Determinant af en matrix, når lig med nul. Metoder til beregning af determinanter

determinanter n GO ordre

1. Metode til reduktion til trekantet form.

a) Beregn determinanten: .

Hvis vi trækker den første række fra alle de andre, får vi en determinant, der har en trekantet form og derfor er lig med produktet af de diagonale elementer:

. Til sidst Dn = (–1)n –1 .

b) Beregn determinanten: .

Vi trækker den første række fra alle de andre, og derefter, fra kolonnerne af determinanten, tager vi ud: fra den første EN 1 – x; fra den anden EN 2 – x; …..; fra n th og n – x. Vi får:

D = (-en 1 – x) (-en 2 -x)… (en n–x) .

Lad os skrive det første element i den første kolonne i formen: = 1 + , og tilføje alle kolonnerne i den resulterende determinant til den første kolonne. Vi får en trekantet determinant, som er lig med produktet af de diagonale elementer. Derfor:

D = (-en 1 – x) (-en 2 – x)…(en n – x)x + + + … + .

2. Metode til at identificere lineære faktorer.

a) Beregn determinanten.

1. Tilføjer vi de tre andre til den første kolonne af determinanten, finder vi, at der i den første kolonne er en fælles faktor, som er lig med x + på + z. Derfor divideres determinanten med x + på + z.

2. På samme måde finder vi ud af, at determinanten er delelig ved at lægge den anden til den første kolonne og trække den tredje og fjerde kolonne fra den. x – y – z.

3. Hvis den første kolonne lægges til den tredje og trækker den anden og fjerde fra, får vi, at determinanten er delelig med x – y + z.

4. Hvis vi lægger den fjerde til den første kolonne og trækker den anden og tredje kolonne fra, finder vi, at determinanten har en faktor x – y + z. Så:

Det er klart, at determinanten er et polynomium af grad 4 tommer x, Ved y og af z. Til højre er også et polynomium af samme grad. Derfor V= konst. I determinanten x 4 er inkluderet i udtrykket:

-en 12 -en 21 -en 34 -en 43 = (–1) 2 × x× x× x× x = x 4 .

I højre side er seniorterminen x: Vx 4, dvs. V= 1. Vi får resultatet:

= (x + y + z)(x – y – z)(x – y + z)(x + y – z) = x 4 + y 4 + z 4 – 2x 2 y 2 – 2x 2 z 2 – 2på 2 z 2 .

b) Beregn determinanten n- rækkefølge: .

Denne determinant kaldes Vandermonde-determinanten. Betragter det som et polynomium ( n–1) th grads relativ x n vi vil se, at det bliver til 0 hvornår x n = x 1, x n= x 2, … x n = x n- 1 . Derefter Dn = en n – 1 (x n – x 1)(x n – x 2) … (x n– x n–1), og en n –1 = = Dn-1. Ved at gentage denne procedure får vi: Dn = (x 2 – x 1)(x 3 – x 2)(x 3 – x 1)(x 4 – x 3)(x 4 – x 2)(x 4 – –x 1)… = .

3. En metode til at repræsentere en determinant som en sum af determinanter.

Beregn determinanten: .

Når vi bemærker, at elementerne i den første kolonne præsenteres som summer af to tal, lad os udvide determinanten til summen af ​​to determinanter:

.

Nu vil vi dekomponere hver af de resulterende determinanter i summen af ​​to determinanter, idet vi udnytter det faktum, at elementerne i den anden kolonne også præsenteres i form af summer osv. Efter at have gjort dette, får vi ( n> 2) at strengene for de resulterende determinanter vil være som følger: et i, et i, …, et i eller b 1, b 2, … , b n . Rækker af 1. type er proportionale, rækker af 2. type er ens, og derfor er alle led lig med nul. Derfor: Dn = 0 ("n > 2).

For determinanter af samme type, men af ​​første og anden orden, får vi:

D 1 = | -en 1 + b 1 | = -en 1 + b 1 ; D 2 = =

= -en 1 b 2 –-en 2 b 2 + b 1 -en 2 – -en 1 b 1 = (-en 1 – -en 2)b 2 + (-en 2 + -en 1)b 1 = (-en 1 – -en 2)(b 2 – b 1).

Metode til tilbagevendende (tilbagevendende) relationer.

Beregn determinant n- rækkefølge: .

Udvider vi determinanten til elementerne i den første række, får vi gentagelsesrelationen: Dn= .

Efter at have udvidet determinanten på højre side af relationen langs den første kolonne, skriver vi en ny tilbagevendende relation: Dn= 5Dn –1 – 6Dn –2 .

Præsenterer dette forhold som: Dn– 2Dn –1 = 3(Dn –1 – 2Dn–2) og introduktion af notationen:

T n= Dn– 2Dn–1 vi får: T n= 3T n –1 – 3 2 T n–2 = … =3 n-2 T 2 = 3n.

På samme måde skriver du gentagelsesrelationen i formen: Dn– 3Dn –1 = 2(Dn –1 – 3Dn–2) og angiver: Vn= Dn– 3Dn–1 får vi Vn= 2Vn = 1 = 2 2 Vn –2 =…= 2n .

1. Generel regel for tegn. Til yderligere formål vil det være nyttigt at finde ud af med hvilket fortegn udtrykket er inkluderet i determinanten, hvor er to permutationer af tal.

For at finde ud af det, bør du arrangere faktorerne i rækkefølgen af ​​linjerne. Bemærk, at hvis vi bytter to faktorer, så sker der en transponering i både første og andet indeks, således at antallet af inversioner i det første indeks og antallet af inversioner i det andet indeks ændres til ulige tal, og derfor ændres deres sum til et lige tal. Derfor ændres det ikke, når to faktorers placering ændres, og derfor, når rækkefølgen af ​​faktorerne ændres, fordi enhver ændring i rækkefølge svarer til flere parvise ændringer af pladser. Det følger heraf, at tegnet, med hvilket udtrykket indgår i determinanten, er . Faktisk, lad være rækkefølgen af ​​kolonnenumre efter at bringe faktorerne i rækkefølge, så derefter

og det er den faktor ±1, som det udtryk, vi er interesseret i, indgår i determinanten.

2. Determinanten af ​​den transponerede matrix er lig med den oprindelige. Med andre ord ændres determinanten ikke, når matrixen transponeres.

At tage produkterne af elementer, en fra hver række og en fra hver kolonne i den oprindelige matrix, er det samme som at gøre dette med hensyn til en transponeret matrix. Yderligere er rækkenumrene for originalen kolonnenumrene for den transponerede, og kolonnenumrene for originalen er rækkenumrene for den transponerede. Derfor er hvert led inkluderet i determinanten af ​​den oprindelige matrix og determinanten for den transponerede matrix med samme faktor

De etablerede to egenskaber indikerer, at i determinanten er rækkerne og kolonnerne fuldstændig ens. Derfor forbliver alle yderligere egenskaber indstillet for rækker gyldige for kolonner.

De næste to egenskaber betyder, at determinanten er lineær i forhold til elementerne i enhver af dens rækker.

3. Hvis elementerne i en række præsenteres som summen af ​​to led, så er determinanten lig med summen af ​​to determinanter, i den første af hvilke elementerne i den markerede linje er lig med de første led, i den anden - til den anden.

Denne egenskab bliver mere gennemsigtig, hvis vi går fra den verbale formulering til formlen:

Bevis.

Det er klart, at den første sum er lig med , og den anden er lig med

Den beviste egenskab er naturligt generaliseret til det tilfælde, hvor elementerne i en streng er repræsenteret som summen af ​​flere led.

4. Hvis alle elementer i en række af determinanten har en fælles faktor, kan denne fælles faktor tages ud af determinantens fortegn.

Virkelig,

5. Determinanten med to ens rækker er lig nul.

6. Hvis to rækker i en matrix ombyttes, vil dens determinant skifte fortegn til det modsatte.

Disse to egenskaber er tæt beslægtede og spiller en særlig vigtig rolle i teorien om determinanter.

Lad os først bevise den 5. egenskab, derefter den 6.

Lad en determinant være givet med to identiske linjer:

Lad os opdele summen i to dele svarende til lige og ulige permutationer:

Lad os huske, at alle ulige permutationer opnås, hvis vi foretager den samme transponering i alle lige permutationer.

Men . Derfor er der for hvert led i den første sum et lige led i det andet, så det er det, der skulle bevises.

Lad os nu vende os til Ejendommens Bevis, og lad os blot betegne de permuterede Rækker som I og II. Vi er nødt til at sammenligne determinanter

Til dette formål skal du overveje en hjælpedeterminant, som åbenbart er lig med nul:

Vi brugte ejendom 3 to gange.

Det første og fjerde led er lig med nul. Derfor er summen af ​​anden og tredje lig med nul, hvilket er det, der skulle bevises.

Lad os overveje en anden måde at bevise egenskaberne 5 og 6 på. Lad os starte med den sjette. Lade

Lad os tage et udtryk fra den anden determinant, skrevet i rækkefølgen af ​​dens linjer:

Den kommer med en multiplikator. Men så kommer den ind i A med en multiplikator. Det er klart, at så hvert led fra A kommer ind i A med det modsatte fortegn, dvs.

For at bevise egenskab 5 skal du overveje en determinant med to identiske rækker og bytte disse rækker. På den ene side vil det ændre tegnet, men det vil samtidig ikke ændre sig. Derfor,.

Dette ræsonnement gælder dog kun hvis division med 2 er muligt i ringen, så det følger

Inden for modulo 2-rester kunne vi ikke drage en sådan konklusion. Dette er en lille ulempe ved det andet bevis sammenlignet med det første.

7. En determinant med to proportionale rækker er lig nul.

Faktisk, hvis vi ifølge egenskab 4 tager proportionalitetskoefficienten ud af fortegnet for determinanten, så står vi tilbage med en determinant med lige store rækker, som er lig med nul.

8. Determinanten ændres ikke, hvis tal, der er proportionale med en anden linje, tilføjes til nogen af ​​dens linjer.

Virkelig,

Egenskab 8 er især vigtig, fordi den giver nøglen til at beregne determinanter.

Lad os se på et lille eksempel.

Antag, at vi skal beregne determinanten

Lad os lægge den første linje ganget med -1 til den anden linje, derefter tilføje den første linje ganget med -1 til den tredje linje, og derefter lægge den første linje ganget med -1 til den fjerde linje. Vi opnår en lige stor determinant

Tilføj nu til den fjerde linje den tredje, ganget med -1, og til den fjerde - den anden, ganget med -1.

Vi opnår en lige stor determinant

Nu viser det sig, at ud af 24 led af determinanten, er kun én ikke-nul:. Permutationen (1, 3, 2, 4) er ulige, derfor er determinanten -16.

Her vil vi skitsere de egenskaber, der normalt bruges til at beregne determinanter i et standardforløb for højere matematik. Dette er et hjælpeemne, som vi vil henvise til fra andre sektioner efter behov.

Så lad en bestemt kvadratisk matrix $A_(n\ gange n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) gives & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( array) \right)$. Hver kvadratisk matrix har en karakteristik kaldet en determinant (eller determinant). Jeg vil ikke komme ind på essensen af ​​dette koncept her. Hvis det kræver afklaring, så skriv venligst om det på forummet, så vil jeg komme nærmere ind på dette spørgsmål.

Determinanten af ​​matricen $A$ er angivet som $\Delta A$, $|A|$ eller $\det A$. Determinant rækkefølge lig med antallet af rækker (kolonner) i den.

1. Værdien af ​​determinanten ændres ikke, hvis dens rækker erstattes af de tilsvarende kolonner, dvs. $\Delta A=\Delta A^T$.

   vis\skjul

   Lad os erstatte rækkerne i den med kolonner i henhold til princippet: "der var en første række - der var en første kolonne", "der var en anden række - der var en anden kolonne":

   Lad os beregne den resulterende determinant: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Som du kan se, er værdien af ​​determinanten ikke ændret på grund af udskiftningen.

2. Hvis du bytter to rækker (kolonner) af determinanten, vil fortegnet for determinanten skifte til det modsatte.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Overvej determinanten $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. Lad os finde dens værdi ved hjælp af formel nr. 1 fra emnet for beregning af determinanter af anden og tredje orden:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Lad os nu bytte den første og anden linje. Vi får determinanten $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Lad os beregne den resulterende determinant: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Så værdien af ​​den oprindelige determinant var (-37), og værdien af ​​determinanten med den ændrede rækkefølge er $-(-37)=37$. Determinantens fortegn er ændret til det modsatte.

3. En determinant, for hvilken alle elementer i en række (kolonne) er lig nul, er lig nul.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Siden i determinanten $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ alle elementer i den tredje kolonne er nul, så determinant er nul , dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. Determinanten, for hvilken alle elementer i en bestemt række (kolonne) er lig med de tilsvarende elementer i en anden række (kolonne), er lig nul.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Siden i determinanten $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ alle elementer i den første række er lig med den tilsvarende elementer i den anden række, så er determinanten lig med nul, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Hvis alle elementer i en række (kolonne) i en determinant er proportionale med de tilsvarende elementer i en anden række (kolonne), så er en sådan determinant lig med nul.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Siden i determinanten $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Anden og tredje række er proportionale, dvs. $r_3=-3\cdot(r_2)$, så er determinanten lig nul, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Hvis alle elementer i en række (kolonne) har en fælles faktor, kan denne faktor tages ud af determinanttegnet.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Overvej determinanten $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Bemærk, at alle elementer i anden række er delelige med 3:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Tallet 3 er den fælles faktor for alle elementer i den anden række. Lad os tage de tre ud af determinanttegnet:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. Determinanten ændres ikke, hvis vi til alle elementerne i en bestemt række (kolonne) tilføjer de tilsvarende elementer i en anden række (kolonne), ganget med et vilkårligt tal.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Overvej determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Lad os tilføje de tilsvarende elementer i den anden linje til elementerne i den tredje linje, ganget med 5. Denne handling er skrevet som følger: $r_2+5\cdot(r_3)$. Den anden linje vil blive ændret, de resterende linjer forbliver uændret.

   $$\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (array) \right|= \venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Hvis en bestemt række (kolonne) i en determinant er en lineær kombination af andre rækker (kolonner), så er determinanten lig nul.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Lad mig straks forklare, hvad udtrykket "lineær kombination" betyder. Lad os have s rækker (eller kolonner): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Udtryk

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   hvor $k_i\in R$ kaldes en lineær kombination af rækker (kolonner) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Overvej for eksempel følgende determinant:

   $$\venstre| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$

   I denne determinant kan den fjerde række udtrykkes som en lineær kombination af de første tre rækker:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Derfor er den pågældende determinant lig med nul.

9. Hvis hvert element i en bestemt k-te række (k-te kolonne) i en determinant er lig med summen af ​​to led, så er en sådan determinant lig med summen af ​​determinanter, hvoraf den første har de første led i k-te række (k-te kolonne), og den anden determinant den k-te række (k-te kolonne) indeholder det andet led. Andre elementer i disse determinanter er de samme.

   Eksempel på brug af denne egenskab: show\hide

   Overvej determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Lad os skrive elementerne i den anden kolonne sådan her: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Så er en sådan determinant lig med summen af ​​to determinanter:

   $$\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. Determinanten af ​​produktet af to kvadratiske matricer af samme orden er lig med produktet af determinanterne af disse matricer, dvs. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Fra denne regel kan vi få følgende formel: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Hvis matricen $A$ er ikke-singular (dvs. dens determinant er ikke lig med nul), så $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formler til beregning af determinanter

For determinanter af anden og tredje orden er følgende formler korrekte:

\begin(ligning) \Delta A=\venstre| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(ligning) \begin(ligning) \begin(aligned) & \Delta A=\venstre| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(ligning)

Eksempler på brug af formler (1) og (2) er i emnet "Formler til beregning af determinanter af anden og tredje orden. Eksempler på beregning af determinanter".

Determinanten af ​​matricen $A_(n\ gange n)$ kan udvides i den i-te række ved hjælp af følgende formel:

\begin(ligning)\Delta A=\sum\grænser_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ligning)

En analog af denne formel findes også for kolonner. Formlen for at udvide determinanten i den jth kolonne er som følger:

\begin(ligning)\Delta A=\sum\grænser_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ligning)

Reglerne udtrykt ved formlerne (3) og (4) er illustreret i detaljer med eksempler og forklaret i emnet Reduktion af rækkefølgen af ​​determinanten. Dekomponering af determinanten i en række (søjle).

Lad os angive en anden formel til beregning af determinanterne for øvre trekantede og nedre trekantede matricer (for en forklaring af disse udtryk, se emnet "Matrixer. Typer af matricer. Grundlæggende udtryk"). Determinanten for en sådan matrix er lig med produktet af elementerne på hoveddiagonalen. Eksempler:

\begin(aligned) &\venstre| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\venstre| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ højre|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(justeret)

Svar: EGENSKAB 1. Værdien af ​​determinanten ændres ikke, hvis alle dens rækker erstattes af kolonner, og hver række erstattes af en kolonne med samme nummer, dvs.

EGENSKAB 2. At omarrangere to kolonner eller to rækker af en determinant svarer til at gange den med -1. For eksempel,

.Egenskab 3. Hvis en determinant har to identiske kolonner eller to identiske rækker, så er den lig med 0. EGENSKAB 4. At multiplicere alle elementer i en kolonne eller en række af determinanten med et hvilket som helst tal k svarer til at gange determinanten med dette nummer k. For eksempel,

EGENSKAB 5. Hvis alle elementer i en bestemt kolonne eller en række er lig med nul, så er selve determinanten lig nul. Denne egenskab er et specialtilfælde af den foregående (for k=0) EGENSKAB 6. Hvis de tilsvarende elementer i to kolonner eller to rækker af determinanten er proportionale, så er determinanten lig nul EGENSKAB 7. Hvis hvert element af den n-te kolonne eller n-te række af determinanten er summen af ​​to led, så kan determinanten repræsenteres som en sum af to determinanter, hvoraf den ene i henholdsvis n. kolonne eller i n. række har det første af de nævnte udtryk, og det andet har det andet; elementerne, der står på de resterende steder, er de samme for milepælene for de tre determinanter. For eksempel,

EGENSKAB 8. Hvis vi til elementerne i en bestemt kolonne (eller en række) tilføjer de tilsvarende elementer i en anden kolonne (eller en anden række), ganget med en fælles faktor, så ændres værdien af ​​determinanten ikke. For eksempel,

.

Yderligere egenskaber ved determinanter er relateret til begrebet algebraisk komplement og mol. Et elements minor er en determinant opnået fra et givent ved at krydse rækken og kolonnen ud, hvor dette element er placeret. Det algebraiske komplement af ethvert element i determinanten er lig med minor for dette element taget med dets fortegn, hvis summen af ​​tallene i rækken og kolonnen i skæringspunktet, som elementet er placeret i, er et lige tal, og med det modsatte fortegn, hvis dette tal er ulige. Vi vil betegne det algebraiske komplement af et element ved et stort bogstav af samme navn og samme tal som det bogstav, der betegner selve grundstoffet EJENDOM 9. Determinant

er lig med summen af ​​produkterne af elementerne i enhver kolonne (eller række) ved deres algebraiske komplementer.

Determinant. Dette er et polynomium, der kombinerer elementerne i en kvadratisk matrix på en sådan måde, at dens værdi bevares under transponering og lineære kombinationer af rækker eller kolonner. Det vil sige, at determinanten karakteriserer indholdet af matrixen. Især, hvis en matrix har lineært afhængige rækker eller kolonner, er determinanten lig med nul. Determinanten spiller en nøglerolle i løsning af systemer af lineære ligninger i generel form; grundlæggende begreber introduceres på basis af den. I det generelle tilfælde, en matrix kan defineres over en hvilken som helst kommutativ ring, i dette tilfælde vil determinanten være et element i den samme ring. Determinanten af ​​matrix A betegnes som: det(A), |A| eller A(A).

5.singular matrix. invers matrix, dens egenskaber, beregning, eksistenssætning.

Svar: En kvadratisk matrix A kaldes en degenereret, speciel (ental) matrix, hvis dens determinant (Δ) er lig med nul. Ellers siges matrix A at være ikke-singular.

Lad os overveje problemet med at definere den inverse operation af matrixmultiplikation.

Lade være en kvadratisk matrix af orden. Matrix, der sammen med den givne matrix opfylder lighederne:

Det kaldes omvendt. En matrix kaldes invertibel, hvis der er en invers for den, ellers er den irreversibel.

Af definitionen følger det, at hvis den inverse matrix eksisterer, så er den kvadratisk af samme orden som . Imidlertid har ikke hver kvadratisk matrix en invers. Hvis determinanten af ​​en matrix er nul, er der ingen invers for den. Faktisk opnår vi modsigelsen ved at anvende sætningen om determinanten af ​​produktet af matricer for identitetsmatrixen

Da determinanten af ​​identitetsmatrixen er lig med 1. Det viser sig, at ikke-nul determinanten af ​​en kvadratisk matrix er den eneste betingelse for eksistensen af ​​en invers matrix. Husk, at en kvadratisk matrix, hvis determinant er lig med nul, kaldes ental (ental), ellers kaldes den ikke-degenereret (ikke-ental).

Sætning 4.1 om eksistensen og unikheden af ​​den inverse matrix. En kvadratisk matrix, hvis determinant ikke er nul, har en invers matrix, og kun én:

(4.1)

hvor er matricen transponeret for en matrix sammensat af algebraiske komplementer af matrixelementer.

En matrix kaldes en adjoint matrix med hensyn til en matrix.

Faktisk eksisterer matrixen under betingelsen . Det er nødvendigt at vise, at det er omvendt til , dvs. opfylder to betingelser:

Lad os bevise den første lighed. Ifølge punkt 4 i bemærkning 2.3 følger det af determinantens egenskaber, at . Derfor

hvilket er det, der skulle vises. Den anden lighed bevises på lignende måde. Derfor har matrixen under betingelsen en invers

Vi vil bevise unikheden af ​​den inverse matrix ved modsigelse. Antag, at der ud over matrixen er en anden invers matrix sådan at. Multiplicerer begge sider af denne lighed fra venstre med matricen, får vi . Dette modsiger derfor antagelsen. Derfor er den omvendte matrix unik.

Bemærkninger 4.1

1. Af definitionen følger, at matricerne og er kommuterbare.

2. Det omvendte af en ikke-singular diagonal matrix er også diagonal:

3. Det omvendte af en ikke-singular nedre (øvre) trekantet matrix er nedre (øvre) trekantet.

4. Elementære matricer har invers, som også er elementære (se afsnit 1 i bemærkning 1.11).

Egenskaber for en invers matrix

Matrixinversionsoperationen har følgende egenskaber:

Hvis operationerne angivet i ligestilling 1-4 giver mening.

Lad os bevise egenskab 2: hvis produktet af ikke-singulære kvadratiske matricer af samme orden har en invers matrix, så .

Faktisk er determinanten for produktet af matricer ikke lig med nul, da

Derfor eksisterer den omvendte matrix og er unik. Lad os pr. definition vise, at matricen er den omvendte af matricen. Virkelig:

Det unikke ved den inverse matrix indebærer ligheden. Den anden egenskab er blevet bevist. De resterende ejendomme er bevist tilsvarende.

Bemærkninger 4.2

1. For en kompleks matrix gælder en lighed svarende til egenskab 3:

Hvor er matrixkonjugationsoperationen.

2. Matrixinversionsoperationen giver dig mulighed for at bestemme den negative heltalspotens for en matrix. For en ikke-singular matrix og ethvert naturligt tal definerer vi .

6. systemer af lineære ligninger. Koefficienter for ukendte, frie termer. Løsning af et system af lineære ligninger. Kompatibilitet af et system af lineære ligninger. System af lineære homogene ligninger og dets egenskaber.

Svar: Et system af lineære algebraiske ligninger, der indeholder m-ligninger og n ukendte, kaldes et system af formen

hvor tal a ij kaldes systemkoefficienter, tal b i kaldes frie led. Tallene x n skal findes.

Det er praktisk at skrive et sådant system i en kompakt matrixform

Her er A matrixen af ​​systemkoefficienter, kaldet hovedmatrixen;

Kolonnevektor af ukendte x j .

Kolonnevektor med frie udtryk b i.

Produktet af matricerne A*X er defineret, da der er lige så mange kolonner i matrix A, som der er rækker i matrix X (n stykker).

Et systems udvidede matrix er systemets matrix A, suppleret med en kolonne med frie udtryk

Systemets løsning er n værdier af de ukendte x 1 =c 1, x 2 =c 2, ..., x n =c n, ved substitution af hvilke alle systemets ligninger bliver til sande ligheder. Enhver løsning til systemet kan skrives som en kolonnematrix

Et ligningssystem kaldes konsistent, hvis det har mindst én løsning, og inkonsistent, hvis det ikke har nogen løsning.

Et konsistent system siges at være bestemmende, hvis det har en enkelt løsning, og ubestemt, hvis det har mere end én løsning. I sidstnævnte tilfælde kaldes hver af dens løsninger for en bestemt løsning af systemet. Sættet af alle særlige løsninger kaldes den generelle løsning.

At løse et system betyder at finde ud af, om det er kompatibelt eller inkonsekvent. Hvis systemet er konsistent, så find dets generelle løsning.

To systemer kaldes ækvivalente (ækvivalente), hvis de har den samme generelle løsning. Med andre ord er systemer ækvivalente, hvis hver løsning af den ene af dem er en løsning af den anden, og omvendt.

Ækvivalente systemer opnås især ved elementære transformationer af systemet, forudsat at transformationerne kun udføres på rækkerne af matrixen.

Et system af lineære ligninger kaldes homogent, hvis alle frie led er lig med nul:

Et homogent system er altid konsistent, da x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 er en løsning på systemet. Denne løsning kaldes nul eller triviel.

4.2. Løsning af systemer af lineære ligninger.

Kronecker-Capelli teorem

Lad et vilkårligt system af n lineære ligninger med n ukendte være givet

Et omfattende svar på spørgsmålet om dette systems kompatibilitet er givet af Kronecker-Capelli-sætningen.

Sætning 4.1. Et system af lineære algebraiske ligninger er konsistent, hvis og kun hvis rangen af ​​systemets udvidede matrix er lig med rangeringen af ​​hovedmatricen.

Lad os acceptere det uden bevis.

Reglerne for den praktiske søgning efter alle løsninger til et simultant system af lineære ligninger følger af følgende sætninger.

Sætning 4.2. Hvis rangeringen af ​​et fælles system er lig med antallet af ukendte, så har systemet en unik løsning.

Sætning 4.3. Hvis rangeringen af ​​et fælles system er mindre end antallet af ukendte, så har systemet et uendeligt antal løsninger.

Regel for løsning af et vilkårligt system af lineære ligninger

1. Find rækken af ​​systemets hoved- og udvidede matricer. Hvis r(A)≠r(A), så er systemet inkonsekvent.

2. Hvis r(A)=r(A)=r, er systemet konsistent. Find enhver basis minor af orden r (påmindelse: en mindreårig, hvis rækkefølge bestemmer rangen af ​​matricen kaldes basis). Tag r-ligninger, hvis koefficienter udgør basis-minor (kasser de resterende ligninger). De ukendte, hvis koefficienter er inkluderet i basis-moll, kaldes principal og efterlades til venstre, og de resterende n-r ubekendte kaldes frie og overføres til højre side af ligningerne.

3. Find udtryk for de vigtigste ukendte i form af frie. En generel løsning af systemet opnås.

4. Ved at give vilkårlige værdier til de frie ubekendte opnår vi de tilsvarende værdier for de vigtigste ukendte. På denne måde kan man finde delløsninger til det oprindelige ligningssystem.

Eksempel 4.1.

4.3 Løsning af ikke-degenererede lineære systemer. Cramers formler

Lad et system med n lineære ligninger med n ukendte være givet

(4.1)

eller i matrixform A*X=B.

Hovedmatrixen A i et sådant system er kvadratisk. Determinanten for denne matrix

kaldes systemets determinant. Hvis systemets determinant er forskellig fra nul, kaldes systemet ikke-degenereret.

Lad os finde en løsning på dette ligningssystem i tilfælde af D¹0

Hvis vi multiplicerer begge sider af ligningen A*X=B til venstre med matrixen A -1, får vi

A -1 *A*X=A -1 *B Siden. A -1 *A=E og E*X=X, så

At finde en løsning til systemet ved hjælp af formlen (4.1) kaldes matrixmetoden til at løse systemet.

Vi skriver matrix-lighed (4.1) i skemaet

Den følger det

Men der er en nedbrydning af determinanten

efter elementer i den første kolonne. Determinanten D 1 opnås fra determinanten D ved at erstatte den første kolonne med koefficienter med en kolonne med dummy-led. Så,

Ligeledes:

hvor D2 er opnået fra D ved at erstatte den anden kolonne med koefficienter med en kolonne med dummy-led:

kaldes Cramers formler.

Så et ikke-degenereret system af n lineære ligninger med n ukendte har en unik løsning, der kan findes ved hjælp af matrixmetoden (4.1) eller ved at bruge Cramer-formlerne (4.2).

Eksempel 4.3.

4.4 Løsning af lineære ligningssystemer ved hjælp af Gauss-metoden

En af de mest universelle og effektive metoder til at løse lineære algebraiske systemer er Gauss-metoden, som består af sekventiel eliminering af ukendte.

Lad et ligningssystem være givet

Den Gaussiske løsningsproces består af to trin. I det første trin (direkte slag) reduceres systemet til en trinvis (især trekantet) form.

Systemet nedenfor er i trinform

Koefficienter aii kaldes systemets hovedelementer.

På det andet trin (omvendt) er der en sekventiel bestemmelse af de ukendte fra dette trinvise system.

Lad os beskrive Gauss-metoden mere detaljeret.

Lad os transformere systemet (4.3) og eliminere det ukendte x1 i alle ligninger undtagen den første (ved at bruge elementære transformationer af systemet). For at gøre dette multiplicerer vi begge sider af den første ligning med og tilføjer dem led for led med systemets anden ligning. Derefter multiplicerer vi begge sider af den første ligning med og lægger dem til den tredje ligning i systemet. Ved at fortsætte denne proces opnår vi det tilsvarende system

Her er de nye værdier for koefficienterne og højre side, som opnås efter det første trin.

På samme måde, i betragtning af hovedelementet, udelukker vi den ukendte x 2 fra alle systemets ligninger, undtagen den første og anden, og så videre. Vi fortsætter denne proces så længe som muligt.

Hvis der i processen med at reducere system (4.3) til en trinvis form opstår nul-ligninger, dvs. ligheder på formen 0 = 0, kasseres de. Hvis en ligning af formen vises. så indikerer dette systemets inkompatibilitet.

Det andet trin (omvendt) er at løse trinsystemet. Et trinvist ligningssystem har generelt et uendeligt antal løsninger I den sidste ligning af dette system udtrykker vi den første ukendte x k gennem de resterende ukendte (x k+ 1,...,x n). Derefter erstatter vi værdien x k i systemets næstsidste ligning og udtrykker x k-1 til (x k+ 1,...,x n). , find derefter x k-2 ,…,x 1. . Give gratis ukendte (x k+ 1,…,x n). arbitrære værdier, får vi et uendeligt antal løsninger til systemet.

Bemærkninger:

1. Hvis trinsystemet viser sig at være trekantet, altså k=n, så har det originale system en unik løsning. Fra den sidste ligning finder vi x n fra den næstsidste ligning x n-1, hvorefter vi går op gennem systemet, finder vi alle de andre ubekendte (x n-1,...,x 1).

2. I praksis er det mere bekvemt ikke at arbejde med systemet (4.3), men med dets udvidede matrix, der udfører alle de elementære transformationer på dets rækker. Det er praktisk, at koefficienten a 11 er lig med 1 (omarranger ligningerne, eller divider begge sider af ligningen med 11 ¹1).

Eksempel 4.4.

Løsning: Som et resultat af elementære transformationer over systemets udvidede matrix

det oprindelige system blev reduceret til et trinvist:

Derfor er systemets generelle løsning: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Hvis vi f.eks. sætter x 3 =0,x 4 =0, så vil vi find en af ​​de særlige løsninger i dette system x 1 =-1.x 2 =-3.x 3 =0.x 4 =0.

Eksempel 4.5.

Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning: Lad os udføre elementære transformationer på linjerne i systemets udvidede matrix:

Den resulterende matrix svarer til systemet

Ved at udføre det omvendte træk finder vi x 3 =1, x 2 =1, x 1 =1.

4.5 Systemer af lineære homogene ligninger

Lad et system af lineære homogene ligninger være givet

Det er klart, at et homogent system altid er konsistent; det har en nul (trivial) løsning x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

Under hvilke forhold har et homogent system løsninger, der ikke er nul?

Sætning 4.4. For at et system af homogene ligninger skal have ikke-nul-løsninger, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rangorden r af dets hovedmatrix er mindre end antallet n af ukendte, dvs.

Nødvendighed.

Da rangen ikke kan overstige matrixstørrelsen, så er r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Det betyder, at der ikke er andre løsninger end trivielle. Så hvis der er en ikke-triviel løsning, så r

Tilstrækkelighed:

Lad r

Sætning 4.5. For at et homogent system af n lineære ligninger med n ukendte skal have ikke-nul-løsninger, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dets determinant D er lig med nul, dvs. D=0.

Hvis systemet har løsninger, der ikke er nul, er D=0. For for D¹0 har systemet kun en unik nulløsning. Hvis D=0, så er rangen r af systemets hovedmatrix mindre end antallet af ukendte, dvs. r

Eksempel 4.6.

Løs systemet

Sætter vi x 3 =0, får vi en bestemt løsning: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Sætter vi x 3 =1, får vi den anden særlige løsning: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 osv.

ALGEBRAISKE KOMPLETTER OG MINDRE

Lad os have en tredjeordens determinant: .

Mindre, svarende til dette element en ij tredjeordens determinant kaldes en andenordens determinant opnået fra en given ved at slette rækken og kolonnen i skæringspunktet, hvor det givne element står, dvs. jeg-th linje og j kolonne. Mindreårige svarende til et givet element en ij vil vi betegne M ij.

For eksempel, mindre M 12, svarende til elementet en 12, vil der være en determinant , som fås ved at slette 1. række og 2. kolonne fra denne determinant.

Formlen, der definerer tredjeordens determinant, viser således, at denne determinant er lig med summen af ​​produkterne af elementerne i 1. række med deres tilsvarende minor; i dette tilfælde den mindre, der svarer til elementet en 12, er taget med et "–"-tegn, dvs. det kan vi skrive

.

(1)

Tilsvarende kan man indføre definitioner af mindreårige for andenordens og højere ordens determinanter.

Lad os introducere endnu et koncept.

Algebraisk komplement element en ij determinanten kaldes dens minor M ij, ganget med (–1) i+j .

Algebraisk komplement til et element en ij betegnet med A ij.

Ud fra definitionen får vi, at forbindelsen mellem et elements algebraiske komplement og dets minor er udtrykt ved ligheden A ij= (–1) i+j Mij.

For eksempel,

Eksempel. Der er givet en determinant. Find A 13, A 21, A 32.

Det er let at se, at ved hjælp af algebraiske tilføjelser af elementer, kan formel (1) skrives som:

På samme måde som denne formel kan du opnå udvidelsen af ​​determinanten til elementerne i enhver række eller kolonne.

For eksempel kan dekomponeringen af ​​determinanten i elementerne i 2. række opnås som følger. Ifølge egenskab 2 af determinanten har vi:

Lad os udvide den resulterende determinant til elementerne i 1. række.

.

(2)

Herfra fordi andenordens determinanter i formel (2) er mindreårige af elementerne en 21, en 22, en 23. Således, dvs. vi fik dekomponeringen af ​​determinanten til elementerne i 2. række.

På samme måde kan vi opnå udvidelsen af ​​determinanten til elementerne i den tredje række. Ved at bruge egenskab 1 af determinanter (om transponering) kan vi vise, at lignende udvidelser også er gyldige, når der udvides over elementer af kolonner.

Følgende sætning er således gyldig.

Sætning (om udvidelsen af ​​en determinant over en given række eller kolonne). Determinanten er lig med summen af ​​produkterne af elementerne i enhver af dens rækker (eller kolonner) og deres algebraiske komplementer.

Alt ovenstående gælder også for determinanter af enhver højere orden.

Eksempler.

INVERS MATRIX

Konceptet med en invers matrix er kun introduceret for kvadratiske matricer.

Hvis EN er altså en kvadratisk matrix baglæns for det er en matrix en matrix, betegnet A-1 og opfylder betingelsen. (Denne definition er indført i analogi med multiplikation af tal)