Determinant av en matrise når den er lik null. Metoder for beregning av determinanter

determinanter n GÅ bestilling

1. Metode for reduksjon til trekantet form.

a) Regn ut determinanten: .

Når vi trekker den første raden fra alle de andre, får vi en determinant som har en trekantet form og derfor er lik produktet av de diagonale elementene:

. Etter hvert Dn = (–1)n –1 .

b) Regn ut determinanten: .

Vi trekker den første raden fra alle de andre, og deretter, fra kolonnene til determinanten, tar vi ut: fra den første EN 1 – X; fra den andre EN 2 – X; …..; fra n th og n – X. Vi får:

D = (en 1 – x) (en 2 – x)… (en n–x) .

La oss skrive det første elementet i den første kolonnen i formen: = 1 + , og legge til alle kolonnene til den resulterende determinanten til den første kolonnen. Vi får en trekantet determinant, som er lik produktet av de diagonale elementene. Derfor:

D = (en 1 – x) (en 2 – x)…(en n – x)x + + + … + .

2. Metode for å identifisere lineære faktorer.

a) Regn ut determinanten.

1. Legger vi de tre andre til den første kolonnen i determinanten, finner vi at i den første kolonnen er det en felles faktor, som er lik X + på + z. Derfor deles determinanten med X + på + z.

2. På samme måte, legger vi den andre til den første kolonnen og trekker den tredje og fjerde kolonnen fra den, finner vi at determinanten er delelig med x – y – z.

3. Hvis den første kolonnen legges til den tredje og trekkes fra den andre og fjerde, får vi at determinanten er delelig med x – y + z.

4. Hvis vi legger den fjerde til den første kolonnen og trekker fra den andre og tredje kolonnen, finner vi at determinanten har en faktor x – y + z. Så:

Det er tydelig at determinanten er et polynom med grad 4 tommer x, Av y og av z. Til høyre er også et polynom av samme grad. Derfor V= konst. I determinanten x 4 er inkludert i begrepet:

en 12 en 21 en 34 en 43 = (–1) 2 × X× X× X× X = X 4 .

På høyre side er seniorterminen X: Vx 4, dvs. V= 1. Vi får resultatet:

= (x + y + z)(x – y – z)(x – y + z)(x + y – z) = x 4 + y 4 + z 4 – 2x 2 y 2 – 2x 2 z 2 – 2på 2 z 2 .

b) Regn ut determinanten n-te rekkefølge: .

Denne determinanten kalles Vandermonde-determinanten. Ser på det som et polynom ( n–1) gradsrelasjon x n vi vil se at den blir 0 når x n = x 1, x n= x 2, … x n = x n- 1 . Deretter Dn = en n – 1 (x n – x 1)(x n – x 2) … (x n– x n–1), og en n –1 = = Dn-1 . Ved å gjenta denne prosedyren får vi: Dn = (x 2 – x 1)(x 3 – x 2)(x 3 – x 1)(x 4 – x 3)(x 4 – x 2)(x 4 – –x 1)… = .

3. En metode for å representere en determinant som en sum av determinanter.

Regn ut determinanten: .

Når vi legger merke til at elementene i den første kolonnen presenteres som summer av to tall, la oss utvide determinanten til summen av to determinanter:

.

Nå vil vi dekomponere hver av de resulterende determinantene til summen av to determinanter, og dra nytte av det faktum at elementene i de andre kolonnene også presenteres i form av summer, etc. Etter å ha gjort dette, får vi ( n> 2) at strengene til de resulterende determinantene vil være som følger: a i, a i, … , a i eller b 1, b 2, … , b n . Rader av den første typen er proporsjonale, rader av den andre typen er like, og derfor er alle ledd lik null. Derfor: Dn = 0 ("n > 2).

For determinanter av samme type, men av første og andre orden, får vi:

D 1 = | en 1 + b 1 | = en 1 + b 1 ; D 2 = =

= en 1 b 2 –en 2 b 2 + b 1 en 2 – en 1 b 1 = (en 1 – en 2)b 2 + (en 2 + en 1)b 1 = (en 1 – en 2)(b 2 – b 1).

Metode for tilbakevendende (retur) relasjoner.

Beregn determinant n-te rekkefølge: .

Ved å utvide determinanten til elementene i den første raden får vi gjentakelsesrelasjonen: Dn= .

Etter å ha utvidet determinanten på høyre side av relasjonen langs den første kolonnen, skriver vi en ny tilbakevendende relasjon: Dn= 5Dn –1 – 6Dn –2 .

Presenterer dette forholdet som: Dn– 2Dn –1 = 3(Dn –1 – 2Dn–2) og introduserer notasjonen:

T n= Dn– 2Dn–1 vi får: T n= 3T n –1 – 3 2 T n–2 = … =3 n-2 T 2 =3n.

På samme måte skriver du gjentakelsesrelasjonen i skjemaet: Dn– 3Dn –1 = 2(Dn –1 – 3Dn–2) og angir: Vn= Dn– 3Dn–1 får vi Vn= 2Vn = 1 = 2 2 Vn –2 =…= 2n .

1. Generell regel for tegn. For videre formål vil det være nyttig å finne ut med hvilket fortegn begrepet er inkludert i determinanten, hvor er to permutasjoner av tall.

For å finne ut bør du ordne faktorene i rekkefølgen på linjene. Legg merke til at hvis vi bytter to faktorer, så skjer det en transponering i både den første og andre indeksen, slik at antall inversjoner i den første indeksen og antall inversjoner i den andre indeksen endres til oddetall, og derfor endres summen deres til et partall. Derfor endres det ikke når plasseringen av to faktorer endres, og derfor når rekkefølgen av faktorene endres, fordi enhver endring i rekkefølge tilsvarer flere parvise endringer av steder. Det følger at tegnet som begrepet inngår med i determinanten er . Faktisk, la være sekvensen av kolonnenummer etter å bringe faktorene i rekkefølge, slik at Deretter

og dette er faktoren ±1 som begrepet vi er interessert i er inkludert i determinanten.

2. Determinanten til den transponerte matrisen er lik den opprinnelige. Med andre ord, determinanten endres ikke når matrisen transponeres.

Faktisk, å ta produktene av elementer, en fra hver rad og en fra hver kolonne i den opprinnelige matrisen, er det samme som å gjøre dette med hensyn til en transponert matrise. Videre er radnumrene for originalen kolonnenumrene for den transponerte, og kolonnenumrene til originalen er radnumrene til den transponerte. Derfor er hvert ledd inkludert i determinanten til den opprinnelige matrisen og determinanten til den transponerte matrisen med samme faktor

De etablerte to egenskapene indikerer at i determinanten er radene og kolonnene helt like. Derfor forblir alle ytterligere egenskaper satt for rader gyldige for kolonner.

De neste to egenskapene betyr at determinanten er lineær med hensyn til elementene i noen av radene.

3. Hvis elementene i en rad presenteres som summen av to ledd, er determinanten lik summen av to determinanter, i den første av hvilke elementene i den markerte linjen er lik de første leddene, i den andre - til den andre.

Denne egenskapen blir mer gjennomsiktig hvis vi går fra den verbale formuleringen til formelen:

Bevis.

Det er klart at den første summen er lik , og den andre er lik

Den påviste egenskapen er naturlig generalisert til tilfellet når elementene i en streng er representert som summen av flere ledd.

4. Hvis alle elementene i en rad av determinanten har en felles faktor, kan denne felles faktoren tas ut av fortegnet til determinanten.

Egentlig,

5. Determinanten med to like rader er lik null.

6. Hvis to rader i en matrise byttes, vil dens determinant endre fortegn til det motsatte.

Disse to egenskapene er nært beslektet og spiller en spesielt viktig rolle i teorien om determinanter.

La oss bevise den 5. egenskapen først, deretter den 6..

La en determinant gis med to like linjer:

La oss dele summen i to deler som tilsvarer partall og oddetall permutasjoner:

La oss huske at alle odde permutasjoner oppnås hvis vi gjør den samme transponeringen i alle like permutasjoner.

Men . Derfor, for hvert ledd i den første summen er det en lik term i den andre, slik at , som er det som måtte bevises.

La oss nå gå til beviset for eiendommen, og la oss betegne de permuterte radene som I og II. Vi må sammenligne determinanter

For dette formålet bør du vurdere en hjelpedeterminant, som åpenbart er lik null:

Vi brukte eiendom 3 to ganger.

Det første og fjerde leddet er lik null. Derfor er summen av andre og tredje lik null, som er det som måtte bevises.

La oss vurdere en annen måte å bevise egenskapene 5 og 6. La oss starte med den sjette. La

La oss ta et begrep fra den andre determinanten, skrevet i rekkefølgen av linjene:

Den kommer med en multiplikator. Men så kommer den inn i A med en multiplikator. Det er klart at så hvert ledd fra A kommer inn i A med motsatt fortegn, dvs.

Nå, for å bevise egenskap 5, vurdere en determinant med to identiske rader og bytt disse radene. På den ene siden vil det endre skiltet, men samtidig vil det ikke endre seg. Derfor,.

Dette resonnementet gjelder imidlertid bare hvis deling med 2 er mulig i ringen, så det følger

Innenfor modulo 2-rester kunne vi ikke trekke en slik konklusjon. Dette er en liten ulempe ved det andre beviset sammenlignet med det første.

7. En determinant med to proporsjonale rader er lik null.

Faktisk, hvis vi i henhold til egenskap 4 tar proporsjonalitetskoeffisienten ut av fortegnet til determinanten, så sitter vi igjen med en determinant med like rader, som er lik null.

8. Determinanten endres ikke hvis tall som er proporsjonale med en annen linje legges til noen av linjene.

Egentlig,

Eiendom 8 er spesielt viktig fordi den gir nøkkelen til å beregne determinanter.

La oss se på et lite eksempel.

Anta at vi må beregne determinanten

La oss legge til den første linjen multiplisert med -1 til den andre linjen, deretter legge til den første linjen multiplisert med -1 til den tredje linjen, og deretter legge til den første linjen multiplisert med -1 til den fjerde linjen. Vi får en lik determinant

Legg nå til den fjerde linjen den tredje, multiplisert med -1, og til den fjerde - den andre, multiplisert med -1.

Vi får en lik determinant

Nå viser det seg at av 24 ledd av determinanten, er det bare én som ikke er null: . Permutasjonen (1, 3, 2, 4) er oddetall, derfor er determinanten -16.

Her vil vi skissere de egenskapene som vanligvis brukes til å beregne determinanter i et standardkurs for høyere matematikk. Dette er et hjelpeemne som vi vil referere til fra andre seksjoner etter behov.

Så la en viss kvadratisk matrise $A_(n\ ganger n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) gis & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( array) \right)$. Hver kvadratisk matrise har en karakteristikk som kalles en determinant (eller determinant). Jeg skal ikke gå inn på essensen av dette konseptet her. Hvis det krever avklaring, vennligst skriv om det på forumet, så vil jeg komme nærmere inn på denne saken.

Determinanten til matrisen $A$ er betegnet som $\Delta A$, $|A|$ eller $\det A$. Determinant rekkefølge lik antall rader (kolonner) i den.

1. Verdien av determinanten vil ikke endres hvis radene erstattes av de tilsvarende kolonnene, dvs. $\Delta A=\Delta A^T$.

   Vis skjul

   La oss erstatte radene i den med kolonner i henhold til prinsippet: "det var en første rad - det var en første kolonne", "det var en andre rad - det var en andre kolonne":

   La oss beregne den resulterende determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Som du kan se, har ikke verdien av determinanten endret seg på grunn av utskiftingen.

2. Hvis du bytter to rader (kolonner) av determinanten, vil fortegnet for determinanten endres til det motsatte.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. La oss finne verdien ved hjelp av formel nr. 1 fra emnet for beregning av determinanter av andre og tredje orden:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   La oss nå bytte den første og andre linjen. Vi får determinanten $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. La oss beregne den resulterende determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Så verdien av den opprinnelige determinanten var (-37), og verdien av determinanten med den endrede rekkefølgen er $-(-37)=37$. Tegnet til determinanten har endret seg til det motsatte.

3. En determinant der alle elementene i en rad (kolonne) er lik null er lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Siden i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ alle elementene i den tredje kolonnen er null, deretter determinanten er null , dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. Determinanten for hvilken alle elementene i en bestemt rad (kolonne) er lik de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) er lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Siden i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ alle elementene i den første raden er lik den tilsvarende elementer i den andre raden, så er determinanten lik null, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Hvis i en determinant alle elementene i en rad (kolonne) er proporsjonale med de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), så er en slik determinant lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Siden i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Den andre og tredje raden er proporsjonale, dvs. $r_3=-3\cdot(r_2)$, så er determinanten lik null, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Hvis alle elementene i en rad (kolonne) har en felles faktor, kan denne faktoren tas ut av determinanttegnet.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Legg merke til at alle elementene i den andre raden er delbare med 3:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Tallet 3 er den felles faktoren for alle elementene i den andre raden. La oss ta de tre ut av determinanttegnet:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. Determinanten vil ikke endres hvis vi til alle elementene i en bestemt rad (kolonne) legger til de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et vilkårlig tall.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. La oss legge til elementene i den andre linjen de tilsvarende elementene i den tredje linjen, multiplisert med 5. Denne handlingen er skrevet som følger: $r_2+5\cdot(r_3)$. Den andre linjen vil bli endret, de resterende linjene forblir uendret.

   $$\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (matrise) \right|= \venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Hvis en bestemt rad (kolonne) i en determinant er en lineær kombinasjon av andre rader (kolonner), så er determinanten lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   La meg umiddelbart forklare hva uttrykket "lineær kombinasjon" betyr. La oss ha s rader (eller kolonner): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Uttrykk

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   der $k_i\in R$ kalles en lineær kombinasjon av rader (kolonner) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Tenk for eksempel på følgende determinant:

   $$\venstre| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$

   I denne determinanten kan den fjerde raden uttrykkes som en lineær kombinasjon av de tre første radene:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Derfor er den aktuelle determinanten lik null.

9. Hvis hvert element i en viss k-te rad (k-te kolonne) av en determinant er lik summen av to ledd, så er en slik determinant lik summen av determinanter, hvorav den første har de første leddene i k-te rad (k-te kolonne), og den andre determinanten den kth rad (k-te kolonne) inneholder de andre leddene. Andre elementer av disse determinantene er de samme.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. La oss skrive elementene i den andre kolonnen slik: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Da er en slik determinant lik summen av to determinanter:

   $$\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. Determinanten av produktet av to kvadratiske matriser av samme orden er lik produktet av determinantene til disse matrisene, dvs. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Fra denne regelen kan vi få følgende formel: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Hvis matrisen $A$ er ikke-singular (dvs. dens determinant er ikke lik null), så $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formler for beregning av determinanter

For determinanter av andre og tredje orden er følgende formler riktige:

\begin(ligning) \Delta A=\venstre| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(ligning) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\venstre| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(ligning)

Eksempler på bruk av formler (1) og (2) er i emnet "Formler for beregning av determinanter av andre og tredje orden. Eksempler på beregning av determinanter".

Determinanten til matrisen $A_(n\ ganger n)$ kan utvides i den i-te raden ved å bruke følgende formel:

\begin(ligning)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ligning)

En analog av denne formelen finnes også for kolonner. Formelen for å utvide determinanten i den jth kolonnen er som følger:

\begin(ligning)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ligning)

Reglene uttrykt med formlene (3) og (4) er illustrert i detalj med eksempler og forklart i emnet Redusere rekkefølgen til determinanten. Dekomponering av determinanten på rad (kolonne).

La oss indikere en annen formel for beregning av determinantene for øvre trekantede og nedre trekantede matriser (for en forklaring av disse begrepene, se emnet "Matriser. Typer av matriser. Grunnleggende termer"). Determinanten til en slik matrise er lik produktet av elementene på hoveddiagonalen. Eksempler:

\begin(justert) &\venstre| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\venstre| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ høyre|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(justert)

Svar: EIENDOM 1. Verdien av determinanten vil ikke endres hvis alle radene erstattes av kolonner, og hver rad erstattes av en kolonne med samme nummer, dvs.

EIENDOM 2. Å omorganisere to kolonner eller to rader av en determinant tilsvarer å multiplisere den med -1. For eksempel,

.Egenskap 3. Hvis en determinant har to like kolonner eller to like rader, så er den lik null EGENSKAP 4. Multiplisere alle elementene i en kolonne eller en rad av determinanten med et hvilket som helst tall k tilsvarer å multiplisere determinanten med dette nummer k. For eksempel,

EIENDOM 5. Hvis alle elementene i en bestemt kolonne eller en rad er lik null, er selve determinanten lik null. Denne egenskapen er et spesialtilfelle av den forrige (for k=0) EIENDOM 6. Hvis de korresponderende elementene i to kolonner eller to rader av determinanten er proporsjonale, er determinanten lik null EGENSKAP 7. Hvis hvert element av den n-te kolonnen eller n-te rad av determinanten er summen av to ledd, så kan determinanten representeres som en sum av to determinanter, hvorav en i henholdsvis n-te kolonne eller i n-te rad har den første av de nevnte termene, og den andre har den andre; elementene som står på de resterende stedene er de samme for milepælene til de tre determinantene. For eksempel,

EIENDOM 8. Hvis vi til elementene i en bestemt kolonne (eller en rad) legger til de tilsvarende elementene i en annen kolonne (eller en annen rad), multiplisert med en felles faktor, vil ikke verdien av determinanten endres. For eksempel,

.

Ytterligere egenskaper til determinanter er relatert til begrepet algebraisk komplement og moll. Minoren til et element er en determinant hentet fra en gitt ved å krysse ut raden og kolonnen i skjæringspunktet dette elementet befinner seg i. Det algebraiske komplementet til ethvert element av determinanten er lik minoren til dette elementet, tatt med dets fortegn, hvis summen av tallene til raden og kolonnen i skjæringspunktet som elementet befinner seg i er et partall, og med motsatt fortegn hvis dette tallet er oddetall. Vi vil betegne det algebraiske komplementet til et element med en stor bokstav med samme navn og samme tall som bokstaven som betegner selve elementet EIENDOM 9. Determinant

er lik summen av produktene til elementene i en hvilken som helst kolonne (eller rad) ved deres algebraiske komplementer.

Avgjørende faktor. Dette er et polynom som kombinerer elementene i en kvadratisk matrise på en slik måte at verdien bevares under transposisjon og lineære kombinasjoner av rader eller kolonner. Det vil si at determinanten karakteriserer innholdet i matrisen. Spesielt, hvis en matrise har lineært avhengige rader eller kolonner, er determinanten lik null. Determinanten spiller en nøkkelrolle i å løse systemer av lineære ligninger i generell form; grunnleggende konsepter introduseres på grunnlag av den. I det generelle tilfellet, matrise kan defineres over en hvilken som helst kommutativ ring, i dette tilfellet vil determinanten være et element i samme ring. Determinanten til matrise A er betegnet som: det(A), |A| eller Δ(A).

5.singular matrise. invers matrise, dens egenskaper, beregning, eksistensteorem.

Svar: En kvadratisk matrise A kalles en degenerert, spesiell (entall) matrise hvis determinanten (Δ) er lik null. Ellers sies matrise A å være ikke-singular.

La oss vurdere problemet med å definere den inverse operasjonen av matrisemultiplikasjon.

La være en kvadratisk matrise av rekkefølge. Matrise som tilfredsstiller, sammen med den gitte matrisen, likhetene:

Det kalles omvendt. En matrise kalles inverterbar hvis det er en invers for den, ellers er den irreversibel.

Fra definisjonen følger det at hvis den inverse matrisen eksisterer, så er den kvadratisk av samme rekkefølge som . Imidlertid har ikke hver kvadratisk matrise en invers. Hvis determinanten til en matrise er null, er det ingen invers for den. Ved å bruke teoremet om determinanten til produktet av matriser for identitetsmatrisen får vi faktisk motsigelsen

Siden determinanten til identitetsmatrisen er lik 1. Det viser seg at ikke-null-determinanten til en kvadratisk matrise er den eneste betingelsen for eksistensen av en invers matrise. Husk at en kvadratisk matrise hvis determinant er lik null kalles entall (entall); ellers kalles den ikke-degenerert (ikke-entall).

Teorem 4.1 om eksistensen og unikheten til den inverse matrisen. En kvadratisk matrise hvis determinant ikke er null har en invers matrise, og bare én:

(4.1)

hvor er matrisen transponert for en matrise som består av algebraiske komplementer av matriseelementer.

En matrise kalles en adjoint matrise med hensyn til en matrise.

Faktisk eksisterer matrisen under tilstanden . Det er nødvendig å vise at det er omvendt til , dvs. tilfredsstiller to betingelser:

La oss bevise den første likheten. I henhold til punkt 4 i merknad 2.3, følger det av egenskapene til determinanten at . Derfor

som var det som måtte vises. Den andre likheten er bevist på lignende måte. Derfor, under betingelsen, har matrisen en invers

Vi vil bevise unikheten til den inverse matrisen ved selvmotsigelse. Anta at det i tillegg til matrisen er en annen invers matrise slik at . Multipliserer begge sider av denne likheten fra venstre med matrisen, får vi . Derfor er dette i strid med antagelsen. Derfor er den inverse matrisen unik.

Merknader 4.1

1. Av definisjonen følger det at matrisene og er kommuterbare.

2. Inversen av en ikke-singular diagonal matrise er også diagonal:

3. Inversen av en ikke-singular nedre (øvre) trekantet matrise er nedre (øvre) trekantet.

4. Elementære matriser har invers, som også er elementære (se avsnitt 1 i merknad 1.11).

Egenskaper til en invers matrise

Matriseinversjonsoperasjonen har følgende egenskaper:

Hvis operasjonene spesifisert i likhetene 1-4 gir mening.

La oss bevise egenskap 2: hvis produktet av ikke-singulære kvadratiske matriser av samme rekkefølge har en invers matrise, så .

Determinanten for produktet av matriser er faktisk ikke lik null, siden

Derfor eksisterer den inverse matrisen og er unik. La oss vise per definisjon at matrisen er den inverse av matrisen. Egentlig:

Det unike med den inverse matrisen innebærer likhet. Den andre egenskapen er påvist. De resterende eiendommene er påvist tilsvarende.

Merknader 4.2

1. For en kompleks matrise gjelder en likhet som ligner egenskap 3:

Hvor er matrisekonjugasjonsoperasjonen.

2. Matriseinversjonsoperasjonen lar deg bestemme den negative heltallspotten til en matrise. For en ikke-singular matrise og et hvilket som helst naturlig tall, definerer vi .

6.systemer av lineære ligninger. Koeffisienter for ukjente, frie termer. Løse et system med lineære ligninger. Kompatibilitet av et system av lineære ligninger. System av lineære homogene ligninger og dets egenskaper.

Svar: Et system med lineære algebraiske ligninger som inneholder m ligninger og n ukjente kalles et system av formen

hvor tall a ij kalles systemkoeffisienter, tall b i kalles frie ledd. Tallene x n må finnes.

Det er praktisk å skrive et slikt system i en kompakt matriseform

Her er A matrisen av systemkoeffisienter, kalt hovedmatrisen;

Kolonnevektor av ukjente x j .

Kolonnevektor med frie termer b i.

Produktet av matrisene A*X er definert, siden det er like mange kolonner i matrise A som det er rader i matrise X (n stykker).

Den utvidede matrisen til et system er matrisen A til systemet, supplert med en kolonne med frie termer

Løsningen av systemet er n verdier av de ukjente x 1 =c 1, x 2 =c 2, ..., x n =c n, ved substitusjon som alle likninger i systemet blir til sanne likheter. Enhver løsning til systemet kan skrives som en kolonnematrise

Et ligningssystem kalles konsistent hvis det har minst én løsning, og inkonsistent hvis det ikke har noen løsning.

Et konsistent system sies å være bestemt hvis det har en enkelt løsning, og ubestemt hvis det har mer enn én løsning. I sistnevnte tilfelle kalles hver av løsningene en bestemt løsning av systemet. Settet med alle spesielle løsninger kalles den generelle løsningen.

Å løse et system betyr å finne ut om det er kompatibelt eller inkonsekvent. Hvis systemet er konsistent, finn den generelle løsningen.

To systemer kalles ekvivalente (ekvivalente) hvis de har samme generelle løsning. Med andre ord, systemer er likeverdige hvis hver løsning av en av dem er en løsning av den andre, og omvendt.

Ekvivalente systemer oppnås spesielt ved elementære transformasjoner av systemet, forutsatt at transformasjonene kun utføres på radene i matrisen.

Et system med lineære ligninger kalles homogent hvis alle frie ledd er lik null:

Et homogent system er alltid konsistent, siden x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 er en løsning på systemet. Denne løsningen kalles null eller triviell.

4.2. Løse systemer av lineære ligninger.

Kronecker-Capelli teorem

La det gis et vilkårlig system med n lineære ligninger med n ukjente

Et omfattende svar på spørsmålet om kompatibiliteten til dette systemet er gitt av Kronecker-Capelli-teoremet.

Teorem 4.1. Et system med lineære algebraiske ligninger er konsistent hvis og bare hvis rangeringen til den utvidede matrisen til systemet er lik rangeringen til hovedmatrisen.

La oss godta det uten bevis.

Reglene for praktisk søk ​​etter alle løsninger til et samtidig system av lineære ligninger følger av følgende teoremer.

Teorem 4.2. Hvis rangeringen til et felles system er lik antall ukjente, har systemet en unik løsning.

Teorem 4.3. Hvis rangeringen til et felles system er mindre enn antallet ukjente, så har systemet et uendelig antall løsninger.

Regel for å løse et vilkårlig system av lineære ligninger

1. Finn rekken av hovedmatrisen og den utvidede matrisen til systemet. Hvis r(A)≠r(A), så er systemet inkonsekvent.

2. Hvis r(A)=r(A)=r, er systemet konsistent. Finn hvilken som helst basis mindre av orden r (påminnelse: en mindreårig hvis rekkefølge bestemmer rangeringen av matrisen kalles basis). Ta r-ligninger, hvis koeffisienter utgjør basis-minor (kast de resterende ligningene). De ukjente hvis koeffisienter er inkludert i basis-moll kalles prinsipal og er igjen til venstre, og de resterende n-r ukjente kalles fri og overføres til høyre side av ligningene.

3. Finn uttrykk for de viktigste ukjente i form av frie. En generell løsning av systemet oppnås.

4. Ved å gi vilkårlige verdier til de frie ukjente, får vi de tilsvarende verdiene til de viktigste ukjente. På denne måten kan man finne delløsninger til det opprinnelige ligningssystemet.

Eksempel 4.1.

4.3 Løsning av ikke-degenererte lineære systemer. Cramers formler

La et system med n lineære ligninger med n ukjente gis

(4.1)

eller i matriseform A*X=B.

Hovedmatrisen A til et slikt system er kvadratisk. Determinanten for denne matrisen

kalles systemets determinant. Hvis determinanten til systemet er forskjellig fra null, kalles systemet ikke-degenerert.

La oss finne en løsning på dette ligningssystemet når det gjelder D¹0

Multipliserer begge sider av ligningen A*X=B til venstre med matrisen A -1, får vi

A -1 *A*X=A -1 *B Siden. A -1 *A=E og E*X=X, så

Å finne en løsning på systemet ved hjelp av formel (4.1) kalles matrisemetoden for å løse systemet.

Vi skriver matriselikhet (4.1) i skjemaet

Det følger at

Men det er en dekomponering av determinanten

etter elementer i den første kolonnen. Determinanten D 1 oppnås fra determinanten D ved å erstatte den første kolonnen med koeffisienter med en kolonne med dummy-ledd. Så,

Like måte:

der D2 er hentet fra D ved å erstatte den andre kolonnen med koeffisienter med en kolonne med dummy-ledd:

kalles Cramers formler.

Så, et ikke-degenerert system med n lineære ligninger med n ukjente har en unik løsning som kan finnes ved matrisemetoden (4.1) eller ved å bruke Cramer-formlene (4.2).

Eksempel 4.3.

4.4 Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden

En av de mest universelle og effektive metodene for å løse lineære algebraiske systemer er Gauss-metoden, som består av sekvensiell eliminering av ukjente.

La et ligningssystem gis

Den Gaussiske løsningsprosessen består av to trinn. I det første trinnet (direkte slag) reduseres systemet til en trinnvis (spesielt trekantet) form.

Systemet nedenfor er i trinnform

Koeffisienter aii kalles hovedelementene i systemet.

På det andre trinnet (omvendt) er det en sekvensiell bestemmelse av de ukjente fra dette trinnvise systemet.

La oss beskrive Gauss-metoden mer detaljert.

La oss transformere systemet (4.3), og eliminere den ukjente x1 i alle ligningene unntatt den første (ved å bruke elementære transformasjoner av systemet). For å gjøre dette, multipliserer vi begge sider av den første ligningen med og legger dem til ledd for ledd med den andre ligningen i systemet. Så multipliserer vi begge sider av den første likningen med og legger dem til den tredje likningen i systemet. Ved å fortsette denne prosessen får vi det tilsvarende systemet

Her er de nye verdiene for koeffisientene og høyresidene, som oppnås etter det første trinnet.

På samme måte, med tanke på hovedelementet, ekskluderer vi den ukjente x 2 fra alle likningene i systemet, bortsett fra den første og andre, og så videre. Vi fortsetter denne prosessen så lenge som mulig.

Hvis det i prosessen med å redusere system (4.3) til en trinnvis form, vises nullligninger, dvs. likheter på formen 0 = 0, blir de forkastet. Hvis en formlikning vises. så indikerer dette inkompatibiliteten til systemet.

Det andre trinnet (omvendt) er å løse trinnsystemet. Et trinnvis likningssystem har generelt sett et uendelig antall løsninger I den siste likningen i dette systemet uttrykker vi den første ukjente x k gjennom de resterende ukjente (x k+ 1,...,x n). Deretter erstatter vi verdien x k inn i systemets nest siste ligning og uttrykker x k-1 til (x k+ 1,...,x n). , finn deretter x k-2 ,…,x 1. . Å gi gratis ukjente (x k+ 1,…,x n). vilkårlige verdier, får vi et uendelig antall løsninger til systemet.

Merknader:

1. Hvis trinnsystemet viser seg å være trekantet, dvs. k=n, så har det opprinnelige systemet en unik løsning. Fra den siste ligningen finner vi x n fra den nest siste ligningen x n-1, for så å gå opp gjennom systemet finner vi alle de andre ukjente (x n-1,...,x 1).

2. I praksis er det mer praktisk å ikke jobbe med systemet (4.3), men med sin utvidede matrise, og utføre alle de elementære transformasjonene på radene. Det er praktisk at koeffisienten a 11 er lik 1 (omorganiser likningene, eller del begge sider av likningen med 11 ¹1).

Eksempel 4.4.

Løsning: Som et resultat av elementære transformasjoner over den utvidede matrisen til systemet

det opprinnelige systemet ble redusert til et trinnvis:

Derfor er den generelle løsningen av systemet: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Hvis vi for eksempel setter x 3 =0,x 4 =0, vil vi finn en av de spesielle løsningene til dette systemet x 1 =-1.x 2 =-3.x 3 =0.x 4 =0.

Eksempel 4.5.

Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning: La oss utføre elementære transformasjoner på linjene i den utvidede matrisen til systemet:

Den resulterende matrisen tilsvarer systemet

Ved å utføre det motsatte trekket finner vi x 3 =1, x 2 =1, x 1 =1.

4.5 Systemer av lineære homogene ligninger

La et system med lineære homogene ligninger gis

Åpenbart er et homogent system alltid konsistent; det har en null (triviell) løsning x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

Under hvilke forhold har et homogent system løsninger som ikke er null?

Teorem 4.4. For at et system med homogene ligninger skal ha løsninger som ikke er null, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen r til hovedmatrisen er mindre enn antallet n av ukjente, dvs. r

Nødvendighet.

Siden rangeringen ikke kan overstige matrisestørrelsen, så er det åpenbart r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Dette betyr at det ikke finnes andre løsninger enn trivielle. Så hvis det er en ikke-triviell løsning, så r

Tilstrekkelighet:

La r

Teorem 4.5. For at et homogent system av n lineære ligninger med n ukjente skal ha ikke-nullløsninger, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant D er lik null, dvs. D=0.

Hvis systemet har løsninger som ikke er null, er D=0. Fordi for D¹0 har systemet bare en unik, null løsning. Hvis D=0, så er rangeringen r til hovedmatrisen til systemet mindre enn antallet ukjente, dvs. r

Eksempel 4.6.

Løs systemet

Setter vi x 3 =0, får vi en spesiell løsning: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Setter vi x 3 =1, får vi den andre spesielle løsningen: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1, etc.

ALGEBRAISKE KOMPLEMENTERINGER OG MINDRE

La oss ha en tredjeordens determinant: .

Liten, tilsvarende dette elementet en ij tredjeordens determinant kalles en andreordens determinant hentet fra en gitt ved å slette raden og kolonnen i skjæringspunktet det gitte elementet står i, dvs. Jeg-te linje og j kolonne. Mindreårige som tilsvarer et gitt element en ij vi vil betegne M ij.

For eksempel, liten M 12, tilsvarende elementet en 12, vil det være en determinant , som oppnås ved å slette 1. rad og 2. kolonne fra denne determinanten.

Således viser formelen som definerer tredjeordens determinanten at denne determinanten er lik summen av produktene til elementene i den første raden med deres tilsvarende minor; i dette tilfellet den mindre som tilsvarer elementet en 12, er tatt med et "–"-tegn, dvs. det kan vi skrive

.

(1)

Tilsvarende kan man introdusere definisjoner av mindreårige for andre-ordens og høyere-ordens determinanter.

La oss introdusere et konsept til.

Algebraisk komplement element en ij determinanten kalles dens minor M ij, multiplisert med (–1) i+j .

Algebraisk komplement til et element en ij betegnet med En ij.

Fra definisjonen får vi at sammenhengen mellom det algebraiske komplementet til et element og dets minor er uttrykt ved likheten En ij= (–1) i+j Mij.

For eksempel,

Eksempel. En determinant er gitt. Finne A 13, A 21, A 32.

Det er lett å se at ved bruk av algebraiske tillegg av elementer, kan formel (1) skrives som:

På samme måte som denne formelen kan du få utvidelsen av determinanten til elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne.

For eksempel kan dekomponeringen av determinanten i elementene i den andre raden oppnås som følger. I henhold til egenskap 2 til determinanten har vi:

La oss utvide den resulterende determinanten til elementene i den første raden.

.

(2)

Herfra fordi andreordens determinanter i formel (2) er mindreårige av elementene en 21, en 22, en 23. Dermed, dvs. vi fikk dekomponeringen av determinanten til elementene i 2. rad.

På samme måte kan vi få utvidelsen av determinanten til elementene i den tredje raden. Ved å bruke egenskap 1 til determinanter (om transposisjon), kan vi vise at lignende utvidelser også er gyldige når man utvider over elementer i kolonner.

Dermed er følgende teorem gyldig.

Teorem (om utvidelsen av en determinant over en gitt rad eller kolonne). Determinanten er lik summen av produktene av elementene i noen av radene (eller kolonnene) og deres algebraiske komplementer.

Alt det ovennevnte gjelder også for determinanter av høyere orden.

Eksempler.

INVERS MATRIKSE

Konseptet med en invers matrise er kun introdusert for kvadratiske matriser.

Hvis EN er en kvadratisk matrise, da omvendt for det er en matrise en matrise, betegnet A-1 og tilfredsstiller betingelsen. (Denne definisjonen er introdusert i analogi med multiplikasjon av tall)