Den maksimale energien til en kondensator i en oscillerende krets er formel. Oscillerende krets

I elektriske kretser, så vel som i mekaniske systemer som en belastning på en fjær eller en pendel, kan det oppstå problemer. frie vibrasjoner.

Elektromagnetiske vibrasjonerkalles periodiske sammenhengende endringer i ladning, strøm og spenning.

Gratisoscillasjoner er de som oppstår uten ytre påvirkning på grunn av den opprinnelig akkumulerte energien.

Tvungetkalles oscillasjoner i en krets under påvirkning av en ekstern periodisk elektromotorisk kraft

Frie elektromagnetiske oscillasjoner – disse er periodisk gjentatte endringer i elektromagnetiske mengder (q- elektrisk ladning,Jeg- strømstyrke,U– potensialforskjell) som oppstår uten energiforbruk fra eksterne kilder.

Det enkleste elektriske systemet som er i stand til frie svingninger er seriell RLC-krets eller oscillerende krets.

Oscillerende krets –er et system som består av kondensatorer koblet i serieC, induktorerL og en leder med motstandR

Tenk på en lukket oscillerende krets bestående av induktans L og containere MED.

For å eksitere oscillasjoner i denne kretsen, er det nødvendig å gi en viss ladning til kondensatoren fra kilden ε . Når nøkkelen K er i posisjon 1, er kondensatoren ladet til spenning. Etter å ha byttet nøkkelen til posisjon 2, begynner prosessen med å lade ut kondensatoren gjennom motstanden R og induktor L. Under visse forhold kan denne prosessen være oscillerende.

Frie elektromagnetiske svingninger kan observeres på oscilloskopskjermen.

Som man kan se fra oscillasjonsgrafen oppnådd på et oscilloskop, er frie elektromagnetiske oscillasjoner falmer, dvs. deres amplitude avtar over tid. Dette skjer fordi en del av den elektriske energien ved den aktive motstanden R omdannes til intern energi. leder (lederen varmes opp når elektrisk strøm passerer gjennom den).

La oss vurdere hvordan svingninger oppstår i en oscillerende krets og hvilke energiendringer som skjer. La oss først vurdere tilfellet når det ikke er noe tap av elektromagnetisk energi i kretsen ( R = 0).

Hvis du lader kondensatoren til spenning U 0, vil amplitudeverdiene til spenning U 0 og ladning q 0 = CU 0 i det første øyeblikket t 1 = 0 bli etablert på kondensatorplatene.

Den totale energien W til systemet er lik energien til det elektriske feltet W el:

Hvis kretsen er lukket, begynner strømmen å flyte. En emf vises i kretsen. selvinduksjon

På grunn av selvinduksjon i spolen utlades kondensatoren ikke øyeblikkelig, men gradvis (siden, ifølge Lenz sin regel, vil den resulterende induserte strømmen med magnetfeltet motvirke endringen i den magnetiske fluksen som forårsaket den. Det vil si den magnetiske feltet til den induserte strømmen tillater ikke den magnetiske fluksen til strømmen å øke øyeblikkelig i kretsen). I dette tilfellet øker strømmen gradvis, og når sin maksimale verdi I 0 på tidspunktet t 2 = T/4, og ladningen på kondensatoren blir null.

Når kondensatoren utlades, avtar energien til det elektriske feltet, men samtidig øker energien til magnetfeltet. Den totale energien til kretsen etter utlading av kondensatoren er lik energien til magnetfeltet W m:

I neste øyeblikk flyter strømmen i samme retning, og avtar til null, noe som får kondensatoren til å lades opp igjen. Strømmen stopper ikke umiddelbart etter at kondensatoren er utladet på grunn av selvinduksjon (nå forhindrer magnetfeltet til induksjonsstrømmen at den magnetiske fluksen til strømmen i kretsen avtar øyeblikkelig). I tidspunktet t 3 =T/2 er ladningen til kondensatoren igjen maksimal og lik startladningen q = q 0, spenningen er også lik den opprinnelige U = U 0, og strømmen i kretsen er null I = 0.

Så utlades kondensatoren igjen, strømmen flyter gjennom induktansen i motsatt retning. Etter en tidsperiode T går systemet tilbake til sin opprinnelige tilstand. Den komplette oscillasjonen avsluttes og prosessen gjentas.

Grafen over endringer i ladning og strømstyrke under frie elektromagnetiske svingninger i kretsen viser at fluktuasjoner i strømstyrke henger etter ladningssvingninger med π/2.

Til enhver tid er den totale energien:

Med frie oscillasjoner skjer periodisk transformasjon av elektrisk energi W e, lagret i en kondensator, til magnetisk energi W m spoler og omvendt. Hvis det ikke er noe energitap i den oscillerende kretsen, forblir den totale elektromagnetiske energien til systemet konstant.

Frie elektriske vibrasjoner ligner på mekaniske vibrasjoner. Figuren viser grafer over ladningsendringer q(t) kondensator og forspenning x(t) belastning fra likevektsposisjonen, samt gjeldende grafer Jeg(t) og lastehastighet υ( t) for én svingeperiode.

I fravær av demping er frie oscillasjoner i en elektrisk krets harmonisk, det vil si at de forekommer i henhold til loven

q(t) = q 0 cos(ω t + φ 0)

Alternativer L Og C oscillasjonskretsen bestemmes kun av den naturlige frekvensen til frie oscillasjoner og oscillasjonsperioden - Thompsons formel

Amplitude q 0 og startfasen φ 0 bestemmes Innledende forhold, det vil si måten systemet ble brakt ut av likevekt på.

For svingninger i ladning, spenning og strøm oppnås følgende formler:

For kondensator:

q(t) = q 0 cosω 0 t

U(t) = U 0 cosω 0 t

For induktor:

Jeg(t) = Jeg 0 cos(ω 0 t+ π/2)

U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)

La oss huske hovedtrekk ved oscillerende bevegelse:

q 0, U 0 , Jeg 0 - amplitude– modul for den største verdien av den fluktuerende mengden

T - periode– minimumsperioden hvoretter prosessen gjentas fullstendig

ν - Frekvens– antall svingninger per tidsenhet

ω - Syklisk frekvens– antall svingninger på 2n sekunder

φ - oscillasjonsfase- en mengde under cosinus (sinus)-tegnet og som til enhver tid karakteriserer systemets tilstand.

Svingninger bevegelser eller prosesser som er preget av en viss repeterbarhet over tid kalles. Oscillasjoner kan være forskjellige i fysisk natur (mekaniske, elektromagnetiske, gravitasjons), men de er beskrevet av ligninger som er identiske i struktur.

Den enkleste typen svingninger er harmoniske vibrasjoner, hvor den oscillerende størrelsen endres i henhold til en harmonisk lov, det vil si i henhold til loven om sinus eller cosinus.

Det er svingninger gratis Og tvunget. Frie vibrasjoner er delt inn i udempet(egen) og falmer.

Frie udempede, eller naturlige, oscillasjoner er de oscillasjonene som oppstår på grunn av energien som gis til oscilleringssystemet i det første øyeblikket, i fravær av ytterligere ekstern påvirkning på systemet.

Differensialligning av naturlige elektriske harmoniske oscillasjoner kontur (fig. 4.1)

hvor er den elektriske ladningen til kondensatoren; – syklisk (sirkulær) frekvens av frie udempede svingninger, (her – kretsens induktans; – kretsens elektriske kapasitans).

Ligning av elektriske harmoniske oscillasjoner:

hvor er amplituden til kondensatorladningen; – innledende fase.

Strømstyrke i oscillerende krets

hvor er strømamplituden, .

Ris. 4.1. Ideell oscillerende krets

Oscillasjonsperiode– tid for en fullstendig svingning. I løpet av denne tiden øker oscillasjonsfasen.

Oscillasjonsfrekvens– antall svingninger utført per tidsenhet,

Formler knyttet til periode, frekvens og syklisk frekvens:

Periode med frie udempede svingninger i en elektromagnetisk oscillerende krets bestemmes Thomsons formel

Amplituden til de resulterende ladningssvingningene som oppstår i to forskjellige kretser og lagt til en belastning (lagte oscillasjoner i samme retning og samme frekvens)

hvor og er amplitudene til to oscillasjoner; og er startfasene av to svingninger.

Den innledende fasen av den resulterende oscillasjonen av en ladning som deltar i to oscillasjoner i samme retning og samme frekvens,

Likningen av slag, det vil si ikke-harmoniske svingninger som oppstår når harmoniske svingninger overlappes, hvis frekvenser er ganske nær:

hvor er taktamplituden; – slagfrekvens, .

Ligning av ladningsbane, som deltar i to innbyrdes vinkelrette oscillasjoner med samme frekvens:

Fridempede svingninger– dette er oscillasjoner hvis amplitude avtar over tid på grunn av energitap fra oscilleringssystemet. I en elektrisk oscillerende krets brukes energi på Joule-varme og elektromagnetisk stråling.

Differensialligning for dempede elektriske svingninger i en krets med elektrisk motstand:

hvor er dempningskoeffisienten, (her er induktansen til kretsen).

Dempet oscillasjonsligning ved svak demping () (fig. 4.2):

hvor er amplituden til dempede oscillasjonene til kondensatorladningen; – innledende amplitude av oscillasjoner; – syklisk frekvens av dempede svingninger, .

Ris. 4.2. Endring i ladning over tid med svake dempede svingninger

Avslappingstid– dette er tidsperioden som amplituden til oscillasjonene avtar med en faktor på:

Avspenningstid er relatert til dempningskoeffisient forhold

Logaritmisk oscillasjonsdempende reduksjon

hvor er perioden med dempede svingninger.

Formelen som forbinder den logaritmiske reduksjonen av oscillasjoner med dempningskoeffisienten og perioden med dempede svingninger:

Tvungede vibrasjoner- dette er svingninger som oppstår i nærvær av en ekstern periodisk skiftende påvirkning.

Differensialligning av tvungne elektriske oscillasjoner i en krets som har elektrisk motstand, i nærvær av en tvingende EMF, som endres i henhold til den harmoniske loven, hvor er amplitudeverdien til EMF, og er den sykliske frekvensen for endring av EMF (fig. 4.3):

hvor er dempningskoeffisienten, ; – kretsinduktans.

Ris. 4.3. Krets for å observere påtvungne elektriske svingninger

Ligning av steady-state tvungne elektriske oscillasjoner:

hvor er faseforskjellen mellom oscillasjonene til kondensatorladingen og den drivende EMF for strømkilden.

Amplitude av steady-state tvungne oscillasjoner kondensatorlading

Faseforskjell mellom oscillasjonene til kondensatorladningen og den drivende EMF til strømkilden

Amplituden til tvangssvingninger avhenger av forholdet mellom de sykliske frekvensene til tvangsvirkningen og naturlige oscillasjoner. Resonansfrekvens og resonansamplitude.

Hovedenheten som bestemmer driftsfrekvensen til enhver vekselstrømgenerator er oscillerende krets. Oscillasjonskretsen (fig. 1) består av en induktor L(vurder det ideelle tilfellet når spolen ikke har noen ohmsk motstand) og en kondensator C og kalles lukket. Karakteristikken til en spole er induktans, den er betegnet L og målt i Henry (H), er kondensatoren preget av kapasitans C, som måles i farad (F).

La kondensatoren i det første øyeblikket lades på en slik måte (fig. 1) at det på en av platene er en ladning + Q 0, og på den andre - lad - Q 0 . I dette tilfellet dannes et elektrisk felt med energi mellom platene til kondensatoren

hvor er amplitude (maksimal) spenning eller potensialforskjell over kondensatorplatene.

Etter å ha lukket kretsen, begynner kondensatoren å utlades og en elektrisk strøm flyter gjennom kretsen (fig. 2), hvis verdi øker fra null til maksimalverdien. Siden en strøm av variabel størrelse flyter i kretsen, induseres en selvinduktiv emf i spolen, som hindrer kondensatoren i å utlades. Derfor skjer ikke prosessen med å utlade kondensatoren umiddelbart, men gradvis. I hvert øyeblikk av tiden, potensialforskjellen over kondensatorplatene

(hvor er ladningen til kondensatoren på et gitt tidspunkt) er lik potensialforskjellen over spolen, dvs. lik selvinduksjons-emf

Figur 1	Fig.2

Når kondensatoren er helt utladet og , vil strømmen i spolen nå sin maksimale verdi (fig. 3). Induksjonen av magnetfeltet til spolen i dette øyeblikk er også maksimal, og energien til magnetfeltet vil være lik

Da begynner strømmen å avta, og ladningen vil samle seg på kondensatorplatene (fig. 4). Når strømmen synker til null, når kondensatorladningen sin maksimale verdi Q 0, men platen, tidligere positivt ladet, vil nå være negativt ladet (fig. 5). Så begynner kondensatoren å utlades igjen, og strømmen i kretsen flyter i motsatt retning.

Så prosessen med ladning som strømmer fra en kondensatorplate til en annen gjennom induktoren gjentas igjen og igjen. De sier at i kretsen er det elektromagnetiske vibrasjoner. Denne prosessen er assosiert ikke bare med svingninger i mengden ladning og spenning på kondensatoren, strømstyrken i spolen, men også med overføring av energi fra det elektriske feltet til magnetfeltet og omvendt.

Fig.3	Fig.4

Lading av kondensatoren til maksimal spenning vil kun skje hvis det ikke er noe energitap i oscillerende krets. En slik kontur kalles ideell.

I virkelige kretsløp oppstår følgende energitap:

1) varmetap, fordi R ¹ 0;

2) tap i dielektrikumet til kondensatoren;

3) hysterese tap i spolekjernen;

4) strålingstap osv. Hvis vi neglisjerer disse energitapene, så kan vi skrive at, dvs.

Oscillasjoner som oppstår i en ideell oscillerende krets der denne betingelsen er oppfylt kalles gratis, eller egen, kretsvibrasjoner.

I dette tilfellet spenningen U(og lad Q) på kondensatoren endres i henhold til den harmoniske loven:

hvor n er egenfrekvensen til oscillerende krets, w 0 = 2pn er den naturlige (sirkulære) frekvensen til oscillerende krets. Frekvensen av elektromagnetiske oscillasjoner i kretsen er definert som

Periode T- tiden hvor en fullstendig oscillasjon av spenningen på kondensatoren og strømmen i kretsen oppstår bestemmes Thomsons formel

Strømstyrken i kretsen endres også i henhold til den harmoniske loven, men henger etter spenningen i fase med . Derfor vil avhengigheten av strømstyrken i kretsen på tid ha formen

Figur 6 viser grafer over spenningsendringer U på kondensator og strøm Jeg i spolen for en ideell oscillerende krets.

I en ekte krets vil energien avta for hver svingning. Amplitudene til spenningen på kondensatoren og strømmen i kretsen vil avta; slike oscillasjoner kalles dempet. De kan ikke brukes i masteroscillatorer, fordi Enheten vil i beste fall fungere i pulsmodus.

Fig.5	Fig.6

For å oppnå udempede svingninger er det nødvendig å kompensere for energitap ved et bredt spekter av driftsfrekvenser for enheter, inkludert de som brukes i medisin.

Leksjon nr. 48-169 Oscillerende krets. Frie elektromagnetiske oscillasjoner. Omdannelse av energi i en oscillerende krets. Thompsons formel.Svingninger- bevegelser eller tilstander som gjentar seg over tid.Elektromagnetiske vibrasjoner -dette er elektriske vibrasjoner ogmagnetiske felt som motstårdrevet av periodisk utroskapladning, strøm og spenning. En oscillerende krets er et system som består av en induktor og en kondensator(Fig. a). Hvis kondensatoren er ladet og kortsluttet til spolen, vil strøm flyte gjennom spolen (fig. b). Når kondensatoren er utladet, vil ikke strømmen i kretsen stoppe på grunn av selvinduksjon i spolen. Induksjonsstrømmen vil i henhold til Lenz sin regel flyte i samme retning og lade opp kondensatoren (fig. c). Strømmen i denne retningen vil stoppe, og prosessen vil gjentas i motsatt retning (fig. G).

Dermed, i svingningertelny kontur av opprinnelsenelektromagnetiske oscillasjonernia på grunn av energiomdannelsekondensering av elektrisk feltra( W E =
) inn i energien til magnetfeltet til en spole med strøm(W M =
), og vice versa.

Harmoniske oscillasjoner er periodiske endringer i en fysisk mengde avhengig av tid, som skjer i henhold til loven om sinus eller cosinus.

Ligningen som beskriver frie elektromagnetiske oscillasjoner tar formen

q"= - ω 0 2 q (q" er den andre deriverte.

Hovedkarakteristika for oscillerende bevegelse:

Oscillasjonsperioden er minimumsperioden T hvoretter prosessen gjentas fullstendig.

Amplituden til harmoniske oscillasjoner er modulen til den største verdien av den oscillerende størrelsen.

Når du kjenner perioden, kan du bestemme frekvensen av svingninger, dvs. antall svingninger per tidsenhet, for eksempel per sekund. Hvis en oscillasjon oppstår i tid T, bestemmes antall svingninger i 1 s ν som følger: ν = 1/T.

Husk at i International System of Units (SI) er svingningsfrekvensen lik én hvis en oscillasjon skjer på 1 s. Frekvensenheten kalles hertz (forkortet: Hz) etter den tyske fysikeren Heinrich Hertz.

Etter en tidsperiode lik perioden T, dvs. når cosinusargumentet øker med ω 0 T, ladeverdien gjentas og cosinus får sin forrige verdi. Fra matematikkkurset vet vi at den minste perioden av cosinus er 2n. Derfor, ω 0 T=2π, hvorfra ω 0 = =2πν Dermed er verdien ω 0 - dette er antall svingninger, men ikke på 1 s, men på 2 s. Det kalles syklisk eller sirkulær frekvens.

Frekvensen av frie oscillasjoner kalles naturlig vibrasjonsfrekvenssystemer. Ofte i det følgende, for korthets skyld, vil vi ganske enkelt referere til den sykliske frekvensen som frekvens. Skille syklisk frekvens ω 0 fra frekvensen ν kan brukes i henhold til notasjonen.

I analogi med løsningen av differensialligningen for et mekanisk oscillerende system syklisk frekvens av gratis elektrisitethimmelsvingninger er lik:ω 0 =

Perioden med frie oscillasjoner i kretsen er lik: T= =2π
- Thomsons formel.

Svingningsfasen (fra det greske ordet fase - utseende, utviklingsstadium av et fenomen) er verdien av φ, som står under tegnet på cosinus eller sinus. Fasen uttrykkes i vinkelenheter - radianer. Fasen bestemmer, for en gitt amplitude, tilstanden til det oscillerende systemet til enhver tid.

Oscillasjoner med samme amplituder og frekvenser kan avvike fra hverandre i faser.

Siden ω 0 = , så φ= ω 0 Т=2π. Forholdet viser hvor mye av perioden som har gått siden starten av svingningen. Enhver tidsverdi uttrykt i brøkdeler av en periode tilsvarer en faseverdi uttrykt i radianer. Så, etter tiden t= (kvartalsperiode) φ= , etter halve perioden φ = π, etter hele perioden φ = 2π osv. Du kan plotte avhengigheten

ladning avhenger ikke av tid, men av fase. Figuren viser samme cosinusbølge som den forrige, men på den horisontale aksen er de plottet i stedet for tid

forskjellige verdier av fase φ.

Overensstemmelse mellom mekaniske og elektriske størrelser i oscillerende prosesser

Mekaniske mengder

Oppgaver.

942(932). Den første ladningen som ble gitt til kondensatoren til oscillerende krets ble redusert med 2 ganger. Hvor mange ganger ble: a) spenningsamplitude endret; b) strømamplitude;

c) den totale energien til kondensatorens elektriske felt og magnetfeltet til spolen?

943(933). Med en økning i spenningen på kondensatoren til oscillerende krets med 20 V, økte amplituden til strømmen med 2 ganger. Finn startspenningen.

945(935). Oscillasjonskretsen består av en kondensator med en kapasitet C = 400 pF og en induktansspole L = 10 mH. Finn amplituden til strømsvingninger I T , hvis amplituden til spenningssvingninger U T = 500 V.

952(942). Etter hvilket tidspunkt (i brøkdeler av perioden t/T) for første gang vil det være en ladning på kondensatoren til oscillerende krets lik halve amplitudeverdien?

957(947). Hvilken induktansspole bør inkluderes i oscillasjonskretsen for å få en fri oscillasjonsfrekvens på 10 MHz med en kondensatorkapasitans på 50 pF?

Oscillerende krets. Periode med frie svingninger.

1. Etter at kondensatoren til oscillerende krets har fått en ladning q = 10 -5 C, oppstod dempede oscillasjoner i kretsen. Hvor mye varme vil frigjøres i kretsen når svingningene i den dør helt ut? Kapasitans til kondensatoren C = 0,01 μF.

2. Oscilleringskretsen består av en kondensator med en kapasitet på 400 nF og en spole med en induktans på 9 μH. Hva er perioden med naturlig oscillasjon av kretsen?

3. Hvilken induktans må inkluderes i oscillasjonskretsen for å få en naturlig oscillasjonsperiode på 2∙ 10 -6 s med en kapasitans på 100 pF.

4. Sammenlign fjærstivhet k1/k2 av to pendler med belastningsmasser på henholdsvis 200g og 400g, hvis svingeperiodene deres er like.

5. Under påvirkning av en stasjonær last som henger på en fjær, var forlengelsen lik 6,4 cm. Deretter ble vekten trukket tilbake og frigjort, som et resultat av at den begynte å svinge. Bestem perioden for disse svingningene.

6. En last ble hengt opp i en fjær, brakt ut av sin likevektsposisjon og frigjort. Lasten begynte å svinge med en periode på 0,5 s. Bestem forlengelsen av fjæren etter at oscillasjonene stopper. Ignorer massen av våren.

7. I løpet av samme tid lager den ene matematiske pendelen 25 svingninger, og den andre 15. Finn lengdene deres hvis en av dem er 10 cm kortere enn den andre.8. Oscillasjonskretsen består av en kondensator med en kapasitet på 10 mF og en induktor på 100 mH. Finn amplituden til spenningssvingninger hvis amplituden til strømsvingningene er 0,1A9. Induktansen til den oscillerende kretsspolen er 0,5 mH. Det er nødvendig å konfigurere denne kretsen til en frekvens på 1 MHz. Hva skal være kapasitansen til kondensatoren i denne kretsen?

Eksamensspørsmål:

1. Hvilket av følgende uttrykk bestemmer perioden for frie svingninger i en oscillerende krets? EN.; B.
; I.
; G.
; D. 2 .

2. Hvilket av følgende uttrykk bestemmer den sykliske frekvensen til frie oscillasjoner i en oscillerende krets? A.B.
I.
G.
D. 2π

3. Figuren viser en graf av X-koordinaten til et legeme som utfører harmoniske svingninger langs x-aksen som funksjon av tid. Hva er vibrasjonsperioden til kroppen?

A. 1 s; B. 2 s; V. 3 s . G. 4 s.

4. Figuren viser bølgeprofilen på et bestemt tidspunkt. Hva er lengden?

A. 0,1 m. B. 0,2 m. C. 2 m. D. 4 m. D. 5 m.
5. Figuren viser en graf over strømmen gjennom den oscillerende kretsspolen kontra tid. Hva er perioden for gjeldende oscillasjon? A. 0,4 s. B. 0,3 s. V. 0,2 s. G. 0,1 s.

D. Det er ikke noe riktig svar blant svarene A-D.

6. Figuren viser bølgeprofilen på et bestemt tidspunkt. Hva er lengden?

A. 0,2 m. B. 0,4 m. C. 4 m. D. 8 m. D. 12 m.

7. Elektriske svingninger i oscillasjonskretsen er gitt ved ligningen q = 10 -2 ∙ cos 20t (Cl).

Hva er amplituden til ladningssvingninger?

A . 10-2 Cl. B.cos 20t Cl. B.20t Cl. G.20 Cl. D. Blant svarene A-D er det ingen riktig.

8. Under harmoniske vibrasjoner langs OX-aksen endres kroppens koordinater i henhold til loven X=0,2cos(5t+ ). Hva er amplituden til kroppens vibrasjoner?

A. Xm; B. 0,2 m; V. сos(5t+) m; (5t+)m; D.m

9. Oscillasjonsfrekvensen til bølgekilden er 0,2 s -1 bølgeutbredelseshastighet er 10 m/s. Hva er bølgelengden? A. 0,02 m. B. 2 m. C. 50 m.

D. I henhold til forholdene for problemet er det umulig å bestemme bølgelengden. D. Det er ikke noe riktig svar blant svarene A-D.

10. Bølgelengde 40 m, forplantningshastighet 20 m/s. Hva er oscillasjonsfrekvensen til bølgekilden?

A. 0,5 s-1. B. 2 s-1. V. 800 s -1.

D. I henhold til forholdene for problemet er det umulig å bestemme svingningsfrekvensen til bølgekilden.

D. Det er ikke noe riktig svar blant svarene A-D.

3

Et elektromagnetisk felt kan eksistere i fravær av elektriske ladninger eller strømmer: det er disse "selvbærende" elektriske og magnetiske feltene som er elektromagnetiske bølger, som inkluderer synlig lys, infrarødt, ultrafiolett og røntgenstråling, radiobølger, etc.

§ 25. Oscillerende krets

Det enkleste systemet der naturlige elektromagnetiske oscillasjoner er mulig er den såkalte oscillerende kretsen, bestående av en kondensator og en induktor koblet til hverandre (fig. 157). Som en mekanisk oscillator, for eksempel en massiv kropp på en elastisk fjær, er naturlige oscillasjoner i kretsen ledsaget av energitransformasjoner.

Ris. 157. Oscillerende krets

Analogi mellom mekaniske og elektromagnetiske vibrasjoner. For en oscillerende krets er en analog av den potensielle energien til en mekanisk oscillator (for eksempel den elastiske energien til en deformert fjær) energien til det elektriske feltet i en kondensator. En analog av den kinetiske energien til et legeme i bevegelse er energien til magnetfeltet i en induktor. Faktisk er energien til fjæren proporsjonal med kvadratet av forskyvningen fra likevektsposisjonen og energien til kondensatoren er proporsjonal med kvadratet av ladningen. Den kinetiske energien til et legeme er proporsjonal med kvadratet på dets hastighet og energien til magnetfeltet i spolen er proporsjonal med kvadratet av strømmen.

Den totale mekaniske energien til fjæroscillatoren E er lik summen av potensielle og kinetiske energier:

Energi av vibrasjoner. På samme måte er den totale elektromagnetiske energien til oscillerende krets lik summen av energiene til det elektriske feltet i kondensatoren og magnetfeltet i spolen:

Fra en sammenligning av formlene (1) og (2) følger det at analogen til stivheten k til en fjæroscillator i en oscillerende krets er den resiproke av kapasitansen C, og analogen til massen er induktansen til spolen

La oss huske at i et mekanisk system, hvis energi er gitt av uttrykk (1), kan dets egne udempede harmoniske svingninger forekomme. Kvadraten på frekvensen til slike svingninger er lik forholdet mellom koeffisientene til kvadratene for forskyvning og hastighet i uttrykket for energi:

Naturlig frekvens. I en oscillerende krets, hvis elektromagnetiske energi er gitt ved uttrykk (2), kan dets egne udempede harmoniske oscillasjoner oppstå, hvor kvadratet på frekvensen også åpenbart er lik forholdet mellom de tilsvarende koeffisientene (dvs. koeffisientene til kvadratene av ladning og strøm):

Fra (4) følger et uttrykk for oscillasjonsperioden, kalt Thomsons formel:

Under mekaniske oscillasjoner bestemmes avhengigheten av forskyvningen x på tid av en cosinusfunksjon, hvis argument kalles oscillasjonsfasen:

Amplitude og startfase. Amplituden A og startfasen a bestemmes av startforholdene, dvs. verdiene for forskyvningen og hastigheten ved

På samme måte, med elektromagnetiske naturlige oscillasjoner i kretsen, avhenger ladningen til kondensatoren av tid i henhold til loven

hvor frekvensen bestemmes, i samsvar med (4), kun av egenskapene til selve kretsen, og amplituden til ladningssvingninger og startfasen a, som for en mekanisk oscillator, bestemmes

startforhold, dvs. verdiene til kondensatorladningen og strømstyrken ved. Dermed avhenger ikke den naturlige frekvensen av metoden for eksitasjon av oscillasjoner, mens amplituden og startfasen bestemmes nøyaktig av eksitasjonsforholdene.

Energitransformasjoner. La oss vurdere mer detaljert energitransformasjoner under mekaniske og elektromagnetiske vibrasjoner. I fig. 158 viser skjematisk tilstandene til mekaniske og elektromagnetiske oscillatorer med tidsintervaller på en kvart periode

Ris. 158. Energitransformasjoner under mekaniske og elektromagnetiske vibrasjoner

To ganger i løpet av oscillasjonsperioden konverteres energi fra en type til en annen og tilbake igjen. Den totale energien til oscillatorkretsen, som den totale energien til en mekanisk oscillator, forblir uendret i fravær av spredning. For å bekrefte dette, må du erstatte uttrykk (6) med og uttrykk for gjeldende i formel (2)

Ved å bruke formel (4) får vi

Ris. 159. Grafer over avhengigheten av energien til kondensatorens elektriske felt og energien til magnetfeltet i spolen på tidspunktet for lading av kondensatoren

Den konstante totale energien faller sammen med den potensielle energien i øyeblikkene når ladningen på kondensatoren er maksimal, og sammenfaller med energien til magnetfeltet til spolen - den "kinetiske" energien - i de øyeblikkene ladningen på kondensatoren blir null og strømmen er maksimal. Under gjensidige transformasjoner utfører to typer energi harmoniske vibrasjoner med samme amplitude, ut av fase med hverandre og med en frekvens i forhold til deres gjennomsnittsverdi. Dette kan lett sees fra fig. 158, og bruke formler for trigonometriske funksjoner av et halvt argument:

Grafer over avhengigheten av den elektriske feltenergien og magnetfeltenergien på ladetiden til kondensatoren er vist i fig. 159 for den innledende fasen

Kvantitative lover for naturlige elektromagnetiske oscillasjoner kan etableres direkte på grunnlag av lovene for kvasistasjonære strømmer, uten å ty til en analogi med mekaniske svingninger.

Ligning for oscillasjoner i en krets. La oss vurdere den enkleste oscillerende kretsen vist i fig. 157. Når man går rundt kretsen, for eksempel mot klokken, er summen av spenningene på induktoren og kondensatoren i en slik lukket seriekrets null:

Spenningen på kondensatoren er relatert til ladningen til platen og til kapasitansen med forholdet Spenningen på induktansen til enhver tid er lik i størrelse og motsatt i fortegn til den selvinduktive emk, derfor strømmen i kretsen er lik endringshastigheten for ladningen til kondensatoren: Erstatter strømstyrken i uttrykket for spenningen på induktoren og betegner den andre deriverte av kondensatorladningen med hensyn til tid gjennom

Vi får nå uttrykk (10) tar formen

La oss omskrive denne ligningen annerledes, og introdusere per definisjon:

Ligning (12) faller sammen med ligningen for harmoniske oscillasjoner til en mekanisk oscillator med egenfrekvens. Løsningen på en slik ligning er gitt av en harmonisk (sinusformet) tidsfunksjon (6) med vilkårlige verdier for amplituden og startfasen en. Dette innebærer alle de ovennevnte resultatene angående elektromagnetiske oscillasjoner i kretsen.

Dempning av elektromagnetiske oscillasjoner. Så langt har naturlige vibrasjoner i et idealisert mekanisk system og en idealisert LC-krets blitt diskutert. Idealiseringen bestod i å neglisjere friksjon i oscillatoren og elektrisk motstand i kretsen. Bare i dette tilfellet vil systemet være konservativt og oscillasjonsenergien vil bli bevart.

Ris. 160. Oscillerende krets med motstand

Dissipasjonen av oscillasjonsenergi i kretsen kan tas i betraktning på samme måte som det ble gjort ved en mekanisk oscillator med friksjon. Tilstedeværelsen av elektrisk motstand til spolen og tilkoblingsledninger er uunngåelig forbundet med frigjøring av Joule-varme. Som før kan denne motstanden betraktes som et uavhengig element i den elektriske kretsen til oscillerende krets, med tanke på at spolen og ledningene er ideelle (fig. 160). Når man vurderer en kvasi-stasjonær strøm i en slik krets, er det nødvendig å legge til spenningen over motstanden til ligning (10)

Bytter inn får vi

Introduserer betegnelser

vi omskriver ligning (14) i formen

Ligning (16) for har nøyaktig samme form som ligningen for når en mekanisk oscillator svinger med

friksjon proporsjonal med hastighet (viskøs friksjon). Derfor, i nærvær av elektrisk motstand i kretsen, oppstår elektromagnetiske oscillasjoner i henhold til samme lov som de mekaniske oscillasjonene til en oscillator med viskøs friksjon.

Dissipasjon av vibrasjonsenergi. Som med mekaniske vibrasjoner, er det mulig å etablere loven om reduksjonen i energi av naturlige vibrasjoner over tid ved å bruke Joule-Lenz-loven for å beregne varmen som frigjøres:

Som et resultat, i tilfelle av liten dempning for tidsintervaller som er mye større enn oscillasjonsperioden, viser reduksjonshastigheten i oscillasjonsenergien seg å være proporsjonal med selve energien:

Løsningen til ligning (18) har formen

Energien til naturlige elektromagnetiske oscillasjoner i en krets med motstand avtar i henhold til en eksponentiell lov.

Energien til oscillasjoner er proporsjonal med kvadratet på amplituden deres. For elektromagnetiske oscillasjoner følger dette for eksempel av (8). Derfor avtar amplituden til dempede oscillasjonene, i samsvar med (19), i henhold til loven

Levetid for oscillasjoner. Som det fremgår av (20), avtar amplituden til svingningene med en tidsfaktor lik, uavhengig av startverdien til amplituden.Denne tiden x kalles svingningenes levetid, men som man kan se fra (20), fortsetter svingningene formelt på ubestemt tid. I virkeligheten er det selvfølgelig fornuftig å snakke om oscillasjoner bare så lenge amplituden deres overstiger den karakteristiske verdien av nivået av termisk støy i en gitt krets. Derfor "lever" faktisk oscillasjoner i kretsen i en begrenset tid, som imidlertid kan være flere ganger større enn levetiden x introdusert ovenfor.

Det er ofte viktig å ikke vite levetiden til selve oscillasjonene x, men antallet komplette svingninger som vil oppstå i kretsen i løpet av denne tiden x. Dette tallet multiplisert med kalles kretskvalitetsfaktoren.

Dempede svingninger er strengt tatt ikke periodiske. Med lav demping kan vi betinget snakke om en periode, som forstås som tidsintervallet mellom to

påfølgende maksimalverdier for kondensatorladingen (samme polaritet), eller maksimale strømverdier (én retning).

Demping av oscillasjoner påvirker perioden, og får den til å øke sammenlignet med det idealiserte tilfellet med ingen demping. Ved lav demping er økningen i oscillasjonsperioden svært liten. Men med sterk dempning kan det ikke være svingninger i det hele tatt: den ladede kondensatoren vil utlades periodisk, det vil si uten å endre retningen til strømmen i kretsen. Dette vil skje når dvs. når

Nøyaktig løsning. Mønstrene for dempede oscillasjonene formulert ovenfor følger av den eksakte løsningen av differensialligningen (16). Ved direkte substitusjon kan vi verifisere at den har formen

hvor er vilkårlige konstanter, hvis verdier bestemmes fra startforholdene. Ved lav demping kan cosinusmultiplikatoren betraktes som en sakte varierende amplitude av oscillasjoner.

Oppgave

Lading av kondensatorer gjennom en induktor. I kretsen, hvis diagram er vist i fig. 161, er ladningen til den øvre kondensatoren lik og den nedre er ikke ladet. For øyeblikket er nøkkelen lukket. Finn avhengigheten av ladetiden til den øvre kondensatoren og strømmen i spolen.

Ris. 161. I det første øyeblikket er kun én kondensator ladet

Ris. 162. Ladinger av kondensatorer og strøm i kretsen etter lukking av nøkkelen

Ris. 163. Mekanisk analogi for den elektriske kretsen vist i fig. 162

Løsning. Etter at nøkkelen er lukket, oppstår oscillasjoner i kretsen: den øvre kondensatoren begynner å utlades gjennom spolen, mens den lader den nedre; da skjer alt i motsatt retning. La for eksempel være at den øvre platen på kondensatoren er positivt ladet. Deretter

etter en kort periode vil tegnene på ladningene til kondensatorplatene og strømmens retning være som vist i fig. 162. La oss betegne med ladningene til platene til de øvre og nedre kondensatorene som er koblet til hverandre gjennom en induktor. Basert på loven om bevaring av elektrisk ladning

Summen av spenningene på alle elementene i den lukkede sløyfen i hvert øyeblikk er null:

Tegnet på spenningen på kondensatoren tilsvarer ladningsfordelingen i fig. 162. og den indikerte retningen til strømmen. Uttrykket for strømmen gjennom spolen kan skrives i en av to former:

La oss ekskludere fra ligningen ved å bruke relasjoner (22) og (24):

Introduserer betegnelser

La oss omskrive (25) i følgende form:

Hvis i stedet for å gå inn i funksjonen

og ta hensyn til at da (27) tar formen

Dette er den vanlige ligningen for udempede harmoniske oscillasjoner, som har løsningen

hvor og er vilkårlige konstanter.

Tilbake fra funksjonen får vi følgende uttrykk for avhengigheten av ladetiden til den øvre kondensatoren:

For å bestemme konstantene og a tar vi i betraktning at ladningen og strømmen i det første øyeblikket For strømstyrken fra (24) og (31) har vi

Siden det følger at Substituting nå i og tar i betraktning at vi får

Så uttrykkene for ladning og strøm har formen

Naturen til ladnings- og strømsvingninger er spesielt tydelig når kondensatorkapasitansene er de samme. I dette tilfellet

Ladningen til den øvre kondensatoren oscillerer med en amplitude rundt gjennomsnittsverdien lik Over halvparten av oscillasjonsperioden synker den fra maksimalverdien i startøyeblikket til null, når all ladningen er på den nedre kondensatoren.

Uttrykket (26) for oscillasjonsfrekvensen kan selvfølgelig skrives med en gang, siden kondensatorene i den aktuelle kretsen er koblet i serie. Det er imidlertid vanskelig å skrive uttrykk (34) direkte, siden det under slike startforhold er umulig å erstatte kondensatorene som er inkludert i kretsen med en ekvivalent.

En visuell representasjon av prosessene som skjer her er gitt av den mekaniske analogen til denne elektriske kretsen, vist i fig. 163. Identiske fjærer tilsvarer tilfellet med kondensatorer med samme kapasitet. I det første øyeblikket komprimeres den venstre fjæren, som tilsvarer en ladet kondensator, og den høyre er i en udeformert tilstand, siden analogen til kondensatorladningen her er graden av deformasjon av fjæren. Når de passerer gjennom midtposisjonen, er begge fjærene delvis komprimert, og i ytterst høyre posisjon er venstre fjær udeformert, og den høyre komprimeres på samme måte som den venstre i startøyeblikket, som tilsvarer hele strømmen lades fra den ene kondensatoren til den andre. Selv om kulen gjennomgår normale harmoniske svingninger rundt sin likevektsposisjon, er deformasjonen til hver av fjærene beskrevet av en funksjon hvis middelverdi er ikke null.

I motsetning til en oscillerende krets med en kondensator, hvor den under svingninger lades opp gjentatte ganger, er den opprinnelig ladede kondensatoren ikke fullstendig ladet i det aktuelle systemet. For eksempel når ladningen reduseres til null, og deretter gjenopprettes til samme polaritet. Ellers skiller disse oscillasjonene seg ikke fra harmoniske svingninger i en konvensjonell krets. Energien til disse svingningene bevares, hvis selvfølgelig motstanden til spolen og tilkoblingsledningene kan neglisjeres.

Forklar hvorfor, fra en sammenligning av formlene (1) og (2) for mekaniske og elektromagnetiske energier, ble det konkludert med at analogen til stivhet k er og analogen til masse er induktans og ikke omvendt.

Gi en begrunnelse for å utlede uttrykk (4) for den naturlige frekvensen til elektromagnetiske oscillasjoner i kretsen analogt med en mekanisk fjæroscillator.

Harmoniske oscillasjoner i en krets er preget av amplitude, frekvens, periode, oscillasjonsfase og startfase. Hvilke av disse størrelsene bestemmes av egenskapene til selve oscillasjonskretsen, og hvilke avhenger av metoden for eksitering av svingninger?

Bevis at gjennomsnittsverdiene av elektriske og magnetiske energier under naturlige oscillasjoner i kretsen er lik hverandre og utgjør halvparten av den totale elektromagnetiske energien til svingninger.

Hvordan anvende lovene for kvasistasjonære fenomener i en elektrisk krets for å utlede differensialligningen (12) for harmoniske svingninger i kretsen?

Hvilken differensialligning tilfredsstiller strømmen i en LC-krets?

Utled en ligning for reduksjonshastigheten i oscillasjonsenergi ved lav demping på samme måte som ble gjort for en mekanisk oscillator med friksjon proporsjonal med hastigheten, og vis at for tidsintervaller som vesentlig overstiger oscillasjonsperioden, skjer denne reduksjonen iht. eksponentiell lov. Hva er meningen med begrepet "lav demping" som brukes her?

Vis at funksjonen gitt av formel (21) tilfredsstiller ligning (16) for alle verdier av og a.

Tenk på det mekaniske systemet vist i fig. 163, og finn avhengigheten av tidspunktet for deformasjon av venstre fjær og hastigheten til den massive kroppen.

En krets uten motstand med uunngåelige tap. I problemet vurdert ovenfor, til tross for de ikke helt vanlige startbetingelsene for ladninger på kondensatorer, var det mulig å bruke vanlige ligninger for elektriske kretser, siden betingelsene for kvasistasjonære prosesser var oppfylt der. Men i kretsen, hvis diagram er vist i fig. 164, med formell ekstern likhet med diagrammet i fig. 162, er de kvasi-stasjonære betingelsene ikke oppfylt hvis i det første øyeblikket en kondensator er ladet og den andre ikke.

La oss diskutere mer detaljert årsakene til at betingelsene for kvasi-stasjonaritet brytes her. Umiddelbart etter stenging

Ris. 164. Elektrisk krets der kvasistasjonære betingelser ikke er oppfylt

nøkkel, alle prosesser foregår kun i kondensatorer koblet til hverandre, siden økningen i strømmen gjennom induktansspolen skjer relativt sakte og til å begynne med kan grenen av strømmen inn i spolen neglisjeres.

Når nøkkelen er lukket, oppstår raske dempede svingninger i en krets som består av kondensatorer og ledningene som forbinder dem. Perioden for slike oscillasjoner er veldig kort, siden induktansen til tilkoblingsledningene er lav. Som et resultat av disse svingningene omfordeles ladningen på kondensatorplatene, hvoretter de to kondensatorene kan betraktes som én. Men dette kan ikke gjøres i første øyeblikk, fordi sammen med omfordelingen av ladninger skjer det også en omfordeling av energi, hvorav en del blir til varme.

Etter at de raske oscillasjonene forfaller, oppstår svingninger i systemet, som i en krets med en kondensator, hvis ladning i det første øyeblikket er lik kondensatorens initialladning. Betingelsen for gyldigheten av resonnementet ovenfor er litenheten av induktansen til tilkoblingsledningene sammenlignet med induktansen til spolen.

Som i problemet vurdert, er det nyttig å finne en mekanisk analogi her. Hvis det var to fjærer som tilsvarer kondensatorer på begge sider av en massiv kropp, bør de her være plassert på den ene siden av den, slik at vibrasjonene til en av dem kan overføres til den andre når kroppen er stasjonær. I stedet for to fjærer kan du ta en, men bare i det første øyeblikket skal den deformeres ujevnt.

La oss gripe fjæren i midten og strekke dens venstre halvdel til en viss avstand. Den andre halvdelen av fjæren vil forbli i en udeformert tilstand, slik at belastningen i det første øyeblikket forskyves fra likevektsposisjonen til høyre med en avstand Under de opprinnelige betingelsene for problemet vårt, når halvparten av fjæren strekkes med en avstand, er energireserven lik , som det er lett å forestille seg, stivheten til "halvparten" av fjæren er lik Hvis massen til fjæren er liten sammenlignet med massen til ballen, frekvensen av naturlige oscillasjoner av fjæren som et utvidet system er mye større enn frekvensen av svingninger av ballen på fjæren. Disse "raske" svingningene vil dø ut i løpet av en tid som er en liten brøkdel av perioden med ballens svingninger. Etter at de raske svingningene har dempet, blir spenningen i fjæren omfordelt, og forskyvningen av lasten forblir praktisk talt lik siden lasten ikke har tid til å bevege seg merkbart i løpet av denne tiden. Deformasjonen av fjæren blir jevn, og energien til systemet er lik

Dermed ble rollen til raske oscillasjoner av fjæren redusert til det faktum at energireserven til systemet sank til verdien som tilsvarer den ensartede innledende deformasjonen av fjæren. Det er klart at ytterligere prosesser i systemet ikke skiller seg fra tilfellet med jevn initial deformasjon. Avhengigheten av forskyvningen av lasten på tid uttrykkes med samme formel (36).

I det betraktede eksemplet, som et resultat av raske vibrasjoner, ble halvparten av den opprinnelige tilførselen av mekanisk energi omdannet til intern energi (varme). Det er klart at ved å utsette ikke halvparten, men en vilkårlig del av fjæren for initial deformasjon, er det mulig å konvertere en hvilken som helst brøkdel av den første tilførselen av mekanisk energi til intern energi. Men i alle tilfeller tilsvarer oscillasjonsenergien til lasten på fjæren energireserven for den samme ensartede innledende deformasjonen av fjæren.

I en elektrisk krets, som et resultat av dempet raske svingninger, frigjøres energien til en ladet kondensator delvis i form av Joule-varme i forbindelsesledningene. Med like kapasiteter vil dette være halvparten av den opprinnelige energireserven. Den andre halvdelen forblir i form av energi av relativt langsomme elektromagnetiske oscillasjoner i en krets bestående av en spole og to kondensatorer C koblet parallelt, og

Derfor, i dette systemet, er idealisering der spredningen av oscillasjonsenergi neglisjeres fundamentalt uakseptabel. Grunnen til dette er at raske svingninger er mulige uten å påvirke induktoren eller den massive kroppen i et lignende mekanisk system.

Oscillerende krets med ikke-lineære elementer. Når vi studerte mekaniske vibrasjoner, så vi at vibrasjoner ikke alltid er harmoniske. Harmoniske oscillasjoner er en karakteristisk egenskap ved lineære systemer der

gjenopprettingskraften er proporsjonal med avviket fra likevektsposisjonen, og den potensielle energien er proporsjonal med kvadratet på avviket. Ekte mekaniske systemer har som regel ikke disse egenskapene, og vibrasjoner i dem kan betraktes som harmoniske bare for små avvik fra likevektsposisjonen.

Ved elektromagnetiske oscillasjoner i en krets kan man få inntrykk av at vi har å gjøre med ideelle systemer der svingningene er strengt tatt harmoniske. Dette gjelder imidlertid bare så lenge kapasitansen til kondensatoren og induktansen til spolen kan betraktes som konstant, det vil si uavhengig av ladning og strøm. En kondensator med et dielektrikum og en spole med en kjerne er strengt tatt ikke-lineære elementer. Når en kondensator er fylt med et ferroelektrisk, dvs. et stoff hvis dielektrisitetskonstant sterkt avhenger av det påførte elektriske feltet, kan ikke lenger kapasitansen til kondensatoren betraktes som konstant. Tilsvarende avhenger induktansen til en spole med en ferromagnetisk kjerne av strømstyrken, siden ferromagneten har egenskapen til magnetisk metning.

Hvis massen i mekaniske oscillerende systemer som regel kan betraktes som konstant og ikke-linearitet oppstår bare på grunn av den ikke-lineære naturen til den virkende kraften, kan det i en elektromagnetisk oscillerende krets oppstå ulinearitet både på grunn av en kondensator (analog av en elastisk fjær). ) og på grunn av en induktor (analog av masse).

Hvorfor er idealiseringen der systemet anses som konservativ ikke anvendelig for en oscillerende krets med to parallelle kondensatorer (fig. 164)?

Hvorfor fører raske oscillasjoner til spredning av oscillasjonsenergi i kretsen i fig. 164, forekom ikke i en krets med to seriekondensatorer vist i fig. 162?

Hvilke årsaker kan føre til ikke-sinusformede elektromagnetiske oscillasjoner i kretsen?