Regnskabsberegninger ved hjælp af det binære decimaltalssystem. Repræsenterer tal i binær kode

Det binære decimaltalssystem er blevet udbredt i moderne computere på grund af den lette konvertering til decimalsystemet og omvendt. Den bruges, hvor hovedopmærksomheden ikke er rettet mod enkelheden af ​​den tekniske konstruktion af maskinen, men til brugerens bekvemmelighed. I dette talsystem er alle decimalcifre separat kodet af fire binære cifre og i denne form skrives sekventielt efter hinanden.

Det binære decimalsystem er ikke økonomisk med hensyn til implementering af maskinens tekniske konstruktion (det nødvendige udstyr stiger med omkring 20%), men det er meget praktisk, når du forbereder opgaver og programmerer. I det binære decimaltalssystem er bunden af ​​talsystemet tallet ti, men hver af de 10 decimalcifre (0, 1, ..., 9) er repræsenteret ved hjælp af binære cifre, det vil sige kodet i binære cifre. Fire binære cifre bruges til at repræsentere et decimaltal. Der er selvfølgelig redundans her, da fire binære cifre (eller en binær tetrad) ikke kan repræsentere 10, men 16 tal, men dette er allerede en produktionsomkostning af hensyn til programmeringsvenligheden. Der er et antal binært kodede decimalsystemer til at repræsentere tal, kendetegnet ved, at visse kombinationer af nuller og ener inden for en tetrad tildeles bestemte værdier af decimalcifre 1 .

I det mest almindeligt anvendte naturlige binærkodede decimaltalssystem er vægten af ​​binære cifre i en tetrad naturlige, det vil sige 8, 4, 2, 1 (tabel 3.1).

Tabel 3.1. Tabel over binære koder af decimale og hexadecimale cifre

Nummer	Kode	Nummer	Kode
		EN
		B
		C
		D
		E
		F

For eksempel ser decimaltallet 9703 i BCD således ud: 1001011100000011.

Spørgsmål 18. os. Logiske principper for computerdrift. Logiske algebra operationer

Logikkens algebra involverer mange logiske operationer. Tre af dem fortjener dog særlig opmærksomhed, fordi... med deres hjælp kan du beskrive alle de andre, og derfor bruge mindre udvalg af enheder, når du designer kredsløb. Sådanne operationer er konjunktion(OG), disjunktion(ELLER) og negation(IKKE). Ofte betegnes konjunktionen & , disjunktion - || , og negationen er en søjle over variablen, der angiver sætningen.

Med en konjunktion opstår sandheden af ​​et komplekst udtryk kun, hvis alle de simple udtryk, der udgør komplekset, er sande. I alle andre tilfælde vil det komplekse udtryk være falsk.

Med disjunktion opstår sandheden af ​​et komplekst udtryk, når mindst ét ​​simpelt udtryk inkluderet i det er sandt, eller to på én gang. Det sker, at et komplekst udtryk består af mere end to simple. I dette tilfælde er det nok, at én simpel er sand, og så vil hele udsagnet være sandt.

Negation er en unær operation, fordi den udføres i forhold til et enkelt udtryk eller i forhold til resultatet af et komplekst. Som et resultat af negation opnås et nyt udsagn, der er modsat det oprindelige.

Spørgsmål 19. Grundlæggende regler for algebra logik

Den sædvanlige notation for disse love i formel logik er:

Spørgsmål 20. Sandhedstabel

Sandhedstabeller

Det er praktisk at beskrive logiske operationer ved den såkaldte sandhedstabeller, som afspejler resultaterne af beregninger af komplekse udsagn for forskellige værdier af de originale simple udsagn. Simple udsagn er angivet med variable (for eksempel A og B).

21 Spørgsmål. Logiske elementer. Deres navne og betegnelser på diagrammet

Hvordan kan vi bruge den viden, vi har fået fra feltet matematisk logik, til at designe elektroniske enheder? Vi ved, at O ​​og 1 i logik ikke kun er tal, men en betegnelse af tilstande for et eller andet objekt i vores verden, konventionelt kaldet "falsk" og "sandhed". Et sådant objekt, som har to faste tilstande, kan være en elektrisk strøm. Enheder, der registrerer to stabile tilstande, kaldes bistabil(fx kontakt, relæ). Hvis du husker, var de første computere relæcomputere. Senere blev der skabt nye elektriske styreenheder - elektroniske kredsløb, bestående af et sæt halvlederelementer. Sådanne elektroniske kredsløb, som konverterer signaler af kun to faste spændinger af elektrisk strøm (bistabil), begyndte at blive kaldt logiske elementer.

Computer logik element- dette er en del af et elektronisk logisk kredsløb, der implementerer en elementær logisk funktion.

De logiske elementer i computere er elektroniske kredsløb OG, ELLER, IKKE, NAND, NOR og andre (også kaldet ventiler), og udløser.

Ved hjælp af disse kredsløb kan du implementere enhver logisk funktion, der beskriver driften af ​​computerenheder. Typisk har ventiler to til otte indgange og en eller to udgange.

For at repræsentere de to logiske tilstande "1" og "0" i portene, har deres tilsvarende indgangs- og udgangssignaler et af to indstillede spændingsniveauer. For eksempel +5 volt og 0 volt.

Et højt niveau svarer normalt til værdien "sand" ("1"), og et lavt niveau svarer til værdien "falsk" ("0").

Hvert logisk element har sit eget symbol, som udtrykker sin logiske funktion, men ikke angiver, hvilken slags elektronisk kredsløb der er implementeret i det. Dette gør det lettere at skrive og forstå komplekse logiske kredsløb.

Funktionen af ​​logiske elementer beskrives ved hjælp af sandhedstabeller.

Sandhedstabel er en tabelrepræsentation af et logisk kredsløb (operation), der viser alle mulige kombinationer af sandhedsværdierne af inputsignalerne (operander) sammen med sandhedsværdien af ​​outputsignalet (resultatet af operationen) for hver af disse kombinationer.

Et eksempel på et blandet talsystem er binært decimalsystem . I BCD-talsystemet tildeles 4 binære cifre for hvert decimalciffer, da det maksimale decimalciffer 9 er kodet som 1001 2. For eksempel,

925 10 = 1001 0010 0101 2-10 .

Her repræsenterer successive firdobler (tetrader) af binære cifre henholdsvis cifrene 9, 2 og 5 i decimalnotationen.

Selvom BCD-notation kun bruger cifrene 0 og 1, er BCD-notation forskellig fra den binære repræsentation af et givet tal. For eksempel svarer den binære kode 1001 0010 0101 til decimaltallet 2341, ikke 925.

Hvis P=Q l (l er et positivt heltal), er repræsentationen af ​​ethvert tal i et blandet talsystem identisk sammenfaldende med billedet af dette tal i et talsystem med grundtallet Q. Eksempler på et sådant blandet talsystem er binær- oktal og binær-hexadecimal.

For eksempel,

A2 16 = 1010 0010 2 = 1010 0010 2-16

REPRÆSENTATION AF NEGATIVE TAL I FAST PUNKTFORMAT (PRIKKER)

For at forenkle aritmetiske operationer bruger computere specielle binære koder til at repræsentere negative tal: reciprok og komplement. Ved hjælp af disse koder er det forenklet at bestemme tegnet på resultatet af en operation under algebraisk addition. Operationen af ​​subtraktion (eller algebraisk addition) reduceres til den aritmetiske addition af operanderne, hvilket gør det lettere at udvikle tegn på overløb af bitgitteret. Som et resultat forenkles computerenheder, der udfører aritmetiske operationer.

Det er kendt, at en af ​​måderne at udføre en subtraktionsoperation på er at erstatte tegnet for subtrahenden med dets modsatte og tilføje det til minuenden:

A - B = A + (- B)

Dette erstatter operationen af ​​aritmetisk subtraktion med operationen af ​​algebraisk addition, som kan udføres ved hjælp af binære addere.

Til maskinel repræsentation af negative tal anvendes koder direkte, yderligere, omvendt. En forenklet definition af disse koder kan gives som følger. Hvis tallet A i almindelig binær kode er direkte binær kode, afbildet som

[A] pr = 0.an an-1 an-2.....a1 a0,

så er tallet -A i samme kode repræsenteret som

[-A]pr = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

og i baglæns(omvendt) kode vil dette tal se ud:

[-A]rev = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

ai = 1 hvis ai = 0,

ai = 0, hvis ai = 1,

-en i - ciffer jeg- det ciffer i et binært tal. Når man går fra en direkte kode til en omvendt kode, bliver alle cifre i Matisse-talbits følgelig inverteret.

Så tallet -A ind ekstra koden er repræsenteret som

[-A]add = [-A]rev + 1

For at opnå den komplementære kode for negative tal skal du først invertere den digitale del af det oprindelige tal, hvilket resulterer i dens omvendte kode, og derefter tilføje et til det mindst signifikante ciffer i den digitale del af tallet.

Den komplementære kode for et bestemt nummer opnås ved at erstatte det med et nyt nummer, komplementære det til et tal lig med vægten af ​​det ciffer, der følger efter det mest signifikante ciffer i bitgitteret, der bruges til at repræsentere tallets mantisse i fikspunktsformat. Derfor kaldes en sådan talkode ekstra.

Lad os forestille os, at vi kun har to cifre til at repræsentere tal i decimaltalsystemet. Så vil det maksimale antal, der kan afbildes, være 99, og vægten af ​​det tredje ikke-eksisterende højeste ciffer vil være 10 2, dvs. 100. I dette tilfælde vil det komplementære tal for tallet 20 være 80, hvilket supplerer 20 til 100 (100 - 20 = 80). Derfor, per definition, subtraktion

kan erstattes af tilføjelse:

Her går den højeste enhed ud over det allokerede bitgitter, hvor kun tallet 30 er tilbage, dvs. Resultatet af at trække tallet 20 fra 50.

Lad os nu se på et lignende eksempel for tal repræsenteret i 4-bit binær kode. Lad os finde det ekstra tal for 0010 2 = 210. Vi skal trække 0010 fra 0000, vi får 1110, som er tillægskoden 2. Cifferet vist i firkantede parentes eksisterer faktisk ikke. Men da vi har et 4-bit gitter, er det dybest set umuligt at udføre en sådan subtraktion, og endnu mere forsøger vi at slippe af med subtraktion. Derfor opnås den ekstra nummerkode på den tidligere beskrevne måde, dvs. først får de den omvendte kode af tallet, og tilføjer derefter 1. Efter at have gjort alt dette med vores nummer (2), er det ikke svært at se, at et lignende svar vil blive opnået.

Lad os understrege det To-komplement- og to-komplementkoder bruges kun til at repræsentere negative binære tal i fikspunktsform. Positive tal i disse koder ændrer ikke deres billede og er repræsenteret som i den direkte kode.

Således er de digitale cifre i et negativt tal i direkte kode forblive uændret, og en er skrevet i tegndelen.

Lad os se på simple eksempler.

Syv i direkte kode er repræsenteret som følger:

pr = 0,0001112

Nummer -7 i direkte kode:

[-7]pr = 1,0001112,

og i den omvendte kode vil det se ud

[-7]omdrejninger = 1,1110002,

de der. enere erstattes af nuller, og nuller med etaller. Det samme tal i tos komplement ville være:

[-7]tilføj = 1,1110012.

Lad os endnu en gang overveje, hvordan subtraktionsproceduren, ved at bruge repræsentationen af ​​subtrahenden i tos komplementkode, reduceres til additionsproceduren. Træk tallet 7 fra 10: 10 - 7 = 3. Hvis begge operander præsenteres i direkte kode, udføres subtraktionsproceduren som følger:

-1.000111

Og hvis subtrahendable, dvs. -7, præsenteret i to's komplementkode, så reduceres subtraktionsproceduren til additionsproceduren:

+ 1.111001

1 0.000011 = 310.

I dag bruger computere typisk to's komplementkode til at repræsentere negative tal i fikspunktsformat.

Formen for repræsentation af tal i digitale maskiner er et sæt regler, der gør det muligt at etablere en gensidig overensstemmelse mellem registreringen af ​​et nummer og dets kvantitative ækvivalent.

Maskinelt (automatisk) billede af et nummer det er repræsentation af et tal i bitgitteret på en digital maskine. Symbolet for et maskinbillede af et tal, for eksempel A, vil blive repræsenteret som [EN].

På grund af den begrænsede længde af maskinord er mængden af ​​tal, der kan repræsenteres i en maskine, begrænset. Sammenligninger mellem forskellige former for talrepræsentation i computere foretages normalt på grundlag af et skøn rækkevidde og nøjagtighed af talrepræsentation.

I daglig praksis er den mest almindelige form for at repræsentere tal som en sekvens af cifre adskilt med et komma i heltal og brøkdele. Tal repræsenteret i denne form kaldes tal med naturligt komma eller tal i naturlig form. I naturlig form skrives et tal i sin naturlige form, for eksempel er 12560 et heltal, 0,003572 er en egen brøk, 4,89760 er en uegen brøk.

Når du repræsenterer tal i denne form, er det nødvendigt for hvert tal at angive placeringen af ​​dets komma i bitgitteret, der er allokeret til at repræsentere tallet i maskinen, hvilket kræver ekstra hardwareomkostninger på et ret stort beløb. Derfor er to andre former for repræsentation blevet udbredt i computere: med fast og flydende punkt (prik).

Det er ikke nødvendigt at angive kommaets position, hvis kommaets plads i maskinens bitgitter er fastsat på forhånd én gang for alle. Denne form for at repræsentere tal kaldes repræsentation med fast komma (punktum).

Da tal kan være positive og negative, er formatet (bitgitteret) af maskinbilledet opdelt i ikonisk del Og nummerfelt. Nummerfeltet indeholder billedet af selve nummeret, som vi normalt vil kalde mantisse tal. For at indkode tegnet for et tal bruges det mest signifikante ciffer i bitgitteret, der er reserveret til billedet af det binære tal, og de resterende cifre tildeles til tallets mantisse. Placeringen af ​​kommaet i bitgitteret er strengt fastsat, normalt enten til højre for det laveste ciffer i mantissen eller til venstre for det højeste. I det første tilfælde er tallet repræsenteret som et heltal, i det andet - som en egentlig brøk. I dag repræsenterer langt de fleste computere heltal i fikspunktsformat.

Skiltedelen indeholder information om tallets fortegn. Det accepteres, at skiltet positivt tal "+" repræsenteret ved symbolet 0, og tegnet er et negativt tal "-" repræsenteret ved symbolet 1.

For eksempel, i binær kode, ved hjælp af et 6-bit gitter, kan tallet 7 i fikspunktsform repræsenteres som:

hvor cifret til venstre for prikken er tallets tegn, og de fem cifre til højre for prikken er mantissen af ​​tallet i direkte kode. Det, der menes her, er det komma er fastsat til højre for det mindst betydende ciffer, og punktet i billedet af tallet i dette tilfælde adskiller simpelthen fortegnsbitten fra tallets mantisse.

I fremtiden vil denne type repræsentation af et tal i maskinform ofte blive brugt i eksempler. Du kan bruge en anden form for at repræsentere et tal i maskinform:

hvor fortegnsbitten er adskilt af firkantede parenteser.

Antallet af cifre i bitgitteret, der er allokeret til at repræsentere mantissen af ​​et tal, bestemmer rækkevidden og nøjagtigheden af ​​repræsentationen af ​​et fastpunkttal. Det maksimale binære tal i absolut værdi er repræsenteret af ener i alle cifre, undtagen fortegnet en, dvs. for heltal

|A|max = (2 (n -1) - 1),

Hvor n- den samlede længde af bitgitteret. I tilfælde af 16-bit gitter

|A| max = (2 (16-1) - 1) = 32767 10,

de der. Området for heltalsrepræsentation vil i dette tilfælde være fra +3276710 til -3276710.

For det tilfælde, hvor kommaet er fastgjort til højre for det laveste ciffer i mantissen, dvs. for heltal, tal, hvis modul er større end

(2(n-1) - 1) og mindre end én er ikke repræsenteret i fikspunktsform. Tal, hvis absolutte værdi er mindre end et af de mindst signifikante cifre i bitgitteret, kaldes i dette tilfælde et maskinnul. Negativt nul er forbudt.

I nogle tilfælde, når det kun er muligt at operere med talmoduler, allokeres hele bitgitteret, inklusive den mest signifikante bit, til at repræsentere tallet, hvilket gør det muligt at udvide rækkevidden af ​​repræsentation af tal.

Binært decimaltalssystem

Det binære decimaltalssystem er blevet udbredt i moderne computere på grund af den lette konvertering til decimalsystemet og omvendt. Den bruges, hvor hovedopmærksomheden ikke er rettet mod enkelheden af ​​den tekniske konstruktion af maskinen, men til brugerens bekvemmelighed. I dette talsystem er alle decimalcifre separat kodet af fire binære cifre og i denne form skrives sekventielt efter hinanden.

Det binære decimalsystem er ikke økonomisk med hensyn til implementering af maskinens tekniske konstruktion (det nødvendige udstyr stiger med omkring 20%), men det er meget praktisk, når du forbereder opgaver og programmerer. I det binære decimaltalssystem er bunden af ​​talsystemet tallet 10, men hvert decimalciffer (0, 1, ..., 9) er repræsenteret, det vil sige kodet, af binære cifre. Fire binære cifre bruges til at repræsentere et decimaltal. Her er der selvfølgelig redundans, da 4 binære cifre (eller en binær tetrad) ikke kan repræsentere 10, men 16 tal, men dette er allerede en produktionsomkostning af hensyn til programmeringsvenligheden. Der er et antal binært kodede decimalsystemer til at repræsentere tal, kendetegnet ved, at visse kombinationer af nuller og ener inden for en tetrad tildeles bestemte værdier af decimalcifre.
Opslået på ref.rf
I det mest almindeligt anvendte naturlige binærkodede decimaltalssystem er vægten af ​​binære cifre i en tetrad naturlige, det vil sige 8, 4, 2, 1 (tabel 6).

Tabel 6

Binær decimalnotation

For eksempel er decimaltallet 5673 i BCD-notation 01010110011100011.

Konvertering af tal fra et talsystem til et andet er en vigtig del af maskinaritmetik. Lad os overveje de grundlæggende regler for oversættelse.

1. For at konvertere et binært tal til et decimaltal, er det nødvendigt at skrive ᴇᴦο som et polynomium bestående af produkterne af cifrene i tallet og den tilsvarende potens af 2, og beregne efter reglerne for decimalregning˸

Når du oversætter, er det praktisk at bruge tabellen over potenser af to˸

Tabel 7.

Nummer 2 potenser

n (grad)

Eksempel. Konverter tallet til decimaltalsystemet.

2. For at konvertere et oktalt tal til et decimaltal er det nødvendigt at skrive ᴇᴦο som et polynomium bestående af produkterne af cifrene i tallet og den tilsvarende potens af tallet 8, og beregne efter reglerne for decimalregning˸

Når du oversætter, er det praktisk at bruge tabellen over potenser af otte˸

Tabel 8.

8 potenser

n (grad)
8 n

Binært decimaltalssystem - koncept og typer. Klassificering og funktioner i kategorien "Binært-decimaltalssystem" 2015, 2017-2018.

Dette system har en base på S = 10, men hvert ciffer er repræsenteret af et fire-bit binært tal kaldet en tetrad. Typisk bruges dette nummersystem i computere ved indtastning og udlæsning af information. Men i nogle typer computere indeholder ALU'en specielle decimal aritmetiske blokke, der udfører operationer på tal i binær decimalkode. Dette giver i nogle tilfælde mulighed for at øge computerens ydeevne betydeligt.

For eksempel er der i et automatiseret databehandlingssystem mange tal, men få beregninger. I dette tilfælde vil operationer forbundet med overførsel af numre fra et system til et andet væsentligt overskride den tid, der kræves til at udføreer.

Konvertering af tal fra decimalsystemet til BCD er meget simpelt og består i at erstatte hvert ciffer med en binær tetrad.

Eksempel.

Skriv decimaltallet 572,38 (10) i det binære decimaltalssystem.

Den omvendte oversættelse er også enkel: du skal opdele det binære decimaltal i tetrader fra punktet til venstre (for heltalsdelen) og til højre (for brøkdelen), tilføje det nødvendige antal ubetydelige nuller og skriv derefter hver tetrad som et decimaltal.

Eksempel.

Skriv det binære decimaltal 10010.010101 (2-10) i decimaltalsystemet.

Konvertering af tal fra BCD til binært system udføres i henhold til de generelle regler beskrevet ovenfor.

2.3. Oktalt talsystem

I det oktale talsystem bruges kun otte cifre, dvs. dette talsystem har grundtallet S = 8. Generelt ser et oktalt tal sådan ud:

Hvor
.

Det oktale talsystem er ikke nødvendigt af en computer, i modsætning til det binære system. Det er praktisk som en kompakt form for at skrive tal og bruges af programmører (for eksempel i programtekster for en mere kortfattet og bekvem måde at skrive binære koder for kommandoer, adresser og operander). I det oktale talsystem er vægten af ​​hvert ciffer et multiplum af otte eller en ottendedel, så et otte-bit binært tal giver dig mulighed for at udtrykke decimalværdier i området 0-255, og et oktalt tal dækker området 0 -99999999 (for binær er dette 27 cifre).

Da 8=2 3, kan hvert oktal tegn repræsenteres som et tre-bit binært tal. For at konvertere et tal fra det binære talsystem til det oktale talsystem skal du dividere dette tal til venstre (for heltalsdelen) og til højre (for brøkdelen) af punktet (komma) i grupper af tre cifre (treklanger) og repræsenterer hver gruppe med et tal i det oktale talsystem. De ekstreme ufuldstændige treklanger suppleres med det nødvendige antal ubetydelige nuller.

Eksempel.

Skriv det binære tal 10101011111101 (2) i det oktale talsystem.

Eksempel.

Skriv det binære tal 1011.0101 (2) i det oktale talsystem.

Konvertering fra oktal til binær udføres ved at repræsentere hvert ciffer i et oktalt tal som et trecifret binært tal (triade).

2.4. Hexadecimalt talsystem

Dette talsystem har en basis på S = 16. Generelt ser et hexadecimalt tal sådan ud:

Hvor
.

Det hexadecimale talsystem gør det muligt at skrive multi-bit binære tal endnu kortere og derudover forkorte notationen af ​​et 4-bit binært tal, dvs. nippe, da 16=2 4 . Det hexadecimale system bruges også i programtekster til en mere kortfattet og bekvem registrering af binære tal.

For at konvertere et tal fra det binære talsystem til hexadecimalt, skal du dividere dette tal til venstre og højre for punktet i tetrader og repræsentere hver tetrad med et ciffer i det hexadecimale talsystem.

Eksempel.

Skriv det binære tal 10101011111101 (2) i hexadecimal.

Eksempel.

Skriv det binære tal 11101.01111 (2) i hexadecimal.

For at konvertere et tal fra det hexadecimale talsystem til det binære talsystem, er det tværtimod nødvendigt at erstatte hvert ciffer i dette tal med en tetrad.

Afslutningsvis skal det bemærkes, at overførsel af vilkårlige tal fra et talsystem til et andet kan udføres efter de generelle regler beskrevet i afsnittet "Binært talsystem". Men i praksis udføres konverteringer af tal fra decimalsystemet til de betragtede talsystemer og omvendt gennem det binære talsystem.

Husk også, at hexadecimale og oktale tal kun er en måde at repræsentere de store binære tal, som processoren faktisk opererer på. I dette tilfælde er det hexadecimale system at foretrække, da processorer i moderne computere manipulerer ord med længden 4, 8, 16, 32 eller 64 bit, dvs. længden af ​​ord er et multiplum af 4. I det oktale talsystem foretrækkes ord, der er multipla af 3 bit, for eksempel ord med en længde på 12 bit (som i PDP-8 fra DEC).

I datalogi-kurser, uanset skole eller universitet, gives en særlig plads til et sådant begreb som talsystemer. Som regel er der afsat flere lektioner eller praktiske øvelser til det. Hovedmålet er ikke kun at mestre de grundlæggende begreber i emnet, at studere typerne af talsystemer, men også at blive bekendt med binær, oktal og hexadecimal aritmetik.

Hvad betyder det?

Lad os starte med at definere det grundlæggende koncept. Som lærebogen "Informatik" bemærker, er et talsystem en registrering af tal, der bruger et særligt alfabet eller et bestemt sæt tal.

Afhængigt af om værdien af ​​et ciffer ændrer sig afhængigt af dets position i tallet, er der to: positionelle og ikke-positionelle talsystemer.

I positionssystemer ændres betydningen af ​​et ciffer med dets position i tallet. Så hvis vi tager tallet 234, betyder tallet 4 i det enheder, men hvis vi betragter tallet 243, vil det allerede betyde tiere, ikke enheder.

I ikke-positionelle systemer er betydningen af ​​et ciffer statisk, uanset dets position i tallet. Det mest slående eksempel er stick-systemet, hvor hver enhed er angivet med en streg. Det er lige meget, hvor du placerer pinden, værdien af ​​tallet vil kun ændre sig med én.

Ikke-positionelle systemer

Ikke-positionelle talsystemer omfatter:

1. Et enhedssystem, der betragtes som et af de første. Den brugte pinde i stedet for tal. Jo flere der var, jo større værdi af tallet. Du kan finde et eksempel på tal skrevet på denne måde i film, hvor vi taler om mennesker tabt på havet, fanger, der markerer hver dag ved hjælp af hak på en sten eller et træ.
2. Roman, hvor latinske bogstaver blev brugt i stedet for tal. Ved hjælp af dem kan du skrive et hvilket som helst tal. Desuden blev dens værdi bestemt ved hjælp af summen og forskellen af ​​de cifre, der udgjorde tallet. Hvis der var et mindre tal til venstre for cifferet, blev venstre ciffer trukket fra højre, og hvis cifferet til højre var mindre end eller lig med cifferet til venstre, blev deres værdier summeret. For eksempel blev tallet 11 skrevet som XI og 9 - IX.
3. Alfabetisk, hvor numre blev udpeget ved hjælp af alfabetet for et bestemt sprog. En af dem anses for at være det slaviske system, hvor en række bogstaver ikke kun havde fonetisk, men også numerisk betydning.
4. hvor kun to notationer blev brugt til at skrive - kiler og pile.
5. Egypten brugte også specielle symboler til at repræsentere tal. Når du skriver et tal, må hvert symbol ikke bruges mere end ni gange.

Positionssystemer

Der er meget opmærksomhed i datalogi til positionelle talsystemer. Disse omfatter følgende:

• binær;
• oktal;
• decimal;
• hexadecimal;
• sexagesimal, bruges til at tælle tid (for eksempel er der 60 sekunder i et minut, 60 minutter i en time).

Hver af dem har sit eget alfabet til skrivning, regler for oversættelse og udførelse af aritmetiske operationer.

Decimalsystem

Dette system er det mest kendte for os. Den bruger tallene 0 til 9 til at skrive tal. De kaldes også arabisk. Afhængigt af cifferets position i tallet kan det betegne forskellige cifre - enheder, tiere, hundrede, tusinder eller millioner. Vi bruger det overalt, vi kender de grundlæggende regler, som aritmetiske operationer på tal udføres efter.

Binært system

Et af de vigtigste talsystemer inden for datalogi er binært. Dens enkelhed gør det muligt for computeren at udføre besværlige beregninger flere gange hurtigere end i decimalsystemet.

For at skrive tal bruges kun to cifre - 0 og 1. Desuden vil værdien ændre sig afhængigt af positionen af ​​0 eller 1 i tallet.

I første omgang var det ved hjælp af computere, at de fik al den nødvendige information. I dette tilfælde betød man tilstedeværelsen af ​​et signal transmitteret ved hjælp af spænding, og nul betød dets fravær.

Oktal system

Et andet velkendt computernummersystem, som bruger tal fra 0 til 7. Det blev primært brugt i de vidensområder, der er forbundet med digitale enheder. Men for nylig er det blevet brugt meget sjældnere, da det er blevet erstattet af det hexadecimale talsystem.

Binært decimalsystem

At repræsentere store tal i binært er en ret kompliceret proces for mennesker. For at forenkle det blev det udviklet.Det bruges normalt i elektroniske ure og lommeregnere. I dette system konverteres ikke hele tallet fra decimalsystemet til binært, men hvert ciffer konverteres til dets tilsvarende sæt af nuller og enere i det binære system. Konverteringen fra binær til decimal sker på lignende måde. Hvert ciffer, repræsenteret som et firecifret sæt af nuller og enere, konverteres til et decimaltalsystem. I princippet er der ikke noget kompliceret.

For at arbejde med tal i dette tilfælde vil en tabel over talsystemer være nyttig, som vil angive overensstemmelsen mellem tallene og deres binære kode.

Hexadecimalt system

For nylig er det hexadecimale talsystem blevet mere og mere populært inden for programmering og datalogi. Det bruger ikke kun tal fra 0 til 9, men også et antal latinske bogstaver - A, B, C, D, E, F.

Samtidig har hvert af bogstaverne sin egen betydning, så A=10, B=11, C=12 og så videre. Hvert tal er repræsenteret som et sæt af fire tegn: 001F.

Konvertering af tal: fra decimal til binær

Oversættelse i talsystemer sker efter visse regler. Den mest almindelige konvertering er fra binært til decimalsystem og omvendt.

For at konvertere et tal fra decimalsystemet til det binære system, er det nødvendigt at dividere det sekventielt med bunden af ​​talsystemet, det vil sige tallet to. I dette tilfælde skal resten af ​​hver division registreres. Dette vil ske, indtil resten af ​​divisionen er mindre end eller lig med én. Det er bedst at udføre beregninger i en kolonne. De resulterende divisionsrester skrives derefter til linjen i omvendt rækkefølge.

Lad os for eksempel konvertere tallet 9 til binært:

Vi dividerer 9, da tallet ikke er deleligt med en hel, så tager vi tallet 8, resten bliver 9 - 1 = 1.

Efter at have divideret 8 med 2, får vi 4. Divider det igen, da tallet er deleligt med et heltal - vi får en rest af 4 - 4 = 0.

Vi udfører den samme operation med 2. Resten er 0.

Som et resultat af division får vi 1.

Uanset det endelige talsystem vil konverteringen af ​​tal fra decimal til ethvert andet ske efter princippet om at dividere tallet med positionssystemets basis.

Konvertering af tal: fra binær til decimal

Det er ret nemt at konvertere tal til decimaltalsystemet fra binært. For at gøre dette er det nok at kende reglerne for at hæve tal til magten. I dette tilfælde i kraft af to.

Oversættelsesalgoritmen er som følger: hvert ciffer fra koden til et binært tal skal ganges med to, og de to første vil være i potensen m-1, det andet - m-2 og så videre, hvor m er antal cifre i koden. Tilføj derefter resultaterne af tilføjelsen for at opnå et heltal.

For skolebørn kan denne algoritme forklares mere enkelt:

Til at begynde med tager og nedskriver vi hvert ciffer ganget med to, og sætter derefter potensen af ​​to fra slutningen, startende fra nul. Derefter lægger vi det resulterende tal sammen.

Som et eksempel vil vi analysere tallet 1001 opnået tidligere, konvertere det til decimalsystemet og samtidig kontrollere rigtigheden af ​​vores beregninger.

Det vil se sådan ud:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Når du studerer dette emne, er det praktisk at bruge en tabel med to potenser. Dette vil reducere den tid, der kræves til at udføre beregninger.

Andre oversættelsesmuligheder

I nogle tilfælde kan oversættelse udføres mellem binære og oktale talsystemer, binære og hexadecimale. I dette tilfælde kan du bruge specielle tabeller eller starte et lommeregnerprogram på din computer ved at vælge "Programmer"-indstillingen på fanen Vis.

Aritmetiske operationer

Uanset hvilken form tallet er præsenteret i, kan det bruges til at udføre beregninger, der er velkendte for os. Dette kan være division og multiplikation, subtraktion og addition i det talsystem du har valgt. Selvfølgelig har hver af dem sine egne regler.

Så for det binære system er dets egne tabeller blevet udviklet for hver af operationerne. De samme tabeller bruges i andre positionssystemer.

Der er ingen grund til at huske dem - bare print dem ud og hav dem ved hånden. Du kan også bruge en lommeregner på din pc.

Et af de vigtigste emner inden for datalogi er talsystemet. Kendskab til dette emne, forståelse af algoritmer til at konvertere tal fra et system til et andet er nøglen til, at du vil være i stand til at forstå mere komplekse emner, såsom algoritmisering og programmering, og vil være i stand til selv at skrive dit første program.