Obliczenia księgowe z wykorzystaniem binarnego systemu dziesiętnego. Reprezentowanie liczb w kodzie binarnym

Binarny system liczb dziesiętnych stał się powszechny w nowoczesnych komputerach ze względu na łatwość konwersji na system dziesiętny i odwrotnie. Znajduje zastosowanie tam, gdzie główny nacisk kładzie się nie na prostotę konstrukcji technicznej maszyny, ale na wygodę użytkownika. W tym systemie liczbowym wszystkie cyfry dziesiętne są oddzielnie kodowane czterema cyframi binarnymi i w tej formie zapisywane są sekwencyjnie jedna po drugiej.

Binarny system dziesiętny nie jest ekonomiczny z punktu widzenia realizacji konstrukcji technicznej maszyny (wymagane wyposażenie zwiększa się o około 20%), ale jest bardzo wygodny przy przygotowywaniu zadań i programowaniu. W binarnym systemie dziesiętnym podstawą systemu liczbowego jest liczba dziesięć, ale każda z 10 cyfr dziesiętnych (0, 1, ..., 9) jest reprezentowana za pomocą cyfr binarnych, to znaczy zakodowanych w cyfrach binarnych. Do przedstawienia jednej cyfry dziesiętnej używane są cztery cyfry binarne. Istnieje tu oczywiście nadmiarowość, ponieważ cztery cyfry binarne (lub tetrada binarna) mogą reprezentować nie 10, ale 16 liczb, ale jest to już koszt produkcji ze względu na wygodę programowania. Istnieje wiele systemów dziesiętnych kodowanych binarnie do przedstawiania liczb, charakteryzujących się tym, że pewnym kombinacjom zer i jedynek w obrębie jednej tetrady przypisuje się określone wartości cyfr dziesiętnych 1 .

W najczęściej używanym naturalnym systemie dziesiętnym kodowanym binarnie wagi cyfr binarnych w tetradzie są naturalne, czyli 8, 4, 2, 1 (tabela 3.1).

Tabela 3.1. Tabela kodów binarnych cyfr dziesiętnych i szesnastkowych

Numer	Kod	Numer	Kod


		A
		B
		C
		D
		mi
		F

Na przykład liczba dziesiętna 9703 w BCD wygląda następująco: 1001011100000011.

Pytanie 18. os. Logiczne zasady działania komputera. Operacje algebry logicznej

Algebra logiczna obejmuje wiele operacji logicznych. Trzy z nich zasługują jednak na szczególną uwagę, gdyż... za ich pomocą można opisać wszystkie pozostałe, a co za tym idzie, zastosować mniej różnorodnych urządzeń przy projektowaniu obwodów. Takie operacje są spójnik(I), dysjunkcja(Albo i negacja(NIE). Często oznacza się spójnik & , dysjunkcja - || , a negacją jest kreska nad zmienną wskazującą instrukcję.

W przypadku koniunkcji prawdziwość złożonego wyrażenia powstaje tylko wtedy, gdy wszystkie proste wyrażenia tworzące kompleks są prawdziwe. We wszystkich innych przypadkach złożone wyrażenie będzie fałszywe.

W przypadku alternatywy prawdziwość wyrażenia złożonego ma miejsce wtedy, gdy przynajmniej jedno zawarte w nim wyrażenie proste jest prawdziwe lub dwa naraz. Zdarza się, że złożone wyrażenie składa się z więcej niż dwóch prostych. W tym przypadku wystarczy, że jedno proste będzie prawdziwe i wtedy całe zdanie będzie prawdziwe.

Negacja jest operacją jednoargumentową, ponieważ wykonuje się ją w odniesieniu do jednego wyrażenia prostego lub w odniesieniu do wyniku wyrażenia złożonego. W wyniku negacji otrzymuje się nowe stwierdzenie, przeciwne do pierwotnego.

Pytanie 19. Podstawowe zasady logiki algebry

Zwykła notacja tych praw w logice formalnej to:

Pytanie 20. Tabela prawdy

Tablice prawdy

Operacje logiczne wygodnie jest opisywać tzw tablice prawdy, które odzwierciedlają wyniki obliczeń złożonych instrukcji dla różnych wartości oryginalnych prostych instrukcji. Proste instrukcje są oznaczone zmiennymi (na przykład A i B).

21 Pytanie. Elementy logiczne. Ich nazwy i oznaczenia na schemacie

Jak możemy wykorzystać wiedzę zdobytą z zakresu logiki matematycznej do projektowania urządzeń elektronicznych? Wiemy, że O i 1 w logice to nie tylko liczby, ale oznaczenie stanów jakiegoś obiektu w naszym świecie, umownie nazywanych „fałszem” i „prawdą”. Takim obiektem, który ma dwa stany stałe, może być prąd elektryczny. Urządzenia, które wykrywają dwa stany stabilne, nazywane są bistabilny(np. przełącznik, przekaźnik). Jeśli pamiętasz, pierwsze komputery były komputerami przekaźnikowymi. Później powstały nowe elektryczne urządzenia sterujące - elektroniczne obwody, składający się z zestawu elementów półprzewodnikowych. Zaczęto nazywać takie obwody elektroniczne, które przetwarzają sygnały tylko dwóch stałych napięć prądu elektrycznego (bistabilne). elementy logiczne.

Element logiki komputera- jest to część elektronicznego obwodu logicznego, który realizuje elementarną funkcję logiczną.

Logicznymi elementami komputerów są obwody elektroniczne AND, OR, NOT, NAND, NOR i inne (tzw zawory), I spust.

Za pomocą tych obwodów można zrealizować dowolną funkcję logiczną opisującą działanie urządzeń komputerowych. Zazwyczaj zawory mają od dwóch do ośmiu wejść i jedno lub dwa wyjścia.

Aby reprezentować dwa stany logiczne „1” i „0” w bramkach, odpowiadające im sygnały wejściowe i wyjściowe mają jeden z dwóch ustawionych poziomów napięcia. Na przykład +5 woltów i 0 woltów.

Poziom wysoki zwykle odpowiada wartości „prawda” („1”), a poziom niski wartości „fałsz” („0”).

Każdy element logiczny ma swój własny symbol, co wyraża jego funkcję logiczną, ale nie wskazuje, jaki rodzaj obwodu elektronicznego jest w nim zaimplementowany. Ułatwia to pisanie i zrozumienie złożonych obwodów logicznych.

Działanie elementów logicznych opisano za pomocą tablic prawdy.

Tabela prawdy jest tabelaryczną reprezentacją obwodu logicznego (operacji), która zawiera listę wszystkich możliwych kombinacji wartości logicznych sygnałów wejściowych (operandów) wraz z wartością logiczną sygnału wyjściowego (wynik operacji) dla każdej z tych kombinacji.

Przykładem systemu liczb mieszanych jest binarny system dziesiętny . W systemie liczbowym BCD na każdą cyfrę dziesiętną przydzielane są 4 cyfry binarne, ponieważ maksymalna cyfra dziesiętna 9 jest kodowana jako 1001 2. Na przykład,

925 10 = 1001 0010 0101 2-10 .

Tutaj kolejne poczwórne (tetrady) cyfr binarnych reprezentują odpowiednio cyfry 9, 2 i 5 zapisu dziesiętnego.

Chociaż notacja BCD wykorzystuje tylko cyfry 0 i 1, notacja BCD różni się od binarnej reprezentacji danej liczby. Na przykład kod binarny 1001 0010 0101 odpowiada liczbie dziesiętnej 2341, a nie 925.

Jeżeli P=Q l (l jest liczbą całkowitą dodatnią), reprezentacja dowolnej liczby w systemie liczb mieszanych identycznie pokrywa się z obrazem tej liczby w systemie liczbowym o podstawie Q. Przykładami takiego systemu liczb mieszanych są binarne- ósemkowy i binarno-szesnastkowy.

Na przykład,

A2 16 = 1010 0010 2 = 1010 0010 2-16

REPREZENTACJA LICZB UJEMNYCH W FORMACIE STAŁYCH PUNKTÓW (KROPKA).

Aby uprościć operacje arytmetyczne, komputery używają specjalnych kodów binarnych do reprezentowania liczb ujemnych: odwrotności i dopełnienia. Używając tych kodów, uproszczono określenie znaku wyniku operacji podczas dodawania algebraicznego. Operacja odejmowania (lub dodawania algebraicznego) sprowadza się do arytmetycznego dodawania operandów, dzięki czemu łatwiej jest uzyskać oznaki przepełnienia siatki bitów. W rezultacie urządzenia komputerowe wykonujące operacje arytmetyczne są uproszczone.

Wiadomo, że jednym ze sposobów wykonania operacji odejmowania jest zamiana znaku odejmowania na jego przeciwny i dodanie go do odejmowania:

A - B = A + (- B)

Zastępuje to operację odejmowania arytmetycznego operacją dodawania algebraicznego, którą można wykonać za pomocą sumatorów binarnych.

Do maszynowej reprezentacji liczb ujemnych stosuje się kody bezpośredni, dodatkowy, odwrotny. Uproszczoną definicję tych kodów można podać w następujący sposób. Jeśli liczba A w zwykłym kodzie binarnym wynosi bezpośredni kod binarny, przedstaw jako

[A] pr = 0.an an-1 an-2.....a1 a0,

wówczas liczba -A w tym samym kodzie jest reprezentowana jako

[-A]pr = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

i w odwracać(odwrotny) kod, który będzie wyglądał następująco:

[-A]rev = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

ai = 1 jeśli ai = 0,

ai = 0, jeśli ai = 1,

A Kopię to I-ta cyfra liczby binarnej. W rezultacie przy przejściu z kodu bezpośredniego na kod odwrotny wszystkie cyfry liczb Matisse'a są odwracane.

Następnie liczba -A w dodatkowy kod jest reprezentowany jako

[-A]dodaj = [-A]obrót + 1

Zatem, aby otrzymać kod dopełniający liczb ujemnych, należy najpierw odwrócić cyfrową część pierwotnej liczby, uzyskując jej odwrotny kod, a następnie dodać jedynkę do najmniej znaczącej cyfry cyfrowej części liczby.

Kod uzupełniający danego numeru uzyskuje się poprzez zastąpienie go nowym numerem, uzupełniający ją do liczby równej wadze cyfry następującej po najbardziej znaczącej cyfrze siatki bitów używanej do przedstawienia mantysy liczby w formacie stałoprzecinkowym. Dlatego taki kod liczbowy nazywany jest dodatkowym.

Wyobraźmy sobie, że mamy tylko dwie cyfry reprezentujące liczby w systemie dziesiętnym. Wtedy maksymalna liczba, jaką można przedstawić, będzie wynosić 99, a waga trzeciej nieistniejącej najwyższej cyfry wyniesie 10 2, tj. 100. W tym przypadku dla liczby 20 liczbą uzupełniającą będzie 80, co stanowi uzupełnienie 20 do 100 (100 - 20 = 80). Dlatego z definicji odejmowanie

można zastąpić dodatkiem:

Tutaj najwyższa jednostka wykracza poza przydzieloną siatkę bitów, w której pozostaje tylko liczba 30, tj. Wynik odjęcia liczby 20 od 50.

Przyjrzyjmy się teraz podobnemu przykładowi liczb przedstawionych w 4-bitowym kodzie binarnym. Znajdźmy dodatkową liczbę dla 0010 2 = 210. Od 0000 odejmiemy 0010, otrzymamy 1110, czyli dodatkowy kod 2. Cyfra pokazana w nawiasach kwadratowych tak naprawdę nie istnieje. Ale ponieważ mamy siatkę 4-bitową, w zasadzie nie da się wykonać takiego odejmowania, a tym bardziej staramy się pozbyć odejmowania. Zatem dodatkowy kod liczbowy uzyskuje się w sposób opisany wcześniej, tj. najpierw otrzymują odwrotny kod liczby, a następnie dodają do niego 1. Zrobiwszy to wszystko z naszą liczbą (2), nietrudno zauważyć, że uzyskana zostanie podobna odpowiedź.

Podkreślmy to Uzupełnienie do dwójki i kody uzupełnienia do dwójki są używane tylko do reprezentowania ujemnych liczb binarnych w postaci stałoprzecinkowej. Liczby dodatnie w tych kodach nie zmieniają swojego wizerunku i są reprezentowane tak, jak w kodzie bezpośrednim.

Zatem cyfry liczby ujemnej w kod bezpośredni pozostają niezmienione, a jeden jest zapisany w części znakowej.

Spójrzmy na proste przykłady.

Siedem w kodzie bezpośrednim jest reprezentowane w następujący sposób:

pr = 0,0001112

Liczba -7 w kodzie bezpośrednim:

[-7]pr = 1,0001112,

i w odwrotnym kodzie będzie to wyglądać

[-7]obr. = 1,1110002,

te. jedynki zastępuje się zerami, a zera jedynkami. Ta sama liczba w uzupełnieniu do dwójki to:

[-7]dodaj = 1,1110012.

Rozważmy jeszcze raz, jak procedura odejmowania, wykorzystująca reprezentację odejmowania w kodzie uzupełnienia do dwójki, sprowadza się do procedury dodawania. Odejmij liczbę 7 od 10: 10 - 7 = 3. Jeśli oba operandy są przedstawione w kodzie bezpośrednim, wówczas procedura odejmowania jest wykonywana w następujący sposób:

-1.000111

A jeśli jest to możliwe do zrozumienia, tj. -7, przedstawiony w kodzie uzupełnienia do dwóch, wówczas procedura odejmowania sprowadza się do procedury dodawania:

+ 1.111001

1 0.000011 = 310.

Obecnie komputery zazwyczaj używają kodu uzupełnienia do dwóch do reprezentowania liczb ujemnych w formacie stałoprzecinkowym.

Forma reprezentacji liczb w maszynach cyfrowych to zbiór reguł pozwalających ustalić wzajemną zgodność pomiędzy zapisem liczby a jej ilościowym odpowiednikiem.

Maszynowy (automatyczny) obraz liczby jest tam reprezentacja liczby w siatce bitów maszyny cyfrowej. Symbol obrazu maszynowego liczby, na przykład A, będzie reprezentowany jako [A].

Ze względu na ograniczoną długość słów maszynowych zbiór liczb, które można przedstawić w maszynie, jest skończony. Porównań pomiędzy różnymi formami reprezentacji liczb w komputerach dokonuje się zwykle na podstawie szacunków zakres i dokładność reprezentacji liczb.

W codziennej praktyce najczęstszą formą przedstawiania liczb jest ciąg cyfr oddzielonych przecinkiem na części całkowite i ułamkowe. Liczby przedstawione w tej formie nazywane są liczbami z naturalnym przecinkiem lub liczbami w postaci naturalnej. W postaci naturalnej liczbę zapisuje się w postaci naturalnej, np. 12560 jest liczbą całkowitą, 0,003572 jest ułamkiem właściwym, 4,89760 jest ułamkiem niewłaściwym.

Przy przedstawianiu liczb w tej postaci konieczne jest, aby każda liczba wskazywała położenie swojego przecinka w siatce bitów przeznaczonej do reprezentowania liczby w maszynie, co wymaga dodatkowych kosztów sprzętu w dość dużej wysokości. Dlatego w komputerach rozpowszechniły się dwie inne formy reprezentacji: ze stałym i zmiennoprzecinkowym (kropką).

Nie ma potrzeby wskazywania pozycji przecinka, jeśli miejsce przecinka w siatce bitowej maszyny jest z góry ustalone raz na zawsze. Ta forma przedstawiania liczb nazywa się reprezentacją za pomocą stały przecinek (kropka).

Ponieważ liczby mogą być dodatnie i ujemne, format (siatka bitowa) obrazu maszyny jest podzielony na kultowa część I pole liczbowe. Pole liczbowe zawiera obraz samego numeru, który umownie nazwiemy mantysa liczby. Do zakodowania znaku liczby wykorzystuje się najbardziej znaczącą cyfrę siatki bitów zarezerwowaną dla obrazu liczby binarnej, a pozostałe cyfry przydzielane są na mantysę liczby. Pozycja przecinka w siatce bitów jest ściśle ustalona, zwykle albo na prawo od najniższej cyfry mantysy, albo na lewo od najwyższej. W pierwszym przypadku liczba jest przedstawiana jako liczba całkowita, w drugim jako ułamek właściwy. Obecnie zdecydowana większość komputerów reprezentuje liczby całkowite w formacie stałoprzecinkowym.

Część znakowa zawiera informację o znaku liczby. Przyjmuje się, że znak Liczba dodatnia "+" reprezentowany przez symbol 0, a znak jest liczbą ujemną "-" reprezentowany przez symbol 1.

Na przykład w kodzie binarnym przy użyciu siatki 6-bitowej liczbę 7 w postaci stałoprzecinkowej można przedstawić jako:

gdzie cyfra po lewej stronie kropki jest znakiem liczby, a pięć cyfr po prawej stronie kropki to mantysa liczby w kodzie bezpośrednim. To o to tu chodzi przecinek jest ustawiony na prawo od najmniej znaczącej cyfry, a punkt na obrazie liczby w tym przypadku po prostu oddziela bit znaku od mantysy liczby.

W przyszłości ten typ reprezentacji liczby w postaci maszynowej będzie często używany w przykładach. Możesz użyć innej formy przedstawienia liczby w postaci maszynowej:

gdzie bit znaku jest oddzielony nawiasami kwadratowymi.

Liczba cyfr w siatce bitów przypisanych do reprezentowania mantysy liczby określa zakres i dokładność reprezentacji liczby stałoprzecinkowej. Maksymalna liczba binarna w wartości bezwzględnej jest reprezentowana przez jedyneki we wszystkich cyfrach z wyjątkiem znaku jedności, tj. dla liczby całkowitej

|A|max = (2 (n -1) - 1),

Gdzie N- całkowita długość siatki bitów. W przypadku siatki 16-bitowej

|A| maks. = (2 (16-1) - 1) = 32767 10,

te. Zakres reprezentacji liczb całkowitych w tym przypadku będzie wynosić od +3276710 do -3276710.

W przypadku, gdy przecinek jest ustawiony na prawo od cyfry mantysy najniższego rzędu, tj. w przypadku liczb całkowitych są to liczby, których moduł jest większy niż

(2(n-1) - 1) i mniej niż jeden nie są reprezentowane w postaci stałoprzecinkowej. Liczby, których wartość bezwzględna jest mniejsza niż jedna z najmniej znaczących cyfr siatki bitów, nazywane są w tym przypadku zerem maszynowym. Zero ujemne jest zabronione.

W niektórych przypadkach, gdy możliwa jest praca tylko z modułami liczb, do reprezentacji liczby przydzielana jest cała siatka bitów, łącznie z najbardziej znaczącym bitem, co pozwala na rozszerzenie zakresu reprezentacji liczb.

Binarny dziesiętny system liczbowy

Binarny system dziesiętny nie jest ekonomiczny z punktu widzenia realizacji konstrukcji technicznej maszyny (wymagane wyposażenie zwiększa się o około 20%), ale jest bardzo wygodny przy przygotowywaniu zadań i programowaniu. W binarnym systemie dziesiętnym podstawą systemu liczbowego jest liczba 10, ale każda cyfra dziesiętna (0, 1, ..., 9) jest reprezentowana, to znaczy zakodowana, za pomocą cyfr binarnych. Do przedstawienia jednej cyfry dziesiętnej używane są cztery cyfry binarne. Tutaj oczywiście występuje redundancja, ponieważ 4 cyfry binarne (lub tetrada binarna) mogą reprezentować nie 10, ale 16 liczb, ale jest to już koszt produkcji ze względu na wygodę programowania. Istnieje wiele systemów dziesiętnych kodowanych binarnie do przedstawiania liczb, charakteryzujących się tym, że pewnym kombinacjom zer i jedynek w obrębie jednej tetrady przypisuje się określone wartości cyfr dziesiętnych.
Opublikowano na ref.rf
W najczęściej używanym naturalnym systemie dziesiętnym kodowanym binarnie wagi cyfr binarnych w tetradzie są naturalne, czyli 8, 4, 2, 1 (tabela 6).

Tabela 6

Binarny zapis dziesiętny

Na przykład liczba dziesiętna 5673 w notacji BCD to 01010110011100011.

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny jest ważną częścią arytmetyki maszynowej. Rozważmy podstawowe zasady tłumaczenia.

1. Aby zamienić liczbę binarną na liczbę dziesiętną, należy zapisać ᴇᴦο jako wielomian składający się z iloczynu cyfr liczby i odpowiadającej im potęgi 2 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej˸

Podczas tłumaczenia wygodnie jest skorzystać z tabeli potęg dwójki

Tabela 7.

Potęgi liczby 2

n (stopień)

Przykład. Zamień liczbę na system dziesiętny.

2. Aby zamienić liczbę ósemkową na liczbę dziesiętną, należy zapisać ᴇᴦο jako wielomian składający się z iloczynu cyfr liczby i odpowiadającej jej potęgi liczby 8 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej˸

Podczas tłumaczenia wygodnie jest skorzystać z tabeli potęg ośmiu˸

Tabela 8.

Potęgi liczby 8

n (stopień)
8n

Binarny system dziesiętny - pojęcie i rodzaje. Klasyfikacja i cechy kategorii „System liczb binarno-dziesiętnych” 2015, 2017-2018.

System ten ma podstawę S = 10, ale każda cyfra jest reprezentowana przez czterobitową liczbę binarną zwaną tetradą. Zwykle ten system liczbowy jest używany w komputerach podczas wprowadzania i wysyłania informacji. Jednakże w niektórych typach komputerów jednostka ALU zawiera specjalne dziesiętne bloki arytmetyczne, które wykonują operacje na liczbach w binarnym kodzie dziesiętnym. Pozwala to w niektórych przypadkach znacznie zwiększyć wydajność komputera.

Na przykład w zautomatyzowanym systemie przetwarzania danych jest wiele liczb, ale niewiele obliczeń. W takim przypadku operacje związane z przenoszeniem numerów z jednego systemu do drugiego znacznie przekraczałyby czas potrzebny na wykonanie operacji przetwarzania informacji.

Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na BCD jest bardzo prosta i polega na zastąpieniu każdej cyfry tetradą binarną.

Przykład.

Zapisz liczbę dziesiętną 572,38 (10) w binarnym systemie dziesiętnym.

Odwrotne tłumaczenie jest również proste: należy podzielić liczbę binarno-dziesiętną na tetrady od kropki w lewo (dla części całkowitej) i w prawo (dla części ułamkowej), dodać wymaganą liczbę zer nieistotnych i następnie zapisz każdą tetradę jako cyfrę dziesiętną.

Przykład.

Zapisz binarną liczbę dziesiętną 10010.010101 (2-10) w systemie dziesiętnym.

Konwersja liczb z BCD na system binarny odbywa się zgodnie z ogólnymi zasadami opisanymi powyżej.

2.3. System liczb ósemkowych

W systemie ósemkowym używanych jest tylko osiem cyfr, tj. ten system liczbowy ma podstawę S = 8. Ogólnie liczba ósemkowa wygląda następująco:

Gdzie
.

System liczb ósemkowych nie jest potrzebny komputerowi, w przeciwieństwie do systemu binarnego. Jest to wygodna forma zapisu liczb i jest używana przez programistów (na przykład w tekstach programów w celu bardziej zwięzłego i wygodnego sposobu pisania kodów binarnych poleceń, adresów i operandów). W systemie liczb ósemkowych waga każdej cyfry jest wielokrotnością ośmiu lub jednej ósmej, więc ośmiobitowa liczba binarna pozwala wyrazić wartości dziesiętne z zakresu 0-255, a liczba ósemkowa obejmuje zakres 0 -99999999 (dla binarnego jest to 27 cyfr).

Ponieważ 8=2 3, każdy znak ósemkowy można przedstawić jako trzybitową liczbę binarną. Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na system ósemkowy, należy podzielić tę liczbę na lewo (dla części całkowitej) i na prawo (dla części ułamkowej) kropki (przecinek) na grupy po trzy cyfry (triady) i reprezentują każdą grupę liczbą w systemie ósemkowym. Skrajne niekompletne triady są uzupełniane wymaganą liczbą nieistotnych zer.

Przykład.

Zapisz liczbę binarną 10101011111101 (2) w systemie ósemkowym.

Przykład.

Zapisz liczbę binarną 1011.0101 (2) w systemie ósemkowym.

Konwersja z ósemkowej na binarną odbywa się poprzez przedstawienie każdej cyfry liczby ósemkowej jako trzycyfrowej liczby binarnej (triady).

2.4. Szesnastkowy system liczbowy

Ten system liczbowy ma podstawę S = 16. Ogólnie liczba szesnastkowa wygląda następująco:

Gdzie
.

Szesnastkowy system liczbowy umożliwia jeszcze skrócenie zapisu wielobitowych liczb binarnych, a dodatkowo skrócenie zapisu liczby 4-bitowej binarnej, tj. skubać, ponieważ 16=2 4 . System szesnastkowy jest również używany w tekstach programów w celu bardziej zwięzłego i wygodnego zapisywania liczb binarnych.

Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na szesnastkowy, należy podzielić tę liczbę po lewej i prawej stronie przecinka na tetrady i przedstawić każdą tetradę cyfrą w systemie liczb szesnastkowych.

Przykład.

Zapisz liczbę binarną 10101011111101 (2) w formacie szesnastkowym.

Przykład.

Zapisz liczbę binarną 11101.01111 (2) w systemie szesnastkowym.

Aby przekonwertować liczbę z systemu liczb szesnastkowych na system liczb binarnych, konieczne jest wręcz zastąpienie każdej cyfry tej liczby tetradą.

Podsumowując, należy zauważyć, że przeniesienie dowolnych liczb z jednego systemu liczbowego do drugiego można przeprowadzić zgodnie z ogólnymi zasadami opisanymi w rozdziale „System liczb binarnych”. Jednak w praktyce konwersja liczb z systemu dziesiętnego na rozważane systemy liczbowe i odwrotnie odbywa się za pośrednictwem systemu liczb binarnych.

Należy także pamiętać, że liczby szesnastkowe i ósemkowe to jedynie sposób przedstawienia dużych liczb binarnych, na których faktycznie operuje procesor. W tym przypadku preferowany jest system szesnastkowy, gdyż we współczesnych komputerach procesory manipulują słowami o długości 4, 8, 16, 32 lub 64 bitów, czyli tj. długość słów jest wielokrotnością 4. W systemie liczb ósemkowych preferowane są słowa będące wielokrotnością 3 bitów, np. słowa o długości 12 bitów (jak w PDP-8 firmy DEC).

Na kursach informatyki, niezależnie od szkoły czy uczelni, szczególne miejsce zajmuje takie pojęcie jak systemy liczbowe. Z reguły przeznacza się na to kilka lekcji lub ćwiczeń praktycznych. Głównym celem jest nie tylko opanowanie podstawowych pojęć z tego tematu, poznanie rodzajów systemów liczbowych, ale także zapoznanie się z arytmetyką binarną, ósemkową i szesnastkową.

Co to znaczy?

Zacznijmy od zdefiniowania podstawowego pojęcia. Jak zauważa podręcznik „Informatyka”, system liczbowy to zapis liczb wykorzystujący specjalny alfabet lub określony zbiór liczb.

W zależności od tego, czy wartość cyfry zmienia się w zależności od jej pozycji w liczbie, wyróżnia się dwa systemy liczbowe: pozycyjny i niepozycyjny.

W systemach pozycyjnych znaczenie cyfry zmienia się wraz z jej pozycją w liczbie. Jeśli więc weźmiemy liczbę 234, wówczas liczba 4 w niej oznacza jednostki, ale jeśli weźmiemy pod uwagę liczbę 243, będzie to już oznaczać dziesiątki, a nie jednostki.

W systemach niepozycyjnych znaczenie cyfry jest statyczne, niezależnie od jej pozycji w liczbie. Najbardziej uderzającym przykładem jest system kijów, w którym każda jednostka jest oznaczona myślnikiem. Nie ma znaczenia, gdzie umieścisz patyk, wartość liczby zmieni się tylko o jeden.

Systemy niepozycyjne

Niepozycyjne systemy liczbowe obejmują:

System jednostek uważany za jeden z pierwszych. Zamiast liczb używano pałeczek. Im było ich więcej, tym większa była wartość liczby. Przykłady tak zapisanych liczb można znaleźć w filmach, w których opowiadamy o osobach zaginionych na morzu, więźniach, którzy zaznaczają każdy dzień za pomocą nacięć na kamieniu lub drzewie.
rzymskim, w którym zamiast cyfr użyto liter łacińskich. Za ich pomocą możesz napisać dowolną liczbę. Ponadto jego wartość ustalono na podstawie sumy i różnicy cyfr tworzących liczbę. Jeśli po lewej stronie cyfry znajdowała się mniejsza liczba, wówczas od prawej odejmowano lewą cyfrę, a jeśli cyfra po prawej stronie była mniejsza lub równa cyfry po lewej stronie, wówczas ich wartości były sumowane. Na przykład liczbę 11 zapisano jako XI, a 9 - IX.
Alfabetyczny, w którym cyfry oznaczono przy użyciu alfabetu danego języka. Za jeden z nich uważa się system słowiański, w którym pewna liczba liter miała znaczenie nie tylko fonetyczne, ale także numeryczne.
w którym do zapisu używano tylko dwóch zapisów - klinów i strzałek.
Egipt używał także specjalnych symboli do przedstawiania liczb. Podczas zapisywania liczby każdy symbol może zostać użyty nie więcej niż dziewięć razy.

Systemy pozycyjne

W informatyce wiele uwagi poświęca się systemom liczb pozycyjnych. Należą do nich:

dwójkowy;
ósemkowy;
dziesiętny;
szesnastkowy;
sześćdziesiętny, używany do liczenia czasu (na przykład minuta ma 60 sekund, a godzina 60 minut).

Każdy z nich ma swój własny alfabet do pisania, zasady tłumaczenia i wykonywania operacji arytmetycznych.

System dziesiętny

Ten system jest nam najbardziej znany. Do zapisywania liczb używa cyfr od 0 do 9. Nazywa się je również arabskimi. W zależności od pozycji cyfry w liczbie może ona reprezentować różne cyfry - jednostki, dziesiątki, setki, tysiące lub miliony. Używamy go wszędzie, znamy podstawowe zasady wykonywania operacji arytmetycznych na liczbach.

System binarny

Jednym z głównych systemów liczbowych w informatyce jest system binarny. Jego prostota pozwala komputerowi wykonywać uciążliwe obliczenia kilka razy szybciej niż w systemie dziesiętnym.

Do zapisywania liczb używane są tylko dwie cyfry - 0 i 1. Ponadto, w zależności od pozycji 0 lub 1 w liczbie, jej wartość będzie się zmieniać.

Początkowo wszystkie niezbędne informacje otrzymywali za pomocą komputerów. W tym przypadku jeden oznaczał obecność sygnału przesyłanego napięciem, a zero oznaczało jego brak.

Układ ósemkowy

Inny znany komputerowy system liczbowy, w którym wykorzystuje się liczby od 0 do 7. Stosowano go głównie w tych obszarach wiedzy, które są związane z urządzeniami cyfrowymi. Jednak ostatnio był on używany znacznie rzadziej, ponieważ został zastąpiony systemem liczb szesnastkowych.

Binarny system dziesiętny

Reprezentowanie dużych liczb w formacie binarnym jest dla człowieka dość skomplikowanym procesem. Aby to uprościć, został opracowany. Jest zwykle stosowany w zegarkach elektronicznych i kalkulatorach. W tym systemie nie cała liczba jest konwertowana z systemu dziesiętnego na binarny, ale każda cyfra jest konwertowana na odpowiadający jej zestaw zer i jedynek w systemie binarnym. Konwersja z systemu binarnego na dziesiętny odbywa się w podobny sposób. Każda cyfra, reprezentowana jako czterocyfrowy zbiór zer i jedynek, jest konwertowana na cyfrę systemu liczb dziesiętnych. W zasadzie nie ma nic skomplikowanego.

W tym przypadku do pracy z liczbami przydatna będzie tabela systemów liczbowych, która wskaże zgodność między liczbami a ich kodem binarnym.

System szesnastkowy

Ostatnio szesnastkowy system liczbowy staje się coraz bardziej popularny w programowaniu i informatyce. Wykorzystuje nie tylko cyfry od 0 do 9, ale także szereg liter łacińskich - A, B, C, D, E, F.

Jednocześnie każda z liter ma swoje znaczenie, więc A=10, B=11, C=12 i tak dalej. Każdy numer jest reprezentowany jako zestaw czterech znaków: 001F.

Konwersja liczb: z systemu dziesiętnego na binarny

Tłumaczenie w systemach liczbowych odbywa się według pewnych zasad. Najczęstszą konwersją jest system binarny na dziesiętny i odwrotnie.

Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system binarny, należy ją sekwencyjnie podzielić przez podstawę systemu liczbowego, czyli liczbę dwa. W takim przypadku należy zapisać pozostałą część każdego podziału. Dzieje się tak, dopóki pozostała część dzielenia nie będzie mniejsza lub równa jeden. Obliczenia najlepiej wykonywać w kolumnie. Następnie powstałe reszty z dzielenia są zapisywane do linii w odwrotnej kolejności.

Na przykład przekonwertujmy liczbę 9 na postać binarną:

Dzielimy 9, ponieważ liczba nie jest podzielna przez całość, następnie bierzemy liczbę 8, reszta będzie wynosić 9 - 1 = 1.

Dzieląc 8 przez 2, otrzymujemy 4. Podzielmy to ponownie, ponieważ liczba jest podzielna przez liczbę całkowitą - resztę otrzymamy 4 - 4 = 0.

Wykonujemy tę samą operację z 2. Reszta wynosi 0.

W wyniku dzielenia otrzymujemy 1.

Niezależnie od ostatecznego systemu liczbowego, konwersja liczb z dziesiętnego na dowolny inny nastąpi zgodnie z zasadą dzielenia liczby przez podstawę systemu pozycyjnego.

Konwersja liczb: z systemu binarnego na dziesiętny

Konwersja liczb z systemu binarnego na system dziesiętny jest dość łatwa. Aby to zrobić, wystarczy znać zasady podnoszenia liczb do potęg. W tym przypadku do potęgi dwójki.

Algorytm translacji jest następujący: każdą cyfrę kodu liczby binarnej należy pomnożyć przez dwa, a pierwsze dwie będą do potęgi m-1, druga - m-2 i tak dalej, gdzie m jest ilość cyfr w kodzie. Następnie dodaj wyniki dodawania, aby otrzymać liczbę całkowitą.

W przypadku dzieci w wieku szkolnym algorytm ten można wyjaśnić prościej:

Na początek zapisujemy każdą cyfrę pomnożoną przez dwa, a następnie od końca umieszczamy potęgę dwójki, zaczynając od zera. Następnie dodajemy otrzymaną liczbę.

Jako przykład przeanalizujemy otrzymaną wcześniej liczbę 1001, przeliczając ją na system dziesiętny i jednocześnie sprawdzając poprawność naszych obliczeń.

Będzie to wyglądać tak:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Studiując ten temat, wygodnie jest skorzystać z tabeli z potęgami dwójki. Znacząco skróci to czas potrzebny na wykonanie obliczeń.

Inne opcje tłumaczenia

W niektórych przypadkach tłumaczenie można przeprowadzić pomiędzy systemami liczb binarnych i ósemkowych, dwójkowych i szesnastkowych. Można w tym przypadku skorzystać ze specjalnych tabel lub uruchomić na komputerze aplikację kalkulatora wybierając opcję „Programista” w zakładce Widok.

Działania arytmetyczne

Niezależnie od formy, w jakiej zostanie przedstawiona liczba, można na jej podstawie przeprowadzić znane nam obliczenia. Może to być dzielenie i mnożenie, odejmowanie i dodawanie w wybranym systemie liczbowym. Oczywiście każdy z nich rządzi się swoimi prawami.

Zatem dla systemu binarnego opracowano własne tabele dla każdej operacji. Te same tabele są używane w innych systemach pozycyjnych.

Nie trzeba ich zapamiętywać – wystarczy je wydrukować i mieć pod ręką. Można także skorzystać z kalkulatora na komputerze.

Jednym z najważniejszych tematów w informatyce jest system liczbowy. Znajomość tego tematu, zrozumienie algorytmów konwersji liczb z jednego systemu na drugi jest kluczem do tego, że będziesz w stanie zrozumieć bardziej złożone tematy, takie jak algorytmizacja i programowanie, i będziesz w stanie samodzielnie napisać swój pierwszy program.