Rozkład sygnałów funkcjami Walsha. Widmo częstotliwości
Podstawowe funkcje
Reprezentacja matematyczna
Widmo sygnału można zapisać za pomocą transformaty Fouriera (jest to możliwe bez współczynnika 1/2 π (\ Displaystyle 1 / (\ sqrt (2 \ pi)))) Jak:
S (ω) = ∫ - ∞ + ∞ s (t) mi - ja ω t re t (\ Displaystyle S (\ omega) = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) s (t) e ^ (-i\omega t)dt), Gdzie ω (\ displaystyle \ omega)- częstotliwość kątowa równa 2 π fa (\ Displaystyle 2 \ pi f).
Widmo sygnału jest wielkością zespoloną i jest reprezentowane jako: S (ω) = ZA (ω) mi - ja ϕ (ω) (\ Displaystyle S (\ omega) = A (\ omega) e ^ (-i \ phi (\ omega)}), Gdzie A (ω) (\ displaystyle A (\ omega))- widmo amplitudowe sygnału, ϕ (ω) (\ Displaystyle \ phi (\ omega))- widmo fazowe sygnału.
Jeśli pod sygnałem s (t) (\ displaystyle s (t)) zrozumieć
Z (2.48) otrzymujemy
(2.49)
Biorąc pod uwagę, że funkcje Walsha są równe ±1, zapisujemy w postaci wyrażenie (2.49).
(2.50)
gdzie a n (k) = 0 lub 1, wyznacza znak funkcji Walsha na przedziale 
Przykłady widm Walsha.
1. Widmo Walsha impulsu prostokątnego s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ t (rys. 2.9)
Z (2.50) znajdujemy
Widmo Walsha impulsu prostokątnego zależy od zależności między m i T. Dla τ/T = 2 v gdzie v jest dodatnią liczbą całkowitą, biorąc pod uwagę wartości funkcji Walsha otrzymujemy
Rozwinięcie impulsu prostokątnego pod względem funkcji Walsha ma postać
Widmo składa się ze składowych 2 V o równych amplitudach równych 1/2 V. Widmo zawiera skończoną liczbę składowych. Przy t/T ≠ 2 V struktura widma ulegnie zmianie.
2. Widmo Walsha impulsu trójkątnego (ryc. 2.10) Przy opisie impulsu trójkątnego
wygodnie jest przejść do czasu bezwymiarowego x = t/T
Zgodnie z (2.50) znajdujemy:
Widma Walsha z numeracją Harmutha i Paleya pokazano na ryc. 2.10, b i c.
3. Widmo Walsha impulsu sinusoidalnego (ryc. 2.11)
Dla impulsu sinusoidalnego
przechodząc do czasu bezwymiarowego x = t/T, piszemy 
Z (2.50) w systemie Harmutha znajdujemy (ryc. 2.11):
Widma Walsha rozpatrywanego sygnału z numeracją Harmutha i Paleya pokazano na rys. 2.11.6 i c.
2,7A. Właściwości widm Walsha
Analizując sygnały z wykorzystaniem funkcji Walsha warto uwzględnić właściwości rozkładu sygnału w bazie Walsha – widma Walsha.
1. Widmo sumy sygnałów jest równe sumie widm każdego sygnału.
Widmo sygnału w układzie funkcji Walsha wyznaczają współczynniki rozszerzalności (2,47). Dla sumy sygnałów współczynniki rozszerzalności są określone przez wyrażenie
(2.52)
gdzie a pk są współczynnikami rozszerzalności sygnału sk (t).
2. Mnożenie sygnału przez funkcję Walsha o liczbie n powoduje zmianę liczby współczynników rozwinięcia na k zgodnie z prawem przesunięcia binarnego modulo dwa
3. Widmo Walsha iloczynu sygnałów s 1 (t) i s 2 (t). zdefiniowany w przedziale . Funkcje takie opisują sygnały okresowe o ograniczonej mocy.
Dla parzystej funkcji s(t), jak wynika z (3.2),
(3.3)
dla funkcji nieparzystej s(t):
(3.4)
Zwykle przy analizie sygnałów stosuje się rozwinięcie s(t) w postaci
(3.5)
Sygnał okresowy jest reprezentowany jako suma składowych harmonicznych o amplitudach An i fazach początkowych.
Zbiór amplitud (D,) określa widmo amplitudy, a zbiór faz początkowych (φ n) określa widmo fazowe sygnału (ryc. 3.1, a). Jak wynika z (3.5), widma sygnałów okresowych są dyskretne lub liniowe, odstęp próbkowania częstotliwości jest równy częstotliwości sygnału ω 1 = 2π/T.
Trygonometryczny szereg Fouriera można zapisać w postaci zespolonej
(3.7)
(3.8)
Przejście od (3.1) do (3.7) jest oczywiste, biorąc pod uwagę wzór Eulera
(3.9)
Współczynniki z n są na ogół wielkościami zespolonymi
W przypadku stosowania złożonej postaci szeregu Fouriera sygnał jest określany przez zbiór zespolonych amplitud (z n). Moduły o złożonych amplitudach |с n | opisują widmo amplitudowe, argumenty φ n - widmo fazowe sygnału (rys. 3.1,6).
Przedstawienie (3.8) w formie
(3.11)
Jak wynika z wyrażeń pisanych, widmo amplitudowe ma symetrię parzystą, a widmo fazowe ma symetrię nieparzystą.
(3.13)
Z porównania wyrażeń (3.2) i (3.11) wynika
Jako przykład rozważmy okresową sekwencję prostokątnych impulsów (ryc. 3.2,a). Rozszerzając okresową sekwencję impulsów prostokątnych na trygonometryczny szereg Fouriera z (3.2), otrzymujemy widma amplitudowe i fazowe w postaci (ryc. 3.2, b):
Podczas korzystania ze złożonej postaci szeregu Fouriera 
z (3.8) wynika:
Widma amplitudy i fazy sygnału są równe
Ograniczającą formą szeregu Fouriera jest całka Fouriera. Sygnał okresowy w T → ∞ staje się nieokresowy. Podstawiając (3.8) do (3.7) piszemy
(3.16)
Analiza sygnału harmonicznego
Przekształcając (3.16), jako T → ∞ (w tym przypadku ω 1 → dω i pω 1 = ω) otrzymujemy
(3.17)
Całkę Fouriera zapisano w nawiasach kwadratowych; opisuje ona gęstość widmową sygnału
Wyrażenie (3.17) przyjmie postać
Zapisane relacje reprezentują bezpośrednie i odwrotne transformaty Fouriera. Wykorzystuje się je w analizie harmonicznej sygnałów nieokresowych.
3.2. Analiza harmoniczna sygnałów nieokresowych
Bezpośrednie i odwrotne transformaty Fouriera ustalają zgodność jeden do jednego między sygnałem (funkcją czasu opisującą sygnał s(t)) a jego gęstością widmową S(ω):
(3.18)
Oznaczamy korespondencję Fouriera:
(3.19)
Warunkiem istnienia transformaty Fouriera jest absolutna całkowalność funkcji s(t)
(3.20)
W zastosowaniach praktycznych wygodniejszy jest warunek całkowalności kwadratu tej funkcji
(3.21)
Dla sygnałów rzeczywistych warunek (3.21) jest równoważny warunkowi (3.20), ale ma bardziej oczywiste znaczenie fizyczne: warunek (3.21) oznacza ograniczoną energię sygnału. Można zatem uznać za możliwe zastosowanie transformaty Fouriera do sygnałów o ograniczonej energii. Są to sygnały nieokresowe (impulsowe). Dla sygnałów okresowych rozkład harmonicznych
komponenty nic są produkowane przy użyciu szeregu Fouriera.
Funkcja S(ω) jest ogólnie złożona
gdzie Re, lm są częściami rzeczywistymi i urojonymi wielkości zespolonej; |s(w)|, f(oo) - moduł i argument o wartości zespolonej:
Moduł gęstości widmowej sygnału |S(ω)| opisuje rozkład amplitud składowych harmonicznych według częstotliwości, zwany widmem amplitudowym. Argument φ(ω) podaje rozkład faz w funkcji częstotliwości, zwany widmem fazowym sygnału. Widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a widmo fazowe jest nieparzystą funkcją częstotliwości
Uwzględniając wzór Eulera (3.9), zapisujemy wyrażenie na S(ω) w postaci
(3.24)
Jeśli s(t) jest funkcją parzystą, to z (3.24) otrzymujemy
(3.25)
Funkcja S(ω), jak wynika z (3.25), jest funkcją rzeczywistą. Widmo fazowe definiuje się jako
(3.26)
Dla funkcji nieparzystej s(t) z (3.24) otrzymujemy
(3.27)
Funkcja S(ω) jest czysto urojona, widmo fazowe
(3.28)
Każdy sygnał można przedstawić jako sumę składowych parzystych s h (t) i nieparzystych s H (t).
(3.29)
Możliwość takiej reprezentacji staje się jasna, biorąc pod uwagę następujące równości:
Z (3.24) i (3.29) otrzymujemy
(3.30)
Dlatego dla części rzeczywistej i urojonej gęstości widmowej sygnału możemy napisać:
Zatem część rzeczywista gęstości widmowej reprezentuje transformatę Fouriera składowej parzystej, a część urojona – składowej nieparzystej sygnału. Rzeczywista część złożonej gęstości widmowej sygnału jest parzysta, a część urojona jest nieparzystą funkcją częstotliwości.
Gęstość widmowa sygnału przy ω = 0
(3.31)
równa powierzchni pod krzywą s(t).
Przykładowo otrzymujemy widma niektórych sygnałów.
1. Impuls prostokątny (ryc. 3.3, a)
gdzie τ i jest czasem trwania impulsu.
Gęstość widmowa sygnału
Wykresy widm amplitudowych i fazowych sygnału pokazano na rys. 3.3, b, c.
2. Sygnał opisany funkcją
Gęstość widmowa sygnału jest określona przez wyrażenie 
Całkując przez części n-1 razy, otrzymujemy
Sygnał (ryc. 3.4a)
ma gęstość widmową
Wykresy widm amplitudowych i fazowych pokazano na rys. 3.4, b, c.
Sygnał (ryc. 3.5, a)
ma gęstość widmową
Wykresy widm amplitudowych i fazowych - rys. 3.5, b, c.
Liczba przykładów w tabeli wzrasta. 3.1.
Porównanie (3.18) i (3.8) pokazuje, że gęstość widmowa pojedynczego impulsu przy τ< Uwzględniając tę zależność, wyznaczanie widma sygnału okresowego w wielu przypadkach można uprościć, stosując transformatę Fouriera (3.18). Współczynniki szeregu Fouriera można znaleźć jako gdzie S(ω) jest gęstością widmową jednego impulsu. Zatem przy wyznaczaniu widm amplitudowych i fazowych sygnałów okresowych warto pamiętać o następujących równościach: Współczynnik 1/T można uznać za odstęp częstotliwości pomiędzy sąsiednimi składowymi widma, a gęstość widmową jako stosunek amplitudy składowej sygnału do przedziału częstotliwości, któremu odpowiada amplituda. Biorąc to pod uwagę, termin „gęstość widmowa” staje się bardziej zrozumiały. Ciągłe widma amplitudowe i fazowe pojedynczego impulsu są obwiedniami dyskretnych widm amplitudowych i fazowych okresowej sekwencji takich impulsów. Korzystając z zależności (3.33) wyniki podano w tabeli. 3.1 można wykorzystać do określenia widm okresowych ciągów impulsów. Poniższe przykłady ilustrują to podejście. 1. Okresowa sekwencja impulsów prostokątnych (tabela 3.1, poz. 1), rys. 3.2. Zapisane wyrażenie powtarza wynik z przykładowego kroku 3.1. 2. Okresowa sekwencja impulsów meandrowych (tabela 3.1, poz. 2), rys. 3.6, ryc. 3.2. 3. Okresowa sekwencja impulsów wykładniczych (tabela 3.1, paragraf 8), rys. 3.7. Tabela 3.1 Sygnały i ich widma 3.3. Widma częstotliwościowe sygnałów przedstawione w postaci uogólnionego szeregu Fouriera Reprezentując sygnał w postaci uogólnionego szeregu Fouriera, przydatna jest transformata Fouriera funkcji bazowych. Pozwoli nam to przejść od widma w oparciu o różne układy ortogonalne do widma częstotliwości. Poniżej przedstawiono przykłady widm częstotliwości niektórych typów sygnałów opisanych funkcjami bazowymi układów ortogonalnych. 1. Sygnały Legendre'a. Transformata Fouriera wielomianu Legendre'a (rozdział 2) ma postać n= 1,2, ... - wielomian Legendre'a; Korzystając z (3.34), z sygnału przedstawionego jako szereg z szansami Wyrażenie (3.35) opisuje gęstość widmową sygnału s(f) w postaci szeregu. Wykresy składowych widma o numerach 1 - 3 pokazano na rys. 3.8. 2. Sygnały Laguerre’a. Transformata Fouriera funkcji Laguerre'a ma postać n= 1,2,... to funkcje Laguerre'a. Korzystając z (3.36), z sygnału przedstawionego jako szereg rozwinięć w wielomianach Laguerre'a (rozdział 2) z szansami możesz przejść do gęstości widmowej sygnału 3. Sygnały Hermite'a. Transformata Fouriera funkcji Hermite'a ma postać Z (3.38) wynika, że funkcje Hermite’a mają właściwość przekształcalności, tj. funkcje i ich transformaty Fouriera są równe (aż do stałych współczynników). Korzystając z (3.38), z sygnału przedstawionego jako seria rozwinięć w wielomianach Hermite'a z szansami możesz przejść do gęstości widmowej sygnału 4. Sygnały Walsha. Widma częstotliwości sygnałów Walsha (sygnały opisane funkcjami Walsha) wyznaczane są za pomocą następującej transformaty Fouriera: gdzie wal(n,x) jest funkcją Walsha. Ponieważ funkcje Walsha mają N obszarów o stałych wartościach, gdzie x k jest wartością x w k-tym przedziale. Z (3.41) otrzymujemy Gdzie Ponieważ funkcje Walsha przyjmują wartości ±1, możemy zapisać (3.42) w postaci gdzie a n (k) = 0 lub 1 wyznacza znak funkcji wal(n,x k). Na ryc. Rysunek 3.9 przedstawia wykresy widm amplitudowych pierwszych sześciu sygnałów Walsha. 3.4. Widma sygnałów opisane funkcjami niecałkowalnymi Transformata Fouriera istnieje tylko dla sygnałów o skończonej energii (dla których spełniony jest warunek (3.21). Klasę sygnałów analizowanych za pomocą transformaty Fouriera można rozszerzyć za pomocą techniki czysto formalnej, polegającej na wprowadzeniu pojęcia gęstości widmowej dla funkcji impulsu. Przyjrzyjmy się niektórym z tych sygnałów. 1. Funkcja impulsu. Funkcja impulsu (lub δ - funkcja) jest zdefiniowana jako Z definicji funkcji impulsowej wynika jej właściwość filtrowania Definiujemy gęstość widmową funkcji impulsu jako Widmo amplitudowe jest równe jedności, widmo fazowe φ(ω) = ωt 0 (ryc. 3.10). Odwrotna transformata Fouriera daje Analogicznie do (3.47) piszemy dla dziedziny częstotliwości Korzystając z uzyskanych wyrażeń wyznaczamy gęstości widmowe niektórych typów sygnałów opisywanych funkcjami, dla których nie ma transformaty Fouriera. 2. Sygnał stały s(t) = s 0 . Biorąc pod uwagę (3.48) otrzymujemy (ryc. 3.11) 3. Sygnał harmoniczny. Gęstość widmowa sygnału zostanie uzyskana z uwzględnieniem (3.48) w postaci Przy φ = 0 (ryc. 3.12) Dla sygnału analogicznie do (3.52) znajdujemy 4. Funkcja kroku jednostkowego. Rozważymy funkcję kroku jednostkowego σ(t) jako ograniczającą formę pędu wykładniczego Przedstawmy pęd wykładniczy jako sumę składników parzystych i nieparzystych (3.29) 1. Widmo sinusoidy (ryc. 14.14, a) na podstawie funkcji Walsha. W takim przypadku wskazane jest zrównanie przedziału rozkładu z wartością T. Przechodząc do czasu bezwymiarowego, oscylację zapiszemy w postaci Ograniczmy się do 16 funkcji i najpierw wybierzmy porządek Walsha. Ponieważ dana funkcja jest nieparzysta względem punktu , wszystkie współczynniki parzystych funkcji Walsha w szeregu (14.27), tj. for, są równe zeru. Te z pozostałych ośmiu funkcji, które pokrywają się z funkcjami Rademachera i mają okresowość w przedziale, prowadzą do zerowego współczynnika ze względu na parzystość we wskazanych przedziałach. Zatem tylko cztery współczynniki z 16 nie są równe zeru: A (1), A (5), A (9) i A (13). Wyznaczmy te współczynniki korzystając ze wzoru (14.28). Funkcje całkowe, które są iloczynami sygnałów (patrz ryc. 14.14, a) i odpowiadającą im funkcję, pokazano na ryc. 14.14, b - d. Daje fragmentaryczną integrację tych produktów Widmo rozpatrywanego sygnału w oparciu o funkcje Walsha (uporządkowane przez Walsha) przedstawiono na rys. 14.15, o. Ryż. 14.14. Bramkowanie odcinka sinusoidy za pomocą funkcji Walsha Ryż. 14.15. Widma sinusoidy na podstawie funkcji Walsha uporządkowanych przez Walsha (a), Paleya (b) i Hadamarda (c). Rozmiar podstawowy Na zamówienie Paleya i Hadamarda widmo tego samego sygnału przyjmuje postać pokazaną na ryc. 14.15, b i c. Widma te uzyskuje się z widma na rys. 14.15, ale poprzez przestawienie współczynników zgodnie z tabelą (patrz rys. 14.13), pokazującą zależność pomiędzy sposobami uporządkowania funkcji Walsha (dla ). Aby zmniejszyć zniekształcenia podczas rekonstrukcji oscylacji przy użyciu ograniczonej liczby funkcji Walsha, należy preferować uporządkowanie, które zapewnia monotoniczne zmniejszenie widma. Innymi słowy, najlepsze uporządkowanie to takie, w którym każda kolejna składowa widmowa nie jest większa (w wartości bezwzględnej) od poprzedniej, tj. W tym sensie najlepszym uporządkowaniem przy przedstawianiu odcinka sinusoidy, jak wynika z ryc. 14.15 to porządek Paleya, a najgorszy Hadamard. Przywrócenie pierwotnego sygnału (patrz ryc. 14.14, a) z szesnastoma funkcjami Walsha pokazano na ryc. 14,16 (znika dwanaście współczynników widmowych). Konstrukcja ta oczywiście nie zależy od sposobu uporządkowania funkcji. Oczywiście, aby uzyskać bardziej zadowalające przybliżenie oscylacji sinusoidalnej w bazie Walsha, wymagane jest znaczne zwiększenie liczby składowych widmowych. Poza przedziałem (0,1) szereg (14.27), jak zauważono w § 14.4, opisuje okresową kontynuację, w tym przykładzie funkcję harmoniczną. 2. Widmo drgań harmonicznych (Rys. 14.17) w oparciu o funkcje Walsha. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rozważany jest jeden cykl oscylacji harmonicznych z okresem. Przechodząc do czasu bezwymiarowego, zapisujemy wibrację w postaci Widmo Walsha funkcji zdefiniowano w przykładzie 1. Definicja widma funkcji na przedziale jest całkowicie podobna.
(3.32)
(3.34)
- Funkcja Bessela.
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
n= 1,2,... są funkcjami Hermite’a.
(3.39)
(3.40)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.48)
(3.49)
(3.53)
(3.55)
