Tabela do przeliczania liczb na różne systemy liczbowe. Metody konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny
Instrukcje
Wideo na ten temat
W systemie liczenia, z którego korzystamy na co dzień, cyfr jest dziesięć – od zera do dziewięciu. Dlatego nazywa się to dziesiętnym. Natomiast w obliczeniach technicznych, szczególnie tych związanych z komputerami, inne systemy, szczególnie binarny i szesnastkowy. Dlatego musisz umieć tłumaczyć liczby od jednego systemy licząc do innego.
Będziesz potrzebować
- - kartka papieru;
- - ołówek lub długopis;
- - kalkulator.
Instrukcje
System binarny jest najprostszy. Ma tylko dwie cyfry - zero i jeden. Każda cyfra binarna liczby, zaczynając od końca, odpowiada potędze dwójki. Dwa w równa się jeden, w pierwszym - dwa, w drugim - cztery, w trzecim - osiem i tak dalej.
Załóżmy, że masz liczbę binarną 1010110. Jednostki w niej znajdują się na drugim, trzecim, piątym i siódmym miejscu. Zatem w systemie dziesiętnym liczba ta wynosi 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Zadanie odwrotne - dziesiętne liczby system. Załóżmy, że masz liczbę 57. Aby ją uzyskać, musisz kolejno podzielić liczbę przez 2 i zapisać resztę. Liczba binarna zostanie zbudowana od końca do początku.
W pierwszym kroku otrzymasz ostatnią cyfrę: 57/2 = 28 (reszta 1).
Następnie otrzymujesz drugą od końca: 28/2 = 14 (reszta 0).
Dalsze kroki: 14/2 = 7 (reszta 0);
7/2 = 3 (reszta 1);
3/2 = 1 (reszta 1);
1/2 = 0 (reszta 1).
To ostatni krok, ponieważ wynikiem dzielenia jest zero. W rezultacie otrzymałeś liczbę binarną 111001.
Sprawdź swoją odpowiedź: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Drugi, używany w sprawach komputerowych, jest szesnastkowy. Ma nie dziesięć, ale szesnaście cyfr. Aby uniknąć nowych konwencji, pierwsze dziesięć cyfr w formacie szesnastkowym systemy oznaczone są liczbami zwykłymi, a pozostałych sześć literami łacińskimi: A, B, C, D, E, F. Odpowiadają one zapisowi dziesiętnemu liczby m od 10 do 15. Aby uniknąć nieporozumień, liczbę zapisaną w systemie szesnastkowym poprzedza się znakiem # lub symbolami 0x.
Odwrotna konwersja z systemu dziesiętnego systemy do postaci szesnastkowej odbywa się przy użyciu tej samej metody reszt, co w przypadku wersji binarnej. Weźmy na przykład liczbę 10000. Dzieląc ją konsekwentnie przez 16 i zapisując resztę, otrzymasz:
10000/16 = 625 (reszta 0).
625/16 = 39 (reszta 1).
39/16 = 2 (pozostała 7).
2/16 = 0 (reszta 2).
Wynikiem obliczeń będzie liczba szesnastkowa #2710.
Sprawdź swoją odpowiedź: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Przenosić liczby z szesnastkowego systemy O wiele łatwiej jest przekonwertować na format binarny. Liczba 16 to dwójka: 16 = 2^4. Dlatego każdą cyfrę szesnastkową można zapisać jako czterocyfrową liczbę binarną. Jeśli liczba binarna zawiera mniej niż cztery cyfry, dodaj zera na początku.
Na przykład #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Sprawdź odpowiedź: oba liczby w zapisie dziesiętnym są one równe 8062.
Aby przetłumaczyć, należy podzielić liczbę binarną na grupy po cztery cyfry, zaczynając od końca i zastąpić każdą taką grupę cyfrą szesnastkową.
Na przykład 11000110101001 staje się (0011)(0001)(1010)(1001), co w zapisie szesnastkowym równa się #31A9. Poprawność odpowiedzi potwierdza konwersja na zapis dziesiętny: oba liczby są równe 12713.
Wskazówka 5: Jak przekonwertować liczbę na postać binarną
Ze względu na ograniczone użycie symboli system binarny jest najwygodniejszy w użyciu w komputerach i innych urządzeniach cyfrowych. Są tylko dwa symbole: 1 i 0, więc to system wykorzystywane w obsłudze rejestrów.
Instrukcje
Binarny jest pozycyjny, tj. Pozycja każdej cyfry w liczbie odpowiada określonej cyfrze, która jest równa dwa do odpowiedniej potęgi. Stopień zaczyna się od zera i zwiększa się w miarę przesuwania się od prawej do lewej. Na przykład, numer 101 równa się 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Rozważ liczbę dziesiętną na binarną system przez kolejne dzielenie przez 2. Konwersja ułamka dziesiętnego numer 25 do kodu należy podzielić przez 2, aż pozostanie 0. Reszty otrzymane na każdym etapie dzielenia wpisuje się w wierszu od prawej do lewej, po wpisaniu cyfry ostatniej reszty będzie to ostateczna
Wynik został już otrzymany!
Systemy liczbowe
Istnieją pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe. Arabski system liczbowy, którego używamy w życiu codziennym, jest pozycyjny, ale rzymski system liczbowy nie. W systemach liczb pozycyjnych położenie liczby jednoznacznie określa wielkość liczby. Rozważmy to na przykładzie liczby 6372 w systemie dziesiętnym. Ponumerujmy tę liczbę od prawej do lewej, zaczynając od zera:
Następnie liczbę 6372 można przedstawić w następujący sposób:
6372=6000+300+70+2 =6,10 3 +3,10 2 +7,10 1 +2,10 0 .
Liczba 10 określa system liczbowy (w tym przypadku jest to 10). Wartości położenia danej liczby przyjmuje się jako potęgi.
Rozważmy rzeczywistą liczbę dziesiętną 1287,923. Ponumerujmy ją zaczynając od pozycji zerowej liczby od kropki dziesiętnej w lewo i w prawo:
Następnie liczbę 1287,923 można przedstawić jako:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1,10 3 +2,10 2 +8,10 1 +7,10 0 +9,10 -1 +2,10 -2 +3· 10 -3.
Ogólnie formułę można przedstawić w następujący sposób:
C rz S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
gdzie C n jest liczbą całkowitą na pozycji N, D -k - liczba ułamkowa na pozycji (-k), S- system liczbowy.
Kilka słów o systemach liczbowych Liczba w systemie dziesiętnym składa się z wielu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), w systemie ósemkowym składa się z wielu cyfr (0,1, 2,3,4,5,6,7), w systemie binarnym – ze zbioru cyfr (0,1), w systemie szesnastkowym – ze zbioru cyfr (0,1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), gdzie A,B,C,D,E,F odpowiadają liczbom 10,11, 12,13,14,15. W tabeli Tab.1 liczby przedstawiono w różnych systemach liczbowych.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacja | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | mi | 15 | 1111 | 17 | F |
Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny
Aby przekonwertować liczby z jednego systemu liczbowego na inny, najłatwiej jest najpierw przekonwertować liczbę na system dziesiętny, a następnie dokonać konwersji z systemu dziesiętnego na wymagany system liczbowy.
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny
Korzystając ze wzoru (1), możesz przekonwertować liczby z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny.
Przykład 1. Konwertuj liczbę 1011101.001 z systemu liczb binarnych (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Przykład2. Konwertuj liczbę 1011101.001 z ósemkowego systemu liczbowego (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
Przykład 3 . Konwertuj liczbę AB572.CDF z szesnastkowego systemu liczbowego na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
Tutaj A-zastąpiony przez 10, B- o godzinie 11, C- o godzinie 12, F- do 15.
Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Aby przekonwertować liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy, należy osobno przekonwertować część całkowitą liczby i część ułamkową liczby.
Część całkowitą liczby konwertuje się z dziesiętnego SS na inny system liczbowy poprzez kolejne podzielenie części całkowitej liczby przez podstawę systemu liczbowego (dla SS binarnego - przez 2, dla 8-arowego SS - przez 8, dla 16 -ary SS - o 16 itd.) aż do uzyskania całej pozostałości, mniejszej niż zasada CC.
Przykład 4 . Przekonwertujmy liczbę 159 z dziesiętnego SS na binarny SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Jak widać z rys. 1, liczba 159 przy dzieleniu przez 2 daje iloraz 79, a reszta 1. Ponadto liczba 79 przy dzieleniu przez 2 daje iloraz 39 i resztę 1 itd. W efekcie konstruując liczbę z reszt z dzielenia (od prawej do lewej) otrzymujemy liczbę w formacie binarnym SS: 10011111 . Dlatego możemy napisać:
159 10 =10011111 2 .
Przykład 5 . Przekonwertujmy liczbę 615 z dziesiętnego SS na ósemkowy SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Konwertując liczbę z dziesiętnego SS na ósemkowy SS, należy kolejno dzielić liczbę przez 8, aż otrzymamy resztę całkowitą mniejszą niż 8. W rezultacie konstruując liczbę z reszt dzielenia (od prawej do lewej) otrzymujemy liczba ósemkowa SS: 1147 (patrz ryc. 2). Dlatego możemy napisać:
615 10 =1147 8 .
Przykład 6 . Przekonwertujmy liczbę 19673 z systemu dziesiętnego na szesnastkowy SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Jak widać z rysunku 3, dzieląc kolejno liczbę 19673 przez 16, reszty wynoszą 4, 12, 13, 9. W systemie liczb szesnastkowych liczba 12 odpowiada C, liczba 13 odpowiada D. Dlatego też nasz liczba szesnastkowa to 4CD9.
Aby zamienić zwykłe ułamki dziesiętne (liczbę rzeczywistą z zerową częścią całkowitą) na system liczbowy o podstawie s, należy sukcesywnie mnożyć tę liczbę przez s, aż część ułamkowa będzie zawierała czyste zero lub otrzymamy wymaganą liczbę cyfr . Jeżeli podczas mnożenia otrzymana zostanie liczba o części całkowitej innej niż zero, to ta część całkowita nie jest brana pod uwagę (są one kolejno uwzględniane w wyniku).
Spójrzmy na powyższe na przykładach.
Przykład 7 . Przekonwertujmy liczbę 0,214 z systemu dziesiętnego na binarny SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Jak widać na ryc. 4, liczbę 0,214 mnoży się kolejno przez 2. Jeżeli wynikiem mnożenia jest liczba z częścią całkowitą inną niż zero, wówczas część całkowitą zapisuje się osobno (po lewej stronie liczby), a liczba jest zapisywana z zerową częścią całkowitą. Jeżeli w wyniku mnożenia zostanie wygenerowana liczba posiadająca zerową część całkowitą, wówczas po jej lewej stronie wpisuje się zero. Proces mnożenia trwa aż część ułamkowa osiągnie czyste zero lub otrzymamy wymaganą liczbę cyfr. Zapisując pogrubione liczby (ryc. 4) od góry do dołu, otrzymujemy wymaganą liczbę w systemie liczb binarnych: 0. 0011011 .
Dlatego możemy napisać:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Przykład 8 . Przekonwertujmy liczbę 0,125 z systemu dziesiętnego na binarny SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Aby przekonwertować liczbę 0,125 z dziesiętnego SS na binarny, liczbę tę mnoży się kolejno przez 2. W trzecim etapie wynikiem jest 0. W rezultacie otrzymuje się następujący wynik:
0.125 10 =0.001 2 .
Przykład 9 . Przekonwertujmy liczbę 0,214 z dziesiętnego systemu liczbowego na szesnastkowy SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Postępując zgodnie z przykładami 4 i 5, otrzymujemy liczby 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale w systemie szesnastkowym liczby 12 i 11 odpowiadają liczbom C i B. Dlatego mamy:
0,214 10 = 0,36C8B4 16 .
Przykład 10 . Przekonwertujmy liczbę 0,512 z systemu dziesiętnego na ósemkowy SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Dostał:
0.512 10 =0.406111 8 .
Przykład 11 . Przekonwertujmy liczbę 159,125 z systemu dziesiętnego na binarny SS. Aby to zrobić, tłumaczymy osobno część całkowitą liczby (przykład 4) i część ułamkową liczby (przykład 8). Dalsze połączenie tych wyników otrzymujemy:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Przykład 12 . Przekonwertujmy liczbę 19673.214 z systemu dziesiętnego na szesnastkowy SS. Aby to zrobić, tłumaczymy osobno część całkowitą liczby (przykład 6) i część ułamkową liczby (przykład 9). Ponadto, łącząc te wyniki, otrzymujemy.
Notatka 1
Jeśli chcesz przekonwertować liczbę z jednego systemu liczbowego na inny, wygodniej jest najpierw przekonwertować ją na system dziesiętny, a dopiero potem przekonwertować z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczbowy.
Zasady konwersji liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny
W technologii komputerowej wykorzystującej arytmetykę maszynową ważną rolę odgrywa konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny. Poniżej podajemy podstawowe zasady takich przekształceń (tłumaczeń).
Konwertując liczbę binarną na dziesiętną, należy przedstawić liczbę binarną jako wielomian, którego każdy element jest reprezentowany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku $2$, a następnie musisz obliczyć wielomian, korzystając z zasad arytmetyki dziesiętnej:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Rysunek 1. Tabela 1
Przykład 1
Konwertuj liczbę $11110101_2$ na system dziesiętny.
Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $1$ podstawy $2$, przedstawiamy liczbę jako wielomian:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Aby przekonwertować liczbę z systemu ósemkowego na dziesiętny, należy ją przedstawić w postaci wielomianu, którego każdy element jest przedstawiany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku przypadek $8$, a następnie musisz obliczyć wielomian zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Rysunek 2. Tabela 2
Przykład 2
Konwertuj liczbę $75013_8$ na system dziesiętny.
Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $2$ podstawy $8, przedstawiamy liczbę jako wielomian:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Aby przekonwertować liczbę z postaci szesnastkowej na dziesiętną, należy przedstawić ją jako wielomian, którego każdy element jest reprezentowany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku 16 $, a następnie musisz obliczyć wielomian zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Rysunek 3. Tabela 3
Przykład 3
Konwertuj liczbę $FFA2_(16)$ na system dziesiętny.
Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $3$ podstawy $8, przedstawiamy liczbę jako wielomian:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Zasady konwersji liczb z systemu dziesiętnego na inny
- Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system binarny, należy ją kolejno podzielić przez 2 $, aż pozostała część będzie mniejsza lub równa 1 $. Liczbę w systemie binarnym przedstawia się jako ciąg ostatniego wyniku dzielenia i reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności.
Przykład 4
Konwertuj liczbę $22_(10)$ na system liczb binarnych.
Rozwiązanie:
Rysunek 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na ósemkowy, należy ją kolejno podzielić przez 8 USD, aż pozostała część będzie mniejsza lub równa 7 USD. Liczbę w systemie ósemkowym przedstawia się jako ciąg cyfr wyniku ostatniego dzielenia i reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności.
Przykład 5
Zamień liczbę $571_(10)$ na system liczb ósemkowych.
Rozwiązanie:
Rysunek 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system szesnastkowy, należy ją sukcesywnie dzielić przez 16 $, aż pozostanie mniejsza lub równa 15 $. Liczba w systemie szesnastkowym jest reprezentowana jako ciąg cyfr wyniku ostatniego dzielenia i reszty dzielenia w odwrotnej kolejności.
Przykład 6
Konwertuj liczbę $7467_(10)$ na system liczbowy szesnastkowy.
Rozwiązanie:
Rysunek 6.
7467 $_(10) = 1D2B_(16)$
Aby zamienić ułamek właściwy z dziesiętnego systemu liczbowego na niedziesiętny system liczbowy, należy kolejno pomnożyć część ułamkową konwertowanej liczby przez podstawę systemu, na który ma zostać przeliczona. Ułamki w nowym systemie będą reprezentowane jako całe części produktów, zaczynając od pierwszej.
Na przykład: $0,3125_((10))$ w systemie liczb ósemkowych będzie wyglądać jak $0,24_((8))$.
W takim przypadku może wystąpić problem, gdy skończony ułamek dziesiętny może odpowiadać ułamkowi nieskończonemu (okresowemu) w systemie liczb niedziesiętnych. W takim przypadku liczba cyfr ułamka reprezentowanego w nowym systemie będzie zależała od wymaganej dokładności. Należy również zauważyć, że liczby całkowite pozostają liczbami całkowitymi, a ułamki właściwe pozostają ułamkami w dowolnym systemie liczbowym.
Zasady konwersji liczb z binarnego systemu liczbowego na inny
- Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na ósemkowy, należy ją podzielić na triady (potrójne cyfry), zaczynając od najmniej znaczącej cyfry, jeśli to konieczne, dodając zera do wiodącej triady, a następnie zastąpić każdą triadę odpowiednią cyfrą ósemkową zgodnie z tabelą 4.
Rysunek 7. Tabela 4
Przykład 7
Konwertuj liczbę $1001011_2$ na system liczb ósemkowych.
Rozwiązanie. Korzystając z Tabeli 4, konwertujemy liczbę z systemu binarnego na ósemkowy:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na szesnastkowy, należy ją podzielić na tetrady (cztery cyfry), zaczynając od cyfry najmniej znaczącej, w razie potrzeby dodając zera do tetrady najbardziej znaczącej, następnie każdą tetradę zastępując odpowiednią cyfrą ósemkową zgodnie z tabelą 4.
Metody konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny.
Konwersja liczb z jednego systemu liczb pozycyjnych na inny: konwersja liczb całkowitych.
Aby przekonwertować liczbę całkowitą z jednego systemu liczbowego o podstawie d1 na inny o podstawie d2, należy kolejno dzielić tę liczbę i otrzymane ilorazy przez podstawę d2 nowego systemu, aż do uzyskania ilorazu mniejszego niż podstawa d2. Ostatni iloraz jest najbardziej znaczącą cyfrą liczby w nowym systemie liczbowym o podstawie d2, a cyfry po nim to reszty z dzielenia, zapisane w odwrotnej kolejności ich otrzymania. Wykonuj operacje arytmetyczne w systemie liczbowym, w którym zapisana jest tłumaczona liczba.
Przykład 1. Zamień liczbę 11(10) na system binarny.
Odpowiedź: 11(10)=1011(2).
Przykład 2. Zamień liczbę 122(10) na system ósemkowy.
Odpowiedź: 122(10)=172(8).
Przykład 3. Zamień liczbę 500(10) na system liczbowy szesnastkowy.
Odpowiedź: 500(10)=1F4(16).
Zamiana liczb z jednego systemu liczb pozycyjnych na inny: zamiana ułamków właściwych.
Aby zamienić ułamek właściwy z systemu liczbowego o podstawie d1 na układ o podstawie d2, należy kolejno pomnożyć pierwotny ułamek i części ułamkowe otrzymanych iloczynów przez podstawę nowego systemu liczbowego d2. Prawidłowy ułamek liczby w nowym systemie liczbowym o podstawie d2 tworzy się w postaci części całkowitych powstałych iloczynów, zaczynając od pierwszego.
Jeżeli w wyniku tłumaczenia powstanie ułamek w postaci szeregu nieskończonego lub rozbieżnego, proces można zakończyć po osiągnięciu wymaganej dokładności.
Przy tłumaczeniu liczb mieszanych konieczne jest osobne przetłumaczenie części całkowitej i ułamkowej na nowy system zgodnie z zasadami tłumaczenia liczb całkowitych i ułamków właściwych, a następnie połączenie obu wyników w jedną liczbę mieszaną w nowym systemie liczbowym.
Przykład 1. Zamień liczbę 0,625(10) na system binarny.
Odpowiedź: 0,625(10)=0,101(2).
Przykład 2. Zamień liczbę 0,6(10) na system ósemkowy.
Odpowiedź: 0,6(10)=0,463(8).
Przykład 2. Zamień liczbę 0,7(10) na system szesnastkowy.
Odpowiedź: 0,7(10)=0,B333(16).
Konwertuj liczby binarne, ósemkowe i szesnastkowe na system dziesiętny.
Aby przekonwertować liczbę z systemu P-ary na liczbę dziesiętną, należy skorzystać z następującego wzoru na rozwinięcie:
anan-1…а1а0=аnPn+ an-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Przykład 1. Zamień liczbę 101,11(2) na system dziesiętny.
Odpowiedź: 101,11(2)= 5,75(10).
Przykład 2. Zamień liczbę 57,24(8) na system dziesiętny.
Odpowiedź: 57,24(8) = 47,3125(10).
Przykład 3. Zamień liczbę 7A,84(16) na system dziesiętny.
Odpowiedź: 7A.84(16)= 122,515625(10) .
Konwersja liczb ósemkowych i szesnastkowych na system binarny i odwrotnie.
Aby przekonwertować liczbę z systemu ósemkowego na binarny, każdą cyfrę tej liczby należy zapisać jako trzycyfrową liczbę binarną (triadę).
Przykład: wpisz liczbę 16,24(8) w systemie binarnym.
Odpowiedź: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Aby przekonwertować liczbę binarną z powrotem na system ósemkowy, należy podzielić pierwotną liczbę na triady po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego i przedstawić każdą grupę cyfrą w systemie ósemkowym. Skrajne niekompletne triady są uzupełniane zerami.
Przykład: wpisz liczbę 1110.0101(2) w systemie ósemkowym.
Odpowiedź: 1110,0101(2)= 16,24(8) .
Aby przekonwertować liczbę z systemu szesnastkowego na system binarny, należy zapisać każdą cyfrę tej liczby jako czterocyfrową liczbę binarną (tetradę).
Przykład: wpisz liczbę 7A,7E(16) w systemie binarnym. 
Odpowiedź: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .
Uwaga: zera wiodące po lewej stronie w przypadku liczb całkowitych i po prawej stronie w przypadku ułamków nie są zapisywane.
Aby przekonwertować liczbę binarną z powrotem na system liczb szesnastkowych, należy podzielić pierwotną liczbę na tetrady po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego i przedstawić każdą grupę cyfrą w systemie liczb szesnastkowych. Skrajne niekompletne triady są uzupełniane zerami.
Przykład: wpisz liczbę 1111010.0111111(2) w systemie szesnastkowym.
Cele Lekcji:
- powtórz przestudiowany materiał na temat systemu liczbowego;
- naucz się konwertować liczbę z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczb pozycyjnych i odwrotnie;
- opanować zasady konwersji liczb z jednego systemu na drugi;
- rozwijać logiczne myślenie.
Podczas zajęć
Na początku lekcji krótki przegląd i sprawdzenie pracy domowej.
W jakiej formie informacje liczbowe są prezentowane w pamięci komputera?
Do czego służą systemy liczbowe?
Jakie znasz rodzaje systemów liczbowych? Podaj własne przykłady.
Czym systemy pozycyjne różnią się od systemów niepozycyjnych?
Celem naszej lekcji jest nauczenie się, jak konwertować liczbę z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczb pozycyjnych i odwrotnie. Ale najpierw przyjrzymy się, jak to możliwe
reprezentują dowolną nieujemną liczbę całkowitą:
W systemach pozycyjnych wartość zapisu liczby całkowitej określa następująca reguła: niech a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 będzie zapisem liczby A, a i są cyframi, wówczas
gdzie p jest liczbą całkowitą większą niż 1, co nazywa się podstawą systemu liczbowego
Aby dla danego p można było zapisać dowolną nieujemną liczbę całkowitą według wzoru (1), a ponadto w jednoznaczny sposób wartości liczbowe poszczególnych cyfr muszą być różnymi liczbami całkowitymi należącymi do odcinka od 0 do p-1.
1) System dziesiętny
liczby: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
liczba 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) System trójskładnikowy
liczby: 0,1,2
liczba 201 3 = 2,3 2 +0,3 1 +1,3 0
Uwaga: indeks dolny w liczbie wskazuje podstawę systemu liczbowego, w którym liczba jest zapisana. W systemie dziesiętnym indeksu nie trzeba zapisywać.
Reprezentacja liczb ujemnych i ułamkowych:
We wszystkich systemach pozycyjnych znak „–” służy do zapisywania liczb ujemnych, podobnie jak w systemie dziesiętnym. Przecinek służy do oddzielania części całkowitej liczby od części ułamkowej. Wartość wpisu an n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m liczby A wyznacza wzór będący uogólnieniem Formuła 1):
75,6 = 7,10 1 +5,10 0 +6,10 –1
–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny:
Należy rozumieć, że przy tłumaczeniu liczby z jednego systemu liczbowego na inny wartość ilościowa liczby nie zmienia się, zmienia się jedynie forma zapisu liczby, tak jak przy tłumaczeniu nazwy liczby, na przykład z Rosyjski na angielski.
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny odbywa się poprzez bezpośrednie obliczenia przy użyciu wzoru (1) dla liczb całkowitych i wzoru (2) dla ułamków.
Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na dowolny system liczbowy.
Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na system o podstawie p polega na znalezieniu współczynników ze wzoru (2). Czasami można to łatwo zrobić, dokonując prostego wyboru. Załóżmy na przykład, że musisz przekonwertować liczbę 23,5 na system ósemkowy. Łatwo zauważyć, że 23,5 = 16+7+0,5 = 2,8+7+4/8 = 2,8 1 +7,8 0 +4,8 –1 =27,48. Wiadomo, że odpowiedź nie zawsze jest taka oczywista. Ogólnie rzecz biorąc, stosuje się metodę osobnego przeliczania części całkowitej i ułamkowej liczby.
Do konwersji liczb całkowitych stosuje się następujący algorytm (uzyskany na podstawie wzoru (1)):
1. Znajdź iloraz i resztę przy dzieleniu liczby przez p. Reszta będzie następną cyfrą ai (j=0,1,2...) liczby w nowym systemie liczbowym.
2. Jeżeli iloraz jest równy zero, to tłumaczenie liczby jest zakończone, w przeciwnym razie do ilorazu stosujemy punkt 1.
Uwaga 1. Cyfry ai w zapisie liczbowym numerowane są od prawej do lewej.
Uwaga 2. Jeżeli p>10, to konieczne jest wprowadzenie zapisu dla liczb o wartościach liczbowych większych lub równych 10.
Zamień liczbę 165 na system liczbowy z przegrodą.
165:7 = 23 (reszta 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (reszta 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (reszta 3) => a 2 = 3
Zapiszmy wynik: a 2 a 1 a 0 , tj. 3247.
Po sprawdzeniu za pomocą wzoru (1) upewnimy się, że tłumaczenie jest poprawne:
3247=3,7 2 +2,7 1 +4,7 0 =3,49+2,7+4 = 147+14+4 = 165.
Do przeliczenia części ułamkowych liczb stosuje się algorytm otrzymany na podstawie wzoru (2):
1. Pomnóż część ułamkową liczby przez p.
2. Częścią całkowitą wyniku będzie kolejna cyfra am (m = –1, –2, –3…) zapisu liczby w nowym systemie liczbowym. Jeśli część ułamkowa wyniku wynosi zero, wówczas tłumaczenie liczby jest zakończone, w przeciwnym razie stosujemy do niej krok 1.
Uwaga 1. Cyfry a m w zapisie liczbowym są ułożone od lewej do prawej w kolejności rosnącej wartości bezwzględnej m.
Uwaga 2. Zwykle liczba cyfr ułamkowych w nowym wpisie numeru jest z góry ograniczona. Pozwala to na wykonanie przybliżonego tłumaczenia z zadaną dokładnością. W przypadku ułamków nieskończonych takie ograniczenie zapewnia skończoność algorytmu.
Zamień liczbę 0,625 na system binarny.
0,625 2 = 1,25 (część całkowita 1) => a -1 =1
0,25 2 = 0,5 (część całkowita 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (część całkowita 1) => a- 3 = 1
Zatem 0,62510 = 0,1012
Po sprawdzeniu za pomocą wzoru (2) upewnimy się, że tłumaczenie jest poprawne:
0,1012=1,2 -1 +0,2- 2 +1,2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Konwertuj liczbę 0,165 na czwartorzędowy system liczbowy, ograniczając ją do czterech czwartorzędowych cyfr.
0,165 4 = 0,66 (część całkowita 0) => a -1 =0
0,66 4 = 2,64 (część całkowita 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (część całkowita 2) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (część całkowita 2) => a -4 = 2
Zatem 0,16510" 0,02224
Zróbmy tłumaczenie wsteczne, aby upewnić się, że błąd bezwzględny nie przekracza 4–4:
0,02224 = 0,4 -1 +2,4 -2 +2,4 -3 +2,4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Konwersja liczb z jednego dowolnego systemu na inny
W takim przypadku należy najpierw przekonwertować liczbę na system dziesiętny, a następnie z systemu dziesiętnego na wymagany.
Do konwersji liczb w przypadku systemów o wielu podstawach stosuje się specjalną metodę.
Niech p i q będą podstawami dwóch systemów liczbowych. Będziemy nazywać te systemy systemami liczbowymi o wielu podstawach, jeśli p = qn lub q = pn, gdzie n jest liczbą naturalną. Na przykład systemy liczbowe o podstawach 2 i 8 są systemami wielokrotnymi.
Niech p = qn i musisz przekonwertować liczbę z systemu liczbowego o podstawie q na system liczbowy o podstawie p. Podzielmy część całkowitą i ułamkową liczby na grupy składające się z n kolejno zapisanych cyfr po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego. Jeśli liczba cyfr w części całkowitej liczby nie jest wielokrotnością n, należy dodać odpowiednią liczbę zer po lewej stronie. Jeżeli liczba cyfr w części ułamkowej liczby nie jest wielokrotnością n, wówczas po prawej stronie dodawane są zera. Każdej takiej grupie cyfr liczby w starym systemie liczbowym będzie odpowiadać jedna cyfra liczby w nowym systemie liczbowym.
Przekonwertujmy 1100001.111 2 na czwartorzędowy system liczbowy.
Dodając zera i wybierając pary liczb, otrzymamy 01100001.11102.
Przetłumaczmy teraz każdą parę cyfr osobno, korzystając z sekcji Tłumaczenie liczb z jednego dowolnego systemu na inny.
Zatem 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
Załóżmy teraz, że musimy przejść z układu o większej podstawie q do układu o mniejszej podstawie p, tj. q = przyp. W tym przypadku jedna cyfra liczby w starym systemie liczbowym odpowiada n cyfrom liczby w nowym systemie liczbowym.
Przykład: Sprawdźmy poprzednie tłumaczenie liczby.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
W systemie szesnastkowym występują cyfry o wartościach liczbowych 10,11,12, 13,14,15. Aby je oznaczyć, użyj pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego A, B, C, D, E, F.
Oto tabela liczb od 0 do 16 zapisanych w systemach liczbowych o podstawach 10, 2, 8 i 16.
| Liczba w systemie dziesiętnym | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| W ósemce | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| W formacie binarnym | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| W systemie szesnastkowym | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | mi | F | 10 |
Aby zapisać cyfry szesnastkowe, możesz także użyć małych liter łacińskich a-f.
Przykład: Przekonwertujmy liczbę 110101001010101010100.11 2 na system liczb szesnastkowych.
Skorzystajmy z krotności podstaw systemów liczbowych (16=2 4). Pogrupujmy liczby po cztery, dodając wymaganą liczbę zer po lewej i prawej stronie
000110101001010101010100,1100 2
i sprawdzając tabelę, otrzymujemy: 1A9554,C 16
Wniosek:
To, w jakim systemie liczbowym najlepiej zapisywać liczby, jest kwestią wygody i tradycji. Z technicznego punktu widzenia wygodne jest stosowanie w komputerze systemu binarnego, ponieważ do zapisania liczby wykorzystuje się tylko dwie cyfry 0 i 1, co można przedstawić za pomocą dwóch łatwo rozróżnialnych stanów „brak sygnału” i „jest sygnał”. sygnał."
Wręcz przeciwnie, obcowanie z liczbami binarnymi jest niewygodne, ponieważ są one dłuższe niż liczby dziesiętne i zawiera wiele powtarzających się cyfr. Dlatego jeśli to konieczne, pracuj z maszynowymi reprezentacjami liczb, używaj systemów liczbowych ósemkowych lub szesnastkowych. Podstawą tych systemów są liczby całkowite potęgi dwójki, dlatego liczby z tych systemów można łatwo przekształcić na binarne i odwrotnie.
Zapisz zadanie domowe:
a) Zapisz daty urodzenia wszystkich członków rodziny w różnych systemach liczbowych.
b) Przekonwertuj liczby z postaci binarnej na ósemkową i szesnastkową, a następnie sprawdź wyniki, wykonując odwrotną konwersję:
a) 1001111110111.011 2;