Den logaritmiske distribusjonsmodellen til den berømte engelske matematikeren Fisher var det første forsøket på å beskrive forholdet mellom antall arter og antall individer av disse artene. Denne modellen var spesielt vellykket i entomologisk forskning og ble først brukt av Fisher som en teoretisk modell for å beskrive fordelingen av arter i samlinger. Denne modellen og mangfoldsstatistikken var gjenstand for en detaljert studie av L. R. Taylor et al.

Frekvensfordelingen av arter for en logaritmisk fordeling er beskrevet av følgende sekvens:

hvor  X– antall arter representert av ett individ, x 2 /2 – antall arter representert av to individer osv.

Den logaritmiske modellen har to parametere  og x. Dette betyr at for en prøvestørrelse N og antall arter S det er bare én mulig frekvensfordeling av arter basert på deres relative overflod, siden både  og X er funksjoner N Og S. Jo større utvalg som trekkes fra et gitt fellesskap, desto større er verdien X og jo mindre andel individer som tilhører arter representert av ett individ i utvalget. To parametere S Og N(totalt antall individer) er sammenkoblet av avhengighet
, hvor er diversitetsindeksen, som kan fås fra ligningen:

,

hvor er summen av alle individer N tilhører S typer:

Den logaritmiske distribusjonsmodellen, preget av et lite antall arter i overflod og en stor andel av «sjeldne», er mest sannsynlig å beskrive samfunn hvis struktur er bestemt av én eller noen få miljøfaktorer.

Som vist av forskning utført av Magharran i Irland, tilsvarer denne serien fordelingen av overflod av bakkeplantearter i bartrær avlinger under dårlige lysforhold.

5.3.3. Lognormal fordeling

De fleste samfunn viser en log-normal fordeling av artsoverflod, men dette mønsteret indikerer generelt et stort, modent og mangfoldig samfunn. Denne fordelingen er typisk for systemer når verdien av en bestemt variabel bestemmes av et stort antall faktorer.

Denne modellen ble først brukt på fordelingen av artsoverflod av Preston. Ved å bruke et mangfold av empirisk materiale viste han at artsfrekvenser i store prøver er fordelt i samsvar med lognormalloven. I henhold til metodikken han utviklet, blir arter med antall individer inneholdt i intervaller som er begrenset av geometriske progresjonstall gruppert i frekvensklasser. Preston plottet artsoverflod på en logaritmebase 2 (log 2) skala og kalte de resulterende klassene oktaver. Men for å beskrive modellen kan du bruke hvilken som helst logaritmisk base. I grafen tilsvarer fordelingen av artsfrekvenser etter mengdeklassene oppnådd på denne måten den velkjente normalfordelingskurven, avkortet til venstre, i frekvensområdet til sjeldne arter.

Distribusjonen skrives vanligvis i formen:

, Hvor

S R – det teoretiske antallet arter i en oktav lokalisert i R-oktaver fra den modale oktaven; S mo– antall arter i den modale oktaven;  – standardavvik for den teoretiske log-normalkurven, uttrykt i antall oktaver.

Ris. 5.3.2. Logg-normalfordeling

Log-normalfordelingen er beskrevet av en symmetrisk "normal", dvs. en klokkeformet kurve (fig. 5.3.2.). Men hvis dataene det tilsvarer kommer fra en begrenset prøve, vil venstre side av kurven (dvs. sjeldne, urapporterte arter) være uklar. Preston kalte dette avkortingspunktet til venstre for "gardinlinjen." "Gardinlinjen" kan flyttes til venstre når prøvestørrelsen øker. Det er indikert med en pil i figuren. For de fleste prøvene uttrykkes bare delen av kurven til høyre for modusen. Det er bare med enorme mengder data samlet over store biogeografiske områder at hele kurven kan spores. S Den -formede kurven indikerer den komplekse naturen til differensiering og nisjeoverlapping. De fleste arter i naturlige åpne økosystemer eksisterer i konkurranse om ressurser snarere enn i direkte konkurranse; Mange tilpasninger gjør det mulig å dele nisjer uten konkurranseutstenging fra habitatet. Dette mønsteret er mest sannsynlig for uforstyrrede lokalsamfunn.

En tilfeldig variabel kalles lognormalfordelt hvis logaritmen følger normalfordelingsloven.

Dette betyr spesielt at verdiene til en log-normal tilfeldig variabel dannes under påvirkning av et svært stort antall av hverandre uavhengige faktorer, og påvirkningen fra hver enkelt faktor er "uniformt ubetydelig" og like sannsynlig i fortegn. . Dessuten, i motsetning til skjemaet for dannelsen av normallovmekanismen, er den sekvensielle karakteren av påvirkningen av tilfeldige faktorer slik at den tilfeldige økningen forårsaket av virkningen av hver påfølgende faktor er proporsjonal med verdien av verdien som studeres som har allerede oppnådd i det øyeblikket (i dette tilfellet snakker de om den multiplikative naturen til faktorens innflytelse). Matematisk kan det som er sagt formaliseres som følger. Hvis - er en ikke-tilfeldig komponent av den studerte egenskapen (dvs. den "sanne" verdien i et idealisert skjema, når påvirkningen av alle tilfeldige faktorer er eliminert), - er et numerisk uttrykk for effektene av påvirkning av de tilfeldige faktorene nevnt ovenfor, vil verdiene til den studerte egenskapen, suksessivt transformert av virkningen av disse faktorene, være:

Det er lett å komme seg herfra

Hvor . Men høyresiden av (6.11) er resultatet av den additive virkningen av mange tilfeldige faktorer, som, under forutsetningene ovenfor, bør lede, som vi vet (se avsnitt 6.1.5, samt § 7.3, dedikert til sentralgrensesetningen), til normalfordelingen av denne summen .

Samtidig, tatt i betraktning det tilstrekkelig store antallet tilfeldige termer (dvs. forutsatt ) og den relative ubetydeligheten av påvirkningen fra hver av dem (dvs. forutsatt ), er det mulig å flytte fra summen på venstre side av (6.11) til integralet

Dette. og betyr til syvende og sist at logaritmen til mengden vi er interessert i (redusert med en konstant verdi) følger normalloven med null middelverdi, dvs.

hvorfra vi ved å differensiere med hensyn til x får venstre og høyre side av denne relasjonen

(gyldigheten av identiteten brukt i beregningen følger av den strenge monotoniteten til transformasjonen

Det beskrevne opplegget for å generere verdiene til en logaritmisk-normal tilfeldig variabel viser seg å være karakteristisk for mange spesifikke fysiske og sosioøkonomiske situasjoner (størrelse og vekt av partikler dannet under knusing; ansattes lønn; familieinntekt; størrelser på romformasjoner holdbarheten til et produkt som fungerer i slitasje- og aldringsmodus, se for eksempel , , ).

Eksempel 6.1. Den månedlige inntekten per innbygger (i dollar) til en familie i et bestemt sett med familier regnes som en tilfeldig variabel. N=750 familier ble undersøkt.

Tabell 6.1

Tabell 6.2

I tabellen 6.1 og 6.2 viser resultatene av henholdsvis gruppering av prøvedata og deres logaritmer (bredden på grupperingsintervallet er 25 dollar). I fig. 6.1, a, b viser histogrammer og tettheter for henholdsvis log-normal- og normalfordelingslovene.

Ris. 6 1. Histogram og teoretisk (modell) tetthet som karakteriserer fordelingen av familier etter gjennomsnittlig månedlig inntekt per innbygger (a) og ved logaritmen av gjennomsnittlig månedlig inntekt per innbygger (b)

Nedenfor er resultatene av å beregne de viktigste numeriske egenskapene til log-normalfordelingen (i form av lovparameterne a og ):

Fra disse uttrykkene er det klart at skjevheten og kurtose av log-normalfordelingen alltid er positive (og jo nærmere null, jo nærmere null), og modusen, medianen og gjennomsnittet er ordnet nøyaktig i den rekkefølgen vi ser i Fig. 5.8, og de vil ha en tendens til å smelte sammen (og tetthetskurven - til symmetri) ettersom mengden har en tendens til null. I dette tilfellet, selv om verdiene til en log-normal tilfeldig variabel er dannet som "tilfeldige forvrengninger" av noen ". sann verdi” a, sistnevnte fungerer til syvende og sist ikke som et gjennomsnitt, men som en median.

Den lognormale distribusjonsfunksjonen har funnet bred anvendelse i å analysere påliteligheten til objekter innen teknologi, biologi, økonomi, etc. Funksjonen er for eksempel vellykket brukt til å beskrive tiden til svikt i lagre, elektroniske enheter og andre produkter.

Ikke-negative tilfeldige verdier for en eller annen parameter er lognormalfordelt hvis logaritmen er normalfordelt. Fordelingstettheten for forskjellige verdier av σ er vist i fig. 4.3.

Ris. 4.3.

Fordelingstettheten beskrives av avhengigheten

Hvor M x og σ – parametere estimert fra resultatene P tester til feil:

(4.4)

For en lognormal distribusjonslov, pålitelighetsfunksjonen

(4.5)

Sannsynligheten for feilfri drift kan bestemmes fra tabeller for normalfordeling (se tabell A6.1 i vedlegg 6) avhengig av kvantilverdien

Matematisk forventning om tid til fiasko

Standardavviket og variasjonskoeffisienten vil være lik

Hvis v x ≤ 0,3, da antas det at ν x = σ, og feilen er ikke mer enn 1%.

Brukes ofte til å skrive avhengigheter for lognormalfordelingsloven i desimallogaritmer. I samsvar med denne loven, fordelingen tetthet

Estimater av lg parametere x 0 og σ bestemmes basert på testresultater:

Forventet verdi M x, standardavvik σ x og variasjonskoeffisient ν x ganger til feil er henholdsvis like

Eksempel 4.6

Bestem sannsynligheten for feilfri drift av girkassen under t= 103 timer, hvis ressursen er fordelt logaritmisk med parametere lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Løsning

La oss finne kvantilverdien og bestemme sannsynligheten for feilfri drift:

Svar: R(t) = 0,0228.

Weibull distribusjon

Weibull-distribusjonsfunksjonen er en to-parameter-fordeling. Loven den beskriver er universell, siden den med passende verdier av parameterne blir til normale, eksponentielle og andre typer distribusjoner. Forfatteren av denne distribusjonsloven, V. Weibull, brukte den til å beskrive og analysere eksperimentelt observerte variasjoner i utmattingsstyrken til stål og dets elastiske grenser. Weibulls lov beskriver på en tilfredsstillende måte tiden til svikt i lagre og elementer av elektronisk utstyr. Den brukes til å vurdere påliteligheten til deler og sammenstillinger av maskiner, inkludert biler, samt for å vurdere påliteligheten til maskiner under innkjøringsprosessen. Fordelingstettheten beskrives av avhengigheten

hvor a er fordelingskurveformparameteren; λ – fordelingskurveskalaparameter.

Grafen over fordelingstetthetsfunksjonen er vist i fig. 4.4.

Ris. 4.4.

Weibull distribusjonsfunksjon

Pålitelighetsfunksjon for denne distribusjonsloven

Matematisk forventning til en tilfeldig variabel X er lik

hvor Г( x) – gammafunksjon.

For kontinuerlige verdier X

For heltallsverdier X Gammafunksjonen beregnes ved hjelp av formelen

formlene er også korrekte

Variansen til den tilfeldige variabelen er lik

Den utbredte bruken av Weibull-distribusjonsloven i analysen og beregningene av produktpålitelighet forklares av det faktum at denne loven, som generaliserer den eksponentielle fordelingen, inneholder en tilleggsparameter α.

Ved å velge parametrene a og λ riktig, er det mulig å oppnå en bedre samsvar mellom de beregnede verdiene og eksperimentelle data sammenlignet med den eksponentielle loven, som er en-parameter (parameter λ).

For produkter som har skjulte feil, men som ikke brukes over lang tid (og derfor eldes langsommere), er risikoen for svikt størst i den innledende perioden, for deretter å avta raskt. Pålitelighetsfunksjonen for et slikt produkt er godt beskrevet av Weibull-loven med parameter α< 1.

Tvert imot, hvis produktet er godt kontrollert under produksjon og nesten ikke har skjulte defekter, men gjennomgår rask aldring, så er pålitelighetsfunksjonen beskrevet av Weibull-loven med parameter α > 1. Ved α = 3,3 er Weibull-fordelingen nærliggende til normal.

Hvis det derimot er negative eller nullord blant dem, kan du legge til en konstant til hvert medlem av serien, for eksempel . I følge en av egenskapene til den matematiske forventningen, vil denne operasjonen ikke endre de grunnleggende statistiske egenskapene til serien. Denne operasjonen lar deg gå til lognormalfordelingen i det angitte tilfellet.

Som et resultat av å bruke logaritmeoperasjonen (36) på serien som studeres, reduseres spredningen mellom dataene betydelig. Dette kan sees fra fig. 9.16: det er åpenbart at .

Fordelingsfunksjonen til den nye serien vil være lik

(37)

Men da

(38)

(39)

Og endelig

(40)

Formler (37) – (40) gir sammenhengen mellom lognormal- og originalfordelingen.

Ris. 9.16.

Poisson distribusjonslov (sjeldne fenomener distribusjonslov)

Med et tilstrekkelig stort antall tester har alle fordelinger en tendens til normalfordelingsloven. Imidlertid, hvis det blant dataene er sjeldne, eksepsjonelle resultater, vil fordelingen av disse sjeldne fenomenene, mens hoveddelen har en tendens til normalloven, har en tendens til en annen lov - loven Giftfordeling. Denne loven er preget av det faktum at med sannsynlighet enten har en tendens til null. I dette tilfellet binomial fordeling Poisson går til

(41)

Hvor har samme betydning som i normalfordelingen.

Lov Giftfordeling, gitt ved formel (41), beskriver sannsynligheten for at hendelser inntreffer med omtrent like tidsintervaller, forutsatt at alle hendelser skjer uavhengig av hverandre og med en viss intensitet, selv svært små, men nødvendigvis konstante. I dette tilfellet er antallet tester stort, og sannsynligheten for at den forventede hendelsen inntreffer er svært liten og lik . Parameteren vil da karakterisere intensiteten av forekomsten av den forventede hendelsen i testsekvensen.

I dette tilfellet vil vi prøve å beregne forventningen.

Et karakteristisk trekk ved denne typen distribusjon vil være følgende matematiske relasjoner:

Eksempel 5. 150 prøver ble samlet på teststedet. Noen av dem inneholdt tilstedeværelsen av et sjeldent element:

Bestem distribusjonsloven for det nødvendige elementet.

Løsning. For å svare på spørsmålet i oppgaven bør du sjekke oppfyllelsen av likhet (45), som er et karakteristisk trekk Giftfordeling. For enkelhets skyld tar vi ikke hundredeler, men antall økte med 100 ganger, dvs.

På grunn av det faktum at , konkluderer vi med at distribusjonen av det nødvendige elementet overholder loven Giftfordeling. Nå, ved å bruke relasjoner (42), beregner vi gjennom det teoretiske, sammenligner det med den opprinnelige frekvensen, og

Du er ikke en slave!
Lukket utdanningskurs for barn av eliten: "Verdens sanne ordning."
http://noslave.org

Materiale fra Wikipedia - det frie leksikonet

Sannsynlighetsfunksjon
Distribusjonsfunksjon
Betegnelse	texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \mathrm(Log)(p)
Alternativer	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc < p < 1
Transportør	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): k \in \(1,2,3,\dots\)
Sannsynlighetsfunksjon	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \frac(-1)(\ln(1-p)) \; \frac(\;p^k)(k)
Distribusjonsfunksjon	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp med oppsett.): 1 + \frac(\Beta_p(k+1,0))(\ln(1-p))
Forventet verdi	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \frac(-1)(\ln(1-p)) \; \frac(p)(1-p)
Median
Mote	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): 1
Spredning	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp til oppsett.): -p \;\frac(p + \ln(1-p))((1-p)^2\,\ln^2(1-p))
Asymmetrikoeffisient
Kurtosis koeffisient
Differensiell entropi
Generer funksjon av øyeblikk	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \frac(\ln(1 - p\,\exp(t)))(\ln(1-p))
Karakteristisk funksjon	Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \frac(\ln(1 - p\,\exp(i\,t)))(\ln(1-p))

Logaritmisk fordeling i sannsynlighetsteori - en klasse med diskrete fordelinger. Den logaritmiske fordelingen brukes i en rekke applikasjoner, inkludert matematisk genetikk og fysikk.

Definisjon

La fordelingen av en tilfeldig variabel Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc er gitt av sannsynlighetsfunksjonen:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp til oppsett.): p_Y(k) \equiv \mathbb(P)(Y=k) = -\frac(1)(\ln(1-p)) \frac(p^k) )(k),\; k=1,2,3,\ldopp ,

Hvor Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): 0

Så sier de det Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): Y har en logaritmisk fordeling med parameteren Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.):s. De skriver: Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc .

Tilfeldig variabel distribusjonsfunksjon Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): Y stykkevis konstant med hopp på naturlige punkter:

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): F_Y(y) = \left\( \begin(matrise) 0, & y< 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0 , Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for hjelp med oppsett.): \sum\limits_(k=1)^(\infty)p_Y(k) = 1 .

Øyeblikk

Generer funksjon av momenter av en tilfeldig variabel Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): Y \sim \mathrm(Log)(p) er gitt av formelen

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): M_Y(t) = \frac(\ln\venstre)(\ln) , Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \mathbb(E)[Y] = - \frac(1)(\ln(1-p)) \frac(p)(1-p) , Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): \mathrm(D)[Y] = -p \;\frac(p + \ln(1-p))((1-p)^2\,\ln ^2 (1-p)) .

Forholdet til andre distribusjoner

Poisson-summen av uavhengige logaritmiske tilfeldige variabler har en negativ binomialfordeling. La Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): \(X_i\)_(i=1)^n en sekvens av uavhengige identisk distribuerte tilfeldige variabler slik at Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README - hjelp med oppsett.): X_i \sim \mathrm(Log)(p), \; i=1,2,\ldots. La Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matematikk/README for oppsetthjelp.): N \sim \mathrm(P)(\lambda)- Poisson tilfeldig variabel. Deretter

Kan ikke analysere uttrykk (kjørbar fil texvc ikke funnet; Se matte/README - hjelp med oppsett.): Y = \sum\limits_(i=1)^N X_i \sim \mathrm(NB) .

applikasjoner

Den logaritmiske fordelingen beskriver på en tilfredsstillende måte størrelsesfordelingen til asteroider i solsystemet [[K:Wikipedia:Artikler uten kilder (land: Lua-feil: callParserFunction: funksjonen "#property" ble ikke funnet. )]][[K:Wikipedia:Artikler uten kilder (land: Lua-feil: callParserFunction: funksjonen "#property" ble ikke funnet. )]] .

90 piksler	Sannsynlighetsfordelinger
	Endimensjonal	Flerdimensjonal
Diskret:	Bernoulli | Binomial | Geometrisk | Hypergeometrisk | Logaritmisk| Negativ binomial | Poisson | Diskret uniform	Multinomial
Helt kontinuerlig:	Beta | Weibull | Gamma | Hypereksponentiell | Gompertz-distribusjon | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormal | Normal (Gaussisk) | Logistikk | Nakagami | Pareto | Pearson | Halvsirkelformet | Kontinuerlig uniform | Ris | Rayleigh | Studentprøve | Tracy - Vidoma | Fisher | Chi-kvadrat | Eksponentiell | Varians-gamma	Multivariat normal | Copula

.[[K:Wikipedia:Artikler uten kilder (land: Lua-feil: callParserFunction: funksjonen "#property" ble ikke funnet. )]][[K:Wikipedia:Artikler uten kilder (land: Lua-feil: callParserFunction: funksjonen "#property" ble ikke funnet. )]][[K:Wikipedia:Artikler uten kilder (land: Lua-feil: callParserFunction: funksjonen "#property" ble ikke funnet. )]]

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Logaritmisk fordeling"

Et utdrag som beskriver den logaritmiske fordelingen

Jenta tenkte dypt på noe, så lo høyt og sa muntert:
– Det var så morsomt da jeg nettopp begynte å «skape»!!! Å, du ville vite hvor morsomt og morsomt det var!.. I begynnelsen, da alle "forlot" meg, var jeg veldig trist, og jeg gråt mye... Jeg visste ikke hvor de var, min mor og min bror .. jeg visste ikke noe ennå. Det var da, tilsynelatende, min bestemor syntes synd på meg og hun begynte å lære meg litt. Og... åh, hva skjedde!.. Først falt jeg hele tiden igjennom et sted, skapte alt "topsy-turvy" og bestemoren min måtte se på meg nesten hele tiden. Og så lærte jeg... Det er til og med synd, for nå kommer hun sjeldnere... og jeg er redd for at hun kanskje ikke en gang kommer i det hele tatt...
For første gang så jeg hvor trist denne lille ensomme jenta noen ganger var, til tross for alle disse fantastiske verdenene hun skapte!.. Og uansett hvor glad og snill hun var "fra fødselen av", var hun fortsatt bare en veldig liten familie av alle et uventet forlatt barn, som var livredd for at hennes eneste kjære – bestemoren – også en dag skulle forlate henne...
– Å, vær så snill å ikke tro det! – utbrøt jeg. - Hun elsker deg så mye! Og hun vil aldri forlate deg.
– Nei... hun sa at vi alle har våre egne liv, og vi må leve det slik hver av oss er bestemt... Det er trist, ikke sant?
Men Stella kunne tilsynelatende rett og slett ikke forbli i en trist tilstand i lang tid, siden ansiktet hennes lyste opp med glede igjen, og hun spurte med en helt annen stemme:
– Vel, skal vi fortsette å se eller har du allerede glemt alt?
– Vel, selvfølgelig skal vi det! – som om jeg nettopp hadde våknet av en drøm, svarte jeg lettere nå.
Jeg kunne ennå ikke si med sikkerhet at jeg i det hele tatt virkelig forsto noe. Men det var utrolig interessant, og noen av Stellas handlinger ble allerede mer forståelige enn de var helt i begynnelsen. Den lille jenta konsentrerte seg et sekund, og vi befant oss i Frankrike igjen, som om vi startet fra nøyaktig samme øyeblikk der vi nylig hadde stoppet... Igjen var det det samme rike mannskapet og det samme vakre paret som ikke kunne tenke seg alt kommer til enighet... Til slutt, helt desperat etter å bevise noe for sin unge og lunefulle dame, lente den unge mannen seg tilbake i det rytmisk svaiende setet og sa trist: