Det matematiske modelleringsskema inkluderer: Funktioner ved at konstruere matematiske modeller

Den indledende information, når man konstruerer matematiske modeller af systemfunktionsprocesser, er data om formålet og driftsbetingelserne for det system, der undersøges (designes), som bestemmer hovedmålet med modellering og giver os mulighed for at formulere krav til den matematiske model, der udvikles. . Matematisk skema kan defineres som et led i overgangen fra en meningsfuld til en formel beskrivelse af systemets funktionsproces under hensyntagen til det ydre miljøs indflydelse, dvs. der er en kæde "beskrivende model - matematisk skema - matematisk [analytisk og/eller simulering] model."

Model af modelleringsobjektet, altså systemet S, kan repræsenteres som et sæt af mængder, der beskriver et reelt systems funktionsproces og generelt danner følgende delmængder:

· helhed input påvirkninger pr system – x i;

· helhed miljømæssige påvirkninger– n l;

· helhed interne (egne) parametre systemer – h k;

· helhed output karakteristika systemer – y j.

I dette tilfælde kan der i de anførte delmængder skelnes mellem kontrollerede og ukontrollerbare variable. Generelt x i, n l, h k, y j er elementer af usammenhængende delmængder X, V, H, Y og indeholder både deterministiske og stokastiske komponenter.

Ved modellering af et system S inputpåvirkninger, miljøpåvirkninger E og de interne parametre i systemet er uafhængige (eksogene) variable, som i vektorform har den tilsvarende form

og systemets outputkarakteristika er afhængige (endogene) variable og i vektorform ser de ud

Systemdriftsproces S beskrevet i tide af operatøren Fs , som generelt omdanner eksogene variable til endogene i overensstemmelse med relationer af formen:

. (2.1)

Et sæt afhængigheder af systemets outputkarakteristika til tiden y j(t) for alle typer kaldes udgangssti. Afhængighed (2.1) kaldes lov om systemfunktion S og er udpeget Fs. Generelt loven om systemfunktion F s kan specificeres i form af en funktion, funktionelle, logiske betingelser, i algoritmiske og tabelformede former eller i form af en verbal matchningsregel.

Meget vigtigt for at beskrive og studere systemet S er konceptet fungerende algoritme A s, hvilket forstås som en metode til at opnå outputkarakteristika under hensyntagen til inputpåvirkninger , miljømæssige påvirkninger og egne systemparametre . Det er indlysende, at den samme lov om systemfunktion kan implementeres på forskellige måder, dvs. ved hjælp af mange forskellige algoritmer Som.

Relationer (2.1) er en matematisk beskrivelse af modelleringsobjektets (systemets) adfærd i tid , de der. afspejler dets dynamiske egenskaber. Derfor kaldes matematiske modeller af denne type normalt dynamiske modeller (systemer).

For statiske modeller er den matematiske beskrivelse (2.1) en kortlægning mellem to delmængder af egenskaberne for det modellerede objekt Y og [ X, V, H], som i vektorform kan skrives som

. (2.2)

Relationer (2.1) og (2.2) kan specificeres på forskellige måder: analytisk (ved hjælp af formler), grafisk, tabelform osv. Sådanne relationer kan i nogle tilfælde opnås gennem systemets egenskaber S på bestemte tidspunkter, kaldet stater. Systemets tilstand S karakteriseret ved vektorer

Og ,

Hvor z ’ 1 =z 1 (t ’),z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z'k = z k ( t'), i øjeblikket t ’’ Î( t 0 , T); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' k = z k ( t'') i øjeblikket t ’’ Î( t 0 , T) etc., .

Hvis vi betragter processen med at systemet fungerer S som en sekventiel ændring af tilstande z 1 (t), z 2 (t), ..., z k ( t), så kan de fortolkes som koordinaterne for et punkt i k-dimensionelt faserum, og hver implementering af processen vil svare til en bestemt fasebane. Sættet af alle mulige tilstandsværdier kaldes statens rum modelleringsobjekt Z, og z k О Z.

Systemtilstande S på et tidspunkt t 0<t*£ T er helt bestemt af de oprindelige betingelser [Hvor z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = z k ( t 0)], inputpåvirkninger, interne parametre og eksterne miljøpåvirkninger, der fandt sted over en periode t*– t0, ved hjælp af to vektorligninger:

; (2.3)

. (2.4)

Den første ligning, baseret på starttilstanden og eksogene variable, bestemmer vektorfunktionen , og den anden ifølge den opnåede værdi af tilstandene er endogene variable ved systemets output . Således giver kæden af ​​ligninger af objektet "input - tilstande - output" os mulighed for at bestemme systemets egenskaber:

Generelt tid i systemmodellen S kan overvejes over modelleringsintervallet (0, T) både kontinuert og diskret, dvs. kvantificeret i segmenter af længden af ​​tidsenheder hver, når , hvor er antallet af samplingsintervaller.

Således under matematisk model af objektet(virkeligt system) forstå en begrænset delmængde af variable sammen med matematiske forbindelser mellem dem og karakteristika.

Hvis den matematiske beskrivelse af modelleringsobjektet ikke indeholder tilfældige elementer, eller der ikke tages hensyn til dem, dvs. hvis vi kan antage, at der i dette tilfælde ikke er stokastiske påvirkninger af det ydre miljø og stokastiske interne parametre, så kaldes modellen deterministisk i den forstand, at egenskaberne er unikt bestemt af deterministiske inputpåvirkninger

. (2.6)

Det er indlysende, at den deterministiske model er et specialtilfælde af den stokastiske model.

De præsenterede matematiske sammenhænge repræsenterer generelle matematiske skemaer og gør det muligt at beskrive en bred klasse af systemer. Men i praksis med modellering af objekter inden for systemteknik og systemanalyse, i de indledende stadier af systemforskning, er det mere rationelt at bruge typiske matematiske skemaer: differentialligninger, endelige og probabilistiske automater, køsystemer, petri-net mv.

Typiske matematiske skemaer har ikke samme grad af generalitet som de betragtede modeller, men har fordelene ved enkelhed og klarhed, men med en betydelig indsnævring af anvendelsesmuligheder. Som deterministiske modeller, når tilfældige faktorer ikke tages i betragtning i undersøgelsen, bruges differential-, integral-, integrodifferential- og andre ligninger til at repræsentere systemer, der arbejder i kontinuerlig tid, og finite automater og finite-state-maskiner bruges til at repræsentere systemer, der fungerer. i diskrete tidsforskelle ordninger. Probabilistiske automater bruges som stokastiske modeller (under hensyntagen til tilfældige faktorer) til at repræsentere diskrete-tidssystemer, og køsystemer osv. til at repræsentere kontinuerte-tidssystemer.

De anførte matematiske standardskemaer kan naturligvis ikke hævde, at de på deres grundlag kan beskrive alle de processer, der foregår i store informations- og kontrolsystemer. For sådanne systemer er brugen af ​​aggregerede modeller i nogle tilfælde mere lovende. Aggregerede modeller (systemer) gør det muligt at beskrive en bred vifte af forskningsobjekter, der afspejler disse objekters systemiske karakter. Det er med en aggregativ beskrivelse, at et komplekst objekt (system) opdeles i et endeligt antal dele (delsystemer), samtidig med at de forbindelser, der sikrer delenes interaktion, bevares.

Når man konstruerer matematiske modeller af systemfunktionsprocesser, kan der således skelnes mellem følgende hovedtilgange: kontinuert-deterministisk (f.eks. differentialligninger); diskret-deterministisk (finite state maskiner); diskret-stokastisk (sandsynlighedsautomater); kontinuert-stokastisk (køsystemer); generaliserede eller universelle (aggregerede systemer).

Foredrag 5.

Kontinuerligt deterministiske modeller (D-skemaer)

Lad os overveje funktionerne i den kontinuerligt deterministiske tilgang ved at bruge eksemplet med at bruge differentialligninger som matematiske modeller. Differentialligninger Det er ligninger, hvor funktioner af en eller flere variable er ukendte, og ligningen omfatter ikke kun funktioner, men også deres afledte af forskellige ordener. Hvis de ukendte er funktioner af mange variable, kaldes ligningerne partielle differentialligninger, ellers, når man betragter en funktion af kun én uafhængig variabel, kaldes ligningerne almindelige differentialligninger(ODU) .

I sådanne matematiske modeller tjener tid typisk som den uafhængige variabel, som de ukendte ukendte funktioner afhænger af. t. Så vil den matematiske relation for deterministiske systemer (2.6) i generel form være

Hvor Og - n-dimensionelle vektorer; - en vektorfunktion, der er defineret på nogle ( n+ 1)-dimensionelt sæt og er kontinuerlig. Da matematiske skemaer af denne type afspejler dynamikken i det system, der undersøges, dvs. dens adfærd i tide, kaldes de D-ordninger(fra den engelske dynamic).

I det enkleste tilfælde har ODE formen:

,

Hvor h 0 , h 1 , h 2 - systemparametre; z(t) – systemets tilstand på et tidspunkt t.

Hvis systemet, der undersøges, interagerer med det ydre miljø E , så vises input-påvirkningen x(t) og den kontinuerligt deterministiske model for et sådant system vil have formen:

.

Fra det generelle skema for den matematiske model x(t) er input-(kontrol)handlingen og systemets tilstand S i dette tilfælde kan betragtes som en outputkarakteristik, dvs. antag, at outputvariablen falder sammen med systemets tilstand på et givet tidspunkt y=z.

Når man løser problemer med systemteknik, er problemer med at styre store systemer af stor betydning. Du bør være opmærksom på automatiske kontrolsystemer - et særligt tilfælde af dynamiske systemer beskrevet D- ordninger og modeller adskilt i en separat klasse på grund af deres praktiske specificitet. Når de beskriver automatiske kontrolprocesser, holder de sig normalt til repræsentationen af ​​et virkeligt objekt i form af to systemer: kontrol og kontrolleret (kontrolobjekt).

. Foredrag 6.

Diskret-deterministiske modeller (F-skemaer)

Vi vil overveje funktionerne i den diskret-deterministiske tilgang på stadiet med formalisering af processen med systemfunktion ved at bruge eksemplet med at bruge automatteori som et matematisk apparat. Automatteori er en gren af ​​teoretisk kybernetik, hvor matematiske modeller - automater - studeres. Baseret på denne teori er systemet repræsenteret som en automat, der behandler diskret information og kun ændrer sine interne tilstande på acceptable tidspunkter. Begrebet "automatisk maskine" varierer afhængigt af arten af ​​de specifikke systemer, der undersøges, det anvendte abstraktionsniveau og den passende grad af generalitet. En automat kan opfattes som en enhed (en sort boks), hvortil inputsignaler leveres og udgangssignaler modtages, og som kan have nogle interne tilstande. En endelig automat er en automat, der har et sæt interne tilstande og derfor et sæt udgangssignaler, der er endelige sæt. Abstrakt kan en finit automat (fra engelsk finite automat) repræsenteres som et matematisk skema karakteriseret ved seks elementer: en endelig mængde x indgangssignaler (input alfabet); endeligt sæt Y udgangssignaler (output alfabet); endeligt sæt Z indre tilstande (internt alfabet eller alfabet af stater); initial tilstand z 0 Î Z; overgangsfunktion j(z, x); output funktion y(z, x).

Automat specificeret F-skema: – fungerer i diskret automatisk tid, hvis momenter er tikker, dvs. ens tidsintervaller støder op til hinanden, som hver svarer til konstante værdier af input- og outputsignaler og interne tilstande. Hvis vi udpeger tilstanden, samt input- og outputsignalerne svarende til t- mu ur kl t= 0, 1, 2, ..., gennem z(t),x(t),y(t).Hvori z(0)=z 0 , z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y. En abstrakt tilstandsmaskine har én input- og én outputkanal. I hvert øjeblik af diskret tid F- maskinen er i en bestemt tilstand z(t) fra mange Z maskinens tilstande og på det første tidspunkt t=0 den er altid i starttilstanden z(0)=z 0 . I øjeblikket t, være i stand til z(t), maskinen er i stand til at modtage et signal på indgangskanalen x(t)Î x og udsende et signal på udgangskanalen på(t)=y[z(t), x(t)], overgår til staten z(t+1)=j[z(t), x(t)], x(t)Î X, y(t)Î Y. En abstrakt finit maskine implementerer en vis kortlægning af et sæt ord i inputalfabetet x for mange ord i output-alfabetet Y. Med andre ord, hvis input af en endelig tilstandsmaskine indstillet til den oprindelige tilstand z 0 , angiv bogstaver i input-alfabetet i en eller anden rækkefølge x(0),x(1),x(2),..., dvs. indtastningsord, så vises bogstaverne i outputalfabetet ved maskinens output på(0), y(1), på(2), ..., der danner outputordet. Driften af ​​den endelige tilstandsmaskine sker således i henhold til følgende skema: i hver t- m cykle til indgangen på maskinen, som er i tilstanden z(t), der gives et eller andet signal x(t), som han reagerer på ved at gå over til ( t+1)-te streg til en ny tilstand z(t+1) og producerer noget udgangssignal.

Baseret på antallet af tilstande skelnes finite state maskiner mellem finite state maskiner med og uden hukommelse. Automater med hukommelse har mere end én tilstand, mens automater uden hukommelse (kombination eller logiske kredsløb) kun har én tilstand. Baseret på karakteren af ​​diskret tidstælling er endelige tilstandsmaskiner opdelt i synkrone og asynkrone. I synkron F I automatiske maskiner bestemmes de tidspunkter, hvor maskinen "læser" inputsignalerne, af tvungne synkroniseringssignaler. Asynkron F- maskinen læser indgangssignalet kontinuerligt og reagerer derfor på et tilstrækkeligt langt indgangssignal med en konstant værdi X, den kan skifte tilstand flere gange og producere det tilsvarende antal udgangssignaler, indtil den bliver stabil, hvilket ikke længere kan ændres af et givet indgangssignal.

Diskret-stokastiske modeller (P-skemaer)

Lad os overveje funktionerne ved at konstruere matematiske skemaer ved hjælp af en diskret-stokastisk tilgang til at formalisere processen med at fungere i det undersøgte system. Da essensen af ​​tidsdiskretisering i denne tilgang forbliver magen til dem, der betragtes i finite automater, vil vi også spore indflydelsen af ​​stokasticitetsfaktoren på varianterne af sådanne automater, nemlig på probabilistiske (stokastiske) automater.

Generelt kan en probabilistisk automat defineres som en diskret clock-cycle information converter med hukommelse, hvis funktion i hver clock cyklus kun afhænger af tilstanden af ​​hukommelsen i den og kan beskrives statistisk. Brugen af ​​probabilistiske automatkredsløb er vigtig for at udvikle metoder til at designe diskrete systemer, der udviser statistisk regelmæssig tilfældig adfærd, for at belyse sådanne systemers algoritmiske muligheder og retfærdiggøre grænserne for gennemførligheden af ​​deres anvendelse, samt for at løse synteseproblemer iht. til et udvalgt kriterium af diskrete stokastiske systemer, der opfylder givne restriktioner.

Lad os introducere det matematiske koncept R- maskinpistol , ved hjælp af begreberne introduceret til F-automatisk . Overvej sættet G, hvis elementer er alle mulige par ( x i, z s), Hvor x jeg, Og Z'er– elementer i input-undermængden x og delmængder af stater Z henholdsvis. Hvis der er to sådanne funktioner j Og y, derefter udføres kortlægninger med deres hjælp G® Z Og G® Y, så siger de det definerer en automat af deterministisk type. Lad os introducere et mere generelt matematisk skema. Lade F– sættet af alle mulige par af formen ( z k, y i) Hvor y j– element i output-delmængden Y. Vi kræver, at ethvert element i sættet G induceret på sættet F nogle distributionslove af følgende form:

Elementer fra F … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K, y J -1) (z K, y J)

(x i z k) … b 11 b 12 … bK(J -1 )b KJ

hvori,

Hvor b kj– sandsynligheden for, at maskinen overgår til tilstanden z k og signalets udseende ved udgangen y j, hvis han kunne Z'er og på dette tidspunkt blev der modtaget et signal ved dets indgang x i. Antallet af sådanne fordelinger, præsenteret i form af tabeller, er lig med antallet af elementer i sættet G. Lad os betegne sættet af disse tabeller med I, derefter de fire elementer kaldet en probabilistisk automat ( R-automatisk) .

Foredrag 7.

Kontinuerlige-stokastiske modeller (Q-skemaer)

Vi vil overveje funktionerne i den kontinuert-stokastiske tilgang ved at bruge eksemplet med at bruge køsystemer som standard matematiske skemaer, som vi vil kalde Q-ordninger . Køsystemer er en klasse af matematiske skemaer udviklet i køteori og forskellige applikationer til at formalisere systemernes funktionsprocesser, som i det væsentlige er serviceprocesser.

Som en serviceproces kan processer for funktion af økonomiske, produktionsmæssige, tekniske og andre systemer, forskellige i deres fysiske karakter, repræsenteres, for eksempel applikationer til behandling af computerinformation fra fjernterminaler osv. Desuden er karakteristisk for driften af ​​sådanne objekter den tilfældige fremkomst af applikationer (krav) til service og færdiggørelse af service på tilfældige tidspunkter, dvs. stokastiske karakter af processen med deres funktion. I enhver elementær forkyndelseshandling kan der skelnes mellem to hovedkomponenter: forventningen om forkyndelse ved ansøgningen og den faktiske forkyndelse af ansøgningen. Dette kan repræsenteres som nogle jeg serviceenheden P i, bestående af en ordreakkumulator Hej, som samtidigt kan indeholde applikationer, hvor L i H - kapacitet jeg lagring, og anmode om servicekanal (eller blot kanal) K i. For hvert element i serviceenheden P i strømme af begivenheder ankommer: til lageret Hej - flow af ansøgninger w i pr kanal K i – service flow u i.

I praksis med modelleringssystemer, der har mere komplekse strukturelle forbindelser og adfærdsalgoritmer, bruges ikke individuelle serviceenheder til formalisering, men Q- kredsløb dannet af sammensætningen af ​​mange elementære serviceenheder P i(kø-netværk). Hvis kanaler K i Forskellige serviceenheder er forbundet parallelt, hvorefter multi-channel service finder sted (multi-channel Q-ordning) , og hvis enhederne P i og deres parallelle sammensætninger er forbundet i serie, så finder flerfaseservice sted (flerfaset Q- ordningen). Altså til opgaven Q-skemaer skal bruge konjugationsoperatoren R, afspejler forholdet mellem strukturelle elementer (kanaler og drev) med hinanden. Der er åbne og lukkede Q-ordning . I åbent Q-skema kan outputstrømmen af ​​servicerede applikationer ikke igen nå frem til noget element, dvs. der er ingen feedback, og i lukket Q- kredsløb har feedback-forbindelser, hvorigennem applikationer bevæger sig i den modsatte retning af input-output-bevægelsen.

Mulighederne for at vurdere karakteristika ved hjælp af analytiske modeller af køteori er meget begrænsede i forhold til kravene til praksis for forskning og design af systemer, formaliseret i form Q- ordninger Simuleringsmodeller har et usammenlignbart større potentiale, hvilket gør det muligt at studere Q- ordning angivet uden begrænsninger.

Netværksmodeller (N-skemaer)

I praksis med objektmodellering er det ofte nødvendigt at løse problemer relateret til den formaliserede beskrivelse og analyse af årsag-virkning-sammenhænge i komplekse systemer, hvor flere processer samtidigt foregår parallelt. Den mest almindelige formalisme, der i øjeblikket bruges til at beskrive strukturen og interaktionen af ​​parallelle systemer og processer, er Petri Nets.

Formelt set er Petri-nettet ( N-skema) er givet ved en firdobling af formen:

,

Hvor I– et begrænset sæt symboler kaldet positioner; D– et begrænset sæt symboler kaldet overgange; jeg– inputfunktion (direkte incidensfunktion); O- outputfunktion (invers incidensfunktion). Altså inputfunktionen jeg viser overgang d j til mange udgangspositioner b iÎ jeg(d j), og outputfunktionen OM viser overgang d j til mange udgangspositioner b iÎ D(d j).

Grafisk N-ordning er afbildet som en todelt orienteret multigraf, som er et sæt af positioner og overgange. Kurve N-kredsløb har to typer knudepunkter: positioner og overgange, repræsenteret med henholdsvis 0 og 1. Orienterende buer forbinder positioner og overgange, hvor hver bue er rettet fra et element i et sæt (position eller overgang) til et element i et andet sæt (overgang eller position). Kurve N-kredsløb er en multigraf, fordi den tillader eksistensen af ​​flere buer fra et toppunkt til et andet.

Reduceret repræsentation N-kredsløb kan kun bruges til at afspejle statikken i det simulerede system (forholdet mellem begivenheder og forhold), men tillader ikke modellen at afspejle dynamikken i det simulerede systems funktion. For at repræsentere et objekts dynamiske egenskaber introduceres en markerings- (markerings-) funktion M: B®(0, 1, 2, ...). Mærkning M der er en tildeling af visse abstrakte objekter, kaldet etiketter (chips), til positioner N-kredsløb, Desuden kan antallet af karakterer svarende til hver position variere. Med en grafisk opgave N-kredsløb Mærkningen vises ved at placere det tilsvarende antal punkter inde i toppositionerne (når antallet af punkter er stort, placeres tal). Markeret (markeret) N-ordning kan beskrives som en femmer og er en kombination af et Petri-net og mærkning M.

Operation N-kredsløb afspejles ved at flytte fra markup til markup. Den indledende markering er betegnet som M 0:I®(0, 1, 2, ...). Layoutet ændres som følge af, at en af ​​overgangene udløses d jÎ D netværk. En nødvendig betingelse for overgangen til brand d j er b iÎ jeg (dj){M(bi)3 1), hvor M(b i)– positionsmarkering b i. Overgang d j, for hvilken den angivne betingelse er opfyldt, defineres som at være i en tilstand af skudberedskab eller som en ophidset overgang.

Kombinerede modeller (A-ordninger)

Den mest berømte generelle tilgang til den formelle beskrivelse af processerne for systemfunktion er den tilgang, som Ya.P. Buslenko. Denne tilgang gør det muligt at beskrive adfærden af ​​kontinuerlige og diskrete, deterministiske og stokastiske systemer, dvs. sammenlignet med de betragtede, er den generaliseret (universel) og er baseret på konceptet aggregeringssystem(fra det engelske aggregatsystem), som er et formelt skema af en generel form, som vi vil kalde A-ordning.

Analyse af eksisterende metoder til modellering af systemer og problemer løst ved hjælp af computermodelleringsmetoden fører uundgåeligt til den konklusion, at en omfattende løsning på problemer, der opstår i processen med at skabe og computerimplementering af modellen, kun er mulig, hvis modelleringssystemerne er baseret på en enkelt formelt matematisk skema, dvs. A-diagram. Et sådant skema skal samtidigt udføre flere funktioner: være en fyldestgørende matematisk beskrivelse af modelleringsobjektet, dvs. S, tjene som grundlag for at konstruere algoritmer og programmer til maskinimplementering af modellen M, gøre det muligt at udføre analytiske undersøgelser i en forenklet version (i særlige tilfælde).

Disse krav er noget modstridende. Dog inden for rammerne af en generaliseret tilgang baseret på A-ordninger det er muligt at finde et kompromis mellem dem.

Ifølge traditionen etableret i matematik i almindelighed og i anvendt matematik i særdeleshed gives der med den aggregative tilgang først en formel definition af objektet for modellering - et aggregativt system, som er et matematisk skema, der afspejler objekternes systemiske karakter. bliver studeret. Med en aggregativ beskrivelse opdeles et komplekst objekt (system) i et begrænset antal dele (delsystemer), samtidig med at de forbindelser, der sikrer deres interaktion, bevares. Hvis nogle af de resulterende delsystemer viser sig at være ret komplekse, så fortsætter processen med at nedbryde dem, indtil der dannes delsystemer, der under betingelserne for det undersøgte modelleringsproblem kan betragtes som praktiske til matematisk beskrivelse. Som et resultat af en sådan nedbrydning præsenteres et komplekst system i form af en flerniveaustruktur af indbyrdes forbundne elementer, kombineret i undersystemer på forskellige niveauer.

Som et element A-ordninger aggregatets handlinger og forbindelsen mellem aggregaterne (inden for systemet S og med det ydre miljø E) udføres ved hjælp af konjugationsoperatoren R. Det er klart, at selve enheden kan betragtes som A-diagram, dvs. den kan opdeles i elementer (aggregater) af det næste niveau. Ethvert aggregat er karakteriseret ved følgende sæt: tidspunkter T, input x og weekender Y signaler, oplyser Z på hvert tidspunkt af tiden t. Enhedens tilstand på tidspunktet tÎ T betegnet som z(t)Î Z, og indgangs- og udgangssignalerne er som x(t)Î x Og på(t)Î Y henholdsvis.

Der er en klasse af store systemer, der på grund af deres kompleksitet ikke kan formaliseres i form af matematiske skemaer af enkelte enheder, så de formaliseres af en vis konstruktion af individuelle enheder A n, som vi kalder et aggregeret system eller A-ordning. For at beskrive et virkeligt system S som A-ordninger det er nødvendigt at have en beskrivelse af begge individuelle enheder A n og forbindelserne mellem dem.

Operation A-ordninger i forbindelse med informationsbehandling. Al information cirkulerer ind A-diagram, opdelt i ekstern og intern. Ekstern information kommer fra eksterne objekter, der ikke er elementer i det pågældende kredsløb, og intern information genereres af enheder i selve kredsløbet. A-ordninger. Udveksling af information mellem A-ordning og det ydre miljø E opstår gennem aggregater kaldet poler A-ordninger. I dette tilfælde skelnes indgangspolerne A-ordninger, som er enheder, der modtager x-meddelelser og udgangspoler A-ordninger, hvis outputoplysninger er på-Beskeder. Enheder, der ikke er poler, kaldes interne.

MODELLERING AF SYSTEMER

ARBEJDSPROGRAM, METODOLOGISKE INSTRUKTIONER

TIL SELVSTÆNDIG ARBEJDS- OG KONTROLOPGAVER

Fakulteterne ELEKTRISK ENERGI, ZDO

Speciale 220201 - LEDELSES- OG INFORMATIONSCIENCE

TEKNISKE SYSTEMER

Bachelorgrad 220200 - AUTOMATION OG LEDELSE

Modellering af systemer: arbejdsprogram, retningslinjer for selvstændigt arbejde og kontrolopgaver. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 s.

Disciplinens arbejdsprogram er givet med angivelse af emnerne i hovedafsnittene, metodiske instruktioner med links til informationskilder, testopgaver og en referenceliste.

Beregnet til fuldtids- og deltidsstuderende, der studerer i retningen: 220200 - automation og kontrol og specialer 220201 - ledelse og datalogi i tekniske systemer og på bacheloruddannelsen: 220200 - automation og kontrol.

Godkendt af VoSTU's redaktions- og udgivelsesråd

Udarbejdet af: V.N. Tyukin, Ph.D. tech. Videnskaber, lektor

Anmelder: E.V. Nesgovorov, Ph.D. tech. Videnskaber, lektor

Institut for Datalogi og Datalogi ved VoSTU

Programmet er baseret på kravene i den statslige uddannelsesstandard for videregående faglig uddannelse for minimumsindholdet og uddannelsesniveauet for ingeniører i speciale 210100 - ledelse og datalogi i tekniske systemer, indført den 10. marts 2000.

Krav til viden og færdigheder i faget

Som et resultat af at studere disciplinen skal eleverne:

1. Eleven skal have en idé:

Om model og simulering;

Om modellens rolle i forskning, design og drift af systemer;

Om formålet med computere i modelleringssystemer;

Om software og hardware til modelleringssystemer.

2. Eleven skal vide:

Formål og krav til modellen;

Klassificering af typer af systemmodellering;

Principper for tilgangen til systemmodellering;

Matematiske skemaer til modellering af systemer;

Hovedstadier af systemmodellering.

3. Eleven skal kunne:

Få matematiske modeller af systemer;

Udføre formalisering og algoritmisering af processen for systemfunktion;

Byg konceptuelle og maskinelle modeller af systemer;

Modtage og fortolke simuleringsresultater.

Krav til disciplinens minimumsindhold

Klassificering af modeller og modelleringstyper; eksempler på systemmodeller; grundlæggende bestemmelser i teorien om lighed; stadier af matematisk modellering; principper for konstruktion og grundlæggende krav til matematiske modeller af systemer; mål og mål for forskning i matematiske modeller af systemer; generel ordning for udvikling af matematiske modeller; formalisering af systemets funktionsproces; konceptet med en samlet model; former for repræsentation af matematiske modeller; metoder til undersøgelse af matematiske modeller af systemer og processer; simulering modellering; metoder til at forenkle matematiske modeller; tekniske og software modelleringsværktøjer.

tabel 1

Fordeling af undervisningstimer efter undervisningsformer og holdtyper

Typer af aktiviteter	Fuldtidsuddannelse	Korrespondanceundersøgelser
	familie 7		kun en time	familie 9		kun en time.
Forelæsninger
Praktiske lektioner
Lab. arbejde
Selv Job
Total
Endelig kontrol	h, e.			z, e, 2 k.r.

Tabel 2

Fordeling af timers elevselvstændig arbejde på arbejdsform

KURSUSPROGRAM

INTRODUKTION

I 1. Nuværende tilstand af problemet med systemmodellering.

AT 2. Brug af simulering i forskning, design og

systemstyring.

Litteratur: s. 4-6.

1. GRUNDLÆGGENDE KONCEPT FOR SYSTEMMODELLING

1.1. Definition af model og simulering. Krav til modellen. Formål med modellen.

1.2. Principper for tilgangen til systemmodellering.

1.3. Klassificering af typer af systemmodellering.

1.4. Muligheder og effektivitet af modelleringssystemer på computere.

Litteratur: s. 6-34.

2. MATEMATISK SKEMA FOR SYSTEMMODELLING

2.1. Grundlæggende tilgange til at konstruere matematiske modeller af systemer. Generel matematisk skema.

2.2. Kontinuerligt deterministiske modeller (D - skemaer).

2.3. Diskret-deterministiske modeller (F - skemaer).

2.4. Diskret-stokastiske modeller (P - skemaer).

2.5. Kontinuerlige-stokastiske modeller (Q - skemaer).

2.6. Generaliserede modeller (A - diagrammer).

Litteratur: s. 35-67, s. 168-180.

3. FORMALISERING OG ALGORITMISERING AF PROCESSEN

SYSTEMBEDRIFT

3.1. Udviklingssekvens og maskinimplementering af systemmodeller.

3.2. Konstruktion af en konceptuel model af systemet og dets formalisering.

3.3. Algoritmisering af modellen og dens maskinimplementering.

3.4. Indhentning og fortolkning af simuleringsresultater.

Litteratur: s. 68-89.

4. MATEMATISK MODELLERING AF SYSTEMER

4.1. Kanoniske former for modeller af dynamiske systemer og metoder til deres undersøgelse.

4.2. Simuleringsmodellering.

4.3. Statistisk modellering.

4.4. Software- og hardwaresystemers modelleringsværktøjer.

Litteratur:.

KURSENS MÅL

"At forstå betyder at bygge en model."

W. Thomson (Kelvin)

Reelle produktionsanlæg er som regel store systemer, hvis undersøgelse er en meget kompleks opgave. Kursets hovedmål er at udvikle en metodisk tilgang til problemstillingen omkring modellering af store systemer og deres styresystemer. Denne hovedopgave kan opdeles i en række delopgaver, som også er kursets mål:

Introduktion til analysemetoder og principper for tilgang til systemmodellering;

At studere det grundlæggende i matematisk modellering af systemer;

At studere principperne og apparaturet til systemmodellering;

Introduktion til modelleringsmetoder i design og drift af systemer;

Undersøgelse af software- og hardwaresystemers modelleringsværktøjer;

Tilegnelse af praktiske færdigheder i at konstruere modeller af store systemer og metoder til behandling af modelleringsresultater.

METODOLOGISKE INSTRUKTIONER

Kurset "Modellering af styresystemer" skal give den studerende et moderne, kraftfuldt ingeniørarbejdsværktøj til effektiv udvikling og drift af automatiserede produktionssystemer. Modellering er et middel til at løse problemet med at bygge store systemer, som omfatter moderne automatiseret produktion, uden kapitaludgifter.

Betydningen af ​​kurset, der studeres, ligger også i at beherske teknikkerne og teknologien til praktisk løsning af problemer med modellering af systemernes funktionsprocesser på en computer.

De studerende forventes at studere kursusmaterialet stort set på egen hånd. Der holdes forelæsninger om kursets mest komplekse problemstillinger, samt om problemstillinger der ikke er tilstrækkeligt dækket i litteraturen. Studerende får praktiske modelleringsfærdigheder i praktiske og laboratorietimer. Derudover gennemfører fjernundervisningsstuderende en test, mens de studerer kurset.

INTRODUKTION

At studere kurset skal begynde med en introduktion til moderne produktion, der kan betragtes som et komplekst system af indbyrdes forbundne og interagerende elementer, hvor materiale- og produktionssystemet fungerer som et teknologisk kontrolobjekt, og informations- og kontrolsystemet spiller rollen som en regulator. Forøgelse af effektiviteten af ​​implementering af styringsprocesser i produktionen kræver en udbredt indførelse af automatiserede kontrolsystemer skabt ved hjælp af økonomiske og matematiske metoder og informations- og computerteknologi. I øjeblikket er en komplet og omfattende undersøgelse af automatiserede kontrolsystemer på alle udviklingsstadier, startende med inspektion af kontrolobjektet og udarbejdelse af tekniske specifikationer for design og slutter med implementering af systemet i drift, umulig uden computermodelleringsmetoder .

Det er nødvendigt at forstå, at det metodiske grundlag for modellering er den dialektisk-materialistiske metode til erkendelse og videnskabelig forskning. Generelt kan modellering defineres som en metode til indirekte kognition, hvor det originale objekt, der studeres, er i en vis overensstemmelse med et andet modelobjekt, og modellen er i stand til på den ene eller anden måde at erstatte originalen på nogle stadier af det kognitive. behandle.

De grundlæggende principper for modellering er.

Princippet om informationstilstrækkelighed. Bestemmer niveauet af a priori information, hvor en passende model kan oprettes.

Princippet om gennemførlighed. Bestemt af sandsynligheden for at nå modelleringsmålet på en begrænset tid.

Princippet om flere modeller. Den model, der oprettes, skal først og fremmest afspejle de egenskaber ved det virkelige system, der påvirker den valgte præstationsindikator.

Aggregationsprincippet. En model af et objekt er repræsenteret fra enheder (undersystemer), der er egnede til beskrivelse ved standard matematiske skemaer.

Parametriseringsprincip. Modellen skal omfatte delsystemer karakteriseret ved parametre.

Grundlæggende koncepter for systemmodellering

"Definer betydningen af ​​ord

Og du vil udfri menneskeheden

Fra halvdelen af ​​hans vrangforestillinger."

Mens du studerer dette afsnit, er det vigtigt at forstå de grundlæggende begreber, definitioner, mål og principper for modellering.

En model er et billede af originalen baseret på accepterede hypoteser og analogier, og modellering er en repræsentation af et objekt af en model for at opnå information om dette objekt ved at udføre eksperimenter med dets model.

Hovedkravet, som modellen skal opfylde, er egnethed til objektet. Modellens tilstrækkelighed afhænger af formålet med modelleringen og de valgte kriterier. En model er tilstrækkelig til et objekt, hvis modelleringsresultaterne bekræftes og kan tjene som grundlag for at forudsige de processer, der forekommer i de undersøgte objekter.

Modellering løser problemerne med at studere og undersøge objekter, forudsige deres funktion, syntetisere struktur, parametre og adfærdsalgoritmer.

I kontrol gør modeller det muligt at estimere uobserverbare procesvariabler, forudsige processens tilstand under eksisterende eller udvalgte kontroller og automatisk syntetisere optimale kontrolstrategier.

Ved design og drift af automatiserede systemer opstår der adskillige opgaver, som kræver vurdering af de kvantitative og kvalitative mønstre af systemfunktionsprocesser, udførelse af strukturel, algoritmisk og parametrisk syntese. Løsning af disse problemer er i øjeblikket umuligt uden brug af forskellige typer modellering, hvilket skyldes karakteristika ved store systemer, såsom kompleksiteten af ​​strukturer, stokasticitet af forbindelser mellem elementer og det ydre miljø, tvetydighed af adfærdsalgoritmer, et stort antal af parametre og variabler, ufuldstændighed og indeterminisme af initial information. Matematisk modellering kan reducere designtiden betydeligt, i mange tilfælde giver det dig mulighed for at finde den optimale løsning, eliminere fuldskala trial and error-metoden og gå videre til en parallel designproces.

I øjeblikket er der ved analyse og syntese af store systemer udviklet en systematisk tilgang, som involverer en konsekvent overgang fra det generelle til det specifikke, når hensynsgrundlaget er målet, og det undersøgte objekt er isoleret fra omgivelserne. I dette tilfælde skabes modellen for det stillede problem, og modellering består i at løse problemet med målet, problemet med at konstruere modellen, problemet med at arbejde med modellen. Et karakteristisk træk ved en korrekt valgt model er, at den kun afslører de mønstre, som forskeren har brug for, og ikke tager hensyn til systemets egenskaber, som ikke er væsentlige for denne undersøgelse.

Klassificeringen af ​​typer af systemmodellering er baseret på forskellige funktioner, såsom graden af ​​fuldstændighed af modellen, arten af ​​den matematiske beskrivelse. En vigtig plads er optaget af matematisk modellering, som er processen med at etablere en overensstemmelse mellem et givet reelt objekt og et bestemt matematisk objekt, kaldet en matematisk model, og studiet af denne model, som gør det muligt at opnå egenskaberne for det reelle. det pågældende objekt. Matematisk modellering omfatter analytisk og simulering. Simuleringsmodellering er baseret på en direkte beskrivelse af det modellerede objekt, ved brug af objektets og modellens strukturelle lighed, dvs. Hvert element i objektet, der er væsentligt ud fra det problem, der skal løses, er forbundet med et modelelement.

Det tekniske middel til at løse tekniske problemer baseret på modellering er en computer. Et maskineksperiment med en model gør det muligt at studere processen med at fungere under alle forhold, reducerer varigheden af ​​test sammenlignet med et fuldskala eksperiment, har fleksibiliteten til at variere parametrene, strukturen og algoritmerne i det simulerede system, og er den eneste praktisk gennemførlige metode til at studere systemers funktionsproces på tidspunktet for deres design.

Selvtest spørgsmål

1. Hvad er model og simulering?

2. Formuler de grundlæggende krav til modellen.

3.Hvad er modellens rolle i systemforskning, design og kontrol?

4.Giv definitioner af systemet, det ydre miljø og systemets funktion.

5. Hvad er meningen med en systemtilgang til modellering?

6. Angiv karakteristika ved klassificeringen af ​​typer af systemmodellering.

7.Fortæl os om matematisk modellering og dens typer.

8.Hvad er forskellen mellem analytisk og simuleringsmodellering?

9. Hvad er cybernetisk modellering?

10. Computernes rolle og formål i modellering.

Matematiske skemaer til modellering af systemer

"Matematikkens højeste formål er

At finde orden i kaos

som omgiver os."

Når du studerer dette afsnit, er det først og fremmest nødvendigt at være opmærksom på begreberne for matematiske modelleringsskemaer, både generelle og typiske.

Et matematisk skema er defineret som et led i overgangen fra en meningsfuld til en formel beskrivelse af et systems funktionsproces under hensyntagen til det ydre miljøs indflydelse, dvs. der er en kæde "beskrivende model - matematisk skema - matematisk model". Det matematiske skema giver os mulighed for at betragte matematik ikke som en beregningsmetode, men som en måde at tænke på, som et middel til at formulere begreber, hvilket er vigtigst i overgangen fra en verbal beskrivelse af et system til en formel fremstilling af processen. af dens funktion i form af en matematisk model.

Model af modelleringsobjektet, dvs. system kan repræsenteres som et sæt af størrelser, der beskriver et reelt systems funktionsproces og danner generelt følgende delmængder: et sæt inputpåvirkninger på systemet, et sæt eksterne miljøpåvirkninger, et sæt interne ( egne) parametre for systemet og et sæt outputkarakteristika for systemet. Inputpåvirkninger, påvirkninger af det ydre miljø, interne parametre er uafhængige (eksogene) variable, og systemets outputkarakteristika er afhængige (endogene) variable. Et generelt matematisk modelleringsskema er specificeret af en operatør, der transformerer eksogene variable til endogene.

I modelleringspraksis bruger han matematiske standardskemaer, der ikke har generalitet, men som har fordelene ved enkelhed og klarhed. Disse omfatter deterministiske, stokastiske og aggregerede standardmodeller. Differential-, integral-, integrodifferentielle og andre ligninger bruges som deterministiske modeller, og differensligninger og endelige automater bruges til at repræsentere systemer, der opererer i diskret tid. Probabilistiske automater bruges som stokastiske modeller til at repræsentere tidsdiskrete systemer, og køsystemer bruges til at repræsentere kontinuerlige systemer. Aggregerede modeller afspejler den systemiske karakter af objekter, som er opdelt i et begrænset antal dele, samtidig med at de opretholder forbindelser, der sikrer delenes interaktion.

Typiske matematiske skemaer (D-,F-,P-,Q-,A-) gør det muligt at formalisere en ret bred klasse af store systemer, der skal håndteres i praksis med forskning og design af produktionsproblemer.

Selvtest spørgsmål

1.Hvad er rollen for den matematiske modelleringsplan?

2.Hvad er et generelt matematisk skema?

3.Nævn de vigtigste former for repræsentation af kontinuerligt deterministiske modeller.

4.Giv en beskrivelse af en diskret finite state-maskine.

5. Liste måder at specificere driften af ​​F - automata.

6. Hvordan man definerer en sandsynlighedsautomat.

7. Hvad er en QS? Nævn hovedelementerne i en QS.

8. Hvad er en transaktion?

9.Fortæl os om symbolikken ved Q-kredsløb. Hvordan er grafisk afbildet: kilde til anmodninger, servicekanal, akkumulator, ventil, hændelsesstrømme. Giv et eksempel på et billede af en QS i symbolikken for Q-skemaer.

10.Hvad er strukturen af ​​det samlede system?

Den indledende information, når man konstruerer MM-processer for systemfunktion, er data om formålet og driftsbetingelserne for systemet under undersøgelse (design) S. Disse oplysninger bestemmer hovedmålet med modellering, krav til MM, abstraktionsniveau og valg af matematisk modellering ordning.

Koncept matematisk skema giver os mulighed for at betragte matematik ikke som en beregningsmetode, men som en måde at tænke på, et middel til at formulere begreber, hvilket er vigtigst i overgangen fra en verbal beskrivelse til en formaliseret repræsentation af processen med dens funktion i form af nogle MM.

Ved brug af måtten. systemforskeren bør først og fremmest være interesseret i spørgsmålet om tilstrækkeligheden af ​​repræsentationen i form af specifikke diagrammer af reelle processer i det undersøgte system, og ikke i muligheden for at opnå et svar (løsningsresultat) på et specifikt forskningsspørgsmål.

For eksempel gør det at repræsentere en kollektiv IVS' funktionsproces i form af et netværk af køordninger det muligt at beskrive de processer, der foregår i systemet, men med komplekse love for indgående strømme og servicestrømme gør det det ikke muligt at opnå resultater i eksplicit form.

Matematisk skema kan defineres som et led i overgangen fra en meningsfuld til en formaliseret beskrivelse af systemets funktionsproces under hensyntagen til det ydre miljøs indflydelse. De der. der er en kæde: beskrivende model - matematisk skema - simuleringsmodel.

Hvert specifikt system S er kendetegnet ved et sæt egenskaber, der forstås som mængder, der afspejler adfærden af ​​det simulerede objekt (virkelige system) og tager hensyn til betingelserne for dets funktion i samspil med det ydre miljø (system) E.

Når du konstruerer et MM-system S, er det nødvendigt at løse problemet med dets fuldstændighed. Fuldstændigheden af ​​modelleringen reguleres hovedsageligt af valget af grænser "System S - miljø E". Problemet med at forenkle MM'en skal også løses, hvilket hjælper med at fremhæve systemets hovedegenskaber, idet de kasserer dem, der er sekundære med hensyn til modelleringsformålet.

MM af modelleringsobjektet, dvs. Systemer S kan repræsenteres som et sæt af mængder, der beskriver et reelt systems funktionsproces og i det generelle tilfælde danner følgende undermængder:

Sættet af X - input påvirker Sх i Х, i=1…n x ;

Sættet af miljøpåvirkningsv l V, l=1…n v ;

Sættet af interne (egne) parametre for systemet h k H, k=1…n h ;

Sættet af outputkarakteristika for systemet y j Y, j=1…n y .

I de anførte sæt kan der skelnes mellem kontrollerbare og ukontrollerbare mængder. Generelt er X, V, H, Y usammenhængende sæt, der indeholder både deterministiske og stokastiske komponenter. Indgangspåvirkninger E og interne parametre S er uafhængige (eksogene) variable, Output egenskaber - afhængige variabler (endogene). Funktionsprocessen S er beskrevet af operatøren F S:

(1)

Output bane.F S - funktionsloveS.F S kan være en funktion, funktionelle, logiske betingelser, algoritme, tabel eller verbal beskrivelse af reglerne.

Fungerende algoritme En S - metode til at opnå outputkarakteristika under hensyntagen til inputpåvirkninger Det er klart, at den samme F S kan implementeres på forskellige måder, dvs. bruger mange forskellige AS.

Relation (1) er en matematisk beskrivelse af modelleringsobjektets adfærd i tiden t, dvs. afspejler det dynamiske egenskaber. (1) er en dynamisk model af systemet. For statiske MM-forhold er der afbildninger X, V, H til Y, dvs. (2)

Relationer (1), (2) kan specificeres ved formler, tabeller osv.

Også relationer kan i nogle tilfælde opnås gennem systemets egenskaber på bestemte tidspunkter, kaldet tilstande.

Tilstandene i systemet S er karakteriseret ved vektorerne:

Og , Hvor i øjeblikket l (t 0 , T)

i øjeblikket ll (t 0 , T) osv. k=1…n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)... Z k (t) er koordinaterne for et punkt i det k-dimensionelle faserum. Hver implementering af processen vil svare til en bestemt fasebane.

Sættet af alle mulige værdier af tilstande () kaldes tilstandsrummet for modelleringsobjektet Z og z k Z.

Systemtilstand S i tidsinterval t 0 , hvor input, interne parametre og miljøpåvirkninger, der fandt sted over en periode t * - t 0 ved hjælp af 2 vektorligninger:

; (3)

Ellers: . (5)

Tid i mod. S kan betragtes på modelleringsintervallet (t 0 , T) både kontinuert og diskret, dvs. kvantificeret på et længdesegment.t.

Ved et objekts MM forstår vi således et begrænset sæt af variabler () sammen med matematiske forbindelser mellem dem og karakteristika.

Modellering kaldes deterministisk, hvis operatorerne F, Ф er deterministiske, dvs. for et bestemt input er output deterministisk. Deterministisk modellering er et særligt tilfælde af stokastisk modellering. I praksis er modellering af objekter inden for systemanalyse i de indledende stadier af forskning mere rationelt at bruge standard matematiske skemaer: differential. ligninger, endelige og probabilistiske automater, QS mv.

Ikke besat. sådan en grad af generalitet som modeller (3), (4), typiske matematiske skemaer har fordelen af ​​enkelthed og overskuelighed, men med en væsentlig indsnævring af anvendelsesmuligheden.

Som deterministisk modeller, når den tilfældige kendsgerning ikke tages i betragtning i undersøgelsen, bruges differential-, integral- og andre ligninger til at repræsentere systemer, der arbejder i kontinuerlig tid, og kredsløb med endelige forskelle bruges til at repræsentere systemer, der fungerer i diskret tid.

I begyndelsen af ​​stokastiske modeller (under hensyntagen til den tilfældige faktor) bruges probabilistiske automater til at repræsentere diskrete-tidssystemer, og køsystemer (QS) bruges til at repræsentere kontinuerte-tidssystemer. Af stor praktisk betydning, når man studerer komplekse individuelle ledelsessystemer, som omfatter automatiserede kontrolsystemer, er de såkaldte samlet modeller.

Aggregerede modeller (systemer) gør det muligt at beskrive en bred vifte af forskningsobjekter, der afspejler disse objekters systemiske karakter. Det er med en aggregativ beskrivelse, at et komplekst objekt opdeles i et endeligt antal dele (delsystemer), samtidig med at forbindelserne opretholdes, og samspillet mellem delene sikres.

16 Matematiske skemaer til modellering af systemer.

Grundlæggende tilgange til at konstruere matematiske modeller af et system. Kontinuerligt deterministiske modeller. Diskret-deterministiske modeller. Diskret-stokastiske modeller. Kontinuerlig-stokastiske modeller. Netværksmodeller. Kombinerede modeller.

Grundlæggende tilgange til at konstruere matematiske modeller af et system.

Den indledende information, når man konstruerer matematiske modeller af systemfunktionsprocesser, er data om formålet og driftsbetingelserne for det system, der undersøges (designes) S.

Matematiske skemaer

Reelle processer vises i form af specifikke diagrammer. Måtte. diagrammer – overgang fra en meningsfuld beskrivelse til en formel beskrivelse af systemet under hensyntagen til miljøets indflydelse.

Formel objektmodel

Simuleringsobjektmodel,

dvs systemer S, kan repræsenteres som et sæt af mængder,

beskriver processen med at fungere og danne et virkeligt system

generelt følgende undergrupper:

· helhed input påvirkninger pr system

xjeg,еХ,(e-karakter tilhører)jeg=1; nx

· helhed miljømæssige påvirkninger

vl eVl=1;nv

· helhed interne (egne) parametre systemer

hkeHk=1;nh

· helhed output karakteristika systemer

yJeYj=1;ny

Der kan skelnes mellem kontrollerbare og ukontrollerbare variable.

Ved modellering af systemer indeholder inputpåvirkninger, eksterne miljøpåvirkninger og interne parametre både deterministiske og stokastiske komponenter.

inputpåvirkninger, miljøpåvirkninger E og de interne parametre i systemet er uafhængige (eksogene) variable.

Systemdriftsproces S beskrevet i tide af operatøren Fs, som generelt omdanner eksogene variable til endogene i overensstemmelse med relationer af formen:

y(t)=Fs(x,v, h,t) – alle med vekTori.

Funktionsloven for systemet Fs kan specificeres i form af en funktion, funktionelle, logiske betingelser, i algoritmiske og tabelformede former eller i form af en verbal korrespondanceregel.

Konceptet med den fungerende algoritme Som - en metode til at opnå outputkarakteristika under hensyntagen til inputpåvirkninger, eksterne miljøpåvirkninger og systemets egne parametre.

Systemtilstande introduceres også - systemets egenskaber på bestemte tidspunkter.

Sættet af alle mulige tilstandsværdier udgør et objekts tilstandsrum.

Således giver kæden af ​​ligninger af objektet "input - tilstande - output" os mulighed for at bestemme systemets egenskaber:

Således under matematisk model af objektet(virkeligt system) forstå en begrænset delmængde af variable (x (t), v (t), h(t)) sammen med matematiske forbindelser mellem dem og karakteristika y(t).

Typiske ordninger

I de indledende faser af undersøgelsen anvendes standardskemaer : differentialligninger, endelige og probabilistiske automater, køsystemer, petri-net mv.

Som deterministiske modeller, når tilfældige faktorer ikke tages i betragtning i undersøgelsen, bruges differential-, integral-, integrodifferential- og andre ligninger til at repræsentere systemer, der opererer i kontinuerlig tid, og endelige differensskemaer bruges til at repræsentere systemer, der opererer i diskret tid. .

Som stokastiske modeller (under hensyntagen til tilfældige faktorer) bruges probabilistiske automater til at repræsentere diskrete-tidssystemer, og køsystemer osv. bruges til at repræsentere kontinuerte-tidssystemer.

Når man konstruerer matematiske modeller af systemfunktionsprocesser, kan der således skelnes mellem følgende hovedtilgange: kontinuert-deterministisk (f.eks. differentialligninger); diskret-deterministisk (finite state maskiner); diskret-stokastisk (sandsynlighedsautomater); kontinuert-stokastisk (køsystemer); generaliserede eller universelle (aggregerede systemer).

Kontinuerligt deterministiske modeller

Lad os overveje funktionerne i den kontinuerligt deterministiske tilgang ved at bruge et eksempel ved at bruge Mat. modeller differentialligninger.

Differentialligninger er de ligninger, hvor funktionerne af en variabel eller flere variable er ukendte, og ligningen inkluderer ikke kun deres funktioner, men deres afledte af forskellige ordener.

Hvis de ukendte er funktioner af mange variable, kaldes ligningerne - partielle differentialligninger. Hvis ukendte funktioner af en uafhængig variabel, så almindelige differentialligninger.

Matematisk relation for deterministiske systemer i generel form:

Diskret-deterministiske modeller.

DDM tages i betragtning automatteori (TA). TA er en sektion af teoretisk kybernetik, der studerer enheder, der behandler diskret information og kun ændrer deres interne tilstande på acceptable tidspunkter.

Statsmaskine er en automat, hvis sæt af interne tilstande og indgangssignaler (og derfor sættet af udgangssignaler) er endelige sæt.

Statsmaskine har et sæt interne tilstande og indgangssignaler, som er endelige sæt. Maskine er givet af F-skemaet: F= ,

hvor z, x, y er henholdsvis endelige sæt af input- og outputsignaler (alfabeter) og et endeligt sæt af interne tilstande (alfabet). z0ÎZ - begyndelsestilstand; j(z, x) - overgangsfunktion; y(z, x) - outputfunktion.

Automaten fungerer i diskret automattid, hvis momenter er clock-cyklusser, dvs. ens tidsintervaller ved siden af ​​hinanden, som hver svarer til konstante værdier af input, output signal og intern tilstand. En abstrakt automat har én indgangs- og én udgangskanal.

For at angive en F-automat er det nødvendigt at beskrive alle elementer i sættet F= , dvs. input, interne og output alfabeter, samt overgangs- og outputfunktioner. For at specificere driften af ​​F-automata, bruges de tabelformede, grafiske og matrixmetoder oftest.

I den tabelformede indstillingsmetode bruges tabeller over overgange og output, hvis rækker svarer til maskinens inputsignaler, og kolonnerne svarer til dens tilstande.

Beskrivelse af arbejdet F- automatisk maskine Mili tabeller over overgange j og output y er illustreret af tabel (1), og beskrivelsen af ​​F - en Moore-maskine - ved tabel over overgange (2).

tabel 1

Overgange
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabel 2

…………………………………………………………

Eksempler på den tabelformede metode til at specificere F - Mealy-maskinen F1 med tre tilstande, to indgangs- og to udgangssignaler er givet i tabel 3, og for F - Moore-maskinen F2 - i tabel 4.

Tabel 3

Overgange

Tabel 4

En anden måde at specificere en endelig automat på bruger konceptet med en rettet graf. Grafen for en automat er et sæt af hjørner svarende til forskellige tilstande af automaten og forbinder spidserne af grafbuerne svarende til bestemte overgange af automaten. Hvis indgangssignalet xk forårsager en overgang fra tilstand zi til tilstand zj, så er på automatgrafen den bue, der forbinder toppunktet zi til toppunktet zj, betegnet xk. For at specificere overgangsfunktionen skal grafens buer markeres med de tilsvarende udgangssignaler.

Ris. 1. Grafer over Mealy (a) og Moore (b) automater.

Ved løsning af modelleringsproblemer er en matrixspecifikation af en endelig automat ofte en mere bekvem form. I dette tilfælde er automatens forbindelsesmatrix en kvadratisk matrix C=|| cij ||, hvis rækker svarer til starttilstandene, og kolonnerne svarer til overgangstilstandene.

Eksempel. For den tidligere betragtede Moore-automat F2 skriver vi tilstandsmatrixen og outputvektoren:

;

Diskret-stokastiske modeller

Lad Ф være mængden af ​​alle mulige par af formen (zk, yi), hvor уi er et element i outputtet

delmængde Y. Vi kræver, at ethvert element i mængden G inducerer

på sættet Ф en eller anden distributionslov af følgende form:

Elementer fra Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) bll b1bK(J-1) bKJ

Informationsnetværk" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">behandling af computeroplysninger fra fjernterminaler mv.

Samtidig er karakteristisk for

drift af sådanne objekter er det tilfældige udseende af applikationer (krav) til

service og færdiggørelse af service på tilfældige tidspunkter,

dvs. den stokastiske karakter af processen med deres funktion.

Et QS forstås som et dynamisk system designet til effektivt at betjene en tilfældig strøm af anmodninger med begrænsede systemressourcer. Den generaliserede struktur af QS er vist i figur 3.1.

Ris. 3.1. SMO-ordning.

Homogene anmodninger, der ankommer til input af QS, afhængigt af den genererende årsag, er opdelt i typer, intensiteten af ​​strømmen af ​​anmodninger af type i (i=1...M) betegnes li. Helheden af ​​anmodninger af alle typer er det indgående flow af QS.

Ansøgninger er under behandling m kanaler.

Der er universelle og specialiserede servicekanaler. For en universel kanal af type j anses fordelingsfunktionerne Fji(t) for varigheden af ​​serviceanmodninger af en vilkårlig type som kendte. For specialiserede kanaler er funktionerne til fordeling af varigheden af ​​servicekanaler for anmodninger af nogle typer usikre, tildelingen af ​​disse anmodninger til en given kanal.

Q-kredsløb kan studeres analytisk og med simuleringsmodeller. Sidstnævnte giver større alsidighed.

Lad os overveje konceptet med kø.

I enhver elementær forkyndelseshandling kan der skelnes mellem to hovedkomponenter: forventningen om forkyndelse ved ansøgningen og den faktiske forkyndelse af ansøgningen. Dette kan vises i form af en i-te serviceenhed Pi, der består af en skadeakkumulator, som samtidigt kan indeholde li=0...LiH-krav, hvor LiH er kapaciteten af ​​den i-te lagringsenhed, og en krav servicering kanal, ki.

Ris. 3.2. SMO-enhedsdiagram

Hvert element i serviceanordningen Pi modtager strømme af hændelser: drevet Hi modtager en strøm af anmodninger wi, og kanalen ki modtager en servicestrøm ui.

Strømmen af ​​begivenheder(PS) er en sekvens af begivenheder, der opstår den ene efter den anden på nogle tilfældige tidspunkter. Der er strømme af homogene og heterogene begivenheder. Homogen PS er kun kendetegnet ved ankomstmomenterne af disse begivenheder (forårsager øjeblikke) og er givet af sekvensen (tn)=(0£t1£t2…£tn£…), hvor tn er tidspunktet for ankomsten af ​​den n. hændelse - et ikke-negativt reelt tal. OPS kan også specificeres som en sekvens af tidsintervaller mellem den n-te og n-1. hændelse (tn).

Heterogen En PS kaldes en sekvens (tn, fn), hvor tn er årsagsmomenterne; fn er et sæt hændelsesattributter. For eksempel kan tilhørsforhold til en bestemt kilde af anmodninger, tilstedeværelsen af ​​prioritet, muligheden for at blive betjent af en bestemt type kanal osv. specificeres.

Forespørgsler serveret af kanal ki og anmodninger, der forlod enheden Pi af forskellige årsager, ikke blev behandlet fra outputstrømmen yiÎY.

Funktionsprocessen af ​​serviceanordningen Pi kan repræsenteres som en proces til at ændre tilstandene af dens elementer i tiden Zi(t). Overgangen til en ny tilstand for Pi betyder en ændring i antallet af anmodninger, der er i den (i kanalen ki og lageret Hi). At. tilstandsvektoren for Pi har formen: , hvor er drevtilstandene, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - der er en anmodning i drevet..., =- drevet er helt optaget; - kanaltilstand ki (=0 - kanal er ledig, =1 kanal er optaget).

Q-skemaer af rigtige objekter er dannet af sammensætningen af ​​mange elementære serviceanordninger Pi. Hvis ki forskellige serviceenheder er forbundet parallelt, så finder multi-channel service sted (multi-channel Q-skema), og hvis enheder Pi og deres parallelle sammensætninger er forbundet i serie, så finder multi-fase service sted (multi-faset) Q-skema).

For at definere et Q-skema er det også nødvendigt at beskrive algoritmerne for dets funktion, som bestemmer reglerne for applikationers adfærd i forskellige tvetydige situationer.

Afhængigt af placeringen af ​​sådanne situationer er der algoritmer (discipliner) til at vente på anmodninger i Hi-lagertanken og servicereanmodninger af kanal ki. Der tages højde for heterogeniteten af ​​ansøgningsstrømmen ved at indføre en prioritetsklasse - relative og absolutte prioriteter.

At. Et Q-skema, der beskriver funktionen af ​​en QS af enhver kompleksitet, er unikt specificeret som et sæt sæt: Q = .

Netværksmodeller.

Til formelt at beskrive opbygningen og samspillet af parallelle systemer og processer, samt til at analysere årsag-virkning sammenhænge i komplekse systemer, anvendes Petri Nets, kaldet N-skemaer.

Formelt er N-ordningen givet ved en firdobling af formen

N= ,

hvor B er et endeligt sæt af symboler kaldet positioner, B ≠ O;

D er et begrænset sæt af symboler kaldet overgange D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – inputfunktion (direkte incidensfunktion)

I: B x D → (0, 1); О – outputfunktion (invers incidensfunktion),

O: B x D → (0, 1). Således kortlægger input-funktionen I overgangen dj til

sæt af inputpositioner bj I(dj), og outputfunktionen O afspejler

overgang dj til sættet af outputpositioner bj O(dj). For hver overgang

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),

O(dj) = (bi B | O(dj, bi) = 1 ),

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.

Tilsvarende introduceres definitionerne for hver position bi B

sæt af inputovergange af position I(bi) og outputovergange

positioner O(bi):

I(bi) = (dj D | I(dj, bi,) = 1 ),

O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).

Et Petri-net er en todelt rettet graf bestående af toppunkter af to typer - positioner og overgange, forbundet med buer; toppunkter af samme type kan ikke forbindes direkte.

Et eksempel på et Petri-net. Hvide cirkler angiver positioner, striber angiver overgange, sorte cirkler angiver mærker.

Orienterende buer forbinder positioner og overgange, hvor hver bue er rettet fra et element i et sæt (position eller overgang) til et element i et andet sæt

(overgang eller position). En N-skemagraf er en multigraf, fordi den

tillader eksistensen af ​​flere buer fra et toppunkt til et andet.

Dekomponering" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekomponering repræsenterer et komplekst system som en flerniveaustruktur af indbyrdes forbundne elementer kombineret til undersystemer på forskellige niveauer.

Et aggregat fungerer som et element i A-skemaet, og forbindelsen mellem aggregater (inden for systemet S og med det eksterne miljø E) udføres ved hjælp af konjugationsoperatoren R.

Enhver enhed er kendetegnet ved følgende sæt: tidspunkter T, input X og output Y-signaler, tilstande Z på hvert tidspunkt t. Enhedens tilstand på tidspunktet tT er angivet som z(t) Z,

og indgangs- og udgangssignalerne er henholdsvis x(t) X og y(t) Y.

Vi vil antage, at overgangen af ​​aggregatet fra tilstanden z(t1) til tilstanden z(t2)≠z(t1) sker over et kort tidsinterval, dvs. der er et spring i δz.

Enhedens overgange fra tilstand z(t1) til z(t2) bestemmes af de egne (interne) parametre for selve enheden h(t) H og indgangssignaler x(t) X.

I det indledende tidspunkt t0 har tilstande z værdier lig med z0, dvs. z0=z(t0), specificeret af distributionsloven for processen z(t) på tidspunktet t0, nemlig J. Lad os antage, at enhedens funktionsmåde i tilfælde af et påvirkningsindgangssignal xn er beskrevet af en tilfældig operatør V. Så i det øjeblik indgangssignalet tnT kommer ind i enheden

xn kan du bestemme tilstanden

z(tn + 0) = V.

Lad os betegne halvtidsintervallet t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Sættet af tilfældige operatorer V og U betragtes som en operator for overgange af aggregatet til nye tilstande. I dette tilfælde består processen med enhedens funktion af hop i tilstande δz ved ankomsten af ​​inputsignaler x (operatør V) og ændringer i tilstande mellem disse momenter tn og tn+1 (operatør U). Der er ingen begrænsninger pålagt operatøren U, derfor er hop i tilstande δz tilladt på tidspunkter, der ikke er tidspunkterne for ankomst af inputsignaler x. I det følgende vil momenterne for spring δz blive kaldt specielle tidspunkter tδ, og tilstandene z(tδ) vil blive kaldt specielle tilstande i A-skemaet. For at beskrive tilstandsspring δz på særlige tidspunkter tδ, vil vi bruge den tilfældige operator W, som er et specialtilfælde af operatoren U, dvs.

z(tδ + 0) = W.

I sættet af tilstande Z er en delmængde Z(Y) allokeret således, at hvis z(tδ) når Z(Y), så er denne tilstand tidspunktet for udsendelse af et udgangssignal bestemt af outputoperatøren

y = G.

Således vil vi ved et aggregat forstå ethvert objekt defineret af en ordnet samling af de betragtede sæt T, X, Y, Z, Z(Y), H og tilfældige operatorer V, U, W, G.

Sekvensen af ​​inputsignaler arrangeret i rækkefølgen af ​​deres ankomst i A-kredsløbet vil blive kaldt en inputmeddelelse eller x-meddelelse. Vi kalder sekvensen af ​​udgangssignaler, ordnet i forhold til udstedelsestidspunktet, for en udgangsmeddelelse eller y-meddelelse.

HVIS KORT

Kontinuerligt deterministiske modeller (D-skemaer)

De bruges til at studere systemer, der fungerer i kontinuerlig tid. For at beskrive sådanne systemer anvendes hovedsageligt differential-, integral- og integrodifferentialligninger. Almindelige differentialligninger betragter kun en funktion af én uafhængig variabel, mens partielle differentialligninger betragter funktioner af flere variable.

Et eksempel på brugen af ​​D-modeller er studiet af driften af ​​et mekanisk pendul eller et elektrisk oscillerende kredsløb. Det tekniske grundlag for D-modeller består af analoge computere (ACM'er) eller de i øjeblikket hastigt udviklende hybridcomputere (HCM'er). Grundprincippet for computerforskning er som bekendt, at forskeren (computerbrugeren) ifølge givne ligninger sammensætter et kredsløb fra individuelle standardenheder - operationsforstærkere med inklusion af skalering, dæmpning, tilnærmelseskredsløb mv.

Strukturen af ​​AVM ændres i overensstemmelse med typen af ​​reproducerbare ligninger.

I en digital computer forbliver strukturen uændret, men driftssekvensen af ​​dens noder ændres i overensstemmelse med programmet, der er indlejret i den. En sammenligning af AVM og CVM viser tydeligt forskellen mellem simulering og statistisk modellering.

ABM implementerer en simuleringsmodel, men anvender som regel ikke principperne for statistisk modellering. I digitale computere er de fleste simuleringsmodeller baseret på studiet af tilfældige tal og processer, det vil sige på statistisk modellering. Kontinuerligt deterministiske modeller bruges i vid udstrækning inden for maskinteknik i studiet af automatiske styresystemer, valg af stødabsorberende systemer, identifikation af resonansfænomener og vibrationer i teknologi
og så videre.

Diskret-deterministiske modeller (F-skemaer)

Kør med diskret tid. Disse modeller er grundlaget for at studere driften af ​​en ekstremt vigtig og udbredt klasse af diskrete automatsystemer i dag. Til formålet med deres undersøgelse er der udviklet et uafhængigt matematisk apparat for automatteori. Baseret på denne teori betragtes systemet som en automat, der behandler diskret information og ændrer dets interne tilstande afhængigt af resultaterne af dets behandling.

Denne model er baseret på principperne om at minimere antallet af elementer og noder i et kredsløb, enhed, optimering af enheden som helhed og sekvensen af ​​driften af ​​dens noder. Sammen med elektroniske kredsløb er en fremtrædende repræsentant for automaterne beskrevet af denne model en robot, der styrer (ifølge et givet program) teknologiske processer i en given deterministisk rækkefølge.

En numerisk styret værktøjsmaskine er også beskrevet af denne model. Valget af rækkefølgen af ​​bearbejdningsdele på denne maskine udføres ved at indstille kontrolenheden (controlleren), som genererer styresignaler på bestemte tidspunkter / 4 /.

Automatteori bruger det matematiske apparat af booleske funktioner, der fungerer med to mulige signalværdier 0 og 1.

Automater er opdelt i automater uden hukommelse og automater med hukommelse. Deres funktion er beskrevet ved hjælp af tabeller, matricer og grafer, der viser maskinens overgange fra en tilstand til en anden. Analytiske estimater for enhver type beskrivelse af maskinens drift er meget besværlige, og selv med et relativt lille antal elementer og knudepunkter, der udgør enheden, er det praktisk talt umuligt. Derfor udføres undersøgelsen af ​​komplekse kredsløb af automater, som utvivlsomt inkluderer robotanordninger, ved hjælp af simuleringsmodellering.

Diskret-stokastiske modeller (P-skemaer)

De bruges til at studere funktionen af ​​probabilistiske automater. I maskiner af denne type udføres overgange fra en tilstand til en anden under påvirkning af eksterne signaler og under hensyntagen til maskinens interne tilstand. Men i modsætning til G-automater er disse overgange ikke strengt deterministiske, men kan udføres med visse sandsynligheder.

Et eksempel på en sådan model er en diskret Markov-kæde med et endeligt sæt af tilstande. Analysen af ​​F-skemaer er baseret på bearbejdning og transformation af overgangssandsynlighedsmatricer og analyse af sandsynlighedsgrafer. Allerede til analysen af ​​relativt simple enheder, hvis adfærd er beskrevet af F-kredsløb, er det tilrådeligt at bruge simuleringsmodellering. Et eksempel på en sådan modellering er givet i afsnit 2.4.

Kontinuerlige-stokastiske modeller (Q-skemaer)

De bruges i analysen af ​​en bred klasse af systemer, der betragtes som køsystemer. Som en serviceproces kan processer af forskellig fysisk karakter repræsenteres: strømme af produktleverancer til en virksomhed, strømme af specialfremstillede komponenter og produkter, strømme af dele på et samlebånd, strømme af kontrolhandlinger fra kontrolcentret af den automatiserede kontrolsystem til arbejdspladser og returanmodninger om informationsbehandling i computer mv.

Disse strømme afhænger typisk af mange faktorer og specifikke situationer. Derfor er disse strømme i de fleste tilfælde tilfældige i tid med mulighed for ændringer til enhver tid. Analysen af ​​sådanne skemaer udføres på grundlag af det matematiske apparat for køteori. Disse omfatter en kontinuerlig Markov-kæde. På trods af de betydelige fremskridt, der er opnået i udviklingen af ​​analytiske metoder, kan køteori og analyse af Q-skemaer ved hjælp af analytiske metoder kun udføres under væsentlige simplificerende antagelser og antagelser. En detaljeret undersøgelse af de fleste af disse ordninger, især sådanne komplekse som automatiserede processtyringssystemer og robotsystemer, kan kun udføres ved hjælp af simuleringsmodellering.

Generaliserede modeller (A-skemaer)

Baseret på en beskrivelse af de fungerende processer i ethvert system baseret på den aggregative metode. Med en aggregeret beskrivelse er systemet opdelt i separate delsystemer, som kan anses for praktiske til matematisk beskrivelse. Som et resultat af en sådan opdeling (nedbrydning) præsenteres et komplekst system som et multi-level system, hvis individuelle niveauer (aggregater) er tilgængelige for analyse. Baseret på analysen af ​​individuelle enheder og under hensyntagen til lovene om indbyrdes forhold mellem disse enheder, er det muligt at foretage en omfattende undersøgelse af hele systemet.

, Yakovlev-systemer. 4. udg. – M.: Videregående skole, 2005. – S. 45-82.

For at bruge en computer til at løse anvendte problemer, skal først og fremmest det anvendte problem "oversættes" til et formelt matematisk sprog, dvs. for et rigtigt objekt, proces eller system skal det bygges matematisk model.

Matematiske modeller i kvantitativ form, ved hjælp af logiske og matematiske konstruktioner, beskriver de grundlæggende egenskaber ved et objekt, en proces eller et system, dets parametre, interne og eksterne forbindelser.

Til opbygning af en matematisk model nødvendig:

1. omhyggeligt analysere en virkelig genstand eller proces;
2. fremhæve dets vigtigste funktioner og egenskaber;
3. definere variabler, dvs. parametre, hvis værdier påvirker objektets hovedtræk og egenskaber;
4. beskrive afhængigheden af ​​de grundlæggende egenskaber af et objekt, en proces eller et system af værdierne af variable ved hjælp af logisk-matematiske relationer (ligninger, ligheder, uligheder, logisk-matematiske konstruktioner);
5. fremhæve intern kommunikation objekt, proces eller system ved hjælp af restriktioner, ligninger, ligheder, uligheder, logiske og matematiske konstruktioner;
6. identificere eksterne sammenhænge og beskrive dem ved hjælp af restriktioner, ligninger, ligheder, uligheder, logiske og matematiske konstruktioner.

Matematisk modellering, ud over at studere et objekt, en proces eller et system og udarbejde deres matematiske beskrivelse, omfatter også:

1. opbygning af en algoritme, der modellerer opførselen af ​​et objekt, en proces eller et system;
2. undersøgelse modellens tilstrækkelighed og et objekt, en proces eller et system baseret på beregningsmæssigt og naturligt eksperiment;
3. model justering;
4. ved hjælp af modellen.

Den matematiske beskrivelse af de undersøgte processer og systemer afhænger af:

1. karakteren af ​​en virkelig proces eller et system og er kompileret på grundlag af lovene i fysik, kemi, mekanik, termodynamik, hydrodynamik, elektroteknik, plasticitetsteori, elasticitetsteori osv.
2. den nødvendige pålidelighed og nøjagtighed af undersøgelsen og forskningen af ​​virkelige processer og systemer.

Ved udvælgelsen af ​​en matematisk model fastlægges følgende: linearitet og ikke-linearitet af et objekt, proces eller system, dynamik eller staticitet, stationaritet eller ikke-stationaritet, samt graden af ​​determinisme af objektet eller processen, der undersøges. I matematisk modellering abstraherer man bevidst fra den specifikke fysiske natur af objekter, processer eller systemer og fokuserer hovedsageligt på studiet af kvantitative afhængigheder mellem størrelser, der beskriver disse processer.

Matematisk model er aldrig helt identisk med det pågældende objekt, proces eller system. Med udgangspunkt i forenkling, idealisering, er det en tilnærmet beskrivelse af objektet. Derfor er resultaterne opnået fra analysen af ​​modellen omtrentlige. Deres nøjagtighed bestemmes af graden af ​​tilstrækkelighed (compliance) mellem modellen og objektet.

Det begynder normalt med konstruktionen og analysen af ​​den enkleste, mest rå matematiske model af det pågældende objekt, proces eller system. I fremtiden raffineres modellen om nødvendigt, og dens korrespondance til objektet gøres mere komplet.

Lad os tage et simpelt eksempel. Det er nødvendigt at bestemme overfladearealet af skrivebordet. Typisk gøres dette ved at måle dens længde og bredde og derefter gange de resulterende tal. Denne elementære procedure betyder faktisk følgende: et rigtigt objekt (bordoverfladen) erstattes af en abstrakt matematisk model - et rektangel. Dimensionerne opnået ved at måle længden og bredden af ​​bordoverfladen er tildelt rektanglet, og arealet af et sådant rektangel anses omtrent for at være det nødvendige område af bordet.

Imidlertid er rektangelmodellen til et skrivebord den enkleste og mest rå model. Hvis du tager en mere seriøs tilgang til problemet, før du bruger en rektangelmodel til at bestemme bordets areal, skal denne model kontrolleres. Kontrol kan udføres som følger: mål længderne af de modsatte sider af bordet såvel som længderne af dets diagonaler og sammenlign dem med hinanden. Hvis længderne af de modstående sider og længderne af diagonalerne med den nødvendige grad af nøjagtighed er ens parvis, så kan bordets overflade virkelig betragtes som et rektangel. Ellers vil rektangelmodellen skulle afvises og erstattes med en generel firsidet model. Med et højere krav til nøjagtighed kan det være nødvendigt at forfine modellen yderligere, for eksempel for at tage højde for afrundingen af ​​bordets hjørner.

Med dette simple eksempel blev det vist det matematisk model er ikke entydigt bestemt af objektet, processen eller systemet, der studeres. Til den samme tabel kan vi anvende enten en rektangelmodel eller en mere kompleks model af en generel firkant eller en firkant med afrundede hjørner. Valget af en eller anden model bestemmes af kravet om nøjagtighed. Med stigende nøjagtighed skal modellen være kompliceret under hensyntagen til nye og nye funktioner i objektet, processen eller systemet, der undersøges.

Lad os overveje et andet eksempel: at studere bevægelsen af ​​krankmekanismen (fig. 2.1).

Ris. 2.1.

For den kinematiske analyse af denne mekanisme er det først og fremmest nødvendigt at konstruere dens kinematiske model. For det:

1. Vi erstatter mekanismen med dens kinematiske diagram, hvor alle led udskiftes hårde bånd;
2. Ved hjælp af dette diagram udleder vi mekanismens bevægelsesligning;
3. Ved at differentiere sidstnævnte får vi ligningerne for hastigheder og acceleration, som er differentialligninger af 1. og 2. orden.

Lad os skrive disse ligninger:

hvor C 0 er den yderste højre position af skyderen C:

r – krumtapradius AB;

l – plejlstangslængde BC;

– håndsvingets rotationsvinkel;

Modtaget transcendentale ligninger præsentere en matematisk model af bevægelsen af ​​en flad aksial krumtapmekanisme, baseret på følgende forenklede antagelser:

1. vi var ikke interesserede i de strukturelle former og arrangementet af masserne, der er inkluderet i kroppens mekanisme, og vi erstattede alle mekanismens kroppe med lige segmenter. Faktisk har alle mekanismens led masse og en ret kompleks form. For eksempel er en forbindelsesstang en kompleks samling, hvis form og dimensioner selvfølgelig vil påvirke mekanismens bevægelse;
2. Når vi flyttede den undersøgte mekanisme, tog vi heller ikke hensyn til elasticiteten af ​​de legemer, der er inkluderet i mekanismen, dvs. alle led blev betragtet som abstrakte absolut stive kroppe. I virkeligheden er alle legemer, der indgår i mekanismen, elastiske legemer. Når mekanismen bevæger sig, vil de på en eller anden måde blive deformeret, og elastiske vibrationer kan endda forekomme i dem. Alt dette vil selvfølgelig også påvirke mekanismens bevægelse;
3. vi tog ikke højde for fabrikationsfejlen af ​​linkene, hullerne i de kinematiske par A, B, C osv.

Det er således vigtigt endnu en gang at understrege, at jo højere krav til nøjagtigheden af ​​resultaterne ved løsning af et problem stilles, jo større er behovet for at tage højde for, når opbygning af en matematisk model træk ved objektet, processen eller systemet, der undersøges. Det er dog vigtigt at stoppe her i tide, da det er svært matematisk model kan blive til et svært problem at løse.

En model opbygges nemmest, når de love, der bestemmer adfærden og egenskaberne for et objekt, en proces eller et system, er velkendte, og der er stor praktisk erfaring i deres anvendelse.

En mere kompleks situation opstår, når vores viden om den genstand, proces eller system, der undersøges, er utilstrækkelig. I dette tilfælde, hvornår opbygning af en matematisk model det er nødvendigt at foretage yderligere antagelser, der er i karakter af hypoteser; sådan en model kaldes hypotetisk. Konklusionerne opnået som et resultat af at studere en sådan hypotetisk model er betingede. For at verificere konklusionerne er det nødvendigt at sammenligne resultaterne af at studere modellen på en computer med resultaterne af et fuldskalaeksperiment. Spørgsmålet om anvendeligheden af ​​en bestemt matematisk model til studiet af det pågældende objekt, proces eller system er således ikke et matematisk spørgsmål og kan ikke løses med matematiske metoder.

Hovedkriteriet for sandhed er eksperiment, praksis i ordets bredeste forstand.

Opbygning af en matematisk model i anvendte opgaver – et af de mest komplekse og kritiske stadier af arbejdet. Erfaringen viser, at valget af den rigtige model i mange tilfælde betyder, at man løser problemet med mere end halvdelen. Det svære ved denne fase er, at det kræver en kombination af matematisk og speciel viden. Derfor er det meget vigtigt, at matematikere ved løsning af anvendte problemer har særlig viden om objektet, og deres partnere, specialister, har en vis matematisk kultur, forskningserfaring inden for deres felt, viden om computere og programmering.