde kan der være så mange af dem, som du vil, og de har alle formen
z1 ?r1(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z1
z2 ?r2(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z2
………………………………………
zk ?rk(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Zk
Det skal bemærkes, at meget ofte, på grund af restriktioner, opnås den optimale værdi af den objektive funktion ikke, hvor dens overflade har en nulgradient. Ofte svarer den bedste løsning til en af grænserne for designrummet.
Direkte og funktionelle begrænsninger. Direkte restriktioner har formen
xni? xi? xвi ved jeg? ,
hvor xнi, xвi er de mindste og maksimale tilladte værdier af den i-te kontrollerede parameter; n er dimensionen af rummet af kontrollerede parametre. For mange objekter kan parametrene for elementer f.eks. ikke være negative: xнi ? 0 (geometriske dimensioner, elektrisk modstand, masse osv.).
Funktionelle begrænsninger repræsenterer som regel betingelser for udførelsen af outputparametre, der ikke er inkluderet i målfunktionen. Funktionelle begrænsninger kan være:
- 1) type ligestilling
- w(X) = 0; (2.1)
- 2) type uligheder
tz (X) › 0, (2,2)
hvor w(X) og q(X) er vektorfunktioner.
Direkte og funktionelle begrænsninger udgør det tilladte søgeområde:
ХД = (Х | w(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,
xi ‹ xвi for i ? ).
Hvis begrænsningerne (2.1) og (2.2) falder sammen med ydeevnebetingelserne, så kaldes det tilladte område også XP-ydelsesområdet.
Ethvert af punkterne X, der hører til CD'en, er en mulig løsning på problemet. Parametrisk syntese er ofte stillet som problemet med at bestemme enhver af de mulige løsninger. Det er dog meget vigtigere at løse optimeringsproblemet – at finde den optimale løsning blandt de gennemførlige.
Lokalt optimum. Dette er navnet på det punkt i designrummet, hvor den objektive funktion har den største værdi sammenlignet med dens værdier på alle andre punkter i dens umiddelbare nærhed. Figur 4 viser en endimensionel objektivfunktion, der har to lokale optima. Ofte rummer designrummet mange lokale optima, og man skal passe på ikke at forveksle den første med den optimale løsning på problemet.
Figur 4. En vilkårlig objektiv funktion kan have flere lokale optima.
Det globale optimum er den optimale løsning for hele designrummet. Det er bedre end alle andre løsninger svarende til lokal optima, og det er det, designeren leder efter. Det er muligt, at der er flere lige store globale optima placeret i forskellige dele af designrummet. Dette giver dig mulighed for at vælge den bedste mulighed fra lige optimale muligheder baseret på den objektive funktion. I dette tilfælde kan designeren vælge en mulighed intuitivt eller baseret på en sammenligning af de resulterende muligheder.
Udvælgelse af kriterier. Hovedproblemet ved opstilling af ekstreme problemer er formuleringen af den objektive funktion. Vanskeligheden ved at vælge en objektiv funktion ligger i, at ethvert teknisk objekt oprindeligt har en vektorkarakter af optimalitetskriterier (multi-kriterier). Desuden fører en forbedring af en af udgangsparametrene som regel til en forringelse af den anden, da alle udgangsparametre er funktioner af de samme styrede parametre og ikke kan ændre sig uafhængigt af hinanden. Sådanne outputparametre kaldes konfliktparametre.
Der skal være én målfunktion (entydighedsprincippet). At reducere et problem med flere kriterier til et problem med enkeltkriterier kaldes foldning af et vektorkriterium. Opgaven med at finde dets ekstremum er reduceret til et problem med matematisk programmering. Afhængigt af hvordan outputparametrene vælges og kombineres i den skalære kvalitetsfunktion, skelnes der mellem partial, additiv, multiplikativ, minimax, statistiske kriterier og andre kriterier. I kommissorium til design af et teknisk objekt er krav til de vigtigste outputparametre angivet. Disse krav er udtrykt i form af specifikke numeriske data, deres variationsområde, driftsbetingelser og acceptable minimum- eller maksimumværdier. De påkrævede forhold mellem outputparametre og tekniske krav (TR) kaldes ydeevnebetingelser og er skrevet i formen:
yi< TTi , i О ; yi >TTj, jO;
år = TTr ± ?år; r O.
hvor yi, yj, yr - sæt af outputparametre;
TTi, TTj, TTr - påkrævede kvantitative værdier af de tilsvarende outputparametre i henhold til de tekniske specifikationer;
Yr er den tilladte afvigelse af den r-te udgangsparameter fra TTr-værdien angivet i de tekniske specifikationer.
Driftsforholdene er af afgørende betydning for udviklingen tekniske enheder, da designopgaven er at vælge en designløsning, hvori den bedste måde alle driftsbetingelser er opfyldt gennem hele spektret af ændringer i eksterne parametre, og når alle krav i de tekniske specifikationer er opfyldt.
Særlige kriterier kan bruges i tilfælde, hvor der blandt outputparametrene kan identificeres én hovedparameter yi(X), som mest fuldt ud afspejler effektiviteten af det designede objekt. Denne parameter tages som den objektive funktion. Eksempler på sådanne parametre er: for et energianlæg - strøm, for en teknologisk maskine - produktivitet, for køretøj- bæreevne. For mange tekniske genstande Denne parameter er prisen. Driftsbetingelserne for alle andre udgangsparametre for objektet betegnes som funktionsbegrænsninger. Optimering baseret på en sådan formulering kaldes optimering efter et bestemt kriterium.
Fordelen ved denne tilgang er dens enkelhed; en væsentlig ulempe er, at en stor effektivitetsmargin kun kan opnås for hovedparameteren, som accepteres som den objektive funktion, og andre outputparametre vil slet ikke have nogen marginer.
Det vægtede additivkriterium anvendes, når ydeevnebetingelserne gør det muligt at skelne mellem to grupper af outputparametre. Den første gruppe inkluderer outputparametre, hvis værdier skal øges under optimeringsprocessen y+i(X) (ydeevne, støjimmunitet, sandsynlighed problemfri drift osv.), i den anden - outputparametre, hvis værdier skal reduceres y-i (X) (brændstofforbrug, varigheden af den forbigående proces, overskridelse, offset osv.). Kombination af flere outputparametre, som generelt har forskellige fysiske dimensioner, til én skalar objektiv funktion kræver foreløbig normalisering af disse parametre. Metoder til normalisering af parametre vil blive diskuteret nedenfor. For nu vil vi antage, at alle y(X) er dimensionsløse, og blandt dem er der ingen, der svarer til præstationsbetingelser af typen lighed. Så, for tilfældet med minimering af den objektive funktion, vil foldningen af vektorkriteriet have formen
hvor aj>0 er en vægtningskoefficient, der bestemmer graden af vigtighed af den j-te outputparameter (normalt vælges aj af designeren og forbliver konstant under optimeringsprocessen).
Den objektive funktion i formen (2.1), der udtrykker det additive kriterium, kan også skrives i det tilfælde, hvor alle eller de vigtigste præstationsbetingelser har form af ligheder. Så den objektive funktion
bestemmer rod-middel-kvadrat-tilnærmelsen af yj(X) til de givne tekniske krav TTj.
Det multiplikative kriterium kan bruges i tilfælde, hvor der ikke er ydelsesbetingelser af lighedstype, og outputparametrene ikke kan accepteres nul værdier. Så har den multiplikative objektivfunktion, der skal minimeres, formen
En af de mest væsentlige mangler både additive og multiplikative kriterier er manglende hensyntagen til de tekniske krav til outputparametrene i problemformuleringen.
Funktionsformkriteriet bruges, når opgaven er sat til det bedste match af en given (reference) karakteristik yCT(X, y) med den tilsvarende outputkarakteristik y(X, y) for det designede objekt, hvor y er en eller anden variabel, for eksempel frekvens, tid, valgt fasevariabel. Disse opgaver omfatter: systemdesign automatisk regulering, tilvejebringelse af den nødvendige type transient proces for den kontrollerede parameter; at bestemme parametrene for transistormodellen, der giver maksimal overensstemmelse med dens teoretiske strøm-spændings karakteristika med eksperimentelle; søg efter parametre for bjælkeafsnit, hvis værdier fører til det bedste sammenfald af det givne spændingsdiagram med det beregnede osv.
Brugen af et bestemt optimeringskriterium i disse tilfælde kommer ned til at erstatte kontinuerlige karakteristika med et endeligt sæt af knudepunkter og vælge en af følgende objektive funktioner, der skal minimeres:
hvor p er antallet af knudepunkter uj på aksen af variablen u; aj - vægtningskoefficienter, hvis værdier er større, jo mindre afvigelsen y(X, φj) - yTT(X, φj) skal opnås ved det j-te punkt.
Maximin (minimax) kriterier gør det muligt at opnå et af målene for optimalt design - den bedste tilfredsstillelse af ydeevnebetingelser.
Lad os introducere en kvantitativ vurdering af graden af opfyldelse af den j-te præstationsbetingelse, betegne den med zj og kalde den præstationsreserven af parameteren yj. Beregningen af marginen for den j. outputparameter kan udføres på forskellige måder, f.eks.
hvor aj er vægtningskoefficienten; yjnom - nominel værdi af den j-te outputparameter; dj er en værdi, der karakteriserer spredningen af den j'te outputparameter.
Her antages det, at alle relationer er reduceret til formen yi< TТj. Если yi >TTj, derefter -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (anbefalede værdier 5 ? aj ? 20), hvis det er ønskeligt at opnå j-te tekniske krav med en given tolerance, dvs. yj = TTj ± ?yj; aj=l, hvis det er nødvendigt for at opnå det maksimalt mulige skøn zj.
Ydeevne kvalitet teknisk system kendetegnet ved en vektor af outputparametre og derfor en vektor Z=(zm,zm,…,zm). Derfor bør målfunktionen dannes som en eller anden funktion μ(Z) af evalueringsvektoren. For eksempel, hvis målfunktionen kun betragter reserven af den outputparameter, som i et givet punkt X er den værste ud fra et synspunkt om at opfylde kravene i de tekniske specifikationer, så
hvor m er antallet af arbejdsevnereserver.
Det er naturligt nu at stille problemet med at vælge en søgestrategi X, der ville maksimere minimum af reserverne, dvs.
hvor HD er det søgbare område.
Optimeringskriteriet med objektiv funktion (2.6) kaldes maximin-kriteriet.
Statistiske kriterier. Optimering ved hjælp af statistiske kriterier har til formål at opnå den maksimale sandsynlighed P for ydeevne. Denne sandsynlighed tages som den objektive funktion. Så har vi problemet
Normalisering af kontrollerede og outputparametre. Rummet af kontrollerede parametre er metrisk. Derfor, når du vælger retninger og værdier af søgetrin, er det nødvendigt at indføre en eller anden norm, identificeret med afstanden mellem to punkter. Sidstnævnte forudsætter, at alle kontrollerede parametre har samme dimension eller er dimensionsløse.
Muligt forskellige måder rationering. Som et eksempel kan du overveje metoden til logaritmisk normalisering, hvis fordel er overgangen fra absolutte trin af parametre til relative. I dette tilfælde i-og kontrolleret parameteren ui konverteres til dimensionsløs xi som følger:
hvor oi er koefficienten, numerisk lig med én parameter ui.
Normalisering af outputparametre kan udføres ved hjælp af vægtningskoefficienter, som i det additive kriterium, eller ved at flytte fra уj til ydeevnereserver zj ifølge (2.5).