Det matematiske modelleringsskjemaet inkluderer: Funksjoner ved å konstruere matematiske modeller
Den første informasjonen når du konstruerer matematiske modeller for systemfunksjonsprosesser er data om formålet og driftsforholdene til systemet som studeres (designes), som bestemmer hovedmålet med modellering og lar oss formulere krav til den matematiske modellen som utvikles . Matematisk skjema kan defineres som et ledd i overgangen fra en meningsfull til en formell beskrivelse av prosessen med systemets funksjon, tatt i betraktning påvirkningen fra det ytre miljøet, dvs. det er en kjede "beskrivende modell - matematisk skjema - matematisk [analytisk og/eller simulering] modell."
Modell av modelleringsobjektet, dvs. systemet S, kan representeres som et sett med mengder som beskriver funksjonsprosessen til et reelt system og vanligvis danner følgende undergrupper:
· helhet input påvirker per system – x i;
· helhet miljøpåvirkninger– n l;
· helhet interne (egne) parametere systemer – h k;
· helhet utgangsegenskaper systemer – y j.
I dette tilfellet, i de oppførte undergruppene, kan kontrollerte og ukontrollerbare variabler skilles. Generelt x i, n l, h k, y j er elementer av usammenhengende delmengder X, V, H, Y og inneholder både deterministiske og stokastiske komponenter.
Ved modellering av et system S input påvirkninger, miljøpåvirkninger E og de interne parameterne til systemet er uavhengige (eksogene) variabler, som i vektorform har tilsvarende form
og utgangskarakteristikkene til systemet er avhengige (endogene) variabler og i vektorform ser de ut
Systemdriftsprosess S beskrevet i tide av operatøren Fs , som generelt transformerer eksogene variabler til endogene i samsvar med relasjoner av formen:
. (2.1)
Et sett med avhengigheter av systemets utdatakarakteristikk på tid y j(t) for alle typer kalles utgangsvei. Avhengighet (2.1) kalles lov om systemfunksjon S og er utpekt Fs. Generelt sett er loven om systemets funksjon F s kan spesifiseres i form av en funksjon, funksjonelle, logiske forhold, i algoritmiske og tabellformede former, eller i form av en verbal samsvarsregel.
Veldig viktig for å beskrive og studere systemet S er konseptet fungerende algoritme A s, som er forstått som en metode for å oppnå utdatakarakteristikker som tar hensyn til inputpåvirkninger , miljøpåvirkninger og egne systemparametere . Det er åpenbart at den samme loven om systemfunksjon kan implementeres på forskjellige måter, dvs. ved hjelp av mange forskjellige algoritmer Som.
Relasjoner (2.1) er en matematisk beskrivelse av oppførselen til modelleringsobjektet (systemet) i tid , de. gjenspeiler dens dynamiske egenskaper. Derfor kalles vanligvis matematiske modeller av denne typen dynamiske modeller (systemer).
For statiske modeller er den matematiske beskrivelsen (2.1) en kartlegging mellom to delsett av egenskapene til det modellerte objektet Y og [ X, V, H], som i vektorform kan skrives som
. (2.2)
Relasjoner (2.1) og (2.2) kan spesifiseres på ulike måter: analytisk (ved hjelp av formler), grafisk, tabellform osv. Slike relasjoner kan i noen tilfeller oppnås gjennom systemets egenskaper S på bestemte tidspunkter, kalt stater. Systemets tilstand S preget av vektorer
Og 
,
Hvor z ’ 1 =z 1 (t ’),z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z'k = z k ( t'), i øyeblikket t ’’ Î( t 0 , T); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' k = z k ( t'') i øyeblikket t ’’ Î( t 0 , T) etc., .
Hvis vi vurderer prosessen med at systemet fungerer S som en sekvensiell endring av tilstander z 1 (t), z 2 (t), ..., z k ( t), så kan de tolkes som koordinatene til et punkt i k-dimensjonalt faserom, og hver implementering av prosessen vil tilsvare en viss fasebane. Settet med alle mulige tilstandsverdier kalles statlig plass modelleringsobjekt Z, og z k О Z.
Systemtilstander S på et tidspunkt t 0<t*£ T er helt bestemt av startforholdene 
[Hvor z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = z k ( t 0)], inngangspåvirkninger, interne parametere og ytre miljøpåvirkninger som fant sted over en tidsperiode t*– t0, ved å bruke to vektorligninger:
; (2.3)
. (2.4)
Den første ligningen, basert på starttilstanden og eksogene variabler, bestemmer vektorfunksjonen , og den andre i henhold til den oppnådde verdien av tilstandene er endogene variabler ved utgangen av systemet . Dermed lar likningskjeden til objektet "input - states - output" oss bestemme egenskapene til systemet:
Generelt tid i systemmodellen S kan vurderes over modelleringsintervallet (0, T) både kontinuerlig og diskret, dvs. kvantisert i segmenter med lengde på tidsenheter hver, når , hvor er antall samplingsintervaller.
Altså under matematisk modell av objektet(virkelig system) forstå en begrenset delmengde av variabler 
sammen med matematiske sammenhenger mellom dem og egenskaper.
Dersom den matematiske beskrivelsen av modelleringsobjektet ikke inneholder tilfeldige elementer eller de ikke tas i betraktning, dvs. hvis vi kan anta at det i dette tilfellet ikke er stokastiske påvirkninger av det ytre miljøet og stokastiske interne parametere, så kalles modellen deterministisk i den forstand at egenskapene er unikt bestemt av deterministiske inputpåvirkninger
. (2.6)
Det er åpenbart at den deterministiske modellen er et spesialtilfelle av den stokastiske modellen.
De presenterte matematiske sammenhengene representerer generelle matematiske skjemaer og gjør det mulig å beskrive en bred klasse av systemer. Men i praksisen med å modellere objekter innen systemteknikk og systemanalyse, i de innledende stadiene av systemforskning, er det mer rasjonelt å bruke typiske matematiske skjemaer: differensialligninger, endelige og probabilistiske automater, køsystemer, petrinett, etc.
Typiske matematiske skjemaer har ikke samme grad av generalitet som modellene som vurderes, og har fordelene av enkelhet og klarhet, men med en betydelig innsnevring av anvendelsesmuligheter. Som deterministiske modeller, når tilfeldige faktorer ikke tas i betraktning i studien, brukes differensial-, integral-, integro-differensial- og andre ligninger for å representere systemer som opererer i kontinuerlig tid, og endelige automater og endelige-tilstandsmaskiner brukes til å representere systemer som opererer i diskrete tidsforskjeller. Sannsynlighetsautomater brukes som stokastiske modeller (som tar i betraktning tilfeldige faktorer) for å representere diskrete-tidssystemer, og køsystemer, etc., for å representere kontinuerlige-tidssystemer.
De oppførte matematiske standardskjemaene kan naturligvis ikke kreve å kunne beskrive på grunnlag av alle prosessene som skjer i store informasjons- og kontrollsystemer. For slike systemer er bruken av aggregerte modeller i noen tilfeller mer lovende. Aggregerte modeller (systemer) gjør det mulig å beskrive et bredt spekter av forskningsobjekter, som gjenspeiler den systemiske naturen til disse objektene. Det er med en aggregert beskrivelse at et komplekst objekt (system) deles inn i et begrenset antall deler (delsystemer), samtidig som man opprettholder forbindelsene som sikrer samspillet mellom delene.
Når man konstruerer matematiske modeller av systemfunksjonsprosesser, kan man derfor skille mellom følgende hovedtilnærminger: kontinuerlig-deterministisk (for eksempel differensialligninger); diskret-deterministisk (endelig tilstandsmaskiner); diskret-stokastisk (sannsynlighetsautomater); kontinuerlig-stokastisk (køsystemer); generaliserte eller universelle (aggregatsystemer).
Forelesning 5.
Kontinuerlig deterministiske modeller (D-skjemaer)
La oss vurdere funksjonene til den kontinuerlig deterministiske tilnærmingen ved å bruke eksemplet med å bruke differensialligninger som matematiske modeller. Differensiallikninger Dette er ligninger der funksjoner til en eller flere variabler er ukjente, og ligningen inkluderer ikke bare funksjoner, men også deres deriverte av forskjellige rekkefølger. Hvis de ukjente er funksjoner av mange variabler, kalles ligningene partielle differensialligninger, ellers, når man vurderer en funksjon av bare én uavhengig variabel, kalles ligningene vanlige differensialligninger(ODU) .
Typisk, i slike matematiske modeller, tjener tid som den uavhengige variabelen som de ukjente ukjente funksjonene er avhengige av. t. Da vil den matematiske relasjonen for deterministiske systemer (2.6) i generell form være
Hvor 
Og 
- n-dimensjonale vektorer; - en vektorfunksjon som er definert på noen ( n+ 1) dimensjonalt sett og er kontinuerlig. Siden matematiske skjemaer av denne typen gjenspeiler dynamikken i systemet som studeres, dvs. dens oppførsel i tide, kalles de D-ordninger(fra den engelske dynamic).
I det enkleste tilfellet har ODE formen:
,
Hvor h 0 , h 1 , h 2 - systemparametere; z(t) – tilstanden til systemet på et tidspunkt t.
Hvis systemet som studeres samhandler med det ytre miljøet E , så vises input-påvirkningen X(t) og den kontinuerlig deterministiske modellen for et slikt system vil ha formen:
.
Fra synspunktet til den generelle ordningen for den matematiske modellen X(t) er input (kontroll) handling, og tilstanden til systemet S i dette tilfellet kan betraktes som en utgangskarakteristikk, dvs. anta at utgangsvariabelen faller sammen med tilstanden til systemet på et gitt tidspunkt y=z.
Når du skal løse problemer med systemutvikling, er problemer med å administrere store systemer av stor betydning. Du bør ta hensyn til automatiske kontrollsystemer - et spesielt tilfelle av dynamiske systemer beskrevet D- ordninger og modeller delt inn i en egen klasse på grunn av deres praktiske spesifisitet. Når de beskriver automatiske kontrollprosesser, holder de seg vanligvis til representasjonen av et reelt objekt i form av to systemer: kontroll og kontrollert (kontrollobjekt).
. Forelesning 6.
Diskret-deterministiske modeller (F-skjemaer)
Vi vil vurdere funksjonene til den diskret-deterministiske tilnærmingen på stadiet for formalisering av prosessen med systemfunksjon ved å bruke eksemplet med å bruke automatteori som et matematisk apparat. Automatateori er en gren av teoretisk kybernetikk der matematiske modeller – automater – studeres. Basert på denne teorien er systemet representert som en automat som behandler diskret informasjon og endrer interne tilstander kun på akseptable tidspunkter. Konseptet med "automatisk maskin" varierer avhengig av arten av de spesifikke systemene som studeres, abstraksjonsnivået som er vedtatt og passende grad av generalitet. En automat kan betraktes som en enhet (en svart boks) som inngangssignaler tilføres og utgangssignaler mottas til, og som kan ha noen interne tilstander. En endelig automat er en automat som har et sett med interne tilstander og derfor et sett med utgangssignaler som er endelige sett. Abstrakt sett kan en endelig automat (fra den engelske finite automat) representeres som et matematisk skjema preget av seks elementer: et begrenset sett X inngangssignaler (inngangsalfabet); begrenset sett Y utgangssignaler (utgangsalfabet); begrenset sett Z interne tilstander (internt alfabet eller alfabet av stater); opprinnelige tilstand z 0 Î Z; overgangsfunksjon j(z, x); utgangsfunksjon y(z, x).
Automat angitt F-skjema: 
– opererer i diskret automatisk tid, hvis øyeblikk er tikker, dvs. like tidsintervaller ved siden av hverandre, som hver tilsvarer konstante verdier av inngangs- og utgangssignaler og interne tilstander. Hvis vi angir tilstanden, samt inngangs- og utgangssignalene som tilsvarer t- mu klokke kl t= 0, 1, 2, ..., gjennom z(t),x(t),y(t).Hvori z(0)=z 0 , z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y. En abstrakt tilstandsmaskin har én inngangs- og én utgangskanal. Til hvert øyeblikk av diskret tid F- maskinen er i en bestemt tilstand z(t) fra mange Z maskinens tilstander og i det første øyeblikket t=0 den er alltid i starttilstand z(0)=z 0 . I øyeblikket t,å kunne z(t),
maskinen er i stand til å motta et signal på inngangskanalen x(t)Î X og sende ut et signal på utgangskanalen på(t)=y[z(t), X(t)], går over i staten z(t+1)=j[z(t), x(t)], x(t)Î X, y(t)Î Y. En abstrakt begrenset maskin implementerer noen kartlegging av et sett med ord i inndataalfabetet X for mange ord i utdataalfabetet Y. Med andre ord, hvis inngangen til en endelig tilstandsmaskin er satt til den opprinnelige tilstanden z 0 , oppgi bokstavene i inndataalfabetet i en eller annen rekkefølge X(0),X(1),X(2),..., dvs. innord, så vil bokstavene i utgangsalfabetet vises ved utgangen av maskinen på(0), y(1), på(2), ..., som danner utgangsordet. Dermed skjer driften av den endelige tilstandsmaskinen i henhold til følgende skjema: i hver t- m sykle til inngangen til maskinen, som er i tilstanden z(t), gis noe signal x(t),
som han reagerer på ved å gå over til ( t+1)-te slag til en ny tilstand z(t+1) og produserer et utgangssignal.
Basert på antall tilstander skilles endelige tilstandsmaskiner mellom endelige tilstandsmaskiner med og uten minne. Automater med minne har mer enn én tilstand, mens automater uten minne (kombinasjon eller logiske kretser) bare har én tilstand. Basert på arten av diskret tidstelling, er endelige tilstandsmaskiner delt inn i synkrone og asynkrone. I synkron F I automatiske maskiner bestemmes tidspunktene når maskinen "leser" inngangssignalene av tvungne synkroniseringssignaler. Asynkron F- maskinen leser inngangssignalet kontinuerlig, og reagerer derfor på et tilstrekkelig langt inngangssignal med konstant verdi X, den kan endre tilstand flere ganger, og produsere tilsvarende antall utgangssignaler, til den blir stabil, som ikke lenger kan endres av et gitt inngangssignal.
Diskret-stokastiske modeller (P-skjemaer)
La oss vurdere funksjonene ved å konstruere matematiske skjemaer ved å bruke en diskret-stokastisk tilnærming til formalisering av funksjonsprosessen til systemet som studeres. Siden essensen av tidsdiskretisering i denne tilnærmingen forblir lik de som vurderes i endelige automater, vil vi også spore innflytelsen av stokastisitetsfaktoren på variantene av slike automater, nemlig på sannsynlige (stokastiske) automater.
Generelt sett kan en probabilistisk automat defineres som en diskret med minne, hvis funksjon i hver klokkesyklus bare avhenger av tilstanden til minnet i den og kan beskrives statistisk. Bruken av probabilistiske automatkretser er viktig for å utvikle metoder for å designe diskrete systemer som viser statistisk regelmessig tilfeldig oppførsel, for å belyse de algoritmiske egenskapene til slike systemer og rettferdiggjøre grensene for gjennomførbarheten av deres bruk, samt for å løse synteseproblemer iht. til et utvalgt kriterium av diskrete stokastiske systemer som tilfredsstiller gitte begrensninger.
La oss introdusere det matematiske konseptet R- maskingevær ,
bruke begrepene introdusert for F-Automatisk .
Vurder settet G, hvis elementer er alle mulige par ( x i, z s), Hvor x jeg, Og z s– elementer i inndatadelsettet X og undergrupper av stater Z hhv. Hvis det er to slike funksjoner j Og y, deretter utføres kartlegginger med deres hjelp G® Z Og G® Y, så sier de det 
definerer en automat av deterministisk type. La oss introdusere et mer generelt matematisk opplegg. La F– settet med alle mulige par av skjemaet ( z k, y i) Hvor y j– element i utgangsdelsettet Y. Vi krever at ethvert element i settet G indusert på settet F noen distribusjonslov av følgende form:
Elementer fra F … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K, y J -1) (z K, y J)
(x i z k) … b 11 b 12 … bK(J -1 )b KJ
hvori,
Hvor b kj– sannsynligheten for at maskinen går over til tilstanden z k og utseendet til signalet ved utgangen y j, hvis han kunne z s og på dette tidspunktet ble et signal mottatt ved inngangen x i. Antallet slike distribusjoner, presentert i form av tabeller, er lik antall elementer i settet G. La oss betegne settet med disse tabellene med I, deretter de fire elementene 
kalt en probabilistisk automat ( R-Automatisk) .
Forelesning 7.
Kontinuerlig-stokastiske modeller (Q-skjemaer)
Vi vil vurdere funksjonene til den kontinuerlig-stokastiske tilnærmingen ved å bruke eksemplet med å bruke køsystemer som standard matematiske skjemaer, som vi vil kalle Q-ordninger . Køsystemer er en klasse av matematiske skjemaer utviklet i køteori og ulike applikasjoner for å formalisere prosessene for funksjon av systemer, som i hovedsak er tjenesteprosesser.
Som en tjenesteprosess kan prosesser for funksjon av økonomiske, produksjonsmessige, tekniske og andre systemer, forskjellige i deres fysiske natur, representeres, for eksempel applikasjoner for behandling av datainformasjon fra eksterne terminaler, etc. Karakteristisk for driften av slike objekter er dessuten det tilfeldige utseendet til applikasjoner (krav) for service og fullføring av service til tilfeldige tidspunkter, dvs. stokastisk karakter av prosessen med deres funksjon. I enhver elementær forkynnelseshandling kan to hovedkomponenter skilles: forventningen om forkynnelse ved søknaden og selve forkynnelsen av søknaden. Dette kan representeres som noe Jeg tjenesteenheten P i, bestående av en ordreakkumulator H i, som samtidig kan inneholde applikasjoner, hvor L i H - kapasitet Jeg lagring, og be om servicekanal (eller ganske enkelt kanal) K i. For hvert element i tjenesteenheten P i strømmer av hendelser kommer: til lageret H i - flyt av søknader w i per kanal K i – tjenesteflyt u i.
I praksisen med modelleringssystemer som har mer komplekse strukturelle forbindelser og atferdsalgoritmer, brukes ikke individuelle tjenesteenheter for formalisering, men Q- kretser dannet av sammensetningen av mange elementære tjenesteenheter P i(kønettverk). Hvis kanaler K i forskjellige tjenesteenheter er koblet parallelt, deretter skjer flerkanalstjeneste (flerkanals Q-ordningen) , og hvis enhetene P i og deres parallelle komposisjoner er koblet i serie, så finner flerfasetjeneste sted (flerfase Q- ordningen). Altså for oppgaven Q-skjemaer må bruke konjugasjonsoperatøren R, reflekterer forholdet mellom strukturelle elementer (kanaler og drivverk) med hverandre. Det er åpne og lukkede Q-ordningen . I åpent Q-skjemaet, kan utgangsstrømmen av betjente applikasjoner ikke igjen komme frem til noe element, dvs. det er ingen tilbakemelding, og i lukket Q- kretser har tilbakekoblingsforbindelser gjennom hvilke applikasjoner beveger seg i motsatt retning av inngang-utgangsbevegelsen.
Mulighetene for å vurdere egenskaper ved bruk av analytiske modeller for køteori er svært begrensede sammenlignet med kravene til praksis for forskning og design av systemer, formalisert i form Q- ordninger Simuleringsmodeller har usammenlignbart større potensiale, noe som gjør det mulig å studere Q- ordningen spesifisert uten restriksjoner.
Nettverksmodeller (N-ordninger)
I praksis med objektmodellering er det ofte nødvendig å løse problemer knyttet til den formaliserte beskrivelsen og analysen av årsak-virkning-sammenhenger i komplekse systemer, hvor flere prosesser samtidig skjer parallelt. Den vanligste formalismen som for tiden brukes for å beskrive strukturen og samspillet mellom parallelle systemer og prosesser er Petri Nets.
Formelt sett er Petri-nettet ( N-skjema) er gitt av en firedobbel av formen:
,
Hvor I– et begrenset sett med symboler kalt posisjoner; D– et begrenset sett med symboler kalt overganger; Jeg– inngangsfunksjon (direkte insidensfunksjon); O- utgangsfunksjon (invers insidensfunksjon). Altså inngangsfunksjonen Jeg viser overgang d j til mange utgangsposisjoner b iÎ Jeg(d j), og utgangsfunksjonen OM viser overgang d j til mange utgangsposisjoner b iÎ D(d j).
Grafisk N-ordning er avbildet som en todelt orientert multigraf, som er et sett med posisjoner og overganger. Kurve N-kretser har to typer noder: posisjoner og overganger, representert med henholdsvis 0 og 1. Orienterende buer forbinder posisjoner og overganger, med hver bue rettet fra et element i ett sett (posisjon eller overgang) til et element i et annet sett (overgang eller posisjon). Kurve N-kretser er en multigraf fordi den tillater eksistensen av flere buer fra ett toppunkt til et annet.
Redusert representasjon N-kretser kan bare brukes til å reflektere statikken til det simulerte systemet (forholdet mellom hendelser og forhold), men lar ikke modellen reflektere dynamikken i funksjonen til det simulerte systemet. For å representere de dynamiske egenskapene til et objekt, introduseres en markeringsfunksjon M: B®(0, 1, 2, ...). Merking M det er en tilordning av visse abstrakte objekter, kalt etiketter (brikker), til posisjoner N-kretser, Dessuten kan antallet merker som tilsvarer hver posisjon variere. Med en grafisk oppgave N-kretser Markeringen vises ved å plassere tilsvarende antall punkter innenfor toppunktposisjonene (når antallet punkter er stort, plasseres tall). Merket (merket) N-ordning kan beskrives som en femmer 
og er en kombinasjon av et Petri-nett og merking M.
Operasjon N-kretser gjenspeiles ved å gå fra markering til markering. Den første markeringen er betegnet som M 0:I®(0, 1, 2, ...). Oppsettet endres som følge av at en av overgangene utløses d jÎ D nettverk. En nødvendig betingelse for overgang til brann d j er b iÎ I(d j){M(b i)3 1), hvor M(b i)– posisjonsmarkering b i. Overgang d j, der den spesifiserte betingelsen er oppfylt, er definert som å være i en tilstand av brannberedskap eller som en eksitert overgang.
Kombinerte modeller (A-ordninger)
Den mest kjente generelle tilnærmingen til den formelle beskrivelsen av prosessene for systemfunksjon er tilnærmingen foreslått av Ya.P. Buslenko. Denne tilnærmingen gjør det mulig å beskrive oppførselen til kontinuerlige og diskrete, deterministiske og stokastiske systemer, dvs. sammenlignet med de som vurderes, er den generalisert (universell) og er basert på konseptet aggregeringssystem(fra det engelske aggregatsystemet), som er et formelt skjema av en generell form, som vi vil kalle A-ordning.
Analyse av eksisterende metoder for modellering av systemer og problemer løst ved hjelp av datamodelleringsmetoden fører uunngåelig til konklusjonen at en omfattende løsning på problemer som oppstår i prosessen med å lage og datamaskinimplementering av modellen er mulig bare hvis modelleringssystemene er basert på en enkelt formelt matematisk opplegg, dvs. A-diagram. Et slikt opplegg må utføre flere funksjoner samtidig: være en tilstrekkelig matematisk beskrivelse av modelleringsobjektet, dvs. systemet S, tjene som grunnlag for å konstruere algoritmer og programmer for maskinimplementering av modellen M, tillate at analytiske studier utføres i en forenklet versjon (for spesielle tilfeller).
Disse kravene er noe motstridende. Imidlertid innenfor rammen av en generalisert tilnærming basert på A-ordninger det er mulig å finne et kompromiss mellom dem.
I henhold til tradisjonen etablert i matematikk generelt og i anvendt matematikk spesielt, med den aggregative tilnærmingen, gis først en formell definisjon av objektet for modellering - et aggregert system, som er et matematisk skjema som gjenspeiler objektenes systemiske natur. blir studert. Med en aggregativ beskrivelse deles et komplekst objekt (system) inn i et begrenset antall deler (delsystemer), samtidig som de opprettholder forbindelsene som sikrer deres interaksjon. Hvis noen av de resulterende delsystemene viser seg å være ganske komplekse, fortsetter prosessen med å bryte dem ned til det dannes delsystemer som, under betingelsene for modelleringsproblemet som vurderes, kan betraktes som praktiske for matematisk beskrivelse. Som et resultat av slik dekomponering presenteres et komplekst system i form av en flernivåstruktur av sammenkoblede elementer, kombinert til undersystemer på forskjellige nivåer.
Som et element A-ordninger aggregathandlingene, og sammenhengen mellom aggregatene (innenfor systemet S og med det ytre miljø E) utføres ved å bruke konjugasjonsoperatoren R. Selvfølgelig kan selve enheten betraktes som A-diagram, det vil si at den kan deles inn i elementer (aggregater) på neste nivå. Ethvert aggregat er preget av følgende sett: øyeblikk av tid T, input X og helger Y signaliserer, opplyser Z til hvert øyeblikk t. Tilstanden til enheten på tidspunktet tÎ T betegnet som z(t)Î Z, og inngangs- og utgangssignalene er som X(t)Î X Og på(t)Î Y hhv.
Det er en klasse med store systemer som på grunn av deres kompleksitet ikke kan formaliseres i form av matematiske skjemaer av enkeltenheter, så de er formalisert av en eller annen konstruksjon av individuelle enheter A n, som vi kaller et aggregert system eller A-ordning. For å beskrive et virkelig system S som A-ordninger det er nødvendig å ha en beskrivelse av begge individuelle enheter A n, og forbindelsene mellom dem.
Operasjon A-ordninger knyttet til informasjonsbehandling. All informasjon sirkulerer inn A-diagram, delt inn i ekstern og intern. Ekstern informasjon kommer fra eksterne objekter som ikke er elementer i kretsen som vurderes, og intern informasjon genereres av enheter i selve kretsen. A-ordninger. Utveksling av informasjon mellom A-ordning og det ytre miljøet E oppstår gjennom aggregater kalt poler A-ordninger. I dette tilfellet skilles inngangspolene A-ordninger, som er enheter som mottar X-meldinger og utgangspoler A-ordninger, hvis utdatainformasjon er på-meldinger. Enheter som ikke er poler kalles interne.
SYSTEM MODELLERING
ARBEIDSPROGRAM, METODOLOGISKE INSTRUKSJONER
FOR UAVHENGIG ARBEID OG KONTROLLOPPGAVER
Fakultetene ELEKTRISK ENERGI, ZDO
Spesialitet 220201 - LEDELSE OG INFORMASJONSVITENSKAP
TEKNISKE SYSTEMER
Bachelorgrad 220200 - AUTOMATISERING OG STYRING
Modellering av systemer: arbeidsprogram, retningslinjer for selvstendig arbeid og kontrolloppgaver. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 s.
Arbeidsprogrammet for disiplinen er gitt, som angir emnene for hoveddelene, metodiske instruksjoner med lenker til informasjonskilder, testoppgaver og en referanseliste.
Beregnet for heltids- og deltidsstudenter som studerer i retning: 220200 - automasjon og styring og spesialiteter 220201 - ledelse og informatikk i tekniske systemer og i bachelorgraden: 220200 - automasjon og styring.
Godkjent av redaksjons- og publiseringsrådet til VoSTU
Satt sammen av: V.N. Tyukin, Ph.D. tech. Realfag, førsteamanuensis
Anmelder: E.V. Nesgovorov, Ph.D. tech. Realfag, førsteamanuensis
Institutt for informatikk og informatikk ved VoSTU
Programmet er basert på kravene til den statlige utdanningsstandarden for høyere profesjonell utdanning for minimumsinnhold og opplæringsnivå for ingeniører i spesialitet 210100 - ledelse og informatikk i tekniske systemer, introdusert 10. mars 2000.
Krav til kunnskap og ferdigheter i faget
Som et resultat av å studere disiplinen, må studentene:
1. Eleven skal ha en idé:
Om modell og simulering;
Om rollen til modellering i forskning, design og drift av systemer;
Om formålet med datamaskiner i modelleringssystemer;
Om programvare og maskinvare for modelleringssystemer.
2. Studenten skal kunne:
Formål og krav til modellen;
Klassifisering av typer systemmodellering;
Prinsipper for tilnærmingen i systemmodellering;
Matematiske skjemaer for modellering av systemer;
Hovedstadier av systemmodellering.
3. Studenten skal kunne:
Innhente matematiske modeller av systemer;
Gjennomføre formalisering og algoritmisering av prosessen med at systemene fungerer;
Bygge konseptuelle og maskinelle modeller av systemer;
Motta og tolke simuleringsresultater.
Krav til minimumsinnholdet i faget
Klassifisering av modeller og typer modellering; eksempler på systemmodeller; grunnleggende bestemmelser i teorien om likhet; stadier av matematisk modellering; prinsipper for konstruksjon og grunnleggende krav til matematiske modeller av systemer; mål og mål for forskning på matematiske modeller av systemer; generell ordning for utvikling av matematiske modeller; formalisering av systemets fungerende prosess; konseptet med en samlet modell; former for representasjon av matematiske modeller; metoder for å studere matematiske modeller av systemer og prosesser; simulering modellering; metoder for å forenkle matematiske modeller; tekniske og programvaremodelleringsverktøy.
Tabell 1
Fordeling av pensumtimer etter utdanningsformer og klassetyper
| Typer aktiviteter | Fulltidsutdanning | Korrespondansestudier | ||||
| familie 7 | bare en time | familie 9 | bare en time. | |||
| Forelesninger | ||||||
| Praktiske leksjoner | ||||||
| Lab. arbeid | ||||||
| Selv Jobb | ||||||
| Total | ||||||
| Endelig kontroll | h, e. | z, e, 2 k.r. |
Tabell 2
Fordeling av timer med studentselvstendig arbeid etter type arbeid
KURSPROGRAM
INTRODUKSJON
I 1. Nåværende tilstand av problemet med systemmodellering.
AT 2. Bruke simulering i forskning, design og
systemadministrasjon.
Litteratur: s. 4-6.
1. GRUNNLEGGENDE KONSEPT FOR SYSTEMMODELERING
1.1. Definisjon av modell og simulering. Krav til modellen. Hensikten med modellen.
1.2. Prinsipper for tilnærmingen til systemmodellering.
1.3. Klassifisering av typer systemmodellering.
1.4. Muligheter og effektivitet av modelleringssystemer på datamaskiner.
Litteratur: s. 6-34.
2. MATEMATISK SKJEMA FOR SYSTEMMODELERING
2.1. Grunnleggende tilnærminger til å konstruere matematiske modeller av systemer. Generelt matematisk opplegg.
2.2. Kontinuerlig deterministiske modeller (D - skjemaer).
2.3. Diskret-deterministiske modeller (F - skjemaer).
2.4. Diskret-stokastiske modeller (P - skjemaer).
2.5. Kontinuerlig-stokastiske modeller (Q - skjemaer).
2.6. Generaliserte modeller (A - diagrammer).
Litteratur: s. 35-67, s. 168-180.
3. FORMALISERING OG ALGORITMISERING AV PROSESSEN
SYSTEMDRIFT
3.1. Utviklingssekvens og maskinimplementering av systemmodeller.
3.2. Konstruksjon av en konseptuell modell av systemet og dets formalisering.
3.3. Algoritmisering av modellen og dens maskinimplementering.
3.4. Innhenting og tolkning av simuleringsresultater.
Litteratur: s. 68-89.
4. MATEMATISK MODELLERING AV SYSTEMER
4.1. Kanoniske former for modeller av dynamiske systemer og metoder for deres studier.
4.2. Simuleringsmodellering.
4.3. Statistisk modellering.
4.4. Modelleringsverktøy for programvare og maskinvare.
Litteratur: .
KURS MÅL
"Å forstå betyr å bygge en modell."
W. Thomson (Kelvin)
Virkelige produksjonsanlegg er som regel store systemer, hvor studiet er en veldig kompleks oppgave. Hovedmålet med kurset er å utvikle en metodisk tilnærming til problemet med modellering av store systemer og deres kontrollsystemer. Denne hovedoppgaven kan deles inn i en rekke deloppgaver, som også er målene for kurset:
Introduksjon til analysemetoder og prinsipper for tilnærming til systemmodellering;
Studerer det grunnleggende om matematisk modellering av systemer;
Studerer prinsippene og apparatet for systemmodellering;
Innføring i modelleringsmetoder i design og drift av systemer;
Studie av modellverktøy for programvare og maskinvaresystemer;
Tilegne seg praktiske ferdigheter i å konstruere modeller av store systemer og metoder for prosessering av modelleringsresultater.
METODOLOGISKE INSTRUKSJONER
Kurset "Modellering av kontrollsystemer" skal gi studenten et moderne, kraftig ingeniørarbeidsverktøy for effektiv utvikling og drift av automatiserte produksjonssystemer. Modellering er et middel for å løse problemet med å bygge store systemer, som inkluderer moderne automatisert produksjon, uten kapitalutgifter.
Betydningen av kurset som studeres ligger også i å mestre teknikkene og teknologien for praktisk løsning av problemer med å modellere prosessene for funksjon av systemer på en datamaskin.
Studentene forventes å studere kursmaterialet i stor grad på egenhånd. Det gis forelesninger om de mest komplekse problemstillingene i kurset, samt om problemstillinger som ikke er tilstrekkelig dekket i litteraturen. Studentene får praktiske modelleringsferdigheter i praktiske og laboratorietimer. I tillegg gjennomfører fjernundervisningsstudenter en test mens de studerer kurset.
INTRODUKSJON
Studiet av kurset bør begynne med en introduksjon til moderne produksjon, som kan betraktes som et komplekst system av sammenkoblede og samvirkende elementer, der material- og produksjonssystemet fungerer som et teknologisk kontrollobjekt, og informasjons- og kontrollsystemet spiller rollen som en regulator. Å øke effektiviteten ved implementering av styringsprosesser i produksjonen krever utstrakt innføring av automatiserte kontrollsystemer laget ved hjelp av økonomiske og matematiske metoder og informasjons- og datateknologi. For øyeblikket er en komplett og omfattende studie av automatiserte kontrollsystemer i alle utviklingsstadier, starter med inspeksjon av kontrollobjektet og utarbeidelse av tekniske spesifikasjoner for design og slutter med implementering av systemet i drift, umulig uten datamodelleringsmetoder. .
Det er nødvendig å forstå at det metodiske grunnlaget for modellering er den dialektisk-materialistiske metoden for erkjennelse og vitenskapelig forskning. Generelt kan modellering defineres som en metode for indirekte erkjennelse, der det originale objektet som studeres er i samsvar med et annet modellobjekt, og modellen er i stand til på en eller annen måte å erstatte originalen på noen stadier av det kognitive. prosess.
De grunnleggende prinsippene for modellering er.
Prinsippet om tilstrekkelig informasjon. Bestemmer nivået på a priori-informasjonen der en adekvat modell kan opprettes.
Prinsippet om gjennomførbarhet. Bestemmes av sannsynligheten for å oppnå modelleringsmålet på en begrenset tid.
Prinsippet om flere modeller. Modellen som opprettes må først og fremst gjenspeile egenskapene til det virkelige systemet som påvirker den valgte ytelsesindikatoren.
Aggregasjonsprinsipp. En modell av et objekt er representert fra enheter (delsystemer) som er egnet for beskrivelse ved standard matematiske skjemaer.
Parametriseringsprinsipp. Modellen skal inkludere delsystemer preget av parametere.
Grunnleggende konsepter for systemmodellering
"Definer betydningen av ord
Og du vil befri menneskeheten
Fra halvparten av vrangforestillingene hans.»
Mens du studerer denne delen, er det viktig å forstå de grunnleggende konseptene, definisjonene, målene og prinsippene for modellering.
En modell er et bilde av originalen basert på aksepterte hypoteser og analogier, og modellering er en representasjon av et objekt av en modell for å få informasjon om dette objektet ved å utføre eksperimenter med modellen.
Hovedkravet som modellen skal tilfredsstille er tilstrekkelighet til objektet. Modellens tilstrekkelighet avhenger av formålet med modelleringen og de vedtatte kriteriene. En modell er tilstrekkelig for et objekt dersom modelleringsresultatene er bekreftet og kan tjene som grunnlag for å forutsi prosessene som skjer i objektene som studeres.
Modellering løser problemene med å studere og forske på objekter, forutsi deres funksjon, syntetisere struktur, parametere og atferdsalgoritmer.
I kontroll gjør modeller det mulig å estimere uobserverbare prosessvariabler, forutsi tilstanden til prosessen under eksisterende eller utvalgte kontroller, og automatisk syntetisere optimale kontrollstrategier.
Ved utforming og drift av automatiserte systemer oppstår det en rekke oppgaver som krever vurdering av de kvantitative og kvalitative mønstrene til systemfunksjonsprosesser, gjennomføring av strukturell, algoritmisk og parametrisk syntese. Å løse disse problemene er for tiden umulig uten bruk av ulike typer modellering, noe som skyldes egenskapene til store systemer, som kompleksiteten til strukturer, stokastisiteten til forbindelser mellom elementer og det ytre miljøet, tvetydighet i atferdsalgoritmer, et stort antall av parametere og variabler, ufullstendighet og indeterminisme av initial informasjon. Matematisk modellering kan redusere designtiden betydelig, i mange tilfeller lar den deg finne den optimale løsningen, eliminere fullskala prøving og feiling-metoden og gå videre til en parallell designprosess.
For tiden, i analyse og syntese av store systemer, er det utviklet en systematisk tilnærming, som innebærer en konsekvent overgang fra det generelle til det spesifikke, når hensynsgrunnlaget er målet, og objektet som studeres er isolert fra miljøet. I dette tilfellet lages modellen for problemet som stilles, og modellering består i å løse problemet med målet, problemet med å konstruere modellen, problemet med å jobbe med modellen. Et karakteristisk trekk ved en riktig valgt modell er at den bare avslører de mønstrene som forskeren trenger og ikke vurderer egenskapene til systemet som ikke er essensielle for denne studien.
Klassifiseringen av typer systemmodellering er basert på ulike funksjoner, for eksempel graden av fullstendighet av modellen, arten av den matematiske beskrivelsen. En viktig plass er okkupert av matematisk modellering, som er prosessen med å etablere en korrespondanse mellom et gitt virkelig objekt og et bestemt matematisk objekt, kalt en matematisk modell, og studiet av denne modellen, som lar en oppnå egenskapene til den virkelige. det aktuelle objektet. Matematisk modellering inkluderer analytisk og simulering. Simuleringsmodellering er basert på en direkte beskrivelse av det modellerte objektet, ved bruk av den strukturelle likheten til objektet og modellen, dvs. Hvert element i objektet som er betydelig fra synspunktet til problemet som skal løses, er knyttet til et modellelement.
Det tekniske middelet for å løse tekniske problemer basert på modellering er en datamaskin. Et maskineksperiment med en modell gjør det mulig å studere prosessen med å fungere under alle forhold, reduserer varigheten av tester sammenlignet med et fullskala eksperiment, har fleksibiliteten til å variere parametrene, strukturen og algoritmene til det simulerte systemet, og er den eneste praktisk mulige metoden for å studere funksjonsprosessen til systemene på designstadiet.
Selvtest spørsmål
1.Hva er modell og simulering?
2. Formuler de grunnleggende kravene til modellen.
3.Hva er rollen til modellering i systemforskning, design og kontroll?
4.Gi definisjoner av systemet, det ytre miljøet og hvordan systemet fungerer.
5. Hva er meningen med en systemtilnærming til modellering?
6. List opp egenskapene til klassifiseringen av typer systemmodellering.
7.Fortell oss om matematisk modellering og dens typer.
8. Hva er forskjellen mellom analytisk og simuleringsmodellering?
9. Hva er kybernetisk modellering?
10. Rollen og formålet til datamaskiner i modellering.
Matematiske skjemaer for modellering av systemer
"Det høyeste formålet med matematikk er
Finne orden i kaoset
som omgir oss."
Når du studerer denne delen, er det først og fremst nødvendig å ta hensyn til konseptene for matematiske modelleringsskjemaer, både generelle og typiske.
Et matematisk opplegg er definert som et ledd i overgangen fra en meningsfull til en formell beskrivelse av prosessen med å fungere i et system, tatt i betraktning påvirkningen fra det ytre miljøet, dvs. det er en kjede "beskrivende modell - matematisk skjema - matematisk modell". Det matematiske opplegget lar oss betrakte matematikk ikke som en beregningsmetode, men som en tenkemetode, som et middel til å formulere begreper, som er viktigst i overgangen fra en verbal beskrivelse av et system til en formell representasjon av prosessen. av dens funksjon i form av en matematisk modell.
Modell av modelleringsobjektet, dvs. systemet kan representeres som et sett med mengder som beskriver funksjonsprosessen til et reelt system og danner, generelt, følgende delmengder: et sett med inputpåvirkninger på systemet, et sett med eksterne miljøpåvirkninger, et sett med interne ( egne) parametere for systemet og et sett med utgangsegenskaper for systemet. Input-påvirkninger, påvirkninger av det ytre miljø, interne parametere er uavhengige (eksogene) variabler, og utdatakarakteristikkene til systemet er avhengige (endogene) variabler. Et generelt matematisk modelleringsskjema spesifiseres av en operatør som transformerer eksogene variabler til endogene.
I modelleringspraksis bruker han standard matematiske skjemaer som ikke har generalitet, men som har fordelene med enkelhet og klarhet. Disse inkluderer deterministiske, stokastiske og aggregerte standardmodeller. Differensial-, integral-, integrodifferensial- og andre ligninger brukes som deterministiske modeller, og differanseligninger og endelige automater brukes til å representere systemer som opererer i diskret tid. Probabilistiske automater brukes som stokastiske modeller for å representere diskrete-tidssystemer, og køsystemer brukes til å representere kontinuerlige-tidssystemer. Aggregerte modeller gjenspeiler den systemiske naturen til objekter, som er delt inn i et begrenset antall deler, samtidig som de opprettholder forbindelser som sikrer samspillet mellom delene.
Typiske matematiske skjemaer (D-,F-,P-,Q-,A-) gjør det mulig å formalisere en ganske bred klasse av store systemer som må håndteres i utøvelse av forskning og design av produksjonsproblemer.
Selvtest spørsmål
1.Hva er rollen til den matematiske modelleringsordningen?
2.Hva er et generelt matematisk opplegg?
3. Nevn hovedformene for representasjon av kontinuerlig deterministiske modeller.
4.Gi en beskrivelse av en diskret endelig tilstandsmaskin.
5. List opp måtene å spesifisere driften av F - automata.
6. Hvordan definere en probabilistisk automat.
7. Hva er en QS? Nevn hovedelementene i en QS.
8. Hva er en transaksjon?
9.Fortell oss om symbolikken til Q-kretser. Hvordan er grafisk avbildet: kilde til forespørsler, tjenestekanal, akkumulator, ventil, hendelsesstrømmer. Gi et eksempel på et bilde av en QS i symbolikken til Q-skjemaer.
10.Hva er strukturen til aggregatsystemet?
Den første informasjonen ved konstruksjon av MM-prosesser for systemfunksjon er data om formålet og driftsforholdene til systemet som studeres (design) S. Denne informasjonen bestemmer hovedmålet for modellering, krav til MM, abstraksjonsnivå og valg av matematisk modellering ordningen.
Konsept matematisk skjema lar oss betrakte matematikk ikke som en beregningsmetode, men som en metode for å tenke, et middel for å formulere begreper, som er viktigst i overgangen fra en verbal beskrivelse til en formalisert representasjon av prosessen med dens funksjon i form av noen MM.
Ved bruk av matten. ordningen, først og fremst bør systemforskeren være interessert i spørsmålet om tilstrekkeligheten av representasjonen i form av spesifikke diagrammer av reelle prosesser i systemet som studeres, og ikke i muligheten for å få svar (løsningsresultat) på et spesifikt forskningsspørsmål.
For eksempel, å representere prosessen med å fungere i et kollektivt IVS i form av et nettverk av køordninger gjør det mulig å godt beskrive prosessene som skjer i systemet, men med komplekse lover for innkommende strømmer og tjenestestrømmer, gjør det det ikke mulig å oppnå resultater i en eksplisitt form.
Matematisk skjema kan defineres som et ledd i overgangen fra en meningsfull til en formalisert beskrivelse av prosessen med systemfungering, tatt i betraktning påvirkningen fra det ytre miljøet. De. det er en kjede: beskrivende modell - matematisk skjema - simuleringsmodell.
Hvert spesifikt system S er preget av et sett med egenskaper, som forstås som mengder som gjenspeiler oppførselen til det simulerte objektet (virkelig system) og tar hensyn til betingelsene for dets funksjon i samspill med det ytre miljøet (systemet) E.
Når du bygger et MM-system S, er det nødvendig å løse problemet med fullstendigheten. Fullstendigheten av modelleringen reguleres hovedsakelig av valget av grenser "System S - miljø E". Problemet med å forenkle MM må også løses, noe som bidrar til å fremheve hovedegenskapene til systemet, og forkaste de som er sekundære når det gjelder modelleringsformålet.
MM av modelleringsobjektet, dvs. Systemer S kan representeres som et sett med mengder som beskriver funksjonsprosessen til et reelt system og, i det generelle tilfellet, danner følgende undergrupper:
Settet med X - inngang påvirker Sх i Х, i=1…n x ;
Settet av miljøpåvirkningsv l V, l=1…n v ;
Settet med interne (egne) parametere til systemet h k H, k=1…n h ;
Settet med utgangskarakteristikk til systemet y j Y, j=1…n y .
I de oppførte settene kan kontrollerbare og ukontrollerbare mengder skilles fra hverandre. Generelt er X, V, H, Y usammenhengende sett som inneholder både deterministiske og stokastiske komponenter. Inndata påvirker E og interne parametere S er uavhengige (eksogene) variabler, Utgangsegenskaper - avhengige variabler (endogene). Funksjonsprosessen S er beskrevet av operatøren F S:
(1)
Utgangsbane.F S - driftsloverS.F S kan være en funksjon, funksjonelle, logiske forhold, algoritme, tabell eller verbal beskrivelse av reglene.
Fungerende algoritme En S - metode for å oppnå utgangskarakteristikk som tar hensyn til inngangspåvirkninger 
Det er klart at samme F S kan implementeres på forskjellige måter, dvs. bruker mange forskjellige AS.
Relasjon (1) er en matematisk beskrivelse av oppførselen til modelleringsobjektet i tid t, dvs. reflekterer det dynamiske egenskaper. (1) er en dynamisk modell av systemet. For statiske MM-forhold er det avbildninger X, V, H til Y, dvs. 
(2)
Relasjoner (1), (2) kan spesifiseres med formler, tabeller osv.
Også relasjoner kan i noen tilfeller oppnås gjennom egenskapene til systemet på bestemte tidspunkter, kalt tilstander.
Tilstandene til systemet S er karakterisert ved vektorene:
Og 
, Hvor 
i øyeblikket l (t 0 , T)
i øyeblikket ll (t 0 , T), etc. k=1…n Z.
Z 1 (t), Z 2 (t)... Z k (t) er koordinatene til et punkt i det k-dimensjonale faserommet. Hver implementering av prosessen vil tilsvare en bestemt fasebane.
Settet med alle mulige verdier av tilstander () kalles tilstandsrommet til modelleringsobjektet Z, og z k Z.
Systemtilstand S i tidsintervall t 0
; (3)
ellers: . (5)
Tid i mod. S kan betraktes på modelleringsintervallet (t 0 , T) både kontinuerlig og diskret, dvs. kvantisert på et lengdesegment.t.
Med MM til et objekt forstår vi således et begrenset sett med variabler () sammen med matematiske sammenhenger mellom dem og egenskaper.
Modellering kalles deterministisk hvis operatorene F, Ф er deterministiske, dvs. for en bestemt inngang er utgangen deterministisk. Deterministisk modellering er et spesielt tilfelle av stokastisk modellering. I praksis er det mer rasjonelt å modellere objekter innen systemanalyse i de innledende stadiene av forskning å bruke standard matematiske skjemaer: differensial. ligninger, endelige og sannsynlige automater, QS, etc.
Ikke besatt. en slik grad av generalitet som modeller (3), (4), typiske matematiske skjemaer har fordelen av enkelhet og oversiktlighet, men med en betydelig innsnevring av anvendelsesmuligheten.
Som deterministisk modeller, når det tilfeldige faktum ikke er tatt i betraktning i studien, brukes differensial-, integral- og andre ligninger for å representere systemer som opererer i kontinuerlig tid, og endelige forskjellskretser brukes til å representere systemer som opererer i diskret tid.
I begynnelsen av stokastiske modeller (som tar hensyn til den tilfeldige faktoren), brukes probabilistiske automater for å representere diskrete-tidssystemer, og køsystemer (QS) brukes til å representere kontinuerlige-tidssystemer. Av stor praktisk betydning når man studerer komplekse individuelle styringssystemer, som inkluderer automatiserte kontrollsystemer, er de såkalte aggregerende modeller.
Aggregerte modeller (systemer) gjør det mulig å beskrive et bredt spekter av forskningsobjekter, som gjenspeiler den systemiske naturen til disse objektene. Det er med en aggregert beskrivelse at et komplekst objekt deles inn i et begrenset antall deler (delsystemer), samtidig som det opprettholder forbindelser, og sikrer samspillet mellom delene.
16 Matematiske skjemaer for modellering av systemer.
Grunnleggende tilnærminger til å konstruere matematiske modeller av et system. Kontinuerlig deterministiske modeller. Diskret-deterministiske modeller. Diskret-stokastiske modeller. Kontinuerlig-stokastiske modeller. Nettverksmodeller. Kombinerte modeller.
Grunnleggende tilnærminger til å konstruere matematiske modeller av et system.
Den første informasjonen når man konstruerer matematiske modeller av systemfunksjonsprosesser er data om formålet og driftsforholdene til systemet som studeres (designes) S.
Matematiske skjemaer
Virkelige prosesser vises i form av spesifikke diagrammer. Matte. diagrammer – overgang fra en meningsfull beskrivelse til en formell beskrivelse av systemet, tatt i betraktning påvirkning fra miljøet.
Formell objektmodell
Simuleringsobjektmodell,
dvs. systemer S, kan representeres som et sett med mengder,
som beskriver prosessen med å fungere og danne et reelt system
generelt følgende undergrupper:
· helhet input påvirker per system
XJeg,еХ,(e-karakteren tilhører)Jeg=1; nx
· helhet miljøpåvirkninger
vl eVl=1;nv
· helhet interne (egne) parametere systemer
hkeHk=1;nh
· helhet utgangsegenskaper systemer
yJeYj=1;ny
Kontrollerbare og ukontrollerbare variabler kan skilles.
Ved modellering av systemer inneholder inputpåvirkninger, ytre miljøpåvirkninger og interne parametere både deterministiske og stokastiske komponenter.
input påvirkninger, miljøpåvirkninger E og de interne parameterne til systemet er uavhengige (eksogene) variabler.
Systemdriftsprosess S beskrevet i tide av operatøren Fs, som generelt transformerer eksogene variabler til endogene i samsvar med relasjoner av formen:
y(t)=Fs(x,v, h,t) – alle med vekTori.
Driftsloven til systemet Fs kan spesifiseres i form av en funksjon, funksjonelle, logiske forhold, i algoritmiske og tabellformede former, eller i form av en verbal korrespondanseregel.
Konseptet med den fungerende algoritmen som - en metode for å oppnå utgangsegenskaper som tar hensyn til inputpåvirkninger, ytre miljøpåvirkninger og systemets egne parametere.
Systemtilstander introduseres også - egenskaper til systemet på bestemte tidspunkter.
Settet med alle mulige tilstandsverdier utgjør tilstandsrommet til et objekt.
Dermed lar likningskjeden til objektet "input - states - output" oss bestemme egenskapene til systemet:
Altså under matematisk modell av objektet(virkelig system) forstå en begrenset delmengde av variabler (x (t), v (t), h(t)) sammen med matematiske sammenhenger mellom dem og egenskaper y(t).
Typiske opplegg
I de innledende stadiene av studien brukes standardopplegg : differensialligninger, endelige og probabilistiske automater, køsystemer, petrinett, etc.
Som deterministiske modeller, når tilfeldige faktorer ikke tas i betraktning i studien, brukes differensial-, integral-, integrodifferensial- og andre ligninger for å representere systemer som opererer i kontinuerlig tid, og endelige forskjellsskjemaer brukes til å representere systemer som opererer i diskret tid. .
Som stokastiske modeller (som tar hensyn til tilfeldige faktorer), brukes sannsynlighetsautomater for å representere tidsdiskrete systemer, og køsystemer osv. brukes til å representere kontinuerlige tidssystemer.
Når man konstruerer matematiske modeller av systemfunksjonsprosesser, kan man derfor skille mellom følgende hovedtilnærminger: kontinuerlig-deterministisk (for eksempel differensialligninger); diskret-deterministisk (endelig tilstandsmaskiner); diskret-stokastisk (sannsynlighetsautomater); kontinuerlig-stokastisk (køsystemer); generaliserte eller universelle (aggregatsystemer).
Kontinuerlig deterministiske modeller
La oss vurdere funksjonene til den kontinuerlig deterministiske tilnærmingen ved å bruke et eksempel, ved å bruke Mat. modeller differensiallikninger.
Differensialligninger er de ligningene der funksjonene til en variabel eller flere variabler er ukjente, og ligningen inkluderer ikke bare funksjonene deres, men deres deriverte av forskjellige rekkefølger.
Hvis de ukjente er funksjoner av mange variabler, kalles ligningene - partielle differensialligninger. Hvis ukjente funksjoner av en uavhengig variabel, da vanlige differensialligninger.
Matematisk relasjon for deterministiske systemer i generell form:
Diskret-deterministiske modeller.
DDM er gjenstand for vurdering automatteori (TA). TA er en del av teoretisk kybernetikk som studerer enheter som behandler diskret informasjon og endrer deres interne tilstander kun på akseptable tidspunkter.
Statsmaskin er en automat hvis sett med interne tilstander og inngangssignaler (og derfor settet med utgangssignaler) er endelige sett.
Statsmaskin har et sett med interne tilstander og inngangssignaler, som er endelige sett. Maskin er gitt av F-skjemaet: F=
hvor z, x, y er henholdsvis endelige sett av inngangs- og utgangssignaler (alfabeter) og et endelig sett med interne tilstander (alfabet). z0ÎZ - starttilstand; j(z, x) - overgangsfunksjon; y(z, x) - utgangsfunksjon.
Automaten opererer i diskret automattid, hvis øyeblikk er klokkesykluser, dvs. like tidsintervaller ved siden av hverandre, som hver tilsvarer konstante verdier for inngangs-, utgangssignalet og intern tilstand. En abstrakt automat har én inngangs- og én utgangskanal.
For å spesifisere en F-automat, er det nødvendig å beskrive alle elementene i settet F=
I den tabellformede innstillingsmetoden brukes tabeller over overganger og utganger, hvis rader tilsvarer inngangssignalene til maskinen, og kolonnene tilsvarer dens tilstander.
Arbeidsbeskrivelse F- automatisk maskin Mili tabeller over overganger j og utganger y er illustrert av tabell (1), og beskrivelsen av F - en Moore-maskin - etter tabell over overganger (2).
Tabell 1
Overganger |
||||
………………………………………………………… |
||||
………………………………………………………… |
||||
tabell 2
………………………………………………………… |
||||
Eksempler på den tabellformede metoden for å spesifisere F - Mealy-maskinen F1 med tre tilstander, to inngangs- og to utgangssignaler er gitt i tabell 3, og for F - Moore-maskinen F2 - i tabell 4.
Tabell 3
Overganger |
|||
Tabell 4
En annen måte å spesifisere en begrenset automat bruker konseptet med en rettet graf. Grafen til en automat er et sett med toppunkter som tilsvarer ulike tilstander til automaten og forbinder toppunktene til grafbuene som tilsvarer visse overganger til automaten. Hvis inngangssignalet xk forårsaker en overgang fra tilstand zi til tilstand zj, er på automatgrafen den buen som forbinder toppunktet zi til toppunktet zj betegnet xk. For å spesifisere overgangsfunksjonen må buene til grafen merkes med de tilsvarende utgangssignalene.
Ris. 1. Grafer av Mealy (a) og Moore (b) automater.
Når du løser modelleringsproblemer, er en matrisespesifikasjon av en begrenset automat ofte en mer praktisk form. I dette tilfellet er tilkoblingsmatrisen til automaten en kvadratisk matrise C=|| cij ||, hvis rader tilsvarer starttilstandene, og kolonnene tilsvarer overgangstilstandene.
Eksempel. For den tidligere betraktede Moore-automaten F2 skriver vi tilstandsmatrisen og utgangsvektoren:
;
Diskret-stokastiske modeller
La Ф være settet av alle mulige par av formen (zk, yi), der уi er et element i utdata
delmengde Y. Vi krever at ethvert element i mengden G induserer
på settet Ф noen distribusjonslov av følgende form:
Elementer fra Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)
(xi, zs) bll b1bK(J-1) bKJ
Informasjonsnettverk" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">behandling av datainformasjon fra eksterne terminaler osv.
Samtidig, karakteristisk for
drift av slike objekter er tilfeldig utseende av applikasjoner (krav) for
service og fullføring av service til tilfeldige tidspunkter,
dvs. den stokastiske karakteren av prosessen med deres funksjon.
En QS er forstått som et dynamisk system designet for å effektivt betjene en tilfeldig flyt av forespørsler med begrensede systemressurser. Den generaliserte strukturen til QS er vist i figur 3.1.
Ris. 3.1. SMO-ordning.
Homogene forespørsler som kommer til inngangen til QS, avhengig av genereringsårsaken, er delt inn i typer, intensiteten av strømmen av forespørsler av type i (i=1...M) er betegnet li. Helheten av forespørsler av alle typer er den innkommende strømmen av QS.
Søknader er under behandling m kanaler.
Det finnes universelle og spesialiserte tjenestekanaler. For en universell kanal av type j, anses distribusjonsfunksjonene Fji(t) for varigheten av serviceforespørsler av en vilkårlig type kjent. For spesialiserte kanaler er funksjonene for å distribuere varigheten av servicekanaler for forespørsler av noen typer usikre, tilordningen av disse forespørslene til en gitt kanal.
Q-kretser kan studeres analytisk og med simuleringsmodeller. Sistnevnte gir større allsidighet.
La oss vurdere konseptet med kø.
I enhver elementær forkynnelseshandling kan to hovedkomponenter skilles: forventningen om forkynnelse ved søknaden og selve forkynnelsen av søknaden. Dette kan vises i form av en i-te serviceenhet Pi, bestående av en kravakkumulator, som samtidig kan inneholde li=0...LiH-krav, der LiH er kapasiteten til den i-te lagringsenheten, og en krav servicekanal, ki.
Ris. 3.2. SMO-enhetsdiagram
Hvert element i serviceenheten Pi mottar strømmer av hendelser: stasjonen Hi mottar en strøm av forespørsler wi, og kanalen ki mottar en tjenestestrøm ui.
Strømmen av hendelser(PS) er en sekvens av hendelser som skjer etter hverandre på noen tilfeldige tidspunkter. Det er strømmer av homogene og heterogene hendelser. Homogen PS karakteriseres kun av ankomstøyeblikkene til disse hendelsene (forårsakende øyeblikk) og er gitt av sekvensen (tn)=(0£t1£t2…£tn£...), der tn er ankomstøyeblikket for den n'te hendelse - et ikke-negativt reelt tall. OPS kan også spesifiseres som en sekvens av tidsintervaller mellom den n-te og n-1. hendelsen (tn).
Heterogen En PS kalles en sekvens (tn, fn), der tn er årsaksmomentene; fn er et sett med hendelsesattributter. For eksempel kan tilhørighet til en bestemt kilde av forespørsler, tilstedeværelsen av prioritet, muligheten til å bli betjent av en bestemt type kanal, etc. spesifiseres.
Forespørsler servert av kanal ki og forespørsler som forlot enheten Pi av ulike årsaker ikke behandlet fra utgangsstrømmen yiÎY.
Funksjonsprosessen til tjenesteenheten Pi kan representeres som en prosess for å endre tilstandene til elementene i tiden Zi(t). Overgangen til en ny tilstand for Pi betyr en endring i antall forespørsler som er i den (i kanalen ki og lagringen Hi). At. tilstandsvektoren for Pi har formen: , hvor er stasjonstilstandene, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - det er én forespørsel i stasjonen..., =- stasjonen er fullstendig opptatt; - kanaltilstand ki (=0 - kanalen er ledig, =1 kanal er opptatt).
Q-skjemaer av virkelige objekter er dannet av sammensetningen av mange elementære serviceenheter Pi. Hvis ki forskjellige tjenesteenheter er koblet parallelt, vil flerkanalstjeneste finne sted (flerkanals Q-skjema), og hvis enheter Pi og deres parallelle sammensetninger er koblet i serie, vil flerfasetjeneste finne sted (flerfaset). Q-skjema).
For å definere et Q-skjema er det også nødvendig å beskrive algoritmene for dens funksjon, som bestemmer reglene for oppførselen til applikasjoner i forskjellige tvetydige situasjoner.
Avhengig av plasseringen av slike situasjoner, er det algoritmer (disipliner) for å vente på forespørsler i Hi-lagringstanken og serviceforespørsler av kanal ki. Heterogeniteten i søknadsstrømmen tas i betraktning ved å innføre en prioritetsklasse – relative og absolutte prioriteringer.
At. Et Q-skjema som beskriver funksjonsprosessen til en QS av enhver kompleksitet er unikt spesifisert som et sett med sett: Q =
Nettverksmodeller.
For å formelt beskrive strukturen og samspillet til parallelle systemer og prosesser, samt å analysere årsak-virkningsforhold i komplekse systemer, brukes Petri Nets, kalt N-skjemaer.
Formelt er N-ordningen gitt ved en firedobbel av formen
N=
hvor B er et begrenset sett med symboler kalt posisjoner, B ≠ O;
D er et begrenset sett med symboler kalt overganger D ≠ O,
B ∩ D ≠ O; I – inngangsfunksjon (direkte insidensfunksjon)
I: B × D → (0, 1); О – utgangsfunksjon (invers insidensfunksjon),
O: B × D → (0, 1). Dermed kartlegger inngangsfunksjonen I overgangen dj til
sett med inngangsposisjoner bj I(dj), og utgangsfunksjonen O reflekterer
overgang dj til settet med utgangsposisjoner bj O(dj). For hver overgang
dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),
O(dj) = (bi B | O(dj, bi) = 1 ),
i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.
Tilsvarende introduseres definisjonene for hver posisjon bi B
sett med inngangsoverganger av posisjon I(bi) og utgangsoverganger
posisjoner O(bi):
I(bi) = (dj D | I(dj, bi,) = 1 ),
O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).
Et Petri-nett er en todelt rettet graf som består av toppunkter av to typer - posisjoner og overganger, forbundet med buer; toppunkter av samme type kan ikke kobles direkte.
Et eksempel på et Petri-nett. Hvite sirkler indikerer posisjoner, striper indikerer overganger, svarte sirkler indikerer merker.
Orienterende buer forbinder posisjoner og overganger, med hver bue rettet fra et element i ett sett (posisjon eller overgang) til et element i et annet sett
(overgang eller posisjon). En N-skjemagraf er en multigraf fordi den
tillater eksistensen av flere buer fra ett toppunkt til et annet.
Dekomponering" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekomponering representerer et komplekst system som en flernivåstruktur av sammenkoblede elementer kombinert til undersystemer på forskjellige nivåer.
Et aggregat fungerer som et element i A-skjemaet, og forbindelsen mellom aggregater (innenfor systemet S og med det ytre miljøet E) utføres ved hjelp av konjugasjonsoperatøren R.
Enhver enhet er preget av følgende sett: tidspunkter T, inngang X og utgangs Y-signaler, tilstander Z ved hvert tidspunkt t. Tilstanden til enheten på tidspunktet tT er betegnet som z(t) Z,
og inngangs- og utgangssignalene er henholdsvis x(t) X og y(t) Y.
Vi vil anta at overgangen til aggregatet fra tilstanden z(t1) til tilstanden z(t2)≠z(t1) skjer over et kort tidsintervall, det vil si at det er et hopp i δz.
Overganger av enheten fra tilstand z(t1) til z(t2) bestemmes av de egne (interne) parameterne til selve enheten h(t) H og inngangssignalene x(t) X.
I det innledende tidspunktet t0 har tilstander z verdier lik z0, dvs. z0=z(t0), spesifisert av distribusjonsloven til prosessen z(t) på tidspunktet t0, nemlig J. La oss anta at prosessen med enhetens funksjon i tilfelle et støtinngangssignal xn er beskrevet av en tilfeldig operatør V. Så i det øyeblikket inngangssignalet tnT kommer inn i enheten
xn du kan bestemme tilstanden
z(tn + 0) = V.
La oss betegne halvtidsintervallet t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал
t1 ≤ t< t2 как .
Settet med tilfeldige operatorer V og U betraktes som en operator for overganger av aggregatet til nye tilstander. I dette tilfellet består prosessen med enhetens funksjon av hopp i tilstander δz ved ankomsttidspunktene for inngangssignaler x (operatør V) og endringer i tilstander mellom disse øyeblikkene tn og tn+1 (operatør U). Det er ingen begrensninger pålagt operatøren U, derfor er hopp i tilstander δz tillatt på tidspunkter som ikke er øyeblikkene for ankomst av inngangssignaler x. I det følgende vil hoppmomentene δz bli kalt spesielle tidspunkter tδ, og tilstandene z(tδ) vil bli kalt spesielle tilstander i A-skjemaet. For å beskrive tilstandshopp δz ved spesielle tidspunkter tδ, vil vi bruke den tilfeldige operatoren W, som er et spesialtilfelle av operatoren U, dvs.
z(tδ + 0) = W.
I settet med tilstander Z, er en delmengde Z(Y) allokert slik at hvis z(tδ) når Z(Y), så er denne tilstanden tidspunktet for utsendelse av et utgangssignal bestemt av utgangsoperatøren
y = G.
Med et aggregat vil vi således forstå ethvert objekt definert av en ordnet samling av de betraktede settene T, X, Y, Z, Z(Y), H og tilfeldige operatorer V, U, W, G.
Sekvensen av inngangssignaler arrangert i rekkefølgen av deres ankomst i A-kretsen vil bli kalt en inngangsmelding eller x-melding. Vi kaller sekvensen av utgangssignaler, sortert i forhold til utstedelsestidspunktet, en utgangsmelding eller y-melding.
HVIS I KORTHET
Kontinuerlig deterministiske modeller (D-skjemaer)
De brukes til å studere systemer som opererer i kontinuerlig tid. For å beskrive slike systemer brukes hovedsakelig differensial-, integral- og integro-differensialligninger. Vanlige differensialligninger vurderer en funksjon av bare én uavhengig variabel, mens partielle differensialligninger vurderer funksjoner av flere variabler.
Et eksempel på bruk av D-modeller er studiet av driften av en mekanisk pendel eller en elektrisk oscillerende krets. Det tekniske grunnlaget for D-modeller består av analoge datamaskiner (ACM) eller hybriddatamaskiner (HCM) i rask utvikling. Som kjent er det grunnleggende prinsippet for dataforskning at forskeren (databrukeren) i henhold til gitte ligninger setter sammen en krets fra individuelle standardenheter - operasjonsforsterkere med inkludering av skalering, demping, tilnærmingskretser, etc.
Strukturen til AVM endres i samsvar med typen reproduserbare ligninger.
I en digital datamaskin forblir strukturen uendret, men operasjonssekvensen til nodene endres i samsvar med programmet som er innebygd i den. En sammenligning av AVM og CVM viser tydelig forskjellen mellom simulering og statistisk modellering.
ABM implementerer en simuleringsmodell, men bruker som regel ikke prinsippene for statistisk modellering. I digitale datamaskiner er de fleste simuleringsmodeller basert på studiet av tilfeldige tall og prosesser, dvs. på statistisk modellering. Kontinuerlig deterministiske modeller er mye brukt i maskinteknikk i studiet av automatiske kontrollsystemer, valg av støtdempende systemer, identifisering av resonansfenomener og vibrasjoner i teknologi
og så videre.
Diskret-deterministiske modeller (F-skjemaer)
Kjør med diskret tid. Disse modellene er grunnlaget for å studere driften av en ekstremt viktig og utbredt klasse av diskrete automatsystemer i dag. For formålet med studien deres er det utviklet et uavhengig matematisk apparat for automatteori. Basert på denne teorien betraktes systemet som en automat som behandler diskret informasjon og endrer dens interne tilstander, avhengig av resultatene av behandlingen.
Denne modellen er basert på prinsippene for å minimere antall elementer og noder i en krets, enhet, optimalisere enheten som helhet og operasjonssekvensen til nodene. Sammen med elektroniske kretser er en fremtredende representant for automaten beskrevet av denne modellen en robot som styrer (i henhold til et gitt program) teknologiske prosesser i en gitt deterministisk sekvens.
En numerisk styrt verktøymaskin er også beskrevet av denne modellen. Valget av sekvensen av behandlingsdeler på denne maskinen utføres ved å stille inn kontrollenheten (kontrolleren), som genererer kontrollsignaler på bestemte tidspunkter / 4 /.
Automateteori bruker det matematiske apparatet til boolske funksjoner som opererer med to mulige signalverdier 0 og 1.
Automater er delt inn i automater uten minne og automater med minne. Driften deres er beskrevet ved hjelp av tabeller, matriser og grafer som viser maskinens overganger fra en tilstand til en annen. Analytiske estimater for enhver type beskrivelse av driften av maskinen er svært tungvint, og selv med et relativt lite antall elementer og noder som danner enheten, er det praktisk talt umulig. Derfor utføres studiet av komplekse automatkretser, som utvilsomt inkluderer robotenheter, ved hjelp av simuleringsmodellering.
Diskret-stokastiske modeller (P-skjemaer)
De brukes til å studere driften av probabilistiske automater. I maskiner av denne typen utføres overganger fra en tilstand til en annen under påvirkning av eksterne signaler og tar hensyn til maskinens interne tilstand. Imidlertid, i motsetning til G-automater, er disse overgangene ikke strengt deterministiske, men kan utføres med visse sannsynligheter.
Et eksempel på en slik modell er en diskret Markov-kjede med et begrenset sett av tilstander. Analysen av F-skjemaer er basert på prosessering og transformasjon av overgangssannsynlighetsmatriser og analyse av sannsynlighetsgrafer. Allerede for analyse av relativt enkle enheter, hvis oppførsel er beskrevet av F-kretser, er det tilrådelig å bruke simuleringsmodellering. Et eksempel på slik modellering er gitt i avsnitt 2.4.
Kontinuerlig-stokastiske modeller (Q-skjemaer)
De brukes i analysen av en bred klasse av systemer som anses som køsystemer. Som en tjenesteprosess kan prosesser av forskjellig fysisk karakter representeres: strømmer av produktleveranser til en bedrift, strømmer av spesiallagde komponenter og produkter, strømmer av deler på et samlebånd, strømmer av kontrollhandlinger fra kontrollsenteret til den automatiserte kontrollsystem til arbeidsplasser og returforespørsler om informasjonsbehandling i datamaskin mv.
Vanligvis avhenger disse strømmene av mange faktorer og spesifikke situasjoner. Derfor er disse strømmene i de fleste tilfeller tilfeldige i tid med mulighet for endringer når som helst. Analysen av slike ordninger utføres på grunnlag av det matematiske apparatet til køteori. Disse inkluderer en kontinuerlig Markov-kjede. Til tross for de betydelige fremskrittene som er oppnådd i utviklingen av analytiske metoder, kan køteori og analyse av Q-skjemaer ved hjelp av analytiske metoder bare utføres under betydelige forenklingsmessige antakelser og forutsetninger. En detaljert studie av de fleste av disse ordningene, spesielt slike komplekse som automatiserte prosesskontrollsystemer og robotsystemer, kan bare utføres ved bruk av simuleringsmodellering.
Generaliserte modeller (A-ordninger)
Basert på en beskrivelse av funksjonsprosessene til ethvert system basert på den aggregerte metoden. Med en samlet beskrivelse er systemet delt inn i separate delsystemer, som kan anses som praktiske for matematisk beskrivelse. Som et resultat av slik partisjonering (dekomponering) presenteres et komplekst system som et flernivåsystem, hvis individuelle nivåer (aggregater) er tilgjengelige for analyse. Basert på analysen av individuelle enheter og under hensyntagen til lovene om sammenhengene til disse enhetene, er det mulig å gjennomføre en omfattende studie av hele systemet.
, Yakovlev-systemer. 4. utg. – M.: Videregående skole, 2005. – S. 45-82.
For å bruke en datamaskin til å løse anvendte problemer, må først og fremst det anvendte problemet "oversettes" til et formelt matematisk språk, dvs. for et reelt objekt, prosess eller system må det bygges matematisk modell.
Matematiske modeller i kvantitativ form, ved hjelp av logiske og matematiske konstruksjoner, beskriver de grunnleggende egenskapene til et objekt, prosess eller system, dets parametere, interne og eksterne forbindelser.
Til bygge en matematisk modell nødvendig:
- nøye analysere et reelt objekt eller en prosess;
- fremheve dens viktigste funksjoner og egenskaper;
- definere variabler, dvs. parametere hvis verdier påvirker hovedfunksjonene og egenskapene til objektet;
- beskrive avhengigheten av de grunnleggende egenskapene til et objekt, prosess eller system på verdiene til variabler ved å bruke logisk-matematiske relasjoner (ligninger, likheter, ulikheter, logisk-matematiske konstruksjoner);
- fremheve intern kommunikasjon objekt, prosess eller system som bruker restriksjoner, ligninger, likheter, ulikheter, logiske og matematiske konstruksjoner;
- identifisere eksterne sammenhenger og beskrive dem ved hjelp av restriksjoner, likninger, likheter, ulikheter, logiske og matematiske konstruksjoner.
Matematisk modellering, i tillegg til å studere et objekt, en prosess eller et system og utarbeide deres matematiske beskrivelse, inkluderer også:
- bygge en algoritme som modellerer oppførselen til et objekt, prosess eller system;
- undersøkelse modellens tilstrekkelighet og et objekt, prosess eller system basert på beregningsmessig og naturlig eksperiment;
- modell justering;
- ved hjelp av modellen.
Den matematiske beskrivelsen av prosessene og systemene som studeres avhenger av:
- naturen til en reell prosess eller system og er kompilert på grunnlag av lovene i fysikk, kjemi, mekanikk, termodynamikk, hydrodynamikk, elektroteknikk, plastisitetsteori, elastisitetsteori, etc.
- den nødvendige påliteligheten og nøyaktigheten til studiet og forskningen av virkelige prosesser og systemer.
På stadiet for å velge en matematisk modell, er følgende etablert: linearitet og ikke-linearitet til et objekt, prosess eller system, dynamikk eller statisitet, stasjonaritet eller ikke-stasjonaritet, samt graden av determinisme til objektet eller prosessen som studeres. I matematisk modellering abstraherer man bevisst fra den spesifikke fysiske naturen til objekter, prosesser eller systemer og fokuserer hovedsakelig på studiet av kvantitative avhengigheter mellom størrelser som beskriver disse prosessene.
Matematisk modell er aldri helt identisk med det aktuelle objektet, prosessen eller systemet. Basert på forenkling, idealisering, er det en omtrentlig beskrivelse av objektet. Derfor er resultatene fra analysen av modellen omtrentlige. Deres nøyaktighet bestemmes av graden av tilstrekkelighet (compliance) mellom modellen og objektet.
Det begynner vanligvis med konstruksjon og analyse av den enkleste, mest grove matematiske modellen av objektet, prosessen eller systemet det gjelder. I fremtiden, om nødvendig, foredles modellen og dens korrespondanse til objektet gjøres mer komplett.
La oss ta et enkelt eksempel. Det er nødvendig å bestemme overflaten til skrivebordet. Vanligvis gjøres dette ved å måle lengden og bredden, og deretter multiplisere de resulterende tallene. Denne elementære prosedyren betyr faktisk følgende: et ekte objekt (bordflate) erstattes av en abstrakt matematisk modell - et rektangel. Dimensjonene oppnådd ved å måle lengden og bredden på bordflaten er tilordnet rektangelet, og arealet til et slikt rektangel antas omtrent å være det nødvendige området på bordet.
Imidlertid er rektangelmodellen for et skrivebord den enkleste, mest rå modellen. Hvis du tar en mer seriøs tilnærming til problemet, før du bruker en rektangelmodell for å bestemme området på tabellen, må denne modellen kontrolleres. Kontroller kan utføres som følger: mål lengden på de motsatte sidene av bordet, samt lengdene på diagonalene og sammenlign dem med hverandre. Hvis, med den nødvendige nøyaktighetsgraden, lengdene på de motsatte sidene og lengdene på diagonalene er like parvis, kan overflaten av bordet virkelig betraktes som et rektangel. Ellers vil rektangelmodellen måtte forkastes og erstattes med en generell firkantmodell. Med høyere krav til nøyaktighet kan det være nødvendig å finpusse modellen ytterligere, for eksempel for å ta hensyn til avrundingen av bordets hjørner.
Med dette enkle eksemplet ble det vist det matematisk modell er ikke unikt bestemt av objektet, prosessen eller systemet som studeres. For den samme tabellen kan vi ta i bruk enten en rektangelmodell, eller en mer kompleks modell av en generell firkant, eller en firkant med avrundede hjørner. Valget av en eller annen modell bestemmes av kravet til nøyaktighet. Med økende nøyaktighet må modellen være komplisert, med tanke på nye og nye funksjoner ved objektet, prosessen eller systemet som studeres.
La oss vurdere et annet eksempel: studere bevegelsen til sveivmekanismen (fig. 2.1).
Ris. 2.1.
For den kinematiske analysen av denne mekanismen er det først og fremst nødvendig å konstruere dens kinematiske modell. For dette:
- Vi erstatter mekanismen med dens kinematiske diagram, hvor alle lenker erstattes harde bånd;
- Ved å bruke dette diagrammet utleder vi bevegelsesligningen til mekanismen;
- Ved å differensiere sistnevnte får vi likningene av hastigheter og akselerasjon, som er differensialligninger av 1. og 2. orden.
La oss skrive disse ligningene:
der C 0 er den ekstreme høyre posisjonen til glidebryteren C:
r – krankaradius AB;
l - koblingsstanglengde BC;
– sveivrotasjonsvinkel;
Mottatt transcendentale ligninger presentere en matematisk modell av bevegelsen til en flat aksial sveivmekanisme, basert på følgende forenklede antakelser:
- vi var ikke interessert i de strukturelle formene og arrangementet av massene som er inkludert i mekanismen til legemer, og vi erstattet alle kroppene til mekanismen med rette segmenter. Faktisk har alle koblingene til mekanismen masse og en ganske kompleks form. For eksempel er en koblingsstang en kompleks sammenstilling, hvis form og dimensjoner selvfølgelig vil påvirke bevegelsen til mekanismen;
- Når vi flyttet mekanismen under vurdering, tok vi heller ikke hensyn til elastisiteten til kroppene som inngår i mekanismen, dvs. alle lenker ble betraktet som abstrakte absolutt stive kropper. I virkeligheten er alle legemer som inngår i mekanismen elastiske legemer. Når mekanismen beveger seg, vil de på en eller annen måte bli deformert, og elastiske vibrasjoner kan til og med oppstå i dem. Alt dette vil selvfølgelig også påvirke bevegelsen av mekanismen;
- vi tok ikke hensyn til produksjonsfeilen til koblingene, hullene i de kinematiske parene A, B, C, etc.
Det er derfor viktig å understreke nok en gang at jo høyere krav til nøyaktigheten av resultatene for å løse et problem, jo større er behovet for å ta hensyn til når bygge en matematisk modell egenskaper ved objektet, prosessen eller systemet som studeres. Det er imidlertid viktig å stoppe her i tide, siden det er vanskelig matematisk modell kan bli et vanskelig problem å løse.
En modell konstrueres lettest når lovene som bestemmer oppførselen og egenskapene til et objekt, en prosess eller et system er velkjente, og det er lang praktisk erfaring med anvendelsen av dem.
En mer kompleks situasjon oppstår når vår kunnskap om objektet, prosessen eller systemet som studeres er utilstrekkelig. I dette tilfellet, når bygge en matematisk modell det er nødvendig å gjøre ytterligere antagelser som er i naturen av hypoteser; en slik modell kalles hypotetisk. Konklusjonene som er oppnådd som et resultat av å studere en slik hypotetisk modell er betingede. For å bekrefte konklusjonene er det nødvendig å sammenligne resultatene av å studere modellen på en datamaskin med resultatene av et fullskala eksperiment. Spørsmålet om anvendeligheten til en viss matematisk modell for studiet av objektet, prosessen eller systemet som vurderes er således ikke et matematisk spørsmål og kan ikke løses med matematiske metoder.
Hovedkriteriet for sannhet er eksperimentering, praksis i ordets videste forstand.
Bygge en matematisk modell i anvendte oppgaver – en av de mest komplekse og kritiske stadiene i arbeidet. Erfaring viser at å velge riktig modell i mange tilfeller betyr å løse problemet med mer enn halvparten. Vanskeligheten med dette stadiet er at det krever en kombinasjon av matematisk og spesialkunnskap. Derfor er det svært viktig at matematikere ved løsning av anvendte problemer har spesiell kunnskap om objektet, og deres partnere, spesialister, har en viss matematisk kultur, forskningserfaring innen sitt felt, kunnskap om datamaskiner og programmering.