Całki złożone

Artykuł ten kończy temat całek nieoznaczonych i obejmuje całki, które uważam za dość złożone. Lekcja powstała na wielokrotne prośby odwiedzających, którzy wyrazili chęć przeanalizowania na stronie trudniejszych przykładów.

Zakłada się, że czytelnik tego tekstu jest dobrze przygotowany i wie, jak zastosować podstawowe techniki integracyjne. Manekiny i osoby, które nie są zbyt pewne w całkach, powinny zapoznać się z pierwszą lekcją - Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań, gdzie można opanować temat niemal od zera. Bardziej doświadczeni studenci mogą zapoznać się z technikami i metodami integracji, z którymi nie spotkałem się jeszcze w moich artykułach.

Jakie całki zostaną uwzględnione?

Najpierw rozważymy całki z pierwiastkami, do rozwiązania których sukcesywnie używamy wymiana zmienna I całkowanie przez części. Oznacza to, że w jednym przykładzie połączono dwie techniki na raz. I nawet więcej.

Wtedy poznamy ciekawe i oryginalne metoda redukcji całki do samej siebie. Sporo całek rozwiązuje się w ten sposób.

Trzecim wydaniem programu będą całki ułamków zespolonych, które przelatywały obok kas w poprzednich artykułach.

Po czwarte, zostaną przeanalizowane dodatkowe całki z funkcji trygonometrycznych. W szczególności istnieją metody, które pozwalają uniknąć czasochłonnego uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego.

(2) W funkcji całkowej dzielimy licznik przez mianownik, wyraz po wyrazie.

(3) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej. W ostatniej całce od razu umieść funkcję pod znakiem różniczkowym.

(4) Bierzemy pozostałe całki. Należy pamiętać, że w logarytmie można używać nawiasów zamiast modułu, ponieważ .

(5) Wykonujemy zamianę odwrotną, wyrażając „te” z zamiany bezpośredniej:

Studenci masochistyczni mogą rozróżnić odpowiedź i otrzymać oryginalną całkę, tak jak właśnie to zrobiłem. Nie, nie, sprawdziłem we właściwym sensie =)

Jak widać, podczas rozwiązania musieliśmy zastosować nawet więcej niż dwie metody rozwiązywania, więc aby poradzić sobie z takimi całkami potrzebne są pewne umiejętności integracji i spore doświadczenie.

W praktyce oczywiście pierwiastek kwadratowy jest bardziej powszechny; oto trzy przykłady samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną

Te przykłady są tego samego typu, więc pełne rozwiązanie na końcu artykułu będzie dotyczyć tylko Przykładu 2; Przykłady 3-4 mają te same odpowiedzi. Jakiego zamiennika użyć na początku decyzji, myślę, że jest oczywiste. Dlaczego wybrałem przykłady tego samego typu? Często spotykane w swojej roli. Być może częściej, po prostu coś takiego .

Ale nie zawsze, gdy pod arcustangensem, sinusem, cosinusem, wykładnikiem i innymi funkcjami znajduje się pierwiastek funkcji liniowej, trzeba zastosować kilka metod jednocześnie. W wielu przypadkach można „wyjść łatwo”, to znaczy natychmiast po wymianie uzyskuje się prostą całkę, którą można łatwo przyjąć. Najłatwiejszym z zaproponowanych powyżej zadań jest Przykład 4, w którym po zamianie otrzymuje się stosunkowo prostą całkę.

Redukując całkę do siebie

Dowcipna i piękna metoda. Przyjrzyjmy się klasyce gatunku:

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną

Pod pierwiastkiem znajduje się dwumian kwadratowy, a próba zintegrowania tego przykładu może przyprawić czajniczek o ból głowy na wiele godzin. Całkę taką rozbiera się na części i sprowadza do siebie. W zasadzie nie jest to trudne. Jeśli wiesz jak.

Oznaczmy rozważaną całkę literą łacińską i rozpocznijmy rozwiązanie:

Całkujmy przez części:

(1) Przygotuj funkcję całkową do podziału wyraz po członie.

(2) Dzielimy funkcję całkową wyraz po wyrazie. Może nie dla wszystkich jest to jasne, ale opiszę to bardziej szczegółowo:

(3) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej.

(4) Weź ostatnią całkę („długi” logarytm).

Spójrzmy teraz na sam początek rozwiązania:

I na koniec:

Co się stało? W wyniku naszych manipulacji całka została zredukowana do samej siebie!

Przyrównajmy początek i koniec:

Przejdź na lewą stronę ze zmianą znaku:

I przesuwamy oba na prawą stronę. W rezultacie:

Stała, ściśle rzecz biorąc, powinna była zostać dodana wcześniej, ale dodałem ją na końcu. Gorąco polecam przeczytać, jaki jest rygor tutaj:

Notatka: Ściślej, końcowy etap rozwiązania wygląda następująco:

Zatem:

Stała może zostać ponownie wyznaczona przez . Dlaczego można go przeznaczyć? Bo nadal to akceptuje każdy wartości i w tym sensie nie ma różnicy między stałymi i.
W rezultacie:

Podobna sztuczka ze stałą renotacją jest szeroko stosowana w równania różniczkowe. I tam będę rygorystyczny. I tutaj pozwalam na taką dowolność tylko po to, żeby nie wprowadzać Was w niepotrzebne rzeczy i skupić uwagę właśnie na samym sposobie integracji.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną

Kolejna typowa całka dla rozwiązania niezależnego. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Odpowiedź z poprzedniego przykładu będzie się różnić!

Jeśli pod pierwiastkiem kwadratowym znajduje się trójmian kwadratowy, to rozwiązanie i tak sprowadza się do dwóch analizowanych przykładów.

Rozważmy na przykład całkę . Wszystko, co musisz zrobić, to najpierw wybierz cały kwadrat:
.
Następnie przeprowadzana jest zamiana liniowa, która odbywa się „bez żadnych konsekwencji”:
, co daje całkę . Coś znajomego, prawda?

Lub ten przykład z dwumianem kwadratowym:
Wybierz cały kwadrat:
A po podstawieniu liniowym otrzymujemy całkę, którą również rozwiązujemy za pomocą omówionego już algorytmu.

Przyjrzyjmy się dwóm bardziej typowym przykładom redukcji całki do samej siebie:
– całka wykładnicza pomnożona przez sinus;
– całka wykładnicza pomnożona przez cosinus.

W wymienionych całkach po częściach będziesz musiał całkować dwukrotnie:

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną

Całka to wykładniczy pomnożony przez sinus.

Całkujemy przez części dwukrotnie i redukujemy całkę do samej siebie:

W wyniku podwójnego całkowania przez części całka została zredukowana do siebie. Przyrównujemy początek i koniec rozwiązania:

Przesuwamy go na lewą stronę zmieniając znak i wyrażamy naszą całkę:

Gotowy. Jednocześnie wskazane jest czesanie prawej strony, tj. usuń wykładnik z nawiasów i umieść sinus i cosinus w nawiasach w „pięknej” kolejności.

Wróćmy teraz do początku przykładu, a dokładniej do całkowania przez części:

Oznaczyliśmy wykładnik jako. Powstaje pytanie: czy to wykładnik należy zawsze oznaczać przez ? Niekoniecznie. W rzeczywistości w rozważanej całce zasadniczo nie ma znaczenia, co mamy na myśli mówiąc , mogliśmy pójść inną drogą:

Dlaczego jest to możliwe? Ponieważ wykładniczy zamienia się w siebie (zarówno podczas różniczkowania, jak i całkowania), sinus i cosinus wzajemnie zamieniają się w siebie (znowu zarówno podczas różniczkowania, jak i całkowania).

Oznacza to, że możemy również oznaczyć funkcję trygonometryczną. Ale w rozważanym przykładzie jest to mniej racjonalne, ponieważ pojawią się ułamki. Jeśli chcesz, możesz spróbować rozwiązać ten przykład drugą metodą; odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Zanim podejmiesz decyzję, zastanów się, co w tym przypadku korzystniej jest oznaczyć jako , funkcję wykładniczą czy trygonometryczną? Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I oczywiście nie zapominaj, że większość odpowiedzi z tej lekcji można dość łatwo sprawdzić poprzez różniczkowanie!

Rozważane przykłady nie były najbardziej złożone. W praktyce całki występują częściej, gdy stała występuje zarówno w wykładniku, jak i w argumencie funkcji trygonometrycznej, na przykład: . Wiele osób będzie zdezorientowanych taką całką i ja często się mylę. Faktem jest, że prawdopodobieństwo pojawienia się ułamków w roztworze jest duże, a przez nieostrożność bardzo łatwo coś stracić. Ponadto istnieje duże prawdopodobieństwo błędu w znakach; należy pamiętać, że wykładnik ma znak minus, co powoduje dodatkową trudność.

Na ostatnim etapie wynik jest często podobny do tego:

Nawet pod koniec rozwiązania powinieneś zachować szczególną ostrożność i poprawnie zrozumieć ułamki:

Całkowanie ułamków złożonych

Powoli zbliżamy się do równika lekcji i zaczynamy rozważać całki ułamków. Powtórzę: nie wszystkie są super skomplikowane, po prostu z tego czy innego powodu przykłady w innych artykułach były trochę „nie na temat”.

Kontynuując temat korzeni

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

W mianowniku pod pierwiastkiem znajduje się trójmian kwadratowy plus „dodatek” w postaci „X” na zewnątrz pierwiastka. Całkę tego typu można rozwiązać za pomocą podstawienia standardowego.

My decydujemy:

Zamiana tutaj jest prosta:

Spójrzmy na życie po wymianie:

(1) Po podstawieniu sprowadzamy wyrazy pod pierwiastkiem do wspólnego mianownika.
(2) Wyciągamy go spod korzenia.
(3) Licznik i mianownik zmniejsza się o . Jednocześnie w katalogu głównym uporządkowałem terminy w dogodnej kolejności. Przy pewnym doświadczeniu kroki (1), (2) można pominąć, wykonując ustnie skomentowane czynności.
(4) Wynikowa całka, jak pamiętacie z lekcji Całkowanie niektórych ułamków, jest rozstrzygane metoda pełnej ekstrakcji kwadratowej. Wybierz cały kwadrat.
(5) Całkując otrzymujemy zwykły „długi” logarytm.
(6) Wykonujemy odwrotną wymianę. Jeśli początkowo , to z powrotem: .
(7) Ostateczne działanie ma na celu wyprostowanie wyniku: pod korzeniem ponownie sprowadzamy terminy do wspólnego mianownika i usuwamy je spod korzenia.

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Tutaj do pojedynczego „X” dodawana jest stała, a zamiana jest prawie taka sama:

Jedyne, co musisz zrobić dodatkowo, to wyrazić „x” z przeprowadzanej wymiany:

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czasami w takiej całce pod pierwiastkiem może znajdować się dwumian kwadratowy, nie zmienia to sposobu rozwiązania, będzie jeszcze prościej. Poczuj różnicę:

Przykład 11

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 12

Znajdź całkę nieoznaczoną

Krótkie rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji. Należy zauważyć, że przykład 11 jest dokładnie taki Całka dwumianowa, którego sposób rozwiązania został omówiony na zajęciach Całki funkcji niewymiernych.

Całka nierozkładalnego wielomianu drugiego stopnia do potęgi

(wielomian w mianowniku)

Rzadszy typ całki, niemniej jednak spotykany w praktycznych przykładach.

Przykład 13

Znajdź całkę nieoznaczoną

Wróćmy jednak do przykładu ze szczęśliwą liczbą 13 (szczerze mówiąc, nie zgadłem). Ta całka jest również jedną z tych, które mogą być dość frustrujące, jeśli nie wiesz, jak rozwiązać.

Rozwiązanie zaczyna się od sztucznej transformacji:

Myślę, że wszyscy już rozumieją, jak podzielić licznik przez mianownik.

Powstałą całkę dzielimy na części:

Dla całki postaci ( – liczba naturalna) wyprowadzamy nawracający formuła redukcyjna:
, Gdzie – całka stopnia niższego.

Sprawdźmy słuszność tego wzoru dla rozwiązanej całki.
W tym przypadku: , , korzystamy ze wzoru:

Jak widać odpowiedzi są takie same.

Przykład 14

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. W przykładowym roztworze dwukrotnie z rzędu zastosowano powyższy wzór.

Jeśli poniżej stopnia jest niepodzielny kwadratowy trójmian, następnie rozwiązanie sprowadza się do dwumianu poprzez wyodrębnienie idealnego kwadratu, na przykład:

A co jeśli w liczniku znajduje się dodatkowy wielomian? W tym przypadku stosuje się metodę współczynników nieokreślonych, a funkcję całki rozkłada się na sumę ułamków. Ale w mojej praktyce jest taki przykład nigdy nie spotkany, więc pominąłem ten przypadek w artykule Całki funkcji ułamkowo-wymiernych, pominę to teraz. Jeśli nadal spotykasz taką całkę, spójrz do podręcznika - tam wszystko jest proste. Nie sądzę, że wskazane jest uwzględnianie materiału (nawet prostego), prawdopodobieństwo spotkania, które dąży do zera.

Całkowanie złożonych funkcji trygonometrycznych

Przymiotnik „złożony” w większości przykładów jest w dużej mierze warunkowy. Zacznijmy od stycznych i cotangensów w dużych potęgach. Z punktu widzenia stosowanych metod rozwiązywania tangens i cotangens to prawie to samo, więc omówię więcej o stycznej, co oznacza, że ​​zademonstrowana metoda rozwiązywania całki obowiązuje również w przypadku cotangensu.

W powyższej lekcji przyjrzeliśmy się uniwersalne podstawienie trygonometryczne do rozwiązywania pewnego rodzaju całek funkcji trygonometrycznych. Wadą uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego jest to, że jego użycie często skutkuje uciążliwymi całekami i trudnymi obliczeniami. W niektórych przypadkach można uniknąć uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego!

Rozważmy inny przykład kanoniczny, całkę jednostkową podzieloną przez sinus:

Przykład 17

Znajdź całkę nieoznaczoną

Tutaj możesz zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne i uzyskać odpowiedź, ale istnieje bardziej racjonalny sposób. Dostarczę kompletne rozwiązanie z komentarzami do każdego kroku:

(1) Używamy wzoru trygonometrycznego na sinus podwójnego kąta.
(2) Dokonujemy sztucznego przekształcenia: dzielimy mianownik i mnożymy przez .
(3) Korzystając ze znanego wzoru w mianowniku, przekształcamy ułamek na styczną.
(4) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.
(5) Weź całkę.

Kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 18

Znajdź całkę nieoznaczoną

Uwaga: Pierwszym krokiem powinno być skorzystanie ze wzoru redukcyjnego i ostrożnie wykonaj czynności podobne do poprzedniego przykładu.

Przykład 19

Znajdź całkę nieoznaczoną

Cóż, to bardzo prosty przykład.

Kompletne rozwiązania i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Myślę, że teraz nikt nie będzie miał problemów z całkami:
i tak dalej.

Jaka jest idea metody? Pomysł polega na użyciu przekształceń i wzorów trygonometrycznych w celu zorganizowania w całkę tylko stycznych i pochodnej stycznej. Oznacza to, że mówimy o wymianie: . W przykładach 17-19 faktycznie użyliśmy tego zastąpienia, ale całki były tak proste, że poradziliśmy sobie z równoważnym działaniem - podciągając funkcję pod znak różniczkowy.

Podobne rozumowanie, jak już wspomniałem, można przeprowadzić dla kotangensu.

Istnieje także przesłanka formalna zastosowania powyższego zastąpienia:

Suma potęg cosinusa i sinusa jest ujemną liczbą całkowitą PARZYSZĄ, Na przykład:

dla całki – liczba całkowita ujemna PARZYSTA.

! Notatka : jeśli podcałka zawiera TYLKO sinus lub TYLKO cosinus, to całkę również przyjmuje się dla ujemnego stopnia nieparzystego (najprostsze przypadki są w Przykładach nr 17, 18).

Przyjrzyjmy się kilku bardziej znaczącym zadaniom opartym na tej regule:

Przykład 20

Znajdź całkę nieoznaczoną

Suma potęg sinusa i cosinusa: 2 – 6 = –4 jest liczbą całkowitą ujemną PARZYSZĄ, co oznacza, że ​​całkę można sprowadzić do stycznych i jej pochodnej:

(1) Przekształćmy mianownik.
(2) Korzystając ze znanego wzoru, otrzymujemy .
(3) Przekształćmy mianownik.
(4) Używamy wzoru .
(5) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.
(6) Wykonujemy wymianę. Bardziej doświadczeni uczniowie mogą nie dokonywać zamiany, ale nadal lepiej jest zastąpić styczną jedną literą – ryzyko pomyłki jest mniejsze.

Przykład 21

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Trzymaj się, rundy mistrzostw zaraz się rozpoczną =)

Często podcałka zawiera „mieszankę”:

Przykład 22

Znajdź całkę nieoznaczoną

Całka ta początkowo zawiera styczną, co od razu prowadzi do znanej już myśli:

Sztuczną transformację pozostawię na samym początku i pozostałe etapy bez komentarza, gdyż wszystko zostało już omówione powyżej.

Kilka kreatywnych przykładów własnego rozwiązania:

Przykład 23

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 24

Znajdź całkę nieoznaczoną

Tak, w nich oczywiście można obniżyć potęgi sinusa i cosinusa i zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne, ale rozwiązanie będzie znacznie wydajniejsze i krótsze, jeśli zostanie przeprowadzone poprzez styczne. Pełne rozwiązanie i odpowiedzi na końcu lekcji

Nazywa się funkcję F(x) różniczkowalną w zadanym przedziale X funkcja pierwotna funkcji f(x) lub całka z f(x), jeśli dla każdego x ∈X zachodzi równość:

F " (x) = f(x). (8.1)

Znajdowanie wszystkich funkcji pierwotnych dla danej funkcji nazywa się jej integracja. Funkcja całki nieoznaczonej f(x) na danym przedziale X jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych dla funkcji f(x); Przeznaczenie -

Jeśli F(x) jest jakąś funkcją pierwotną funkcji f(x), to ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdzie C jest dowolną stałą.

Tabela całek

Bezpośrednio z definicji otrzymujemy główne własności całki nieoznaczonej oraz listę całek tabelarycznych:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=stała)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista całek tabelarycznych

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = mi x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Zmienna wymiana

Aby zintegrować wiele funkcji, użyj metody zastępowania zmiennych lub substytucje, co pozwala na redukcję całek do postaci tabelarycznej.

Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła na [α,β], to funkcja z =g(x) ma ciągłą pochodną i α ≤ g(x) ≤ β, to

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Ponadto po całkowaniu po prawej stronie należy dokonać podstawienia z=g(x).

Aby to udowodnić, wystarczy zapisać całkę pierwotną w postaci:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na przykład:

Metoda całkowania przez części

Niech u = f(x) i v = g(x) będą funkcjami ciągłymi . Następnie, zgodnie z pracą,

d(uv))= udv + vdu lub udv = d(uv) - vdu.

Dla wyrażenia d(uv) funkcją pierwotną będzie oczywiście uv, więc wzór jest spełniony:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ta formuła wyraża regułę całkowanie przez części. Prowadzi to do całkowania wyrażenia udv=uv"dx do całkowania wyrażenia vdu=vu"dx.

Załóżmy, że chcesz znaleźć ∫xcosx dx. Postawmy u = x, dv = cosxdx, więc du=dx, v=sinx. Następnie

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x grzech x - ∫sin x dx = x grzech x + cosx + C.

Zasada całkowania przez części ma bardziej ograniczony zakres niż podstawienie zmiennych. Ale istnieją całe klasy całek, na przykład

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i inne, które są obliczane precyzyjnie poprzez całkowanie przez części.

Określona całka

Pojęcie całki oznaczonej wprowadza się w następujący sposób. Niech będzie zdefiniowana funkcja f(x) na przedziale. Podzielmy odcinek [a, b] na N części przez punkty a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ja = x i - x i-1. Nazywa się sumą postaci f(ξ i)Δ x i suma całkowa, a jego granica przy λ = maxΔx i → 0, jeśli istnieje i jest skończona, nazywa się określona całka funkcje f(x) z A zanim B i jest oznaczony:

F(ξ i)Δx i (8,5).

W tym przypadku wywoływana jest funkcja f(x). całkowalne na przedziale, nazywane są liczby a i b dolna i górna granica całki.

Dla całki oznaczonej obowiązują następujące własności:

4), (k = stała, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ostatnia właściwość nazywa się twierdzenie o wartości średniej.

Niech f(x) będzie ciągłe na . Wtedy na tym odcinku jest całka nieoznaczona

∫f(x)dx = F(x) + C

i ma miejsce Wzór Newtona-Leibniza, łącząc całkę oznaczoną z całką nieoznaczoną:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretacja geometryczna: całka oznaczona to pole trapezu krzywoliniowego ograniczone od góry krzywą y=f(x), prostymi x = a i x = b oraz odcinkiem osi Wół.

Całki niewłaściwe

Nazywa się całki o granicach nieskończonych i całki funkcji nieciągłych (nieograniczonych). nie twoje. Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju - Są to całki po nieskończonym przedziale, zdefiniowane w następujący sposób:

(8.7)

Jeżeli ta granica istnieje i jest skończona, to nazywa się ją zbieżna całka niewłaściwa z f(x) na przedziale [a,+ ∞) i wywoływana jest funkcja f(x). całkowalne w nieskończonym przedziale[a,+ ∞). W przeciwnym razie mówimy, że całka jest nie istnieje lub jest rozbieżny.

Całki niewłaściwe na przedziałach (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiuje się podobnie:

Zdefiniujmy pojęcie całki funkcji nieograniczonej. Jeśli f(x) jest ciągłe dla wszystkich wartości X odcinek , z wyjątkiem punktu c, w którym f(x) ma wówczas nieskończoną nieciągłość Całka niewłaściwa drugiego rodzaju k(x) od a do b kwota nazywa się:

jeśli te granice istnieją i są skończone. Przeznaczenie:

Przykłady obliczeń całkowych

Przykład 3.30. Oblicz ∫dx/(x+2).

Rozwiązanie. Oznaczmy t = x+2, wówczas dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Przykład 3.31. Znajdź ∫ tgxdx.

Rozwiązanie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Niech t=cosx, wtedy ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Przykład3.32 . Znajdź ∫dx/sinx

Rozwiązanie.

Przykład3.33. Znajdować .

Rozwiązanie. = .

Przykład3.34 . Znajdź ∫arctgxdx.

Rozwiązanie. Całkujmy przez części. Oznaczmy u=arctgx, dv=dx. Wtedy du = dx/(x 2 +1), v=x, skąd ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; ponieważ
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Przykład3.35 . Oblicz ∫lnxdx.

Rozwiązanie. Stosując wzór na całkowanie przez części, otrzymujemy:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Wtedy ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx – ∫dx + C= xlnx – x + C.

Przykład3.36 . Oblicz ∫e x sinxdx.

Rozwiązanie. Oznaczmy u = e x, dv = sinxdx, następnie du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Całkę ∫e x cosxdx całkujemy także przez części: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Mamy:
∫ mi x cosxdx = mi x sinx - ∫ mi x sinxdx. Otrzymaliśmy relację ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, z czego 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Przykład 3.37. Oblicz J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rozwiązanie. Ponieważ dx/x = dlnx, to J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zastępując lnx przez t, dochodzimy do całki stołowej J = ∫ kosztdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Przykład 3.38 . Oblicz J = .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę, że = d(lnx), podstawiamy lnx = t. Wtedy J = .

Przykład 3.39 . Oblicz całkę J = .

Rozwiązanie. Mamy: . Dlatego =
=
=. wprowadzono w ten sposób: sqrt(tan(x/2)).

A jeśli w oknie wyników klikniesz Pokaż kroki w prawym górnym rogu, otrzymasz szczegółowe rozwiązanie.

W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś; w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że pozostałe rachunki otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...

I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że ​​mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci bez żadnych „wyobrażalnych jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnych jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekształciliśmy liczbę w graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem; już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Znak na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.

Funkcja niewymierna zmiennej to funkcja utworzona ze zmiennej i dowolnych stałych przy użyciu skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania, mnożenia (podnoszenia do potęgi całkowitej), dzielenia i pierwiastkowania. Funkcja niewymierna różni się od funkcji wymiernej tym, że zawiera operacje polegające na wyodrębnianiu pierwiastków.

Istnieją trzy główne typy funkcji niewymiernych, których całki nieoznaczone sprowadzają się do całek funkcji wymiernych. Są to całki zawierające pierwiastki dowolnych potęg całkowitych z liniowej funkcji ułamkowej (pierwiastki mogą mieć różne potęgi, ale z tej samej liniowej funkcji ułamkowej); całki z dwumianu różniczkowego i całki z pierwiastkiem kwadratowym z trójmianu kwadratowego.

Ważna uwaga. Korzenie mają wiele znaczeń!

Przy obliczaniu całek zawierających pierwiastki często spotyka się wyrażenia w postaci, gdzie jest pewna funkcja zmiennej całkującej. Należy o tym pamiętać. Oznacza to, że w t > 0 , |t| = t. O godz< 0 , |t| = - t . Dlatego przy obliczaniu takich całek należy osobno rozważyć przypadki t > 0 oraz T< 0 . Można to zrobić za pomocą znaków lub w dowolnym miejscu, w którym jest to konieczne. Zakładając, że górny znak odnosi się do przypadku t > 0 , a dolny - do przypadku t< 0 . Wraz z dalszą transformacją znaki te z reguły znoszą się nawzajem.

Możliwe jest również drugie podejście, w którym całkę i wynik całkowania można traktować jako złożone funkcje zmiennych zespolonych. Wtedy nie musisz zwracać uwagi na znaki w radykalnych wyrażeniach. To podejście ma zastosowanie, jeśli całka jest analityczna, to znaczy jest różniczkowalną funkcją zmiennej zespolonej. W tym przypadku zarówno całka, jak i jej całka są funkcjami wielowartościowymi. Dlatego po całkowaniu, podstawiając wartości liczbowe, należy wybrać jednowartościową gałąź (powierzchnię Riemanna) całki i dla niej wybrać odpowiednią gałąź wyniku całkowania.

Ułamkowa irracjonalność liniowa

Są to całki z pierwiastkami z tej samej ułamkowej funkcji liniowej:
,
gdzie R jest funkcją wymierną, są liczbami wymiernymi, m 1, n 1, ..., m s, n s są liczbami całkowitymi, α, β, γ, δ są liczbami rzeczywistymi.
Takie całki sprowadza się do całki funkcji wymiernej przez podstawienie:
, gdzie n jest wspólnym mianownikiem liczb r 1, ..., r s.

Pierwiastki niekoniecznie muszą pochodzić z liniowej funkcji ułamkowej, ale także z funkcji liniowej (γ = 0, δ = 1) lub na zmiennej całkującej x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Oto przykłady takich całek:
, .

Całki z dwumianów różniczkowych

Całki z dwumianów różniczkowych mają postać:
,
gdzie m, n, p to liczby wymierne, a, b to liczby rzeczywiste.
Takie całki sprowadzają się do całek funkcji wymiernych w trzech przypadkach.

1) Jeśli p jest liczbą całkowitą. Podstawienie x = t N, gdzie N jest wspólnym mianownikiem ułamków m i n.
2) Jeśli - liczba całkowita. Podstawienie a x n + b = t M, gdzie M jest mianownikiem liczby p.
3) Jeśli - liczba całkowita. Podstawienie a + b x - n = t M, gdzie M jest mianownikiem liczby p.

W innych przypadkach takich całek nie wyraża się za pomocą funkcji elementarnych.

Czasami takie całki można uprościć za pomocą wzorów redukcyjnych:
;
.

Całki zawierające pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego

Całki takie mają postać:
,
gdzie R jest funkcją wymierną. Dla każdej takiej całki istnieje kilka metod jej rozwiązania.
1) Stosowanie przekształceń prowadzi do prostszych całek.
2) Zastosuj podstawienia trygonometryczne lub hiperboliczne.
3) Zastosuj podstawienia Eulera.

Przyjrzyjmy się tym metodom bardziej szczegółowo.

1) Transformacja funkcji całkowej

Stosując wzór i wykonując przekształcenia algebraiczne, funkcję całkową sprowadzamy do postaci:
,
gdzie φ(x), ω(x) są funkcjami wymiernymi.

Typ I

Całka postaci:
,
gdzie P n (x) jest wielomianem stopnia n.

Całki takie wyznacza się metodą współczynników nieoznaczonych wykorzystując tożsamość:

.
Różniczkując to równanie i przyrównując lewą i prawą stronę, znajdujemy współczynniki A i.

Typ II

Całka postaci:
,
gdzie P m (x) jest wielomianem stopnia m.

Podstawienie t = (x - α) -1 całka ta jest zredukowana do poprzedniego typu. Jeśli m ≥ n, to ułamek powinien mieć część całkowitą.

Typ III

Tutaj dokonujemy podstawienia:
.
Po czym całka przyjmie postać:
.
Następnie stałe α, β należy dobrać tak, aby współczynniki t w mianowniku wyniosły zero:
B = 0, B 1 = 0.
Następnie całka rozkłada się na sumę całek dwóch typów:
,
,
które są całkowane przez podstawienia:
u 2 = ZA 1 t 2 + do 1,
v 2 = ZA 1 + do 1 t -2 .

2) Podstawienia trygonometryczne i hiperboliczne

Dla całek postaci , a > 0 ,
mamy trzy główne podstawienia:
;
;
;

Dla całek, a > 0 ,
mamy następujące podstawienia:
;
;
;

I wreszcie, dla całek, a > 0 ,
podstawienia są następujące:
;
;
;

3) Podstawienia Eulera

Całki można również sprowadzić do całek funkcji wymiernych jednego z trzech podstawień Eulera:
, dla > 0;
, dla c > 0;
, gdzie x 1 jest pierwiastkiem równania a x 2 + b x + c = 0. Jeśli to równanie ma rzeczywiste pierwiastki.

Całki eliptyczne

Podsumowując, rozważ całki postaci:
,
gdzie R jest funkcją wymierną, . Takie całki nazywane są eliptycznymi. Generalnie nie wyraża się ich za pomocą funkcji elementarnych. Zdarzają się jednak przypadki, gdy między współczynnikami A, B, C, D, E istnieją zależności, w których takie całki wyraża się za pomocą funkcji elementarnych.

Poniżej znajduje się przykład związany z wielomianami zwrotnymi. Obliczanie takich całek przeprowadza się za pomocą podstawień:
.

Przykład

Oblicz całkę:
.

Rozwiązanie

Dokonajmy zamiany.

.
Tutaj o x > 0 (ty > 0 ) weź górny znak ′+ ′. O godzinie x< 0 (wy< 0 ) - niżej '- '.

.

Odpowiedź

Bibliografia:
N.M. Gunther, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.

Znalezienie całki nieoznaczonej jest bardzo częstym problemem w matematyce wyższej i innych technicznych gałęziach nauki. Nawet najprostszych problemów fizycznych nie da się rozwiązać bez obliczenia kilku prostych całek. Dlatego od czasów szkolnych uczymy się technik i metod rozwiązywania całek; podano liczne tabele z całekami najprostszych funkcji. Jednak z biegiem czasu wszystko to zostaje bezpiecznie zapomniane, albo nie mamy wystarczająco dużo czasu na obliczenia, albo potrzebujemy znajdź rozwiązanie całki nieoznaczonej z bardzo złożonej funkcji. Aby rozwiązać te problemy, niezbędny będzie dla Ciebie nasz serwis, który pozwoli Ci dokładnie znaleźć całkę nieoznaczoną w Internecie.

Rozwiąż całkę nieoznaczoną

Serwis internetowy pod adresem strona internetowa pozwala znaleźć rozwiązywanie całki online szybko, bezpłatnie i w wysokiej jakości. Wyszukiwanie w tabelach potrzebnej całki możesz zastąpić naszym serwisem, gdzie szybko wpisując żądaną funkcję otrzymasz rozwiązanie całki nieoznaczonej w wersji tabelarycznej. Nie wszystkie strony matematyczne są w stanie szybko i skutecznie obliczyć całki nieoznaczone z funkcji online, szczególnie jeśli trzeba je znaleźć Całka nieoznaczona z funkcji złożonej lub takich funkcji, które nie są objęte ogólnym kursem matematyki wyższej. Strona internetowa strona internetowa pomoże rozwiązać całkę online i podołać zadaniu. Korzystając z rozwiązania online całki na stronie internetowej, zawsze otrzymasz dokładną odpowiedź.

Nawet jeśli chcesz samodzielnie obliczyć całkę, dzięki naszemu serwisowi z łatwością sprawdzisz odpowiedź, znajdziesz błąd, literówkę lub upewnisz się, że zadanie zostało wykonane bezbłędnie. Jeśli rozwiązujesz problem i musisz obliczyć całkę nieoznaczoną jako działanie pomocnicze, to po co marnować czas na te działania, które być może wykonywałeś już tysiąc razy? Ponadto dodatkowe obliczenia całki mogą być przyczyną literówki lub małego błędu, co w konsekwencji doprowadziło do nieprawidłowej odpowiedzi. Po prostu skorzystaj z naszych usług i znajdź Całka nieoznaczona online bez żadnego wysiłku. Do praktycznych problemów ze znalezieniem całka Funkcje online ten serwer jest bardzo przydatny. Musisz wejść do danej funkcji, get rozwiązanie online całki nieoznaczonej i porównaj odpowiedź ze swoim rozwiązaniem.