Do tej pory chcąc poznać położenie punktu na płaszczyźnie lub w przestrzeni korzystaliśmy z kartezjańskiego układu współrzędnych. Na przykład określiliśmy położenie punktu w przestrzeni za pomocą trzech współrzędnych. Współrzędnymi tymi były odcięta, rzędna i zastosowanie zmiennego punktu w przestrzeni. Jasne jest jednak, że podanie odciętej, rzędnej i zastosowania punktu nie jest jedynym sposobem określenia położenia punktu w przestrzeni. Można to zrobić w inny sposób, na przykład za pomocą współrzędnych krzywoliniowych.

Niech, według jakiejś ściśle określonej reguły, każdy punkt M spacja jednoznacznie odpowiada pewnej trójce liczb ( Q 1 , Q 2 , Q 3), a różne trójki liczb odpowiadają różnym punktom. Następnie mówią, że układ współrzędnych jest dany w przestrzeni; liczby Q 1 , Q 2 , Q 3, które odpowiadają punktowi M, nazywane są współrzędnymi (lub współrzędnymi krzywoliniowymi) tego punktu.

W zależności od reguły, według której trójka liczb ( Q 1 , Q 2 , Q 3) jest powiązany z punktem w przestrzeni, mówią o tym czy innym układzie współrzędnych.

Jeśli chcą zauważyć, że w danym układzie współrzędnych położenie punktu M wyznaczają liczby Q 1 , Q 2 , Q 3, wówczas zapisuje się go w następujący sposób M(Q 1 , Q 2 , Q 3).

Przykład 1. Niech zostanie oznaczony w przestrzeni jakiś stały punkt O(początek współrzędnych) i przez nią przeciągane są trzy wzajemnie prostopadłe osie z wybraną na nich skalą. (Osie Oh, Oh, Oz). Trójka z liczb X, y, z dopasujmy się do tematu M, tak że rzuty jego wektora promienia OM na osi Oh, Oh, Oz będą odpowiednio równe X, y, z. Ta metoda ustalania związku między trójkami liczb ( X, y, z) i kropki M prowadzi nas do dobrze znanego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Łatwo zauważyć, że w przypadku kartezjańskiego układu współrzędnych nie tylko każda trójka liczb odpowiada pewnemu punktowi w przestrzeni, ale i odwrotnie, każdy punkt przestrzeni odpowiada pewnej trójce współrzędnych.

Przykład 2. Niech ponownie narysowane zostaną osie współrzędnych w przestrzeni Oh, Oh, Oz przechodząc przez stały punkt O(pochodzenie).

Rozważmy trzy liczby R, J, z, Gdzie R³0; 0 funtów J 2 funty P, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, tak, że jego zastosowanie jest równe z i jego rzut na płaszczyznę Oksy ma współrzędne biegunowe R I J(patrz rys. 4.1). Oczywiste jest, że tutaj każde trzy liczby R, J, z odpowiada pewnemu punktowi M i z powrotem, do każdego punktu M odpowiada pewnej trójce liczb R, J, z. Wyjątkiem są punkty leżące na osi Oz: w tym przypadku R I z są jednoznacznie zdefiniowane, oraz kąt J można przypisać dowolne znaczenie. Liczby R, J, z nazywane są współrzędnymi cylindrycznymi punktu M.

Łatwo jest ustalić związek między współrzędnymi cylindrycznymi i kartezjańskimi:

X = R×kos J; y = R×grzech J; z = z.

I z powrotem ; ; z = z.

Przykład 3. Wprowadźmy sferyczny układ współrzędnych. Ustalmy trzy liczby R, Q, J, charakteryzujący położenie punktu M w przestrzeni w następujący sposób: R– odległość od początku do punktu M(długość wektora promienia), Q Oz i wektor promienia OM(szerokość geograficzna M) J– kąt pomiędzy dodatnim kierunkiem osi Oh oraz rzut wektora promienia na płaszczyznę Oksy(długość punktu M). (Patrz rysunek 4.2).

Oczywiste jest, że w tym przypadku nie tylko każdy punkt M odpowiada pewnej trójce liczb R, Q, J, Gdzie R³0,0£ Q £ P, 0£ J 2 funty P, ale i odwrotnie, każda taka trójka liczb odpowiada pewnemu punktowi w przestrzeni (znowu z wyjątkiem punktów osi Oz, gdzie ta wyjątkowość zostaje naruszona).

Łatwo jest znaleźć związek pomiędzy współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi:

X = R grzech Q sałata J; y = R grzech Q grzech J; z = R sałata Q.

Wróćmy do dowolnego układu współrzędnych ( Ok 1 , Ok 2 , Ok 3). Założymy, że nie tylko każdemu punktowi przestrzeni odpowiada pewna trójka liczb ( Q 1 , Q 2 , Q 3), ale także odwrotnie, każda trójka liczb odpowiada pewnemu punktowi w przestrzeni. Wprowadźmy pojęcie powierzchni współrzędnych i linii współrzędnych.

Definicja. Zbiór tych punktów, dla których współrzędna Q 1 jest stała, zwana powierzchnią współrzędnych Q 1. Powierzchnie współrzędnych definiowane są w podobny sposób Q 2 i Q 3 (patrz rys. 4.3).

Oczywiście, jeśli punkt M ma współrzędne Z 1 , Z 2 , Z 3, to w tym miejscu powierzchnie współrzędnych przecinają się Q 1 =C 1 ; Q 2 =C 2 ; Q 3 =C 3 .

Definicja. Zbiór tych punktów, wzdłuż których zmienia się tylko współrzędna Q 1 (i pozostałe dwie współrzędne Q 2 i Q 3 pozostają stałe) nazywa się linią współrzędnych Q 1 .

Oczywiste jest, że każda linia współrzędnych Q 1 to linia przecięcia płaszczyzn współrzędnych Q 2 i Q 3 .

Linie współrzędnych wyznaczane są w podobny sposób Q 2 i Q 3 .

Przykład 1. Współrzędne powierzchni (wzdłuż współrzędnej X) w kartezjańskim układzie współrzędnych są wszystkie płaszczyzny X= stała (Są równoległe do płaszczyzny Оyz). Powierzchnie współrzędnych wyznaczane są w podobny sposób poprzez współrzędne y I z.

Koordynować X-line to linia prosta równoległa do osi Oh. Koordynować y-linia ( z-line) – prosta, równoległa do osi Jednostka organizacyjna(osie Oz).

Przykład 2. Powierzchniami współrzędnych w układzie cylindrycznym są: dowolna płaszczyzna równoległa do płaszczyzny Oksy(powierzchnia współrzędnych z= const), powierzchnia okrągłego walca, którego oś jest skierowana wzdłuż osi Oz(powierzchnia współrzędnych R= const) i półpłaszczyznę ograniczoną osią Oz(powierzchnia współrzędnych J= const) (patrz rys. 4.4).

Nazwę cylindryczny układ współrzędnych tłumaczy się tym, że wśród jego powierzchni współrzędnych znajdują się powierzchnie cylindryczne.

Linie współrzędnych w tym układzie to z-linia – prosta, równoległa do osi Oz; J-linia – okrąg leżący na płaszczyźnie poziomej ze środkiem na osi Oz; I R-line – promień wychodzący z dowolnego punktu na osi Oz, równolegle do płaszczyzny Oksy.

Ryż. 4,5

Ponieważ między powierzchniami współrzędnych znajdują się kule, ten układ współrzędnych nazywa się sferycznym.

Linie współrzędnych tutaj to: R-line – promień wychodzący z początku, Q-linia – półkole ze środkiem w początku, łączące dwa punkty na osi Oz; J-linia – okrąg leżący w płaszczyźnie poziomej, którego środek znajduje się na osi Oz.

We wszystkich omówionych powyżej przykładach linie współrzędnych przechodzące przez dowolny punkt M, są do siebie ortogonalne. Nie dzieje się to w każdym układzie współrzędnych. Jednakże ograniczymy się do badania tylko tych układów współrzędnych, dla których ma to miejsce; takie układy współrzędnych nazywane są ortogonalnymi.

Definicja. System współrzędnych ( Ok 1 , Ok 2 , Ok 3) nazywa się ortogonalnym, jeśli w każdym punkcie M linie współrzędnych przechodzące przez ten punkt przecinają się pod kątem prostym.

Rozważmy teraz pewien punkt M i narysuj wektory jednostkowe dotykające odpowiednich linii współrzędnych w tym punkcie i skierowane w stronę zwiększania odpowiedniej współrzędnej. Jeśli wektory te tworzą w każdym punkcie prawoskrętną trójkę, wówczas otrzymamy prawoskrętny układ współrzędnych. Na przykład kartezjański układ współrzędnych X, y, z(przy zwykłym układzie osi) ma rację. Istnieją również prawoskrętne cylindryczne układy współrzędnych R, J, z(ale dokładnie z tą kolejnością współrzędnych; jeśli zmienisz kolejność współrzędnych, biorąc np. R, z, J, nie otrzymamy już odpowiedniego systemu).

Sferyczny układ współrzędnych jest również prawoskrętny (jeśli ustawisz tę kolejność R, Q, J).

Należy zauważyć, że w kartezjańskim układzie współrzędnych kierunek wektora jednostkowego nie zależy od punktu, w którym M realizujemy ten wektor; to samo dotyczy wektorów. Coś innego obserwujemy w krzywoliniowych układach współrzędnych: na przykład w cylindrycznym układzie współrzędnych wektory w punkcie M i w innym momencie M 1 nie muszą już być równoległe do siebie. To samo dotyczy wektora (w różnych punktach ma on, ogólnie rzecz biorąc, różne kierunki).

Zatem trójka jednostkowych wektorów ortogonalnych w krzywoliniowym układzie współrzędnych zależy od położenia punktu M, w którym te wektory są uwzględniane. Trójka jednostkowych wektorów ortogonalnych nazywana jest ruchomą klatką, a same wektory nazywane są wektorami jednostkowymi (lub po prostu wektorami).

Prostokątny przestrzenny kartezjański układ współrzędnych

Transformacje przestrzennych prostokątnych układów współrzędnych

Transformacje map liniowych

Sprowadzenie ogólnej postaci kwadratowej do postaci kanonicznej

Współrzędne krzywoliniowe

Ogólne informacje o krzywoliniowych układach współrzędnych

Współrzędne krzywoliniowe na powierzchni

Biegunowe układy współrzędnych i ich uogólnienia

Przestrzenny układ współrzędnych biegunowych

Cylindryczny układ współrzędnych

Sferyczny układ współrzędnych

Współrzędne biegunowe na powierzchni

Rozdział 3. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH STOSOWANE W GEODEZYJNYM

Ogólna klasyfikacja układów współrzędnych stosowanych w geodezji

Lądowe układy współrzędnych geodezyjnych

Biegunowe układy współrzędnych w geodezji

Krzywoliniowe elipsoidalne układy współrzędnych geodezyjnych

Wyznaczanie elipsoidalnych współrzędnych geodezyjnych odrębną metodą wyznaczania planowanego i wysokościowego położenia punktów na powierzchni ziemi

Zamiana przestrzennych współrzędnych geodezyjnych na elipsoidalne współrzędne geodezyjne

Konwersja referencyjnych układów współrzędnych geodezyjnych na globalne i odwrotnie

Przestrzenne prostokątne układy współrzędnych

Zależność pomiędzy przestrzennymi współrzędnymi prostokątnymi a elipsoidalnymi współrzędnymi geodezyjnymi

Konwersja przestrzennych prostokątnych współrzędnych odniesienia na globalne i odwrotnie

Topocentryczne układy współrzędnych w geodezji

Zależność pomiędzy przestrzennymi topocentrycznymi poziomymi współrzędnymi geodezyjnymi SC a przestrzennymi biegunowymi współrzędnymi sferycznymi

Konwersja topocentrycznych poziomych współrzędnych geodezyjnych na przestrzenne współrzędne prostokątne X, Y, Z

Układy współrzędnych płaskich prostokątnych w geodezji

Zależność między płaskimi prostokątnymi współrzędnymi Gaussa – Krugera a elipsoidalnymi współrzędnymi geodezyjnymi

Konwersja płaskich prostokątnych współrzędnych Gaussa – Krugera z jednej strefy do drugiej

Przeliczanie płaskich współrzędnych prostokątnych punktów lokalnych konstrukcji geodezyjnych na inne układy płaskich współrzędnych prostokątnych

Rozdział 4. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH STOSOWANE W Astronomii Geodezyjnej i Geodezji Kosmicznej

Sferyczne układy współrzędnych astronomii

Układy odniesienia w geodezji kosmicznej

Gwiezdne (niebiańskie) inercyjne geocentryczne współrzędne równikowe

Geocentryczny, przestrzenny, prostokątny układ współrzędnych naziemnych Greenwich

Topocentryczne układy współrzędnych

Rozdział 5. KOORDYNATYZACJA PRZESTRZENI OKOLICZNOŚCI NA POCZĄTKU XXI WIEKU W ROSJI

Układy państwowych współrzędnych geodezyjnych na początku XXI wieku.

Budowa Państwowej Sieci Geodezyjnej

BIBLIOGRAFIA

ZAŁĄCZNIK 1. ROZWIĄZANIE BEZPOŚREDNIEGO PROBLEMU GEODEZYJNEGO W PRZESTRZENI

ZAŁĄCZNIK 2. ROZWIĄZANIE ODWROTNEGO PROBLEMU GEODEZYJNEGO W PRZESTRZENI

ZAŁĄCZNIK 3. KONWERSJA WSPÓŁRZĘDNYCH GEODETYCZNYCH B, L, H NA PROSTOKĄT PRZESTRZENNY X, Y, Z

ZAŁĄCZNIK 4. KONWERSJA PRZESTRZENNYCH PROSTOKĄTNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH X, Y, Z NA GEODETYCZNE B, L, H

ZAŁĄCZNIK 5. KONWERSJA PRZESTRZENNYCH PROSTOKĄTNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH X, Y, Z SK-42 NA WSPÓŁRZĘDNE UKŁADU PZ-90

ZAŁĄCZNIK 6. KONWERSJA UKŁADU ODNIESIENIA WSPÓŁRZĘDNYCH GEODETYCZNYCH B, L, H NA UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH GEODEZYJNYCH PZ-90 B0, L0, H0

ZAŁĄCZNIK 7. KONWERSJA PRZESTRZENNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH BIUROWYCH UKŁADU S, ZГ, A NA TOPOCENTRYCZNE POZIOME WSPÓŁRZĘDNE GEODETYCZNE XT, UT, ZT

ZAŁĄCZNIK 8. KONWERSJA TOPOCENTRYCZNYCH POZIOMYCH WSPÓŁRZĘDNYCH GEODETYCZNYCH HT, UT, ZT NA POLARNE WSPÓŁRZĘDNE PRZESTRZENNE – S, ZГ, A

ZAŁĄCZNIK 9. KONWERSJA TOPOCENTRYCZNYCH POZIOMYCH WSPÓŁRZĘDNYCH GEODETYCZNYCH XT, UT, ZT NA PRZESTRZENNE PROSTOKĄTNE WSPÓŁRZĘDNE X, Y, Z

ZAŁĄCZNIK 10. KONWERSJA ELIPSOIDALNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH GEODETYCZNYCH B, L NA PŁASKIE PROSTOKĄTNE WSPÓŁRZĘDNE GAUSS-KRUGERA X, Y

ZAŁĄCZNIK 11. KONWERSJA PŁASKICH PROSTOKĄTNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH GAUSS-KRUGERA X, Y NA ELIPSOIDALNE WSPÓŁRZĘDNE GEODETYCZNE B, L

(za 11 - λ1 )(za 22 - λ1 ) - za 12 za 21 = 0 ;

λ 12 - (za 11 + za 22) λ 1 + (za 11a 22 - za 12 za 21) = 0.

Dyskryminator tych równań kwadratowych wynosi ³ 0, tj.

re = (za 11 + za 22) 2 - 4 (za 11a 22 - za 12 za 21) = (za 11 - za 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Wywoływane są równania (2.56), (2.57). równania charakterystyczne

macierze, a pierwiastki tych równań to wartości własne macierz A. Podstawiamy wartości własne znalezione z (2.57) do (2.39), otrzymujemy

równanie kanoniczne.

Biorąc pod uwagę postać kwadratową w postaci: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Znajdź postać kanoniczną tego równania.

Ponieważ tutaj a 11 = 5; a21 = 2; a 22 = 2, wówczas równanie charakterystyczne (2.56) dla tej postaci kwadratowej będzie miało postać

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Przyrównanie wyznacznika tego równania macierzowego do zera

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

i rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymujemy λ1 = 6; λ2 = 1.

A wtedy forma kanoniczna tej formy kwadratowej będzie miała postać

fa (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Współrzędne krzywoliniowe

2.3.1. Ogólne informacje o krzywoliniowych układach współrzędnych

Klasa współrzędnych krzywoliniowych w porównaniu do klasy współrzędnych prostoliniowych jest obszerna i znacznie bardziej zróżnicowana oraz z analitycznego punktu widzenia najbardziej uniwersalna, gdyż rozszerza możliwości metody współrzędnych prostoliniowych. Zastosowanie współrzędnych krzywoliniowych może czasami znacznie uprościć rozwiązanie wielu problemów, szczególnie problemów rozwiązywanych bezpośrednio na powierzchni obrotowej. Przykładowo, rozwiązując na powierzchni obrotowej zadanie polegające na znalezieniu określonej funkcji, można w obszarze, w którym ta funkcja jest określona na danej powierzchni, wybrać układ współrzędnych krzywoliniowych, który umożliwi tę funkcję otrzymał nową właściwość - być stałym w danym układzie współrzędnych, czego nie zawsze da się osiągnąć stosując prostoliniowe układy współrzędnych.

Układ współrzędnych krzywoliniowych, zdefiniowany w pewnym obszarze trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, wiąże każdy punkt tej przestrzeni z uporządkowaną trójką liczb rzeczywistych - φ, λ, r (krzywoliniowe współrzędne punktu).

Jeżeli układ współrzędnych krzywoliniowych znajduje się bezpośrednio na jakiejś powierzchni (powierzchni obrotowej), to w tym przypadku każdemu punktowi na powierzchni przypisane są dwie liczby rzeczywiste - φ, λ, które jednoznacznie określają położenie punktu na tej powierzchni .

Musi istnieć matematyczne powiązanie pomiędzy układem współrzędnych krzywoliniowych φ, λ, r i prostoliniowym kartezjańskim układem współrzędnych (X, Y, Z). Rzeczywiście, niech zostanie określony układ współrzędnych krzywoliniowych w pewnym obszarze przestrzeni. Każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada pojedyncza trójka współrzędnych krzywoliniowych – φ, λ, r. Z drugiej strony jedyna trójka prostoliniowych współrzędnych kartezjańskich odpowiada temu samemu punktowi - X, Y, Z. Można wtedy argumentować, że w formie ogólnej

ϕ = ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2,58)

X Y Z

r = r (X, Y, Z).

Istnieje zarówno bezpośrednie (2,58), jak i odwrotne powiązanie matematyczne pomiędzy tymi SC.

Z analizy wzorów (2.58) wynika, że ​​przy stałej wartości jednej z przestrzennych współrzędnych krzywoliniowych φ, λ, r np.

ϕ =ϕ(Х,У,Z)= stała,

I zmienne wartości pozostałych dwóch (λ, r) otrzymujemy ogólnie powierzchnię, którą nazywamy powierzchnią współrzędnych. Powierzchnie współrzędnych odpowiadające tej samej współrzędnej nie przecinają się. Jednakże dwie powierzchnie współrzędnych odpowiadające różnym współrzędnym przecinają się i tworzą linię współrzędnych odpowiadającą trzeciej współrzędnej.

2.3.2. Współrzędne krzywoliniowe na powierzchni

W geodezji największym zainteresowaniem cieszą się współrzędne krzywoliniowe powierzchni.

Niech równanie powierzchni będzie funkcją współrzędnych kartezjańskich w

pośrednio ma postać
F (X, Y, Z) = 0.

Kierując wektory jednostkowe i, j, l wzdłuż osi współrzędnych (ryc. 2.11), równanie powierzchni można zapisać w postaci wektorowej

r = X ja + Y jot + Z l . (2,60)

Wprowadźmy dwie nowe zmienne niezależne φ i λ, takie że funkcje

spełniają równanie (2.59). Równania (2.61) są równaniami parametrycznymi powierzchni.

λ1 = stała

					λ2 = stała
					λ3 = stała
					φ3 = stała
					φ2 = stała
					φ1 = stała

Ryż. 2.11. Krzywoliniowy układ współrzędnych powierzchni

Każda para liczb φ i λ odpowiada pewnemu (pojedynczemu) punktowi na powierzchni i zmienne te można przyjąć jako współrzędne punktów powierzchniowych.

Jeśli podamy φ różne stałe wartości φ = φ1, φ = φ2, ..., to otrzymamy rodzinę krzywych na powierzchni odpowiadających tym stałym. Podobnie, podając stałe wartości dla λ, będziemy mieli

druga rodzina krzywych. W ten sposób na powierzchni tworzy się sieć linii współrzędnych φ = const i λ = const. Ogólnie linie współrzędnych

to zakrzywione linie. Dlatego nazywane są liczby φ, λ

współrzędne krzywoliniowe punkty na powierzchni.

Współrzędne krzywoliniowe mogą być wielkościami liniowymi lub kątowymi. Najprostszym przykładem układu współrzędnych krzywoliniowych, w którym jedna współrzędna jest wielkością liniową, a druga wielkością kątową, mogą być współrzędne biegunowe na płaszczyźnie.

Wybór współrzędnych krzywoliniowych nie musi koniecznie poprzedzać utworzenia linii współrzędnych. W niektórych przypadkach bardziej celowe jest utworzenie sieci linii współrzędnych, która jest najwygodniejsza do rozwiązywania określonych problemów na powierzchni, a następnie wybranie dla tych linii takich parametrów (współrzędnych), które miałyby stałą wartość dla każdej linii współrzędnych.

Pewnemu układowi parametrów odpowiada całkowicie określona sieć linii współrzędnych, ale dla każdej danej rodziny linii współrzędnych można wybrać wiele innych parametrów, które są ciągłymi i jednoznacznymi funkcjami danego parametru. W ogólnym przypadku kąty pomiędzy liniami współrzędnych rodziny φ = const i liniami rodziny λ = const mogą mieć różne wartości.

Rozważymy tylko ortogonalne układy współrzędnych krzywoliniowych, w których każda linia współrzędnych φ = const przecina pod kątem prostym dowolną inną linię współrzędnych λ = const.

Przy rozwiązywaniu wielu problemów na powierzchni, zwłaszcza problemów związanych z obliczaniem współrzędnych krzywoliniowych punktów powierzchni, konieczne jest posiadanie równań różniczkowych na zmianę współrzędnych krzywoliniowych φ i λ w zależności od zmiany długości S krzywej powierzchni.

Związek pomiędzy różniczkami dS, dφ, dλ można ustalić wprowadzając nową zmienną α, czyli kąt

α dS

φ = stała

λ = stała

λ+d λ = stała

dodatni kierunek linii λ = const do dodatniej

kierunek tej krzywej (ryc. 2.12). Kąt ten niejako wyznacza kierunek (orientację) linii

dany punkt na powierzchni. Następnie (bez wyjścia):

Ryż. 2.12. Geometria połączenia różniczki łuku krzywej na powierzchni ze zmianami (różnicami) krzywoliniowej

współrzędne

					∂X		2 ∂ У 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
G. = (						∂X		∂ У 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		sina

W kąt geodezyjny α odpowiada azymutowi geodezyjnemu: α = A.

2.3.3. Biegunowe układy współrzędnych i ich uogólnienia

2.3.4. Przestrzenny układ współrzędnych biegunowych

Aby określić przestrzenny układ współrzędnych biegunowych, należy najpierw wybrać płaszczyznę (dalej będziemy ją nazywać główną). Na tej płaszczyźnie wybrany jest pewien punkt O

pomiary

segmenty

przestrzeń, zatem

pozycja

będzie dowolny punkt w przestrzeni

zdecydowanie

być zdeterminowanym

wielkości: r, φ, λ, gdzie r –

polarny

prosta odległość od słupa

O do punktu Q (ryc. 2.13); λ –

kąt biegunowy - kąt pomiędzy

polarny

Ryż. 2.13. Układ przestrzenny

prostokątny

występ

promień biegunowy do głównego

współrzędne biegunowe i ich modyfikacje

samolot

zmiany

(promień biegunowy) i jego

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

wektor

występ

OQ0 włączone

główny

płaszczyzna, uważana za dodatnią (0 ≤ φ ≤ π/2) dla punktów dodatniej półprzestrzeni i ujemną (-π/2 ≤ φ ≤ 0) dla punktów ujemnej półprzestrzeni.

Dowolny przestrzenny polarny CS można łatwo powiązać (przekształcić) z przestrzennym kartezjańskim prostokątnym CS.

Jeśli skalę i początek układu biegunowego przyjmiemy jako skalę i początek współrzędnych w przestrzennym układzie prostokątnym, oś biegunową OR jako oś półodciętej OX, to linia OZ poprowadzona od bieguna O prostopadle do płaszczyzny głównej w dodatni kierunek układu biegunowego jako półoś OZ prostokątnego układu kartezjańskiego i przyjąć półoś – OU jako oś, w którą przechodzi oś odciętej, gdy jest obracana o kąt π/2 w kierunku dodatnim kierunku w płaszczyźnie głównej układu polarnego, a następnie z ryc. 2.13

Wzory (2.64) pozwalają wyrazić X, Y, Z w kategoriach r, φ, λ i odwrotnie

Na powierzchni.

Lokalne właściwości współrzędnych krzywoliniowych

Rozważając współrzędne krzywoliniowe w tej sekcji, założymy, że rozważamy przestrzeń trójwymiarową (n = 3), wyposażoną we współrzędne kartezjańskie x, y, z. Przypadek pozostałych wymiarów różni się jedynie liczbą współrzędnych.

W przypadku przestrzeni euklidesowej tensor metryczny, zwany także kwadratem różniczki łuku, będzie w tych współrzędnych miał postać odpowiadającą macierzy jednostkowej:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Sprawa ogólna

Pozwalać $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- pewne współrzędne krzywoliniowe, które będziemy uważać za dane gładkie funkcje x, y, z. Mieć trzy funkcje $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ służyły jako współrzędne w pewnym obszarze przestrzeni, konieczne jest istnienie odwrotnego odwzorowania:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(macierz)\backslash right.$

Gdzie $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- funkcje określone w jakiejś dziedzinie zbiorów $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ współrzędne

Baza lokalna i analiza tensorowa

W rachunku tensorowym możemy wprowadzić lokalne wektory bazowe: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Gdzie $\backslash mathbf\; e\_i$- wektory jednostkowe kartezjańskiego układu współrzędnych, $Q^i\_j$- macierz Jacobiego, $x^i$ współrzędne w układzie kartezjańskim, $tak^i$- wprowadzone współrzędne krzywoliniowe.
Nietrudno zauważyć, że współrzędne krzywoliniowe, ogólnie rzecz biorąc, zmieniają się z punktu na punkt.
Wskażmy wzory na połączenie współrzędnych krzywoliniowych i kartezjańskich:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Gdzie $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, gdzie E jest macierzą tożsamości.
Iloczyn dwóch lokalnych wektorów bazowych tworzy macierz metryczną:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Gdzie $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontrawariantny, kowariantny i mieszany symbol Kroneckera
Zatem dowolne pole tensorowe $\backslash mathbf\; T$ rangę n można rozszerzyć na lokalną bazę poliadyczną:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Na przykład w przypadku pola tensorowego pierwszego rzędu (wektor):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonalne współrzędne krzywoliniowe

W przestrzeni euklidesowej zastosowanie ortogonalnych współrzędnych krzywoliniowych ma szczególne znaczenie, ponieważ wzory dotyczące długości i kątów wyglądają we współrzędnych ortogonalnych prostszy niż w ogólnym przypadku. Wynika to z faktu, że macierz metryczna w układach o bazie ortonormalnej będzie diagonalna, co znacznie uprości obliczenia.
Przykładem takich układów jest układ kulisty w $\backslash mathbb(R)^2$

Współczynniki Lamego

Różniczkę łuku we współrzędnych krzywoliniowych zapiszemy w postaci (skorzystamy z reguły sumowania Einsteina):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\częściowe q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\częściowe q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~ i=1,2,3

Uwzględnienie ortogonalności układów współrzędnych ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ Na $ja\; \backslash n\; j$) to wyrażenie można przepisać jako

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash częściowe\; \backslash varphi\_1)(\backslash częściowe\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash częściowe\; \backslash varphi\_2)(\backslash częściowe\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; lewy(\backslash frac(\backslash częściowy\; \backslash varphi\_3)(\backslash częściowy\; q\_i)\backslash prawy)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Ilości dodatnie $Cześć\backslash$, w zależności od punktu w przestrzeni, nazywane są współczynnikami Lamégo lub współczynnikami skali. Współczynniki Lamégo pokazują, ile jednostek długości zawiera się w jednostce współrzędnych danego punktu i służą do przekształcania wektorów podczas przechodzenia z jednego układu współrzędnych do drugiego.

Tensor metryczny Riemanna zapisany we współrzędnych $(q\_i)$, jest macierzą diagonalną, na której przekątnej znajdują się kwadraty współczynników Lamégo:

Przykłady

Współrzędne biegunowe ( N=2)

Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie obejmują odległość r do bieguna (początek) i kierunek (kąt) φ.

Zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(macierz)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(macierz)\backslash right.$

Współczynniki Lamégo:

$\backslash begin(macierz)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(macierz)$

Różnica łuku:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

W początku funkcja φ nie jest zdefiniowana. Jeżeli współrzędną φ potraktować nie jako liczbę, lecz jako kąt (punkt na okręgu jednostkowym), wówczas współrzędne biegunowe tworzą układ współrzędnych na obszarze uzyskanym z całej płaszczyzny poprzez usunięcie punktu początkowego. Jeśli nadal będziemy uważać φ za liczbę, to w wyznaczonym obszarze będzie ono wielowartościowe, a konstrukcja ściśle matematycznego układu współrzędnych możliwa będzie tylko w obszarze prosto spójnym, który nie uwzględnia np. początku współrzędnych , w samolocie bez promienia.

Współrzędne cylindryczne ( N=3)

Współrzędne cylindryczne są trywialnym uogólnieniem współrzędnych biegunowych na przypadek przestrzeni trójwymiarowej poprzez dodanie trzeciej współrzędnej z. Zależność między współrzędnymi cylindrycznymi i kartezjańskimi:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(macierz)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(macierz)\backslash right.$

Współczynniki Lamégo:

$\backslash begin(macierz)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(macierz)$

Różnica łuku:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Współrzędne sferyczne ( N=3)

Współrzędne sferyczne są powiązane ze współrzędnymi szerokości i długości geograficznej na sferze jednostkowej. Zależność między współrzędnymi sferycznymi a współrzędnymi kartezjańskimi:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(macierz)\backslash right.$

Współczynniki Lamégo:

$\backslash begin(macierz)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(macierz)$

Różnica łuku:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Współrzędne sferyczne, podobnie jak cylindryczne, nie działają na osi z ( x =0, y =0), ponieważ współrzędna φ nie jest tam zdefiniowana.

Różne egzotyczne współrzędne w samolocie ( N=2) i ich uogólnienia

Napisz recenzję o artykule "Krzywiliniowy układ współrzędnych"

Literatura

• Korn G., Korn T. Podręcznik matematyki (dla naukowców i inżynierów). - M.: Nauka, 1974. - 832 s.

Nazwa współrzędnych Rodzaje układów współrzędnych Współrzędne 2D Współrzędne 3D $N$-współrzędne wymiarowe Współrzędne fizyczne Powiązane definicje

Fragment charakteryzujący krzywoliniowy układ współrzędnych

„Gdyby mógł nas zaatakować, zrobiłby to dzisiaj” – powiedział.
„Dlatego myślisz, że jest bezsilny” – powiedział Langeron.
„Dużo, jeśli ma 40 tysięcy żołnierzy” – odpowiedział Weyrother z uśmiechem lekarza, któremu lekarz chce wskazać lekarstwo.
„W tym przypadku idzie na śmierć, czekając na nasz atak” – powiedział Langeron z cienkim ironicznym uśmiechem, spoglądając na najbliższego Miloradowicza w celu potwierdzenia.
Ale Miloradowicz, oczywiście, w tej chwili najmniej myślał o tym, o co kłócą się generałowie.
„Ma foi, [na Boga” – powiedział – „jutro zobaczymy wszystko na polu bitwy”.
Weyrother znów uśmiechnął się z tym uśmiechem, który mówił, że zabawne i dziwne było dla niego spotykanie się z zarzutami rosyjskich generałów i udowadnianie tego, czego nie tylko on sam był zbyt pewien, ale czego pewni byli cesarze.
„Wróg ugasił pożary i w jego obozie słychać ciągły hałas” – powiedział. - Co to znaczy? „Albo się odsunie, a tylko tego powinniśmy się bać, albo zmieni pozycję (uśmiechnął się). Ale nawet jeśli zajął stanowisko w Tyurasie, ratuje nas tylko od wielu kłopotów, a wszystkie rozkazy, aż do najdrobniejszych szczegółów, pozostają takie same.
„Jak więc?” zapytał książę Andriej, który od dawna czekał na okazję do wyrażenia swoich wątpliwości.
Kutuzow obudził się, odchrząknął ciężko i rozejrzał się po generałach.
„Panowie, nie da się zmienić dyspozycji na jutro, nawet dzisiaj (bo minęła już pierwsza godzina)” – powiedział. „Słyszeliście ją i wszyscy wykonamy nasz obowiązek”. A przed bitwą nie ma nic ważniejszego... (przerwał) niż dobry sen.
Udał, że wstaje. Generałowie pożegnali się i odeszli. Było już po północy. Książę Andriej odszedł.

Rada wojskowa, na której książę Andriej nie był w stanie wyrazić swojej opinii, jak miał nadzieję, wywarła na nim niejasne i niepokojące wrażenie. Nie wiedział, kto miał rację: Dołgorukow i Weyrother czy Kutuzow i Langeron i inni, którzy nie aprobowali planu ataku. „Ale czy Kutuzow naprawdę nie mógł bezpośrednio wyrazić swoich myśli władcy? Czy naprawdę nie można tego zrobić inaczej? Czy naprawdę konieczne jest narażanie dziesiątek tysięcy i mojego życia dla względów sądowych i osobistych?” on myślał.
„Tak, bardzo możliwe, że jutro cię zabiją” – pomyślał. I nagle, na myśl o śmierci, w jego wyobraźni zrodził się cały szereg wspomnień, najodleglejszych i najbardziej intymnych; przypomniał sobie ostatnie pożegnanie z ojcem i żoną; przypomniał sobie pierwsze chwile swojej miłości do niej! Przypomniał sobie jej ciążę, zrobiło mu się żal i jej, i siebie, i w stanie nerwowo złagodzonym i podekscytowanym opuścił chatę, w której stał z Nieswickim, i zaczął iść przed dom.
Noc była mglista, a światło księżyca w tajemniczy sposób przedarło się przez mgłę. „Tak, jutro, jutro! - on myślał. „Być może jutro wszystko się dla mnie skończy, wszystkie te wspomnienia już nie będą, wszystkie te wspomnienia nie będą miały już dla mnie żadnego znaczenia”. Jutro, może nawet prawdopodobnie, jutro to przewiduję, po raz pierwszy w końcu będę musiał pokazać wszystko, co potrafię. I wyobraził sobie bitwę, jej przegraną, koncentrację bitwy w jednym punkcie i zamieszanie wśród wszystkich dowódców. I teraz wreszcie ukazuje mu się ta szczęśliwa chwila, ten Tulon, na który tak długo czekał. Stanowczo i wyraźnie wyraża swoje zdanie Kutuzowowi, Weyrotherowi i cesarzom. Wszyscy dziwią się słuszności jego pomysłu, ale nikt nie podejmuje się go zrealizować, więc bierze pułk, dywizję, ogłasza warunek, aby nikt nie przeszkadzał w jego rozkazach i prowadzi swoją dywizję do decydującego punktu i sam wygrywa. A śmierć i cierpienie? mówi inny głos. Ale książę Andriej nie odpowiada na ten głos i kontynuuje swoje sukcesy. Decyzję o następnej bitwie podejmuje on sam. Ma stopień oficera dyżurnego armii pod Kutuzowem, ale wszystko robi sam. Następną bitwę wygrał sam. Kutuzow zostaje zastąpiony, zostaje mianowany... No i co dalej? inny głos przemawia ponownie, a następnie, jeśli nie zostałeś ranny, zabity lub oszukany dziesięć razy wcześniej; No i co wtedy? „No cóż”, odpowiada sobie książę Andriej, „nie wiem, co będzie dalej, nie chcę i nie mogę wiedzieć: ale jeśli tego chcę, chcę sławy, chcę być znany ludziom , chcę być przez nich kochana, to nie moja wina, że ​​tego chcę, że tylko tego chcę, tylko po to żyję. Tak, tylko po to! Nigdy nikomu tego nie powiem, ale o mój Boże! Co mam zrobić, jeśli nie kocham nic innego, jak tylko chwałę, ludzką miłość? Śmierć, rany, utrata rodziny, nic mnie nie przeraża. I bez względu na to, jak wiele osób jest mi drogich i drogich - mój ojciec, siostra, żona - najdrożsi mi ludzie - ale niezależnie od tego, jak straszne i nienaturalne się to wydaje, oddam ich wszystkich teraz na chwilę chwały, triumf nad ludźmi, z miłości do siebie, ludzi, których nie znam i nie poznam, z miłości do tych ludzi” – myślał, przysłuchując się rozmowie na podwórzu Kutuzowa. Na podwórzu Kutuzowa słychać było głosy sanitariuszy; jeden głos, prawdopodobnie woźnica, dokuczając staremu kucharzowi Kutuzowskiemu, którego znał książę Andriej i który miał na imię Tytus, powiedział: „Tytus, a co z Tytusem?”
„No cóż” – odpowiedział starzec.
„Titus, idź, thresh” – powiedział żartowniś.
„Uch, do diabła z tym” – rozległ się głos, zagłuszony śmiechem sanitariuszy i służby.
„A jednak kocham i cenię jedynie triumf nad nimi wszystkimi, cenię tę tajemniczą moc i chwałę, która unosi się nade mną tutaj, w tej mgle!”

Tej nocy Rostów był z plutonem w łańcuchu flankerów, przed oddziałem Bagrationa. Jego huzarzy byli rozproszeni parami w łańcuchach; on sam jechał konno po tej linie łańcucha, próbując przezwyciężyć sen, który go nieodparcie popychał. Za sobą widział ogromną przestrzeń ogni naszej armii płonących słabo we mgle; przed nim panowała mglista ciemność. Bez względu na to, jak bardzo Rostow wpatrywał się w tę mglistą dal, nic nie widział: czasem stawało się szare, czasem coś wydawało się czarne; potem zdawało się, że światła błyskają tam, gdzie powinien znajdować się wróg; potem pomyślał, że błyszczy tylko w jego oczach. Oczy mu się zamknęły i w wyobraźni wyobraził sobie najpierw władcę, potem Denisowa, potem wspomnienia Moskwy, i znowu pośpiesznie otworzył oczy i zamknął przed sobą głowę i uszy konia, na którym siedział, czasem czarne postacie huzarów, gdy był już sześć kroków ode mnie, wpadłem na nich, a w oddali wciąż była ta sama mglista ciemność. "Od czego? Bardzo możliwe – pomyślał Rostow – że władca po spotkaniu ze mną wyda rozkaz, jak każdy oficer: powie: „Idź, dowiedz się, co tam jest”. Wiele osób opowiadało, jak zupełnie przez przypadek rozpoznał jakiegoś funkcjonariusza i przybliżył go do siebie. A co by było, gdyby przybliżył mnie do siebie! Och, jak bym go chronił, jak powiedziałbym mu całą prawdę, jak zdemaskowałbym jego oszustów” – i Rostow, aby żywo wyobrazić sobie swoją miłość i oddanie dla władcy, wyobraził sobie wroga lub zwodziciela Niemca, którego lubił nie tylko zabijać, ale bić go po policzkach w oczach władcy. Nagle odległy krzyk obudził Rostów. Wzdrygnął się i otworzył oczy.
"Gdzie jestem? Tak, w łańcuchu: hasło i hasło – dyszel, Olmütz. Jaka szkoda, że ​​jutro nasza eskadra będzie w rezerwie... – pomyślał. - Poproszę cię o zaangażowanie. To może być jedyna okazja, aby zobaczyć władcę. Tak, zmiana nie potrwa długo. Pójdę jeszcze raz, a kiedy wrócę, pójdę do generała i go zapytam. Poprawił się w siodle i przesunął konia, aby ponownie okrążył huzarów. Wydało mu się, że jest jaśniej. Po lewej stronie widać było delikatnie oświetlone zbocze, a naprzeciw niego czarny pagórek, który sprawiał wrażenie stromego, przypominającego ścianę. Na tym wzgórzu była biała plama, której Rostow nie rozumiał: czy była to polana w lesie oświetlona księżycem, czy może pozostały śnieg, czy też białe domy? Wydawało mu się nawet, że coś porusza się wzdłuż tej białej plamy. „Śnieg musi być plamą; spot – une tache” – pomyślał Rostów. "Proszę bardzo…"

Odpowiadająca takiej przestrzeni wektorowej. W tym artykule za punkt wyjścia zostanie przyjęta pierwsza definicja.

N (\ displaystyle n)-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest oznaczona przez mi n , (\ Displaystyle \ mathbb (E) ^ (n),) notacja jest również często używana (jeśli z kontekstu jasno wynika, że ​​przestrzeń ma strukturę euklidesową).

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

✪ 04 - Algebra liniowa. Przestrzeń euklidesowa

✪ Geometria nieeuklidesowa. Część pierwsza.

✪ Geometria nieeuklidesowa. Część druga

✪ 01 - Algebra liniowa. Przestrzeń liniowa (wektorowa).

✪ 8. Przestrzenie euklidesowe

Napisy na filmie obcojęzycznym

Definicja formalna

Aby zdefiniować przestrzeń euklidesową, najłatwiej jest przyjąć za główne pojęcie iloczyn skalarny. Przestrzeń wektorową euklidesową definiuje się jako skończenie wymiarową przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, na której wektorach określona jest funkcja o wartościach rzeczywistych (⋅, ⋅) , (\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)) posiadający następujące trzy właściwości:

Przykład przestrzeni euklidesowej - przestrzeń współrzędnych R n , (\ Displaystyle \ mathbb (R) ^ (n),) składający się ze wszystkich możliwych krotek liczb rzeczywistych (x 1 , x 2 , … , x n) , (\ Displaystyle (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (n)),) iloczyn skalarny, w którym określa się wzór (x , y) = ∑ ja = 1 n x ja y ja = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\ Displaystyle (x, y) = \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) y_ (i) = x_ (1) y_ (1) + x_ (2) y_ (2) + \ cdots +x_(n)y_(n).)

Długości i kąty

Iloczyn skalarny zdefiniowany w przestrzeni euklidesowej jest wystarczający do wprowadzenia geometrycznych pojęć długości i kąta. Długość wektora u (\ displaystyle u) zdefiniowana jako (u, u) (\ Displaystyle (\ sqrt ((u, u))))) i jest wyznaczony | ty | . (\ displaystyle | u |.) Dodatnia określoność iloczynu skalarnego gwarantuje, że długość niezerowego wektora jest różna od zera, a z dwuliniowości wynika, że | a ty | = | | | ty | , (\ Displaystyle | au | = | a | | u |,) oznacza to, że długości wektorów proporcjonalnych są proporcjonalne.

Kąt między wektorami u (\ displaystyle u) I v (\ displaystyle v) określone przez formułę φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\ Displaystyle \ varphi = \ arccos \ lewo ({\ Frac ((x, y)) (| x | | y |)) \ prawo).) Z twierdzenia cosinus wynika, że ​​dla dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej ( Płaszczyzna euklidesowa) ta definicja kąta pokrywa się ze zwykłą. Wektory ortogonalne, podobnie jak w przestrzeni trójwymiarowej, można zdefiniować jako wektory, między którymi kąt jest równy π 2. (\ Displaystyle (\ Frac (\ pi) (2)).)

Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego-Schwartza i nierówność trójkąta

W podanej powyżej definicji kąta pozostała jedna luka: aby arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\ Displaystyle \ arccos \ lewo ({\ Frac ((x, y)) (|x | | y |)) \ prawo)} została zdefiniowana, konieczne jest spełnienie nierówności | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\ Displaystyle \ lewo | (\ Frac ((x, y)) (|x||y|)} \ prawo | \ leqslant 1.) Ta nierówność faktycznie zachodzi w dowolnej przestrzeni euklidesowej i nazywa się ją nierównością Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego-Schwartza. Z tej nierówności wynika z kolei nierówność trójkąta: | ty + v | ⩽ | ty | + | v | . (\ Displaystyle | u + v | \ leqslant | u | + | v |.) Nierówność trójkąta wraz z wymienionymi powyżej właściwościami długości oznacza, że ​​długość wektora jest normą w przestrzeni wektorów euklidesowych, a funkcja d(x, y) = | x - y | (\ Displaystyle d (x, y) = | x-y |) definiuje strukturę przestrzeni metrycznej na przestrzeni euklidesowej (funkcja ta nazywana jest metryką euklidesową). W szczególności odległość pomiędzy elementami (punktami) x (\ displaystyle x) I y (\ displaystyle y) przestrzeń współrzędnych R n (\ Displaystyle \ mathbb (R) ^ (n)) jest dane wzorem re (x , y) = ‖ x - y ‖ = ∑ ja = 1 n (x ja - y ja) 2 . (\ Displaystyle d (\ mathbf (x) , \ mathbf (y)) = \ | \ mathbf (x) - \ mathbf (y) \|= (\ sqrt (\ suma _ (i = 1) ^ (n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Właściwości algebraiczne

Podstawy ortonormalne

Sprzężenie spacji i operatorów

Dowolny wektor x (\ displaystyle x) Przestrzeń euklidesowa definiuje funkcjonał liniowy x ∗ (\ displaystyle x ^ (*)) na tej przestrzeni, zdefiniowanej jako x ∗ (y) = (x, y) . (\ Displaystyle x ^ (*) (y) = (x, y).) To odwzorowanie jest izomorfizmem między przestrzenią euklidesową a

Na dowolnej powierzchni możesz ustalić układ współrzędnych, określając położenie na nim punktu, ponownie za pomocą dwóch liczb. Aby to zrobić, w jakiś sposób pokryjemy całą powierzchnię dwiema rodzinami linii, tak aby przez każdy z jej punktów (być może z niewielką liczbą wyjątków) przechodziła jedna i tylko jedna linia z każdej rodziny. Teraz wystarczy oznaczyć linie każdej rodziny znakami numerycznymi zgodnie z pewną solidną regułą, która pozwala znaleźć żądaną linię rodziny za pomocą znaku numerycznego (ryc. 22).

Współrzędne punktu M powierzchnie są liczbami ty, v, Gdzie ty-- numeryczne oznaczenie linii przechodzącej przez nią pierwszej rodziny M, I w-- zaznaczanie linii drugiej rodziny. Będziemy dalej pisać: M(ty; v), liczby I, w nazywane są współrzędnymi krzywoliniowymi punktu M. To, co zostało powiedziane, stanie się całkowicie jasne, jeśli spojrzymy na przykład na kulę. Wszystko to można pokryć meridianami (pierwsza rodzina); każdy z nich odpowiada znakowi numerycznemu, a mianowicie wartości długości geograficznej ty(lub c). Wszystkie podobieństwa tworzą drugą rodzinę; każdy z nich powiązany jest ze znakiem liczbowym – szerokością geograficzną w(albo i). Przez każdy punkt kuli (z wyjątkiem biegunów) przechodzi tylko jeden południk i jeden równoleżnik.

Jako inny przykład rozważmy powierzchnię boczną prawego okrągłego cylindra wysokości N, promień A(ryc. 23). Dla pierwszej rodziny bierzemy układ jej generatorów, jeden z nich traktujemy jako początkowy. Do każdego generatora przypisujemy znak ty, równa długości łuku na okręgu podstawowym pomiędzy tworzącą początkową a tworzącą daną (łuk będziemy liczyć np. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Dla drugiej rodziny bierzemy układ poziomych przekrojów powierzchni; znak numeryczny w Rozważymy wysokość, na której przekrój jest narysowany nad podstawą. Przy odpowiednim doborze osi x, y, z w przestrzeni będziemy mieli dla dowolnego punktu M(x;y; z) nasza powierzchnia:

(Tutaj argumenty za cosinusem i sinusem nie są podawane w stopniach, ale w radianach.) Równania te można uznać za równania parametryczne powierzchni walca.

Zadanie 9. Po jakiej krzywiźnie należy wyciąć kawałek blachy, aby wykonać kolano rury spustowej, aby po odpowiednim zgięciu uzyskać walec o promieniu? A, obcięty przez płaszczyznę pod kątem 45° do płaszczyzny podstawy?

Rozwiązanie. Skorzystajmy z równań parametrycznych powierzchni cylindra:

Rysujemy płaszczyznę cięcia przez oś Oh, jej równanie z=y.Łącząc to z równaniami, które właśnie napisaliśmy, otrzymujemy równanie

linie przecięcia we współrzędnych krzywoliniowych. Po rozwinięciu powierzchni na płaszczyznę współrzędne krzywoliniowe I I w zamienią się we współrzędne kartezjańskie.

Zatem kawałek cyny należy obrysować na górze wzdłuż sinusoidy

Tutaj ty I w już współrzędne kartezjańskie na płaszczyźnie (ryc. 24).

Zarówno w przypadku kuli i powierzchni cylindrycznej, jak i w ogóle, określenie powierzchni za pomocą równań parametrycznych wiąże się z ustaleniem na tej powierzchni krzywoliniowego układu współrzędnych. Rzeczywiście, wyrażenie na współrzędne kartezjańskie x, y, z dowolny punkt M(x;y;z) powierzchnie za pomocą dwóch parametrów ty, w(zazwyczaj jest to napisane w ten sposób: X=t ( ty; v), y= ts (u; v), z=š (u; v), ts, w, sh - funkcje dwóch argumentów) pozwala na to znajomość pary liczb ty, v, znajdź odpowiednie współrzędne x, y, z, co oznacza położenie punktu M na powierzchni; liczby ty, w służyć jako jego współrzędne. Nadając jednemu z nich stałą wartość, np ty=ty 0, otrzymujemy wyrażenie x, y, z poprzez jeden parametr v, tj. równanie parametryczne krzywej. To jest linia współrzędnych jednej rodziny, jej równanie ty=ty 0. Dokładnie ta sama linia v=v 0 -- linia współrzędnych innej rodziny.

wektor promienia współrzędnych kartezjańskich