Fourieranalyse og signaloverføring. Spektralanalyse basert på rask Fourier-transformasjon
Videoovervåkingskameraer er mye brukt til å overvåke trafikkforhold på motorveier med høy trafikk. Informasjon mottatt fra videokameraer inneholder data om midlertidige endringer i den romlige posisjonen til kjøretøy i systemets synsfelt. Behandling av denne informasjonen basert på algoritmer som brukes i TV-målesystemer (TIS) gjør det mulig å bestemme hastigheten til kjøretøy og gi trafikkflytstyring. Det er disse faktorene som forklarer den økende interessen for TV-overvåking av transportmotorveier.
For å utvikle metoder for å filtrere bilder av kjøretøy mot en bakgrunn av støy, er det nødvendig å kjenne deres grunnleggende parametere og egenskaper. Tidligere har forfatterne utført en studie av Fourier- og wavelet-spektra av naturlig og urban bakgrunn. Dette arbeidet er viet til studiet av lignende spektre av kjøretøy.
- ved hjelp av et digitalkamera ble det opprettet en bank med innledende .bmp-filer med monokrome bilder av kjøretøy av forskjellige typer (biler, lastebiler, busser, for hver gruppe var antall bilder 20-40 ved forskjellige vinkler og lysforhold); bildene hadde dimensjoner på 400 piksler horisontalt og 300 piksler vertikalt; lysstyrkeområde fra 0 til 255 enheter;
- siden bildene også inneholdt en bakgrunnskomponent i tillegg til kjøretøyet, ble den kunstig undertrykt til et nullnivå for å forhindre at den påvirket resultatet;
- Egenskapene til kjøretøybilder ble analysert ved bruk av Fourier- og wavelet-analysemetoder.
Programmet utviklet i MATLAB-miljøet lar deg beregne gjennomsnittlig lysstyrke (dvs. den matematiske forventningen til bildets lysstyrke), lysstyrkespredning, Fourier-spektrum av individuelle og totale bildelinjer, spektrogrammer, samt wavelet-spektre ved hjelp av forskjellige velkjente wavelets (Haar, Daubechies, Simleta og etc.). Analyseresultatene gjenspeiles i form av todimensjonale og 3D bildespektre.
Basert på forskningsresultatene kan følgende konklusjoner trekkes:
- gjennomsnittlig lysstyrkeegenskaper (gjennomsnittlig lysstyrke, spredning) av bilder av forskjellige kjøretøy har lignende verdier for alle typer; Solskinn fra glasset og overflatene på bilen har en betydelig innvirkning på lysstyrkeegenskapene; avhengig av intensiteten og retningen på belysningen, kan svarte biler ha lysstyrkeegenskaper som ligner på lyse biler;
- Uavhengig av type kjøretøy har Fourier- og wavelet-spektra en lignende struktur;
- Fourier-bredden til kjøretøyspekteret avhenger litt av biltypen; spekteret har en betydelig ujevn struktur, og endres med endringer i belysning og kjøretøyorientering; spekteret i horisontalplanet har en mer ujevn struktur enn i vertikalplanet; de spektrale egenskapene til semi-lastebiler og busser er sterkt påvirket av tegninger og inskripsjoner (reklame) på overflatene;
- når du snur biler, er det en betydelig endring i spektra av bilder i horisontalplanet, spekteret i vertikalplanet forblir ganske stabilt; dette er spesielt tydelig synlig i wavelet-spektra;
- analyse av spektrene til et individuelt kjøretøy og et kjøretøy mot en bakgrunn av interferens viser at de er forskjellige i amplitudenivåene til spektralkomponentene; i fravær av bakgrunn er det vertikale spekteret betydelig mer ensartet; for bilder av biler uten bakgrunn er det større sannsynlighet for dype fall i spekteret (høyere ujevnheter), konvolutten til spekteret av bilder med bakgrunn er mer ensartet enn uten bakgrunn;
- utførte studier har vist at på grunn av den sterke påvirkningen av et stort antall faktorer, tillater ikke spektralegenskapene til kjøretøy (begge oppnådd ved bruk av Fourier-analyse og wavelet-analyse) oss å identifisere stabile spektrale trekk ved kjøretøybilder; dette reduserer effektiviteten til spektral bildefiltrering utført for å undertrykke bakgrunnen;
- i automatiserte trafikkkontrollsystemer, for å skille biler fra bakgrunnen av støy, er det nødvendig å bruke et sett med funksjoner, for eksempel farge, spektrum, geometriske parametere for objekter (størrelser og sideforhold) og dynamiske egenskaper.
BIBLIOGRAFI
- Makaretsky E.A., Nguyen L.H. Studie av egenskapene til bilder av naturlig og urban bakgrunn // Izv. Tulsk Stat Univ. Radioteknikk og radiooptikk. - Tula, 2005. - T. 7.- S.97-104.
Bibliografisk lenke
Makaretsky E.A. STUDIE AV FOURIER OG WAVELET SPEKTRA AV BILDER AV KJØRETØY // Fundamental Research. – 2006. – nr. 12. – S. 80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (tilgangsdato: 15/01/2020). Vi gjør deg oppmerksom på magasiner utgitt av forlaget "Academy of Natural Sciences"
Introductory Review-delen diskuterer to veldig enkle eksempler (hentet fra Shumway, 1988) for å illustrere arten av spektralanalyse og tolkning av resultater. Hvis du ikke er kjent med denne metoden, anbefales det at du ser på denne delen av dette kapittelet først.
Gjennomgang og datafil. Filen Sunspot.sta inneholder en del av de kjente solflekktallene (Wolfer) fra 1749 til 1924 (Anderson, 1971). Nedenfor er en liste over de første få dataene fra eksempelfilen.
Det antas at antall solflekker påvirker været på jorden, samt landbruk, telekommunikasjon mv. Ved å bruke denne analysen kan man prøve å finne ut om solflekkaktivitet virkelig er syklisk i naturen (det er det faktisk; disse dataene er mye diskutert i litteraturen; se for eksempel Bloomfield, 1976, eller Shumway, 1988).
Definisjon av analyse. Etter å ha kjørt analysen åpner du Sunspot.sta-datafilen. Klikk på Variables-knappen og velg Spots-variabelen (merk at hvis datafilen Sunspot.sta er den åpne datafilen, og Spots-variabelen er den eneste variabelen i den filen, vil Spots åpnes når dialogboksen for tidsserieanalyse åpnes. velges automatisk). Klikk nå på knappen Fourier (spektral) analyse for å åpne dialogboksen for Fourier (spektral) analyse.
Før du bruker spektralanalyse, plott først antall solflekker. Merk at Sunspot.sta-filen inneholder de tilsvarende årene som observasjonsnavn. For å bruke disse navnene i linjegrafer, klikk på Serievisning-fanen og velg Saksnavn i delen Etikettpunkter. Velg også Angi X-akseskala manuelt og Min. = 1, og trinn = 10. Klikk deretter på Graf-knappen ved siden av Vis valg-knappen. variabel.
Antallet solflekker ser ut til å følge et syklisk mønster. Trenden er ikke synlig, så gå tilbake til vinduet Spektralanalyse og fjern valget Fjern lineær trend i Transform Source Series-gruppen.
Det er åpenbart at gjennomsnittet av serien er større enn 0 (null). La derfor alternativet Trekk middelverdi være valgt [ellers vil periodogrammet være "tilstoppet" med en veldig stor topp ved frekvens 0 (null)].
Nå er du klar til å starte analysen. Klikk nå OK (én-dimensjonal Fourier-analyse) for å vise dialogboksen Fourier Spectral Analysis Results.
Se resultater. Informasjonsdelen øverst i dialogboksen viser noen oppsummeringsstatistikker for serien. Den viser også de fem største toppene i periodogrammet (etter frekvens). De tre største toppene er ved frekvensene 0,0852, 0,0909 og 0,0114. Denne informasjonen er ofte nyttig når man analyserer veldig store serier (for eksempel med mer enn 100 000 observasjoner) som ikke enkelt plottes på en enkelt graf. I dette tilfellet er det imidlertid lett å se periodogramverdiene; ved å klikke på Periodogram-knappen i delen Periodogram and Spectral Density Graphs.
Periodogramgrafen viser to tydelige topper. Maksimum er ved en frekvens på omtrent 0,9. Gå tilbake til vinduet Spektralanalyseresultater og klikk på Sammendrag-knappen for å se alle periodogramverdier (og andre resultater) i resultattabellen. Nedenfor er en del av resultattabellen med den største toppen identifisert fra periodogrammet.
Som diskutert i avsnittet om innledende gjennomgang, er Frekvens antall sykluser per tidsenhet (der hver observasjon er én tidsenhet). Dermed tilsvarer Frekvens 0,0909 verdien av 11 perioder (antall tidsenheter som kreves for en fullstendig syklus). Siden solflekkdataene i Sunspot.sta representerer årlige observasjoner, kan det konkluderes med at det er en tydelig 11-års (kanskje litt lengre enn 11-års) syklus i solflekkaktivitet.
Spektral tetthet. Vanligvis, for å beregne spektraltetthetsestimater, jevnes periodogrammet for å fjerne tilfeldige svingninger. Den veide glidende gjennomsnittstypen og vindusbredden kan velges i Spektral Windows-delen. Den innledende oversiktsdelen diskuterer disse alternativene i detalj. For vårt eksempel, la oss la standardvinduet være valgt (Hamming width 5) og velg Spectral Density-grafen.
De to toppene er nå enda mer distinkte. La oss se på periodogramverdiene etter periode. Velg Periode-feltet i Tidsplan-delen. Velg nå grafen Spectral Density.
Igjen kan man se at det er en uttalt 11-års syklus i solflekkaktivitet; Dessuten er det tegn på eksistensen av en lengre syklus på omtrent 80-90 år.
Mathcad har innebygde Fast Fourier Transform (FFT)-verktøy som i stor grad forenkler prosedyren for omtrentlig spektralanalyse.
FFT- Rask algoritme for overføring av informasjon om en funksjon spesifisert 2 m(m- heltall) prøver i tidsdomenet, i frekvensdomenet.
elementer:
Fig.3 Spektralanalyse ved bruk av FFT
Funksjon fft( v )implementerer fremover FFT returnerer fremover FFT 2 m-dimensjonal vektor v, Hvor v- en vektor hvis elementer lagrer funksjonsprøver f(t). Resultatet vil være en vektor EN dimensjoner 1 + 2 m- 1 med komplekse elementer - sampler i frekvensdomenet. Faktisk er de reelle og imaginære delene av vektoren Fourier-koeffisienter en k Og b k, noe som i stor grad forenkler deres mottak.
Funksjon ift( v) implementerer invers FFT - returnerer invers FFT til en vektor v med komplekse elementer. Vektor v har 1 + 2 m – 1
Filtrering av analoge signaler
Ø Definisjonsfiltrering- separasjon av et nyttig signal fra blandingen med et forstyrrende signal - støy. Den vanligste typen filtrering er frekvensfiltrering. Hvis frekvensområdet som er okkupert av det nyttige signalet er kjent, er det nok å isolere dette området og undertrykke de områdene som er okkupert av støy.
Ved å bruke forover FFT konverteres det støyende signalet fra tidsdomenet til frekvensdomenet, og skaper en vektor f med 64 frekvenskomponenter.
Deretter utføres en filtertransformasjon ved hjelp av Heaviside-funksjonen
F (X) - Heaviside trinnfunksjon.
Returnerer 1 if X 0; ellers 0.
Filtrert signal (vektor g) blir utsatt for en invers FFT og produserer en utgangsvektor h.
En sammenligning av tidsavhengighetene til kilde- og utgangssignalene viser at utgangssignalet nesten fullstendig gjentar inngangssignalet og stort sett er fritt for høyfrekvent støyinterferens som maskerer det nyttige signalet
Fig.4. Filtrering av analoge signaler
Figur 4 illustrerer filtreringsteknikken ved bruk av FFT. Først syntetiseres det originale signalet, representert av 128 vektorsampler v. Støy legges så til dette signalet ved hjelp av en tilfeldig tallgenerator ( funksjon rnd ) og en vektor på 128 sampler av det støyende signalet dannes.
.
Prosedyre for å utføre laboratoriearbeid
Øvelse 1. Beregn de seks første parene med koeffisienter i Fourier-seriens utvidelse av funksjonen f(t) på segmentet.
Konstruer grafer for 1., 2. og 3. harmoniske.
Utfør harmonisk syntese av en funksjon f(t) for 1., 2. og 3. harmoniske. Synteseresultatene vises grafisk.
Oppgavealternativer 1
| № | f(t) | Alternativ nr. | f(t) | Alternativ nr. | f(t) |
| cos e |sin 3 t| |
Oppgave 2. Utføre klassisk spektralanalyse og funksjonssyntese f(t). Vis grafisk spektra av amplituder og faser, resultatet av spektral syntese av funksjonen f(t).
Oppgave 3. Utføre numerisk spektralanalyse og funksjonssyntese f(t). For å gjøre dette må du angi den opprinnelige funksjonen f(t) diskret i 32 prøver. Vis grafisk spektra av amplituder og faser, resultatet av spektral syntese av funksjonen f(t).
Oppgave 4. Utføre spektralanalyse og funksjonssyntese f(t) ved hjelp av FFT. For å gjøre dette trenger du:
· angi startfunksjonen f(t) diskret i 128 prøver;
utføre direkte FFT ved hjelp av funksjonen fft og vise grafisk de funnet spektra av amplituder og faser av de første seks harmoniske;
utføre invers FFT ved å bruke funksjonen ifft og vise grafisk resultatet av spektralsyntesen av funksjonen f(t).
Oppgave 5. Filtrer en funksjon f(t) ved hjelp av FFT:
· syntetisere en funksjon f(t) i form av et nyttig signal representert av 128 vektorprøver v;
til et nyttig signal v feste støy ved hjelp av funksjon rnd (rnd(2) - 1) og danner en vektor med 128 sampler av det støyende signalet s;
Konverter et signal med støy s fra tidsdomene til frekvensdomene ved å bruke forover FFT (funksjon fft). Resultatet vil være et signal f av 64 frekvenskomponenter;
· utføre en filtreringstransformasjon ved hjelp av Heaviside-funksjonen (filtreringsparameter = 2);
ved å bruke funksjonen ifft utføre en invers FFT og få utgangsvektoren h;
· bygge grafer av det nyttige signalet v og signalet oppnådd ved å filtrere det støyende signalet s.
Emne 1. «Proposisjonell logikk»
Trening
1. Finn ut om denne formelen er identisk sann.
2. Skriv denne påstanden i form av en proposisjonell logisk formel. Konstruer negasjonen av dette utsagnet i form av en formel som ikke inneholder ytre tegn på negasjon. Oversett til naturlig språk.
3. Finn ut om dette resonnementet er riktig (sjekk om konklusjonen følger av premisssammensetningen).
Valgmuligheter for individuelle oppgaver om LP-temaet
Valg 1
3. Hvis en person har tatt en avgjørelse, og han er oppdratt riktig, vil han overvinne alle konkurrerende ønsker. Mannen tok en avgjørelse, men overvant ikke konkurrerende ønsker. Derfor ble han oppdratt feil.
Alternativ nr. 2
2. Det regner og snør.
3. Hvis dette fenomenet er mentalt, er det forårsaket av en ytre påvirkning på kroppen. Hvis det er fysiologisk, så skyldes det også ytre påvirkninger på kroppen. Dette fenomenet er verken mentalt eller fysiologisk. Følgelig er det ikke forårsaket av ytre påvirkninger på kroppen.
Alternativ #3
2. Han er en god student eller en god idrettsutøver.
3. Hvis den mistenkte begikk tyveriet, så var det enten nøye forberedt, eller så hadde han medskyldige. Hvis tyveriet hadde vært nøye forberedt, så hadde det vært medskyldige, ville mye blitt stjålet. Lite ble stjålet. Dette betyr at den mistenkte er uskyldig.
Alternativ nr. 4
2. Hvis et stålhjul varmes opp, vil diameteren øke.
3. Hvis kursen på verdipapirer stiger eller renten synker, faller prisen på aksjer. Hvis renten synker, så faller enten ikke aksjekursen eller så stiger ikke aksjekursen. Aksjekursen går ned. Følgelig synker renten.
Alternativ nr. 5
3. Enten ble vitnet ikke skremt, eller hvis Henry begikk selvmord, ble lappen funnet. Hvis vitnet ble skremt, begikk ikke Henry selvmord. Seddelen ble funnet. Følgelig begikk Henry selvmord.
Alternativ #6
2. Han studerer ved instituttet eller tar kurs i fremmedspråk.
3. Hvis en filosof er en dualist, så er han ikke en materialist. Hvis han ikke er en materialist, så er han en dialektiker eller en metafysiker. Han er ingen metafysiker. Derfor er han dialektiker eller dualist.
Alternativ nr. 7
2. Han er dyktig og flittig.
3. Hvis investeringene forblir konstante, vil offentlige utgifter øke eller arbeidsledighet oppstå. Dersom statens utgifter ikke øker, vil skattene reduseres. Hvis skattene reduseres og investeringene holder seg konstant, vil ikke arbeidsledigheten øke. Arbeidsledigheten vil ikke øke. Følgelig vil statens utgifter øke.
Alternativ nr. 8
2. Denne boken er vanskelig og uinteressant.
3. Hvis kildedataene er korrekte og programmet fungerer korrekt, oppnås det riktige resultatet. Resultatet er feil. Følgelig er inndataene feil eller programmet fungerer ikke som det skal.
Alternativ nr. 9
2. Han er både en reaper, og en svenske, og en trompetist.
3. Hvis prisene er høye, så er lønningene høye. Prisene er høye eller priskontroll brukes. Hvis prisregulering brukes, er det ingen inflasjon. Det er inflasjon. Derfor er lønningene høye..
Alternativ nr. 10
2. Hvis vann avkjøles, vil volumet reduseres.
3. Hvis jeg er sliten, vil jeg hjem. Hvis jeg er sulten, vil jeg hjem eller gå på restaurant. Jeg er trøtt og sulten. Derfor vil jeg hjem.
Alternativ nr. 11
2. Hvis et tall ender på null, er det delelig med 5.
3. Hvis det er kaldt i morgen, tar jeg på meg en varm jakke hvis ermet er reparert. I morgen blir det kaldt og hylsen blir ikke reparert. Så jeg kommer ikke til å bruke en varm jakke.
Alternativ nr. 12
2. Kroppen, fratatt støtte, faller til bakken.
3. Hvis det snør, blir det vanskelig å kjøre bilen. Hvis det er vanskelig å kjøre, kommer jeg for sent hvis jeg ikke drar tidlig. Det snør og jeg drar tidlig. Så jeg kommer ikke for sent.
Alternativ nr. 13
2. Ivan og Peter kjenner Fedor.
3. Hvis en person forteller en løgn, tar han feil eller villeder andre bevisst. Denne mannen lyver og tar tydeligvis ikke feil. Det betyr at han bevisst villeder andre.
Alternativ nr. 14
2. Denne boken er nyttig og interessant.
3. Hvis han var smart, ville han ha sett feilen sin. Hvis han hadde vært oppriktig, ville han ha tilstått for henne. Imidlertid er han verken smart eller oppriktig. Følgelig vil han enten ikke se feilen sin eller ikke innrømme den.
Alternativ nr. 15
2. Denne skuespilleren spiller på kino og spiller ikke i filmer.
3. Hvis en person er en materialist, så anerkjenner han kjennbarheten til verden.Hvis en person anerkjenner kjennbarheten til verden, så er han ikke en agnostiker. Derfor, hvis en person ikke er en konsekvent materialist, så er han en agnostiker.
Alternativ nr. 16
2. Hvis en hund blir ertet, vil den bite.
3. Hvis det er rettferdighet i verden, så kan ikke onde mennesker være lykkelige. Hvis verden er skapelsen av et ondt geni, kan onde mennesker være lykkelige. Dette betyr at hvis det er rettferdighet i verden, så kan ikke verden være skapelsen av et ondt geni
Alternativ nr. 17
2. Hvis du snakker engelsk, kan du håndtere denne jobben.
3. Hvis Ivanov jobber, får han lønn. Hvis Ivanov studerer, får han et stipend. Men Ivanov får ikke lønn eller stipend. Derfor jobber han ikke eller studerer.
Alternativ nr. 18
2. Hvis funksjonen er oddetall, er grafen symmetrisk om opprinnelsen.
3. Hvis jeg legger meg, vil jeg ikke bestå eksamen. Studerer jeg om natten, klarer jeg heller ikke eksamen. Derfor vil jeg ikke bestå eksamen.
Alternativ nr. 19
2. Hvis et tall er delelig med 3, er summen av sifrene delelig med 3.
3. Hvis jeg går på første forelesning i morgen, må jeg stå opp tidlig. Går jeg på diskotek om kvelden, legger jeg meg sent. Hvis jeg legger meg sent og står opp tidlig, vil jeg føle meg dårlig. Derfor må jeg gå glipp av første forelesning eller ikke gå på diskotek.
Alternativ nr. 20
2. Hvis et ord er plassert i begynnelsen av en setning, så skrives det med stor bokstav.
3. Hvis x 0 og y 0, da x 2 + y 2 > 0. Hvis x= 0 og y= 0, deretter uttrykket ( x – y):(x + y) gir ikke mening. Det er ikke sant det x 2 + y 2 > 0. Derfor uttrykket ( x – y):(x + y).
Alternativ nr. 21
2. Ivan og Marya elsker hverandre.
3. Hvis boken jeg leser er ubrukelig, så er den ikke vanskelig. Hvis en bok er vanskelig, så er den ikke interessant. Denne boken er kompleks og interessant. Så det er nyttig.
Alternativ nr. 22
2. En dårlig soldat er en som ikke drømmer om å bli general.
3. Hvis det regner i morgen, tar jeg på meg en regnfrakk. Blir det vind, tar jeg på meg jakke. Derfor, hvis det ikke er regn og vind, vil jeg ikke bruke regnfrakk eller jakke.
Alternativ nr. 23
2. Hvis en serie konvergerer, har dens vanlige term en tendens til null.
3. Hvis han ikke er feig, vil han handle i samsvar med sin egen overbevisning. Hvis han er ærlig, så er han ikke en feiging. Hvis han ikke er ærlig, vil han ikke innrømme feilen sin. Han innrømmet feilen sin. Så han er ingen feiging.
Alternativ nr. 24
2. Verken Ivan eller Fedor er utmerkede studenter.
3. Hvis han er sta, så kan han gjøre feil. Hvis han er ærlig, er han ikke sta. Hvis han ikke er sta, kan han ikke gjøre feil og være ærlig på samme tid. Så han er ikke sta.
Alternativ nr. 25
2. Enten Ivan eller Peter kjenner Fedor.
3. Hvis lønn betales i tide, forventes enten valg eller protest. Lønnen ble utbetalt til rett tid. Det er ikke ventet valg. Dette betyr at det forventes en protest.
Alternativ nr. 26
2. Hvis du lager en algoritme og skriver et program, kan du løse dette problemet.
3. Hvis en person driver med sport, er han frisk. Hvis en person er frisk, så er han glad. Denne personen går inn for sport. Så han er glad.
Alternativ nr. 27
2. På kvelden skal vi på hockey eller se det på TV.
3. Anton er overtrøtt eller syk. Hvis han er overtrøtt, blir han irritert. Han blir ikke irritert. Derfor er han syk.
Alternativ nr. 28
2. Hvis jeg ikke får nok søvn eller er sulten, kan jeg ikke trene.
3. Hvis en bedrift er fokusert på å styrke markedsføringen, har den til hensikt å tjene store penger ved å slippe nye produkter. Hvis et selskap planlegger å utvide distribusjonsnettverket, har det til hensikt å tjene store penger på økt salg. Selskapet planlegger å styrke markedsføringen eller skal utvide distribusjonsnettverket, og har derfor til hensikt å tjene store penger.
Alternativ nr. 29
2. Dersom skattene ikke reduseres, vil småprodusenter gå konkurs og forlate produksjonen.
3. Kontrakten oppfylles dersom og kun dersom huset står ferdig i februar. Står huset ferdig i februar, så kan vi flytte i mars. Kontrakten skal oppfylles, derfor kan vi flytte i mars.
Alternativ nr. 30
2. Dersom laget vårt ikke tar førsteplassen, blir vi hjemme og trener.
3. Det tiltenkte programmet vil lykkes hvis fienden blir overrumplet eller hvis hans posisjoner er dårlig forsvart. Du kan overraske ham hvis han er uforsiktig. Han vil ikke være uforsiktig hvis posisjonene hans forsvares dårlig. Dette betyr at programmet vil mislykkes.
Emne 2. Lineær parvis regresjon
Dette emnet inkluderer seks laboratoriearbeider viet til konstruksjon og studie av en lineær regresjonsligning av formen
Eksempel 1.1.
For å bestemme forholdet mellom skiftkullproduksjon per arbeider (variabel Y, målt i tonn) og tykkelsen på kullsømmen (variabel X, målt i meter) studier ble utført ved 10 gruver, hvis resultater er presentert i en tabell.
| Jeg | ||||||||||
| x i | ||||||||||
| y jeg |
Laboratoriearbeid nr. 1
Beregning av koeffisienter til LR-ligningen
Målet med arbeidet Beregning av lineære regresjonslikningskoeffisienter fra et romlig utvalg.
Beregningsforhold. Koeffisientene bestemt ut fra minste kvadraters metode er løsningen på ligningssystemet
Å løse dette ligningssystemet får vi
,
Hvor m XY– prøveverdien av korrelasjonsmomentet, bestemt av formelen:
,
– prøveverdi av variansen til mengden X, bestemt av formelen:
Løsning
La oss beregne disse koeffisientene ved hjelp av Excel-regnearkprosessoren. Figuren viser et fragment av et Excel-dokument der:
a) tabelldata legges ut;
b) beregningen av koeffisientene til systemet er programmert;
c) beregningen er programmert b 0 , b 1 etter formler.
Merk at Excel-funksjonen AVERAGE ( celleområde).
Som et resultat av å utføre de programmerte beregningene får vi
b 0 = –2.75; b 1 = 1.016,
og selve regresjonsligningen vil ta formen
Trening. Bruk den resulterende regresjonsligningen, bestem gruvearbeiderens arbeidsproduktivitet hvis tykkelsen på kulllaget er:
a) 8,5 meter (datainterpolering);
b) 14 meter (dataekstrapolering).
Ris. 1.Beregning av lineære regresjonskoeffisienter
Laboratoriearbeid nr. 2
Beregning av prøvekorrelasjonskoeffisient
Målet med arbeidet. Beregning av prøvekorrelasjonskoeffisienten fra et romlig utvalg.
Beregningsforhold. Prøvekorrelasjonskoeffisienten bestemmes av relasjonen
Hvor 
, 
, .
Løsning
Fragment av et Excel-dokument som beregner følgende verdier: korrelasjonskoeffisient
Ris. 2. Beregning av korrelasjonskoeffisienten
Laboratoriearbeid nr. 3
Beregning av estimater av varians av paret LR
Målet med arbeidet. Beregn estimater for koeffisientavvik b 0 , b 1 ,.
Beregningsforhold. Estimater for koeffisientavvik bestemmes av formlene:
, 
Hvor 
- estimering av spredning.
Løsning. Figur 3 viser et fragment av et Excel-dokument der variansestimater ble beregnet. Legg merke til det
· Verdiene til koeffisientene er hentet fra laboratoriearbeid nr. 1 og cellene (B1, B2) de befinner seg i har absolutt adressering ($B$1, $B$2) i uttrykk som beregner regresjonsverdier;
· verdi (celle B19) er hentet fra laboratoriearbeid nr. 1. Vi får følgende verdier:
.
Ris. 3. Beregning av estimater for varians av koeffisienter
Laboratoriearbeid nr. 4
Excel-funksjoner for sammenkoblede LR-koeffisienter
Målet med arbeidet. Beregn koeffisientene til en lineær regresjonsligning fra et romlig utvalg ved å bruke Excel-funksjoner.
Her er noen statistiske Excel-funksjoner som er nyttige når du bygger sammenkoblet lineær regresjon.
CUT-funksjon.
LINJESTYKKE( range_of_values ; range_of_values ).
TILT-funksjon. Beregner koeffisienten og inversjonen har formen
HELLING( range_of_values ; range_of_values ).
PROGNOS funksjon. Beregner verdien av lineær parvis regresjon for en gitt verdi av den uavhengige variabelen (angitt med ) og inversjonen har formen
FORUTSIGELSE(; range_of_values ;område_av_verdier_ ).
Funksjon STOSYX. Beregner et estimat for standardavviket til forstyrrelser og inversjonen har formen (YX - latinske bokstaver):
STOSHYX( range_of_values ; range_of_values ).
Løsning. Et fragment av et Excel-dokument som beregner de nødvendige verdiene er gitt. Legg merke til bruken av absolutt adressering ved beregning.
Ris. 4. Bruke Excel-funksjoner
Trening. Sammenlign de beregnede verdiene med verdiene oppnådd i laboratorie #1 og #3.
Laboratoriearbeid nr. 5
Konstruksjon av et intervallestimat for den parede LR-funksjonen
Målet med arbeidet. Konstruere et intervallestimat for regresjonsfunksjonen 
med en reliabilitet på g = 0,95, ved å bruke for dette formål regresjonsligningen konstruert i laboratoriearbeid nr. 1.
Beregningsforhold. Intervallestimat (konfidensintervall) for (for en gitt verdi) med reliabilitet (konfidenssannsynlighet) lik g bestemmes av uttrykket
Anslaget for variansen til funksjonen har formen
,
Hvor - estimering av spredning.
Dermed to mengder (avhengig av ) og , beregnet ved hjelp av Excel-funksjonen:
STUDISCOVER().
Løsning. Vi vil beregne verdiene for de nedre og øvre grensene for intervallet for 
.
Et fragment av dokumentet som utfører disse beregningene er vist i figuren
Fig.5. Konstruere et intervallestimat for
Verdiene, , (celle B16:B18) og koeffisienter (B1:B2) er hentet fra tidligere laboratoriearbeid. Magnitude = STUDASCOVER() = 2,31.
Laboratoriearbeid nr. 6
Kontroller betydningen av LR-ligningen ved å bruke Fisher-kriteriet
Målet med arbeidet. I følge tabelldataene, estimer betydningen av regresjonsligningen på nivået a = 0,05
,
bygget i laboratorieverk nr. 1.
Beregningsforhold. En parvis regresjonsligning er signifikant på signifikansnivå a hvis følgende ulikhet gjelder:
Hvor F g; 1; n-2 – kvantilverdier av nivå g F-fordelinger med antall frihetsgrader k 1 = 1 og k 2 = n – 2.
For å beregne kvantilen kan du bruke følgende uttrykk
FDISC().
Beløpene bestemmes av uttrykkene:
,
.
Kriteriet kalles ofte Fisher-kriterium eller F-test.
Løsning. Her er et fragment av et Excel-dokument som beregner verdiene Q e, og kriterium F. I kolonne D verdier beregnes ved hjelp av formelen. Koeffisientverdiene er hentet fra laboratoriearbeid nr. 1.
Følgende verdier ble oppnådd: , , . Beregning av kvantilen F 0,95; 1; 8 = 5,32. Ulikheten er oppfylt siden 24.04 > 5.32 og derfor regresjonsligningen signifikant med signifikansnivå a = 0,05.
Ris. 6. Beregning av F-verdien - kriterium
Emne 3 Ikke-lineær parvis regresjon
Dette emnet inkluderer to laboratorier som fokuserer på å konstruere en ikke-lineær parvis regresjonsligning. Den romlige prøven for å konstruere regresjonen er hentet fra følgende eksempel.
Eksempel Tabellen viser verdiene til den uavhengige variabelen (familieinntekt i tusenvis av rubler) og verdiene til den avhengige variabelen (andel av utgifter til varige varer i prosent av totale utgifter).
| 13.4 | 15.4 | 16.5 | 18.6 | 19.1 |
Laboratoriearbeid nr. 7
Bygge en ikke-lineær regresjon ved hjelp av
Legg til trendlinjekommandoer
Målet med arbeidet Ved å bruke romlig sampling er det nødvendig å konstruere en ikke-lineær regresjonsligning av formen ved å bruke kommandoen "Legg til trendlinje" og beregne bestemmelseskoeffisienten.
Kommandoen "Legg til trendlinje". Brukes til å fremheve trender (langsomme endringer) i tidsserieanalyse.
Imidlertid kan denne kommandoen også brukes til å konstruere en ikke-lineær regresjonsligning, med tanke på tid som den uavhengige variabelen.
Denne kommandoen lar deg bygge følgende regresjonsligninger:
lineær
polynom 
();
logaritmisk
· makt;
· eksponentiell.
For å bygge en av de oppførte regresjonene, må du utføre følgende trinn:
Trinn 1. I det valgte Excel-arket skriver du inn kildedataene i kolonner 
.
Steg 2. Ved å bruke disse dataene, konstruer en graf i det kartesiske koordinatsystemet.
Trinn 3. Plasser markøren på den plottede grafen, høyreklikk og kjør kommandoen i kontekstmenyen som vises Legg til en trendlinje
Trinn 4. I dialogboksen som vises, aktiver kategorien "Type" og velg ønsket regresjonsligning.
Ris. 2.1. Plotte en graf basert på kildedata
Ris. 2.2. Velge type regresjonsligning
Trinn 5. Aktiver fanen "Alternativer" og "aktiver" Alternativene vi trenger er:
· "Vis ligning på diagram" - diagrammet vil vise den valgte regresjonsligningen med de beregnede koeffisientene;
Ris. 2.3. Angi alternativer for informasjonsutgang
· "Plasser tilnærmet pålitelighetsverdi (R^2) på diagrammet" - diagrammet vil vise verdien av bestemmelseskoeffisienten (for ikke-lineær regresjon - bestemmelsesindeks), beregnet med formelen
· Hvis det er nødvendig å lage en prognose basert på den konstruerte regresjonsligningen, må du angi antall prognoseperioder.
Hensikten med andre alternativer er tydelig fra navnene deres.
Trinn 6. Etter å ha spesifisert alle de oppførte alternativene, klikk på "OK"-knappen og formelen for den konstruerte regresjonsligningen og verdien av bestemmelsesindeksen (uthevet i skyggelegging) vises på diagrammet.
Ris. 2.4. Graf og ligning for den konstruerte regresjonen
Løsning.
Vi konstruerer ligningen ved å bruke trinnene beskrevet ovenfor. Vi får ligningen
,
der bestemmelseskoeffisienten er lik . Denne verdien indikerer en god samsvar mellom den konstruerte ligningen og de opprinnelige dataene.
Laboratoriearbeid nr. 8
Velge den beste ikke-lineære regresjonen
Målet med arbeidet. Konstruer seks ikke-lineære regresjonsligninger (polynomligningen er konstruert med og ), ved å bruke romlig sampling og kommandoen "Legg til trendlinje", bestem for hver ligning bestemmelseskoeffisienten (verdien vises), den reduserte bestemmelseskoeffisienten (verdien) beregnes), og ved å bruke maksimumsverdien finner du den beste ikke-lineære regresjonsligningen .
Redusert bestemmelseskoeffisient. Bestemmelseskoeffisienten karakteriserer den konstruerte regresjonens nærhet til de opprinnelige dataene, som inneholder en "uønsket" tilfeldig komponent. Åpenbart, ved å konstruere et 5. ordens polynom fra dataene, får vi den "ideelle" verdien, men en slik ligning inneholder ikke bare en uavhengig variabel, men en komponent, og dette reduserer nøyaktigheten av å bruke den konstruerte ligningen for prognoser.
Derfor, når du velger en regresjonsligning, er det nødvendig å ta hensyn til ikke bare verdien, men også "kompleksiteten" til regresjonsligningen, bestemt av antall koeffisienter i ligningen.
Slik regnskap er vellykket implementert i den såkalte gitt bestemmelseskoeffisient:
,
hvor er antall beregnede regresjonskoeffisienter. Det kan sees at ved konstante verdier reduserer en økning verdien av . Hvis antall koeffisienter for de sammenlignede regresjonsligningene er det samme (for eksempel ), kan utvalget av den beste regresjonen utføres med verdien av . Hvis antall koeffisienter i regresjonsligningene endres, er et slikt valg passende med tanke på verdi.
Løsning. For å konstruere hver ligning utfører vi trinn 2 – 6 (for den første ligningen også trinn 1) og plasserer seks vinduer i ett dokument der de funnet regresjonsligningene og verdien vises. Deretter legger vi inn formelen til ligningen i tabellen. Deretter beregner vi den reduserte bestemmelseskoeffisienten og legger inn disse verdiene i tabellen.
Som den "beste" regresjonsligningen velger vi ligningen som har den største reduserte bestemmelseskoeffisienten. En slik ligning er en potensfunksjon (i tabellen er raden med denne funksjonen uthevet i grått).
,
har verdi = 0,9901.
| № | Ligningen | ||
 | 0.949 | 0.938 | |
| 0.9916 | 0.9895 | ||
| (polynom, ) | 0.9896 | 0.9827 | |
 (polynom, ) | 0.9917 | 0.9792 | |
| | 0.9921 | 0.9901 | |
 | 0.9029 | 0,8786 |
Trening. Bestem den "verste" regresjonsligningen basert på verdien.
Emne 4. Lineær multippel regresjon
Dette emnet inkluderer laboratoriearbeid viet til konstruksjon og studie av en lineær multippel regresjonsligning av formen
Den romlige prøven som ble brukt til å konstruere denne ligningen er hentet fra følgende eksempel.
Eksempel Data om skiftkullproduksjon per arbeider (variabel Y), reservoartykkelse (variabel X 1 og nivået på mekanisering av arbeidet i gruven (variabel X 2) karakterisering av prosessen med kullgruvedrift i 10 gruver er gitt i tabellen. Forutsatt at det er en lineær sammenheng mellom variablene Y, X 1, X 2, er det nødvendig å finne et analytisk uttrykk for denne sammenhengen, dvs. konstruer en lineær regresjonsligning.
| Mine nummer i | x i 1 | x i 2, dvs. matrise a) kontakt Funksjon Master og velg ønsket funksjonskategori, spesifiser deretter funksjonsnavnet og angi tilsvarende celleområder, b) skriv inn navnet på funksjonen fra tastaturet og angi de tilsvarende celleområdene. Matrix Transponere utføres ved hjelp av TRANSPORT-funksjonen (funksjonskategori – Lenker og matriser TRANSPA ( celleområde), hvor er parameteren celleområde spesifiserer alle elementene i matrisen (eller vektoren) som skal transponeres. Matrisemultiplikasjon utføres ved hjelp av MULTIPLE-funksjonen (funksjonskategori – Matematisk).Kallet til funksjonen har formen: MUMNO( område_1; område_2), hvor er parameteren område_1 spesifiserer elementene i den første av de multipliserte matrisene, og parameteren range_2 – elementer i den andre matrisen. I dette tilfellet må matrisene som multipliseres ha passende størrelser (hvis den første matrisen er, er den andre , så vil resultatet være matrisen). Matriseinversjon (beregning av den inverse matrisen) utføres ved å bruke MOBR-funksjonen (funksjonskategori – Matematisk). Anropet til funksjonen ser slik ut: MOBR ( celleområde), hvor er parameteren celleområde spesifiserer alle elementene i den inverterbare matrisen, som må være kvadratisk og ikke-degenerert. Når du bruker disse funksjonene Følgende prosedyre må følges: · velg et cellefragment, hvor resultatet av å utføre matrisefunksjoner vil bli lagt inn (i dette tilfellet er det nødvendig å ta hensyn til størrelsene på de opprinnelige matrisene); · angi et aritmetisk uttrykk, som inneholder et kall til Excel-matrisefunksjoner; · trykk på tastene samtidig... Hvis dette ikke gjøres, da kun ett element vil bli beregnet den resulterende matrisen eller vektoren. Modulregresjonsmodus Dataanalyse. Excel-regnearket inneholder en modul Dataanalyse. Denne modulen lar deg utføre statistisk analyse av prøvedata (konstruksjon av histogrammer, beregning av numeriske egenskaper, etc.). Driftsmodus Regresjon Denne modulen beregner lineære multiple regresjonskoeffisienter med variabler, konstruerer konfidensintervaller og tester betydningen av regresjonsligningen. For å ringe modusen Regresjon modul Dataanalyse nødvendig: · få tilgang til menyelementet Service; · i menyen som vises, utfør kommandoen Dataanalyse; · i listen over moduldriftsmodi Dataanalyse velg modus Regresjon og klikk på knappen Ok . Etter å ha ringt modusen Regresjon En dialogboks vises på skjermen der følgende parametere er angitt: 1. Inndataintervall Y – et område med celleadresser som inneholder verdier angis (cellene må danne én kolonne).
Ris. 3.2. Regresjonsmodus dialogboks 2. Inndataintervall X – en rekke celleadresser som inneholder verdiene til uavhengige variabler legges inn. Verdiene til hver variabel er representert i én kolonne. Antall variabler er ikke mer enn 16 (dvs. ). 3. Tagger – aktivert hvis den første raden i inndataområdet inneholder en tittel. I dette tilfellet vil standardnavn opprettes automatisk. 4. Pålitelighetsnivå – Aktivering av dette alternativet spesifiserer påliteligheten ved konstruksjon av konfidensintervaller. 5. Konstant-null– når denne parameteren er aktivert, er koeffisienten . 6. Utgangsintervall – når den er slått på, aktiveres et felt der du må angi adressen til den øvre venstre cellen i utdataområdet, som inneholder celler med resultatene av modusberegninger Regresjon. 7. Nytt regneark – når denne parameteren er aktivert, åpnes et nytt ark der resultatene av modusen settes inn fra celle A1. Regresjon. 8. Ny arbeidsbok- når denne parameteren er aktivert, åpnes en ny bok på det første arket som, med start fra celle A1, blir resultatet av modusen satt inn Regresjon. 9. Rester – når inkludert, beregnes kolonnen som inneholder residuene 10. Standardiserte saldoer – når aktivert, beregnes en kolonne som inneholder de standardiserte residualene. Etter denne modusen Regresjon og i dialogboksen vil vi angi de nødvendige parameterne. Merk at på grunn av den store "bredden" på tabellene der resultatene av modusen vises Regresjon, Noen av resultatene er plassert i andre celler. La oss gi en kort tolkning av indikatorene hvis verdier beregnes i modusen Regresjon. La oss først se på indikatorene forent av navnet Regresjonsstatistikk(se fig. 3.3). Flere - kvadratroten av bestemmelseskoeffisienten. torget– bestemmelseskoeffisient.
Ris. 3.3. Resultater av regresjonsmodus Normalisert torget– redusert bestemmelseskoeffisient (se formel (2.1)). Standard feil– estimat for standardavvik. Observasjoner– antall observasjoner. |
FOURIER TRANSFORM OG KLASSISK DIGITAL SPEKTRAL ANALYSE. Introduksjon Spektralanalyse er en av signalbehandlingsmetodene som lar deg karakterisere frekvenssammensetningen til det målte signalet. Fourier-transformasjonen er et matematisk rammeverk som relaterer et tidsmessig eller romlig signal (eller en modell av det signalet) til dets frekvensdomenerepresentasjon. Statistiske metoder spiller en viktig rolle i spektralanalyse, siden signaler som regel er tilfeldige eller støyende under forplantning eller måling. Hvis de grunnleggende statistiske egenskapene til et signal var nøyaktig kjent, eller de kunne bestemmes fra et begrenset intervall av dette signalet, ville spektralanalyse representert en gren av "eksakt vitenskap." Imidlertid kan man i virkeligheten bare få et estimat av spekteret fra et signalsegment. Derfor er utøvelse av spektralanalyse et slags håndverk (eller kunst?) av ganske subjektiv karakter. Forskjellen mellom de spektrale estimatene oppnådd som et resultat av å behandle det samme signalsegmentet med forskjellige metoder kan forklares av forskjellige antakelser som er gjort angående dataene, forskjellige gjennomsnittsmetoder, etc. Hvis signalkarakteristikkene ikke er kjent på forhånd, er det umulig å si hvilket av estimatene som er bedre. Fouriertransformasjon - det matematiske grunnlaget for spektralanalyse ,
(1) som identifiserer frekvensene og amplitudene til de komplekse sinusoidene (eksponentene) som noen vilkårlig oscillasjon dekomponeres i.
En mindre restriktiv tilstrekkelig betingelse er endeligheten til signalenergien
og sinc-funksjonen er uttrykket
Tidsdomene samplingsfunksjonen er gitt av
Tabell 1. Hovedegenskaper ved NVPF og funksjoner
En annen viktig egenskap er etablert av Parsevals teorem for to funksjoner g(t) og h(t):
Hvis vi setter g(t) = h(t), reduseres Parsevals teorem til teoremet for energi
Uttrykk (9) er i hovedsak bare en formulering av loven om bevaring av energi i to domener (tid og frekvens). I (9) til venstre er den totale signalenergien, dermed funksjonen
beskriver frekvensfordelingen av energi for et deterministisk signal h(t) og kalles derfor spektralenergitettheten (SED). Bruke uttrykk
amplitude- og fasespektrene til signalet h(t) kan beregnes. Prøvetaking og vekting I neste avsnitt vil vi introdusere den diskrete-tids Fourier-serien (DTFS) eller på annen måte den diskrete Fourier-transformasjonen (DFT) som et spesialtilfelle av den kontinuerlige Fourier-transformasjonen (CTFT) ved bruk av to grunnleggende signalbehandlingsoperasjoner - å ta prøver ( prøvetaking) Og veiing ved hjelp av et vindu. Her vurderer vi påvirkningen av disse operasjonene på signalet og dets transformasjon. Tabell 2 viser funksjonene som utfører vekting og prøvetaking. For jevne avlesninger med et intervall på T sekunder er samplingsfrekvensen F lik 1/T Hz. Merk at vektingsfunksjonen og samplingsfunksjonen i tidsdomenet er betegnet henholdsvis TW (tidsvindu) og TS (tidssampling), og i frekvensdomenet - FW (frekvensvindu) og FS (frekvenssampling).
La oss anta at det tas prøver av et kontinuerlig reelt signal x(t) med et begrenset spektrum, hvis øvre frekvens er lik F0. NVFT til et reelt signal er alltid en symmetrisk funksjon med full bredde på 2F0, se fig. 1.
Fig. 1 - illustrasjon av samplingsteoremet i tidsdomenet for et reelt signal med et begrenset spektrum:
Konvolusjonen av X(f) med Fourier-transformasjonen av prøvefunksjonen F (TS)=Y1/T(f) fortsetter ganske enkelt periodisk X(f) med et frekvensintervall på 1/T Hz. Derfor er XS(f) et periodisk utvidet spektrum av X(f). Generelt fører prøver i ett domene (for eksempel tid) til periodisk fortsettelse i transformasjonsdomenet (for eksempel frekvens). Hvis samplingshastigheten er valgt lavt nok (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Som et resultat (se fig. 1 d), blir den opprinnelige Fourier-transformasjonen gjenopprettet. Ved å bruke konvolusjonsteoremer i tids- og frekvensdomenene får vi . (15) Uttrykk (15) er en matematisk notasjon tidsdomene prøvetaking teoremer(teoremet til Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), som sier at ved å bruke interpolasjonsformelen (15) kan et reelt signal med et begrenset spektrum gjenopprettes nøyaktig med uendelig antall kjente tidsprøver tatt med frekvens F = 2F0. Dualen til teorem (15) er teoremet samples i frekvensdomenet for signaler med begrenset varighet. , (16) og de tilsvarende transformasjonene er uttrykk
Dermed kan NVPF X(f) til et eller annet signal med begrenset varighet utvetydig gjenopprettes fra ekvidistante prøver av spekteret til et slikt signal hvis det valgte frekvenssamplingsintervallet tilfredsstiller betingelsen F1/2T 0 Hz, hvor T 0 er signalet varighet. Forhold mellom kontinuerlige og diskrete transformasjoner Et par transformasjoner for den konvensjonelle definisjonen av N-punkts diskret Fourier-transformasjon (DFT) tidssekvens x[n] og det tilsvarende N-punktet Fourier-transformasjonssekvenser X[k] er gitt av uttrykkene
For å få spektrale estimater fra dataprøver i de tilsvarende enhetene for energi eller kraft, skriver vi en diskret-tids Fourier-serie (DTFS), som kan betraktes som en tilnærming av den kontinuerlige-tids Fourier-transformasjonen (CTFT), basert på bruk av et begrenset antall dataeksempler:
For å vise arten av samsvar med DVRF ( diskret funksjoner i både tids- og frekvensdomenene) og CVDF-er (kontinuerlige funksjoner i tids- og frekvensdomenene), trenger vi en sekvens av fire lineære kommutative operasjoner: vekting i tids- og frekvensdomenene og prøvetaking eller prøvetaking både i tids- og frekvensdomenene. Hvis en vektoperasjon utføres i en av disse områdene, vil den ifølge konvolusjonsteoremet tilsvare en filtreringsoperasjon (convolution) i en annen region med sinc-funksjonen. Tilsvarende, hvis diskretisering utføres i en region, utføres en periodisk fortsettelsesoperasjon i en annen. Siden veiing og prøvetaking er lineære og kommutative operasjoner, er forskjellige måter å bestille dem på mulig, og gir samme sluttresultat med forskjellige mellomresultater. Figur 2 viser to mulige sekvenser for å utføre disse fire operasjonene.
Ris. 2. To mulige sekvenser av to veieoperasjoner og to prøvetakingsoperasjoner, som forbinder NVPF og DVRF: FW - bruk av et vindu i frekvensdomenet; TW - bruk av et vindu i tidsdomenet; FS - ta prøver i frekvensdomenet; TS - ta prøver i tidsdomenet.
(22)
Så DVFT er ganske enkelt Z-transformen beregnet på enhetssirkelen og multiplisert med T.
hvor k=-N/2, . . . ,N/2-1
hvor n=0, . . . ,N-1,
og karakteriserer energien til en sekvens av N dataprøver. Begge sekvensene x[n] og X[k] er periodisk modulo N, så (28) kan skrives på formen
hvor 0 n N. Faktoren T i (27) - (30) er nødvendig slik at (27) og (28) faktisk er en tilnærming av integraltransformasjonen i integrasjonsdomenet
Null polstring Gjennom en prosess kalt polstring med nuller, kan den diskrete-tids Fourier-serien modifiseres for å interpolere mellom N verdier av den opprinnelige transformasjonen. La de tilgjengelige dataprøvene x,...,x suppleres med nullverdier x[N],...X. DVRF for denne nullpolstrede 2N-punkts datasekvensen vil bli gitt av
(32) hvor den øvre grensen for summen til høyre er modifisert for å imøtekomme tilstedeværelsen av nulldata. La k=2m, altså
hvor m=0,1,...,N-1, definerer jevne verdier av X[k]. Dette viser at for jevne verdier av indeksen k, reduseres 2N-punkts diskret-tids Fourier-serien til en N-punkts diskret-tidsserie. Odd-verdier av indeksen k tilsvarer interpolerte DVRF-verdier plassert mellom verdiene til den opprinnelige N-punkts DVRF. Ettersom flere og flere nuller legges til den opprinnelige N-punktsekvensen, kan enda flere interpolerte data oppnås. I det begrensende tilfellet med et uendelig antall inngangsnuller, kan DVRF betraktes som en diskret-tids Fourier-transformasjon av en N-punkts datasekvens:
Transformasjon (34) tilsvarer node 6 i fig. 2.
Fig.3. Interpolering ved bruk av nullpolstring:
Det kan vises at den ekvivalente varigheten av et vindu (eller et hvilket som helst annet signal) og den ekvivalente båndbredden til transformasjonen er gjensidig inverse størrelser: TeBe=1. Rask Fourier-transformasjon Fast Fourier Transform (FFT) er ikke en annen type Fourier-transform, men navnet på en rekke effektive algoritmer, designet for rask beregning av diskret-tids Fourier-serier. Hovedproblemet som oppstår i den praktiske implementeringen av DVRF ligger i det store antallet beregningsoperasjoner proporsjonalt med N2. Selv om det lenge før fremkomsten av datamaskiner ble foreslått flere effektive datasystemer som kunne redusere antallet beregningsoperasjoner betydelig, ble det gjort en reell revolusjon ved publiseringen i 1965 av en artikkel av Cooly og Tukey med en praktisk algoritme for rask (antall operasjoner) Nlog 2 N) beregninger av DVRF . Etter dette ble mange varianter, forbedringer og tillegg til den grunnleggende ideen utviklet, og dannet en klasse av algoritmer kjent som den raske Fourier-transformasjonen. Den grunnleggende ideen til FFT er å dele en N-punkts DVRF i to eller flere mindre DVRF-er, som hver kan beregnes separat og deretter lineært summeres med de andre for å oppnå DVRF for den opprinnelige N-punktssekvensen.
hvor verdien W N =exp(-j2 /N) kalles dreiefaktoren (heretter i dette avsnittet er samplingsperioden T=1). La oss velge elementer med partall og oddetall fra sekvensen x[n]
Men siden da , (37) hvor hvert ledd er en transformasjon av lengde N/2 (38) Merk at sekvensen (WN/2) nk er periodisk i k med periode N/2. Derfor, selv om tallet k i uttrykk (37) tar verdier fra 0 til N-1, beregnes hver av summene for verdier av k fra 0 til N/2-1. Det er mulig å estimere antallet komplekse multiplikasjons- og addisjonsoperasjoner som kreves for å beregne Fourier-transformasjonen i samsvar med algoritme (37)-(38). To N/2-punkts Fourier-transformasjoner i henhold til formlene (38) innebærer å utføre 2(N/2) 2 multiplikasjoner og omtrent like mange addisjoner. Å kombinere to N/2-punkts transformasjoner ved bruk av formel (37) krever ytterligere N multiplikasjoner og N addisjoner. Derfor, for å beregne Fourier-transformasjonen for alle N verdier av k, er det nødvendig å utføre N+N 2/2 multiplikasjoner og addisjoner. Samtidig krever direkte beregning ved bruk av formel (35) N 2 multiplikasjoner og addisjoner. Allerede for N>2 er ulikheten N+N 2 /2 tilfredsstilt< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям: ,
(39)
(41) hvor "ettpunktstransformasjonene" X 1 ganske enkelt er eksempler på signalet x[n]: X1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42) Som et resultat kan vi skrive FFT-algoritmen, som av åpenbare grunner kalles tidsuttynningsalgoritme : X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N, hvor k=0,1, p=0,1,...,N/2-1; X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M , hvor k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1; X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43) hvor k=0,1,...,N-1 På hvert trinn av beregningene utføres N komplekse multiplikasjoner og addisjoner. Og siden antall dekomponeringer av den opprinnelige sekvensen i halvlengde undersekvenser er lik log 2 N, så er det totale antallet muli FFT-algoritmen lik Nlog 2 N. For stor N er det en signifikant sparing i beregningsoperasjoner sammenlignet med direkte DFT-beregninger. For eksempel, når N = 2 10 = 1024 reduseres antall operasjoner med 117 ganger. Tilfeldige prosesser og effektspektral tetthet En diskret tilfeldig prosess x kan betraktes som et visst sett, eller ensemble, av reelle eller komplekse diskrete tidssekvenser (eller romlige) sekvenser, som hver kan observeres som et resultat av et eksperiment (n er tidsindeksen, dvs. observasjonsnummer). Sekvensen oppnådd som et resultat av en av observasjonene vil bli betegnet med x[n]. Operasjonen med å beregne gjennomsnitt over ensemblet (dvs. statistisk gjennomsnitt) vil bli angitt av operatøren<>. Dermed, En tilfeldig prosess kalles stasjonær i i vid forstand, hvis gjennomsnittsverdien er konstant (uavhengig av tid), og autokorrelasjon avhenger bare av forskjellen i tidsindekser m=n1-n2 (tidsforskyvning eller forsinkelse mellom sampler). Således er en stort sett stasjonær diskret tilfeldig prosess x[n] karakterisert ved en konstant gjennomsnittsverdi r xx [m] =< xx*[n] >. (44) La oss merke seg følgende egenskaper til automatgiret: r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m], (45) som gjelder for alle m.
PSD, hvis bredde antas å være begrenset til ±1/2T Hz, er en periodisk funksjon av frekvens med en periode på 1/T Hz. PSD-funksjonen beskriver frekvensfordelingen av kraften til en tilfeldig prosess. For å bekrefte navnet som er valgt for det, bør du vurdere den omvendte DVFT
beregnet til m=0
Autokorrelasjon ved null skift karakteriserer gjennomsnittlig kraft tilfeldig prosess. I følge (48) karakteriserer arealet under kurven P xx (f) gjennomsnittseffekten, så P xx (f) er en tetthetsfunksjon (effekt per enhet frekvens) som karakteriserer frekvensfordelingen av effekt. Paret av transformasjoner (46) og (47) kalles ofte Wiener-Khinchin teorem for diskret tid. Siden r xx [-m]=r* xx [m], så må PSD være en strengt tatt reell positiv funksjon. Hvis ACP er en strengt tatt reell funksjon, kan r xx [-m]=r xx [m] og PSD skrives i form av Fourier cosinustransformasjonen
som også betyr at P xx (f) = P xx (-f), dvs. SPM er en jevn funksjon.
Denne grensen, hvis den eksisterer, konvergerer til det sanne gjennomsnittet hvis og bare hvis tidsvariansen til gjennomsnittet har en tendens til null, noe som betyr at følgende betingelse gjelder:
(51) Ergodisitetsantakelsen lar oss ikke bare introdusere, gjennom tidsgjennomsnitt, definisjonene for gjennomsnitt og autokorrelasjon, men også å gi en lignende definisjon for effektspektral tetthet . (52) Denne ekvivalente formen for PSD oppnås ved statistisk gjennomsnitt av DVFT-modulen til det vektede datasettet delt på lengden på dataposten, for tilfellet hvor antall samples øker til uendelig. Statistisk gjennomsnitt er nødvendig her fordi DVFT i seg selv er en tilfeldig variabel som endres for hver realisering av x[n]. For å vise at (52) er ekvivalent med Wiener-Khinchin-teoremet, representerer vi kvadratet til DVFT-modulen som et produkt av to serier og endrer rekkefølgen på summerings- og statistiske gjennomsnittsoperasjoner:
Ved å bruke det kjente uttrykket , (54)
Legg merke til at på det siste stadiet av derivering (55) ble antagelsen brukt om at autokorrelasjonssekvensen "forfaller", slik at
Forholdet mellom de to definisjonene av PSD (46) og (52) er tydelig vist av diagrammet presentert i figur 4.
som kalles prøvespektrum.
Ris. 4. Sammenheng mellom to metoder for å estimere effektspektral tetthet Periodogram metode for spektral estimering Ovenfor introduserte vi to formelle ekvivalente metoder for å bestemme kraftspektraltetthet (PSD). Den indirekte metoden er basert på bruk av en uendelig sekvens av data for å beregne en autokorrelasjonssekvens, hvis Fourier-transformasjon gir ønsket PSD. Den direkte metoden for å bestemme PSD er basert på å beregne kvadratmodulen til Fourier-transformasjonen for en uendelig sekvens av data ved å bruke passende statistisk gjennomsnitt. PSD oppnådd uten slik gjennomsnittsberegning viser seg å være utilfredsstillende, siden rot-middel-kvadratfeilen til et slikt estimat er sammenlignbar med gjennomsnittsverdien. Nå vil vi vurdere gjennomsnittsmetoder som gir jevne og statistisk stabile spektrale estimater over et begrenset antall prøver. SPD-estimater basert på direkte datatransformasjon og påfølgende gjennomsnittsberegning kalles periodogrammer. PSD-estimater, for hvilke korrelasjonsestimater først dannes fra de første dataene, kalles korrelogram. Når du bruker en hvilken som helst PSD-estimeringsmetode, må brukeren ta mange avveiningsbeslutninger for å oppnå statistisk stabile spektrale estimater med høyest mulig oppløsning fra et begrenset antall prøver. Disse avveiningene inkluderer, men er ikke begrenset til, valg av vindu for datavekting og korrelasjonsestimater og tidsdomene- og frekvensdomene-gjennomsnittsparametere som balanserer kravene til å redusere sidelober på grunn av vekting, utføre effektiv gjennomsnittsberegning og gi akseptabel spektral oppløsning. I fig. Figur 5 viser et diagram som viser hovedstadiene periodogram metode
Anvendelsen av metoden begynner med innsamling av N dataprøver, som tas med et intervall på T sekunder per prøve, etterfulgt (valgfritt) av et avtrekkstrinn. For å oppnå et statistisk stabilt spektralt estimat, må de tilgjengelige dataene deles inn i overlappende (hvis mulig) segmenter og deretter gjennomsnittsberegnes prøvespektrene oppnådd for hvert slikt segment. Parametrene for denne gjennomsnittsberegningen endres ved å velge antall prøver per segment (NSAMP) og antall prøver som begynnelsen av neste segment må forskyves med (NSHIFT), se fig. 6. Antall segmenter velges avhengig av nødvendig grad av glatthet (spredning) av spektralestimatet og den nødvendige spektrale oppløsningen. En liten verdi for NSAMP-parameteren resulterer i flere segmenter som gjennomsnittsberegning vil bli utført over, og derfor vil estimater med mindre varians, men også mindre frekvensoppløsning, oppnås. Økning av segmentlengden (NSAMP-parameter) øker oppløsningen, naturlig nok på grunn av en økning i variansen til estimatet på grunn av et mindre antall gjennomsnitt. Returpilen i fig. 5 indikerer behovet for flere gjentatte passeringer gjennom dataene ved forskjellige lengder og antall segmenter, noe som gjør at vi kan få mer informasjon om prosessen som studeres.
Fig.6. Splitte data i segmenter for å beregne et periodogram Vindu En av de viktige problemstillingene som er felles for alle klassiske spektralestimeringsmetoder er relatert til datavekting. Windowing brukes til å kontrollere sidelobeffekter i spektrale estimater. Merk at det er praktisk å betrakte den eksisterende endelige dataposten som en del av den tilsvarende uendelige sekvensen, synlig gjennom det brukte vinduet. Dermed kan sekvensen av observerte data x 0 [n] fra N prøver skrives matematisk som produktet av en uendelig sekvens x[n] og en rektangulær vindusfunksjon
X 0 [n]=x[n] rekt[n]. X0(f)=X(f)*DN(f), hvor Funksjonen D N (f), kalt den diskrete sinc-funksjonen, eller Dirichlet-kjernen, er en DCFT av en rektangulær funksjon. Transformasjonen av en observert endelig sekvens er en forvrengt versjon av transformasjonen av en uendelig sekvens. Effekten av et rektangulært vindu på en sinusformet diskret tid med frekvens f 0 er illustrert i fig. 7.
Fig.7. Illustrasjon av diskret-tids Fourier-transformasjonsskjevhet på grunn av lekkasje på grunn av datavekting: a, b - originale og vektede sekvenser; b, d - deres Fourier-transformasjoner. Det kan sees fra figuren at de skarpe spektraltoppene til DTFT til den uendelige sinusbølgesekvensen utvides på grunn av konvolusjonen med vindustransformasjonen. Således bestemmes minimumsbredden til spektraltoppene til en vindusvektet sekvens av bredden til hovedtransformasjonsloben til det vinduet og er uavhengig av dataene. Sidelobene til vindustransformasjonen vil endre amplitudene til tilstøtende spektrale topper (noen ganger kalt gjennomstrømming). Siden DVFT er en periodisk funksjon, kan overlagring av sidelober fra naboperioder føre til ytterligere skjevhet. Økning av samplingshastigheten reduserer sidesløyfe-aliasingseffekten. Lignende forvrengninger vil naturlig bli observert ved ikke-sinusformede signaler. Blødning introduserer ikke bare amplitudefeil i spektrene til diskrete signaler, men kan også maskere tilstedeværelsen av svake signaler. Det er en rekke andre vindusfunksjoner som kan tilbys som kan redusere sideflis sammenlignet med et rektangulært vindu. Å redusere nivået av sidelober vil redusere skiftet i spektralestimatet, men dette kommer på bekostning av utvidelse av hovedloben til vindusspekteret, noe som naturlig nok fører til en forringelse av oppløsningen. Følgelig må det også her velges et kompromiss mellom bredden på hovedloben og nivået på sidelobene. Flere parametere brukes for å evaluere kvaliteten på vinduer. Den tradisjonelle indikatoren er hovedlobens båndbredde ved halv effekt. Den andre indikatoren er den tilsvarende båndbredden introdusert ovenfor. To indikatorer brukes også for å evaluere egenskapene til sidelappene. Den første er deres maksimale nivå, den andre er forfallshastigheten, som karakteriserer hastigheten som sidelobene avtar med avstanden fra hovedloben. Tabell 3 viser definisjoner av noen vanlig brukte tidsdiskrete vindufunksjoner, og tabell 4 viser deres egenskaper.
Korrelogrammetodeå estimere PSD er ganske enkelt å erstatte autokorrelasjonsestimatet i uttrykk (46) en begrenset sekvens av verdier ( korrelogrammer) i stedet for en uendelig sekvens av ukjente sanne autokorrelasjonsverdier. Mer informasjon om korrelogrammetoden for spektralestimering kan finnes i. Litteratur 1. Rabiner L., Gould B. Teori og anvendelse av digital signalbehandling. M.: Mir, 1978. 2. Marple Jr. S.L. Digital spektralanalyse og dens anvendelser: Transl. fra engelsk -M.: Mir, 1990. 3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digital signalbehandling. - M.: Radio and Communications, 1990. 4. Otnes R., Enokson L. Anvendt analyse av tidsserier - M.: Mir, 1982. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. (2)
. (3)
. (4)
(5)
(6)
(7)
. (8)
. (9)
(11)
(12)
. (13)
,
(18)
. (19)
(23)
(24)
, (27)
,
(28)
,
(29)
, (30)
.(31)
,
(33)
.
(34)
hvor W(f) er den diskrete-tids Fourier-transformasjonen av vindusfunksjonen, for eksempel rektangulær (5). På samme måte kan du gå inn tilsvarende vindusvarighet
, (35)
.
(46)
(47)
(48)
,
. (49)
. (50)
(53)
(55)
.
(56)
, (57)
. (46)