Når kroppen beveger seg, endres hastigheten vanligvis enten i størrelse eller retning, eller samtidig i både størrelse og retning.

Hvis du kaster en stein i en vinkel mot horisonten, vil hastigheten endres både i størrelse og retning.

En endring i hastigheten til en kropp kan skje enten veldig raskt (bevegelsen av en kule i løpet når den avfyres fra en rifle) eller relativt sakte (bevegelsen til et tog når det går). For å kunne finne hastigheten til enhver tid, er det nødvendig å angi en verdi som karakteriserer hastigheten for endring av hastighet. Denne mengden kallesakselerasjon.

er forholdet mellom hastighetsendringen og tidsperioden denne endringen skjedde. Den gjennomsnittlige akselerasjonen kan bestemmes av formelen:

Hvor - akselerasjonsvektor .

Retningen til akselerasjonsvektoren faller sammen med retningen for endring i hastighet Δ = - 0 (her er 0 starthastigheten, det vil si hastigheten kroppen begynte å akselerere med).

På tidspunktet t1 (se fig. 1.8) har kroppen en hastighet på 0. På tidspunkt t2 har kroppen fart. I henhold til regelen for vektorsubtraksjon finner vi vektoren for hastighetsendring Δ = - 0. Deretter kan du bestemme akselerasjonen slik:

Ris. 1.8. Gjennomsnittlig akselerasjon.

I SI akselerasjonsenhet – er 1 meter per sekund per sekund (eller meter per sekund i kvadrat), altså

En meter per sekund i kvadrat er lik akselerasjonen til et punkt som beveger seg i en rett linje, hvor hastigheten til dette punktet øker med 1 m/s på ett sekund. Med andre ord, akselerasjon bestemmer hvor mye hastigheten til en kropp endres i løpet av ett sekund. For eksempel, hvis akselerasjonen er 5 m/s2, betyr dette at kroppens hastighet øker med 5 m/s hvert sekund.

Og hvorfor trengs det? Vi vet allerede hva et referansesystem, bevegelsesrelativitet og et materialpunkt er. Vel, det er på tide å gå videre! Her skal vi se på de grunnleggende begrepene i kinematikk, sette sammen de mest nyttige formlene for det grunnleggende i kinematikk, og gi et praktisk eksempel på løsning av oppgaven.

La oss løse dette problemet: et punkt beveger seg i en sirkel med en radius på 4 meter. Loven for dens bevegelse uttrykkes ved ligningen S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. På hvilket tidspunkt er den normale akselerasjonen til et punkt lik 9 m/s^2? Finn hastighet, tangentiell og total akselerasjon til punktet for dette tidspunktet.

Løsning: vi vet at for å finne hastigheten må vi ta den første tidsderiverte av bevegelsesloven, og normalakselerasjonen er lik kvotienten av kvadratet av hastigheten og radiusen til sirkelen som punktet langs. beveger seg. Bevæpnet med denne kunnskapen vil vi finne de nødvendige mengdene.

Trenger du hjelp til å løse problemer? Profesjonell studentservice er klar til å tilby det.

Komplekse integraler

Denne artikkelen avslutter temaet ubestemte integraler, og inkluderer integraler som jeg synes er ganske komplekse. Leksjonen ble opprettet etter gjentatte forespørsler fra besøkende som uttrykte ønske om at vanskeligere eksempler ble analysert på nettstedet.

Det forutsettes at leseren av denne teksten er godt forberedt og vet hvordan man anvender grunnleggende integreringsteknikker. Dummies og folk som ikke er veldig trygge på integraler bør referere til den aller første leksjonen - Ubestemt integral. Eksempler på løsninger, hvor du kan mestre emnet nesten fra bunnen av. Mer erfarne studenter kan bli kjent med teknikker og metoder for integrering som ennå ikke har blitt møtt i artiklene mine.

Hvilke integraler vil bli vurdert?

Først vil vi vurdere integraler med røtter, for løsningen som vi suksessivt bruker variabel utskifting Og integrering etter deler. Det vil si at i ett eksempel kombineres to teknikker samtidig. Og enda mer.

Da vil vi bli kjent med interessant og originalt metode for å redusere integralen til seg selv. Ganske mange integraler løses på denne måten.

Den tredje utgaven av programmet vil være integraler av komplekse fraksjoner, som fløy forbi kassen i tidligere artikler.

For det fjerde vil ytterligere integraler fra trigonometriske funksjoner bli analysert. Spesielt finnes det metoder som unngår tidkrevende universell trigonometrisk substitusjon.

(2) I integrandfunksjonen deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.

(3) Vi bruker linearitetsegenskapen til det ubestemte integralet. I den siste integralen umiddelbart sett funksjonen under differensialtegnet.

(4) Vi tar de resterende integralene. Merk at i en logaritme kan du bruke parenteser i stedet for en modul, siden .

(5) Vi utfører en omvendt erstatning, og uttrykker "te" fra den direkte erstatningen:

Masochistiske studenter kan skille svaret og få den originale integranden, slik jeg nettopp gjorde. Nei, nei, jeg gjorde sjekken i riktig forstand =)

Som du kan se, under løsningen måtte vi bruke enda mer enn to løsningsmetoder, så for å håndtere slike integraler trenger du trygge integreringsferdigheter og ganske mye erfaring.

I praksis er selvfølgelig kvadratroten mer vanlig, her er tre eksempler for å løse det selv:

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 3

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 4

Finn det ubestemte integralet

Disse eksemplene er av samme type, så den komplette løsningen på slutten av artikkelen vil kun være for eksempel 2; Eksemplene 3-4 har de samme svarene. Hvilken erstatning som skal brukes i begynnelsen av beslutninger, tror jeg er åpenbart. Hvorfor valgte jeg eksempler av samme type? Ofte funnet i sin rolle. Oftere, kanskje bare noe sånt som .

Men ikke alltid, når det under arctangens, sinus, cosinus, eksponentiell og andre funksjoner er en rot av en lineær funksjon, må du bruke flere metoder samtidig. I en rekke tilfeller er det mulig å "gå lett av", det vil si umiddelbart etter utskiftingen, oppnås en enkel integral som lett kan tas. Den enkleste av oppgavene foreslått ovenfor er eksempel 4, der, etter utskifting, oppnås en relativt enkel integral.

Ved å redusere integralen til seg selv

En vittig og vakker metode. La oss ta en titt på klassikerne i sjangeren:

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet

Under roten er et kvadratisk binomial, og å prøve å integrere dette eksemplet kan gi tekannen hodepine i timevis. Et slikt integral tas i deler og reduseres til seg selv. I prinsippet er det ikke vanskelig. Hvis du vet hvordan.

La oss betegne integralet som vurderes med en latinsk bokstav og begynne løsningen:

La oss integrere etter deler:

(1) Forbered integrandfunksjonen for termin-for-term-deling.

(2) Vi deler integrandfunksjonen ledd på ledd. Det er kanskje ikke klart for alle, men jeg vil beskrive det mer detaljert:

(3) Vi bruker linearitetsegenskapen til det ubestemte integralet.

(4) Ta det siste integralet ("lang" logaritme).

La oss nå se på begynnelsen av løsningen:

Og på slutten:

Hva skjedde? Som et resultat av våre manipulasjoner ble integralen redusert til seg selv!

La oss sette likhetstegn mellom begynnelsen og slutten:

Flytt til venstre side med et tegnskifte:

Og vi flytter de to til høyre side. Som et resultat:

Konstanten burde strengt tatt vært lagt til tidligere, men jeg la den til på slutten. Jeg anbefaler på det sterkeste å lese hva strengheten er her:

Merk: Mer strengt ser den siste fasen av løsningen slik ut:

Dermed:

Konstanten kan redesignes med . Hvorfor kan det redesignes? For han godtar det fortsatt noen verdier, og i denne forstand er det ingen forskjell mellom konstanter og.
Som et resultat:

Et lignende triks med konstant renotering er mye brukt i differensiallikninger. Og der skal jeg være streng. Og her tillater jeg en slik frihet bare for ikke å forvirre deg med unødvendige ting og for å fokusere oppmerksomheten nettopp på selve integreringsmetoden.

Eksempel 6

Finn det ubestemte integralet

En annen typisk integral for uavhengig løsning. Full løsning og svar på slutten av timen. Det vil være en forskjell med svaret i forrige eksempel!

Hvis det under kvadratroten er et kvadrattrinomial, så kommer løsningen i alle fall ned til to analyserte eksempler.

Tenk for eksempel på integralen . Alt du trenger å gjøre er først velg en komplett firkant:
.
Deretter utføres en lineær erstatning, som gjør "uten konsekvenser":
, noe som resulterer i integralen . Noe kjent, ikke sant?

Eller dette eksemplet, med en kvadratisk binomial:
Velg en komplett firkant:
Og etter lineær erstatning får vi integralet, som også løses ved å bruke algoritmen som allerede er diskutert.

La oss se på to mer typiske eksempler på hvordan man kan redusere en integral til seg selv:
– integral av eksponentialen multiplisert med sinus;
– integral av eksponentialen multiplisert med cosinus.

I de oppførte integralene etter deler må du integrere to ganger:

Eksempel 7

Finn det ubestemte integralet

Integranden er eksponentialen multiplisert med sinus.

Vi integrerer med deler to ganger og reduserer integralen til seg selv:

Som et resultat av dobbel integrasjon av deler, ble integralet redusert til seg selv. Vi setter likhetstegn mellom begynnelsen og slutten av løsningen:

Vi flytter den til venstre side med et tegnskifte og uttrykker vår integral:

Klar. Samtidig er det lurt å gre høyre side, d.v.s. ta eksponenten ut av parentes, og plasser sinus og cosinus i parentes i en "vakker" rekkefølge.

La oss nå gå tilbake til begynnelsen av eksemplet, eller mer presist, til integrering etter deler:

Vi utpekte eksponenten som. Spørsmålet oppstår: er det eksponenten som alltid skal betegnes med ? Ikke nødvendig. Faktisk i den betraktede integralen grunnleggende spiller ingen rolle, hva mener vi med , vi kunne ha gått den andre veien:

Hvorfor er dette mulig? Fordi eksponentialen blir til seg selv (både under differensiering og integrasjon), blir sinus og cosinus gjensidig til hverandre (igjen, både under differensiering og integrasjon).

Det vil si at vi også kan betegne en trigonometrisk funksjon. Men i det betraktede eksemplet er dette mindre rasjonelt, siden brøker vil vises. Hvis du ønsker det, kan du prøve å løse dette eksemplet ved hjelp av den andre metoden, svarene må samsvare.

Eksempel 8

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Før du bestemmer deg, tenk på hva som er mer fordelaktig i dette tilfellet å betegne som , en eksponentiell eller en trigonometrisk funksjon? Full løsning og svar på slutten av timen.

Og, selvfølgelig, ikke glem at de fleste av svarene i denne leksjonen er ganske enkle å sjekke ved differensiering!

Eksemplene som ble vurdert var ikke de mest komplekse. I praksis er integraler mer vanlig der konstanten er både i eksponenten og i argumentasjonen til den trigonometriske funksjonen, for eksempel: . Mange vil bli forvirret i en slik integral, og jeg blir ofte forvirret selv. Faktum er at det er stor sannsynlighet for at det dukker opp brøker i løsningen, og det er veldig lett å miste noe ved uforsiktighet. I tillegg er det stor sannsynlighet for en feil i tegnene; merk at eksponenten har et minustegn, og dette introduserer ytterligere vanskeligheter.

På sluttfasen er resultatet ofte noe slikt:

Selv på slutten av løsningen bør du være ekstremt forsiktig og forstå brøkene riktig:

Integrering av komplekse brøker

Vi nærmer oss sakte leksjonens ekvator og begynner å vurdere integraler av brøker. Igjen, ikke alle av dem er super komplekse, det er bare det at eksemplene av en eller annen grunn var litt "utenfor tema" i andre artikler.

Fortsetter temaet røtter

Eksempel 9

Finn det ubestemte integralet

I nevneren under roten er det et kvadratisk trinomium pluss et "vedheng" i form av en "X" utenfor roten. En integral av denne typen kan løses ved å bruke en standard substitusjon.

Vi bestemmer:

Erstatningen her er enkel:

La oss se på livet etter utskifting:

(1) Etter substitusjon reduserer vi begrepene under roten til en fellesnevner.
(2) Vi tar den ut under roten.
(3) Telleren og nevneren reduseres med . Samtidig, under roten, omorganiserte jeg vilkårene i en passende rekkefølge. Med litt erfaring kan trinn (1), (2) hoppes over ved å utføre de kommenterte handlingene muntlig.
(4) Den resulterende integralen, som du husker fra leksjonen Integrering av noen brøker, blir avgjort komplett kvadratisk utvinningsmetode. Velg en komplett firkant.
(5) Ved integrasjon får vi en vanlig "lang" logaritme.
(6) Vi utfører omvendt utskifting. Hvis først , så tilbake: .
(7) Den siste handlingen er rettet mot å rette opp resultatet: under roten bringer vi igjen begrepene til en fellesnevner og tar dem ut under roten.

Eksempel 10

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Her legges en konstant til den eneste "X", og erstatningen er nesten den samme:

Det eneste du trenger å gjøre i tillegg er å uttrykke "x" fra utskiftingen som utføres:

Full løsning og svar på slutten av timen.

Noen ganger i et slikt integral kan det være et kvadratisk binomial under roten, dette endrer ikke løsningsmetoden, det vil være enda enklere. Føl forskjellen:

Eksempel 11

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 12

Finn det ubestemte integralet

Korte løsninger og svar på slutten av timen. Det skal bemerkes at eksempel 11 er nøyaktig binomial integral, løsningsmetoden som ble diskutert i klassen Integraler av irrasjonelle funksjoner.

Integral av et uoppløselig polynom av 2. grad i potens

(polynom i nevneren)

En mer sjelden type integral, men likevel påtruffet i praktiske eksempler.

Eksempel 13

Finn det ubestemte integralet

Men la oss gå tilbake til eksemplet med lykkenummer 13 (ærlig talt, jeg gjettet ikke riktig). Denne integralen er også en av de som kan være ganske frustrerende hvis du ikke vet hvordan du skal løse.

Løsningen starter med en kunstig transformasjon:

Jeg tror alle allerede forstår hvordan man deler telleren med nevneren begrep for begrep.

Det resulterende integralet er tatt i deler:

For et integral av formen ( – naturlig tall) utleder vi tilbakevendende reduksjonsformel:
, Hvor – integral av en grad lavere.

La oss verifisere gyldigheten av denne formelen for det løste integralet.
I dette tilfellet: , , bruker vi formelen:

Som du kan se, er svarene de samme.

Eksempel 14

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Prøveløsningen bruker formelen ovenfor to ganger etter hverandre.

Hvis under graden er udelelig kvadrattrinomial, så reduseres løsningen til et binomial ved å isolere det perfekte kvadratet, for eksempel:

Hva om det er et ekstra polynom i telleren? I dette tilfellet brukes metoden med ubestemte koeffisienter, og integrandfunksjonen utvides til en sum av brøker. Men i min praksis er det et slikt eksempel aldri møtt, så jeg savnet denne saken i artikkelen Integraler av brøk-rasjonelle funksjoner, jeg hopper over det nå. Hvis du fortsatt møter en slik integral, se på læreboken - alt er enkelt der. Jeg tror ikke det er tilrådelig å inkludere materiale (selv enkle), sannsynligheten for å møte som har en tendens til null.

Integrering av komplekse trigonometriske funksjoner

Adjektivet "kompleks" for de fleste eksempler er igjen stort sett betinget. La oss starte med tangenter og cotangenter i høye potenser. Fra synspunktet til løsningsmetodene som brukes, er tangent og cotangens nesten det samme, så jeg vil snakke mer om tangent, og antyder at den demonstrerte metoden for å løse integralet også er gyldig for cotangens.

I leksjonen ovenfor så vi på universell trigonometrisk substitusjon for å løse en bestemt type integraler av trigonometriske funksjoner. Ulempen med universell trigonometrisk substitusjon er at bruken ofte resulterer i tungvinte integraler med vanskelige beregninger. Og i noen tilfeller kan universell trigonometrisk substitusjon unngås!

La oss vurdere et annet kanonisk eksempel, integralet av en delt på sinus:

Eksempel 17

Finn det ubestemte integralet

Her kan du bruke universell trigonometrisk substitusjon og få svaret, men det er en mer rasjonell måte. Jeg vil gi den komplette løsningen med kommentarer for hvert trinn:

(1) Vi bruker den trigonometriske formelen for sinus til en dobbel vinkel.
(2) Vi gjennomfører en kunstig transformasjon: Del i nevneren og gang med .
(3) Ved å bruke den velkjente formelen i nevneren transformerer vi brøken til en tangent.
(4) Vi bringer funksjonen under differensialtegnet.
(5) Ta integralen.

Et par enkle eksempler du kan løse på egen hånd:

Eksempel 18

Finn det ubestemte integralet

Merk: Det aller første trinnet bør være å bruke reduksjonsformelen og utfør forsiktig handlinger som ligner på det forrige eksemplet.

Eksempel 19

Finn det ubestemte integralet

Vel, dette er et veldig enkelt eksempel.

Fullfør løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Jeg tror nå ingen vil ha problemer med integraler:
og så videre.

Hva er ideen med metoden? Ideen er å bruke transformasjoner og trigonometriske formler for å organisere kun tangenter og tangentderiverten i integranden. Det vil si at vi snakker om å erstatte: . I eksemplene 17-19 brukte vi faktisk denne erstatningen, men integralene var så enkle at vi klarte oss med en ekvivalent handling - å legge funksjonen under differensialtegnet.

Lignende resonnement, som jeg allerede har nevnt, kan utføres for cotangenten.

Det er også en formell forutsetning for å bruke erstatningen ovenfor:

Summen av potensene av cosinus og sinus er et negativt heltall ELLT tall, For eksempel:

for integralet – et negativt heltall ELLT tall.

! Merk : hvis integranden KUN inneholder en sinus eller KUN en cosinus, så tas integralet også for en negativ oddetallsgrad (de enkleste tilfellene er i eksemplene nr. 17, 18).

La oss se på et par mer meningsfylte oppgaver basert på denne regelen:

Eksempel 20

Finn det ubestemte integralet

Summen av potensene av sinus og cosinus: 2 – 6 = –4 er et negativt heltall ELLT tall, som betyr at integralet kan reduseres til tangenter og dens deriverte:

(1) La oss transformere nevneren.
(2) Ved å bruke den velkjente formelen får vi .
(3) La oss transformere nevneren.
(4) Vi bruker formelen .
(5) Vi bringer funksjonen under differensialtegnet.
(6) Vi utfører utskifting. Mer erfarne elever gjennomfører kanskje ikke utskiftingen, men det er likevel bedre å erstatte tangenten med én bokstav - det er mindre risiko for å bli forvirret.

Eksempel 21

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

Stå på, mesterskapsrundene begynner snart =)

Ofte inneholder integranden en "hodgepodge":

Eksempel 22

Finn det ubestemte integralet

Dette integralet inneholder i utgangspunktet en tangent, som umiddelbart fører til en allerede kjent tanke:

Jeg vil forlate den kunstige transformasjonen helt i begynnelsen og de resterende trinnene uten kommentar, siden alt allerede er diskutert ovenfor.

Et par kreative eksempler for din egen løsning:

Eksempel 23

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 24

Finn det ubestemte integralet

Ja, i dem kan du selvfølgelig senke potensene til sinus og cosinus, og bruke en universell trigonometrisk substitusjon, men løsningen vil være mye mer effektiv og kortere hvis den utføres gjennom tangenter. Full løsning og svar på slutten av leksjonen

Rektorintegraler som enhver elev bør kjenne til

De oppførte integralene er grunnlaget, grunnlaget for det grunnleggende. Disse formlene bør definitivt huskes. Når du beregner mer komplekse integraler, må du bruke dem konstant.

Vær spesielt oppmerksom på formlene (5), (7), (9), (12), (13), (17) og (19). Ikke glem å legge til en vilkårlig konstant C i svaret ditt når du integrerer!

Integral av en konstant

∫ A d x = A x + C (1)

Integrering av en strømfunksjon

Faktisk var det mulig å begrense oss til kun formlene (5) og (7), men resten av integralene fra denne gruppen forekommer så ofte at det er verdt å være litt oppmerksom på dem.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integraler av eksponentielle funksjoner og hyperbolske funksjoner

Selvfølgelig kan formel (8) (kanskje den mest praktiske for memorering) betraktes som et spesielt tilfelle av formel (9). Formler (10) og (11) for integralene til hyperbolsk sinus og hyperbolsk cosinus er lett avledet fra formel (8), men det er bedre å bare huske disse relasjonene.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grunnleggende integraler av trigonometriske funksjoner

En feil som elevene ofte gjør, er at de forveksler tegnene i formlene (12) og (13). Husk at den deriverte av sinus er lik cosinus, av en eller annen grunn tror mange at integralet til funksjonen sinx er lik cosx. Dette er ikke sant! Integralet av sinus er lik "minus cosinus", men integralet av cosx er lik "bare sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integraler som reduserer til inverse trigonometriske funksjoner

Formel (16), som fører til arctangensen, er naturlig nok et spesialtilfelle av formel (17) for a=1. Tilsvarende er (18) et spesialtilfelle av (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mer komplekse integraler

Det er også tilrådelig å huske disse formlene. De brukes også ganske ofte, og produksjonen deres er ganske kjedelig.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Generelle regler for integrering

1) Integralet av summen av to funksjoner er lik summen av de tilsvarende integralene: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integralet av forskjellen mellom to funksjoner er lik forskjellen til de tilsvarende integralene: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanten kan tas ut av integrertegnet: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Det er lett å se at eiendom (26) ganske enkelt er en kombinasjon av egenskaper (25) og (27).

4) Integral av en kompleks funksjon hvis den interne funksjonen er lineær: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Her er F(x) en antiderivert for funksjonen f(x). Vær oppmerksom på: denne formelen fungerer bare når den indre funksjonen er Ax + B.

Viktig: det er ingen universell formel for integralet av produktet av to funksjoner, så vel som for integralet av en brøk:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tretti)

Dette betyr selvsagt ikke at en fraksjon eller et produkt ikke kan integreres. Det er bare at hver gang du ser en integral som (30), må du finne opp en måte å "bekjempe" den på. I noen tilfeller vil integrering av deler hjelpe deg, i andre må du gjøre en endring av variabel, og noen ganger kan til og med "skole"-algebra eller trigonometriformler hjelpe.

Et enkelt eksempel på beregning av ubestemt integral

Eksempel 1. Finn integralet: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

La oss bruke formlene (25) og (26) (integralet av summen eller differansen av funksjoner er lik summen eller differansen av de tilsvarende integralene. Vi får: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

La oss huske at konstanten kan tas ut av integrertegnet (formel (27)). Uttrykket konverteres til formen

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

La oss nå bare bruke tabellen over grunnleggende integraler. Vi må bruke formlene (3), (12), (8) og (1). La oss integrere potensfunksjonen, sinus, eksponentiell og konstant 1. Ikke glem å legge til en vilkårlig konstant C på slutten:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Etter elementære transformasjoner får vi det endelige svaret:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Test deg selv ved differensiering: ta den deriverte av den resulterende funksjonen og sørg for at den er lik den opprinnelige integranden.

Sammendragstabell over integraler

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Last ned tabellen over integraler (del II) fra denne lenken

Hvis du studerer ved et universitet, hvis du har problemer med høyere matematikk (matematisk analyse, lineær algebra, sannsynlighetsteori, statistikk), hvis du trenger tjenestene til en kvalifisert lærer, gå til siden til en høyere matematikkveileder. Vi løser dine problemer sammen!

Du kan også være interessert i