Aritmetisk rot av andre grad

Definisjon 1

Den andre roten (eller kvadratroten) av $a$ ring et tall som blir lik $a$ når det er kvadratisk.

Eksempel 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, som betyr at tallet $7$ er den andre roten av tallet $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, som betyr at tallet $0.9$ er den andre roten av tallet $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, som betyr at tallet $1$ er den andre roten av tallet $1$.

Notat 2

Enkelt sagt, for et hvilket som helst tall $a

$a=b^2$ for negativ $a$ er feil, fordi $a=b^2$ kan ikke være negativ for noen verdi på $b$.

Det kan konkluderes med at for reelle tall kan det ikke være en 2. rot av negativt tall .

Merknad 3

Fordi $0^2=0 \cdot 0=0$, så av definisjonen følger det at null er den andre roten av null.

Definisjon 2

Aritmetisk rot av 2. grad av tallet $a$($a \ge 0$) er et ikke-negativt tall som, når det kvadreres, tilsvarer $a$.

Røtter av 2. grad kalles også kvadratrøtter.

Den aritmetiske roten av 2. grad av tallet $a$ er betegnet som $\sqrt(a)$ eller du kan se notasjonen $\sqrt(a)$. Men oftest er tallet $2$ for kvadratroten roteksponent- ikke spesifisert. Tegnet "$\sqrt( )$" er tegnet på den aritmetiske roten av 2. grad, som også kalles " radikalt tegn" Begrepene "root" og "radikal" er navn på samme objekt.

Hvis det er et tall under det aritmetiske rottegnet, kalles det radikalt tall, og hvis uttrykket, så – radikalt uttrykk.

Oppføringen $\sqrt(8)$ leses som "aritmetisk rot av 2. grad av åtte", og ordet "aritmetisk" brukes ofte ikke.

Definisjon 3

I følge definisjonen aritmetisk rot av 2. grad kan skrives:

For enhver $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Vi viste forskjellen mellom en andrerot og en aritmetisk andrerot. Videre vil vi kun vurdere røtter til ikke-negative tall og uttrykk, dvs. bare aritmetikk.

Aritmetisk rot av tredje grad

Definisjon 4

Aritmetisk rot av 3. grad (eller terningrot) av tallet $a$($a \ge 0$) er et ikke-negativt tall som, når det settes i terninger, blir lik $a$.

Ofte er ordet aritmetikk utelatt og de sier "den tredje roten av tallet $a$".

Den aritmetiske roten av 3. grad av $a$ er betegnet som $\sqrt(a)$, tegnet "$\sqrt( )$" er tegnet til den aritmetiske roten av 3. grad, og tallet $3$ i denne notasjonen kalles rotindeks. Tallet eller uttrykket som vises under rottegnet kalles radikal.

Eksempel 2

$\sqrt(3,5)$ – aritmetisk rot av 3. grad av $3.5$ eller terningrot av $3.5$;

$\sqrt(x+5)$ – aritmetisk rot av 3. grad av $x+5$ eller terningrot av $x+5$.

Aritmetisk n-te rot

Definisjon 5

Aritmetisk rot n. grad fra tallet $a \ge 0$ kalles et ikke-negativt tall som, når det heves til $n$th potens, blir lik $a$.

Notasjon for den aritmetiske roten av grad $n$ av $a \ge 0$:

der $a$ er et radikalt tall eller uttrykk,

Gratulerer: i dag skal vi se på røtter - et av de mest oppsiktsvekkende temaene i 8. klasse. :)

Mange blir forvirret over røtter, ikke fordi de er komplekse (hva er så komplisert med det - et par definisjoner og et par egenskaper til), men fordi i de fleste skolebøkene er røtter definert gjennom en slik jungel at bare forfatterne av lærebøkene selv kan forstå denne skriften. Og selv da bare med en flaske god whisky. :)

Derfor vil jeg nå gi den mest korrekte og mest kompetente definisjonen av en rot - den eneste du virkelig bør huske. Og så skal jeg forklare: hvorfor alt dette er nødvendig og hvordan du bruker det i praksis.

Men husk først en viktig poeng, som mange lærebokkompilatorer av en eller annen grunn "glemmer":

Røtter kan være av jevn grad (vår favoritt $\sqrt(a)$, så vel som alle slags $\sqrt(a)$ og til og med $\sqrt(a)$) og oddetall (alle slags $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, osv.). Og definisjonen av en rot av en odde grad er noe forskjellig fra en partall.

Sannsynligvis er 95% av alle feil og misforståelser knyttet til røtter skjult i dette jævla "noe annerledes". Så la oss rydde opp i terminologien en gang for alle:

Definisjon. Til og med rot n fra tallet er $a$ hvilken som helst ikke-negativ tallet $b$ er slik at $((b)^(n))=a$. Og den odde roten av det samme tallet $a$ er vanligvis et hvilket som helst tall $b$ som samme likhet gjelder: $((b)^(n))=a$.

I alle fall er roten betegnet slik:

\(en)\]

Tallet $n$ i en slik notasjon kalles roteksponenten, og tallet $a$ kalles det radikale uttrykket. Spesielt for $n=2$ får vi vår "favoritt" kvadratrot (forresten, dette er en rot av partall grad), og for $n=3$ får vi en kubikkrot (oddegrad), som er også ofte funnet i problemer og ligninger.

Eksempler. Klassiske eksempler kvadratrøtter:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Forresten, $\sqrt(0)=0$, og $\sqrt(1)=1$. Dette er ganske logisk, siden $((0)^(2))=0$ og $((1)^(2))=1$.

Kuberøtter er også vanlige - du trenger ikke å være redd for dem:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Vel, et par "eksotiske eksempler":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Hvis du ikke forstår hva forskjellen er mellom en partall og en oddetall, kan du lese definisjonen på nytt. Det er veldig viktig!

I mellomtiden skal vi se på en ubehagelig funksjon røtter, og det er derfor vi trengte å introdusere en egen definisjon for partall og oddetallseksponent.

Hvorfor trengs røtter i det hele tatt?

Etter å ha lest definisjonen vil mange elever spørre: "Hva røykte matematikerne da de kom på dette?" Og egentlig: hvorfor trengs alle disse røttene i det hele tatt?

For å svare på dette spørsmålet, la oss gå tilbake et øyeblikk til primærklasser. Husk: i de fjerne tider Når trærne var grønnere og dumplings smakfullere, var vårt hovedanliggende å multiplisere tallene riktig. Vel, noe sånt som "fem ganger fem - tjuefem", det er alt. Men du kan multiplisere tall ikke i par, men i trillinger, firedobler og generelt hele sett:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Dette er imidlertid ikke poenget. Trikset er annerledes: matematikere er late mennesker, så de hadde vanskelig for å skrive ned multiplikasjonen av ti femmere slik:

Derfor kom de med grader. Hvorfor ikke skrive antall faktorer som et hevet skrift i stedet for en lang streng? Noe sånt som dette:

Det er veldig praktisk! Alle beregninger reduseres betraktelig, og du trenger ikke kaste bort en haug med pergamentark og notatbøker for å skrive ned 5183. Denne posten ble kalt en kraft av et tall; en haug med eiendommer ble funnet i den, men lykken viste seg å være kortvarig.

Etter en storslått drikkefest, som ble arrangert kun for «oppdagelsen» av grader, spurte plutselig en spesielt sta matematiker: «Hva om vi vet graden av et tall, men tallet i seg selv er ukjent?» Nå, faktisk, hvis vi vet at et visst tall $b$, si, til 5. potens gir 243, hvordan kan vi da gjette hva tallet $b$ i seg selv er lik?

Dette problemet viste seg å være mye mer globalt enn det kan virke ved første øyekast. Fordi det viste seg at for de fleste "ferdige" makter er det ingen slike "initielle" tall. Døm selv:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Høyrepil b=3\cdot 3\cdot 3\Høyrepil b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Høyrepil b=4\cdot 4\cdot 4\Høyrepil b=4. \\ \end(align)\]

Hva om $((b)^(3))=50$? Det viser seg at vi må finne et visst tall som, når det multipliseres med seg selv tre ganger, vil gi oss 50. Men hva er dette tallet? Det er klart større enn 3, siden 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Det vil si dette tallet ligger et sted mellom tre og fire, men du vil ikke forstå hva det er lik.

Det er nettopp derfor matematikere kom opp med $n$th røtter. Det er nettopp derfor det radikale symbolet $\sqrt(*)$ ble introdusert. For å betegne selve tallet $b$, som i den angitte grad vil gi oss en tidligere kjent verdi

\[\sqrt[n](a)=b\Høyrepil ((b)^(n))=a\]

Jeg argumenterer ikke: ofte er disse røttene lett å beregne - vi så flere slike eksempler ovenfor. Men likevel, i de fleste tilfeller, hvis du ønsker det vilkårlig nummer, og deretter prøve å trekke ut roten til en vilkårlig grad fra det, vil du få en forferdelig nedtur.

Hva er der! Selv den enkleste og mest kjente $\sqrt(2)$ kan ikke representeres i vår vanlige form - som et heltall eller en brøk. Og hvis du legger inn dette tallet i en kalkulator, vil du se dette:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Som du kan se, er det etter desimaltegnet en endeløs sekvens av tall som ikke følger noen logikk. Du kan selvfølgelig runde av dette tallet for raskt å sammenligne med andre tall. For eksempel:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ca. 1,4 \lt 1,5\]

Eller her er et annet eksempel:

\[\sqrt(3)=1,73205...\ca. 1,7 \gt 1,5\]

Men alle disse avrundingene er for det første ganske grove; og for det andre må du også kunne jobbe med omtrentlige verdier, ellers kan du fange opp en haug med uopplagte feil (forresten ferdighetene med å sammenligne og avrunde inn påbudt, bindende sjekket på profilen Unified State Examination).

Derfor, i seriøs matematikk kan du ikke klare deg uten røtter - de er de samme like representanter for settet av alle reelle tall $\mathbb(R)$, akkurat som brøkene og heltallene som lenge har vært kjent for oss.

Manglende evne til å representere en rot som en brøkdel av formen $\frac(p)(q)$ betyr at denne roten ikke er et rasjonelt tall. Slike tall kalles irrasjonelle, og de kan ikke representeres nøyaktig unntatt ved hjelp av en radikal eller andre konstruksjoner spesielt designet for dette (logaritmer, potenser, grenser, etc.). Men mer om det en annen gang.

La oss vurdere flere eksempler der irrasjonelle tall etter alle beregningene fortsatt vil forbli i svaret.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ca. 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ca -1,2599... \\ \end(align)\]

Naturligvis ifølge utseende rot er det nesten umulig å gjette hvilke tall som kommer etter desimaltegn. Du kan imidlertid regne med en kalkulator, men selv den mest avanserte datokalkulatoren gir oss bare de første par sifrene i et irrasjonelt tall. Derfor er det mye mer riktig å skrive svarene på formen $\sqrt(5)$ og $\sqrt(-2)$.

Det er nettopp derfor de ble oppfunnet. For enkelt å registrere svar.

Hvorfor trengs to definisjoner?

Den oppmerksomme leser har nok allerede lagt merke til at alle kvadratrøttene som er gitt i eksemplene er hentet fra positive tall. Vel, i hvert fall fra bunnen av. Men kuberøtter kan rolig trekkes ut fra absolutt et hvilket som helst tall - enten det er positivt eller negativt.

Hvorfor skjer dette? Ta en titt på grafen til funksjonen $y=((x)^(2))$:

Grafen til en kvadratisk funksjon gir to røtter: positiv og negativ

La oss prøve å beregne $\sqrt(4)$ ved å bruke denne grafen. For dette formålet ble grafen tegnet horisontal linje$y=4$ (merket med rødt), som skjærer parablen på to punkter: $((x)_(1))=2$ og $((x)_(2))=-2$. Dette er ganske logisk, siden

Alt er klart med det første tallet - det er positivt, så det er roten:

Men hva skal man gjøre med det andre punktet? Som om fire har to røtter samtidig? Tross alt, hvis vi kvadrerer tallet −2, får vi også 4. Hvorfor ikke skrive $\sqrt(4)=-2$ da? Og hvorfor ser lærere på slike innlegg som om de vil spise deg? :)

Det er problemet, hvis du ikke bruker noen tilleggsbetingelser, da vil firedobbelt ha to kvadratrøtter - positive og negative. Og ethvert positivt tall vil også ha to av dem. Men negative tall vil ikke ha noen røtter i det hele tatt - dette kan sees fra samme graf, siden parablen aldri faller under aksen y, dvs. godtar ikke negative verdier.

Et lignende problem oppstår for alle røtter med en jevn eksponent:

1. Strengt tatt vil hvert positivt tall ha to røtter med jevn eksponent $n$;
2. Fra negative tall trekkes ikke roten med jevn $n$ ut i det hele tatt.

Derfor er det i definisjonen av en rot av en jevn grad $n$ spesifikt fastsatt at svaret må være et ikke-negativt tall. Slik blir vi kvitt tvetydighet.

Men for odde $n$ er det ikke noe slikt problem. For å se dette, la oss se på grafen til funksjonen $y=((x)^(3))$:

En terningparabel kan ta hvilken som helst verdi, så terningroten kan tas fra et hvilket som helst tall

To konklusjoner kan trekkes fra denne grafen:

1. Grenene til en kubisk parabel, i motsetning til en vanlig, går til uendelig i begge retninger - både opp og ned. Derfor, uansett hvilken høyde vi tegner en horisontal linje, vil denne linjen sikkert krysse grafen vår. Følgelig kan kuberoten alltid trekkes ut fra absolutt et hvilket som helst tall;
2. I tillegg vil et slikt kryss alltid være unikt, så du trenger ikke tenke på hvilket tall som anses som den "riktige" roten og hvilken du skal ignorere. Det er derfor det er enklere å bestemme røtter for en oddetallsgrad enn for en jevn grad (det er ingen krav til ikke-negativitet).

Det er synd at disse enkle tingene ikke er forklart i de fleste lærebøker. I stedet begynner hjernen vår å sveve med alle slags aritmetiske røtter og deres egenskaper.

Ja, jeg argumenterer ikke: du må også vite hva en aritmetisk rot er. Og jeg vil snakke om dette i detalj i en egen leksjon. I dag skal vi også snakke om det, for uten det ville alle tanker om røtter til $n$-th multiplisitet vært ufullstendige.

Men først må du tydelig forstå definisjonen som jeg ga ovenfor. Ellers, på grunn av overfloden av begreper, vil et slikt rot begynne i hodet ditt at du til slutt ikke forstår noe i det hele tatt.

Alt du trenger å gjøre er å forstå forskjellen mellom partall og oddetall. Derfor, la oss igjen samle alt du virkelig trenger å vite om røtter:

1. En rot av en partallsgrad eksisterer bare fra et ikke-negativt tall og er i seg selv alltid et ikke-negativt tall. For negative tall er en slik rot udefinert.
2. Men roten til en oddetall eksisterer fra et hvilket som helst tall og kan selv være et hvilket som helst tall: for positive tall er det positivt, og for negative tall, som capsen antyder, er det negativt.

Det er vanskelig? Nei, det er ikke vanskelig. Det er klart? Ja, det er helt åpenbart! Så nå skal vi øve litt på regnestykkene.

Grunnleggende egenskaper og begrensninger

Røtter har mange merkelige egenskaper og begrensninger - dette vil bli diskutert i en egen leksjon. Derfor vil vi nå bare vurdere det viktigste "trikset", som bare gjelder røtter med en jevn indeks. La oss skrive denne egenskapen som en formel:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\venstre| x\right|\]

Med andre ord, hvis vi hever et tall til en partall og deretter trekker ut roten av samme potens, vil vi ikke få det opprinnelige tallet, men dets modul. Dette er et enkelt teorem som lett kan bevises (det er nok å vurdere ikke-negative $x$ separat, og deretter negative separat). Lærere snakker hele tiden om det, det er gitt i hver skolebok. Men så snart det gjelder å løse irrasjonelle ligninger (dvs. ligninger som inneholder et radikalt tegn), glemmer elevene enstemmig denne formelen.

For å forstå problemet i detalj, la oss glemme alle formlene i et minutt og prøve å beregne to tall rett frem:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\venstre(-3 \høyre))^(4)))=?\]

Dette er veldig enkle eksempler. De fleste vil løse det første eksemplet, men mange sitter fast i det andre. For å løse noe slikt dritt uten problemer, vurder alltid prosedyren:

1. Først heves tallet til fjerde potens. Vel, det er ganske enkelt. Du vil få et nytt tall som kan finnes selv i multiplikasjonstabellen;
2. Og nå fra dette nye tallet er det nødvendig å trekke ut den fjerde roten. De. ingen "reduksjon" av røtter og krefter skjer - dette er sekvensielle handlinger.

La oss se på det første uttrykket: $\sqrt(((3)^(4)))$. Selvfølgelig må du først beregne uttrykket under roten:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Så trekker vi ut den fjerde roten av tallet 81:

La oss nå gjøre det samme med det andre uttrykket. Først hever vi tallet −3 til fjerde potens, som krever å multiplisere det med seg selv 4 ganger:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\venstre(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ venstre(-3 \høyre)=81\]

Fikk positivt tall, siden det totale antallet minuser i produktet er 4, og de vil alle oppheve hverandre (tross alt, et minus for et minus gir et pluss). Så trekker vi ut roten igjen:

I prinsippet kunne ikke denne linjen ha blitt skrevet, siden det er uten tvil at svaret ville være det samme. De. jevn rot fra samme jevne grad "brenner" minusene, og i denne forstand kan resultatet ikke skilles fra en vanlig modul:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\venstre| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\venstre(-3 \høyre))^(4)))=\venstre| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Disse beregningene stemmer godt overens med definisjonen av en rot av en jevn grad: Resultatet er alltid ikke-negativt, og det radikale tegnet inneholder også alltid et ikke-negativt tall. Ellers er roten udefinert.

Merknad om prosedyre

1. Notasjonen $\sqrt(((a)^(2)))$ betyr at vi først kvadrerer tallet $a$ og deretter tar kvadratroten av den resulterende verdien. Derfor kan vi være sikre på at det alltid er et ikke-negativt tall under rottegnet, siden $((a)^(2))\ge 0$ i alle fall;
2. Men notasjonen $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ betyr tvert imot at vi først tar roten av et visst tall $a$ og først deretter kvadrerer resultatet. Derfor kan tallet $a$ ikke i noe tilfelle være negativt - dette er et obligatorisk krav inkludert i definisjonen.

Dermed bør man ikke i noe tilfelle tankeløst redusere røtter og grader, og dermed angivelig "forenkle" det opprinnelige uttrykket. For hvis roten har et negativt tall og eksponenten er partall, får vi en haug med problemer.

Alle disse problemene er imidlertid bare relevante for jevne indikatorer.

Fjerne minustegnet fra under rottegnet

Naturligvis har røtter med odde eksponenter også sitt eget trekk, som i prinsippet ikke eksisterer med partall. Nemlig:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kort sagt, du kan fjerne minus fra under tegnet av røtter med odde grader. Dette er veldig nyttig eiendom, som lar deg "kaste ut" alle negativene:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Denne enkle egenskapen forenkler mange beregninger. Nå trenger du ikke bekymre deg: hva om et negativt uttrykk var skjult under roten, men graden ved roten viste seg å være jevn? Det er nok bare å "kaste ut" alle minusene utenfor røttene, hvoretter de kan multipliseres med hverandre, deles og generelt gjøre mange mistenkelige ting, som i tilfelle av "klassiske" røtter garantert vil føre oss til en feil.

Og her kommer en annen definisjon på banen - den samme som de på de fleste skoler begynner studiet av irrasjonelle uttrykk med. Og uten hvilken vår resonnement ville være ufullstendig. Møte!

Aritmetisk rot

La oss anta et øyeblikk at under rottegnet kan det bare være positive tall eller, i ekstreme tilfeller, null. La oss glemme partall/odde-indikatorer, la oss glemme alle definisjonene gitt ovenfor - vi vil bare jobbe med ikke-negative tall. Hva da?

Og så vil vi få en aritmetisk rot - den overlapper delvis med våre "standard" definisjoner, men skiller seg fortsatt fra dem.

Definisjon. En aritmetisk rot av $n$th grad av et ikke-negativt tall $a$ er et ikke-negativt tall $b$ slik at $((b)^(n))=a$.

Som vi kan se, er vi ikke lenger interessert i paritet. I stedet dukket det opp en ny begrensning: det radikale uttrykket er nå alltid ikke-negativt, og selve roten er også ikke-negativt.

For bedre å forstå hvordan den aritmetiske roten skiller seg fra den vanlige, ta en titt på grafene til kvadratet og kubikkparablen vi allerede er kjent med:

Aritmetisk rotsøkeområde - ikke-negative tall

Som du kan se, er vi fra nå av bare interessert i de grafene som er plassert i det første koordinatkvartalet - hvor koordinatene $x$ og $y$ er positive (eller i det minste null). Du trenger ikke lenger å se på indikatoren for å forstå om vi har rett til å sette et negativt tall under roten eller ikke. Fordi negative tall ikke lenger vurderes i prinsippet.

Du kan spørre: "Vel, hvorfor trenger vi en slik kastrert definisjon?" Eller: "Hvorfor kan vi ikke klare oss med standarddefinisjonen gitt ovenfor?"

Vel, jeg vil gi bare én egenskap på grunn av hvilken den nye definisjonen blir passende. For eksempel, regelen for eksponentiering:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Vær oppmerksom på: vi kan heve det radikale uttrykket til hvilken som helst potens og samtidig multiplisere roteksponenten med samme potens - og resultatet blir det samme tallet! Her er eksempler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Så hva er big deal? Hvorfor kunne vi ikke gjøre dette tidligere? Her er hvorfor. La oss vurdere et enkelt uttrykk: $\sqrt(-2)$ - dette tallet er ganske normalt i vår klassiske forståelse, men absolutt uakseptabelt fra synspunktet til den aritmetiske roten. La oss prøve å konvertere det:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\venstre(-2 \høyre))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Som du kan se, fjernet vi i det første tilfellet minus fra under radikalen (vi har all rett, fordi indikatoren er merkelig), og i den andre brukte vi formelen ovenfor. De. Fra et matematisk synspunkt er alt gjort etter reglene.

WTF?! Hvordan kan samme tall være både positivt og negativt? Aldri. Det er bare at formelen for eksponentiering, som fungerer utmerket for positive tall og null, begynner å produsere fullstendig kjetteri i tilfelle av negative tall.

Det var for å bli kvitt en slik tvetydighet at aritmetiske røtter ble oppfunnet. En egen stor leksjon er viet til dem, der vi vurderer alle egenskapene deres i detalj. Så vi vil ikke dvele ved dem nå - leksjonen har allerede vist seg å være for lang.

Algebraisk rot: for de som vil vite mer

Jeg tenkte lenge på om jeg skulle legge dette emnet i et eget avsnitt eller ikke. Til slutt bestemte jeg meg for å la det være her. Dette materialet er ment for de som ønsker å forstå røttene enda bedre - ikke lenger på gjennomsnittlig "skole"-nivå, men på et nær olympiadenivå.

Så: i tillegg til den "klassiske" definisjonen av $n$th roten av et tall og den tilhørende inndelingen i partalls- og oddetallseksponenter, er det en mer "voksen" definisjon som slett ikke er avhengig av paritet og andre finesser. Dette kalles en algebraisk rot.

Definisjon. Den algebraiske $n$th roten av enhver $a$ er settet av alle tall $b$ slik at $((b)^(n))=a$. Det er ingen etablert betegnelse for slike røtter, så vi setter bare en strek på toppen:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\venstre\( b\venstre| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \høyre. \høyre\) \]

Den grunnleggende forskjellen fra standarddefinisjonen gitt i begynnelsen av leksjonen er at en algebraisk rot ikke er det spesifikt nummer, men mye. Og siden vi jobber med reelle tall, kommer dette settet i bare tre typer:

1. Tomt sett. Oppstår når du trenger å finne en algebraisk rot av en partall grad fra et negativt tall;
2. Et sett bestående av ett enkelt element. Alle røtter av odde potenser, så vel som røtter av partall potenser på null, faller inn i denne kategorien;
3. Til slutt kan settet inneholde to tall - de samme $((x)_(1))$ og $((x)_(2))=-((x)_(1))$ som vi så på grafisk kvadratisk funksjon. Følgelig er et slikt arrangement bare mulig når man trekker ut roten til en jevn grad fra et positivt tall.

Den siste saken fortjener mer detaljert behandling. La oss telle et par eksempler for å forstå forskjellen.

Eksempel. Vurder uttrykkene:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Løsning. Det første uttrykket er enkelt:

\[\overline(\sqrt(4))=\venstre\( 2;-2 \høyre\)\]

Det er to tall som er en del av settet. Fordi hver av dem i annen gir en firer.

\[\overline(\sqrt(-27))=\venstre\( -3 \høyre\)\]

Her ser vi et sett bestående av kun ett tall. Dette er ganske logisk, siden roteksponenten er merkelig.

Til slutt, det siste uttrykket:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Vi mottok et tomt sett. Fordi det er ikke et eneste reelt tall som, når det heves til fjerde (dvs. partall!) potens, vil gi oss det negative tallet -16.

Siste notat. Merk: Det var ikke tilfeldig at jeg noterte overalt at vi jobber med reelle tall. For det er mer komplekse tall— det er fullt mulig å beregne $\sqrt(-16)$ og mange andre rare ting der.

Imidlertid vises komplekse tall nesten aldri i moderne skolematematikkkurs. De har blitt fjernet fra de fleste lærebøker fordi våre tjenestemenn anser emnet som "for vanskelig å forstå."

Det er på tide å ordne opp metoder for utvinning av rot. De er basert på egenskapene til røttene, spesielt på likheten, som er sant for ethvert ikke-negativt tall b.

Nedenfor vil vi se på hovedmetodene for å trekke ut røtter en etter en.

La oss starte med det enkleste tilfellet - trekke ut røtter fra naturlige tall ved å bruke en tabell med kvadrater, en tabell med terninger, etc.

Hvis tabeller med firkanter, terninger osv. Hvis du ikke har det for hånden, er det logisk å bruke metoden for å trekke ut roten, som innebærer å dekomponere det radikale tallet til primfaktorer.

Det er verdt spesielt å nevne hva som er mulig for røtter med odde eksponenter.

Til slutt, la oss vurdere en metode som lar oss sekvensielt finne sifrene til rotverdien.

La oss komme i gang.

Ved å bruke en tabell med firkanter, en tabell med kuber, etc.

I det meste enkle saker tabeller med firkanter, terninger osv. lar deg trekke ut røtter. Hva er disse tabellene?

Tabellen med kvadrater av heltall fra 0 til og med 99 (vist nedenfor) består av to soner. Den første sonen av bordet er plassert på en grå bakgrunn; ved å bruke utvalget spesifikk streng og en spesifikk kolonne lar deg komponere et tall fra 0 til 99. La oss for eksempel velge en rad med 8 tiere og en kolonne med 3 enheter, med dette fikset vi tallet 83. Den andre sonen opptar resten av tabellen. Hver celle er plassert i skjæringspunktet mellom en bestemt rad og en bestemt kolonne, og inneholder kvadratet til det tilsvarende tallet fra 0 til 99. I skjæringspunktet mellom vår valgte rad med 8 tiere og kolonne 3 med ener er det en celle med tallet 6 889, som er kvadratet av tallet 83.

Tabeller med terninger, tabeller med fjerde potenser av tall fra 0 til 99, og så videre ligner på tabellen med kvadrater, bare de inneholder terninger, fjerde potenser osv. i den andre sonen. tilsvarende tall.

Tabeller med kvadrater, terninger, fjerde potenser, etc. lar deg trekke ut kvadratrøtter, terningerøtter, fjerderøtter osv. tilsvarende fra tallene i disse tabellene. La oss forklare prinsippet for deres bruk når du trekker ut røtter.

La oss si at vi må trekke ut den n-te roten av tallet a, mens tallet a finnes i tabellen over n-te potenser. Ved å bruke denne tabellen finner vi tallet b slik at a=b n. Deretter , derfor vil tallet b være den ønskede roten av den n-te graden.

Som et eksempel, la oss vise hvordan du bruker en kubetabell for å trekke ut kuberoten til 19 683. Vi finner tallet 19 683 i terningtabellen, fra det finner vi at dette tallet er terningen til tallet 27, derfor, .

Det er tydelig at tabeller med n-te potenser er veldig praktiske for å trekke ut røtter. Imidlertid er de ofte ikke for hånden, og kompilering av dem krever litt tid. Dessuten er det ofte nødvendig å trekke ut røtter fra tall som ikke finnes i de tilsvarende tabellene. I disse tilfellene må du ty til andre metoder for rotutvinning.

Faktorerer et radikalt tall i primfaktorer

Nok på en praktisk måte, som gjør det mulig å trekke ut en rot fra et naturlig tall (hvis roten selvfølgelig trekkes ut), er dekomponeringen av radikaltallet til primfaktorer. Hans poenget er dette: etter det er det ganske enkelt å representere det som en potens med ønsket eksponent, som lar deg få verdien av roten. La oss avklare dette punktet.

La den n-te roten av et naturlig tall a tas og verdien lik b. I dette tilfellet er likheten a=b n sann. Tallet b, som ethvert naturlig tall, kan representeres som produktet av alle dets primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , og radikaltallet a i dette tilfellet er representert som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Siden dekomponeringen av et tall til primfaktorer er unik, vil dekomponeringen av radikaltallet a til primfaktorer ha formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, som gjør det mulig å beregne verdien av roten som.

Legg merke til at hvis dekomponeringen til primfaktorer av et radikalt tall a ikke kan representeres på formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så er ikke den n-te roten av et slikt tall a fullstendig ekstrahert.

La oss finne ut av dette når vi løser eksempler.

Eksempel.

Ta kvadratroten av 144.

Løsning.

Hvis du ser på tabellen med kvadrater gitt i forrige avsnitt, kan du tydelig se at 144 = 12 2, hvorfra det er klart at kvadratroten av 144 er lik 12.

Men i lyset av denne paragrafen vi er interessert i hvordan roten trekkes ut ved å faktorisere radikaltallet 144 inn i primfaktorer. La oss se på denne løsningen.

La oss dekomponere 144 til primfaktorer:

Det vil si 144=2·2·2·2·3·3. Basert på den resulterende dekomponeringen, kan følgende transformasjoner utføres: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Derfor, .

Ved å bruke gradens egenskaper og røttenes egenskaper kunne løsningen formulert seg litt annerledes: .

Svar:

For å konsolidere materialet, vurder løsningene til ytterligere to eksempler.

Eksempel.

Beregn verdien av roten.

Løsning.

Primfaktoriseringen av radikaltallet 243 har formen 243=3 5 . Dermed, .

Svar:

Eksempel.

Er rotverdien et heltall?

Løsning.

For å svare på dette spørsmålet, la oss faktorere det radikale tallet inn i primfaktorer og se om det kan representeres som en kube av et heltall.

Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterende utvidelsen kan ikke representeres som en kube av et heltall, siden potensen til primfaktoren 7 ikke er et multiplum av tre. Derfor kan ikke kuberoten til 285 768 trekkes ut fullstendig.

Svar:

Nei.

Trekke ut røtter fra brøktall

Det er på tide å finne ut hvordan du kan trekke ut roten fra brøktall. La brøkradikaltallet skrives som p/q. I henhold til egenskapen til roten til en kvotient, er følgende likhet sann. Av denne likestillingen følger det regel for å trekke ut roten til en brøk: Roten av en brøk er lik kvotienten til roten av telleren delt på roten av nevneren.

La oss se på et eksempel på å trekke ut en rot fra en brøk.

Eksempel.

Hva er kvadratroten av fellesbrøken 25/169?

Løsning.

Ved å bruke kvadrattabellen finner vi at kvadratroten av telleren til den opprinnelige brøken er lik 5, og kvadratroten av nevneren er lik 13. Deretter . Dette fullfører utvinningen av roten til fellesfraksjonen 25/169.

Svar:

Roten til en desimalbrøk eller et blandet tall trekkes ut etter å ha erstattet de radikale tallene med vanlige brøker.

Eksempel.

Ta terningsroten av desimalbrøken 474.552.

Løsning.

La oss forestille oss den opprinnelige desimalbrøken som en vanlig brøk: 474.552=474552/1000. Deretter . Det gjenstår å trekke ut kuberøttene som er i telleren og nevneren til den resulterende brøken. Fordi 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 og 1 000 = 10 3, så Og . Det gjenstår bare å fullføre beregningene .

Svar:

.

Å ta roten av et negativt tall

Det er verdt å dvele ved å trekke ut røtter fra negative tall. Når vi studerte røtter, sa vi at når roteksponenten er et oddetall, kan det være et negativt tall under rottegnet. Vi ga disse oppføringene følgende betydning: for et negativt tall −a og en oddetallseksponent av roten 2 n−1, . Denne likheten gir roteregel merkelig grad fra negative tall: for å trekke ut roten av et negativt tall, må du ta roten av det motsatte positive tallet, og sette et minustegn foran resultatet.

La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Finn verdien av roten.

Løsning.

La oss transformere det opprinnelige uttrykket slik at det er et positivt tall under rottegnet: . Erstatt nå det blandede tallet med en vanlig brøk: . Vi bruker regelen for å trekke ut roten til en vanlig brøk: . Det gjenstår å beregne røttene i telleren og nevneren til den resulterende brøken: .

Her er en kort oppsummering av løsningen: .

Svar:

.

Bitvis bestemmelse av rotverdien

I det generelle tilfellet, under roten er det et tall som, ved å bruke teknikkene diskutert ovenfor, ikke kan representeres som den n-te potensen av noe tall. Men i dette tilfellet er det behov for å vite betydningen av en gitt rot, i det minste opp til et visst tegn. I dette tilfellet, for å trekke ut roten, kan du bruke en algoritme som lar deg sekvensielt få et tilstrekkelig antall sifferverdier av ønsket nummer.

På første trinn av denne algoritmen du må finne ut hva den viktigste delen av rotverdien er. For å gjøre dette, heves tallene 0, 10, 100, ... sekvensielt til potensen n inntil det øyeblikket når et tall overskrider det radikale tallet oppnås. Da vil tallet som vi hevet til potensen n på forrige trinn indikere det tilsvarende mest signifikante sifferet.

Tenk for eksempel på dette trinnet i algoritmen når du trekker ut kvadratroten av fem. Ta tallene 0, 10, 100, ... og kvadrat dem til vi får et tall større enn 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, som betyr at det mest signifikante sifferet vil være en-sifferet. Verdien av denne biten, så vel som de lavere, vil bli funnet i de neste trinnene i rotekstraksjonsalgoritmen.

Alle påfølgende trinn i algoritmen er rettet mot å sekvensielt avklare verdien av roten ved å finne verdiene til de neste bitene av ønsket verdi av roten, starter med den høyeste og flytter til de laveste. For eksempel viser verdien av roten ved det første trinnet å være 2, ved det andre – 2,2, ved det tredje – 2,23, og så videre 2,236067977…. La oss beskrive hvordan verdiene til sifrene finnes.

Sifrene blir funnet ved å søke gjennom deres mulige verdier 0, 1, 2, ..., 9. I dette tilfellet beregnes de n-te potensene til de tilsvarende tallene parallelt, og de sammenlignes med radikaltallet. Hvis verdien av graden på et tidspunkt overstiger det radikale tallet, anses verdien til sifferet som tilsvarer den forrige verdien som funnet, og overgangen til neste trinn i rotekstraksjonsalgoritmen gjøres; hvis dette ikke skjer, da er verdien av dette sifferet 9.

La oss forklare disse punktene ved å bruke samme eksempel på å trekke ut kvadratroten av fem.

Først finner vi verdien av enhetssifferet. Vi vil gå gjennom verdiene 0, 1, 2, ..., 9, og beregne henholdsvis 0 2, 1 2, ..., 9 2, til vi får en verdi større enn radikaltallet 5. Det er praktisk å presentere alle disse beregningene i form av en tabell:

Så verdien av enhetssifferet er 2 (siden 2 2<5 , а 2 3 >5). La oss gå videre til å finne verdien av tiendedelsplassen. I dette tilfellet kvadrerer vi tallene 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, og sammenligner de resulterende verdiene med det radikale tallet 5:

Siden 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, så er verdien av tiendedelsplassen 2. Du kan fortsette med å finne verdien av hundredeler:

Slik ble den neste verdien av roten av fem funnet, den er lik 2,23. Og slik kan du fortsette å finne verdier: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

For å konsolidere materialet, vil vi analysere utvinningen av roten med en nøyaktighet på hundredeler ved å bruke den betraktede algoritmen.

Først bestemmer vi det mest signifikante sifferet. For å gjøre dette kuber vi tallene 0, 10, 100 osv. til vi får et tall større enn 2 151 186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , så det mest signifikante sifferet er tiersifferet.

La oss bestemme verdien.

Siden 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, så er verdien av tierplassen 1. La oss gå videre til enheter.

Dermed er verdien av en-sifferet 2. La oss gå videre til tideler.

Siden selv 12,9 3 er mindre enn det radikale tallet 2 151,186, er verdien av tiendedelsplassen 9. Det gjenstår å utføre det siste trinnet i algoritmen; det vil gi oss verdien av roten med den nødvendige nøyaktigheten.

På dette stadiet er verdien av roten funnet nøyaktig til hundredeler: .

Avslutningsvis av denne artikkelen vil jeg si at det er mange andre måter å trekke ut røtter på. Men for de fleste oppgavene er de vi studerte ovenfor tilstrekkelige.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

La oss løse et enkelt problem med å finne siden av et kvadrat med arealet på 9 cm 2. Hvis vi antar at siden av firkanten EN cm, så komponerer vi ligningen i henhold til betingelsene for problemet:

EN X A = 9

A 2 = 9

A2-9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 eller A=-3

Lengden på en side av en firkant kan ikke være et negativt tall, så den nødvendige siden av firkanten er 3 cm.

Når vi løste ligningen fant vi tallene 3 og -3, hvor kvadratene er 9. Hvert av disse tallene kalles kvadratroten av tallet 9. Det ikke-negative av disse røttene, det vil si tallet 3, kalles den aritmetiske roten av tallet.

Det er ganske logisk å akseptere det faktum at roten kan finnes fra tall til tredje potens (terningrot), fjerde potens, og så videre. Og i prinsippet er roten den inverse operasjonen av eksponentiering.

Rotn grad fra nummeret α er et slikt tall b, Hvor b n = α .

Her n- et naturlig tall kalles vanligvis rotindeks(eller grad av rot); som regel er det større enn eller lik 2, fordi tilfellet n = 1 rar.

Utpekt på bokstaven som et symbol (rottegn) på høyre side kalles radikal. Antall α - radikalt uttrykk. For vårt eksempel med en part kan løsningen se slik ut: fordi (± 3) 2 = 9 .

Vi fikk de positive og negative verdiene til roten. Denne funksjonen kompliserer beregninger. For å oppnå entydighet ble konseptet introdusert aritmetisk rot, hvis verdi alltid er med et plusstegn, det vil si bare positivt.

Rot kalt aritmetikk, hvis det er hentet fra et positivt tall og i seg selv er et positivt tall.

For eksempel,

Det er bare én aritmetisk rot av en gitt grad fra et gitt tall.

Beregningsoperasjonen kalles vanligvis " rotutvinning n grad" blant α . I hovedsak utfører vi operasjonen omvendt til å heve til en potens, nemlig å finne bunnen av kraften b i henhold til en kjent indikator n og resultatet av å heve til en makt

α = milliarder.

Røttene til andre og tredje grad brukes i praksis oftere enn andre og derfor ble de gitt spesielle navn.

Kvadratrot: I dette tilfellet er det vanlig å ikke skrive eksponent 2, og begrepet "rot" uten å angi eksponent betyr oftest kvadratroten. Geometrisk tolket er lengden på siden av en firkant hvis areal er lik α .

Terningrot: Geometrisk tolket, lengden på en kant av en terning hvis volum er lik α .

Egenskaper til aritmetiske røtter.

1) Ved beregning aritmetisk rot av produktet, er det nødvendig å trekke det ut fra hver faktor separat

For eksempel,

2) For beregning roten av en brøkdel, er det nødvendig å trekke det ut fra telleren og nevneren til denne brøken

For eksempel,

3) Ved beregning roten til graden, må du dele eksponenten med roteksponenten

For eksempel,

De første beregningene knyttet til å trekke ut kvadratroten ble funnet i verkene til matematikere fra det gamle Babylon og Kina, India, Hellas (det er ingen informasjon i kildene om prestasjonene til det gamle Egypt i denne forbindelse).

Matematikere fra det gamle Babylon (2. årtusen f.Kr.) brukte en spesiell numerisk metode for å trekke ut kvadratroten. Den første tilnærmingen for kvadratroten ble funnet basert på det naturlige tallet nærmest roten (i den mindre retningen) n. Presenterer det radikale uttrykket i formen: α=n2+r, vi får: x 0 =n+r/2n, deretter ble en iterativ foredlingsprosess brukt:

Iterasjonene i denne metoden konvergerer veldig raskt. For ,

For eksempel, a=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 og vi får en sekvens med tilnærminger:

I den endelige verdien er alle sifrene riktige bortsett fra det siste.

Grekerne formulerte problemet med å doble kuben, som gikk ut på å konstruere kuberoten ved hjelp av kompass og linjal. Reglene for å beregne en hvilken som helst grad av et heltall har blitt studert av matematikere i India og de arabiske statene. Så ble de mye utviklet i middelalderens Europa.

I dag, for å gjøre det enklere å beregne kvadrat- og terningsrøtter, er kalkulatorer mye brukt.

Første nivå

Rot og dens egenskaper. Detaljert teori med eksempler (2019)

La oss prøve å finne ut hva dette konseptet med "rot" er og "hva det spises med." For å gjøre dette, la oss se på eksempler som du allerede har møtt i klassen (vel, eller du er i ferd med å møte dette).

For eksempel har vi en ligning. Hva er løsningen på denne ligningen? Hvilke tall kan kvadreres og fås? Når du husker multiplikasjonstabellen, kan du enkelt gi svaret: og (tross alt, når to negative tall multipliseres, oppnås et positivt tall)! For å forenkle introduserte matematikere det spesielle konseptet kvadratroten og tildelte det et spesielt symbol.

La oss definere den aritmetiske kvadratroten.

Hvorfor må tallet være ikke-negativt? For eksempel, hva er det lik? Vel, vel, la oss prøve å velge en. Kanskje tre? La oss sjekke: , ikke. Kan være, ? Igjen sjekker vi: . Vel, passer det ikke? Dette er å forvente - for det er ingen tall som, når de kvadreres, gir et negativt tall!
Dette er hva du må huske: tallet eller uttrykket under rottegnet må være ikke-negativt!

Imidlertid har nok de mest oppmerksomme allerede lagt merke til at definisjonen sier at løsningen til kvadratroten av "et tall kalles dette ikke-negativ tall hvis kvadrat er lik ". Noen av dere vil si at vi helt i begynnelsen analyserte eksemplet, utvalgte tall som kan kvadreres og fås, svaret var og, men her snakker vi om et slags "ikke-negativt tall"! Denne bemerkningen er ganske passende. Her trenger du bare å skille mellom begrepene kvadratiske ligninger og den aritmetiske kvadratroten av et tall. Tilsvarer for eksempel ikke uttrykket.

Det følger at, det vil si eller. (Les emnet "")

Og det følger av det.

Selvfølgelig er dette veldig forvirrende, men det er nødvendig å huske at tegnene er resultatet av å løse ligningen, siden når vi løser ligningen må vi skrive ned alle X-ene, som, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi riktig resultat. Både og passer inn i vår andregradsligning.

Imidlertid, hvis bare ta kvadratroten fra noe, da alltid vi får ett ikke-negativt resultat.

Prøv nå å løse denne ligningen. Alt er ikke så enkelt og glatt lenger, er det vel? Prøv å gå gjennom tallene, kanskje noe ordner seg? La oss starte helt fra begynnelsen - fra scratch: - passer ikke, gå videre - mindre enn tre, også feie til side, hva om. La oss sjekke: - heller ikke egnet, fordi... det er mer enn tre. Det er den samme historien med negative tall. Så hva skal vi gjøre nå? Ga søket oss virkelig ingenting? Ikke i det hele tatt, nå vet vi med sikkerhet at svaret vil være et tall mellom og, samt mellom og. Dessuten vil åpenbart ikke løsningene være heltall. Dessuten er de ikke rasjonelle. Så, hva er neste? La oss tegne funksjonen grafisk og merke løsningene på den.

La oss prøve å jukse systemet og få svaret ved hjelp av en kalkulator! La oss få roten ut av det! Å-å-å, det viser seg det. Dette tallet tar aldri slutt. Hvordan kan du huske dette, siden det ikke vil være en kalkulator på eksamen!? Alt er veldig enkelt, du trenger ikke å huske det, du trenger bare å huske (eller raskt kunne anslå) den omtrentlige verdien. og selve svarene. Slike tall kalles irrasjonelle; det var for å forenkle skrivingen av slike tall at konseptet med en kvadratrot ble introdusert.

La oss se på et annet eksempel for å forsterke dette. La oss se på følgende problem: du må krysse et kvadratisk felt med en side på km diagonalt, hvor mange km må du gå?

Det mest åpenbare her er å vurdere trekanten separat og bruke Pythagoras teorem: . Dermed, . Så hva er den nødvendige avstanden her? Avstanden kan selvsagt ikke være negativ, det skjønner vi. Roten av to er omtrent lik, men, som vi bemerket tidligere, - er allerede et fullstendig svar.

For å løse eksempler med røtter uten å forårsake problemer, må du se og gjenkjenne dem. For å gjøre dette må du minst kjenne kvadratene til tall fra til, og også kunne gjenkjenne dem. For eksempel må du vite hva som er lik en firkant, og også, omvendt, hva som er lik en firkant.

Fant du hva en kvadratrot er? Løs deretter noen eksempler.

Eksempler.

Vel, hvordan gikk det? La oss nå se på disse eksemplene:

Svar:

kubikkrot

Vel, vi ser ut til å ha sortert ut konseptet med en kvadratrot, la oss nå prøve å finne ut hva en terningrot er og hva som er forskjellen deres.

Terningsroten av et tall er tallet hvis terning er lik. Har du lagt merke til at alt er mye enklere her? Det er ingen begrensninger på mulige verdier for både verdien under terningrottegnet og tallet som trekkes ut. Det vil si at kuberoten kan trekkes ut fra et hvilket som helst tall: .

Forstår du hva en terningrot er og hvordan du kan trekke den ut? Så fortsett og løs eksemplene.

Eksempler.

Svar:

Rot - oh grad

Vel, vi har forstått begrepene kvadrat- og terningsrøtter. La oss nå oppsummere kunnskapen oppnådd med konseptet 1. rot.

1. rot av et tall er et tall hvis potens er lik, dvs.

tilsvarende.

Hvis - til og med, Det:

• med negativ, gir uttrykket ikke mening (even-th røtter av negative tall kan ikke fjernes!);
• for ikke-negative() uttrykk har én ikke-negativ rot.

Hvis - er odd, så har uttrykket en unik rot for enhver.

Ikke vær redd, de samme prinsippene gjelder her som med kvadrat- og terningsrøtter. Det vil si at prinsippene vi brukte når vi vurderte kvadratrøtter, utvides til alle røtter av jevn grad.

Og egenskapene som ble brukt for kubikkroten gjelder røtter av ulik grad.

Vel, har det blitt klarere? La oss se på eksempler:

Her er alt mer eller mindre klart: først ser vi - ja, graden er partall, tallet under roten er positivt, noe som betyr at vår oppgave er å finne et tall hvis fjerde potens vil gi oss. Vel, noen gjetninger? Kan være, ? Nøyaktig!

Så graden er lik - oddetall, tallet under roten er negativt. Vår oppgave er å finne et tall som, når det heves til en makt, produserer. Det er ganske vanskelig å umiddelbart legge merke til roten. Du kan imidlertid umiddelbart begrense søket, ikke sant? For det første er det nødvendige tallet definitivt negativt, og for det andre kan man legge merke til at det er oddetall, og derfor er det ønskede tallet oddetall. Prøv å finne roten. Selvfølgelig kan du trygt avvise det. Kan være, ?

Ja, dette var det vi lette etter! Merk at for å forenkle beregningen brukte vi egenskapene til grader: .

Grunnleggende egenskaper til røtter

Det er klart? Hvis ikke, bør alt falle på plass etter å ha sett på eksemplene.

Multiplisere røtter

Hvordan multiplisere røtter? Den enkleste og mest grunnleggende egenskapen hjelper deg med å svare på dette spørsmålet:

La oss starte med noe enkelt:

Er ikke røttene til de resulterende tallene ekstrahert? Ikke noe problem - her er noen eksempler:

Hva om det ikke er to, men flere multiplikatorer? Det samme! Formelen for å multiplisere røtter fungerer med en rekke faktorer:

Hva kan vi gjøre med det? Vel, selvfølgelig, gjem de tre under roten, og husk at de tre er kvadratroten av!

Hvorfor trenger vi dette? Ja, bare for å utvide våre evner når vi løser eksempler:

Hvordan liker du denne egenskapen til røtter? Gjør det livet mye enklere? For meg er det helt riktig! Du må bare huske det Vi kan bare legge inn positive tall under rottegnet for en partall grad.

La oss se hvor ellers dette kan være nyttig. For eksempel krever problemet å sammenligne to tall:

Det mer:

Du kan ikke si det med en gang. Vel, la oss bruke den demonterte egenskapen til å skrive inn et tall under rottegnet? Så fortsett:

Vel, vel vitende om at jo større tall under rottegnet, jo større er selve roten! De. hvis da, . Av dette konkluderer vi bestemt at. Og ingen vil overbevise oss om noe annet!

Før dette la vi inn en multiplikator under tegnet til roten, men hvordan fjerne den? Du trenger bare å ta det inn i faktorer og trekke ut det du trekker ut!

Det var mulig å ta en annen vei og utvide seg til andre faktorer:

Ikke verst, ikke sant? Enhver av disse tilnærmingene er riktige, bestem som du ønsker.

For eksempel, her er et uttrykk:

I dette eksemplet er graden partall, men hva om den er oddetall? Igjen, bruk egenskapene til eksponenter og faktor alt:

Alt virker klart med dette, men hvordan trekke ut roten til et tall til en potens? Her er for eksempel dette:

Ganske enkelt, ikke sant? Hva om graden er større enn to? Vi følger samme logikk ved å bruke egenskapene til grader:

Vel, er alt klart? Så her er et eksempel:

Dette er fallgruvene, om dem alltid verdt å huske. Dette gjenspeiles faktisk i egenskapseksemplene:

for oddetall: for jevn og:

Det er klart? Forsterk med eksempler:

Ja, vi ser at roten er til en partall potens, det negative tallet under roten er også til en partall potens. Vel, fungerer det på samme måte? Her er hva:

Det er alt! Her er noen eksempler:

Har det? Så fortsett og løs eksemplene.

Eksempler.

Svar.

Har du fått svar, så kan du gå videre med ro i sjelen. Hvis ikke, la oss forstå disse eksemplene:

La oss se på to andre egenskaper ved røtter:

Disse egenskapene må analyseres i eksempler. Vel, la oss gjøre dette?

Har det? La oss sikre det.

Eksempler.

Svar.

RØTTER OG DERES EGENSKAPER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Aritmetisk kvadratrot

Ligningen har to løsninger: og. Dette er tall hvis kvadrat er lik.

Tenk på ligningen. La oss løse det grafisk. La oss tegne en graf over funksjonen og en linje på nivået. Skjæringspunktene til disse linjene vil være løsningene. Vi ser at denne ligningen også har to løsninger - en positiv, den andre negativ:

Men i dette tilfellet er ikke løsningene heltall. Dessuten er de ikke rasjonelle. For å skrive ned disse irrasjonelle avgjørelsene, introduserer vi et spesielt kvadratrotsymbol.

Aritmetisk kvadratrot er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik. Når uttrykket ikke er definert, fordi Det er ikke noe tall hvis kvadrat er lik et negativt tall.

Kvadratrot: .

For eksempel, . Og det følger at eller.

La meg trekke oppmerksomheten din igjen, dette er veldig viktig: Kvadratroten er alltid et ikke-negativt tall: !

kubikkrot av et tall er et tall hvis terning er lik. Terningsroten er definert for alle. Det kan trekkes ut fra et hvilket som helst tall: . Som du kan se, kan den også ta negative verdier.

Den th roten av et tall er et tall hvis th potens er lik, dvs.

Hvis det er jevnt, så:

• hvis, så er den th roten av a ikke definert.
• hvis, så kalles den ikke-negative roten av ligningen den aritmetiske roten av th grad av og betegnes.

Hvis - er oddetall, så har ligningen en unik rot for enhver.

Har du lagt merke til at til venstre over tegnet til roten skriver vi graden? Men ikke for kvadratroten! Hvis du ser en rot uten grad, betyr det at den er kvadratisk (grader).

Eksempler.

Grunnleggende egenskaper til røtter

RØTTER OG DERES EGENSKAPER. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Kvadratrot (aritmetisk kvadratrot) fra et ikke-negativt tall kalles dette ikke-negativt tall hvis kvadrat er

Egenskaper til røtter: