Et av de viktigste konseptene i sannsynlighetsteori er konseptet tilfeldig variabel.

Tilfeldig kalt størrelse, som som et resultat av testing antar visse mulige verdier som er ukjente på forhånd og avhenger av tilfeldige årsaker som ikke kan tas i betraktning på forhånd.

Tilfeldige variabler er utpekt med store bokstaver i det latinske alfabetet X, Y, Z etc. eller med store bokstaver i det latinske alfabetet med en høyre nedre indeks, og verdiene som tilfeldige variabler kan ta - i de tilsvarende små bokstavene i det latinske alfabetet x, y, z etc.

Begrepet en tilfeldig variabel er nært knyttet til begrepet en tilfeldig hendelse. Forbindelse med en tilfeldig hendelse ligger i det faktum at adopsjonen av en viss numerisk verdi av en tilfeldig variabel er en tilfeldig hendelse preget av sannsynlighet .

I praksis er det to hovedtyper av tilfeldige variabler:

1. Diskrete tilfeldige variabler;

2. Kontinuerlige tilfeldige variabler.

En tilfeldig variabel er en numerisk funksjon av tilfeldige hendelser.

For eksempel er en tilfeldig variabel antall poeng oppnådd når du kaster en terning, eller høyden til en student som er tilfeldig valgt fra en studiegruppe.

Diskrete tilfeldige variabler kalles tilfeldige variabler som kun tar verdier som er langt fra hverandre som kan listes opp på forhånd.

Fordelingsloven(fordelingsfunksjon og distribusjonsserie eller sannsynlighetstetthet) beskriver fullstendig oppførselen til en tilfeldig variabel. Men i en rekke problemer er det nok å kjenne til noen numeriske kjennetegn ved mengden som studeres (for eksempel dens gjennomsnittlige verdi og mulig avvik fra den) for å svare på spørsmålet som stilles. La oss vurdere de viktigste numeriske egenskapene til diskrete tilfeldige variabler.

Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel hver relasjon kalles , etablere en sammenheng mellom mulige verdier av en tilfeldig variabel og deres tilsvarende sannsynligheter .

Fordelingsloven til en tilfeldig variabel kan representeres som tabeller:

Summen av sannsynlighetene for alle mulige verdier av en tilfeldig variabel er lik én, dvs.

Fordelingsloven kan skildres grafisk: de mulige verdiene til en tilfeldig variabel er plottet langs abscisse-aksen, og sannsynlighetene for disse verdiene er plottet langs ordinataksen; de resulterende punktene er forbundet med segmenter. Den konstruerte polylinjen kalles distribusjonspolygon.

Eksempel. En jeger med 4 patroner skyter på spillet til han gjør det første treffet eller bruker opp alle patronene. Sannsynligheten for å treffe på det første skuddet er 0,7, for hvert påfølgende skudd reduseres det med 0,1. Lag en distribusjonslov for antall patroner brukt av en jeger.

Løsning. Siden en jeger, som har 4 patroner, kan skyte fire skudd, så er den tilfeldige variabelen X- antall patroner brukt av jegeren kan ha verdier 1, 2, 3, 4. For å finne de tilsvarende sannsynlighetene introduserer vi hendelsene:

– «slå med Jeg - oh skudd”, ;

- "savner når Jeg - om shot”, og hendelsene og er parvis uavhengige.

I henhold til problemforholdene har vi:

,

Ved å bruke multiplikasjonsteoremet for uavhengige hendelser og addisjonsteoremet for inkompatible hendelser, finner vi:

(jegeren traff målet med det første skuddet);

(jegeren traff målet med det andre skuddet);

(jegeren traff målet med det tredje skuddet);

(jegeren traff målet med det fjerde skuddet eller bommet alle fire gangene).

Sjekk: - sant.

Dermed loven om distribusjon av en tilfeldig variabel X har formen:

Eksempel. En arbeider betjener tre maskiner. Sannsynligheten for at den første maskinen innen en time ikke vil kreve justering er 0,9, den andre - 0,8, den tredje - 0,7. Lag en fordelingslov for antall maskiner som skal justeres innen en time.

Løsning. Tilfeldig verdi X- antall maskiner som vil kreve justering innen en time kan ha verdier 0,1, 2, 3. For å finne de tilsvarende sannsynlighetene introduserer vi hendelsene:

- “Jeg- maskinen vil kreve justering innen en time,” ;

- “Jeg- maskinen trenger ikke justeres innen en time.»

I henhold til betingelsene for problemet har vi:

, .

Oppgave 5.

Betingelse: Enheten kan settes sammen av høykvalitetsdeler og vanlige kvalitetsdeler. 40 % av enhetene er satt sammen av deler av høy kvalitet.

For en enhet av høy kvalitet er påliteligheten over en tidsperiode t 0,95; for vanlige enheter er påliteligheten 0,7. Enheten ble testet for tid t og fungerte feilfritt.

Finn sannsynligheten for at den er satt sammen av deler av høy kvalitet.

Løsning: H 1 - enheten er satt sammen av deler av høy kvalitet,

N 2 - enheten er satt sammen av deler av vanlig kvalitet.

Sannsynligheten for disse hypotesene før eksperimentet:

Som et resultat av eksperimentet ble hendelse A observert - enheten fungerte feilfritt i tiden t.

De betingede sannsynlighetene for denne hendelsen under hypotesene H 1 og H 2 er like:

Vi finner sannsynligheten for hypotese H 1 etter eksperimentet:

sannsynlighet rot gjennomsnitt kvadrat varians matematisk

Matematisk statistikk

Øvelse 1.

Betingelse: Tegn en fordelingslov for en diskret tilfeldig variabel X, beregne den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til en tilfeldig variabel.

Jegeren skyter på viltet til han treffer, men kan ikke skyte mer enn tre skudd. Sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,6. Lag en fordelingslov for tilfeldig variabel X - antall skudd avfyrt av skytteren. Beregn den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til en tilfeldig variabel.

Løsning: Sannsynligheten for at antall bom er 0 er 0,6

• - sannsynligheten for at antall bom er 1 er 0,4 · 0,6 = 0,24 (glipp i den første, treff i den andre)
• - sannsynligheten for at antall bom er 2 er 0,4·0,4·0,6=0,096 (glapp i de to første, treff i den tredje)
• - sannsynligheten for at antall bom er 3 er 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (gikk glipp av de tre første)

Den matematiske forventningen er 0·0,6+1·0,24+2·0,096+3·0,064 = 0,624

M(x*x)=0,24 +0,384+0,576=1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

Oppgave 2.

Betingelse: Tilfeldig verdi X gitt av distribusjonsfunksjonen F(X).