| Informatikk og informasjons- og kommunikasjonsteknologi | Leksjonsplanlegging og undervisningsmateriell | 10. klasse | Planlegging av leksjoner for studieåret (FSES) | Aritmetiske operasjoner i posisjonstallsystemer

Leksjon 15
§12. Aritmetiske operasjoner i posisjonstallsystemer

Aritmetiske operasjoner i posisjonstallsystemer

Aritmetiske operasjoner i posisjonstallsystemer med grunntall q utføres etter regler som ligner på reglene som gjelder i desimalsystemet.

På barneskolen brukes addisjons- og multiplikasjonstabeller for å lære barn å telle. Lignende tabeller kan kompileres for ethvert posisjonsnummersystem.

12.1. Addisjon av tall i tallsystemet med grunntall q

Tenk på eksempler på addisjonstabeller i ternære (tabell 3.2), oktale (tabell 3.4) og heksadesimale (tabell 3.3) tallsystemer.

Tabell 3.2

Tillegg i ternært tallsystem

Tabell 3.3

Addisjon i heksadesimalt tallsystem

Tabell 3.4

Addisjon i oktaltallsystem

q få beløpet S to tall EN Og B, må du summere sifrene som danner dem med sifre Jeg fra høyre til venstre:

Hvis a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
hvis a i + b i ≥ q, da s i = a i + b i - q, økes det mest signifikante (i + 1) sifferet med 1.

Eksempler:

12.2. Subtrahere tall i grunntallet q tallsystemet

Så det i et tallsystem med en base q få forskjellen R to tall EN Og I, er det nødvendig å beregne forskjellene mellom sifrene som danner dem etter sifre Jeg fra høyre til venstre:

Hvis a i ≥ bi, så er r i = a i - bi, det mest signifikante (i + 1) sifferet endres ikke;
hvis en i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Vant til å jobbe med data koding, dvs. uttrykke data av én type i form av data av en annen type.

Datateknologi har også sitt eget system - det heter binær koding og er basert på å representere data som en sekvens av bare to tegn: 0 og 1. Disse tegnene kalles binære sifre, på engelsk - binærsiffer eller kort sagt, bit (bit).

En bit kan uttrykke to konsepter: 0 eller 1 (Ja eller nei, svart eller hvit, sant eller å ligge og så videre.). Hvis antall biter økes til to, kan fire forskjellige konsepter uttrykkes:

Tre biter kan kode åtte forskjellige verdier: 000 001 010 011 100 101 110 111

Ved å øke antall biter i det binære kodesystemet med én, dobler vi antallet verdier som kan uttrykkes i dette systemet, det vil si at den generelle formelen ser slik ut:

N=2 m , Hvor:

N- antall uavhengige kodede verdier;

T- bitdybde av binær koding tatt i bruk i dette systemet.

Siden en bit er en så liten måleenhet, brukes i praksis en større enhet oftere - en byte, lik åtte bits.

Større avledede dataenheter brukes også:

Kilobyte (KB) = 1024 byte = 2 10 byte;

Megabyte (MB) = 1024 KB = 2 20 byte;

Gigabyte (GB) = 1024 MB = 2 30 byte.

Nylig, på grunn av økningen i volumet av behandlede data, er slike avledede enheter som:

Terabyte (TB) = 1024 GB = 2 40 byte;

Petabyte (PB) = 1024 TB = 2 50 byte;

Exabyte (Ebyte) = 1024 PB = 2 60 byte.

Koding av tekstinformasjon er produsert ved hjelp av American Standard Code for Information Interchange ASCII, som setter tegnkoder fra 0 til 127. Nasjonale standarder tildeler 1 byte med informasjon per tegn og inkluderer en tabell med ASCII-koder, samt nasjonale alfabetkoder med tall fra 128 til 255 For øyeblikket er det fem forskjellige kyrilliske kodinger: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh og ISO. På slutten av 90-tallet dukket det opp en ny internasjonal standard, Unicode, som tildeler ikke én byte, men to byte for hvert tegn, og derfor kan den brukes til å kode ikke men forskjellige tegn.

Grunnleggende kodingstabell ASCII er gitt i tabellen.

Fargegrafikkkoding gjøres ved hjelp av et raster, hvor hvert punkt er knyttet til fargenummeret. I RGB-kodesystemet er fargen på hvert punkt representert av summen av rødt (rødt), grønt (grønt) og blått (blått). I CMYK-kodesystemet er fargen til hvert punkt representert av summen av cyan (Cyan), magenta (Magenta), gul (Gul) og tillegg av svart (Sort, K).

Analog signalkoding

Historisk sett var den første teknologiske formen for mottak, overføring og lagring av data den analoge (kontinuerlige) representasjonen av et lydsignal, optisk, elektrisk eller annet signal. For å motta slike signaler, utfører datamaskinen først analog-til-digital konvertering.

Analog-til-digital konvertering innebærer måling av et analogt signal med jevne tidsintervaller τ og koding av måleresultatet til et n-bit binært ord. I dette tilfellet oppnås en sekvens av n-bits binære ord, som representerer et analogt signal med en gitt nøyaktighet.

Den gjeldende CD-standarden bruker det som kalles "16-bit lyd med en skannehastighet på 44 kHz." For figuren ovenfor, oversatt til normalt språk, betyr dette at "trinnlengden" (t) er lik 1/44000 s, og "trinnhøyden" (δ) er 1/65 536 av det maksimale signalvolumet (siden 2 16 = 65.536). I dette tilfellet er frekvensområdet for avspilling 0-22 kHz, og det dynamiske området er 96 desibel (som er en kvalitetskarakteristikk som er fullstendig uoppnåelig for magnetisk eller mekanisk lydopptak).

Datakomprimering.

Mengden data som behandles og overføres vokser raskt. Dette skyldes implementering av stadig mer komplekse søknadsprosesser, fremveksten av nye informasjonstjenester og bruk av bilder og lyd.

Datakomprimering- en prosess som reduserer datavolumet. Komprimering lar deg dramatisk redusere mengden minne som kreves for å lagre data og redusere (til en akseptabel størrelse) tiden det tar å overføre dem. Bildekomprimering er spesielt effektivt. Datakomprimering kan utføres ved hjelp av enten programvare eller maskinvare eller en kombinasjon av metoder.

Komprimering av tekster er forbundet med en mer kompakt layout bytes, koding av tegn. Dette bruker også en teller for repetisjon av mellomrom. Når det gjelder lyd og bilder, avhenger mengden informasjon som representerer dem av det valgte kvantiseringstrinnet og antall biter av analog-til-digital konvertering. I prinsippet brukes de samme komprimeringsmetodene her som ved tekstbehandling. Hvis tekstkomprimering skjer uten tap av informasjon, fører lyd- og bildekomprimering nesten alltid til noe tap av informasjon. Komprimering er mye brukt i dataarkivering.

Notasjon– representasjon av et tall med et spesifikt sett med symboler. Tallsystemer er:

1. Enkelt (brikke eller pinnesystem);

2. Ikke-posisjonell (romersk);

3. Posisjonell (desimal, binær, oktal, heksadesimal, etc.).

Posisjonell er et tallsystem der den kvantitative verdien av hvert siffer avhenger av dets plass (posisjon) i tallet. Grunnlaget Et posisjonstallsystem er et heltall som kan heves til en potens og er lik antall sifre i systemet.

Det binære tallsystemet inkluderer et alfabet med to sifre: 0 og 1.

Det oktale tallsystemet inkluderer et alfabet med 8 sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7.

Desimaltallsystemet inkluderer et alfabet med 10 sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Det heksadesimale tallsystemet inkluderer et alfabet med 16 sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

			A B C D E F

I datateknologi brukes koding i det binære tallsystemet, dvs. sekvens av 0 og 1.

For å konvertere et heltall fra ett tallsystem til et annet, må du utføre følgende algoritme:

1. Uttrykk grunnflaten til det nye tallsystemet ved å bruke tallene til det opprinnelige tallsystemet.

2. Del det gitte tallet konsekvent med grunntallet i det nye tallsystemet til du får en kvotient som er mindre enn divisoren.

3. Konverter de resulterende saldoene til det nye tallsystemet.

4. Lag et tall fra rester i det nye tallsystemet, og start med den siste resten.

Generelt, i en posisjonell SS med base P, kan et hvilket som helst tall X representeres som et polynom fra base P:

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

hvor koeffisientene a i kan være et hvilket som helst av P-sifrene som brukes i SS med basisen P.

Konvertering av tall fra 10 SS til alle andre for heltalls- og brøkdelene av et tall utføres ved hjelp av forskjellige metoder:

a) hele delen av tallet og mellomkvotienter er delt med basisen til den nye SS, uttrykt i 10 SS inntil kvotienten av divisjonen blir mindre enn basisen til den nye SS. Handlinger utføres i 10 SS. Resultatet er kvotientene, skrevet i omvendt rekkefølge.

b) brøkdelen av tallet og de resulterende brøkdelene av mellomprodukter multipliseres med basisen til den nye SS til den spesifiserte nøyaktigheten er oppnådd, eller "0" oppnås i brøkdelen av mellomproduktet. Resultatet er hele deler av mellomverk, registrert i den rekkefølgen de ble mottatt.

Ved å bruke formel (1) kan du konvertere tall fra et hvilket som helst tallsystem til desimaltallsystemet.

Eksempel 1. Konverter tallet 1011101.001 fra binært tallsystem (SS) til desimal SS. Løsning:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Eksempel 2. Konverter tallet 1011101.001 fra oktalt tallsystem (SS) til desimal SS. Løsning:

Eksempel 3. Konverter tallet AB572.CDF fra heksadesimalt tallsystem til desimal SS. Løsning:

Her EN-erstattet med 10, B- kl 11, C- kl 12, F- innen 15.

Konvertering av et 8 (16) tall til 2 form - det er nok å erstatte hvert siffer i dette tallet med det tilsvarende 3-biters (4-biters) binære tallet. Kast unødvendige nuller i de høye og lave sifrene.

Eksempel 1: konverter tallet 305.4 8 til binær SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Eksempel 2: konverter tallet 9AF,7 16 til binær СС.

(_9 __ _EN __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

For å konvertere det andre tallet til 8 (16) SS, fortsett som følger: flytt fra desimaltegnet til venstre og høyre, del det binære tallet i grupper med 3 (4) sifre, suppler gruppene lengst til venstre og lengst til høyre med nuller om nødvendig. Hver gruppe erstattes deretter med det tilsvarende oktale (16) sifferet.

Eksempel 1: konverter tallet 110100011110100111,1001101 2 til oktal SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Eksempel 2: Konverter tallet 110100011110100111.1001101 2 til heksadesimal SS.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Aritmetiske operasjoner i alle posisjonsnummersystemer utføres tall etter de samme reglene som er godt kjent for deg.

Addisjon. La oss vurdere å legge til tall i det binære tallsystemet. Den er basert på en tabell for å legge til ensifrede binære tall:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Det er viktig å ta hensyn til det faktum at når du legger til to, renner sifferet over og overføres til det mest signifikante sifferet. Et sifferoverløp oppstår når verdien av tallet i det blir lik eller større enn grunntallet.

Addisjonen av multi-bit binære tall skjer i samsvar med addisjonstabellen ovenfor, og tar hensyn til mulige overføringer fra lavordens til høyordenssiffer. Som et eksempel, la oss legge til de binære tallene 110 2 og 11 2 i en kolonne:

Subtraksjon. La oss se på å subtrahere binære tall. Den er basert på en tabell for subtrahering av ensifrede binære tall. Når du trekker et større tall (1) fra et mindre tall (0), lånes det fra det høyeste sifferet. I tabellen er lånet betegnet 1 med en linje:

Multiplikasjon. Multiplikasjon er basert på multiplikasjonstabellen for ensifrede binære tall:

Inndeling. Delingsoperasjonen utføres ved hjelp av en algoritme som ligner på algoritmen for å utføre delingsoperasjonen i desimaltallsystemet. Som et eksempel, la oss dele det binære tallet 110 2 med 11 2:

For å utføre aritmetiske operasjoner på tall uttrykt i forskjellige tallsystemer, er det nødvendig å først konvertere dem til samme system.

LEKSJON nr. 19-20.

Emne

Aritmetiske operasjoner i posisjonstallsystemer. Multiplikasjon og divisjon.

Hensikten med leksjonen: vis metoder for aritmetiske operasjoner (multiplikasjon og divisjon) av tall i forskjellige tallsystemer, sjekk beherskelsen av emnet "Å legge til og subtrahere tall i forskjellige tallsystemer."

Leksjonens mål:

pedagogisk: praktisk anvendelse av det studerte materialet om emnet "Multiplikasjon og divisjon i ulike tallsystemer", konsolidering og testing av kunnskap om emnet "Addisjon og subtrahering av tall i ulike tallsystemer". utvikle: utvikling av individuelle praktiske arbeidsferdigheter, evne til å anvende kunnskap for å løse problemer. pedagogisk:å oppnå bevisst mestring av stoffet av elevene.

Materialer og utstyr til timen: kort for selvstendig arbeid, multiplikasjonstabeller.

Leksjonstype: kombinert leksjon

Leksjonsformat: individuell, frontal.

I løpet av timene:

1. Sjekke lekser.

Hjemmelekser:

1. № 2.41 (1 og 2 spalte), verksted, s. 55

Løsning:

A) 11102+10012 =101112

B) 678+238=1128

B)AF16+9716 = 14616

D)11102-10012 =1012

D) 678-238 = 448

E) AF16-9716 =1816

2. Nr. 2.48 (side 56)

2. Selvstendig arbeid "Addisjon og subtrahering av tall i ulike tallsystemer." (20 minutter)

Selvstendig arbeid. Karakter 10.
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. Trekk fra: 10111-111; 11 - 1110 4. Legg til og subtraher i oktalsystemet: 738 og 258	valg 1
Selvstendig arbeid. Karakter 10. Binært tallsystem: oversettelse 2® 10; addisjon.
1. Konverter fra binærtallsystemet til desimaltallsystemet. 2. Legg til to binære tall. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. Trekk fra: 111-1001; 1110+111 4. Legg til og trekk fra i heksadesimal: 7316 og 2916	Alternativ 2

3. Nytt materiale.

1. Multiplikasjon

Ved multiplisering av flersifrede tall i ulike posisjonstallsystemer kan man bruke den vanlige algoritmen for å multiplisere tall i en kolonne, men resultatene av å multiplisere og legge til ensifrede tall må lånes fra multiplikasjons- og addisjonstabellene som tilsvarer systemet i spørsmål.

Multiplikasjon i binært system

Multiplikasjon i oktalsystem

På grunn av den ekstreme enkelheten til multiplikasjonstabellen i det binære systemet, reduseres multiplikasjonen bare til forskyvninger av multiplikasjonen og addisjoner.

Eksempel 1. La oss multiplisere tallene 5 og 6 i desimale, binære, oktale og heksadesimale tallsystemer.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
Svar: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Undersøkelse.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Eksempel 2. La oss multiplisere tallene 115 og 51 i desimale, binære, oktale og heksadesimale tallsystemer.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
Svar: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Undersøkelse. La oss konvertere de resulterende produktene til desimalform:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. DIVISJON

Divisjon i ethvert posisjonstallsystem utføres etter samme regler som divisjon etter vinkel i desimalsystemet. I det binære systemet er divisjon spesielt lett, fordi neste siffer i kvotienten kan være bare null eller én.
Eksempel 3. Del tallet 30 med tallet 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
Svar: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Eksempel 4. Del tallet 5865 med tallet 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

Oktal: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
Svar: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Undersøkelse. La oss konvertere de resulterende kvotientene til desimalform:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Lekser:

1. Forbered deg på test nr. 2 “Om emnet Tallsystemer. Oversettelse av tall. Aritmetiske operasjoner i tallsystemer"

2. Verksted Ugrinovich, nr. 2.46, 2.47, s. 56.

Litteratur:

1. Workshop om informatikk og informasjonsteknologi. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / , . – M.: Binom. Laboratory of Knowledge, 2002. 400 s.: ill.

2. Ugrinovich og informasjonsteknologi. Lærebok for klasse 10-11. – M.: BINOM. Kunnskapslaboratoriet, 2003.

3. Shautsukova: Lærebok. godtgjørelse for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner. – M.: Utdanning, 2003.9 - s. 97-101, 104-107.

Tallsystemer

Tallsystem – et sett med teknikker og regler for å skrive tall i digitale tegn eller symboler.

Alle tallsystemer kan deles inn i to klasser: posisjonell Og ikke-posisjonell. I klassen posisjonssystemer brukes en rekke tegn som skiller seg fra hverandre for å skrive tall i ulike tallsystemer. Antallet slike tegn i posisjonsnummersystemet kalles grunnlaget for tallsystemet. Nedenfor er en tabell som inneholder navnene på noen posisjonelle tallsystemer og en liste over tegn (siffer) som tall er dannet av i dem.

Noen tallsystemer

Utgangspunkt	Notasjon	Tegn
	Binær	0,1
	Treenighet	0, 1, 2
	Kvartær	0, 1, 2, 3
	Femdobbelt	0, 1, 2, 3, 4
	Oktal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Desimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	duodesimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Heksadesimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

I et posisjoneltallsystem tildeles den relative posisjonen til et siffer i et tall en vektfaktor, og tallet kan representeres som summen av produktene til koeffisientene ved den tilsvarende potensen til tallsystemets basis (vektfaktor). ):

A n А n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(tegnet "," skiller heltallsdelen av tallet fra brøkdelen. Dermed avhenger betydningen av hvert tegn i tallet av posisjonen tegnet inntar i tallposten. Det er derfor slike tallsystemer kalles posisjonelle ).

Et posisjonelt tallsystem er et system der størrelsen på et tall bestemmes av verdiene til sifrene som er inkludert i det og deres relative plassering i tallet.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Desimalindeksen nederst angir grunnlaget for tallsystemet.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Når man arbeider med datamaskiner må man bruke flere posisjonelle tallsystemer parallelt (oftest binære, desimale, oktale og heksadesimale), så prosedyrene for å konvertere tall fra ett tallsystem til et annet er av stor praktisk betydning. Merk at i alle eksemplene ovenfor er resultatet et desimaltall, og dermed er metoden for å konvertere tall fra et hvilket som helst posisjoneltallsystem til desimal allerede demonstrert.

Generelt, for å konvertere en heltallsdel av et tall fra desimalsystemet til grunnsystemet B, må du dele det på B. Resten vil gi det minst signifikante sifferet av tallet. Den resulterende kvotienten må igjen divideres med B - resten vil gi det neste sifferet i tallet osv. Divisjoner fortsetter til kvotienten blir mindre enn basen. Verdiene til de resulterende restene, tatt i omvendt rekkefølge, danner det ønskede binære tallet.

Et eksempel på å oversette en hel del: Konverter 25 10 til et binært tall.

25 / 2 = 12 med resten 1,

12 / 2 = 6 med resten 0,

6 /2 = 3 med resten 0,

Hele og brøkdeler oversettes separat. For å konvertere brøkdelen må den multipliseres med B. Heltallsdelen av det resulterende produktet vil være det første sifferet (etter desimaltegnet som skiller heltallsdelen fra brøkdelen). Brøkdelen av produktet må multipliseres igjen med B. Heltallsdelen av det resulterende tallet vil være neste tegn osv.

For å konvertere en brøkdel (eller et tall som har "0" heltall), må du gange det med 2. Heltallsdelen av produktet vil være det første sifferet i tallet i det binære systemet. Så, forkaster vi heltallsdelen av resultatet, multipliserer vi igjen med 2 osv. Merk at en endelig desimalbrøk godt kan bli en uendelig (periodisk) binær brøk.

Et eksempel på konvertering av en brøkdel: Konverter 0,73 10 til et binært tall.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (heltall del 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (heltallsdel 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (heltall del 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (heltall del 1), etc.

Dermed: 0,73 10 = 0,1011 2.

Ulike aritmetiske operasjoner kan utføres på tall skrevet i et hvilket som helst tallsystem. Aritmetiske operasjoner i alle posisjonstallsystemer utføres etter de samme reglene som er godt kjent for deg.

Vurder å legge til to tall til grunntallet ti:

Når tallene 6 og 7 legges sammen, kan resultatet representeres som uttrykket 10 + 3, hvor 10 er hele grunntallet for desimaltallsystemet. Erstatt 10 (grunntall) med 1 og erstatt til venstre for tallet 3. Vi får:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Vurder å legge til to grunntall åtte:

Når man legger til tallene 6 og 7, kan resultatet representeres som uttrykket 8 + 5, hvor 8 er hele grunntallet for det oktale tallsystemet. Erstatt 8 (grunntall) med 1 og bytt ut til venstre for tallet 5. Vi får:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Vurder å legge til to store tall til base åtte:

Addisjon starter fra det minst signifikante sifferet. Så vi representerer 4 8 + 6 8 som 8 (grunntall) + 2. Erstatt 8 (grunntall) med 1 og legg til denne enheten til sifrene i høy orden. Deretter legger vi til følgende sifre: 5 8 + 3 8 + 1 8, representer det som 8 + 1, erstatt 8 (grunntall) med 1 og legg det til det mest signifikante sifferet. Deretter representerer vi 2 8 + 7 8 + 1 8 som 8 (grunntall) + 2, erstatter 8 (grunntall) med 1 og erstatter det til venstre for det resulterende tallet (i posisjonen til det mest signifikante sifferet). Slik viser det seg:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Andre aritmetiske operasjoner (subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) utføres på samme måte i forskjellige tallsystemer.

La oss vurdere multiplikasjon i en "kolonne", ved å bruke eksemplet med to tall i det binære systemet:

11101 2 101 2

Vi skriver tallene under hverandre, i samsvar med gradene. Deretter utfører vi en bitvis multiplikasjon av den andre faktoren med den første og skriver den med et skift til venstre, akkurat som når vi multipliserer desimaltall. Det gjenstår å legge til de "forskyttede" tallene, med tanke på grunnen til tallene, i dette tilfellet binære.

La oss konvertere resultatet til base 16.

I det andre sifferet representerer vi 29 som 16 (grunntall) og 13 (D). La oss erstatte 16 (grunntall) med 1 og legge det til det mest signifikante sifferet.

I det tredje sifferet 96 + 1 = 97. Se for deg 97 som 6 16 (grunntall) og 1. Legg til 6 til det høyeste sifferet.

I det fjerde sifferet er 20 + 6 = 26. La oss forestille oss 26 som 16 (grunntall) og 10 (A). Vi flytter enheten til det høyeste sifferet.

Med visse ferdigheter i å arbeide med ulike tallsystemer, kunne oppføringen umiddelbart tenkes som

		EN
		B	B
	EN		D

Dermed er A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

Fra et synspunkt om å studere prinsippene for representasjon og behandling av informasjon i en datamaskin, er systemene som er diskutert (binære, oktale og heksadesimale) av stor interesse, selv om datamaskinen behandler data kun konvertert til binær kode (binært tallsystem). Men ofte for å redusere antall tegn skrevet på papir eller skrevet inn fra et datatastatur, er det mer praktisk å bruke oktale eller heksadesimale tall, spesielt siden, som det vil bli vist nedenfor, prosedyren for gjensidig konvertering av tall fra hver av disse systemene til binær er veldig enkelt - mye enklere enn oversettelser mellom noen av disse tre systemene og desimal.

La oss representere tallene til forskjellige tallsystemer som tilsvarer hverandre:

Desimal	Heksadesimal	Oktal	Binær
	EN
	B
	C
	D
	E
	F

Tabellen viser at tallene til systemet med base 2, 8 og 16 har periodiske mønstre. Dermed tilsvarer de åtte verdiene til det oktale systemet, det vil si (fra 0 til 7 eller hele basen) tre sifre ( treklanger) binært system. For å beskrive tallene til ett siffer i det oktale systemet, kreves det derfor nøyaktig tre sifre i det binære systemet. Det samme gjelder heksadesimale tall. Bare beskrivelsen krever nøyaktig fire sifre ( tetrads) binært system.

Det følger at for å konvertere et hvilket som helst binært heltall til oktalt, må du dele det fra høyre til venstre i grupper på 3 sifre (gruppen lengst til venstre kan inneholde mindre enn tre binære sifre), og deretter tildele hver gruppe dens oktale ekvivalent.

For eksempel må du konvertere 11011001 2 til oktal.

Vi deler tallet inn i grupper med tre sifre 011 2, 011 2 og 001 2. Vi erstatter de tilsvarende tallene i det oktale systemet. Vi får 3 8, 3 8 og 1 8 eller 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Omvendte overføringer utføres på samme måte, for eksempel:

Konverter AB5D 16 til binært tallsystem.

En etter en bytter vi ut hvert symbol med tallet AB5D 16 med det tilsvarende tallet fra det binære systemet. Vi får 1010 16, 1011 16, 0101 16 og 1101 16 eller 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

I tillegg til posisjonsnummersystemene som er diskutert ovenfor, er det de der betydningen av et tegn ikke avhenger av plassen det opptar i tallet. Slike tallsystemer kalles ikke-posisjonell. Det mest kjente eksemplet på et ikke-posisjonssystem er Roman. Dette systemet bruker 7 tegn (I, V, X, L, C, D, M), som tilsvarer følgende verdier:

Regler for å skrive tall i romertall: – hvis et større tall står foran et mindre, blir de lagt til (addisjonsprinsippet), – hvis et mindre tall står foran et større, trekkes det minste fra det større (den prinsippet om subtraksjon).

Den andre regelen brukes for å unngå å gjenta det samme tallet fire ganger. Romertall I, X, C er således plassert henholdsvis foran X, C, M for å indikere 9, 90, 900 eller før V, L, D for å indikere 4, 40, 400.

Eksempler på å skrive tall i romertall:

IV = 5 - 1 = 4 (i stedet for IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (i stedet for XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (i stedet for XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33, osv.

Det skal bemerkes at det er veldig upraktisk å utføre selv enkle aritmetiske operasjoner på flersifrede tall ved å bruke romertall. Sannsynligvis var kompleksiteten til beregninger i det romerske systemet, basert på bruken av latinske bokstaver, en av de overbevisende grunnene til å erstatte det med et mer praktisk desimalsystem.

3.1 Grunnlaget for et tallsystem kalles...

Et sett med teknikker og regler for å skrive tall i digitale tegn eller symboler

Antall sifre brukt i et bestemt posisjonsnummersystem

En divisor som brukes når du konverterer tall fra ett tallsystem til et annet

Felles faktor ved konvertering av tall fra ett tallsystem til et annet

3.2 Hvilket tallsystem er ikke mye brukt i datateknologi

Oktal

Binær

Femdobbelt

Heksadesimal