Większość modeli matematycznych w ekonomii opisuje się za pomocą macierzy i rachunku macierzowego.

Matryca to prostokątna tabela zawierająca liczby, funkcje, równania lub inne obiekty matematyczne ułożone w wiersze i kolumny.

Obiekty tworzące macierz nazywane są elementy . Macierze oznacza się dużymi literami łacińskimi

a ich elementy są pisane małymi literami.

Symbol
oznacza, że ​​macierz To ma
linie i kolumny, element na skrzyżowaniu -ta linia i -ta kolumna
.

.

Mówią, że matrix A równa matrycy W : A=B, jeśli mają tę samą strukturę (czyli taką samą liczbę wierszy i kolumn), a odpowiadające im elementy są identycznie równe
, dla wszystkich
.

Szczególne typy macierzy

W praktyce dość często spotyka się macierze specjalnego typu. Niektóre metody obejmują również transformacje macierzy z jednego typu na inny. Poniżej podano najpopularniejsze typy macierzy.

	macierz kwadratowa, liczba wierszy N równa liczbie kolumn N
	kolumna-macierz
	wiersz-macierzy
	dolna macierz trójkątna
	górna macierz trójkątna
	macierz zerowa
	macierz diagonalna
mi =	macierz jednostkowa mi(kwadrat)
	macierz jednostkowa
	macierz kroków
	Pusta matryca

Tzn. elementy macierzy o równych numerach wierszy i kolumn A II tworzą główną przekątną macierzy.

Operacje na macierzach.

.

Własności operacji na macierzach

Specyficzne właściwości operacji

Jeśli iloczyn macierzy
– istnieje, to dzieło
może nie istnieć. Ogólnie rzecz biorąc,
. Oznacza to, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Jeśli
, To I nazywane są przemiennymi. Na przykład macierze diagonalne tego samego rzędu są przemienne.

Jeśli
, następnie opcjonalne
Lub
. Oznacza to, że iloczyn niezerowych macierzy może dać macierz zerową. Na przykład

Operacja potęgowania zdefiniowane tylko dla macierzy kwadratowych. Jeśli
, To

.

Z definicji wierzą
i łatwo to wykazać
,
. Zauważ, że od
z tego nie wynika
.

Potęgowanie elementarne A. M =
.

Operacja transpozycji macierz polega na zastąpieniu wierszy macierzy jej kolumnami:

,

Na przykład

,
.

Właściwości transpozycji:

Wyznaczniki i ich własności.

W przypadku macierzy kwadratowych często używa się tego pojęcia wyznacznik – liczba wyliczana z elementów macierzy według ściśle określonych zasad. Liczba ta jest ważną cechą macierzy i jest oznaczona symbolami

.

Wyznacznik macierzy
jest jego elementem .

Wyznacznik macierzy
obliczane według zasady:

tj. iloczyn elementów dodatkowej przekątnej odejmuje się od iloczynu elementów głównej przekątnej.

Aby obliczyć wyznaczniki wyższego rzędu (
) konieczne jest wprowadzenie pojęć dopełnienia molowego i algebraicznego elementu.

Drobny
element jest wyznacznikiem otrzymanym z macierzy , przekreślenie -ta linia i kolumna.

Rozważ macierz rozmiar
:

,

wtedy np.

Dopełnienie algebraiczne element nazywają to pomnożeniem drobnego przez
.

,

Twierdzenie Laplace'a: Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne.

Na przykład rozkład
na podstawie elementów pierwszej linii otrzymujemy:

Ostatnie twierdzenie zapewnia uniwersalny sposób obliczania wyznaczników dowolnego rzędu, zaczynając od drugiego. Wiersz (kolumna) jest zawsze wybierany jako ten, który ma największą liczbę zer. Na przykład musisz obliczyć wyznacznik czwartego rzędu

W takim przypadku możesz rozwinąć wyznacznik wzdłuż pierwszej kolumny:

lub ostatnia linijka:

Przykład ten pokazuje również, że wyznacznik górnej macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi jej elementów przekątnych. Łatwo udowodnić, że wniosek ten jest ważny dla dowolnych macierzy trójkątnych i diagonalnych.

Twierdzenie Laplace'a pozwala na ograniczenie obliczeń wyznacznika --te zamówienie do obliczenia determinanty
rzędu i ostatecznie do obliczenia wyznaczników drugiego rzędu.

Tutaj zarysujemy te właściwości, które są zwykle używane do obliczania wyznaczników w standardowym kursie wyższej matematyki. Jest to temat pomocniczy, do którego w razie potrzeby będziemy odnosić się z innych rozdziałów.

Niech więc pewna macierz kwadratowa $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) zostanie podany & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end(tablica) \right)$. Każda macierz kwadratowa ma cechę zwaną wyznacznikiem (lub wyznacznikiem). Nie będę tutaj wnikał w istotę tego pojęcia. Jeśli wymagałoby to wyjaśnienia, to proszę napisać o tym na forum, a ja poruszę tę kwestię szerzej.

Wyznacznik macierzy $A$ oznaczamy jako $\Delta A$, $|A|$ lub $\det A$. Porządek determinujący równa liczbie zawartych w nim wierszy (kolumn).

1. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli jego wiersze zostaną zastąpione odpowiednimi kolumnami, tj. $\Delta A=\Delta A^T$.

   Pokaż ukryj

   Zamieńmy w nim wiersze na kolumny zgodnie z zasadą: „był pierwszy rząd - była pierwsza kolumna”, „był drugi rząd - była druga kolumna”:

   Obliczmy wynikowy wyznacznik: $\left| \begin(tablica) (cc) 2 i 9 \\ 5 i 4 \end(tablica) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Jak widać wartość wyznacznika nie uległa zmianie w wyniku podstawienia.

2. Jeżeli zamienimy dwa wiersze (kolumny) wyznacznika, znak wyznacznika zmieni się na przeciwny.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (cc) 2 i 5 \\ 9 i 4 \end(tablica) \right|$. Znajdźmy jego wartość korzystając ze wzoru nr 1 z tematu obliczania wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu:

   $$\pozostało| \begin(tablica) (cc) 2 i 5 \\ 9 i 4 \end(tablica) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Zamieńmy teraz pierwszą i drugą linię. Otrzymujemy wyznacznik $\left| \begin(tablica) (cc) 9 i 4 \\ 2 i 5 \end(tablica) \right|$. Obliczmy wynikowy wyznacznik: $\left| \begin(tablica) (cc) 9 i 4 \\ 2 i 5 \end(tablica) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Zatem wartość pierwotnego wyznacznika wynosiła (-37), a wartość wyznacznika przy zmienionej kolejności wierszy wynosi $-(-37)=37$. Znak wyznacznika zmienił się na przeciwny.

3. Wyznacznik, dla którego wszystkie elementy wiersza (kolumny) są równe zero, jest równy zero.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Ponieważ w wyznaczniku $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ wszystkie elementy trzeciej kolumny wynoszą zero, wówczas wyznacznik wynosi zero, tj. $\pozostał| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 0\\ 2 i -3 i 0 \end(tablica) \right|=0$.

4. Wyznacznik, dla którego wszystkie elementy danego wiersza (kolumny) są równe odpowiednim elementom innego wiersza (kolumny), jest równy zero.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Ponieważ w wyznaczniku $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ wszystkie elementy pierwszego wiersza są równe elementy drugiego rzędu, wówczas wyznacznik jest równy zeru, tj. $\pozostał| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -7 i 10 i 0\\ 2 i -3 i 18 \end(tablica) \right|=0$.

5. Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) są proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny), to taki wyznacznik jest równy zero.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Ponieważ w wyznaczniku $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Drugi i trzeci rząd są proporcjonalne, tj. $r_3=-3\cdot(r_2)$, wówczas wyznacznik jest równy zeru, tj. $\pozostał| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 28\\ 5 i -3 i 0\\ -15 i 9 i 0 \end(tablica) \right|=0$.

6. Jeżeli wszystkie elementy wiersza (kolumny) mają wspólny czynnik, wówczas czynnik ten można usunąć ze znaku wyznacznika.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -9 i 21 \end(tablica) \right|$. Zauważ, że wszystkie elementy drugiego rzędu są podzielne przez 3:

   $$\pozostało| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -9 i 21 \end(tablica) \right|=\left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ 3\cdot(-3) i 3\cdot 7 \end(tablica) \right|$$

   Liczba 3 jest wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów drugiego rzędu. Weźmy trójkę ze znaku wyznacznika:

   $$\pozostało| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -9 i 21 \end(tablica) \right|=\left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(tablica) \right|= 3\cdot \left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -3 i 7 \end(tablica) \right| $$

7. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli do wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|$. Dodajmy do elementów drugiej linii odpowiednie elementy trzeciej linii pomnożone przez 5. Działanie to zapisujemy następująco: $r_2+5\cdot(r_3)$. Druga linia zostanie zmieniona, pozostałe linie pozostaną niezmienione.

   $$\pozostało| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right| \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9+5\cdot 2 i 21+5\cdot (-3) i 4+5\cdot 1 \\ 2 i -3 i 1 \end (tablica) \right|= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ 1 i 6 i 9 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|. $$

8. Jeżeli dany wiersz (kolumna) wyznacznika jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), to wyznacznik jest równy zero.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Od razu wyjaśnię, co oznacza wyrażenie „kombinacja liniowa”. Załóżmy, że mamy wiersze (lub kolumny): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Wyrażenie

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   gdzie $k_i\in R$ nazywa się liniową kombinacją wierszy (kolumn) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Rozważmy na przykład następujący wyznacznik:

   $$\pozostało| \begin(tablica) (cccc) -1 i 2 i 3 i 0\\ -2 i -4 i -5 i 1\\ 5 i 0 i 7 i 10 \\ -13 i -8 i -16 i -7 \end(tablica) \right| $$

   W tym wyznaczniku czwarty wiersz można wyrazić jako liniową kombinację pierwszych trzech wierszy:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Zatem rozpatrywany wyznacznik jest równy zeru.

9. Jeżeli każdy element pewnego k-tego wiersza (k-tej kolumny) wyznacznika jest równy sumie dwóch wyrazów, to taki wyznacznik jest równy sumie wyznaczników, z których pierwszy ma pierwsze wyrazy w k-ty rząd (k-ta kolumna), a drugi wyznacznik k-ty rząd (k-ta kolumna) zawiera drugie wyrazy. Pozostałe elementy tych wyznaczników są takie same.

   Przykład użycia tej właściwości: show\hide

   Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|$. Zapiszmy elementy drugiej kolumny w następujący sposób: $\left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 3+7 i 0\\ -9 i 21+0 i 4 \\ 2 i 5+(-8) & 1 \end(tablica) \right|$. Wtedy taki wyznacznik jest równy sumie dwóch wyznaczników:

   $$\pozostało| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 3+7 i 0\\ -9 i 21+0 i 4 \\ 2 i 5+(-8) i 1 \end(tablica) \right|= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 3 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i 5 i 1 \end(tablica) \right|+ \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 7 i 0\\ -9 i 0 i 4 \\ 2 i -8 i 1 \end(tablica) \right| $$

10. Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, tj. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Z tej reguły możemy otrzymać następujący wzór: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Jeżeli macierz $A$ nie jest pojedyncza (tj. jej wyznacznik nie jest równy zero), to $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Wzory do obliczania wyznaczników

Dla wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu poprawne są następujące wzory:

\begin(równanie) \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (cc) a_(11) i a_(12) \\ a_(21) i a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(tablica) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(wyrównane)\end(równanie)

Przykłady wykorzystania wzorów (1) i (2) znajdują się w temacie „Wzory do obliczania wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu. Przykłady obliczania wyznaczników”.

Wyznacznik macierzy $A_(n\times n)$ można rozwinąć w i-tym wierszu korzystając ze wzoru:

\begin(equation)\Delta A=\suma\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(w)A_(w) \end(równanie)

Analog tego wzoru istnieje również dla kolumn. Wzór na rozwinięcie wyznacznika w j-tej kolumnie jest następujący:

\begin(equation)\Delta A=\suma\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(równanie)

Reguły wyrażone wzorami (3) i (4) szczegółowo zilustrowano przykładami i wyjaśniono w temacie Redukowanie rzędu wyznacznika. Rozkład wyznacznika w wierszu (kolumnie).

Wskażmy inny wzór na obliczenie wyznaczników macierzy trójkątnych górnego i dolnego trójkąta (wyjaśnienie tych terminów można znaleźć w temacie „Macierze. Rodzaje macierzy. Pojęcia podstawowe”). Wyznacznik takiej macierzy jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej. Przykłady:

\begin(wyrównane) &\left| \begin(tablica) (cccc) 2 i -2 i 9 i 1 \\ 0 i 9 i 8 i 0 \\ 0 i 0 i 4 i -7 \\ 0 i 0 i 0 i -6 \end(tablica) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(tablica) (cccc) -3 i 0 i 0 i 0 \\ -5 i 0 i 0 i 0 \\ 8 i 2 i 1 i 0 \\ 5 i 4 i 0 i 10 \end(tablica) \ prawo|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(wyrównane)

Główną cechą liczbową macierzy kwadratowej jest jej wyznacznik. Rozważmy macierz kwadratową drugiego rzędu

Wyznacznikiem lub wyznacznikiem drugiego rzędu jest liczba obliczana według poniższej reguły

Na przykład,

Rozważmy teraz macierz kwadratową trzeciego rzędu

.

Wyznacznik trzeciego rzędu to liczba obliczana według poniższej reguły

Aby zapamiętać kombinację terminów zawartych w wyrażeniach służących do określenia wyznacznika trzeciego rzędu, zwykle się ich używa Reguła Sarrusa: pierwszy z trzech wyrazów zawartych po prawej stronie ze znakiem plus jest iloczynem elementów znajdujących się na głównej przekątnej macierzy, a każdy z dwóch pozostałych jest iloczynem elementów leżących równolegle do tej przekątnej i elementu z przeciwległego rogu matrycy.

Trzy ostatnie wyrazy, ujęte ze znakiem minus, wyznacza się w podobny sposób, tylko w odniesieniu do przekątnej wtórnej.

Przykład:

Podstawowe właściwości wyznaczników macierzy

1. Wartość wyznacznika nie zmienia się przy transpozycji macierzy.

2. Przestawiając wiersze lub kolumny macierzy, wyznacznik zmienia jedynie znak, zachowując wartość bezwzględną.

3. Wyznacznik zawierający proporcjonalne wiersze lub kolumny jest równy zero.

4. Wspólny czynnik elementów określonego wiersza lub kolumny można wyjąć ze znaku wyznacznika.

5. Jeżeli wszystkie elementy danego wiersza lub kolumny są równe zero, to sam wyznacznik jest równy zero.

6. Jeśli do elementów osobnego wiersza lub kolumny wyznacznika dodamy elementy innego wiersza lub kolumny, pomnożone przez dowolny, niezdegenerowany współczynnik, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.

Drobny Macierz to wyznacznik uzyskany poprzez usunięcie tej samej liczby kolumn i wierszy z macierzy kwadratowej.

Jeśli wszystkie niepełnoletnie rzędu wyższego niż , które można złożyć z macierzy, są równe zeru, a wśród nieletnich rzędu przynajmniej jeden jest różny od zera, to liczbę nazywamy ranga tę matrycę.

Dopełnienie algebraiczne element wyznacznika rzędu nazwiemy jego porządkiem mniejszym, uzyskanym przez skreślenie odpowiedniego wiersza i kolumny, na przecięciu którego znajduje się element wzięty ze znakiem plus, jeśli suma indeksów jest równa liczbie parzystej i w przeciwnym razie znak minus.

Zatem

,

gdzie jest odpowiedni porządek mniejszy.

Obliczanie wyznacznika macierzy poprzez rozwinięcie wiersza lub kolumny

Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) macierzy przez odpowiednie uzupełnienia algebraiczne elementów tego wiersza (tej kolumny). Obliczając w ten sposób wyznacznik macierzy należy kierować się zasadą: wybrać wiersz lub kolumnę z największą liczbą elementów zerowych. Technika ta pozwala znacznie zmniejszyć ilość obliczeń.

Przykład: .

Obliczając ten wyznacznik wykorzystaliśmy technikę rozłożenia go na elementy pierwszej kolumny. Jak widać z powyższego wzoru nie ma potrzeby obliczania ostatniego z wyznaczników drugiego rzędu, gdyż jest mnożona przez zero.

Obliczanie macierzy odwrotnej

Podczas rozwiązywania równań macierzowych powszechnie stosuje się macierz odwrotną. W pewnym stopniu zastępuje operację dzielenia, która nie jest wyraźnie obecna w algebrze macierzy.

Macierze kwadratowe tego samego rzędu, których iloczyn daje macierz jednostkową, nazywane są odwrotnością lub odwrotnością. Oznaczono macierz odwrotną i obowiązuje dla niej następujący zapis:

Obliczenie macierzy odwrotnej jest możliwe tylko dla macierzy, dla której .

Klasyczny algorytm obliczania macierzy odwrotnej

1. Zapisz macierz transponowaną do macierzy.

2. Zastąp każdy element macierzy wyznacznikiem uzyskanym poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu którego znajduje się ten element.

3. Wyznacznikowi temu towarzyszy znak plus, jeśli suma indeksów elementu jest parzysta, a w przeciwnym razie znak minus.

4. Podziel uzyskaną macierz przez wyznacznik macierzy.

Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę.

Konsekwencja. Ze znaku macierzy można wyprowadzić wspólny współczynnik wszystkich elementów macierzy.

Na przykład, .

Jak widać, czynności dodawania, odejmowania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę są podobne do czynności na liczbach. Mnożenie macierzy jest operacją specyficzną.

Iloczyn dwóch macierzy.

Nie wszystkie macierze można pomnożyć. Iloczyn dwóch macierzy A I W w podanej kolejności AB możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszego czynnika A równa liczbie wierszy drugiego czynnika W.

Na przykład, .

Rozmiar matrycy A 33, rozmiar matrycy W 23. Praca AB niemożliwe, praca VA Może.

Iloczynem dwóch macierzy A i B jest trzecia macierz C, której element C ij jest równy sumie iloczynów parami elementów i-tego rzędu pierwszego czynnika i j-tej kolumny drugiego czynnik.

Pokazano, że w tym przypadku możliwy jest iloczyn macierzy VA

Z reguły istnienia iloczynu dwóch macierzy wynika, że ​​iloczyn dwóch macierzy w ogólnym przypadku nie spełnia prawa przemienności, tj. AB? VA. Jeśli w konkretnym przypadku okaże się, że AB = BA, wówczas takie macierze nazywane są permutowalnymi lub przemiennymi.

W algebrze macierzy iloczyn dwóch macierzy może być macierzą zerową, nawet jeśli żadna z macierzy czynnikowych nie jest równa zero, w przeciwieństwie do zwykłej algebry.

Na przykład znajdźmy iloczyn macierzy AB, Jeśli

Można pomnożyć wiele macierzy. Jeśli umiesz mnożyć macierze A, W a iloczyn tych macierzy można pomnożyć przez macierz Z, wówczas możliwe jest skomponowanie produktu ( AB) Z I A(Słońce). W tym przypadku ma zastosowanie prawo kombinacyjne dotyczące mnożenia ( AB) Z = A(Słońce).

Otrzymamy tabelę (zwaną macierzą) składającą się z czterech liczb:

Macierz ma dwa wiersze i dwie kolumny.Liczby tworzące tę macierz są oznaczone literą z dwoma indeksami. Pierwszy indeks wskazuje numer wiersza, a drugi numer kolumny, w której występuje dana liczba. Na przykład oznacza liczbę w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie; liczba w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie. Liczby będziemy nazywać elementami macierzy.

Wyznacznikiem (lub wyznacznikiem) drugiego rzędu odpowiadającym danej macierzy jest liczba uzyskana w następujący sposób:

Wyznacznik jest oznaczony symbolem

Zatem,

Liczby nazywane są elementami wyznacznika.

Przedstawmy własności wyznacznika drugiego rzędu.

Właściwość 1. Wyznacznik nie zmienia się, jeśli jego wiersze zostaną zamienione z odpowiadającymi im kolumnami, tj.

Własność 2.

Przy zmianie układu dwóch wierszy (lub kolumn) wyznacznik zmieni swój znak na przeciwny, zachowując wartość bezwzględną, tj.

Właściwość 3. Wyznacznik z dwoma identycznymi wierszami (lub kolumnami) jest równy zero.

Właściwość 4. Wspólny czynnik wszystkich elementów wiersza (lub kolumny) można wyjąć ze znaku wyznacznika:

Właściwość 5. Jeśli wszystkie elementy wiersza (lub kolumny) są równe zero, to wyznacznik jest równy zero.

Własność 6. Jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny), pomnożone przez tę samą liczbę y, to wyznacznik nie zmieni swojej wartości, tj.